Direktori Olimpiade. segitiga
1 . Jika jumlah sisi suatu segitiga dan tinggi yang diturunkan ke sisi tersebut merupakan nilai konstan untuk suatu segitiga tertentu, maka segitiga tersebut adalah segitiga sama sisi.
2 . Jika segitiga tersebut lancip, dan ortosenternya membagi masing-masing tingginya dengan perbandingan yang sama, maka segitiga tersebut adalah segitiga sama sisi, yaitu dari persamaan AH:HA 1 =BH:HB 1 =CH:HC 1(untuk segitiga lancip) maka .
3. Dua segitiga sama sisi ABC Dan CDE terletak pada salah satu sisi garis lurus AE dan mempunyai satu kesamaan DENGAN. Membiarkan M N Dan KE- titik tengah segmen BD, AC Dan SE masing-masing. Lalu segitiga MNK- sama sisi.
4. Melalui atas DENGAN segitiga sama sisi ABC garis lurus sembarang ditarik, KE Dan M- proyeksi poin A Dan DI DALAM pada garis lurus ini R- tengah AB. Lalu segitiga kmr- sama sisi.
5. segitiga Napoleon. Pusat-pusat segitiga beraturan yang dibangun secara eksternal (internal) pada sisi-sisi segitiga sembarang membentuk segitiga beraturan.
6 . Tiga garis yang melalui suatu titik TENTANG, membentuk sudut 60° satu sama lain. Maka proyeksi suatu titik sembarang selain O pada garis-garis tersebut adalah simpul-simpul segitiga beraturan.
7 . Jumlah jarak dari suatu titik sembarang pada segitiga beraturan ke sisi-sisinya adalah nilai konstan yang sama dengan tinggi segitiga.
8. Dari semua segitiga yang mempunyai keliling tertentu, segitiga beraturan mempunyai luas paling besar.
9 . Dari semua segitiga dengan luas tertentu, segitiga beraturan mempunyai keliling terkecil.
10. Teorema Pythagoras yang digeneralisasi. Membiarkan CD- tinggi segitiga siku-siku ABC, ditarik dari titik sudut siku-siku. Lalu segitiga ABC, CBD Dan ACD serupa. Jika , dan merupakan elemen linier yang bersesuaian dari segitiga-segitiga ini
11. Dalam segitiga siku-siku ABC dari simpul sudut siku-siku DENGAN tinggi ditarik CD. Jika R– jari-jari lingkaran pada segitiga ABC, hal 1 – jari-jari lingkaran pada segitiga ACD, R 2 – jari-jari lingkaran pada segitiga CBD, Itu r 1 +r 2 +r=CD
12. Pada segitiga siku-siku, garis bagi suatu sudut siku-siku membagi dua sudut antara median dan tinggi yang ditarik dari titik sudut yang sama.
13 . Kuadrat kebalikan dari tinggi sisi miring pada segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat kebalikan dari kaki-kakinya.
14. Jika m a Dan m b – median ditarik ke kaki-kaki segitiga siku-siku, mc – median ditarik ke sisi miring, maka persamaan tersebut benar m a 2 +m b 2 =5m c 2.Konsekuensi. Kuadrat jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga siku-siku sama dengan seperenam jumlah kuadrat semua mediannya.
15 . Jika sebuah lingkaran pada segitiga siku-siku membagi sisi miringnya menjadi beberapa bagian yang panjangnya M Dan N, maka luas segitiga tersebut dicari dengan rumus S=jam.
16. Di sisi miring AB segitiga siku-siku ABC dengan kaki SM=a Dan AC=b sebuah persegi dibangun di luar AVKM. Lalu jarak dari titik tersebut DENGAN ke tengah alun-alun adalah .
17. Di sisi miring AB segitiga siku-siku ABC sebuah persegi dibangun di sisi luar dengan pusat di titik tersebut TENTANG, Kemudian BERSAMA adalah garis bagi sudut siku-siku.
18 . Jumlah jarak dari titik sembarang alas segitiga sama kaki ke sisi lateralnya adalah konstan, sama dengan tinggi segitiga yang ditarik ke sisi lateralnya.
19 . Ruas yang menghubungkan titik sudut suatu segitiga dengan suatu titik pada sisi berhadapannya lebih kecil dari sisi terbesar kedua sisi lainnya.
20. Jarak antara dua titik pada sisi-sisi segitiga tidak lebih besar dari sisi terpanjangnya.
21. Jumlah jarak dari suatu titik di dalam segitiga ke ketiga titik sudutnya lebih besar dari setengah kelilingnya, tetapi lebih kecil dari keliling segitiga tersebut.
22. Misalkan dan adalah sudut-sudut segitiga, dan . Kemudian 60˚, ≥60°, 0°< <90°.
23 . a) jika segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1 adalah seperti itu AB = SEBUAH 1 B 1 , A DENGAN= A 1 C 1 Dan BAC>B 1 A 1 C 1 , Itu Matahari>B 1 C 1 .
b) jika segitiga ABC Dan A 1 B 1 C 1 adalah seperti itu AB=SEBUAH 1 B 1 , AC=A 1 C 1 Dan SM>B 1 C 1 , lalu sudutnya BAC> sudut B 1 A 1 C 1 .
24 . Membiarkan A A. 1 - median segitiga ABC. Sudut A akut jika dan hanya jika A A. 1 > .
25. Median suatu segitiga ABC, diambil dari atas A, kurang dari setengah jumlah sisi-sisinya AB Dan AC, tetapi lebih dari setengah perbedaannya.
26 . Jumlah ketiga median suatu segitiga lebih kecil dari kelilingnya, tetapi lebih besar dari tiga perempat keliling segitiga tersebut.
27 . Median dan tegak lurus jika dan hanya jika a 2 +b 2 =5c 2.
28 . Median dan tegak lurus jika dan hanya jika .
29 . Jika median dan tegak lurus, maka.
30. Jika median dan tegak lurus, maka.
31.
Jika , ,
-
median segitiga yang ditarik ke sisi-sisinya A,B,C karenanya, maka hubungan berikut ini berlaku: , , http://www.itmathrepetitor.ru/wp-content/plugins/latex/cache/tex_4a7393b5774f748db0e359b9c7420a65.gif" style="vertical-align: middle; perbatasan: tidak ada; " kelas="tex" alt="p
32 . > , > , > .
Konsekuensi(klarifikasi penilaian konsekuensi ke 31.). Jumlah median suatu segitiga adalah antara tiga perempat keliling dan keliling segitiga,
itu adalah 
.
33 . Jumlah median suatu segitiga tidak kurang dari sembilan kali jari-jari lingkaran pada segitiga tersebut, yaitu.
34
. Dua kali jumlah median suatu segitiga tidak melebihi sembilan kali jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga tersebut, yaitu 
.
35 . Dalam segitiga lancip ABC ketinggian yang ditarik BD Dan SE. Jika BF Dan CG- garis tegak lurus dijatuhkan dari simpul DI DALAM Dan DENGAN secara langsung E.D. Itu EF=DG.
36 . poin Torricelli. Di sisi segitiga ABC segitiga sama sisi yang dibangun di luar segitiga BSA 1 ,TAKSI 1 , ABC 1 , dan segmen digambar AA 1, BB 1 Dan SS 1. Kemudian
a) segmen-segmen ini sama;
b) ruas-ruas ini berpotongan di satu titik;
c) jika titik ini berada di dalam segitiga ABC, maka jumlah jaraknya ke ketiga titik sudut segitiga sama dengan masing-masing ruasnya AA 1, BB 1, CC 1 .
d) jika titik ini berada di dalam segitiga ABC, lalu dari titik ini setiap sisi segitiga ABC terlihat pada sudut 120 0.
e) untuk segitiga lancip, titik Torricelli adalah titik yang jumlah jarak ke titik sudut segitiganya minimal.
37 . garis lurus Euler. Dalam segitiga apa pun ada titik N perpotongan ketinggian (orthocenter), tengah TENTANG lingkaran dan titik M perpotongan median (pusat gravitasi) terletak pada satu garis lurus dan satu titik M terletak di antara titik-titik TENTANG Dan N, Dan MH=2MO.
38
. teorema Menelaus. Diberikan sebuah segitiga ABC. Beberapa garis lurus memotong sisi-sisinya AB, SM dan lanjutan dari samping AC di poin TAKSI masing-masing. Kemudian 
39
. teorema Ceva. Biarkan poinnya A 1 , B 1
Dan DENGAN 1
menjadi milik masing-masing pihak Matahari, AC Dan ABABC. Segmen A A. 1 , BB 1 , CC 1
berpotongan di satu titik jika dan hanya jika 
40. Jika luas segitiga ABC sama dengan S, maka luas segitiga yang sisi-sisinya sama dengan median segitiga tersebut ABC, sama dengan .
41 . Melalui suatu titik tertentu yang diambil di dalam segitiga, ditarik tiga garis lurus yang sejajar dengan sisi-sisinya. Garis-garis ini membagi segitiga menjadi enam bagian, tiga di antaranya merupakan segitiga luas S 1 , S 2 , S 3 . Maka luas segitiga tersebut sama dengan
42. Membiarkan N- ABC, Kemudian
a) jari-jari lingkaran yang membatasi segitiga ABC, ANV, VNS Dan JAWABAN, sama satu sama lain.
b) jarak antara titik tengah segmen Matahari Dan SEBUAH sama dengan keliling segitiga ABC.
c) jarak dari pusat ortosenter ke titik sudut segitiga adalah dua kali jarak dari pusat lingkaran luar ke sisi yang berhadapan dengan titik sudut tersebut.
d) suatu titik yang simetris terhadap ortosenter terhadap sisi segitiga terletak pada lingkaran luar segitiga.
D) A - titik potong ketinggian segitiga VSN, V - titik potong ketinggian segitiga ASN, S- titik potong ketinggian segitiga AVN.
43 . Jika masing-masing alas ketinggian suatu segitiga menonjol ke sisi-sisinya, maka panjang ruas yang menghubungkan proyeksi tersebut tidak bergantung pada pilihan ketinggian.
44 . Jika dari atas DENGAN segitiga lancip ABC tinggi diturunkan CH, dan dari intinya N tegak lurus dihilangkan NM Dan HN ke samping Matahari Dan AC karenanya, maka segitiga perusahaan multinasional Dan ABC serupa.
45 . Jika poin KE Dan R simetris dengan alasnya N ketinggian VNABC mengenai sisi-sisinya AB Dan Matahari, lalu titik potong segmen tersebut KR dengan para pihak AB Dan Matahari(atau kelanjutannya) - alas dari ketinggian segitiga ABC.
46
. Jarak antara alas ketinggian yang dijatuhkan pada dua sisi segitiga sama dengan hasil kali sisi ketiga dan modulus kosinus sudut yang berhadapan dengan sisi tersebut, yaitu 
, , 
.
Komentar. Segi tiga CA 1 B 1 mirip dengan segitiga TAKSI dengan koefisien kesamaan sama dengan; segi tiga AB 1 C 1 mirip dengan segitiga ABC dengan koefisien kesamaan sama dengan . Begitu pula sisanya
47 . Sifat-sifat ortotriangle (yaitu, segitiga dengan titik-titik sudut pada alas dan ketinggian suatu segitiga tertentu).
a) Ketinggian segitiga lancip adalah garis bagi sudut-sudut ortotrianglenya.
b) jika poin A 1 , B 1 Dan C 1 di sisinya masing-masing Matahari, AC Dan AB segitiga lancip ABC adalah seperti itu
B.A. 1 C 1 = CA. 1 B 1 , C.B. 1 A 1 = AB 1 C 1 Dan AC 1 B 1 = BB 1 A 1 ,
Itu A 1 DI DALAM 1 DENGAN 1 - ortotriangle suatu segitiga ABC.
c) titik-titik singgung lingkaran pada suatu segitiga tertentu dihubungkan oleh segmen-segmennya dan ketinggiannya digambarkan pada segitiga yang dihasilkan. Kemudian garis-garis yang menghubungkan alas-alas ketinggian tersebut sejajar dengan sisi-sisi segitiga asal.
G) masalah Fagnano. Segitiga dengan keliling terkecil yang mungkin dengan titik sudut pada sisi-sisi segitiga lancip tertentu adalah ortotriangle dari segitiga tertentu.
48 . Jika IKLAN- garis bagi segitiga ABC, Itu
A) 
B) IKLAN 2 = AB AC - BD CD.
49 . Teorema Steiner-Lemus. Jika dua garis bagi suatu segitiga sama besar, maka segitiga tersebut sama kaki.
50. Kelanjutan garis bagi segitiga lancip ABC A 1, B 1, C 1 . Lalu tinggi segitiga tersebut A 1 B 1 C 1 berbaring pada garis lurus A A. 1, BB 1, CC 1.
51. Kelanjutan ketinggian segitiga lancip ABC potong lingkaran luar segitiga ini di titik-titik A 1 , B 1 ,C 1 . Kemudian garis bagi segitiga tersebut A 1 B 1 C 1 berbaring pada garis lurus A A. 1 , BB 1 , CC 1 .
52. teorema Gauss. Jika pesta berlanjut DAN KAMU Dan MatahariABC melintasi garis lurus aku di poin C, B Dan A, lalu titik tengah segmen tersebut AA, BB Dan SS berbaring pada garis lurus yang sama.
53 . Di kedua sisi segitiga, persegi dibangun di luarnya. Maka ruas yang menghubungkan ujung-ujung sisi persegi yang muncul dari salah satu titik sudut segitiga adalah dua kali lebih besar median segitiga yang muncul dari titik sudut yang sama.
54 . Melalui intinya M di tempat tinggi IKLAN segitiga sewenang-wenang ABC langsung VM Dan CM, yang melintasi sisinya AC Dan AB di poin R Dan Q masing-masing. Kemudian IKLAN- garis bagi sudut PDQ.
55 . Jika sebuah lingkaran tertulis dalam sebuah segitiga ABC, menyentuh bagian samping Matahari pada intinya M, kemudian lingkaran bertuliskan segitiga AVM Dan AFM, menyentuh satu segmen SAYA. di satu titik.
56 . Lingkaran sembilan poin. Dalam segitiga mana pun, sembilan titik - titik tengah sisi-sisinya, alas ketinggian, dan titik tengah segmen dari titik sudut hingga ortosenter - terletak pada lingkaran yang sama.
Pusat lingkaran Euler adalah titik E - titik tengah ruas OH, dimana O adalah pusat lingkaran yang dibatasi, H adalah ortosenter segitiga.
Diameter lingkaran Euler sama dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi.
57 . Lingkaran menyentuh sisi MatahariABC pada intinya M, dan kelanjutan para pihak AB Dan AC- di titik-titik N Dan R masing-masing. Lingkaran dalam segitiga ini menyentuh sisinya Matahari pada intinya KE, dan sisinya AB- pada intinya L. Kemudian
a) segmen SEBUAH sama dengan setengah keliling segitiga ABC;
b) segmen AL sama dengan selisih setengah keliling dan sisinya Matahari;
V) VK = SM;
G) NL = SM.
58 . Di samping VS, SA, Dan ABABC poin diambil sesuai A,B Dan G, Dan AC= AB, BA= SM Dan SA= C.B. Kemudian a, b Dan DENGAN- titik singgung lingkaran bertulisan dengan sisi-sisi segitiga.
59 . Membiarkan R- setengah keliling, a S- luas segitiga.
dan jika R- jari-jari lingkaran luar segitiga yang bersinggungan dengan sisi yang sama dengan A, Itu .
b) Jika R- Jari-jari lingkaran tertulis segitiga, a
adalah jari-jari lingkaran luar, kalau begitu 
Dan 
.
60. Jika suatu garis melalui suatu titik A dan pusat TENTANG lingkaran tertulis segitiga ABC, memotong lingkaran luar segitiga ini untuk kedua kalinya di titik tersebut M,PTO Dan com sama kaki.
61 . Teorema Mansion. Ruas yang menghubungkan pusat-pusat sisi dalam dan luar suatu segitiga dibagi dua oleh lingkaran luar.
62. rumus Euler. Jika HAI 1 ,HAI 2 - pusat lingkaran bertulisan dan dibatasi suatu segitiga ABC, sebuah r dan R- jari-jari lingkaran ini HAI 1 HAI 2 = .
63. Tentang segitiga sama sisi ABC sebuah lingkaran digambarkan, dan pada busur Matahari titik sewenang-wenang diambil M. Kemudian SAYA.= VM + SM.
64. Alas setiap tinggi segitiga diproyeksikan ke sisi-sisi segitiga, kemudian keenam titik yang dihasilkan terletak pada lingkaran yang sama.
65. Lingkaran dalam menyentuh sisi-sisinya AB Dan ACABC di poin M Dan N. Membiarkan R- titik potong garis M N dan garis bagi sudut DI DALAM(atau lanjutannya), lalu sudutnya BPC= 90°.
66 .Lingkaran dengan pusat TENTANG di sisi Matahari segitiga sama sisi ABC menyangkut para pihak AB Dan AC di poin R Dan . Q masing-masing. Garis singgung lingkaran memotong sisi-sisi tersebut di titik-titik M Dan N, dan segmennya OM Dan PADA memotong segmen tersebut PQ di poin E Dan F. Kemudian E.F.= MN/2.
67 . Dalam segitiga apa pun, jari-jari lingkaran yang dibatasi tidak kurang dari dua kali jari-jari lingkaran yang dibatasi, dan persamaan dicapai jika dan hanya jika segitiga tersebut sama sisi.
68 . Membiarkan TENTANG- keliling segitiga ABC, N- titik perpotongan ketinggian. Lalu sudutnya HAB sama dengan sudut O.A.C.
69 . Jika VM Dan CN- tinggi segitiga ABC, A HAI adalah keliling segitiga, lalu OA tegak lurus M N.
70. A) Poin Gergonne. Sebuah lingkaran tertulis di dalam segitiga. Titik-titik singgung dengan sisi-sisi segitiga dihubungkan ke titik-titik yang berhadapan. Kemudian ketiga segmen yang dihasilkan berpotongan di satu titik.
B) Titik Nagel. Dalam segitiga apa pun, ruas-ruas yang menghubungkan titik-titik sudut dengan titik-titik singgung lingkaran-lingkaran yang sisi-sisinya berhadapan berpotongan di satu titik.
71. Di segitiga mana pun ABC tengah sisi Matahari terletak pada ruas yang menghubungkan titik potong ketinggian dengan titik lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga ini, berhadapan secara diametris dengan titik sudut A, dan membagi segmen ini menjadi dua.
72.
Luas suatu segitiga tidak lebih dari setengah hasil kali kedua sisinya, yaitu 
.
>
81. Luas segitiga tidak kurang dari kuadrat jari-jari lingkaran yang tertulis dikalikan dengan , yaitu.
Tugas. Diberikan koordinat tiga titik \(A\),\(B\),\(C\). Titik-titik tersebut disusun membentuk segitiga. Satu poin lagi \(D\) diberikan. Perlu diperiksa apakah titik ini terletak di dalam segitiga \(\segitiga ABC\). Tulis kode program dalam #C++.
Larutan. Mari kita segera perhatikan bahwa solusi akan diusulkan di sini yang tidak dapat disebut sebagai yang terbaik. Ini adalah solusi cepat, namun memiliki sejumlah kelemahan. Ide klasik penyelesaiannya adalah jika titik \(D\) terletak di dalam segitiga \(\segitiga ABC\), maka ada tiga segitiga yang terdapat di dalam segitiga tersebut dan jumlah luasnya harus sama dengan luas segitiga yang diberikan. Itu. kesetaraan harus dipenuhi: \ Sekarang mari kita jelaskan masalahnya. Anda harus membandingkan nilai dua bilangan real - luas segitiga tertentu dan jumlah luas tiga segitiga bagian dalam. Dan, seperti yang Anda tahu, ini hanya bisa dilakukan dengan akurasi tertentu. Dalam praktiknya, perbedaan modulo antara area ini dipertimbangkan dan dibandingkan dengan sejumlah kecil yang menentukan keakuratan perbandingan. Apakah itu buruk.
Untuk mengatasi masalah ini, mari kita gunakan ide lain:
Semua titik segitiga (dan poligon cembung apa pun) harus terletak pada sisi yang sama dari garis yang melalui setiap sisinya.Mari kita tuliskan persamaan garis lurus yang melalui, misalnya, titik A dan B. Kita peroleh: \[\left(x - x_A \right) \left(y_B - y_A \right) - \left(y - y_A \kanan) \kiri(x_B - x_A \kanan) = 0\]. Persamaannya ditulis sedemikian rupa sehingga Anda tidak perlu melakukan pembagian dan mengkhawatirkan nol pada penyebutnya.
Sekarang untuk titik mana pun \(\left(x;y \right)\) kita dapat menghitung ruas kiri persamaan di atas. Untuk titik-titik yang terletak pada garis lurus kita harus mendapatkan nol. Pada saat yang sama, garis lurus akan membagi bidang menjadi dua setengah bidang. Titik-titik yang terletak pada setengah bidang yang sama akan memberikan nilai positif. Dan titik-titik dari setengah bidang lainnya bernilai negatif.
Kita siap untuk memeriksa kondisi pertama - apakah titik D \(\left(x_d,y_d \right)\) termasuk dalam setengah bidang yang sama dengan titik C \(\left(x_c,y_c \right)\) relatif terhadap garis lurus \(\kiri (AB\kanan)\) ? Caranya, kita substitusikan kedua titik tersebut ke ruas kiri persamaan garis lurus di atas dan pastikan nilai yang diperoleh bertanda sama. Bagaimana jika salah satu poinnya menghasilkan nol? Artinya titik tersebut terletak pada suatu garis. Menurut kondisi soal, ini hanya dapat berupa titik D. Maka titik tersebut termasuk dalam segitiga, apa pun tanda ekspresi yang dihitung untuk titik C.
Berikut adalah kode untuk program C++ sederhana. Anda perlu memasukkan koordinat ketiga titik sudut segitiga pada bidang, lalu koordinat titik yang keanggotaannya dalam segitiga sedang diperiksa. Ini kode programnya. #include int main() ( double xa, ya, xb, yb, xc, yc, xd, yd; scanf ("%lf%lf", &xa, &ya); // membaca koordinat titik A scanf ("% lf% lf", &xb, &yb); // membaca koordinat titik D scanf ("%lf%lf", &xc, &yc); // membaca koordinat titik C scanf ("%lf%lf", &xd , &yd); // membaca koordinat titik C scanf ("%lf%lf", &xd, &yd); // membaca koordinat titik D printf ((((xd - xa)*(yb-ya)- (yd-ya)*(xb-xa))*((xc - xa)*(yb-ya)-(yc-ya )*(xb-xa)) >= 0) && (((xd - xb) *(yc-yb)-(yd-yb)*(xc-xb))*((xa - xb)*(yc- yb)-(ya-yb)*(xc-xb)) >= 0) && (((xd - xc)*(ya-yc)-(yd-yc)*(xa-xc))*((xb - xc)*(ya-yc)-(yb-yc)*(xa-xc )) >= 0)? "yes": "no"); return 0; ) Anda dapat memeriksa program secara online menggunakan kompiler kami.
Tugas persiapan 7.1. Mencari luas segitiga yang titik sudutnya merupakan titik tengah sisi-sisi segitiga yang luasnya 4. 7.2. Titik M dan N terletak pada sisi BC segitiga ABC, dan titik K terletak pada sisi AC, dengan BM:MN:NC=1:1:2 dan CK:AK=1:4. Diketahui luas segitiga ABC adalah 1. Hitunglah luas segi empat AMNK. 7.3. Pada sisi AB segitiga ABC diambil titik M dan N dengan AM:MN:NB=2:2:1, dan pada sisi AC terdapat titik K dengan AK:KC=1:2. Hitunglah luas segitiga MNK jika luas segitiga ABC adalah 1. 7.4. Melalui titik M dan N yang membagi sisi AB segitiga ABC menjadi tiga bagian yang sama besar, ditarik garis lurus yang sejajar dengan sisi BC. Hitunglah luas bagian segitiga yang diapit oleh garis-garis tersebut jika luas segitiga ABC adalah 1. 7.5. Pada sisi AB, BC dan AC segitiga ABC diambil titik C1, A1 dan B1 berturut-turut dengan AC1/C1B=BA1/A1C=CB1/B1A=1/2. Hitunglah luas segitiga A1B1C1 jika luas segitiga ABC adalah 1. 7.6. Alas suatu segitiga adalah 36. Sebuah garis yang sejajar alas membagi luas segitiga menjadi dua. Tentukan panjang ruas garis yang terletak di antara sisi-sisi segitiga tersebut. 7.7. Dari titik tengah alas segitiga yang luasnya S, ditarik garis lurus yang sejajar dengan sisi-sisinya. Temukan luas jajar genjang yang diperoleh. Tugas pelatihan 7.8. Garis lurus yang sejajar sisi-sisinya ditarik dari suatu titik di dasar segitiga. Mereka membagi segitiga menjadi jajar genjang dan dua segitiga dengan luas S1 dan S2. Temukan luas jajaran genjang. 7.9. Pada segitiga ABC digambarkan garis bagi CF dan AD. Tentukan perbandingan luas segitiga AFD dan ABC jika AB:AC:BC=21:28:20. 7.10. Segitiga dan belah ketupat yang tertulis di dalamnya mempunyai sudut yang sama. Sisi-sisi segitiga yang mengelilingi sudut ini mempunyai perbandingan m/n. Temukan perbandingan luas belah ketupat dengan luas segitiga. 7.11. Dua garis lurus sejajar alas trapesium membagi masing-masing sisinya menjadi tiga bagian yang sama besar. Seluruh trapesium dibagi menjadi tiga bagian. Hitunglah luas bagian tengah jika luas bagian luarnya sama dengan S1 dan S2. 7.12. Suatu segi empat dibagi oleh diagonal-diagonalnya menjadi empat segitiga. Luas ketiganya adalah 10, 20 dan 30, dan masing-masing lebih kecil dari luas segitiga keempat. Temukan luas segi empat ini. 7.13. Luas segitiga yang dibentuk oleh segmen diagonal trapesium dan alasnya sama dengan S1 dan S2. Temukan luas trapesium. 7.14. Luas trapesium ABCD adalah 30. Titik P merupakan titik tengah sisi AB. Titik R pada sisi CD dipilih sedemikian rupa sehingga 2CD=3RD. Garis AR dan PD berpotongan di titik Q. Hitunglah luas segitiga APQ jika AD=2BC. 7.15. Diberikan segi empat cembung dengan luas S. Tentukan luas segi empat yang titik sudutnya berada di titik tengah sisi-sisinya. 7.16. Diberikan segi empat cembung dengan luas S. Sebuah titik dipilih di dalamnya dan ditampilkan secara simetris terhadap titik tengah sisi-sisinya. Ini menghasilkan empat simpul dari segiempat baru. Temukan luasnya. 7.17. Pada trapesium ABCD (BC || AD), diagonal-diagonalnya berpotongan di titik M, BC=b, AD=a. Tentukan perbandingan luas segitiga ABM dengan luas trapesium ABCD. 7.18. Pada segitiga sama kaki ABC, sisi BC dan AC berukuran dua kali alas AB. Garis-garis bagi sudut-sudut alasnya berpotongan di titik M. Bagian segitiga ABC manakah yang luas segitiga AMB? 7.19. Pada segitiga ABC yang luasnya sama dengan S, ditarik garis bagi CE dan median BD yang berpotongan di titik O. Carilah luas segiempat ADOE dengan mengetahui bahwa BC=a, AC=b. 7.20. Pada segitiga siku-siku, sinus sudut yang lebih kecil adalah 1/3. Sebuah garis lurus ditarik tegak lurus terhadap sisi miring, membagi segitiga menjadi dua bagian yang sama besar. Berapa perbandingan garis ini membagi sisi miring? 7.21. Titik M dan N diambil pada sisi AB dan AD jajar genjang ABCD sehingga garis MC dan NC membagi jajar genjang menjadi tiga bagian yang sama besar. Carilah MN jika BD=d. 7.22. Pada segitiga ABC, sudut A 45° dan sudut C lancip. Dari tengah sisi BC sebuah NM yang tegak lurus dijatuhkan ke sisi AC. Luas segitiga NMC dan ABC memiliki perbandingan 1:8. Tentukan sudut segitiga ABC. 7.23. Pada segitiga ABC, dari titik E sisi BC ditarik garis lurus sejajar tinggi BD dan memotong sisi AC di titik F. Ruas EF membagi segitiga ABC menjadi dua bangun datar yang sama besar. Tentukan EF jika BD=6, AD/DC=2/7. 7.24. Melalui suatu titik tertentu yang diambil di dalam segitiga, ditarik tiga garis lurus yang sejajar dengan sisi-sisinya. Garis-garis ini membagi segitiga menjadi enam bagian, tiga di antaranya merupakan segitiga dengan luas S1, S2, S3. Temukan luas segitiga ini. 7.25. Pada segitiga sama kaki ABC (AB=BC) digambarkan garis bagi AD. Luas segitiga ABD dan ADC masing-masing sama dengan S1 dan S2. Temukan AC. 7.26. Diagonal-diagonal segi empat ABCD cembung berpotongan di titik E. Diketahui luas masing-masing segitiga ABE dan DCE sama dengan 1, luas seluruh segiempat tidak melebihi 4, AD=3. Temukan sisi BC. 7.27. Dari titik P yang terletak di dalam segitiga lancip ABC, ditarik garis tegak lurus pada sisi-sisinya. Panjang sisi-sisinya dan garis tegak lurus yang dijatuhkan padanya masing-masing sama dengan a dan k, b dan m, c dan n. Tentukan perbandingan luas segitiga ABC dengan luas segitiga yang titik-titik sudutnya merupakan alas tegak lurus. 7.28. Dari titik P yang terletak di dalam segitiga lancip ABC, garis tegak lurus dijatuhkan ke sisi AB, BC dan CA. Garis tegak lurus masing-masing sama dengan l, m, n. Hitung luas segitiga ABC jika sudut BAC, ABC dan ACB berturut-turut sama dengan α, β dan γ. 7.29. Diberikan jajar genjang ABCD. Garis yang melalui titik sudut C memotong garis AB dan AD di titik K dan L. Luas segitiga KBC dan CDL sama dengan p dan q. Carilah luas jajar genjang ABCD. 7.30. Titik P dan Q masing-masing diambil pada sisi lateral AD dan BC trapesium ABCD dengan AP:PD=3:2. Ruas PQ membagi trapesium menjadi beberapa bagian, yang salah satunya berukuran dua kali luas yang lain. Tentukan perbandingan CQ:QB jika AB:CD=3:2. 7.31. Pada sisi AB, AC dan BC segitiga beraturan ABC terdapat titik C1, B1 dan A1 berturut-turut, sehingga segitiga A1B1C1 beraturan. Ruas BB1 memotong sisi C1A1 di titik O, dengan BO/OB1=k. Tentukan perbandingan luas segitiga ABC dengan luas segitiga A1B1C1. 7.32. Pada sisi AB, BC dan AC segitiga ABC diambil titik C1, A1 dan B1 berturut-turut, dan AC1/C1B=BA1/A1C=CB1/B1A=2/1. Hitunglah luas segitiga yang titik sudutnya merupakan perpotongan berpasangan segmen AA1, BB1, CC1, jika luas segitiga ABC sama dengan 1.
