MODEL MATEMATIKA - representasi suatu fenomena atau proses yang dipelajari dalam pengetahuan ilmiah tertentu dalam bahasa konsep matematika. Dalam hal ini, sejumlah sifat dari fenomena yang diteliti diharapkan dapat diperoleh melalui kajian terhadap karakteristik matematis sebenarnya dari model tersebut. Konstruksi M.m. paling sering ditentukan oleh kebutuhan untuk memiliki analisis kuantitatif terhadap fenomena dan proses yang sedang dipelajari, yang tanpanya, pada gilirannya, tidak mungkin membuat prediksi yang dapat diverifikasi secara eksperimental tentang jalannya fenomena dan proses tersebut.
Proses pemodelan matematika biasanya melalui tahapan sebagai berikut. Pada tahap pertama, hubungan antara parameter utama M.m. Kita berbicara terutama tentang analisis kualitatif terhadap fenomena yang diteliti dan perumusan pola yang menghubungkan objek utama penelitian. Atas dasar ini, diidentifikasi objek-objek yang dapat dijelaskan secara kuantitatif. Tahap tersebut diakhiri dengan konstruksi model hipotetis, dengan kata lain pencatatan dalam bahasa konsep matematika gagasan kualitatif tentang hubungan antar objek utama model, yang dapat dicirikan secara kuantitatif.
Pada tahap kedua, masalah matematika aktual yang menjadi tujuan model hipotetis yang dibangun dipelajari. Hal utama pada tahap ini adalah mendapatkan hasilnya analisis matematis memodelkan konsekuensi teoritis yang dapat diverifikasi secara empiris (solusi dari masalah langsung). Pada saat yang sama, seringkali ada kasus ketika, untuk membangun dan mempelajari M.m. dalam berbagai bidang pengetahuan ilmiah konkrit adalah sama peralatan matematika(misalnya, persamaan diferensial) dan masalah matematika sejenis muncul, meskipun sangat non-sepele dalam setiap kasus tertentu. Apalagi pada tahap ini nilai yang besar memperoleh penggunaan teknologi komputer (komputer) berkecepatan tinggi, yang memungkinkan diperolehnya solusi perkiraan untuk masalah, yang seringkali tidak mungkin dilakukan dalam kerangka matematika murni, dengan tingkat akurasi yang sebelumnya tidak dapat diakses (tanpa menggunakan komputer).
Tahap ketiga ditandai dengan kegiatan untuk mengidentifikasi tingkat kecukupan hipotesis M.M. fenomena dan proses yang ingin dipelajarinya. Yaitu, jika semua parameter model telah ditentukan, peneliti mencoba mencari tahu sejauh mana, dalam batas akurasi pengamatan, hasilnya konsisten dengan konsekuensi teoretis dari model tersebut. Penyimpangan di luar keakuratan observasi menunjukkan ketidakcukupan model. Namun, seringkali ada kasus ketika, ketika membangun sebuah model, sejumlah parameternya tetap ada
tidak pasti. Masalah di mana karakteristik parametrik model ditetapkan sedemikian rupa sehingga konsekuensi teoretisnya sebanding, dalam batas akurasi observasi, dengan hasilnya. tes empiris, disebut masalah invers.
Pada tahap keempat, dengan mempertimbangkan identifikasi derajat kecukupan model hipotetis yang dibangun dan munculnya data eksperimen baru terhadap fenomena yang diteliti, selanjutnya dilakukan analisis dan modifikasi model. Di sini keputusan yang diambil berbeda dengan penolakan tanpa syarat terhadap termohon alat matematika sebelum menerima model yang dibangun sebagai landasan untuk membangun teori ilmiah baru yang fundamental.
M.m. muncul kembali ilmu pengetahuan kuno. Ya, untuk pemodelan tata surya Ahli matematika dan astronom Yunani Eudoxus memberi setiap planet empat bola, kombinasi gerakannya menciptakan kuda nil - kurva matematika yang mirip dengan pergerakan planet yang diamati. Namun karena model ini tidak dapat menjelaskan semua anomali yang diamati dalam pergerakan planet, model ini kemudian digantikan oleh model episiklik Apollonius dari Perga. Model terakhir digunakan dalam studinya oleh Hipparchus, dan kemudian, setelah mengalami beberapa modifikasi, oleh Ptolemy. Model ini, seperti pendahulunya, didasarkan pada keyakinan bahwa planet-planet bergerak secara seragam gerakan melingkar, tumpang tindihnya menjelaskan ketidakteraturan yang terlihat. Perlu dicatat bahwa model Copernicus pada dasarnya baru hanya dalam arti kualitatif (tetapi bukan sebagai M.M.). Dan hanya Kepler, berdasarkan pengamatan Tycho Brahe, yang membangun M.M. Tata surya, membuktikan bahwa planet-planet tidak bergerak dalam orbit melingkar, melainkan dalam orbit elips.
Saat ini, yang paling memadai dianggap yang dibuat untuk menggambarkan fenomena mekanis dan fisik. Tentang kecukupan M.m. di luar fisika, dengan beberapa pengecualian, seseorang dapat berbicara dengan cukup hati-hati. Namun demikian, memperbaiki sifat hipotetis, dan seringkali hanya kekurangan M.m. dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan, peranannya dalam pengembangan ilmu pengetahuan tidak boleh dianggap remeh. Seringkali ada kasus ketika model yang jauh dari memadai telah diorganisir dan distimulasi secara signifikan penelitian lebih lanjut, serta kesimpulan yang salah yang juga mengandung butir kebenaran yang sepenuhnya membenarkan upaya yang dilakukan untuk mengembangkan model tersebut.
Literatur:
Pemodelan matematika. M., 1979;
Ruzavin G.I. Matematisasi pengetahuan ilmiah. M., 1984;
Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Persamaan diferensial dalam ekologi: refleksi sejarah dan metodologis // Pertanyaan tentang sejarah ilmu pengetahuan dan teknologi alam. 1997. Nomor 3.
Kamus istilah filosofis. Editorial ilmiah Profesor V.G. Kuznetsova. M., INFRA-M, 2007, hal. 310-311.
CATATAN KULIAH
Menurut tarifnya
"Pemodelan matematis mesin dan sistem transportasi»
Mata kuliah ini mengkaji permasalahan yang berkaitan dengan pemodelan matematika, bentuk dan prinsip representasi model matematika. Metode numerik untuk memecahkan masalah satu dimensi dipertimbangkan. sistem nonlinier. Masalah pemodelan komputer dan eksperimen komputasi dibahas. Metode pengolahan data yang diperoleh sebagai hasil percobaan ilmiah atau industri dipertimbangkan; penelitian berbagai proses, mengidentifikasi pola perilaku objek, proses dan sistem. Metode interpolasi dan perkiraan data eksperimen dipertimbangkan. Isu-isu yang berkaitan dengan pemodelan komputer dan pemecahan masalah nonlinier dipertimbangkan. sistem dinamis. Secara khusus, metode integrasi numerik dan penyelesaian persamaan diferensial biasa orde pertama, kedua dan lebih tinggi dipertimbangkan.
Kuliah: Pemodelan matematika. Bentuk dan prinsip representasi model matematika
Kuliahnya meliputi masalah umum pemodelan matematika. Klasifikasi model matematika diberikan.
Komputer telah dengan kuat memasuki kehidupan kita, dan praktis tidak ada area aktivitas manusia yang tidak menggunakan komputer. Komputer sekarang banyak digunakan dalam proses pembuatan dan penelitian mesin baru, proses teknologi baru dan pencarian pilihan terbaiknya; ketika memecahkan masalah ekonomi, ketika memecahkan masalah perencanaan dan manajemen produksi di berbagai tingkatan. Pembuatan benda-benda besar dalam teknologi roket, pembuatan pesawat terbang, pembuatan kapal, serta desain bendungan, jembatan, dll. umumnya tidak mungkin dilakukan tanpa menggunakan komputer.
Pertama-tama, gunakan komputer dalam memecahkan masalah terapan masalah yang diterapkan harus "diterjemahkan" ke dalam bahasa matematika formal, mis. untuk objek, proses, atau sistem nyata, model matematisnya harus dibangun.
Kata “Model” berasal dari bahasa Latin modus (salinan, gambar, garis besar). Pemodelan adalah penggantian suatu benda A dengan benda lain B. Benda A yang digantikan disebut benda asli atau benda pemodelan, dan benda pengganti B disebut model. Dengan kata lain, model adalah suatu objek pengganti objek aslinya, yang menyediakan studi tentang beberapa sifat aslinya.
Tujuan pemodelan adalah untuk memperoleh, mengolah, menyajikan dan menggunakan informasi tentang objek yang berinteraksi satu sama lain dan lingkungan luar; dan model di sini berperan sebagai sarana untuk memahami sifat dan pola perilaku suatu objek.
Pemodelan banyak digunakan dalam berbagai bidang aktivitas manusia, terutama di bidang desain dan manajemen, dimana proses pengambilan keputusan yang efektif berdasarkan informasi yang diterima bersifat khusus.
Sebuah model selalu dibangun dengan tujuan tertentu, yang mempengaruhi properti apa fenomena obyektif ternyata signifikan dan mana yang tidak. Model itu seperti proyeksi realitas objektif dari sudut tertentu. Terkadang, bergantung pada tujuannya, Anda bisa mendapatkan sejumlah proyeksi realitas objektif yang bertentangan. Ini biasanya tipikal untuk sistem yang kompleks, di mana setiap proyeksi memilih apa yang penting untuk tujuan tertentu dari serangkaian proyeksi yang tidak penting.
Teori pemodelan adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari cara mempelajari sifat-sifat benda asli berdasarkan penggantiannya dengan benda model lain. Teori pemodelan didasarkan pada teori kesamaan. Saat melakukan pemodelan, kemiripan mutlak tidak terjadi dan hanya diupayakan untuk memastikan bahwa model tersebut cukup mencerminkan aspek fungsi objek yang diteliti. Kesamaan mutlak hanya dapat terjadi jika suatu benda digantikan dengan benda lain yang sama persis.
Semua model dapat dibagi menjadi dua kelas:
1. nyata,
2. ideal.
Pada gilirannya, model nyata dapat dibagi menjadi:
1. skala penuh,
2. fisik,
3. matematika.
Model ideal dapat dibagi menjadi:
1. visual,
2. ikonik,
3. matematika.
Model skala penuh yang nyata adalah objek, proses, dan sistem nyata di mana eksperimen ilmiah, teknis, dan industri dilakukan.
Model fisik nyata adalah model, boneka yang bereproduksi properti fisik asli (model kinematik, dinamis, hidrolik, termal, listrik, pencahayaan).
Model matematika nyata adalah model analog, struktural, geometris, grafis, digital dan cybernetic.
Ideal model visual- ini adalah diagram, peta, gambar, grafik, grafik, analog, model struktural dan geometris.
Ideal model ikonik- ini adalah simbol, alfabet, bahasa pemrograman, notasi terurut, notasi topologi, representasi jaringan.
Model matematika yang ideal adalah model analitis, fungsional, simulasi, dan gabungan.
Dalam klasifikasi di atas, beberapa model memiliki interpretasi ganda (misalnya analog). Semua model, kecuali model skala penuh, dapat digabungkan menjadi satu kelas model mental, karena mereka adalah produk pemikiran abstrak manusia.
Mari kita fokus pada salah satu yang paling banyak spesies universal pemodelan - matematis, yang mencocokkan proses fisik yang disimulasikan dengan sistem hubungan matematis, yang solusinya memungkinkan seseorang memperoleh jawaban atas pertanyaan tentang perilaku suatu objek tanpa membuat model fisik, yang seringkali mahal dan tidak efektif.
Pemodelan matematika adalah sarana mempelajari suatu objek, proses atau sistem nyata dengan menggantinya dengan model matematika yang lebih sesuai untuk penelitian eksperimental dengan menggunakan komputer.
Model matematika adalah representasi perkiraan objek, proses, atau sistem nyata, yang dinyatakan dalam istilah matematika dan mempertahankan ciri-ciri penting dari aslinya. Model matematika dalam bentuk kuantitatif, menggunakan konstruksi logis-matematis, mendeskripsikan sifat dasar objek, proses atau sistem, parameternya, koneksi internal dan eksternal.
Secara umum, model matematika dari suatu objek, proses, atau sistem nyata direpresentasikan sebagai sistem fungsional
saya (X,Y,Z,t)=0,
dimana X adalah vektor variabel masukan, X= t,
Y - vektor variabel keluaran, Y= t,
Z - vektor pengaruh eksternal, Z= t ,
t - koordinat waktu.
Konstruksi model matematika terdiri dari menentukan hubungan antara proses dan fenomena tertentu, menciptakan peralatan matematika yang memungkinkan seseorang untuk mengekspresikan secara kuantitatif dan kualitatif hubungan antara proses dan fenomena tertentu, antara besaran fisis yang menarik bagi seorang spesialis, dan faktor-faktor yang mempengaruhi. hasil akhir.
Biasanya jumlahnya sangat banyak sehingga tidak mungkin untuk memasukkan seluruh rangkaiannya ke dalam model. Saat membangun model matematika, tugas penelitiannya adalah mengidentifikasi dan mengecualikan faktor-faktor pertimbangan yang tidak mempengaruhi hasil akhir secara signifikan (model matematika biasanya mencakup secara signifikan jumlah yang lebih kecil faktor dibandingkan kenyataannya). Berdasarkan data eksperimen, hipotesis diajukan tentang hubungan antara besaran yang menyatakan hasil akhir dan faktor-faktor yang dimasukkan ke dalam model matematika. Hubungan seperti itu sering dinyatakan dengan sistem persamaan diferensial parsial (misalnya, dalam soal mekanika padat, cairan dan gas, teori filtrasi, konduktivitas termal, teori medan elektrostatis dan elektrodinamik).
Tujuan akhir dari tahap ini adalah perumusan masalah matematika, yang solusinya, dengan akurasi yang diperlukan, mengungkapkan hasil yang menarik bagi spesialis.
Bentuk dan prinsip representasi model matematika bergantung pada banyak faktor.
Berdasarkan prinsip konstruksinya, model matematika dibagi menjadi:
1. analitis;
2. imitasi.
Dalam model analitik, proses berfungsinya objek, proses, atau sistem nyata ditulis dalam bentuk ketergantungan fungsional yang eksplisit.
Model analitik dibagi menjadi beberapa jenis tergantung pada masalah matematika:
1. persamaan (aljabar, transendental, diferensial, integral),
2. masalah aproksimasi (interpolasi, ekstrapolasi, integrasi numerik dan diferensiasi),
3. masalah optimasi,
4. masalah stokastik.
Namun, ketika objek pemodelan menjadi lebih kompleks, konstruksinya model analitis menjadi masalah yang sulit diselesaikan. Kemudian peneliti terpaksa menggunakan pemodelan simulasi.
Dalam pemodelan simulasi, fungsi objek, proses, atau sistem dijelaskan oleh sekumpulan algoritma. Algoritma mensimulasikan fenomena dasar nyata yang membentuk suatu proses atau sistem dengan tetap mempertahankan struktur logis dan urutannya dari waktu ke waktu. Pemodelan simulasi memungkinkan, dari sumber data, untuk memperoleh informasi tentang keadaan suatu proses atau sistem pada titik waktu tertentu, namun memprediksi perilaku objek, proses atau sistem sulit dilakukan di sini. Kita dapat mengatakan bahwa model simulasi adalah eksperimen komputasi berbasis komputer dengan model matematika yang meniru perilaku objek, proses, atau sistem nyata.
Tergantung pada sifat proses dan sistem nyata yang dipelajari, model matematika dapat berupa:
1. deterministik,
2. stokastik.
Dalam model deterministik, diasumsikan tidak ada pengaruh acak, elemen model (variabel, hubungan matematis) ditetapkan dengan cukup akurat, dan perilaku sistem dapat ditentukan secara akurat. Saat membangun model deterministik paling sering digunakan persamaan aljabar, persamaan integral, aljabar matriks.
Model stokastik memperhitungkan sifat acak dari proses dalam objek dan sistem yang diteliti, yang dijelaskan dengan metode teori probabilitas dan statistik matematika.
Berdasarkan jenis informasi masukannya, model dibagi menjadi:
1. terus menerus,
2. diskrit.
Jika informasi dan parameter bersifat kontinu, dan koneksi matematis stabil, maka model tersebut kontinu. Dan sebaliknya, jika informasi dan parameter bersifat diskrit, dan koneksi tidak stabil, maka model matematikanya bersifat diskrit.
Berdasarkan perilaku model dari waktu ke waktu, mereka dibagi menjadi:
1. statis,
2. dinamis.
Model statis menggambarkan perilaku suatu objek, proses atau sistem pada suatu titik waktu. Model dinamis mencerminkan perilaku suatu objek, proses atau sistem dari waktu ke waktu.
Berdasarkan derajat kesesuaian antara model matematika dengan objek, proses atau sistem nyata, model matematika dibagi menjadi:
1. isomorfik (bentuknya identik),
2. homomorfik (berbeda bentuk).
Suatu model disebut isomorfik jika terdapat korespondensi elemen demi elemen yang lengkap antara model tersebut dan objek, proses, atau sistem nyata. Homomorfik - jika hanya ada korespondensi antara komponen paling signifikan dari objek dan model.
Di masa depan untuk definisi singkat jenis model matematika pada klasifikasi diatas kita akan menggunakan notasi sebagai berikut :
Surat pertama:
D - deterministik,
C - stokastik.
Surat kedua:
N - terus menerus,
D - diskrit.
Surat ketiga:
A - analitis,
Dan - imitasi.
1. Tidak ada (lebih tepatnya, tidak diperhitungkan) pengaruh proses acak, yaitu. model deterministik (D).
2. Informasi dan parameter bersifat kontinu, mis. model - kontinu (N),
3. Fungsi model mekanisme engkol digambarkan dalam bentuk persamaan transendental nonlinier, yaitu. model - analitis (A)
2. Kuliah: Ciri-ciri membangun model matematika
Kuliah tersebut menjelaskan proses membangun model matematika. Algoritma verbal dari proses tersebut diberikan.
Untuk menggunakan komputer dalam memecahkan masalah terapan, pertama-tama masalah terapan harus “diterjemahkan” ke dalam bahasa matematika formal, yaitu. untuk objek, proses, atau sistem nyata, model matematisnya harus dibangun.
Model matematika dalam bentuk kuantitatif, menggunakan konstruksi logis dan matematis, menggambarkan sifat dasar suatu objek, proses atau sistem, parameternya, hubungan internal dan eksternal.
Untuk membangun model matematika yang Anda butuhkan:
1. menganalisis secara cermat suatu objek atau proses nyata;
2. menonjolkan fitur dan propertinya yang paling signifikan;
3. mendefinisikan variabel, yaitu parameter yang nilainya mempengaruhi fitur dan properti utama objek;
4. mendeskripsikan ketergantungan sifat-sifat dasar suatu objek, proses atau sistem pada nilai-nilai variabel dengan menggunakan hubungan logis-matematis (persamaan, persamaan, pertidaksamaan, konstruksi logis-matematis);
5. sorot komunikasi internal objek, proses atau sistem dengan menggunakan batasan, persamaan, persamaan, pertidaksamaan, konstruksi logika dan matematis;
6. mengidentifikasi hubungan eksternal dan mendeskripsikannya menggunakan batasan, persamaan, persamaan, pertidaksamaan, konstruksi logis dan matematis.
Pemodelan matematika, selain mempelajari suatu objek, proses atau sistem dan menyusun deskripsi matematisnya, juga meliputi:
1. konstruksi suatu algoritma yang memodelkan perilaku suatu objek, proses atau sistem;
2. memeriksa kecukupan model dan objek, proses atau sistem berdasarkan komputasi dan eksperimen skala penuh;
3. penyesuaian model;
4. penggunaan model.
Deskripsi matematika Proses dan sistem yang diteliti bergantung pada:
1. sifat suatu proses atau sistem nyata dan disusun berdasarkan hukum fisika, kimia, mekanika, termodinamika, hidrodinamika, teknik elektro, teori plastisitas, teori elastisitas, dan sebagainya.
2. keandalan dan keakuratan studi dan penelitian proses dan sistem nyata yang diperlukan.
Pada tahap pemilihan model matematika ditetapkan hal-hal sebagai berikut: linearitas dan nonlinieritas suatu objek, proses atau sistem, dinamisme atau statisitas, stasioneritas atau nonstasioneritas, serta derajat determinisme objek atau proses yang diteliti. Selama pemodelan matematika, seseorang dengan sengaja mengalihkan perhatian dari hal spesifik sifat fisik objek, proses atau sistem dan terutama berfokus pada studi ketergantungan kuantitatif antara kuantitas yang menggambarkan proses-proses ini.
Sebuah model matematika tidak pernah sepenuhnya identik dengan objek, proses atau sistem yang sedang dipertimbangkan. Berdasarkan penyederhanaan dan idealisasi, merupakan gambaran perkiraan suatu objek. Oleh karena itu, hasil yang diperoleh dari analisis model bersifat perkiraan. Keakuratannya ditentukan oleh derajat kecukupan (kesesuaian) antara model dan objek.
Konstruksi model matematika biasanya dimulai dengan konstruksi dan analisis model matematika yang paling sederhana dan paling kasar dari objek, proses atau sistem yang sedang dipertimbangkan. Kedepannya, bila perlu, model disempurnakan dan kesesuaiannya dengan objek dibuat lebih lengkap.
Mari kita ambil contoh sederhana. Penting untuk menentukan luas permukaan meja. Biasanya, hal ini dilakukan dengan mengukur panjang dan lebarnya, lalu mengalikan angka yang dihasilkan. Prosedur dasar ini sebenarnya berarti sebagai berikut: objek nyata (permukaan meja) diganti dengan model matematika abstrak - persegi panjang. Dimensi yang diperoleh dengan mengukur panjang dan lebar permukaan meja ditetapkan ke dalam persegi panjang, dan luas persegi panjang tersebut kira-kira dianggap sebagai luas meja yang diperlukan.
Namun, model meja persegi panjang adalah model yang paling sederhana dan paling kasar. Jika Anda mengambil pendekatan yang lebih serius terhadap masalah tersebut, sebelum menggunakan model persegi panjang untuk menentukan luas meja, model ini perlu diperiksa. Pengecekan dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut: ukur panjang sisi-sisi meja yang berhadapan, serta panjang diagonal-diagonalnya, dan bandingkan satu sama lain. Jika, dengan tingkat ketelitian yang disyaratkan, panjang sisi-sisi berhadapan dan panjang diagonal-diagonalnya sama berpasangan, maka permukaan meja tersebut benar-benar dapat dianggap persegi panjang. Jika tidak, model persegi panjang harus ditolak dan diganti dengan model segi empat pandangan umum. Dengan lebih banyak tuntutan yang tinggi Untuk meningkatkan akurasi, mungkin perlu menyempurnakan model lebih jauh lagi, misalnya dengan memperhitungkan pembulatan sudut meja.
Dengan bantuan ini contoh sederhana terbukti bahwa model matematika tidak ditentukan secara unik oleh objek, proses atau sistem yang dipelajari. Untuk tabel yang sama kita dapat menggunakan model persegi panjang, atau model segi empat umum yang lebih kompleks, atau segi empat dengan sudut membulat. Pilihan model tertentu ditentukan oleh persyaratan akurasi. Dengan meningkatnya akurasi, model harus menjadi lebih rumit, dengan mempertimbangkan fitur-fitur baru dari objek, proses atau sistem yang sedang dipelajari.
Mari kita perhatikan contoh lain: mempelajari pergerakan mekanisme engkol (Gbr. 2.1).
Beras. 2.1.
Untuk analisis kinematik mekanisme ini, pertama-tama perlu dibangun model kinematiknya. Untuk ini:
1. Kami mengganti mekanisme dengan diagram kinematiknya, di mana semua tautan diganti dengan koneksi kaku;
2. Dengan menggunakan diagram ini, kita memperoleh persamaan gerak mekanisme;
3. Dengan membedakan yang terakhir, kita memperoleh persamaan kecepatan dan percepatan, yang merupakan persamaan diferensial orde 1 dan 2.
Mari kita tulis persamaan ini:
dimana C 0 adalah posisi paling kanan dari slider C:
r – radius engkol AB;
l – panjang batang penghubung BC;
– sudut putaran engkol;
Persamaan transendental yang dihasilkan mewakili model matematis gerak mekanisme engkol aksial datar, berdasarkan asumsi penyederhanaan berikut:
Pertama, kami tidak tertarik pada bentuk struktur dan susunan massa yang termasuk dalam mekanisme benda, dan kami mengganti semua benda mekanisme tersebut dengan segmen lurus. Padahal, semua mata rantai mekanisme tersebut memiliki massa dan bentuk yang agak rumit. Misalnya, batang penghubung adalah suatu rakitan yang rumit, yang bentuk dan dimensinya tentu saja akan mempengaruhi pergerakan mekanismenya;
2. ketika membangun model matematis gerak mekanisme yang dipertimbangkan, kami juga tidak memperhitungkan elastisitas benda-benda yang termasuk dalam mekanisme tersebut, yaitu. semua tautan dianggap sebagai benda abstrak yang benar-benar kaku. Pada kenyataannya, semua benda yang termasuk dalam mekanisme tersebut adalah benda elastis. Ketika mekanismenya bergerak, entah bagaimana mereka akan berubah bentuk, dan bahkan mungkin berkembang getaran elastis. Semua ini tentu saja juga akan mempengaruhi pergerakan mekanisme;
3. kami tidak memperhitungkan kesalahan pembuatan tautan, celah pada pasangan kinematik A, B, C, dll.
Oleh karena itu, penting untuk ditekankan sekali lagi bahwa semakin tinggi persyaratan keakuratan hasil pemecahan suatu masalah, semakin besar kebutuhan untuk memperhitungkan ciri-ciri objek, proses atau sistem yang dipelajari ketika membangun model matematika. Namun, penting untuk berhenti di sini pada waktunya, karena model matematika yang kompleks dapat berubah menjadi masalah yang sulit dipecahkan.
Suatu model paling mudah dibangun ketika hukum-hukum yang menentukan perilaku dan sifat-sifat suatu objek, proses atau sistem telah diketahui dengan baik, dan terdapat pengalaman praktis yang luas dalam penerapannya.
Lagi situasi yang sulit terjadi ketika pengetahuan kita tentang objek, proses atau sistem yang dipelajari tidak mencukupi. Dalam hal ini, ketika membangun suatu model matematika, perlu dibuat asumsi-asumsi tambahan yang bersifat hipotesis; model seperti itu disebut hipotetis. Kesimpulan yang diperoleh dari mempelajari model hipotetis semacam itu bersifat kondisional. Untuk memverifikasi kesimpulan tersebut, perlu membandingkan hasil mempelajari model di komputer dengan hasil percobaan skala penuh. Dengan demikian, pertanyaan tentang penerapan model matematika tertentu untuk mempelajari objek, proses, atau sistem yang dimaksud tidaklah penting. pertanyaan matematika dan tidak dapat diselesaikan dengan metode matematika.
Kriteria utama kebenaran adalah eksperimen, praktik itu sendiri. dalam arti luas Dunia ini.
Konstruksi model matematika dalam masalah terapan merupakan salah satu tahapan pekerjaan yang paling kompleks dan penting. Pengalaman menunjukkan bahwa dalam banyak kasus, memilih model yang tepat berarti menyelesaikan lebih dari separuh masalah. Kesulitan tahap ini adalah memerlukan kombinasi pengetahuan matematika dan khusus. Oleh karena itu, sangat penting bahwa ketika memecahkan masalah terapan, ahli matematika memiliki pengetahuan khusus tentang objek tersebut, dan mitranya, spesialis, memiliki budaya matematika tertentu, pengalaman penelitian di bidangnya, pengetahuan tentang komputer dan pemrograman.
Kuliah 3. Pemodelan komputer dan eksperimen komputasi. Memecahkan model matematika
Pemodelan komputer sebagai metode penelitian ilmiah baru didasarkan pada:
1. membangun model matematika untuk menggambarkan proses yang dipelajari;
2. menggunakan komputer terkini dengan kecepatan tinggi (jutaan operasi per detik) dan mampu melakukan dialog dengan seseorang.
Inti dari pemodelan komputer adalah sebagai berikut: berdasarkan model matematika, dilakukan serangkaian percobaan komputasi dengan menggunakan komputer, yaitu. sifat-sifat objek atau proses dipelajari, parameter optimal dan mode operasinya ditemukan, dan model disempurnakan. Misalnya, dengan memiliki persamaan yang menggambarkan jalannya proses tertentu, Anda dapat mengubah koefisiennya, kondisi awal dan batasnya, serta mempelajari bagaimana objek akan berperilaku. Selain itu, dimungkinkan untuk memprediksi perilaku suatu objek dalam berbagai kondisi.
Eksperimen komputasi memungkinkan Anda mengganti eksperimen skala penuh yang mahal dengan perhitungan komputer. Hal ini memungkinkan, dalam waktu singkat dan tanpa biaya material yang signifikan, untuk mempelajari sejumlah besar opsi untuk objek atau proses yang dirancang untuk berbagai mode operasinya, yang secara signifikan mengurangi waktu yang diperlukan untuk pengembangan sistem yang kompleks dan implementasinya dalam produksi. .
Pemodelan komputer dan eksperimen komputasi sebagai metode baru penelitian ilmiah kekuatan untuk meningkatkan peralatan matematika yang digunakan dalam membangun model matematika, memungkinkan, dengan menggunakan metode matematika, untuk memperjelas dan memperumit model matematika. Cara yang paling menjanjikan untuk melakukan eksperimen komputasi adalah dengan menggunakannya untuk memecahkan masalah-masalah ilmiah, teknis, dan sosio-ekonomi utama di zaman kita (merancang reaktor untuk pembangkit listrik tenaga nuklir, desain bendungan dan pembangkit listrik tenaga air, konverter energi magnetohidrodinamik, dan di bidang ekonomi - menyusun rencana yang seimbang untuk industri, wilayah, negara, dll.).
Dalam beberapa proses di mana eksperimen alam berbahaya bagi kehidupan dan kesehatan manusia, eksperimen komputasi adalah satu-satunya yang mungkin (fusi termonuklir, eksplorasi ruang angkasa, desain dan penelitian industri kimia dan industri lainnya).
Untuk memeriksa kecukupan model matematika dan objek nyata, proses atau sistem, hasil penelitian komputer dibandingkan dengan hasil percobaan pada prototipe model skala penuh. Hasil tes digunakan untuk menyesuaikan model matematika atau pertanyaan tentang penerapan model matematika yang dibangun untuk desain atau studi objek, proses atau sistem tertentu terselesaikan.
Sebagai kesimpulan, kami tekankan sekali lagi bahwa pemodelan komputer dan eksperimen komputasi memungkinkan kita mereduksi studi tentang objek “non-matematis” menjadi solusi masalah matematika. Hal ini membuka kemungkinan untuk menggunakan peralatan matematika yang dikembangkan dengan baik dalam kombinasi dengan peralatan yang kuat teknologi komputer. Hal ini menjadi dasar penggunaan matematika dan komputer untuk memahami hukum dunia nyata dan menggunakannya dalam praktik.
Dalam permasalahan merancang atau mempelajari perilaku objek, proses, atau sistem nyata, model matematika biasanya bersifat nonlinier, karena mereka harus mencerminkan proses fisik nonlinier nyata yang terjadi di dalamnya. Selain itu, parameter (variabel) dari proses-proses ini saling berhubungan oleh hukum fisik nonlinier. Oleh karena itu, dalam masalah merancang atau mempelajari perilaku objek, proses, atau sistem nyata, model matematika seperti DNA paling sering digunakan.
Menurut klasifikasi yang diberikan pada kuliah 1:
D – modelnya deterministik; tidak ada pengaruh proses acak (lebih tepatnya, tidak diperhitungkan).
N – model kontinyu, informasi dan parameter kontinyu.
A – model analitik, fungsi model digambarkan dalam bentuk persamaan (linier, nonlinier, sistem persamaan, persamaan diferensial dan integral).
Jadi, kami telah membangun model matematika dari objek, proses atau sistem yang sedang dipertimbangkan, yaitu. menyajikan masalah terapan sebagai masalah matematika. Setelah itu, tahap kedua pemecahan masalah terapan dimulai - pencarian atau pengembangan metode untuk memecahkan masalah matematika yang dirumuskan. Metodenya harus nyaman untuk diterapkan di komputer, sediakan kualitas yang dibutuhkan solusi.
Semua metode penyelesaian masalah matematika dapat dibagi menjadi 2 kelompok:
1. metode yang tepat untuk memecahkan masalah;
2. metode numerik untuk memecahkan masalah.
Pada metode eksak dalam menyelesaikan masalah matematika, jawabannya dapat diperoleh dalam bentuk rumus.
Misalnya menghitung akar-akar persamaan kuadrat:
atau, misalnya, menghitung fungsi turunan:
atau menghitung integral tertentu:
Namun, dengan mensubstitusikan angka ke dalam rumus sebagai pecahan desimal berhingga, kita tetap mendapatkan nilai perkiraan dari hasilnya.
Untuk sebagian besar permasalahan yang ditemui dalam praktik, metode penyelesaian yang tepat tidak diketahui atau memberikan rumus yang sangat rumit. Namun, hal tersebut tidak selalu diperlukan. Suatu masalah terapan dapat dianggap terselesaikan secara praktis jika kita mampu menyelesaikannya dengan tingkat ketelitian yang diperlukan.
Untuk memecahkan masalah seperti itu, metode numerik telah dikembangkan di mana solusi dari masalah matematika yang kompleks direduksi menjadi eksekusi berurutan dari sejumlah besar operasi aritmatika sederhana. Perkembangan langsung metode numerik termasuk dalam matematika komputasi.
Contoh metode numerik adalah metode persegi panjang untuk integrasi perkiraan, yang tidak memerlukan penghitungan antiturunan untuk integran. Alih-alih integral, jumlah kuadratur akhir dihitung:
x 1 =a – batas bawah integrasi;
x n+1 =b – batas atas integrasi;
n – jumlah segmen yang membagi interval integrasi (a,b);
– panjang segmen dasar;
f(x i) – nilai integran di ujung segmen integrasi elementer.
Bagaimana jumlah yang lebih besar n segmen yang interval integrasinya dibagi, semakin dekat solusi perkiraannya dengan solusi sebenarnya, yaitu. semakin akurat hasilnya.
Dengan demikian, dalam permasalahan terapan, baik saat menggunakan metode penyelesaian eksak maupun saat menggunakan metode penyelesaian numerik, hasil perhitungannya bersifat perkiraan. Penting untuk memastikan bahwa kesalahan sesuai dengan akurasi yang disyaratkan.
Metode numerik untuk menyelesaikan masalah matematika telah dikenal sejak lama, bahkan sebelum munculnya komputer, namun metode tersebut jarang digunakan dan hanya dalam kasus yang relatif sederhana karena kompleksitas perhitungan yang ekstrim. Meluasnya penggunaan metode numerik menjadi mungkin berkat komputer.
Model matematika
Model matematika - perkiraan opimakna objek pemodelan, diungkapkan dengan menggunakansimbolisme matematika.
Model matematika muncul bersamaan dengan matematika berabad-abad yang lalu. Munculnya komputer memberikan dorongan besar bagi perkembangan pemodelan matematika. Penggunaan komputer telah memungkinkan untuk menganalisis dan menerapkan dalam praktik banyak model matematika yang sebelumnya tidak dapat dilakukan penelitian analitis. Diimplementasikan pada komputer secara matematismodel langit ditelepon model matematika komputer, A melakukan perhitungan yang ditargetkan menggunakan model komputer ditelepon eksperimen komputasi.
Tahapan ilmu matematika komputerdivisi ditunjukkan pada gambar. Pertamapanggung - mendefinisikan tujuan pemodelan. Sasaran ini bisa berbeda-beda:
- suatu model diperlukan untuk memahami cara kerja suatu objek tertentu, apa strukturnya, sifat dasarnya, hukum perkembangan dan interaksinya
dengan dunia luar (pemahaman); - suatu model diperlukan untuk mempelajari bagaimana mengelola suatu objek (atau proses) dan menentukan cara terbaik manajemen dengan tujuan dan kriteria tertentu (manajemen);
- model tersebut diperlukan untuk memprediksi konsekuensi langsung dan tidak langsung dari implementasi metode yang diberikan dan bentuk pengaruh terhadap objek (peramalan).
Contoh dari wilayah yang sama sekali berbeda: populasi dua spesies individu yang hidup berdampingan secara damai dengan jumlah yang stabil dan memiliki persediaan makanan yang sama, “tiba-tiba” mulai mengubah jumlah mereka secara tajam. Dan di sini pemodelan matematika memungkinkan (dengan tingkat keandalan tertentu) untuk menetapkan penyebabnya (atau setidaknya menyangkal hipotesis tertentu).
Mengembangkan konsep untuk mengelola suatu objek adalah kemungkinan tujuan pemodelan lainnya. Mode penerbangan pesawat manakah yang harus saya pilih untuk memastikan penerbangan tersebut aman dan paling menguntungkan secara ekonomi? Bagaimana menjadwalkan ratusan jenis pekerjaan pada pembangunan suatu fasilitas besar agar selesai secepat mungkin jangka pendek? Banyak masalah seperti ini yang secara sistematis muncul di hadapan para ekonom, perancang, dan ilmuwan.
Terakhir, memprediksi konsekuensi dampak tertentu terhadap suatu objek dapat menjadi masalah yang relatif sederhana dalam sistem fisik sederhana, dan sangat kompleks - di ambang kelayakan - dalam sistem biologis, ekonomi, dan sosial. Jika relatif mudah untuk menjawab pertanyaan tentang perubahan cara distribusi panas pada batang tipis akibat perubahan paduan penyusunnya, maka telusuri (prediksi) pengaruh lingkungan dan konsekuensi iklim pembangunan pembangkit listrik tenaga air yang besar atau konsekuensi sosial dari perubahan undang-undang perpajakan jauh lebih sulit. Mungkin di sini juga, metode pemodelan matematika akan memberikan bantuan yang lebih signifikan di masa depan.
Fase kedua: penentuan parameter masukan dan keluaran model; pembagian parameter masukan menurut tingkat pentingnya pengaruh perubahannya terhadap keluaran. Proses ini disebut pemeringkatan, atau pemisahan berdasarkan peringkat (lihat. "Formalisasition dan pemodelan").
Tahap ketiga: konstruksi model matematika. Pada tahap ini terjadi peralihan dari rumusan model yang abstrak ke rumusan yang mempunyai kekhasan representasi matematika. Model matematika adalah persamaan, sistem persamaan, sistem pertidaksamaan, persamaan diferensial atau sistem persamaan tersebut, dan sebagainya.
Tahap keempat: memilih metode untuk mempelajari model matematika. Paling sering, metode numerik digunakan di sini, yang cocok untuk pemrograman. Biasanya, beberapa metode cocok untuk memecahkan masalah yang sama, berbeda dalam akurasi, stabilitas, dll. Keberhasilan seluruh proses pemodelan seringkali bergantung pada pilihan metode yang tepat.
Tahap kelima: mengembangkan suatu algoritma, mengkompilasi dan men-debug program komputer adalah proses yang sulit untuk diformalkan. Di antara bahasa pemrograman, banyak profesional lebih memilih FORTRAN untuk pemodelan matematika: baik karena tradisi maupun karena efisiensi kompiler (untuk pekerjaan perhitungan) yang tak tertandingi dan ketersediaan perpustakaan program standar yang besar, di-debug dengan hati-hati, dan dioptimalkan yang ditulis di dalamnya. metode matematika. Bahasa seperti PASCAL, BASIC, C juga digunakan, tergantung pada sifat tugas dan kecenderungan pemrogram.
Tahap keenam: pengujian program. Pengoperasian program diuji pada soal tes dengan jawaban yang telah diketahui sebelumnya. Ini hanyalah permulaan dari prosedur pengujian yang sulit dijelaskan secara formal dan komprehensif. Biasanya, pengujian berakhir ketika pengguna, berdasarkan karakteristik profesionalnya, menganggap program tersebut benar.
Tahap ketujuh: eksperimen komputasi aktual, di mana ditentukan apakah model tersebut sesuai dengan objek (proses) nyata. Suatu model cukup memadai untuk proses nyata jika beberapa karakteristik proses yang diperoleh di komputer sesuai dengan karakteristik yang diperoleh secara eksperimental dengan tingkat akurasi tertentu. Jika model tidak sesuai dengan proses sebenarnya, kita kembali ke salah satu tahapan sebelumnya.
Klasifikasi model matematika
Klasifikasi model matematika dapat didasarkan pada berbagai prinsip. Anda dapat mengklasifikasikan model berdasarkan cabang ilmu pengetahuan (model matematika dalam fisika, biologi, sosiologi, dll). Dapat diklasifikasikan menurut peralatan matematika yang digunakan (model berdasarkan penggunaan persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, metode stokastik, diskrit). transformasi aljabar dll.). Akhirnya, berdasarkan tugas-tugas umum pemodelan dalam berbagai ilmu, terlepas dari peralatan matematikanya, klasifikasi yang paling alami adalah:
- model deskriptif (deskriptif);
- model optimasi;
- model multikriteria;
- model permainan.
Mari kita jelaskan ini dengan contoh.
Model deskriptif (deskriptif).. Misalnya, pemodelan gerak komet yang menginvasi tata surya dilakukan untuk memprediksi jalur penerbangannya, jarak yang akan ditempuhnya dari Bumi, dll. Dalam hal ini, tujuan pemodelan bersifat deskriptif, karena tidak ada cara untuk mempengaruhi pergerakan komet atau mengubah apapun di dalamnya.
Model optimasi digunakan untuk menggambarkan proses yang dapat dipengaruhi dalam upaya mencapai tujuan tertentu. Dalam hal ini, model mencakup satu atau lebih parameter yang dapat dipengaruhi. Misalnya, ketika mengubah rezim termal di lumbung, Anda dapat menetapkan tujuan untuk memilih rezim yang akan mencapai keamanan biji-bijian maksimum, yaitu. mengoptimalkan proses penyimpanan.
Model multikriteria. Seringkali diperlukan untuk mengoptimalkan suatu proses berdasarkan beberapa parameter secara bersamaan, dan tujuannya bisa sangat kontradiktif. Misalnya, mengetahui harga pangan dan kebutuhan seseorang akan pangan, Anda perlu mengatur makan kelompok besar orang (di tentara, perkemahan musim panas anak-anak, dll.) secara fisiologis benar dan, pada saat yang sama, semurah mungkin. Jelas bahwa tujuan-tujuan ini tidak bersamaan sama sekali, yaitu. Saat melakukan pemodelan, beberapa kriteria akan digunakan, di antaranya harus dicari keseimbangannya.
Model permainan mungkin berhubungan tidak hanya dengan permainan komputer, tetapi juga untuk hal-hal yang sangat serius. Misalnya, seorang komandan sebelum berperang dengan informasi yang tidak lengkap tentara lawan harus mengembangkan rencana: dalam urutan apa untuk memperkenalkan unit-unit tertentu ke dalam pertempuran, dll., dengan mempertimbangkan dan kemungkinan reaksi musuh. Ada cabang khusus matematika modern - teori permainan - yang mempelajari metode pengambilan keputusan dalam kondisi informasi yang tidak lengkap.
DI DALAM kursus sekolah Dalam ilmu komputer, siswa menerima pemahaman awal tentang pemodelan matematika komputer sebagai bagian dari kursus dasar. Di sekolah menengah, pemodelan matematika dapat dipelajari secara mendalam dalam kursus pendidikan umum untuk kelas fisika dan matematika, serta sebagai bagian dari mata kuliah pilihan khusus.
Bentuk utama pengajaran pemodelan matematika komputer di sekolah menengah adalah ceramah, laboratorium dan kelas tes. Biasanya, pengerjaan pembuatan dan persiapan mempelajari setiap model baru membutuhkan 3-4 pelajaran. Dalam penyampaian materi, ditetapkan masalah-masalah yang harus diselesaikan siswa secara mandiri di kemudian hari, dan cara penyelesaiannya diuraikan secara umum. Pertanyaan dirumuskan, jawabannya harus diperoleh ketika menyelesaikan tugas. Diindikasikan literatur tambahan, memungkinkan Anda memperoleh informasi pendukung lebih lanjut implementasi yang sukses tugas.
Bentuk penyelenggaraan kelas pada saat mempelajari materi baru biasanya berupa ceramah. Setelah selesai pembahasan model selanjutnya siswa memiliki informasi teoretis yang diperlukan dan serangkaian tugas untuk mereka pekerjaan selanjutnya. Dalam persiapan untuk menyelesaikan suatu tugas, siswa memilih metode solusi yang sesuai dan menguji program yang dikembangkan menggunakan beberapa solusi pribadi yang terkenal. Jika ada kemungkinan kesulitan dalam menyelesaikan tugas, konsultasi diberikan, dan proposal dibuat untuk mempelajari bagian ini secara lebih rinci dalam sumber-sumber literatur.
Paling relevan dengan bagian praktis dari pelatihan pemodelan komputer adalah metode proyek. Tugas dirumuskan untuk siswa dalam bentuk proyek pendidikan dan dilaksanakan dalam beberapa pembelajaran, dengan bentuk organisasi utama adalah pekerjaan laboratorium komputer. Pemodelan pengajaran dengan menggunakan metode proyek pendidikan dapat dilaksanakan tingkat yang berbeda. Yang pertama adalah presentasi bermasalah tentang proses penyelesaian proyek yang dipimpin oleh guru. Yang kedua adalah pelaksanaan proyek oleh siswa di bawah bimbingan seorang guru. Yang ketiga adalah agar siswa menyelesaikan proyek penelitian pendidikan secara mandiri.
Hasil pekerjaan harus disajikan dalam bentuk numerik, berupa grafik dan diagram. Jika memungkinkan, proses disajikan di layar komputer secara dinamis. Setelah menyelesaikan perhitungan dan menerima hasilnya, mereka dianalisis dan dibandingkan fakta yang diketahui dari teori tersebut, keandalan dikonfirmasi dan interpretasi yang bermakna dilakukan, yang kemudian tercermin dalam laporan tertulis.
Jika hasilnya memuaskan siswa dan guru, barulah berhasil penting selesai, dan tahap terakhirnya adalah penyusunan laporan. Laporan tersebut memuat informasi teoritis singkat tentang topik yang diteliti, rumusan masalah matematis, algoritma penyelesaian dan justifikasinya, program komputer, hasil program, analisis hasil dan kesimpulan, serta daftar referensi.
Setelah semua laporan telah disusun, siswa mempresentasikan laporannya pesan singkat tentang pekerjaan yang dilakukan, pertahankan proyek mereka. Ini bentuk yang efektif laporan kelompok yang melaksanakan proyek di depan kelas, termasuk menetapkan masalah, membangun model formal, memilih metode untuk bekerja dengan model, mengimplementasikan model di komputer, mengerjakan model yang sudah jadi, menafsirkan hasil, meramalkan. Hasilnya, siswa dapat menerima dua nilai: yang pertama - untuk elaborasi proyek dan keberhasilan pertahanannya, yang kedua - untuk program, optimalitas algoritme, antarmuka, dll. Siswa juga menerima nilai selama kuis teori.
Pertanyaan penting adalah alat apa yang digunakan dalam kursus ilmu komputer sekolah untuk pemodelan matematika? Implementasi model komputer dapat dilakukan:
- menggunakan prosesor spreadsheet (biasanya MS Excel);
- dengan membuat program di bahasa tradisional pemrograman (Pascal, BASIC, dll.), serta versi modernnya (Delphi, Visual
Dasar untuk Aplikasi, dll.); - menggunakan paket khusus program aplikasi untuk memecahkan masalah matematika (MathCAD, dll.).
Di tingkat sekolah dasar, cara pertama tampaknya lebih disukai. Namun, di sekolah menengah atas Ketika pemrograman, bersama dengan pemodelan, merupakan topik utama dalam ilmu komputer, maka diinginkan untuk menggunakannya sebagai alat pemodelan. Selama proses pemrograman, rincian tersedia bagi siswa prosedur matematika; Selain itu, mereka hanya dipaksa untuk menguasainya, dan ini berkontribusi terhadapnya pendidikan matematika. Sedangkan untuk penggunaan paket perangkat lunak khusus, hal ini sesuai dalam kursus ilmu komputer khusus sebagai pelengkap alat lainnya.
Latihan :
- Buatlah diagram konsep-konsep kunci.
Komputer telah dengan kuat memasuki kehidupan kita, dan praktis tidak ada area aktivitas manusia yang tidak menggunakan komputer. Komputer sekarang banyak digunakan dalam proses pembuatan dan penelitian mesin baru, proses teknologi baru dan pencarian pilihan terbaiknya; ketika memecahkan masalah ekonomi, ketika memecahkan masalah perencanaan dan manajemen produksi di berbagai tingkatan. Pembuatan benda-benda besar dalam teknologi roket, pembuatan pesawat terbang, pembuatan kapal, serta desain bendungan, jembatan, dll. umumnya tidak mungkin dilakukan tanpa menggunakan komputer.
Untuk menggunakan komputer dalam memecahkan masalah terapan, pertama-tama masalah terapan harus “diterjemahkan” ke dalam bahasa matematika formal, yaitu. untuk objek, proses, atau sistem nyata, model matematisnya harus dibangun.
Kata “Model” berasal dari bahasa Latin modus (salinan, gambar, garis besar). Pemodelan adalah penggantian suatu benda A dengan benda lain B. Benda A yang digantikan disebut benda asli atau benda pemodelan, dan benda pengganti B disebut model. Dengan kata lain, model adalah suatu objek pengganti objek aslinya, yang menyediakan studi tentang beberapa sifat aslinya.
Tujuan pemodelan adalah untuk memperoleh, mengolah, menyajikan dan menggunakan informasi tentang objek yang berinteraksi satu sama lain dan lingkungan luar; dan model di sini berperan sebagai sarana untuk memahami sifat dan pola perilaku suatu objek.
Pemodelan matematika adalah sarana mempelajari suatu objek, proses atau sistem nyata dengan menggantinya dengan model matematika yang lebih sesuai untuk penelitian eksperimental dengan menggunakan komputer.
Pemodelan matematika adalah proses membangun dan mempelajari model matematika dari proses dan fenomena nyata. Semua ilmu alam dan ilmu sosial yang menggunakan peralatan matematika pada dasarnya terlibat dalam pemodelan matematika: mereka mengganti objek nyata dengan modelnya dan kemudian mempelajari model tersebut. Seperti halnya pemodelan apa pun, model matematika tidak sepenuhnya menggambarkan fenomena yang dipelajari, dan pertanyaan tentang penerapan hasil yang diperoleh dengan cara ini sangatlah bermakna. Model matematika adalah deskripsi realitas yang disederhanakan dengan menggunakan konsep matematika.
Model matematika mengungkapkan ciri-ciri penting suatu objek atau proses dalam bahasa persamaan dan alat matematika lainnya. Faktanya, matematika itu sendiri berutang keberadaannya pada apa yang coba direfleksikannya, yaitu. model, dalam bahasa spesifik Anda sendiri, pola-pola dunia sekitarnya.
Pada pemodelan matematika pengkajian suatu objek dilakukan melalui model yang dirumuskan dalam bahasa matematika dengan menggunakan metode matematika tertentu.
Jalur pemodelan matematika di zaman kita jauh lebih komprehensif daripada pemodelan skala penuh. Dorongan besar bagi perkembangan pemodelan matematika diberikan oleh munculnya komputer, meskipun metode itu sendiri berasal bersamaan dengan matematika ribuan tahun yang lalu.
Pemodelan matematika seperti itu tidak selalu memerlukan dukungan komputer. Setiap spesialis yang secara profesional terlibat dalam pemodelan matematika melakukan segala kemungkinan untuk mempelajari model tersebut secara analitis. Solusi Analitis(yaitu, disajikan dengan rumus yang menyatakan hasil penelitian melalui data asli) biasanya lebih mudah dan informatif daripada rumus numerik. Namun, kemampuan metode analitik untuk memecahkan masalah matematika yang kompleks sangat terbatas dan, sebagai aturan, metode ini jauh lebih kompleks daripada metode numerik.
Model matematika adalah representasi perkiraan objek, proses, atau sistem nyata, yang dinyatakan dalam istilah matematika dan mempertahankan ciri-ciri penting dari aslinya. Model matematika dalam bentuk kuantitatif, menggunakan konstruksi logis dan matematis, menggambarkan sifat dasar suatu objek, proses atau sistem, parameternya, hubungan internal dan eksternal
Semua model dapat dibagi menjadi dua kelas:
- nyata,
- sempurna.
Pada gilirannya, model nyata dapat dibagi menjadi:
- skala penuh,
- fisik,
- matematis.
Model ideal dapat dibagi menjadi:
- visual,
- ikonik,
- matematis.
Model skala penuh yang nyata adalah objek, proses, dan sistem nyata di mana eksperimen ilmiah, teknis, dan industri dilakukan.
Model fisik nyata adalah model, boneka yang mereproduksi sifat fisik aslinya (model kinematika, dinamis, hidrolik, termal, listrik, cahaya).
Model matematika nyata adalah model analog, struktural, geometris, grafis, digital dan cybernetic.
Model visual yang ideal adalah diagram, peta, gambar, grafik, grafik, analog, model struktur dan geometris.
Model tanda yang ideal adalah simbol, alfabet, bahasa pemrograman, notasi terurut, notasi topologi, representasi jaringan.
Model matematika yang ideal adalah model analitis, fungsional, simulasi, dan gabungan.
Dalam klasifikasi di atas, beberapa model memiliki interpretasi ganda (misalnya analog). Semua model, kecuali model skala penuh, dapat digabungkan menjadi satu kelas model mental, karena mereka adalah produk pemikiran abstrak manusia.
Elemen Teori Permainan
Secara umum, menyelesaikan suatu permainan adalah tugas yang agak sulit, dan kompleksitas masalah serta jumlah perhitungan yang diperlukan untuk menyelesaikannya meningkat tajam seiring dengan bertambahnya . Namun, kesulitan-kesulitan ini tidak bersifat mendasar dan hanya terkait dengan jumlah perhitungan yang sangat besar, yang dalam beberapa kasus mungkin menjadi mustahil. Aspek prinsip dari metode menemukan solusi tetap berlaku bagi siapa pun yang sama.
Mari kita ilustrasikan hal ini dengan contoh permainan. Mari kita beri interpretasi geometris - sudah menjadi interpretasi spasial. Ketiga strategi kita akan diwakili oleh tiga titik pada bidang tersebut ; yang pertama terletak di titik asal (Gbr. 1). yang kedua dan ketiga - di sumbu Oh Dan kamu pada jarak 1 dari awal.
Sumbu I-I, II-II dan III-III ditarik melalui titik-titik yang tegak lurus bidang . Pada sumbu I-I adalah imbalan atas strategi tersebut; pada sumbu II-II dan III-III adalah imbalan atas strategi tersebut. Setiap strategi musuh akan diwakili oleh sebuah bidang yang dipotong pada sumbu I-I, II-II dan III-III, segmen-segmen yang sama dengan kemenangannya
dengan strategi dan strategi yang tepat . Setelah menyusun semua strategi musuh, kita memperoleh sekumpulan bidang di atas segitiga (Gbr. 2).
Untuk keluarga ini, Anda juga dapat membuat batas bawah untuk pembayarannya, seperti yang kita lakukan dalam kasus ini, dan temukan pada batas ini titik N dengan ketinggian maksimum pada bidang tersebut. . Ketinggian ini akan menjadi harga permainannya.
Frekuensi strategi dalam strategi optimal akan ditentukan oleh koordinat (x, kamu) poin N, yaitu:
Namun konstruksi geometris seperti itu, bahkan untuk sebuah kasus, tidak mudah diterapkan dan membutuhkan banyak waktu dan tenaga imajinasi. Dalam kasus umum permainan, ia dipindahkan ke ruang -dimensi dan kehilangan kejelasan, meskipun penggunaan terminologi geometris dalam beberapa kasus mungkin berguna. Saat menyelesaikan permainan dalam praktik, akan lebih mudah untuk menggunakan bukan analogi geometris, tetapi metode analisis terhitung, terutama karena metode ini adalah satu-satunya yang cocok untuk menyelesaikan masalah di komputer.
Semua metode ini pada dasarnya bertujuan untuk memecahkan masalah melalui uji coba yang berurutan, tetapi mengurutkan urutan uji coba memungkinkan Anda membangun algoritme yang mengarah pada solusi dengan cara yang paling ekonomis.
Di sini kita akan melihat secara singkat salah satu metode perhitungan untuk menyelesaikan permainan - menggunakan apa yang disebut metode pemrograman linier.
Untuk melakukan ini, pertama-tama kami memberikan rumusan umum tentang masalah pencarian solusi permainan. Biarkan permainan diberikan T strategi pemain A Dan N strategi pemain DI DALAM dan matriks pembayaran diberikan
Diperlukan solusi permainan, yaitu dua strategi campuran optimal pemain A dan B
dimana (beberapa angka dan mungkin sama dengan nol).
Strategi optimal kami S*A harus memberi kita keuntungan yang tidak kurang dari , untuk setiap perilaku musuh, dan keuntungan yang setara dengan , untuk perilaku optimalnya (strategi). S*B).Strategi serupa S*B harus memberikan kerugian kepada musuh tidak lebih besar dari , untuk setiap perilaku kita dan sama untuk perilaku optimal kita (strategi S*A).
Harga permainan masuk pada kasus ini tidak kami ketahui; kita akan berasumsi bahwa itu sama dengan suatu bilangan positif. Dengan meyakini hal ini, kita tidak melanggar pemikiran umum; Agar > 0, maka sudah cukup jelas bahwa semua elemen matriksnya non-negatif. Hal ini selalu dapat dicapai dengan menambahkan nilai positif L yang cukup besar ke elemen; dalam hal ini, harga permainan akan meningkat sebesar L, namun solusinya tidak akan berubah.
Mari kita pilih strategi optimal kita S*A. Maka hasil rata-rata kita berdasarkan strategi lawan akan sama dengan:
Strategi optimal kami S*A mempunyai sifat yang, untuk setiap tingkah laku musuh, memberikan keuntungan tidak kurang dari; oleh karena itu, angka mana pun tidak boleh kurang dari . Kami mendapatkan sejumlah kondisi:
(1)
Mari kita bagi pertidaksamaan (1) dengan nilai positif dan menyatakan:
Maka kondisi (1) akan ditulis sebagai
(2)
di mana adalah bilangan non-negatif. Karena 
jumlahnya memenuhi syarat
Kami ingin menjamin kemenangan kami setinggi mungkin; jelas, pada saat yang sama bagian kanan persamaan (3) mengambil nilai minimum.
Dengan demikian, masalah menemukan solusi untuk permainan ini adalah sebagai berikut masalah matematika: menentukan besaran non-negatif , kondisi yang memuaskan (2), sehingga jumlahnya
sangat minim.
Biasanya, ketika menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pencarian nilai ekstrem (maksimum dan minimum), fungsinya diturunkan dan turunannya ditetapkan sama dengan nol. Tetapi teknik seperti itu tidak ada gunanya dalam kasus ini, karena fungsinya , yang mana perlu minimalkan, linier, dan turunannya terhadap semua argumen sama dengan satu, yaitu tidak hilang di mana pun. Akibatnya, fungsi maksimum dicapai di suatu tempat pada batas rentang perubahan argumen, yang ditentukan oleh persyaratan argumen dan kondisi non-negatif (2). Teknik mencari nilai ekstrim dengan menggunakan diferensiasi juga tidak cocok dalam kasus di mana batas maksimum kemenangan yang lebih rendah (atau minimum atas) ditentukan untuk menyelesaikan permainan, seperti yang kami lakukan. misalnya, mereka melakukannya saat menyelesaikan permainan. intinya terdiri dari bagian-bagian garis lurus, dan maksimum dicapai bukan pada titik yang turunannya sama dengan nol (tidak ada titik seperti itu sama sekali), tetapi pada batas interval atau pada titik potong bagian lurus .
Untuk memecahkan masalah-masalah yang cukup sering ditemui dalam praktek, telah dikembangkan peralatan khusus dalam matematika pemrograman linier.
Masalah program linier dirumuskan sebagai berikut.
Mengingat sistemnya persamaan linear:
(4)
Diperlukan untuk menemukan nilai non-negatif dari besaran yang memenuhi kondisi (4) dan pada saat yang sama meminimalkan nilai homogen yang diberikan fungsi linear besaran (bentuk linier):
Sangat mudah untuk melihat bahwa masalah teori permainan yang diajukan di atas adalah kasus khusus dari masalah pemrograman linier 
Sepintas, kondisi (2) tampak tidak ekuivalen dengan kondisi (4), karena alih-alih tanda sama dengan, syarat tersebut mengandung tanda pertidaksamaan. Namun, tanda pertidaksamaan dapat dihilangkan dengan mudah dengan memasukkan variabel non-negatif dummy baru dan menuliskan kondisi (2) dalam bentuk:
(5)
Bentuk Φ yang perlu diminimalkan adalah sama dengan
Peralatan pemrograman linier memungkinkan untuk memilih nilai menggunakan sejumlah kecil sampel yang berurutan , memenuhi persyaratan yang dinyatakan. Untuk lebih jelasnya, di sini kami akan mendemonstrasikan penggunaan peralatan ini secara langsung pada materi penyelesaian permainan tertentu.
Model matematika b adalah representasi matematis dari realitas.
Pemodelan matematika- proses membangun dan mempelajari model matematika.
Semua ilmu alam dan ilmu sosial yang menggunakan peralatan matematika pada dasarnya terlibat dalam pemodelan matematika: mereka mengganti objek nyata dengan model matematikanya dan kemudian mempelajari model matematika tersebut.
Definisi.
Tidak ada definisi yang bisa sepenuhnya benar-benar menutupi kegiatan yang ada pada pemodelan matematika. Meskipun demikian, definisi berguna karena berupaya menyoroti fitur-fitur yang paling penting.
Pengertian model menurut A. A. Lyapunov: Pemodelan adalah praktik tidak langsung atau penelitian teoritis objek, di mana bukan objek itu sendiri yang menarik perhatian kita yang dipelajari secara langsung, tetapi suatu sistem tambahan buatan atau alami:
terletak dalam korespondensi objektif tertentu dengan objek yang dapat dikenali;
mampu menggantikannya dalam hal-hal tertentu;
yang bila dipelajari pada akhirnya memberikan informasi tentang objek yang dimodelkan.
Menurut buku teks oleh Sovetov dan Yakovlev: “model adalah objek pengganti objek aslinya, yang menyediakan studi tentang beberapa properti dari objek aslinya.” “Penggantian suatu benda dengan benda lain untuk memperoleh informasi tentang sifat-sifat terpenting dari benda asal dengan menggunakan suatu benda model disebut pemodelan.” “Yang kami maksud dengan pemodelan matematika adalah proses menetapkan korespondensi antara suatu benda nyata tertentu dan suatu benda matematika, yang disebut model matematika, dan studi tentang model ini, yang memungkinkan seseorang memperoleh ciri-ciri dari benda nyata yang bersangkutan. Jenis model matematika bergantung pada sifat objek nyata dan tugas mempelajari objek serta keandalan dan keakuratan yang diperlukan untuk memecahkan masalah ini.”
Menurut Samarsky dan Mikhailov, model matematika adalah “setara” suatu objek, yang mencerminkan bentuk matematika sifat-sifatnya yang paling penting: hukum-hukum yang dipatuhinya, hubungan-hubungan yang melekat pada bagian-bagian penyusunnya, dll. Ia ada dalam triad “model-algoritma-program”. Setelah menciptakan triad “model-algorithm-program”, peneliti menerima alat universal, fleksibel dan murah, yang pertama kali di-debug dan diuji dalam eksperimen komputasi percobaan. Setelah kecukupan triad terhadap objek aslinya ditetapkan, “eksperimen” yang beragam dan terperinci dilakukan dengan model, memberikan semua sifat dan karakteristik kualitatif dan kuantitatif yang diperlukan dari objek tersebut.
Menurut monografi Myshkis: “Mari kita beralih ke definisi umum. Misalkan kita akan menjelajahi beberapa himpunan S properti dari objek nyata a dengan
menggunakan matematika. Untuk melakukan ini, kita memilih "objek matematika" a" - sistem persamaan, atau hubungan aritmatika, atau bangun geometri, atau kombinasi keduanya, dll. - yang kajiannya melalui matematika harus menjawab pertanyaan-pertanyaan yang diajukan tentang sifat-sifat S. Dalam kondisi ini a" disebut model matematika suatu benda a relatif terhadap himpunan S sifat-sifatnya."
Menurut Sevostyanov A.G.: “Model matematika adalah sekumpulan hubungan matematika, persamaan, pertidaksamaan, dll. yang menggambarkan pola dasar yang melekat dalam proses, objek atau sistem yang sedang dipelajari.”
Agak kurang definisi umum model matematika berdasarkan idealisasi “input-output-state” yang dipinjam dari teori automata memberikan Wiktionary: “Representasi matematis abstrak dari suatu proses, perangkat, atau ide teoretis; ia menggunakan serangkaian variabel untuk mewakili masukan, keluaran, dan keadaan internal, serta serangkaian persamaan dan ketidaksetaraan untuk menggambarkan interaksinya.”
Terakhir, definisi model matematika yang paling ringkas adalah: “Persamaan yang mengungkapkan suatu gagasan.”
Klasifikasi formal model.
Klasifikasi formal model didasarkan pada klasifikasi alat matematika yang digunakan. Seringkali dikonstruksikan dalam bentuk dikotomi. Misalnya, salah satu rangkaian dikotomi yang populer:
Model linier atau nonlinier; Sistem terkonsentrasi atau terdistribusi; deterministik atau stokastik; Statis atau dinamis; Diskrit atau kontinu.
dan seterusnya. Setiap model yang dibangun bersifat linier atau nonlinier, deterministik atau stokastik,... Tentu saja, tipe campuran: terkonsentrasi di satu sisi, didistribusikan di sisi lain, dll.
Klasifikasi menurut cara objek direpresentasikan.
Seiring dengan klasifikasi formal, model berbeda dalam cara mereka merepresentasikan suatu objek:
Model struktural merepresentasikan suatu objek sebagai suatu sistem dengan struktur dan mekanisme fungsinya sendiri. Model fungsional jangan menggunakan representasi seperti itu dan hanya mencerminkan perilaku objek yang dirasakan secara eksternal. Dalam ekspresi ekstremnya, model ini juga disebut model “kotak hitam”. Jenis model gabungan juga dimungkinkan, yang terkadang disebut model “kotak abu-abu”.
Hampir semua penulis yang menjelaskan proses pemodelan matematika menunjukkan bahwa pertama-tama struktur ideal khusus, model yang bermakna, dibangun. Tidak ada terminologi yang ditetapkan di sini, dan penulis lain menyebutnya demikian objek ideal model konseptual, model spekulatif atau pra-model. Dalam hal ini konstruksi matematika akhir disebut model formal atau sekadar model matematika yang diperoleh sebagai hasil formalisasi model bermakna tersebut. Konstruksi model yang bermakna dapat dilakukan dengan menggunakan seperangkat idealisasi yang sudah jadi, seperti dalam mekanika, di mana pegas ideal, benda tegar, pendulum ideal, media elastis, dll menyediakan yang sudah jadi. elemen struktural untuk pemodelan yang bermakna. Namun, dalam bidang pengetahuan di mana tidak ada teori formal yang lengkap, penciptaan model yang bermakna menjadi jauh lebih sulit.
Karya R. Peierls memberikan klasifikasi model matematika yang digunakan dalam fisika dan, lebih luas lagi, dalam ilmu pengetahuan Alam. Dalam buku karya A. N. Gorban dan R. G. Khlebopros, klasifikasi ini dianalisis dan diperluas. Klasifikasi ini difokuskan terutama pada tahap membangun model yang bermakna.
Model-model ini “mewakili gambaran tentatif suatu fenomena, dan penulisnya percaya akan kemungkinannya atau bahkan menganggapnya benar.” Menurut R. Peierls, misalnya model tata surya menurut Ptolemeus dan model Copernicus, model atom Rutherford, dan model Big Bang.
Tidak ada hipotesis dalam sains yang dapat dibuktikan untuk selamanya. Richard Feynman merumuskannya dengan sangat jelas:
“Kita selalu mempunyai kesempatan untuk menyangkal sebuah teori, namun perlu diingat bahwa kita tidak akan pernah bisa membuktikan kebenarannya. Anggaplah Anda telah mengajukan hipotesis yang berhasil, menghitung ke mana hipotesis tersebut mengarah, dan menemukan bahwa semua konsekuensinya dikonfirmasi secara eksperimental. Apakah ini berarti teori Anda benar? Tidak, itu berarti Anda gagal membantahnya.”
Jika model tipe pertama dibangun, ini berarti model tersebut untuk sementara diakui sebagai kebenaran dan seseorang dapat berkonsentrasi pada masalah lain. Namun hal ini tidak bisa menjadi poin dalam penelitian, melainkan hanya jeda sementara: status model tipe pertama hanya bisa bersifat sementara.
Model fenomenologi memuat mekanisme untuk menggambarkan suatu fenomena. Namun, mekanisme ini tidak cukup meyakinkan, tidak dapat dikonfirmasi secara memadai oleh data yang tersedia, atau tidak sesuai dengan teori yang ada dan akumulasi pengetahuan tentang objek tersebut. Oleh karena itu, model fenomenologis berstatus solusi sementara. Jawabannya diyakini masih belum diketahui dan pencarian “mekanisme sebenarnya” harus terus dilakukan. Peierls mencakup, misalnya, model kalori dan model kuark partikel elementer sebagai tipe kedua.
Peran model dalam penelitian dapat berubah seiring berjalannya waktu; mungkin saja data dan teori baru mengkonfirmasi model fenomenologis dan ditingkatkan kualitasnya
status hipotesis. Demikian pula, pengetahuan baru secara bertahap dapat bertentangan dengan hipotesis jenis pertama, dan hipotesis tersebut dapat diterjemahkan ke dalam hipotesis jenis kedua. Dengan demikian, model quark secara bertahap berpindah ke kategori hipotesis; atomisme dalam fisika muncul sebagai solusi sementara, tetapi seiring berjalannya sejarah, atomisme menjadi tipe pertama. Namun model eter telah berkembang dari tipe 1 ke tipe 2, dan sekarang berada di luar ilmu pengetahuan.
Ide penyederhanaan sangat populer saat membuat model. Namun penyederhanaan hadir dalam berbagai bentuk. Peierls mengidentifikasi tiga jenis penyederhanaan dalam pemodelan.
Jika persamaan dapat dibangun yang menggambarkan sistem yang diteliti, bukan berarti persamaan tersebut dapat diselesaikan bahkan dengan bantuan komputer. Teknik umum dalam hal ini adalah penggunaan perkiraan. Diantaranya adalah model respon linier. Persamaan diganti dengan persamaan linier. Contoh standarnya adalah hukum Ohm.
Jika kita menggunakan model gas ideal untuk mendeskripsikan gas yang cukup dijernihkan, maka ini adalah model tipe 3. Pada kepadatan gas yang lebih tinggi, akan berguna juga untuk membayangkan lebih banyak lagi situasi sederhana dengan gas ideal untuk pemahaman dan penilaian kualitatif, tapi ini sudah tipe 4.
Dalam model tipe 4, detail yang dapat mempengaruhi hasil secara signifikan dan tidak selalu terkendali akan dibuang. Persamaan yang sama dapat berfungsi sebagai model tipe 3 atau 4, bergantung pada fenomena yang digunakan model untuk dipelajari. Jadi, jika model respons linier digunakan tanpa adanya model yang lebih kompleks, maka model tersebut sudah merupakan model linier fenomenologis, dan termasuk dalam tipe 4 berikut.
Contoh: penerapan model gas ideal pada gas non-ideal, persamaan keadaan van der Waals, sebagian besar model keadaan padat, cair dan fisika nuklir. Jalur dari deskripsi mikro ke sifat-sifat benda yang terdiri dari sejumlah besar partikel sangatlah panjang. Banyak detail yang harus dibuang. Hal ini mengarah pada model tipe 4.
Model heuristik hanya mempertahankan kesamaan kualitatif dengan kenyataan dan membuat prediksi hanya “dalam urutan besarnya”. Contoh tipikalnya adalah perkiraan panjang sedang jalur bebas dalam teori kinetik. Memberikan rumus sederhana untuk koefisien viskositas, difusi, konduktivitas termal, sesuai dengan kenyataan dalam urutan besarnya.
Namun ketika membangun sebuah fisika baru, tidak mungkin untuk segera memperoleh model yang setidaknya memberikan gambaran kualitatif tentang objek - model tipe kelima. Dalam hal ini, suatu model sering digunakan dengan analogi, yang mencerminkan realitas setidaknya dalam beberapa detail.
R. Peierls memberikan sejarah penggunaan analogi dalam artikel pertama W. Heisenberg tentang sifat gaya nuklir. “Hal ini terjadi setelah penemuan neutron, dan meskipun W. Heisenberg sendiri memahami bahwa inti atom dapat digambarkan terdiri dari neutron dan proton, dia tetap tidak dapat menghilangkan gagasan bahwa neutron pada akhirnya harus terdiri dari proton dan proton. sebuah elektron. Dalam hal ini, muncul analogi antara interaksi dalam sistem neutron-proton dan interaksi atom hidrogen dan proton. Analogi inilah yang membawanya pada kesimpulan bahwa harus ada gaya pertukaran interaksi antara neutron dan proton, serupa dengan gaya pertukaran pada sistem H - H yang disebabkan oleh transisi elektron antara dua proton. ... Belakangan, adanya gaya pertukaran interaksi antara neutron dan proton tetap terbukti, meskipun belum sepenuhnya habis
interaksi antara dua partikel... Namun, mengikuti analogi yang sama, W. Heisenberg sampai pada kesimpulan bahwa tidak ada gaya nuklir interaksi antara dua proton dan mendalilkan tolakan antara dua neutron. Kedua temuan terakhir ini bertentangan dengan penelitian terbaru."
A. Einstein adalah salah satu ahli eksperimen pemikiran yang hebat. Ini salah satu eksperimennya. Itu ditemukan di masa mudanya dan akhirnya mengarah pada pembangunan teori relativitas khusus. Mari kita asumsikan itu di fisika klasik kita bergerak di belakang gelombang cahaya dengan kecepatan cahaya. Kita akan mengamati medan elektromagnetik yang berubah secara periodik dalam ruang dan konstan terhadap waktu. Menurut persamaan Maxwell, hal ini tidak mungkin terjadi. Oleh karena itu, Einstein muda menyimpulkan: hukum alam berubah ketika sistem referensi berubah, atau kecepatan cahaya tidak bergantung pada sistem referensi. Dia memilih yang kedua - pilihan yang lebih indah. Eksperimen pemikiran Einstein terkenal lainnya adalah Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen.
Inilah tipe 8, yang tersebar luas dalam model matematika sistem biologis.
Ini terlalu eksperimen pikiran dengan entitas imajiner yang menunjukkan bahwa fenomena yang diduga konsisten dengan prinsip dasar dan konsisten secara internal. Inilah perbedaan utama dari model tipe 7, yang mengungkapkan kontradiksi tersembunyi.
Salah satu eksperimen yang paling terkenal adalah geometri Lobachevsky. Contoh lainnya adalah produksi massal model kinetik formal dari getaran kimia dan biologi, gelombang otomatis, dll. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen disusun sebagai model tipe 7 untuk menunjukkan ketidakkonsistenan mekanika kuantum. Dengan cara yang sama sekali tidak direncanakan, akhirnya berubah menjadi model tipe 8 - sebuah demonstrasi kemungkinan teleportasi informasi kuantum.
Perhatikan suatu sistem mekanis yang terdiri dari pegas yang diikatkan pada salah satu ujungnya dan sebuah massa m yang diikatkan pada ujung bebas pegas. Kita asumsikan bahwa beban hanya dapat bergerak searah sumbu pegas. Mari kita membangun model matematika dari sistem ini. Kita akan menggambarkan keadaan sistem dengan jarak x dari pusat beban ke posisi setimbangnya. Mari kita gambarkan interaksi pegas dan beban menggunakan hukum Hooke dan kemudian gunakan hukum kedua Newton untuk menyatakannya dalam bentuk persamaan diferensial:
dimana artinya turunan kedua x terhadap waktu..
Persamaan yang dihasilkan menggambarkan model matematika dari sistem fisik yang dipertimbangkan. Model ini disebut "osilator harmonik".
Menurut klasifikasi formal, model ini bersifat linier, deterministik, dinamis, terkonsentrasi, kontinu. Dalam proses pembangunannya, kami membuat banyak asumsi yang mungkin tidak terpenuhi dalam kenyataan.
Sehubungan dengan kenyataan, ini paling sering merupakan model penyederhanaan tipe 4, karena beberapa fitur universal yang penting dihilangkan. Untuk beberapa perkiraan, model seperti itu menggambarkan sistem mekanis nyata dengan cukup baik
faktor-faktor yang dibuang memiliki dampak yang dapat diabaikan pada perilakunya. Namun, model tersebut dapat disempurnakan dengan mempertimbangkan beberapa faktor berikut. Hal ini akan menghasilkan model baru dengan penerapan yang lebih luas.
Namun, saat menyempurnakan model, kompleksitasnya penelitian matematika dapat meningkat secara signifikan dan membuat model tersebut hampir tidak berguna. Seringkali lebih model sederhana memungkinkan Anda menjelajah lebih baik dan lebih dalam sistem nyata, semakin kompleks.
Jika kita menerapkan model osilator harmonik pada objek yang jauh dari fisika, status substantifnya mungkin berbeda. Misalnya, ketika menerapkan model ini pada populasi biologis, kemungkinan besar model tersebut harus diklasifikasikan sebagai analogi tipe 6.
Model keras dan lunak.
Osilator harmonik adalah contoh dari apa yang disebut model “keras”. Hal ini diperoleh sebagai hasil idealisasi yang kuat terhadap sistem fisik yang nyata. Untuk mengatasi masalah penerapannya, penting untuk memahami betapa pentingnya faktor-faktor yang telah kita abaikan. Dengan kata lain, perlu dipelajari model “lunak”, yang diperoleh dengan sedikit gangguan terhadap model “keras”. Misalnya dapat diberikan dengan persamaan berikut:
Berikut adalah fungsi tertentu yang dapat memperhitungkan gaya gesekan atau ketergantungan koefisien kekakuan pegas pada derajat regangannya, adalah beberapa parameter kecil. Bentuk eksplisit dari fungsi f us in saat ini tidak tertarik. Jika kita membuktikan bahwa perilaku model lunak pada dasarnya tidak berbeda dengan perilaku model keras, maka masalahnya akan direduksi menjadi mempelajari model keras. Jika tidak, penerapan hasil yang diperoleh dari mempelajari model kaku akan memerlukan penelitian tambahan. Misalnya, solusi persamaan osilator harmonik adalah fungsi bentuk
Artinya, osilasi dengan amplitudo konstan. Apakah berarti osilator nyata akan berosilasi tanpa batas dengan amplitudo konstan? Tidak, karena jika kita mempertimbangkan sistem dengan gesekan kecil, kita akan mendapatkan osilasi teredam. Perilaku sistem telah berubah secara kualitatif.
Jika suatu sistem mempertahankan perilaku kualitatifnya di bawah gangguan kecil, maka sistem tersebut dikatakan stabil secara struktural. Osilator harmonik adalah contoh sistem yang tidak stabil secara struktural. Namun, model ini dapat digunakan untuk mempelajari proses dalam jangka waktu terbatas.
Fleksibilitas model.
Model matematika yang paling penting biasanya memiliki sifat universalitas yang penting: fenomena nyata yang berbeda secara fundamental dapat dijelaskan dengan model matematika yang sama. Misalnya, osilator harmonik tidak hanya menggambarkan perilaku beban pada pegas, tetapi juga proses osilasi lainnya, seringkali sifatnya sangat berbeda: osilasi kecil pendulum, fluktuasi tingkat cairan dalam bejana berbentuk U. , atau perubahan kekuatan arus dalam rangkaian osilasi. Jadi, dengan mempelajari satu model matematika, kita segera mempelajari seluruh kelas fenomena yang dijelaskan oleh model tersebut. Isomorfisme hukum yang diungkapkan oleh model matematika di berbagai segmen pengetahuan ilmiah inilah yang mengilhami Ludwig von Bertalanffy untuk menciptakan “Teori Umum Sistem”.
Masalah pemodelan matematika langsung dan terbalik
Ada banyak masalah yang terkait dengan pemodelan matematika. Pertama, Anda perlu membuat diagram dasar objek yang dimodelkan, mereproduksinya dalam kerangka idealisasi ilmu ini. Dengan demikian, gerbong kereta api berubah menjadi sistem pelat dan lebih kompleks
tubuh dari bahan yang berbeda, setiap bahan ditentukan sebagai idealisasi mekanis standarnya, setelah itu persamaan dibuat, beberapa detail dibuang karena tidak penting, perhitungan dibuat, dibandingkan dengan pengukuran, model disempurnakan, dan sebagainya. Namun, untuk mengembangkan teknologi pemodelan matematika, ada gunanya membongkar proses ini menjadi komponen-komponen utamanya.
Secara tradisional, ada dua kelompok masalah utama yang terkait dengan model matematika: langsung dan invers.
Masalah langsung: struktur model dan semua parameternya diasumsikan diketahui, tugas utama- melakukan studi terhadap model yang akan diekstraksi pengetahuan yang bermanfaat tentang objek tersebut. Berapakah beban statis yang dapat ditahan jembatan tersebut? Bagaimana ia bereaksi terhadap beban dinamis, bagaimana pesawat mengatasi penghalang suara, apakah ia akan hancur karena bergetar - ini adalah contoh umum dari masalah langsung. Menetapkan permasalahan langsung yang benar memerlukan keahlian khusus. Jika tidak ditentukan pertanyaan yang tepat, maka jembatan tersebut dapat runtuh meskipun model yang baik untuk perilakunya telah dibangun. Jadi, pada tahun 1879, sebuah jembatan logam yang melintasi Sungai Tay runtuh di Inggris Raya, perancang yang membuat model jembatan tersebut, menghitungnya memiliki margin keamanan 20 kali lipat untuk aksi muatan, tetapi lupa tentang angin. terus-menerus bertiup di tempat-tempat itu. Dan setelah satu setengah tahun, itu runtuh.
DI DALAM Dalam kasus yang paling sederhana, permasalahan langsungnya sangat sederhana dan direduksi menjadi solusi eksplisit persamaan ini.
Masalah invers: himpunan diketahui model yang memungkinkan, Anda perlu memilih model tertentu berdasarkan data tambahan tentang objek tersebut. Paling sering, struktur model diketahui, dan beberapa perlu ditentukan parameter yang tidak diketahui. informasi tambahan dapat terdiri dari data empiris tambahan, atau persyaratan untuk objek. Data tambahan mungkin diperoleh secara independen dari proses penyelesaian masalah invers atau merupakan hasil eksperimen yang direncanakan secara khusus selama penyelesaian.
Salah satu contoh pertama dari solusi ahli untuk masalah invers dengan maksimal penggunaan penuh data yang tersedia adalah metode yang dibuat oleh I. Newton untuk merekonstruksi gaya gesekan dari osilasi teredam yang diamati.
DI DALAM Contoh lainnya adalah statistik matematika. Tugas ilmu ini adalah mengembangkan metode pencatatan, deskripsi dan analisis data observasi dan eksperimen untuk membangun model probabilistik dari fenomena acak massal. Itu. jumlah model yang mungkin terbatas model probabilistik. Dalam tugas tertentu, kumpulan model lebih terbatas.
Sistem pemodelan komputer.
Untuk mendukung pemodelan matematika, sistem matematika komputer telah dikembangkan, misalnya Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, dll. Mereka memungkinkan Anda membuat model formal dan blok dari proses dan perangkat sederhana dan kompleks serta dengan mudah mengubah parameter model selama pemodelan. Model blok diwakili oleh blok, yang himpunan dan hubungannya ditentukan oleh diagram model.
Contoh tambahan.
Tingkat pertumbuhan sebanding dengan jumlah penduduk saat ini. Dia dijelaskan persamaan diferensial
dimana α adalah parameter tertentu yang ditentukan oleh selisih antara angka kelahiran dan angka kematian. Solusi persamaan ini adalah Fungsi eksponensial x = x0 e. Jika angka kelahiran melebihi angka kematian, maka jumlah penduduk akan meningkat secara tidak terbatas dan sangat cepat. Jelas bahwa pada kenyataannya hal tersebut tidak dapat terjadi karena keterbatasan
sumber daya. Ketika ukuran populasi kritis tertentu tercapai, model tersebut tidak lagi memadai karena tidak memperhitungkan sumber daya yang terbatas. Penyempurnaan model Malthus dapat berupa model logistik yang dijelaskan dengan persamaan diferensial Verhulst
dimana xs adalah ukuran populasi “ekuilibrium” dimana angka kelahiran diimbangi dengan angka kematian. Ukuran populasi dalam model seperti itu cenderung pada nilai keseimbangan xs, dan perilaku ini stabil secara struktural.
Misalkan ada dua jenis hewan yang hidup di suatu daerah: kelinci dan rubah. Misalkan banyaknya kelinci adalah x, banyaknya rubah adalah y. Dengan menggunakan model Malthus dengan perubahan yang diperlukan dengan mempertimbangkan konsumsi kelinci oleh rubah, kita sampai pada sistem berikut, yang diberi nama model Lotka-Volterra:
Sistem ini mempunyai keadaan setimbang jika jumlah kelinci dan rubah tetap. Penyimpangan dari keadaan ini menyebabkan fluktuasi jumlah kelinci dan rubah, mirip dengan fluktuasi osilator harmonik. Seperti halnya osilator harmonik, perilaku ini tidak stabil secara struktural: perubahan kecil pada model dapat menyebabkan perubahan perilaku secara kualitatif. Misalnya, keadaan keseimbangan bisa menjadi stabil, dan fluktuasi jumlah akan padam. Situasi sebaliknya juga mungkin terjadi, ketika penyimpangan kecil apa pun dari posisi keseimbangan akan menimbulkan konsekuensi bencana, hingga kepunahan total salah satu tipenya. Model Volterra-Lotka tidak menjawab pertanyaan tentang skenario mana yang sedang direalisasikan: diperlukan penelitian tambahan di sini.
