Rumus rata-rata persegi panjang untuk menghitung integral tertentu. Integrasi numerik. Aturan untuk memasukkan suatu fungsi

Tugas pendidikan:

• Tujuan didaktik. Perkenalkan siswa pada metode perhitungan perkiraan integral tertentu.
• Tujuan pendidikan. Topik pelajaran ini sangat penting secara praktis dan mendidik. Cara paling sederhana untuk mendekati gagasan integrasi numerik adalah dengan mengandalkan definisi integral tertentu sebagai limit jumlah integral. Misalnya, jika kita mengambil partisi segmen yang cukup kecil [ A; B] dan buatlah jumlah integralnya, maka nilainya dapat diambil kira-kira sebagai nilai integral yang bersesuaian. Pada saat yang sama, penting untuk melakukan perhitungan dengan cepat dan benar menggunakan teknologi komputer.

Pengetahuan dan keterampilan dasar. Memahami metode perkiraan menghitung integral tertentu dengan menggunakan rumus persegi panjang dan trapesium.

Menyediakan kelas

• selebaran. Kartu-tugas untuk pekerjaan mandiri.
• TSO. Multi-proyektor, PC, laptop.
• peralatan TSO. Presentasi: “Makna Geometris Turunan”, “Metode Persegi Panjang”, “Metode Trapesium”. (Presentasi dapat diperoleh dari penulis).
• Peralatan komputasi: PC, mikrokalkulator.
• Pedoman

Jenis pelajaran. Praktis terpadu.

Motivasi aktivitas kognitif siswa. Seringkali kita perlu menghitung integral tertentu yang antiturunannya tidak mungkin ditemukan. Dalam hal ini, metode perkiraan untuk menghitung integral tertentu digunakan. Terkadang metode perkiraan juga digunakan untuk integral yang “diambil”, jika perhitungan menggunakan rumus Newton-Leibniz tidak rasional. Ide perhitungan perkiraan integral adalah bahwa kurva tersebut digantikan oleh kurva baru yang cukup “dekat” dengannya. Bergantung pada pilihan kurva baru, satu atau beberapa rumus perkiraan integrasi dapat digunakan.

Urutan pelajaran.

1. Rumus persegi panjang.
2. Rumus trapesium.
3. Solusi latihan.

Rencana belajar

1. Pengulangan latar belakang pengetahuan siswa.

Ulangi dengan siswa: rumus dasar integrasi, intisari metode integrasi yang dipelajari, makna geometris integral tertentu.

1. Melakukan kerja praktek.

Solusi dari banyak hal masalah teknis turun ke perhitungan integral tertentu, yang ekspresi pastinya rumit, memerlukan perhitungan yang memakan waktu dan tidak selalu dapat dibenarkan dalam praktiknya. Di sini nilai perkiraannya cukup memadai.

Misalnya, Anda perlu menghitung luas, dibatasi oleh sebuah garis, persamaannya tidak diketahui. Dalam hal ini, Anda bisa menggantinya garis ini lebih sederhana yang persamaannya diketahui. Luas trapesium lengkung yang diperoleh dengan cara ini diambil sebagai nilai perkiraan integral yang diinginkan.

Metode perkiraan yang paling sederhana adalah metode persegi panjang. Secara geometris, ide cara menghitung integral tentu dengan menggunakan rumus persegi panjang adalah luas trapesium lengkung ABCD diganti dengan jumlah luas persegi panjang yang salah satu sisinya sama dengan , dan sisi lainnya - .

Jika kita menjumlahkan luas persegi panjang yang menunjukkan luas trapesium lengkung dengan kerugian [Gambar 1], kita mendapatkan rumus:

[Gambar 1]

maka kita mendapatkan rumusnya:

Jika berlebihan

[Gambar 2],

Itu

Nilai-nilai kamu 0, kamu 1,..., kamu n ditemukan dari persamaan , k = 0, 1..., n.Rumus ini disebut rumus persegi panjang dan memberikan hasil perkiraan. Dengan peningkatan N hasilnya menjadi lebih akurat.

Jadi, untuk mencari perkiraan nilai integral, Anda memerlukan:

Untuk menemukan kesalahan perhitungan, Anda perlu menggunakan rumus:

Contoh 1. Hitung menggunakan rumus persegi panjang. Temukan kesalahan perhitungan absolut dan relatif.

Mari kita bagi segmennya [ A, B] menjadi beberapa (misalnya, 6) bagian yang sama. Kemudian sebuah = 0, b = 3 ,

x k = a + k x
X 0 = 2 + 0 = 2
X 1 = 2 + 1 = 2,5
X 2 = 2 + 2 =3
X 3 = 2 + 3 = 3
X 4 = 2 + 4 = 4
X 5 = 2 + 5 = 4,5

F(X 0) = 2 2 = 4
F (X 1) = 2 ,5 2 = 6,25
F (X 2) = 3 2 = 9
F (X 3) = 3,5 2 = 12,25
F (X 4) = 4 2 = 16
F (X 5) = 4,5 2 = 20,25.

X	2	2,5	3	3,5	4	4,5
pada	4	6,25	9	12,25	16	20,25

Menurut rumus (1):

Untuk menghitung Kesalahan relatif perhitungannya, kita perlu mencari nilai pasti integralnya:

Perhitungannya memakan waktu lama dan kami mendapatkan pembulatan yang agak kasar. Untuk menghitung integral ini dengan perkiraan yang lebih kecil, Anda dapat menggunakan kemampuan teknis komputer.

Untuk mencari integral tentu dengan metode persegi panjang, Anda harus memasukkan nilai integralnya f(x) selama jam kerja Lembar kerja Excel dalam jangkauan X dengan langkah tertentu X= 0,1.

1. Membuat tabel data (X Dan f(x)). X f(x). Argumen, dan di sel B1 - kata Fungsi2 2,1 ). Kemudian, dengan memilih blok sel A2:A3, menggunakan pengisian otomatis kita mendapatkan semua nilai argumen (kita seret sudut kanan bawah blok ke sel A32, ke nilai x=5).
2. Selanjutnya kita masukkan nilai integran. Di sel B2 Anda perlu menuliskan persamaannya. Untuk melakukan ini, letakkan kursor tabel di sel B2 dan masukkan rumus dari keyboard =A2^2(dengan tata letak keyboard bahasa Inggris). Tekan tombolnya Memasuki. Di sel B2 muncul 4 . Sekarang Anda perlu menyalin fungsi dari sel B2. Dengan menggunakan isi otomatis, salin rumus ini ke rentang B2:B32.
   Hasilnya harus berupa tabel data untuk mencari integral.
3. Sekarang di sel B33 nilai perkiraan integral dapat ditemukan. Untuk melakukannya, masukkan rumus di sel B33 = 0,1*, lalu panggil Function Wizard (dengan mengklik tombol Sisipkan Fungsi pada toolbar (f(x)). Pada kotak dialog yang muncul, Function Wizard - langkah 1 dari 2, di sebelah kiri pada bidang Kategori, pilih Mathematical. Di sebelah kanan bidang Fungsi adalah fungsi Sum. tekan tombolnya OKE. Kotak dialog Jumlah muncul. Dengan menggunakan mouse, masukkan rentang penjumlahan B2:B31 ke dalam bidang kerja. tekan tombolnya OKE. Di sel B33, nilai perkiraan integral yang diinginkan muncul dengan kerugian ( 37,955 ) .

Membandingkan nilai perkiraan yang diperoleh dengan nilai integral sebenarnya ( 39 ), kita dapat melihat bahwa kesalahan perkiraan metode persegi panjang masuk pada kasus ini sama dengan

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

Contoh 2. Dengan menggunakan metode persegi panjang, hitung dengan langkah tertentu X = 0,05.

Membandingkan nilai perkiraan yang diperoleh dengan nilai integral sebenarnya , kita dapat melihat bahwa kesalahan perkiraan metode persegi panjang dalam kasus ini adalah sama dengan

Metode trapesium biasanya memberikan nilai integral yang lebih akurat dibandingkan metode persegi panjang. Trapesium lengkung diganti dengan jumlah beberapa trapesium dan nilai perkiraan integral tertentu ditemukan sebagai jumlah luas trapesium.

[Gambar3]

Contoh 3. Temukan menggunakan metode trapesium secara bertahap X = 0,1.

1. Buka lembar kerja kosong.
2. Membuat tabel data (X Dan f(x)). Biarkan kolom pertama menjadi nilainya X, dan yang kedua dengan indikator yang sesuai f(x). Untuk melakukan ini, masukkan kata di sel A1 Argumen, dan di sel B1 - kata Fungsi. Nilai argumen pertama dimasukkan ke dalam sel A2 - batas kiri rentang ( 0 ). Nilai argumen kedua dimasukkan ke dalam sel A3 - batas kiri rentang ditambah langkah konstruksi ( 0,1 ). Kemudian, dengan memilih blok sel A2:A3, menggunakan pengisian otomatis kita mendapatkan semua nilai argumen (kita seret sudut kanan bawah blok ke sel A33, ke nilai x=3.1).
3. Selanjutnya kita masukkan nilai integran. Di sel B2 Anda perlu menuliskan persamaannya (dalam contoh sinus). Untuk melakukan ini, kursor tabel harus ditempatkan di sel B2. Seharusnya di sini nilai sinus, sesuai dengan nilai argumen di sel A2. Untuk mendapatkan nilai sinus kita gunakan fungsi khusus: klik tombol Sisipkan Fungsi pada toolbar f(x). Pada kotak dialog yang muncul, Function Wizard - langkah 1 dari 2, di sebelah kiri pada bidang Kategori, pilih Mathematical. Di sebelah kanan di bidang Fungsi - fungsi DOSA. tekan tombolnya OKE. Sebuah kotak dialog muncul DOSA. Dengan menempatkan penunjuk mouse di atas bidang abu-abu jendela, sambil menekan tombol kiri, pindahkan bidang tersebut ke kanan untuk membuka kolom data ( A). Kami menunjukkan nilai argumen sinus dengan mengklik sel A2. tekan tombolnya OKE. Angka 0 muncul di sel B2. Sekarang Anda perlu menyalin fungsi dari sel B2. Dengan menggunakan isi otomatis, salin rumus ini ke rentang B2:B33. Hasilnya harus berupa tabel data untuk mencari integral.
4. Sekarang di sel B34 nilai perkiraan integral dapat ditemukan menggunakan metode trapesium. Untuk melakukannya, masukkan rumus di sel B34 = 0,1*((B2+B33)/2+, lalu panggil Function Wizard (dengan mengklik tombol Sisipkan Fungsi pada toolbar (f(x)). Pada kotak dialog yang muncul, Function Wizard - langkah 1 dari 2, di sebelah kiri pada bidang Kategori, pilih Mathematical. Di sebelah kanan bidang Fungsi adalah fungsi Sum. tekan tombolnya OKE. Kotak dialog Jumlah muncul. Masukkan rentang penjumlahan B3:B32 ke dalam bidang kerja dengan mouse. tekan tombolnya OKE sekali lagi OKE. Di sel B34, nilai perkiraan integral yang diinginkan dengan kerugian muncul ( 1,997 ) .

Membandingkan nilai perkiraan yang diperoleh dengan nilai integral sebenarnya, terlihat bahwa kesalahan perkiraan metode persegi panjang dalam hal ini cukup dapat diterima untuk praktik.

1. Solusi latihan.

1. Perkenalan. Rumusan masalah……..…………………………2p.

2. Penurunan rumus……………………………………….3 halaman.

3. Suku tambahan pada rumus persegi panjang……….5pp.

4. Contoh…………………………………………………..7p.

5. Kesimpulan…………………………………………………..9p.

6. Daftar referensi…………………………………………………...10 halaman.

Rumusan masalah.

Masalah penghitungan integral muncul di banyak bidang matematika Terapan. Dalam kebanyakan kasus, terdapat integral tertentu dari fungsi yang antiturunannya tidak dinyatakan melalui fungsi dasar. Selain itu, dalam penerapannya kita harus berurusan dengan integral tertentu; integran itu sendiri tidak bersifat dasar. Ada juga kasus umum ketika fungsi integran ditentukan oleh grafik atau tabel nilai yang diperoleh secara eksperimental. Dalam situasi seperti itu gunakan berbagai metode integrasi numerik, yang didasarkan pada fakta bahwa integral direpresentasikan sebagai limit dari jumlah integral (jumlah luas), dan memungkinkan untuk menentukan jumlah ini dengan akurasi yang dapat diterima. Misalkan integral harus dihitung dengan syarat a dan b berhingga dan f(x) merupakan fungsi kontinu pada seluruh interval (a, b). Nilai integral I menyatakan luas yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu x dan garis x=a, x=b. Perhitungan I dilakukan dengan membagi interval dari a ke b menjadi beberapa interval yang lebih kecil, kira-kira mencari luas setiap strip yang dihasilkan dari partisi tersebut, dan kemudian menjumlahkan luas strip tersebut.

Penurunan rumus persegi panjang.

Sebelum beralih ke rumus persegi panjang, mari kita perhatikan hal berikut:

Catatan. Misalkan fungsi f(x) kontinu pada ruas dan

Beberapa titik segmen. Kemudian pada ruas ini terdapat suatu titik yang merupakan mean aritmatika .

Faktanya, mari kita nyatakan dengan m dan M sisi eksak dari fungsi f(x) pada segmen tersebut. Maka untuk sembarang bilangan k pertidaksamaannya valid. Menjumlahkan pertidaksamaan ini pada semua bilangan dan membagi hasilnya dengan n, kita peroleh

Karena fungsi berkelanjutan mengambil nilai antara antara m dan M, maka ada titik pada segmen tersebut sehingga

.

Rumus pertama untuk perkiraan perhitungan integral tertentu paling mudah diperoleh dari pertimbangan geometri. Menafsirkan integral tertentu sebagai luas suatu bangun tertentu yang dibatasi oleh suatu kurva, kita menetapkan sendiri tugas untuk menentukan luas tersebut.

Pertama-tama, dengan menggunakan gagasan ini untuk kedua kalinya, yang mengarah pada konsep integral tertentu, kita dapat membagi seluruh gambar (Gbr. 1) menjadi garis-garis, katakanlah, dengan lebar yang sama, dan kemudian kira-kira mengganti setiap garis dengan sebuah persegi panjang, yang tingginya dianggap berapa -atau dari ordinatnya. Ini membawa kita pada rumusnya

Di mana , dan R adalah suku tambahan. Di sini, luas bangun lengkung yang diinginkan diganti dengan luas bangun berundak tertentu yang terdiri dari persegi panjang (atau, jika Anda mau, integral tertentu diganti dengan jumlah integral). Rumus ini disebut rumus persegi panjang.

Dalam prakteknya mereka biasanya mengambil ; jika ordinat meannya sesuai dilambangkan dengan , maka rumus tersebut akan ditulis ulang dalam bentuk

.

Suku tambahan dalam rumus persegi panjang.

Mari kita lanjutkan mencari suku tambahan dalam rumus persegi panjang.

Pernyataan berikut ini benar:

Pernyataan Jika suatu fungsi f(x) mempunyai turunan kedua kontinu pada suatu ruas, maka terdapat titik tersebut pada ruas tersebut

Bahwa suku tambahan R pada rumus (1) sama dengan

(2)

Bukti.

Mari kita perkirakan , dengan asumsi bahwa fungsi f(x) mempunyai turunan kedua kontinu pada segmen [-h, h]. Untuk melakukan ini, kita akan memasukkan masing-masing integral berikut ke dalam integrasi ganda per bagian:

Untuk integral pertama yang kita peroleh

Untuk integral kedua kita memperoleh hal yang sama

Setengah jumlah ekspresi yang diperoleh untuk dan mengarah ke rumus berikut:

(3)

Mari kita perkirakan besarannya dengan menerapkan rumus nilai rata-rata pada integral dan memperhitungkan fungsi non-negatif dan . Kita mendapatkan bahwa ada sebuah titik pada segmen [-h, 0] dan sebuah titik pada segmen tersebut

Seperti yang

Berdasarkan pernyataan yang terbukti, ada titik pada ruas [-h, h] sedemikian rupa sehingga

Oleh karena itu, untuk setengah jumlah kita mendapatkan ekspresi berikut:

Mengganti ekspresi ini ke dalam persamaan (3), kita memperolehnya

(4)

. (5)

Karena besaran adalah luas persegi panjang tertentu dengan alas (Gbr. 1), rumus (4) dan (5) membuktikan bahwa kesalahan yang dilakukan saat mengganti luas yang ditunjukkan adalah orde

Jadi rumusnya semakin kecil h, semakin akurat. Oleh karena itu, untuk menghitung integral, wajar untuk menyatakan integral ini sebagai jumlah dari sejumlah n integral yang cukup besar

Dan terapkan rumus (4) pada masing-masing integral tersebut. Mengingat panjang ruas sama dengan , kita memperoleh rumus persegi panjang (1), di mana

Di Sini . Kami menggunakan rumus yang dibuktikan dalam pernyataan untuk fungsinya

Contoh penghitungan integral tentu

menggunakan rumus persegi panjang.

Sebagai contoh, mari kita ambil integral, yang kita hitung terlebih dahulu menggunakan rumus Newton-Leibniz, lalu menggunakan rumus persegi panjang.

Contoh 1. Misalkan Anda perlu menghitung integral.

Dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz, kita peroleh

Sekarang mari kita terapkan rumus persegi panjang

Dengan demikian, .

DI DALAM dalam contoh ini Tidak ada ketidakakuratan dalam perhitungan. Artinya untuk fungsi ini rumus persegi panjang memungkinkan penghitungan integral tentu secara akurat.

Contoh 2. Mari kita hitung integral dengan ketelitian 0,001.

Menerapkan rumus Newton-Leibniz, kita memperoleh .

Sekarang mari kita gunakan rumus persegi panjang.

Karena kita punya (jika kemudian

Jika kita mengambil n=10, maka suku tambahan dari rumus kita adalah Kita harus membuat kesalahan lain dengan membulatkan nilai fungsi; kami akan mencoba memastikan bahwa batas kesalahan baru ini berbeda kurang dari Untuk tujuan ini, cukup menghitung nilai fungsi dengan empat tanda, dengan akurasi 0,00005. Kita punya:

Jumlah 6,9284.

.

Mengingat bahwa koreksi pada setiap ordinat (dan juga mean aritmatikanya) terdapat di antara , dan juga dengan mempertimbangkan perkiraan suku tambahan, kita menemukan apa yang terdapat di antara batas dan , dan, oleh karena itu, terlebih lagi antara 0,692 dan 0,694. Dengan demikian, .

Kesimpulan.

Metode penghitungan integral tertentu di atas berisi algoritma yang dirumuskan dengan jelas untuk melakukan perhitungan. Fitur lain dari metode yang disajikan adalah sifat stereotip dari operasi komputasi yang harus dilakukan pada setiap langkah. Kedua fitur ini memastikan meluasnya penggunaan metode yang disajikan untuk melakukan perhitungan pada komputer modern berkecepatan tinggi. komputer.

Di atas untuk perkiraan perhitungan integral fungsi f(x)

kami melanjutkan dari membagi segmen utama menjadi cukup jumlah yang besar n segmen parsial yang sama dengan panjang yang sama h dan dari penggantian fungsi f(x) selanjutnya pada setiap segmen parsial dengan polinomial nol, orde pertama atau kedua.

Kesalahan yang timbul dari pendekatan ini tidak diperhitungkan properti individu fungsi f(x). Oleh karena itu, tentu saja, muncul gagasan untuk memvariasikan titik-titik partisi segmen utama menjadi n, secara umum, segmen parsial yang tidak sama, yang akan memberikan nilai minimum kesalahan rumus perkiraan ini.

Bibliografi.

1. Fikhtengolts G.M. Diferensial dan kalkulus integral dalam 3 jilid, jilid II. (§§ 332, 335).

2. Ilyin V.A., Poznyak E.G. Dasar-dasar analisis matematis, bagian I. "Ilmu Pengetahuan" Moskow, 1982. (Bab 12, paragraf 1, 2, 5).

Tidak selalu mungkin menghitung integral menggunakan rumus Newton-Leibniz. Tidak semua integrand memiliki antiturunan fungsi dasar, sehingga menemukan angka pastinya menjadi tidak realistis. Saat memecahkan masalah seperti itu, tidak selalu perlu mendapatkan jawaban yang tepat pada outputnya. Ada konsep perkiraan nilai suatu integral, yang ditentukan dengan metode integrasi numerik seperti metode persegi panjang, trapesium, Simpson dan lain-lain.

Artikel ini dikhususkan untuk bagian ini, memperoleh nilai perkiraan.

Akan ditentukan intisari metode Simpson, kita akan memperoleh rumus persegi panjang dan taksiran kesalahan mutlak, metode segitiga siku-siku dan kiri. Pada Babak final Kami akan mengkonsolidasikan pengetahuan kami dengan memecahkan masalah dengan penjelasan rinci.

Yandex.RTB RA-339285-1

Inti dari metode persegi panjang

Jika fungsi y = f (x) mempunyai kontinuitas pada interval [ a ; b ] dan perlu menghitung nilai integral ∫ a b f (x) d x .

Konsep itu perlu digunakan Bukan integral tertentu. Maka Anda harus membagi segmen [a; b ] untuk banyaknya n bagian x i - 1 ; x saya, saya = 1, 2, . . . . , n, dimana a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . В промежутке отрезка x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n выберем точку со значением ζ i . Из определения имеем, что существует tipe tertentu jumlah integral dengan pengurangan tak terhingga pada panjang suatu segmen dasar yang telah dibagi. Hal ini dinyatakan dengan rumus λ = m a x i = 1, 2, . . . , n (xi - x i - 1) → 0, maka kita temukan bahwa setiap jumlah integral tersebut merupakan perkiraan nilai integral ∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (ζ i) · (x i - x i - 1) .

Inti dari metode persegi panjang adalah bahwa nilai perkiraan dianggap sebagai jumlah integral.

Jika kita membagi segmen yang dapat diintegrasikan [a; b ] menjadi bagian-bagian yang identik dengan titik h , maka kita peroleh a = x 0 , x 1 = x 0 + h , x 2 = x 0 + 2 h , . . . , x - 1 = x 0 + (n - 1) h , x n = x 0 + n h = b , yaitu h = x i - x i - 1 = b - a n , i = 1 , 2 , . . . , N. Titik tengah titik ζ i dipilih menjadi segmen dasar x i - 1 ; x saya, saya = 1, 2, . . . , n, berarti ζ i = x i - 1 + h 2, i = 1, 2, . . . , N.

Definisi 1

Maka nilai perkiraan ∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (ζ i) · (xi - x i - 1) ditulis demikian ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - 1 + jam 2 . rumus ini disebut rumus metode persegi panjang.

Metode ini mendapat nama ini karena sifat pemilihan titik ζ i, dimana partisi segmen dianggap h = b - a n.

Mari kita lihat gambar di bawah ini metode ini.

Gambar tersebut dengan jelas menunjukkan perkiraan fungsi langkah sepotong-sepotong

kamu = f x 0 + h 2 , x ∈ [ x 0 ; x 1) f x 1 + h 2 , x ∈ [ x 1 ; x2) . . . f x n - 1 + h 2 , x ∈ [ x n - 1 ; x n ] terjadi sepanjang batas integrasi.

Dari sisi geometrik diperoleh fungsi non-negatif y = f (x) pada ruas eksisting [a; b ] mempunyai nilai eksak integral tertentu dan berbentuk trapesium lengkung yang luasnya harus dicari. Mari kita lihat gambar di bawah ini.

Estimasi kesalahan absolut metode rata-rata persegi panjang

Untuk memperkirakan kesalahan absolut, perlu dievaluasi pada interval tertentu. Artinya, Anda harus mencari jumlah kesalahan absolut setiap interval. Setiap segmen x i - 1 ; x saya, saya = 1, 2, . . . , n mempunyai persamaan perkiraan ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f x i - 1 + h 2 · h = f x i - 1 + h 2 · (xi - x i - 1) . Kesalahan mutlak dari metode segitiga ini δ i , milik segmen tersebut i, dihitung sebagai selisih antara definisi eksak dan perkiraan integral. Diketahui δ i = ∫ x i - 1 x i f (x) d x - f x i - 1 + h 2 · x i - x i - 1 . Kita peroleh bahwa f x i - 1 + h 2 adalah bilangan tertentu, dan x i - x i - 1 = ∫ x i - 1 x i d x , maka ekspresi f x i - 1 + h 2 · x i - x i - 1 sesuai dengan sifat ke-4 dari definisi tersebut integral ditulis dalam bentuk f x i - 1 + h 2 · x i - x i - 1 = ∫ x - 1 x f x i - 1 + h 2 d x . Dari sini kita memperoleh bahwa segmen i mempunyai bentuk kesalahan mutlak

δ i = ∫ x i - 1 x i f (x) d x - f x i - 1 + h 2 x i - x i - 1 = = ∫ x i - 1 x i f (x) d x - ∫ x i - 1 x i x i - 1 + h 2 d x = ∫ x i - 1 x i f (x) = - f x i - 1 + h 2 d x

Jika kita asumsikan fungsi y = f (x) mempunyai turunan orde kedua di titik x i - 1 + h 2 dan sekitarnya, maka y = f (x) diperluas dalam deret Taylor pangkat x - x i - 1 + h 2 dengan suku sisa berupa ekspansi Lagrange. Kami mengerti

f (x) = f x i - 1 + h 2 + f " x i - 1 + h 2 x - x i - 1 + h 2 + + f "" (ε i) x - x i - 1 + h 2 2 2 ⇔ ⇔ f (x) = f (xi - 1 + h 2) = f " x i - 1 + h 2 x - x i - 1 + h 2 + + f "" (ε i) x - x i - 1 + h 2 2 2

Berdasarkan sifat-sifat integral tertentu, persamaan tersebut dapat diintegralkan suku demi suku. Lalu kita mendapatkannya

∫ x i - 1 x i f (x) - f x i - 1 + h 2 d x = ∫ x i - 1 x i f " x i - 1 + h 2 x - x i - 1 + h 2 d x + + ∫ x i - 1 x i f "" ε i · x - x i - 1 + h 2 2 2 d x = = f " x i - 1 + h 2 · x - x i - 1 + h 2 2 2 x i - 1 x i + f "" ε i · x - x i - 1 + h 2 3 6 x i - 1 x i = = f " x i - 1 + h 2 x i - h 2 2 2 - x i - 1 - x i - 1 + h 2 2 2 + + f "" ε i x i - h 2 3 6 - x i - 1 - x i - 1 + h 2 3 6 = = f"xi - 1 + h 2 h 2 8 - h 2 8 + f"" (ε i) h 3 48 + h 3 48 = f "" ε i h 3 24

dimana kita mempunyai ε i ∈ x i - 1 ; x saya .

Dari sini kita peroleh bahwa δ i = ∫ x i - 1 x i f (x) - f x i - 1 + h 2 d x = f "" ε i · h 3 24 .

Kesalahan mutlak rumus persegi panjang dengan ruas [a; b ] sama dengan jumlah kesalahan setiap interval dasar. Kami punya itu

δ n = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) - f x i - 1 + h 2 d x dan δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = b - a 3 24 n 2 .

Pertidaksamaan merupakan perkiraan kesalahan mutlak metode persegi panjang.

Untuk mengubah metode, pertimbangkan rumusnya.

Definisi 2

∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (xi) adalah rumus segitiga kiri.

∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (xi) adalah rumus segitiga siku-siku.

Mari kita lihat contoh di bawah ini.

Perbedaan antara metode persegi panjang rata-rata adalah pemilihan titik-titiknya bukan di tengah, tetapi di batas kiri dan kanan segmen dasar tersebut.

Kesalahan mutlak metode segitiga kiri dan kanan dapat dituliskan sebagai

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · h 2 · n 2 = m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n

Penting untuk mempertimbangkan contoh penyelesaian di mana Anda perlu menghitung nilai perkiraan integral tertentu yang ada menggunakan metode persegi panjang. Dua jenis pemecahan masalah dipertimbangkan. Inti dari kasus pertama adalah menentukan jumlah interval untuk membagi segmen integrasi. Inti dari yang kedua adalah adanya kesalahan mutlak yang dapat diterima.

Kata-kata tugasnya adalah sebagai berikut:

• melakukan perhitungan perkiraan integral tertentu dengan menggunakan metode persegi panjang, membaginya menjadi n jumlah segmen integrasi;
• mencari nilai perkiraan integral tertentu dengan menggunakan metode persegi panjang dengan ketelitian seperseratus.

Mari kita pertimbangkan solusi dalam kedua kasus tersebut.

Sebagai contoh, kami memilih tugas yang dapat diubah untuk menemukan antiturunannya. Kemudian menjadi mungkin untuk menghitung nilai yang tepat integral tertentu dan perbandingan dengan nilai perkiraan menggunakan metode persegi panjang.

Contoh 1

Hitung integral tentu ∫ 4 9 x 2 sin x 10 d x dengan menggunakan metode persegi panjang dengan membagi ruas integrasi menjadi 10 bagian.

Larutan

Dari kondisi diperoleh a = 4, b = 9, n = 10, f (x) = x 2 sin x 10. Untuk menerapkan ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f x i - 1 + h 2 perlu dihitung besar langkah h dan nilai fungsi f (x) = x 2 sin x 10 di titik x i - 1 + jam 2 , saya = 12 , . . . , 10 .

Kami menghitung nilai langkah dan mendapatkannya

h = b - an = 9 - 4 10 = 0 . 5.

Karena x i - 1 = a + (i - 1) · h, i = 1, . . . , 10, maka x i - 1 + h 2 = a + (i - 1) · h + h 2 = a + i - 0. 5 · jam, saya = 1, . . . , 10 .

Karena i = 1, kita peroleh x i - 1 + h 2 = x 0 + h 2 = a + (i - 0.5) h = 4 + (1 - 0.5) 0. 5 = 4. 25.

Maka Anda perlu mencari nilai fungsinya

fxi - 1 + h 2 = f x 0 + h 2 = f (4,25) = 4. 25 2 dosa (4 .25) 10 ≈ - 1 . 616574

Untuk i = 2 kita peroleh x i - 1 + h 2 = x 1 + h 2 = a + i - 0 . 5 jam = 4 + (2 - 0,5) 0. 5 = 4. 75.

Temuan nilai yang sesuai fungsi mendapatkan formulir

fxi - 1 + h 2 = f x 1 + h 2 = f (4,75) = 4. 75 2 dosa (4 .75) 10 ≈ - 2 . 254654

Mari kita sajikan data tersebut pada tabel di bawah ini.

Saya	1	2	3	4	5
x saya - 1 + jam 2	4 . 25	4 . 75	5 . 25	5 . 75	6 . 25
fxi - 1 + jam 2	- 1 . 616574	- 2 . 254654	- 2 . 367438	- 1 . 680497	- 0 . 129606

Saya	6	7	8	9	10
x saya - 1 + jam 2	6 . 75	7 . 25	7 . 75	8 . 25	8 . 75
fxi - 1 + jam 2	2 . 050513	4 . 326318	5 . 973808	6 . 279474	4 . 783042

Nilai fungsi harus disubstitusikan ke dalam rumus persegi panjang. Lalu kita mendapatkannya

∫ 4 9 x 2 sin x 10 d x ≈ h · ∑ i = 1 n f x i - 1 + h 2 = = 0 . 5 · - 1 . 616574 - 2. 25654 - 2. 367438 - 1. 680497 - 0 . 129606++ 2 . 050513+4. 326318 + 5 . 973808 + 6 . 279474 + 4 . 783042 = = 7 . 682193

Integral asal dapat dihitung menggunakan rumus Newton-Leibniz. Kami mengerti

∫ 4 9 x 2 sin x 10 d x = - 1 10 x 2 cos x + 1 5 x sin x + 1 5 cos x 4 9 = = 7 5 cos 4 - 4 5 sin 4 - 79 10 cos 9 + 9 5 sin 9 ≈ 7 . 630083

Kita cari antiturunan dari ekspresi - 1 10 x 2 · cos x + 1 5 x · sin x + 1 5 cos x yang sesuai dengan fungsi f (x) = x 2 sin x 10. Pencarian dilakukan dengan metode integrasi bagian-bagian.

Hal ini menunjukkan bahwa integral tertentu berbeda dengan nilai yang diperoleh dengan menyelesaikan metode persegi panjang, dimana n = 10, sebanyak 6 bagian kesatuan. Mari kita lihat gambar di bawah ini.

Contoh 2

Hitung perkiraan nilai integral tertentu ∫ 1 2 (- 0 .03 x 3 + 0 .26 x - 0 .26) d x menggunakan metode persegi panjang kiri dan kanan dengan ketelitian seperseratus.

Larutan

Dari kondisi diperoleh a = 1, b = 2 dan f(x) = - 0. 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26.

Untuk menerapkan rumus persegi panjang kanan dan kiri, Anda perlu mengetahui ukuran langkah h, dan untuk menghitungnya, kita membagi segmen integrasi menjadi n segmen. Dengan syarat, akurasinya harus mencapai 0,01, maka n dapat ditemukan dengan memperkirakan kesalahan absolut metode persegi panjang kiri dan kanan.

Diketahui δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n. Untuk mencapai tingkat ketelitian yang diperlukan, perlu dicari nilai n yang pertidaksamaannya m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n ≤ 0 . 01 akan dieksekusi.

Mari kita cari nilai modulus turunan pertama yang terbesar, yaitu nilai m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) dari fungsi integral f (x) = - 0.03 x 3 + 0.26 x - 0.26, ditentukan pada interval [ 1 ; 2 ]. Dalam kasus kita, perlu untuk lakukan perhitungan berikut:

f" (x) = - 0,03 x 3 + 0,26 x - 0,26" = - 0. 09 x 2 + 0 . 26

Parabola adalah grafik integran dengan cabang ke bawah yang ditentukan pada segmen [ 1 ; 2 ], dan dengan grafik menurun secara monoton. Penting untuk menghitung nilai absolut turunan di ujung segmen, dan memilih nilai terbesar darinya. Kami mengerti

f " (1) = - 0,09 · 1 2 + 0. 26 = 0. 17 f " (2) = - 0 . 09 · 2 2 + 0 . 26 = 0 . 1 → m a x x ∈ [ 1 ; 2 ] f " (x) = 0 . 17

Memecahkan integran kompleks melibatkan beralih ke yang terbesar dan nilai terkecil fungsi.

Kemudian kita menemukan bahwa nilai terbesar dari fungsi tersebut berbentuk:

m a x x ∈ [ sebuah ; b ] f" (x) · (b - a) 2 2 n ≤ 0.01 ⇔ ⇔ 0.17 · (2 ​​​​- 1) 2 2 n ≤ 0.01 ⇔ 0.085 n ≤ 0.01 ⇔ n ≥ 8,5

Fraksinasi bilangan n dikecualikan, karena n adalah bilangan asli. Untuk mencapai ketelitian 0. 01, menggunakan metode persegi panjang kanan dan kiri, Anda harus memilih nilai n apa pun. Untuk kejelasan perhitungan, kita ambil n = 10.

Maka rumus persegi panjang kiri akan berbentuk ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (xi) , dan rumus persegi panjang kanan akan berbentuk ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (xi) . Untuk menerapkannya dalam praktik, perlu dicari nilai dimensi langkah h dan f(xi), i = 0, 1, . . . , n, dimana n = 10.

Kami mengerti

h = b - an = 2 - 1 10 = 0 . 1

Menentukan titik-titik segmen [ a ; b ] diproduksi menggunakan x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , N.

Untuk i = 0, kita peroleh x i = x 0 = a + i · h = 1 + 0 · 0. 1 = 1 dan f (xi) = f (x 0) = f (1) = - 0. 03 · 1 3 + 0 . 26 · 1 - 0 . 26 = - 0 . 03.

Untuk i = 1, kita peroleh x i = x 1 = a + i · h = 1 + 1 · 0. 1 = 1 . 1 dan f (xi) = f (x 1) = f (1 .1) = - 0 . 03 · (1. 1) 3 + 0. 26 · (1 .1) - 0 . 26 = - 0 . 01393.

Perhitungan dilakukan sampai i = 10.

Perhitungannya harus disajikan pada tabel di bawah ini.

Saya	0	1	2	3	4	5
x saya	1	1 . 1	1 . 2	1 . 3	1 . 4	1 . 5
f (x saya)	- 0 . 03	- 0 . 01393	0 . 00016	0 . 01209	0 . 02168	0 . 02875

Saya	6	7	8	9	10
x saya	1 . 6	1 . 7	1 . 8	1 . 9	2
f (x saya)	0 . 03312	0 . 03461	0 . 03304	0 . 02823	0 . 02

Gantikan rumus segitiga kiri

∫ 1 2 (- 0 .03 x 3 + 0 .26 x - 0 .26) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (xi) = = 0 . 10. 03 - 0 . 01393+0. 00016 + 0 . 01209 + 0 . 02168++ 0 . 02875+0. 03312+0. 03461+0. 03304+0. 02823 = = 0 . 014775

Substitusikan ke dalam rumus segitiga siku-siku

∫ 1 2 (- 0 .03 x 3 + 0 .26 x - 0 .26) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (xi) = = 0 . 10. 01393+0. 00016 + 0 . 01209 + 0 . 02168 + 0 . 02875++ 0 . 03312+0. 03461+0. 03304+0. 02823+0. 02 = 0 . 019775

Mari kita lakukan perhitungan menggunakan rumus Newton-Leibniz:

∫ 1 2 (- 0 .03 x 3 + 0 .26 x - 0 .26) d x = = - 0 . 03 x 4 4 + 0 . 13x2 - 0 . 26 x 1 2 = 0 . 0175

Perhatikan gambar di bawah ini.

Komentar

Temuan nilai tertinggi modul turunan pertama merupakan pekerjaan padat karya, sehingga penggunaan pertidaksamaan untuk memperkirakan kesalahan absolut dan metode integrasi numerik dapat dihilangkan. Diizinkan menggunakan skema ini.

Kita ambil nilai n = 5 untuk menghitung perkiraan nilai integral. Jumlah segmen integrasi perlu digandakan, lalu n = 10, setelah itu nilai perkiraan dihitung. perlu dicari selisih antara nilai-nilai ini untuk n = 5 dan n = 10. Bila selisihnya tidak memenuhi ketelitian yang disyaratkan, maka nilai perkiraannya dianggap n = 10, dibulatkan ke sepuluh terdekat.

Ketika kesalahan melebihi akurasi yang disyaratkan, n digandakan dan nilai perkiraan dibandingkan. Perhitungan dilakukan sampai ketelitian yang dibutuhkan tercapai.

Untuk persegi panjang tengah, tindakan serupa dilakukan, tetapi perhitungan pada setiap langkah memerlukan perbedaan antara perkiraan nilai integral yang diperoleh untuk n dan 2 n. Metode penghitungan ini disebut aturan Runge.

Mari kita hitung integral dengan akurasi seperseribu menggunakan metode persegi panjang kiri.

Untuk n = 5 kita peroleh bahwa ∫ 1 2 (- 0,03 x 3 + 0,26 x - 0,26) d x ≈ 0. 0116, dan untuk n = 10 - ∫ 1 2 (- 0,03 x 3 + 0,26 x - 0,26) d x ≈ 0. 014775. Karena kita memiliki 0 itu. 0116 - 0 . 014775 = 0 . 003175 > 0 . 001, ambil n = 20. Kita temukan bahwa ∫ 1 2 (- 0 .03 x 3 + 0 .26 x - 0 .26) d x ≈ 0 . 01619375. Kami punya 0. 014775 - 0 . 01619375 = 0 . 00141875 > 0 . 001, ambil nilai n = 40, maka didapat ∫ 1 2 (- 0.03 x 3 + 0.26 x - 0.26) d x ≈ 0. 01686093. Kami memiliki 0 itu. 1619375 - 0 . 01686093 = 0 . 00066718< 0 . 001 , тогда после округления значения проверим, что ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x равняется значению 0 , 017 с погрешностью 0 , 001 . Из оценок абсолютных погрешностей видно, что данный метод дает максимальную точность в отличие от метода левых и правых координат для заданного n . Отдается предпочтение методу средних прямоугольников.

Integran kontinu dengan pembagian tak terhingga menjadi segmen-segmen, angka perkiraan ini cenderung tepat. Paling sering metode ini dilakukan dengan menggunakan program khusus di komputer. Oleh karena itu daripada nilai lebih n, semakin besar kesalahan komputasi.

Untuk perhitungan yang paling akurat, perlu dilakukan langkah-langkah perantara yang tepat, sebaiknya dengan akurasi 0,0001.

Hasil

Untuk menghitung integral tak tentu dengan metode persegi panjang, gunakan rumus berbentuk ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - 1 + h 2 dan perkirakan galat mutlaknya menggunakan δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " " (x) · n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f " " (x) · b - a 3 24 n 2 .

Untuk menyelesaikannya menggunakan metode persegi panjang kanan dan kiri, gunakan rumus berbentuk ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) dan ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (xi) . Kesalahan absolut diperkirakan menggunakan rumus dalam bentuk δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · h 2 · n 2 = m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · b - a 2 2 n .

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, sorot teks tersebut dan tekan Ctrl+Enter