Persimpangan pesawat. Persamaan garis dalam ruang adalah persamaan dua bidang yang berpotongan

Dengan menggunakan kalkulator online ini Anda dapat menemukan garis perpotongan bidang. Solusi terperinci dengan penjelasan diberikan. Untuk mencari persamaan garis perpotongan bidang, masukkan koefisien ke dalam persamaan bidang dan klik tombol "Selesaikan". Lihat bagian teoritis dan contoh numerik di bawah.

Peringatan

Hapus semua sel?

Tutup Hapus

Instruksi entri data. Angka dimasukkan sebagai bilangan bulat (contoh: 487, 5, -7623, dst.), desimal (mis. 67., 102.54, dst.) atau pecahan. Pecahan tersebut harus dimasukkan dalam bentuk a/b, dimana a dan b (b>0) adalah bilangan bulat atau bilangan desimal. Contoh 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, dst.

Garis perpotongan bidang - teori, contoh dan solusi

Dua bidang dalam ruang bisa sejajar, berimpit, atau berpotongan. Pada artikel ini, kita akan menentukan posisi relatif dua bidang, dan jika bidang-bidang tersebut berpotongan, kita akan memperoleh persamaan garis perpotongan bidang-bidang tersebut.

Biarkan sistem koordinat persegi panjang Cartesian diberikan Oksiz dan biarkan bidang-bidang tersebut ditentukan dalam sistem koordinat ini α 1 dan α 2:

Sejak vektor N 1 dan N 2 adalah segaris, maka ada bilangan tersebut λ ≠0, bahwa persamaan terpenuhi N 1 =λ N 2, yaitu A 1 =λ A 2 , B 1 =λ B 2 , C 1 =λ C 2 .

Mengalikan persamaan (2) dengan λ , kita mendapatkan:

Jika kesetaraan D 1 =λ D 2, lalu pesawat α 1 dan α 2 bertepatan, jika D 1 ≠λ D 2 lalu pesawat α 1 dan α 2 sejajar, artinya tidak berpotongan.

2. Vektor normal N 1 dan N 2 pesawat α 1 dan α 2 tidak segaris (Gbr. 2).

Jika vektor N 1 dan N 2 tidak segaris, maka kita selesaikan sistem persamaan linier (1) dan (2). Untuk melakukan ini, kita memindahkan suku bebas ke ruas kanan persamaan dan menyusun persamaan matriks yang sesuai:

Di mana X 0 , kamu 0 , z 0 , m, hal, aku bilangan real dan T− variabel.

Kesetaraan (5) dapat ditulis sebagai berikut:

Contoh 1. Temukan garis perpotongan bidang α 1 dan α 2:

α 1: X+2kamu+z+54=0.

(7)

Mari kita selesaikan sistem persamaan linear (9) terhadap x, kamu, z. Untuk menyelesaikan sistem, kami membuat matriks yang diperluas:

Tahap kedua. Membalikkan gerakan Gaussian.

Mari kita kecualikan elemen kolom ke-2 matriks di atas elemen tersebut A 22. Caranya, tambahkan baris 1 dengan baris 2 dikalikan −2/5:

Kami mendapatkan solusinya:

Kami memperoleh persamaan garis perpotongan bidang α 1 dan α 2 dalam bentuk parametrik. Mari kita tulis dalam bentuk kanonik.

Menjawab. Persamaan garis perpotongan bidang α 1 dan α 2 terlihat seperti:

(15)

α 1 memiliki vektor normal N 1 ={A 1 , B 1 , C 1 )=(1, 2, 7). Pesawat α 2 memiliki vektor normal N 2 ={A 2 , B 2 , C 2 }={2, 4, 14}.

N 1 dan N 2 segaris ( N 1 dapat diperoleh dengan perkalian N 2 dengan angka 1/2), lalu bidang α 1 dan α 2 sejajar atau kebetulan.

α 2 dikalikan dengan angka 1/2:

(18)

Larutan. Mari kita tentukan terlebih dahulu posisi relatif bidang-bidang tersebut. Pesawat α 1 memiliki vektor normal N 1 ={A 1 , B 1 , C 1 )=(5, −2, 3). Pesawat α 2 memiliki vektor normal N 2 ={A 2 , B 2 , C 2 }={15, −6, 9}.

Sejak vektor arah N 1 dan N 2 segaris ( N 1 dapat diperoleh dengan perkalian N 2 dengan angka 1/3), lalu bidang α 1 dan α 2 sejajar atau kebetulan.

Jika suatu persamaan dikalikan dengan bilangan bukan nol, maka persamaan tersebut tidak berubah. Mari kita ubah persamaan bidangnya α 2 dikalikan dengan angka 1/3:

(19)

Karena vektor-vektor normal persamaan (17) dan (19) berimpit dan suku-suku bebasnya sama, maka bidang-bidang tersebut α 1 dan α 2 pertandingan.

Pada bagian ini kita akan melanjutkan mempelajari topik persamaan garis lurus dalam ruang dari sudut pandang stereometri. Artinya kita menganggap garis lurus dalam ruang tiga dimensi sebagai garis perpotongan dua bidang.

Menurut aksioma stereometri, jika dua bidang tidak berhimpitan dan mempunyai satu titik persekutuan, maka kedua bidang tersebut juga mempunyai satu garis lurus yang sama yang di atasnya terletak semua titik yang sama pada kedua bidang tersebut. Dengan menggunakan persamaan dua bidang yang berpotongan, kita dapat mendefinisikan garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang.

Saat kami mempertimbangkan topik ini, kami akan memberikan banyak contoh, sejumlah ilustrasi grafis, dan solusi terperinci yang diperlukan untuk asimilasi materi yang lebih baik.

Misalkan diberikan dua bidang yang tidak berhimpitan dan berpotongan. Mari kita nyatakan mereka sebagai bidang α dan bidang β. Mari kita tempatkan mereka dalam sistem koordinat persegi panjang O x y z ruang tiga dimensi.

Seperti yang kita ingat, setiap bidang dalam sistem koordinat persegi panjang diberikan oleh persamaan bidang umum berbentuk A x + B y + C z + D = 0. Kita asumsikan bidang α berhubungan dengan persamaan A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, dan bidang β berhubungan dengan persamaan A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Dalam hal ini, vektor-vektor normal bidang α dan β n 1 → = (A 1, B 1, C 1) dan n 2 → = (A 2, B 2, C 2) tidak segaris, karena bidang-bidang tersebut sejajar tidak berhimpitan satu sama lain dan e ditempatkan sejajar satu sama lain. Mari kita tulis kondisi ini sebagai berikut:

n 1 → ≠ λ n 2 → ⇔ A 1 , B 1 , C 1 ≠ λ A 2 , λ B 2 , λ C 2 , λ ∈ R

Untuk menyegarkan ingatan Anda tentang materi dengan topik “Paralelisme Bidang”, lihat bagian terkait di situs web kami.

Mari kita tunjukkan garis perpotongan bidang-bidang tersebut dengan huruf A . Itu. a = α ∩ β. Garis ini mewakili himpunan titik-titik yang sama pada bidang α dan β. Artinya semua titik pada garis lurus a memenuhi kedua persamaan bidang A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Faktanya, mereka adalah solusi khusus untuk sistem persamaan A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Penyelesaian umum sistem persamaan linear A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 menentukan koordinat semua titik pada garis sepanjang perpotongan dua bidang α dan β. Artinya dengan bantuannya kita dapat menentukan posisi garis pada sistem koordinat persegi panjang O x y z.

Mari kita pertimbangkan kembali teori yang dijelaskan, sekarang dengan menggunakan contoh spesifik.

Contoh 1

Garis lurus O x adalah garis lurus yang memotong bidang koordinat O x y dan O x z. Mari kita definisikan bidang O x y dengan persamaan z = 0, dan bidang O x z dengan persamaan y = 0. Pendekatan ini telah kita bahas secara rinci di bagian “Persamaan umum bidang yang tidak lengkap”, sehingga jika mengalami kesulitan, Anda dapat merujuk kembali ke materi ini. Dalam hal ini garis koordinat O x ditentukan dalam sistem koordinat tiga dimensi dengan sistem dua persamaan berbentuk y = 0 z = 0.

Menemukan koordinat suatu titik yang terletak pada garis yang memotong bidang-bidang

Mari kita pertimbangkan masalahnya. Misalkan sistem koordinat persegi panjang O x y z diberikan dalam ruang tiga dimensi. Garis perpotongan dua bidang a diberikan oleh sistem persamaan A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Diberikan sebuah titik dalam ruang tiga dimensi M 0 x 0, y 0, z 0.

Mari kita tentukan apakah titik M 0 x 0, y 0, z 0 termasuk dalam garis lurus tertentu A .

Untuk mendapatkan jawaban dari soal soal tersebut, kita substitusikan koordinat titik M 0 ke dalam masing-masing dua persamaan bidang tersebut. Jika, sebagai hasil substitusi, kedua persamaan berubah menjadi persamaan yang benar A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 dan A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0, maka titik M 0 termasuk dalam masing-masing bidang dan termasuk dalam garis tertentu. Jika paling sedikit salah satu persamaan A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 dan A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 ternyata adalah salah, maka titik M 0 tidak termasuk dalam garis lurus.

Mari kita lihat contoh solusinya

Contoh 2

Garis lurus didefinisikan dalam ruang dengan persamaan dua bidang berpotongan berbentuk 2 x + 3 y + 1 = 0 x - 2 y + z - 3 = 0. Tentukan apakah titik M 0 (1, - 1, 0) dan N 0 (0, - 1 3, 1) termasuk dalam garis lurus perpotongan bidang-bidang tersebut.

Larutan

Mari kita mulai dari titik M 0. Mari kita substitusikan koordinatnya ke dalam kedua persamaan sistem 2 · 1 + 3 · (- 1) + 1 = 0 1 - 2 · (- 1) + 0 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

Sebagai hasil substitusi, kami memperoleh persamaan yang benar. Artinya titik M 0 termasuk dalam kedua bidang dan terletak pada garis perpotongannya.

Mari kita substitusikan koordinat titik N 0 (0, - 1 3, 1) ke dalam kedua persamaan bidang tersebut. Kita peroleh 2 0 + 3 - 1 3 + 1 = 0 0 - 2 - 1 3 + 1 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 - 1 1 3 = 0.

Seperti yang Anda lihat, persamaan kedua dari sistem telah menjadi persamaan yang salah. Artinya titik N 0 tidak termasuk dalam garis tersebut.

Menjawab: titik M 0 termasuk dalam garis lurus, tetapi titik N 0 tidak.

Sekarang kami menawarkan algoritma untuk mencari koordinat suatu titik tertentu yang termasuk dalam suatu garis lurus, jika garis lurus dalam ruang pada sistem koordinat persegi panjang O x y z ditentukan oleh persamaan perpotongan bidang A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Banyaknya penyelesaian sistem dua persamaan linear yang tidak diketahui A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 tidak terhingga. Solusi apa pun dapat menjadi solusi terhadap masalah tersebut.

Mari kita beri contoh.

Contoh 3

Misalkan suatu garis lurus didefinisikan dalam ruang tiga dimensi dengan persamaan dua bidang berpotongan berbentuk x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0. Temukan koordinat titik mana pun pada garis ini.

Larutan

Mari kita tulis ulang sistem persamaan x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 .

Mari kita ambil minor bukan nol orde kedua sebagai minor basis dari matriks utama sistem 1 0 2 3 = 3 ≠ 0. Artinya z adalah variabel bebas yang tidak diketahui.

Mari kita pindahkan suku-suku yang mengandung variabel bebas z yang tidak diketahui ke ruas kanan persamaan:

x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z

Mari kita perkenalkan bilangan real sembarang λ dan asumsikan bahwa z = λ.

Maka x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 λ 2 x + 3 y = - 2 - 3 λ .

Untuk menyelesaikan sistem persamaan yang dihasilkan, kami menerapkan metode Cramer:

∆ = 1 0 2 3 = 1 3 - 0 1 = 2 ∆ x = - 7 - 3 λ 0 - - 3 λ 3 = - 7 - 3 λ 3 - 0 (- 2 - 3 λ) = 21 - 9 λ ⇒ x = ∆ x ∆ = - 7 - 3 λ ∆ y = 1 - 7 - 3 λ 2 - 2 - 3 λ = 1 · - 2 - 3 λ - - 7 - 3 λ = 12 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = 4 + λ

Penyelesaian umum sistem persamaan x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 akan berbentuk x = - 7 - 3 λ y = 4 + λ z = λ, dimana λ ∈ R.

Untuk mendapatkan solusi tertentu pada sistem persamaan, yang akan memberi kita koordinat yang diinginkan dari suatu titik yang termasuk dalam garis tertentu, kita perlu mengambil nilai tertentu dari parameter λ. Jika λ = 0, maka x = - 7 - 3 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = - 7 y = 4 z = 0.

Ini memungkinkan kita mendapatkan koordinat titik yang diinginkan - 7, 4, 0.

Mari kita periksa keakuratan koordinat titik yang ditemukan dengan mensubstitusikannya ke persamaan awal dua bidang yang berpotongan - 7 + 3 · 0 + 7 = 0 2 · (- 7) + 3 · 4 + 3 · 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

Menjawab: - 7 , 4 , 0

Vektor arah garis yang memotong dua bidang

Mari kita lihat cara menentukan koordinat vektor arah suatu garis lurus yang diberikan oleh persamaan dua bidang yang berpotongan A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 dan A 2 x + B 2 kamu + C 2 z + D 2 = 0. Pada sistem koordinat persegi panjang 0xz, vektor arah suatu garis lurus tidak dapat dipisahkan dari garis lurus.

Seperti yang kita ketahui, suatu garis tegak lurus terhadap suatu bidang jika garis tersebut tegak lurus terhadap garis mana pun yang terletak pada suatu bidang tertentu. Berdasarkan penjelasan di atas, vektor normal suatu bidang tegak lurus terhadap vektor bukan nol yang terletak pada bidang tertentu. Kedua fakta ini akan membantu kita dalam mencari vektor arah garis.

Bidang α dan β berpotongan sepanjang garis A . Vektor arah a → garis lurus A terletak tegak lurus terhadap vektor normal n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) pada bidang A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 dan vektor normal n 2 → = (A 2 , B 2, C 2) bidang A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

vektor langsung A adalah hasil kali vektor dari vektor n → 1 = (A 1, B 1, C 1) dan n 2 → = A 2, B 2, C 2.

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2

Mari kita definisikan himpunan semua vektor pengarah garis sebagai λ · a → = λ · n 1 → × n 2 → , di mana λ adalah parameter yang dapat mengambil nilai real apa pun selain nol.

Contoh 4

Misalkan garis lurus dalam ruang pada sistem koordinat persegi panjang O x y z diberikan oleh persamaan dua bidang yang berpotongan x + 2 y - 3 z - 2 = 0 x - z + 4 = 0. Mari kita cari koordinat vektor arah mana pun dari garis ini.

Larutan

Bidang x + 2 y - 3 z - 2 = 0 dan x - z + 4 = 0 mempunyai vektor normal n 1 → = 1, 2, - 3 dan n 2 → = 1, 0, - 1. Mari kita ambil sebagai vektor arah suatu garis lurus, yang merupakan perpotongan dua bidang tertentu, hasil kali vektor dari vektor-vektor normal:

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → 1 2 - 3 1 0 - 1 = i → · 2 · (- 1) + j → · (- 3) · 1 + k → · 1 · 0 - - k → · 2 · 1 - j → · 1 · (- 1) - i → · (- 3) · 0 = - 2 · i → - 2 j → - 2 k →

Mari kita tuliskan jawabannya dalam bentuk koordinat a → = - 2, - 2, - 2. Bagi yang belum ingat cara melakukannya, sebaiknya Anda merujuk ke topik “Koordinat vektor dalam sistem koordinat persegi panjang”.

Menjawab: a → = - 2 , - 2 , - 2

Transisi ke persamaan parametrik dan kanonik garis lurus dalam ruang

Untuk menyelesaikan beberapa soal, lebih mudah menggunakan persamaan parametrik garis lurus dalam ruang yang berbentuk x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ atau persamaan kanonik suatu garis lurus dalam ruang berbentuk x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ . Dalam persamaan ini, a x, a y, a z adalah koordinat vektor pengarah garis, x 1, y 1, z 1 adalah koordinat suatu titik pada garis, dan λ adalah parameter yang mengambil nilai riil sembarang.

Dari persamaan garis lurus berbentuk A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 kita dapat menuju ke persamaan kanonik dan parametrik dari garis lurus dalam ruang. Untuk menulis persamaan kanonik dan parametrik suatu garis lurus, kita memerlukan keterampilan mencari koordinat suatu titik tertentu pada suatu garis lurus, serta koordinat suatu vektor pengarah suatu garis lurus, yang diberikan oleh persamaan dari dua bidang yang berpotongan.

Mari kita lihat apa yang ditulis di atas dengan menggunakan sebuah contoh.

Contoh 5

Mari kita definisikan garis lurus dalam sistem koordinat tiga dimensi dengan persamaan dua bidang yang berpotongan 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0. Mari kita tulis persamaan kanonik dan parametrik garis ini.

Larutan

Mari kita cari koordinat vektor pengarah garis yang merupakan hasil kali vektor vektor normal n 1 → = 2, 1, - 1 pada bidang 2 x + y - z - 1 = 0 dan n 2 → = ( 1, 3, - 2) pada bidang x + 3 y - 2 z = 0:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 2 1 - 1 1 3 - 2 = i → · 1 · (- 2) + j → · (- 1) · 1 + k → · 2 · 3 - - k → · 1 · 1 - j → · 2 · (- 2) - i → · (- 1) · 3 = i → + 3 · j → + 5 · k →

Koordinat vektor pengarah garis lurus a → = (1, 2, 5).

Langkah selanjutnya adalah menentukan koordinat suatu titik pada suatu garis lurus tertentu, yang merupakan salah satu penyelesaian sistem persamaan: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 .

Mari kita ambil determinan 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 sebagai matriks minor dari sistem, yang bukan nol. Dalam hal ini variabel z gratis. Mari kita pindahkan suku-sukunya ke ruas kanan setiap persamaan dan berikan variabel tersebut nilai sembarang λ:

2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + z x + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + λ x + 3 y = 2 λ , λ ∈ R

Kami menggunakan metode Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan yang dihasilkan:

∆ = 2 1 1 3 = 2 3 - 1 1 = 5 ∆ x = 1 + λ 1 2 λ 3 = (1 + λ) 3 - 1 2 λ = 3 + λ ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + λ 5 = 3 5 + 1 5 · λ ∆ y = 2 1 + λ 1 2 λ = 2 · 2 λ - (1 + λ) · 1 = - 1 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = - 1 + 3 λ 5 = - 1 5 + 3 5λ

Kita peroleh: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = - 1 5 + 3 5 z = λ

Mari kita ambil λ = 2 untuk mendapatkan koordinat suatu titik pada garis lurus: x 1 = 3 5 + 1 5 2 y 1 = - 1 5 + 3 5 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1 z 1 = 2 . Sekarang kita mempunyai cukup data untuk menuliskan persamaan kanonik dan parametrik suatu garis dalam ruang: x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ x = 1 + 1 · λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ ⇔ x = 1 + λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ

Menjawab: x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 dan x = 1 + λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ

Ada cara lain untuk mengatasi masalah ini.

Pencarian koordinat titik tertentu pada suatu garis dilakukan dengan menyelesaikan sistem persamaan A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Secara umum, penyelesaiannya dapat ditulis dalam bentuk persamaan parametrik yang diinginkan dari suatu garis dalam ruang x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ.

Persamaan kanonik diperoleh sebagai berikut: kita menyelesaikan setiap persamaan yang diperoleh sehubungan dengan parameter λ, dan menyamakan ruas kanan persamaan tersebut.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y λ = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

Mari terapkan cara ini untuk menyelesaikan masalah.

Contoh 6

Mari kita tentukan posisi garis lurus dengan persamaan dua bidang yang berpotongan 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0. Mari kita tulis persamaan parametrik dan kanonik untuk garis lurus ini.

Larutan

Menyelesaikan sistem dua persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui dilakukan dengan cara yang sama seperti yang kita lakukan pada contoh sebelumnya. Kita peroleh: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ .

Ini adalah persamaan parametrik suatu garis dalam ruang.

Kita peroleh persamaan kanoniknya sebagai berikut: x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ ⇔ λ = x - 3 5 1 5 λ = y + 1 5 3 5 λ = z 1 ⇔ x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1

Persamaan yang diperoleh pada kedua contoh berbeda tampilannya, namun setara, karena persamaan tersebut mendefinisikan himpunan titik yang sama dalam ruang tiga dimensi, dan oleh karena itu merupakan garis lurus yang sama.

Menjawab: x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 dan x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Jika dua pesawat berpotongan, maka sistem persamaan linier mendefinisikan persamaan garis lurus dalam ruang.

Artinya, garis lurus ditentukan oleh persamaan dua bidang. Tugas yang umum dan umum adalah menulis ulang persamaan garis lurus dalam bentuk kanonik:

Contoh 9

Larutan: Untuk membuat persamaan kanonik suatu garis, Anda perlu mengetahui titik dan vektor arahnya. Dan kami telah memberikan persamaan dua bidang...

1) Pertama, temukan suatu titik yang termasuk dalam suatu garis tertentu. Bagaimana cara melakukan ini? Dalam sistem persamaan, Anda perlu mengatur ulang beberapa koordinat. Misalkan , maka kita memperoleh sistem dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui: . Kami menjumlahkan persamaan suku demi suku dan menemukan solusi sistem:

Jadi, titik tersebut termasuk dalam garis ini. Perhatikan poin teknis berikut: disarankan untuk mencari poin dengan utuh koordinat. Jika kita menyetel ulang “X” atau “Z” ke nol dalam sistem, bukanlah fakta bahwa kita akan mendapatkan titik “baik” tanpa koordinat pecahan. Analisis dan pemilihan poin tersebut hendaknya dilakukan secara mental atau dalam rancangan.

Mari kita periksa: substitusikan koordinat titik ke dalam sistem persamaan asli: . Persamaan yang benar diperoleh, yang artinya memang .

2) Bagaimana cara mencari vektor arah suatu garis lurus? Letaknya terlihat jelas pada gambar skema berikut:

Vektor arah garis lurus kita ortogonal terhadap vektor normal bidang. Dan jika , maka kita mencari vektor “pe” sebagai produk vektor vektor normal: .

Dari persamaan bidang kita menghilangkan vektor normalnya:

Dan kita menemukan vektor pengarah garis:

Cara memeriksa hasilnya telah dibahas di artikel Produk vektor dari vektor.

3) Mari kita buat persamaan kanonik garis lurus menggunakan titik dan vektor arah:

Menjawab:

Dalam praktiknya, Anda dapat menggunakan rumus yang sudah jadi: jika suatu garis diberikan oleh perpotongan dua bidang, maka vektornya adalah vektor arah garis tersebut.

Contoh 10

Tuliskan persamaan garis kanonik

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Jawaban Anda mungkin berbeda dengan jawaban saya (tergantung poin mana yang Anda pilih). Jika ada perbedaan, maka untuk memeriksanya, ambil satu poin dari persamaan Anda dan substitusikan ke persamaan saya (atau sebaliknya).

Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Pada pelajaran bagian kedua, kita akan melihat posisi relatif garis-garis dalam ruang, dan juga menganalisis masalah-masalah yang berhubungan dengan garis dan titik spasial. Saya tersiksa oleh harapan yang tidak jelas bahwa akan ada cukup materi, jadi lebih baik membuat halaman web terpisah.

Selamat datang: Masalah garis di luar angkasa >>>

Solusi dan jawaban:

Contoh 4: Jawaban:

Contoh 6: Larutan: Mari kita cari vektor pengarah garis:

Mari kita buat persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah:

Menjawab : (“igrek” – apa saja) :

Menjawab :

Garis lurus dalam ruang dapat didefinisikan sebagai garis perpotongan dua bidang yang tidak sejajar dan, yaitu, sebagai himpunan titik yang memenuhi sistem dua persamaan linier.

(V.5)

Pernyataan sebaliknya juga benar: sistem dua persamaan linier independen berbentuk (V.5) mendefinisikan garis lurus sebagai garis perpotongan bidang (jika tidak sejajar). Persamaan sistem (V.5) disebut persamaan umum garis lurus dalam ruang
.

ContohV.12 . Tulislah persamaan kanonik garis yang diberikan oleh persamaan umum bidang

Larutan. Untuk menulis persamaan kanonik suatu garis atau, yang juga sama, persamaan garis yang melalui dua titik tertentu, Anda perlu mencari koordinat dua titik mana pun pada garis tersebut. Misalnya, titik tersebut dapat berupa titik potong garis lurus dengan dua bidang koordinat Oyz Dan Okz.

Titik potong garis dan bidang Oyz memiliki absis
. Oleh karena itu, asumsikan dalam sistem persamaan ini
, kita mendapatkan sistem dengan dua variabel:

Keputusannya
,
bersama dengan
mendefinisikan suatu titik
garis lurus yang diinginkan. Dengan asumsi dalam sistem persamaan ini
, kami mendapatkan sistemnya

solusi yang mana
,
bersama dengan
mendefinisikan suatu titik
perpotongan garis dengan bidang Okz.

Sekarang mari kita tuliskan persamaan garis yang melalui titik-titik tersebut
Dan
:
atau
, Di mana
akan menjadi vektor arah garis lurus ini.

ContohV.13. Garis lurus diberikan oleh persamaan kanonik
. Tulis persamaan umum untuk garis ini.

Larutan. Persamaan kanonik garis lurus dapat ditulis sebagai sistem dua persamaan independen:



Kita telah memperoleh persamaan umum garis lurus, yang sekarang diberikan oleh perpotongan dua bidang, salah satunya
sejajar dengan sumbu Ons (
), dan yang lainnya
– sumbu Oh (
).

Garis lurus ini dapat direpresentasikan sebagai garis perpotongan dua bidang lainnya dengan menuliskan persamaan kanoniknya dalam bentuk pasangan persamaan bebas lainnya:



Komentar . Garis lurus yang sama dapat ditentukan oleh sistem dua persamaan linier yang berbeda (yaitu, dengan perpotongan bidang yang berbeda, karena jumlah bidang yang tak terhingga dapat ditarik melalui satu garis lurus), serta dengan persamaan kanonik yang berbeda (tergantung pada pemilihan suatu titik pada garis lurus dan vektor arahnya) .

Vektor bukan nol yang sejajar dengan garis lurus, kita sebut saja vektor panduan .

Biarkan dalam ruang tiga dimensi diberikan garis lurus aku, melewati titik tersebut
, dan vektor arahnya
.

Vektor apa pun
, Di mana
, terletak pada suatu garis, segaris dengan vektor , oleh karena itu koordinatnya proporsional, yaitu

(V.6)

Persamaan ini disebut persamaan garis kanonik. Dalam kasus khusus ketika ﻉ adalah sebuah bidang, kita memperoleh persamaan garis lurus pada bidang tersebut

ContohV.14. .
,
.

(V.7)
,
,
.

Temukan persamaan garis yang melalui dua titik

(V.7) T Di mana
.

Lebih mudah untuk menulis persamaan (V.6) dalam bentuk parametrik. Karena koordinat vektor arah garis sejajar sebanding, maka asumsikan

- parameter,
Jarak dari titik ke garis aku Pertimbangkan ruang Euclidean dua dimensi ﻉ dengan sistem koordinat Cartesian. Biarkan intinya
ﻉ dan akuﻉ. Mari kita cari jarak dari titik ini ke garis. Ayo taruh
, dan lurus

diberikan oleh persamaan
(Gbr.V.8).
Jarak
, vektor aku,
, Di mana – vektor garis normal
Dan
,
.

– collinear, jadi koordinatnya proporsional, yaitu
, karena itu, A Dan B Dari sini
atau mengalikan persamaan ini dengan

masing-masing, dan menambahkannya, kita temukan

, dari sini
(V.8)
.

ContohV.15. menentukan jarak dari suatu titik
ke garis lurus aku:
Temukan persamaan garis yang melalui suatu titik
(V.8) aku.

tegak lurus terhadap garis lurus
dan carilah jarak darinya aku
Dari Gambar. V.8 yang kita punya

, dan vektor normalnya lurus
. Dari kondisi tegak lurus yang kita miliki

Karena

, Itu
.
.

(V.9)
Ini adalah persamaan garis yang melalui suatu titik aku:
,tegak lurus terhadap garis lurus
(V.8) aku Misalkan kita mempunyai persamaan garis (V.9) yang melalui titik tersebut

, tegak lurus terhadap garis
. Temukan jarak dari titik tersebut
, menggunakan rumus (V.8).
Untuk mencari jarak yang dibutuhkan, cukup mencari persamaan garis lurus yang melalui dua titik

, dan vektor normalnya lurus
dan titik
. Dari kondisi tegak lurus yang kita miliki

terletak pada garis di dasar tegak lurus. Membiarkan

, Kemudian
, dan vektornya aku.
atau

(V.11)

Sejak saat itu

terletak pada garis lurus

, maka kita memiliki persamaan lainnya

ContohV.16. Mari kita reduksi sistem ke bentuk yang sesuai untuk menerapkan metode Cramer
Solusinya berbentuk
.
(V.12)
Substitusikan (V.12) ke (V.10), kita peroleh jarak aslinya.
ke alas tegak lurus garis asal.

Dengan rumus (V.8) yang kita miliki

Kita mencari persamaan garis yang mengandung garis tegak lurus sebagai garis yang melalui dua titik
Dan
, menggunakan rumus (V.11). Karena
, kemudian, dengan mempertimbangkan fakta itu
, A
, kita punya

Untuk menemukan koordinat
kami memiliki sistem dengan mempertimbangkan fakta bahwa intinya
terletak pada baris aslinya

Karena itu,
,
, dari sini.

Pertimbangkan ruang Euclidean tiga dimensi ﻉ. Biarkan intinya
ﻉ dan pesawat ﻉ. Mari kita cari jarak dari titik ini
ke bidang yang diberikan oleh persamaan (Gbr. V.9).

Analog dengan ruang dua dimensi yang kita miliki
dan vektor
, ah, dari sini

(V.13)
Dan
Persamaan garis yang tegak lurus bidang  kita tuliskan sebagai persamaan garis yang melalui dua titik

, berbaring di pesawat:

.
(V.14)

Untuk mencari koordinat suatu titik ,,untuk dua persamaan rumus (V.14) kita tambahkan persamaannya
Memecahkan sistem tiga persamaan (V.14), (V.15), kita temukan

– koordinat titik
. Kemudian persamaan tegak lurus tersebut akan dituliskan dalam bentuk

Untuk mencari jarak suatu titik

ke bidang alih-alih rumus (V.13) kita menggunakan Persamaan garis kanonik

Pernyataan masalah. Temukan persamaan kanonik suatu garis yang diberikan sebagai garis perpotongan dua bidang (persamaan umum) Rencana solusi. Persamaan kanonik garis lurus dengan vektor arah

. (1)

melewati suatu titik tertentu

, memiliki formulir

. (2)

Oleh karena itu, untuk menulis persamaan kanonik suatu garis, perlu dicari vektor arahnya dan suatu titik pada garis tersebut.

1. Karena garis lurus dimiliki kedua bidang secara bersamaan, maka vektor arahnya ortogonal terhadap vektor normal kedua bidang, yaitu. menurut definisi produk vektor, kita punya

2. Pilih beberapa titik pada garis. Karena vektor pengarah suatu garis lurus tidak sejajar dengan paling sedikit salah satu bidang koordinat, maka garis lurus tersebut memotong bidang koordinat tersebut. Oleh karena itu, titik potongnya dengan bidang koordinat tersebut dapat dianggap sebagai titik pada suatu garis. 3. Substitusikan koordinat vektor pemandu yang ditemukan dan arahkan ke persamaan kanonik garis lurus (1).

Komentar. Jika hasil kali vektor (2) sama dengan nol, maka bidang-bidang tersebut tidak berpotongan (sejajar) dan persamaan garis kanonik tidak dapat ditulis.

Masalah 12.