Tugas 2. Pabrik Otomotif Volzhsky meluncurkan mesin baru. Diasumsikan rata-rata jarak tempuh sebuah mobil bermesin baru adalah 160 ribu km, dengan simpangan baku = 30 ribu km. Berapa probabilitas jumlah km sebelum perbaikan pertama? Jarak tempuh mobil akan berkisar 100 ribu km. hingga 180 ribu km.

Larutan. P(100000< X < 180000) = Ф(2/3)–Ф(–2) = 0,2454 + 0,4772 = 0,7226.

Sifat dispersi

1.Varians dari konstanta C sama dengan 0,DC = 0, DENGAN = konstanta.

Bukti.DC = M(DENGAN– M.C.) 2 = M(DENGAN– DENGAN) = 0.

2.D(CX) = DENGAN 2 DX.

Bukti. D(CX) = M(CX) 2 – M 2 (CX) = C 2 MX 2 – C 2 (MX) 2 = C 2 (MX 2 – M 2 X) = DENGAN 2 DX.

3. Jika X dan Y – variabel acak independen, Itu

Bukti.

4. Jika X 1 , X 2 , … tidak bergantung, kalau begitu .

Sifat ini dapat dibuktikan dengan induksi menggunakan Sifat 3.

Bukti. D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1) 2 D(Y) = DX + D(Y).

6.

Bukti. D(C+X) = M(X+C–M(X+C)) 2 = M(X+C–MX–MC) 2 = M(X+C–MX–C) 2 = M(X– MX) 2 = DX.

Biarkan menjadi variabel acak independen, dan , .

Mari kita buat variabel acak baru, temukan ekspektasi matematis dan variansnya Y.

; .

Yaitu kapan N®¥ ekspektasi matematis dari mean aritmatika dari n variabel acak independen yang terdistribusi identik tetap tidak berubah, sama dengan ekspektasi matematis a, sedangkan variansnya cenderung nol.

Sifat stabilitas statistik rata-rata aritmatika ini mendasari hukum bilangan besar.

Distribusi biasa

Membiarkan X mempunyai distribusi normal. Sebelumnya pada kuliah 11 (contoh 2) ditunjukkan bahwa jika

Kemudian Y ~ N(0,1).

Dari sini, lalu, jadi cari dulu DY.

Karena itu

DX= D(S Y+A) = s 2 DY= s 2 , s X= s. (2)

Distribusi racun

Seperti yang diketahui

Karena itu,

Distribusi seragam

Diketahui bahwa .

Sebelumnya sudah kami tunjukkan, mari kita gunakan rumusnya.

Bukti.

Integral terakhir dalam rantai persamaan sama dengan 0, karena mengikuti kondisi soal itu p(MX+t) – bahkan berfungsi sehubungan dengan T (p(MX+t)= p(MX-t)), A t 2k +1– fungsi ganjil.

Karena massa jenis hukum distribusi normal dan seragam adalah simetris terhadap X= MX, maka semua momen sentral orde ganjil sama dengan 0.

Teorema 2. Jika X~N(A,s), lalu .

Semakin banyak momen suatu variabel acak diketahui, semakin detail pemahaman kita tentang hukum distribusi. Dalam teori probabilitas dan statistik matematika, dua karakteristik numerik berdasarkan momen sentral orde ke-3 dan ke-4 paling sering digunakan. Ini adalah koefisien skewness dan kurtosis dari variabel acak.

Definisi 3. Koefisien asimetri suatu variabel acak X adalah bilangan b = .

Koefisien asimetri adalah momen pusat dan awal dari variabel acak yang dinormalisasi Y, Di mana . Validitas pernyataan ini mengikuti hubungan berikut:

Kecondongan variabel acak X sama dengan asimetri variabel acak Y = α X + β

sampai tanda α, . Hal ini mengikuti fakta bahwa normalisasi variabel acak a X+b dan X mengarah ke variabel acak yang sama Y sampai untuk menandatangani

Jika distribusi probabilitasnya asimetris, dengan “bagian panjang” grafik terletak di sebelah kanan pusat pengelompokan, maka β( X) > 0; jika “bagian panjang” grafik terletak di sebelah kiri, maka β( X) < 0. Для нормального и равномерного распределений β = 0.

Konsep kurtosis digunakan untuk mengkarakterisasi tingkat “kehalusan” yang lebih besar atau lebih kecil dari kurva kepadatan atau poligon distribusi dibandingkan dengan kepadatan normal.

Definisi 4. Kurtosis suatu variabel acak X adalah kuantitasnya

Kurtosis variabel acak X sama dengan selisih antara momen awal dan momen sentral orde ke-4 variabel acak ternormalisasi dan bilangan3, yaitu . Mari kita tunjukkan ini:

Kurtosis variabel acak X sama dengan kurtosis variabel acak

Y = α X + β.

Mari kita cari kurtosis dari variabel acak normal X.

Jika X~N(A,s), lalu ~ (0,1).

Jadi, kurtosis suatu variabel acak yang terdistribusi normal sama dengan 0. Jika kepadatan distribusinya unimodal dan lebih “puncak” dibandingkan kepadatan distribusi normal dengan varian yang sama, maka g( X) > 0, jika pada kondisi yang sama kurang “puncaknya”, maka g( X) < 0.

Hukum Bilangan Besar

Hukum bilangan besar menetapkan kondisi konvergensi rata-rata aritmatika variabel acak ke rata-rata aritmatika ekspektasi matematis.

Definisi 1. Urutan variabel acak disebut konvergen dalam probabilitas p terhadap bilangan tersebut B, Jika

.

Mari kita lanjutkan ke batas di dalam pertidaksamaan ini dan dapatkan

.

Estimasi interval

Jika estimasi titik dari suatu parameter yang tidak diketahui diperoleh dari suatu sampel, maka membicarakan estimasi yang diperoleh sebagai parameter sebenarnya cukup berisiko. Dalam beberapa kasus, lebih bijaksana, setelah memperoleh sebaran estimasi parameter, untuk membicarakan estimasi interval dari nilai sebenarnya dari parameter tersebut. Untuk mengilustrasikannya, mari kita perhatikan konstruksi interval kepercayaan untuk ekspektasi matematis dari distribusi normal.

Kami telah menunjukkan hal itu – perkiraan terbaik (benar sekali) untuk ekspektasi matematis MX= Q, oleh karena itu estimasi tersebut juga merupakan estimasi yang benar-benar tepat untuk parameter a = distribusi normal P, dimana T– nilai argumen fungsi Laplace, di mana F(T) = , e = .

1. Kolemaev V.A., Staroverov O.V., Turundaevsky V.B. Teori probabilitas dan matematika

statistik matematika. M.: Sekolah Tinggi, 1991.

2. Eliseeva I.I., Knyazevsky V.S., Nivorozhkina L.I., Morozova Z.A. Teori statistika dengan dasar-dasar teori probabilitas. M.: Persatuan, 2001.

3. Szekely G. Paradoks dalam teori probabilitas dan statistik matematika. M.: Mir, 1990.

4. Kremer N.Sh. Teori probabilitas dan statistik matematika. M.: Persatuan, 2001

5. Smirnov N.V. Dunin-Barkovsky I.V. Kursus teori probabilitas dan statistik matematika untuk aplikasi teknis. M.: Nauka, 1969.

6. Metode statistik untuk menyusun rumus empiris. M.: Sekolah Tinggi, 1988.

KULIAH 1. TEORI PROBABILITAS. SEJARAH. DEFINISI KLASIK PROBABILITAS.. 3

KULIAH 2. TEOREMA PENAMBAHAN DAN PERGANDAAN PROBABILITAS. DEFINISI PROBABILITAS SECARA STATISTIK DAN GEOMETRIS.. 8

KULIAH 3. KONSTRUKSI AKSIOMATIS TEORI PROBABILITAS. Aksiomatika KOLMOGOROV.. 14

KULIAH 4. VARIABEL ACAK. FUNGSI DISTRIBUSI... 17

KULIAH 5. DISTRIBUSI VARIABEL ACAK DISKRIT... 21

KULIAH 6. TEOREMA INTEGRAL MOIVRE–LAPLACE, TEOREMA BERNOULLI.. 26

KULIAH 7. VARIABEL ACAK TERUS MENERUS... 29

KULIAH 8. KONSEP VARIABEL ACAK MULTIDIMENSIONAL... 35

KULIAH 9. FUNGSI DISTRIBUSI VARIABEL ACAK MULTIDIMENSIONAL... 39

KULIAH 10. SIFAT-SIFAT KEPADATAN PROBABILITAS VARIABEL ACAK DUA DIMENSI 43

KULIAH 11. FUNGSI VARIABEL ACAK.. 48

KULIAH 12. TEOREMA KEPADATAN JUMLAH DUA VARIABEL ACAK.. 52

KULIAH 13. SISWA, DISTRIBUSI FISCHER

Jawaban tes teori probabilitas akan membantu siswa tahun pertama mempelajari disiplin matematika. Tugas-tugas tersebut mencakup banyak materi teoretis, dan alasan penyelesaiannya akan berguna bagi setiap siswa.

Soal 1. Sebuah kubus yang seluruh rusuknya dicat dipotong menjadi 1000 kubus dengan ukuran yang sama. Tentukan peluang terambilnya sebuah kubus secara acak:

• a) satu tepi yang dicat;
• b) dua wajah yang diarsir.

Perhitungan: Jika sebuah kubus dipotong menjadi kubus-kubus yang berukuran sama, maka semua sisinya akan dibagi menjadi 100 kotak. (Kira-kira seperti pada gambar)
Selanjutnya sesuai ketentuan, kubus harus mempunyai satu sisi yang diarsir - artinya kubus harus berada di permukaan luar tetapi tidak terletak di tepi kubus (2 permukaan yang diarsir) dan bukan di sudut - kubus memiliki tiga sisi yang diarsir. permukaan.
Oleh karena itu, jumlah yang dibutuhkan sama dengan hasil kali 6 sisi dan jumlah kubus dalam persegi berukuran 8*8.
6*8*8=384 – kubus dengan 1 permukaan dicat.
Probabilitasnya sama dengan jumlah kejadian yang menguntungkan dengan jumlah totalnya P=384/1000=0,384.
b) Dua sisi yang diarsir mempunyai kubus di sepanjang tepinya tanpa titik sudut kubus itu sendiri. Akan ada 8 kubus seperti itu di satu sisi. Ada total 12 rusuk pada kubus, sehingga terdapat dua sisi yang diarsir
8*12=96 kubus.
Dan kemungkinan terambilnya mereka dari 1000 adalah sama
P=96/1000=0,096.
Tugas ini terpecahkan dan kami melanjutkan ke tugas berikutnya.

Tugas 2. Huruf A, A, A, N, N, C ditulis pada kartu yang sama. Berapa peluang dengan meletakkan kartu-kartu tersebut secara acak berturut-turut, kita akan mendapatkan kata NANAS?
Perhitungan: Anda harus selalu bernalar berdasarkan apa yang diketahui. Diberikan 3 huruf A, 2-H, dan 1 - C, totalnya ada 6. Mari kita mulai memilih huruf untuk kata "nanas". Huruf pertama adalah A, yang dapat kita pilih dengan 3 cara dari 6 cara, karena ada 3 huruf A diantara 6 huruf yang diketahui. Oleh karena itu, peluang terambilnya A terlebih dahulu adalah
P 1 =3/6=1/2.
Huruf kedua adalah H, namun jangan lupa setelah A dicabut, tersisa 5 huruf yang bisa dipilih. Oleh karena itu, peluang terambilnya angka 2 H adalah sama dengan
P 2 =2/5.
Berikutnya Kemungkinan untuk menarik di antara 4 yang tersisa
P 3 =2/4.
Selanjutnya, H dapat diekstraksi dari probabilitas
P 4 =1/3.
Semakin dekat ke akhir, semakin besar kemungkinannya, dan kita sudah dapat mengekstraksi A di
P 5 =1/2.
Setelah itu, hanya tersisa satu kartu C, jadi peluang terambilnya adalah 100 persen atau
Hal 6 =1.
Peluang terbentuknya kata NANAS sama dengan hasil kali peluangnya
P=3/6*2/5*2/4*1/3*1/2*1=1/60=0,016(6).
Hal inilah yang menjadi dasar masalah serupa dalam teori probabilitas.

Tugas 3. Pedagang memilih sampel secara acak dari sejumlah produk. Peluang terambilnya suatu produk secara acak mempunyai nilai tertinggi adalah 0,8. Tentukan peluang terambilnya dua produk dengan mutu tertinggi di antara 3 produk terpilih?
Perhitungan: Contoh ini didasarkan pada penerapan rumus Bernoulli.
p=0,8; q=1-0,8=0,2.
Kami menghitung probabilitas menggunakan rumus

Jika Anda tidak menjelaskannya dalam bahasa rumus, maka Anda perlu membuat kombinasi dari tiga kejadian, dua di antaranya menguntungkan dan satu lagi tidak. Ini dapat ditulis sebagai jumlah dari produknya

Kedua opsi tersebut setara, hanya opsi pertama yang dapat diterapkan di semua tugas, dan opsi kedua dapat diterapkan pada tugas serupa dengan yang dipertimbangkan.

Soal 4. Dari lima penembak, dua mengenai sasaran dengan probabilitas 0,6 dan tiga dengan probabilitas 0,4. Mana yang lebih mungkin: penembak yang dipilih secara acak mengenai sasaran atau tidak?
Perhitungan: Dengan menggunakan rumus probabilitas total, kita menentukan probabilitas penembak akan mengenai sasaran.
P=2/5*0,6+3/5*0,4=0,24+0,24=0,48.
Kemungkinannya kurang dari P<0,5 , следовательно вероятнее что наугад выбранный стрелок не попадет в цель.
Kemungkinan tidak mengenai adalah

atau
P=2/5*(1-0,6)+3/5*(1-0,4)=0,16+0,36=0,52.

Soal 5. Dari 20 siswa yang mengikuti ujian, 10 orang sudah siap sempurna (tahu semua soal), 7 orang sudah siap (masing-masing tahu 35 soal), dan 3 orang kurang siap (10 soal). Program ini berisi 40 pertanyaan. Seorang siswa yang dipanggil secara acak menjawab tiga pertanyaan pada tiket. Berapa kemungkinan dia siap menghadapinya

• a) luar biasa;
• b) buruk.

Perhitungan: Inti masalahnya adalah siswa menjawab tiga pertanyaan di tiket, yaitu semua yang ditanyakan, tetapi sekarang kita akan menghitung berapa probabilitas mendapatkannya.
Mari kita cari peluang siswa tersebut menjawab tiga pertanyaan dengan benar. Ini akan menjadi rasio jumlah siswa terhadap seluruh kelompok dikalikan dengan probabilitas terambilnya tiket yang mereka ketahui di antara semua kemungkinan.

Sekarang mari kita cari probabilitas bahwa seorang siswa termasuk dalam kelompok yang “sangat siap”. Hal ini setara dengan proporsi suku pertama probabilitas awal terhadap probabilitas itu sendiri

Peluang seorang siswa termasuk dalam kelompok yang persiapannya buruk cukup kecil yaitu sebesar 0,00216.

Tugas ini selesai. Pahami dengan baik dan ingat cara menghitungnya, karena hal ini biasa terjadi pada kuis dan ulangan.

Soal 6. Sebuah koin dilempar sebanyak 5 kali. Tentukan peluang munculnya lambang tersebut kurang dari 3 kali?
Perhitungan: Peluang terambilnya lambang atau ekor adalah ekuivalen dan sama dengan 0,5. Kurang dari 3 kali berarti lambang dapat muncul 0, 1 atau 2 kali. “Atau” selalu dinyatakan dalam probabilitas dalam operasi penjumlahan.
Kami menemukan probabilitas menggunakan rumus Bernoulli

Karena p=q=0,5, maka peluangnya adalah

Kemungkinannya adalah 0,5.

Soal 7. Saat mencap terminal logam, diperoleh rata-rata 90% terminal standar. Tentukan peluang bahwa di antara 900 terminal, paling sedikit 790 dan paling banyak 820 terminal merupakan terminal standar.

Perhitungan: Perhitungan harus dilakukan

Teori probabilitas dan statistik matematika

1. Pokok bahasan teori probabilitas dan pentingnya memecahkan masalah ekonomi dan teknis. Probabilitas dan definisinya

Untuk waktu yang lama, umat manusia hanya mempelajari dan menggunakan apa yang disebut pola deterministik dalam aktivitasnya. Namun, karena peristiwa-peristiwa acak masuk ke dalam hidup kita tanpa kita inginkan dan terus-menerus mengelilingi kita, dan terlebih lagi, karena hampir semua fenomena alam bersifat acak, maka perlu dipelajari bagaimana mempelajarinya dan mengembangkan metode pembelajaran untuk tujuan ini.

Menurut bentuk manifestasi hubungan sebab akibat, hukum alam dan masyarakat dibagi menjadi dua kelas: deterministik (ditentukan sebelumnya) dan statistik.

Misalnya, berdasarkan hukum mekanika langit, berdasarkan posisi planet-planet di tata surya yang diketahui saat ini, posisinya pada suatu titik waktu tertentu dapat diprediksi secara jelas, termasuk gerhana matahari dan bulan dapat diprediksi dengan sangat akurat. Ini adalah contoh hukum deterministik.

Namun tidak semua fenomena dapat diprediksi secara akurat. Oleh karena itu, perubahan iklim jangka panjang dan perubahan cuaca jangka pendek bukanlah objek keberhasilan peramalan, yaitu. banyak hukum dan pola yang kurang cocok dengan kerangka deterministik. Hukum semacam ini disebut hukum statistik. Menurut hukum-hukum ini, keadaan sistem di masa depan tidak ditentukan secara pasti, tetapi hanya dengan probabilitas tertentu.

Teori probabilitas, seperti ilmu matematika lainnya, dihidupkan kembali dan dikembangkan dari kebutuhan praktik. Dia mempelajari pola-pola yang melekat dalam peristiwa-peristiwa acak massal.

Teori probabilitas mempelajari sifat-sifat peristiwa acak massal yang dapat terulang berkali-kali ketika serangkaian kondisi tertentu direproduksi. Properti utama dari setiap peristiwa acak, terlepas dari sifatnya, adalah ukuran, atau kemungkinan terjadinya.

Peristiwa (fenomena) yang kita amati dapat dibagi menjadi tiga jenis: dapat diandalkan, tidak mungkin, dan acak.

Suatu peristiwa yang pasti terjadi disebut pasti. Mustahil adalah suatu peristiwa yang kita tahu tidak akan terjadi. Peristiwa acak (random event) adalah suatu peristiwa yang dapat terjadi atau tidak terjadi.

Teori probabilitas tidak menetapkan tugas untuk memprediksi apakah suatu peristiwa akan terjadi atau tidak, karena tidak mungkin memperhitungkan pengaruh semua sebab terhadap suatu peristiwa acak. Di sisi lain, ternyata sejumlah besar kejadian acak homogen, apapun sifat spesifiknya, tunduk pada pola tertentu, yaitu pola probabilistik.

Jadi, pokok bahasan teori probabilitas adalah studi tentang pola probabilistik dari kejadian acak homogen massal.

Beberapa masalah yang berkaitan dengan fenomena acak massa dicoba diselesaikan dengan menggunakan peralatan matematika yang sesuai pada awal abad ke-17. Mempelajari jalannya dan hasil berbagai permainan untung-untungan, B. Pascal, P. Fermat dan H. Huygens meletakkan dasar-dasar teori probabilitas klasik pada pertengahan abad ke-17. Dalam karya mereka, mereka secara implisit menggunakan konsep probabilitas dan ekspektasi matematis dari variabel acak. Baru pada awal abad ke-18. J. Bernoulli merumuskan konsep probabilitas.

Teori probabilitas mendapat kesuksesan lebih lanjut dari Moivre, Laplace, Gauss, Poisson dan lain-lain.

Matematikawan Rusia dan Soviet seperti P.L. Chebyshev, A.A. Markov, SAYA. Lyapunov, S.N. Bernstein, SEBUAH. Kolmogorov, A.Ya. Khinchin, A. Prokhorov, dan lainnya.

Tempat khusus dalam pengembangan teori probabilitas adalah milik aliran Uzbekistan, yang perwakilan utamanya adalah akademisi V.I. Romanovsky, S.Kh. Sirazhdinov, T.A. Sarymsakov, T.A. Azlarov, Sh.K. Farmanov, profesor I.S. Badalbaev, M.U. Gafurov, Sh.A. Khashimov dan lainnya.

Sebagaimana telah disebutkan, kebutuhan praktik, yang berkontribusi pada munculnya teori probabilitas, mendorong perkembangannya sebagai ilmu pengetahuan, menyebabkan munculnya lebih banyak cabang dan bagiannya. Statistik matematika didasarkan pada teori probabilitas, yang tugasnya adalah merekonstruksi dari suatu sampel, dengan tingkat keandalan tertentu, karakteristik yang melekat pada populasi umum. Cabang-cabang ilmu pengetahuan seperti teori proses acak, teori antrian, teori informasi, teori reliabilitas, pemodelan ekonometrik, dan lain-lain telah dipisahkan dari teori probabilitas.

Bidang penerapan teori probabilitas yang paling penting meliputi ilmu ekonomi dan teknik. Saat ini, sulit membayangkan studi fenomena ekonomi dan teknis tanpa pemodelan berdasarkan teori probabilitas, tanpa model analisis korelasi dan regresi, kecukupan dan model adaptif yang “sensitif”.

Peristiwa yang terjadi pada arus lalu lintas, derajat keandalan komponen mobil, kecelakaan mobil di jalan raya, berbagai situasi dalam proses perancangan jalan karena ketidakpastiannya termasuk dalam rangkaian permasalahan yang dipelajari dengan menggunakan metode teori probabilitas.

Konsep dasar teori probabilitas adalah pengalaman atau eksperimen dan peristiwa. Kami menyebut tindakan yang dilakukan dalam kondisi dan keadaan tertentu sebagai eksperimen. Setiap implementasi spesifik dari suatu eksperimen disebut tes.

Setiap hasil percobaan yang dapat dibayangkan disebut kejadian dasar dan dilambangkan dengan. Kejadian acak terdiri dari sejumlah kejadian dasar tertentu dan dilambangkan dengan A, B, C, D,...

Serangkaian peristiwa dasar sedemikian rupa

1) sebagai hasil percobaan, salah satu peristiwa dasar selalu terjadi;

2) dalam satu percobaan hanya akan terjadi satu peristiwa dasar, yang disebut ruang peristiwa dasar dan dilambangkan dengan.

Jadi, setiap kejadian acak adalah bagian dari ruang kejadian dasar. Berdasarkan definisi ruang kejadian elementer, kejadian reliabel dapat dilambangkan dengan. Suatu peristiwa yang mustahil dilambangkan dengan.

Contoh 1: Sebuah dadu dilempar. Ruang kejadian dasar yang berhubungan dengan percobaan ini mempunyai bentuk sebagai berikut:

Contoh 2. Misalkan guci berisi 2 bola merah, 3 biru dan 1 putih, sehingga totalnya ada 6 bola. Percobaan ini terdiri dari pengambilan bola secara acak dari sebuah guci. Ruang kejadian dasar yang berhubungan dengan percobaan ini mempunyai bentuk sebagai berikut:

dimana kejadian dasar mempunyai arti sebagai berikut: - muncul bola putih; - bola merah muncul; - bola biru muncul. Perhatikan peristiwa berikut ini:

A - penampakan bola putih;

B -- penampakan bola merah;

C - penampakan bola biru;

D -- penampakan bola berwarna (bukan putih).

Di sini kita melihat bahwa masing-masing peristiwa ini memiliki satu atau beberapa tingkat kemungkinan: beberapa lebih besar, yang lain lebih kecil. Jelasnya, derajat kemungkinan kejadian B lebih besar daripada kemungkinan kejadian A; peristiwa C - daripada peristiwa B; peristiwa D - daripada peristiwa C. Untuk membandingkan secara kuantitatif peristiwa satu sama lain menurut derajat kemungkinannya, tentu saja perlu dikaitkan dengan setiap peristiwa sejumlah tertentu, yang semakin besar, semakin besar kemungkinan peristiwa tersebut.

Kita menyatakan bilangan ini dengan dan menyebutnya peluang kejadian A. Sekarang mari kita berikan definisi peluang.

Biarkan ruang kejadian dasar menjadi himpunan berhingga dan biarkan elemen-elemennya menjadi. Kita asumsikan bahwa kejadian-kejadian tersebut adalah kejadian-kejadian dasar yang sama-sama mungkin terjadi, yaitu. setiap peristiwa dasar tidak memiliki peluang lebih besar untuk terjadi dibandingkan peristiwa lainnya. Sebagaimana diketahui, setiap kejadian acak A terdiri dari kejadian-kejadian elementer sebagai himpunan bagian. Peristiwa dasar ini disebut menguntungkan bagi A.

Peluang kejadian A ditentukan oleh rumus

dimana m adalah banyaknya kejadian dasar yang disukai A, n adalah banyaknya semua kejadian dasar yang termasuk di dalamnya.

Jika pada contoh 1 A menyatakan kejadian pelemparan sejumlah angka genap, maka

Dalam contoh 2, probabilitas suatu kejadian memiliki nilai sebagai berikut:

Sifat-sifat berikut mengikuti definisi probabilitas:

1. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu.

Memang benar, jika suatu peristiwa dapat diandalkan, maka semua peristiwa dasar mendukungnya. Dalam hal ini m=n dan oleh karena itu

2. Peluang suatu kejadian yang mustahil adalah nol.

Memang benar, jika suatu peristiwa tidak mungkin terjadi, maka tidak ada satu pun peristiwa mendasar yang mendukungnya. Dalam hal ini m=0 dan oleh karena itu

3. Peluang suatu kejadian acak adalah bilangan positif antara nol dan satu.

Memang benar, hanya sebagian dari jumlah total kejadian dasar yang mendukung kejadian acak. Dalam hal ini, dan oleh karena itu, dan oleh karena itu,

Jadi, probabilitas suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan tersebut

Frekuensi relatif suatu kejadian adalah rasio jumlah percobaan dimana kejadian tersebut terjadi dengan jumlah percobaan yang sebenarnya dilakukan.

Jadi, frekuensi relatif kejadian A ditentukan oleh rumus

dimana m adalah banyaknya kejadian, n adalah jumlah percobaan.

Membandingkan definisi probabilitas dan frekuensi relatif, kami menyimpulkan: definisi probabilitas tidak mengharuskan pengujian benar-benar dilakukan; penentuan frekuensi relatif mengasumsikan bahwa pengujian benar-benar dilakukan.

Contoh 3. Dari 80 bagian identik yang dipilih secara acak, 3 bagian cacat teridentifikasi. Frekuensi relatif bagian yang rusak adalah

Contoh 4. Sepanjang tahun, 24 pemeriksaan dilakukan di salah satu fasilitas, dan tercatat 19 pelanggaran hukum. Frekuensi relatif pelanggaran hukum adalah

Pengamatan jangka panjang menunjukkan bahwa jika eksperimen dilakukan dalam kondisi yang sama, yang masing-masing jumlah pengujiannya cukup besar, maka frekuensi relatifnya sedikit berubah (semakin sedikit, semakin banyak pengujian yang dilakukan), berfluktuasi di sekitar konstanta tertentu. nomor. Ternyata angka konstan tersebut adalah peluang terjadinya suatu peristiwa.

Jadi, jika frekuensi relatif ditentukan secara eksperimental, maka angka yang dihasilkan dapat diambil sebagai perkiraan nilai probabilitas. Ini adalah definisi statistik dari probabilitas.

Sebagai kesimpulan, mari kita lihat definisi geometris dari probabilitas.

Jika ruang kejadian elementer dianggap sebagai luas tertentu pada suatu bidang atau ruang, dan A sebagai himpunan bagiannya, maka peluang kejadian A dianggap sebagai perbandingan luas atau volume A dan, dan akan dicari sesuai dengan rumus berikut:

Pertanyaan untuk pengulangan dan kontrol:

1. Hukum alam dan masyarakat dibagi menjadi kelas apa menurut bentuk manifestasi hubungan sebab akibat?

2. Jenis acara apa saja yang dapat dibagi?

3. Apa pokok bahasan teori probabilitas?

4. Apa yang anda ketahui tentang sejarah perkembangan teori probabilitas?

5. Apa pentingnya teori probabilitas bagi permasalahan ekonomi dan teknis?

6. Apa yang dimaksud dengan eksperimen, tes, kejadian dasar, dan kejadian, bagaimana sebutannya?

7. Apa yang disebut dengan ruang kejadian dasar?

8. Bagaimana peluang suatu kejadian ditentukan?

9. Sifat-sifat probabilitas apa yang kamu ketahui?

10. Apa yang Anda ketahui tentang frekuensi relatif suatu peristiwa?

11. Apa inti dari definisi statistik tentang probabilitas?

12. Apa definisi geometri dari probabilitas?

Biografi dan karya A.N

Teori probabilitas dasar adalah bagian dari teori probabilitas di mana kita harus berurusan dengan probabilitas dari sejumlah kejadian yang terbatas. Teori probabilitas sebagai disiplin matematika...

Ruang vektor. Memecahkan masalah pemrograman linier secara grafis

Sekarang mari kita lihat beberapa masalah pemrograman linier dan selesaikan secara grafis. Soal 1. maks Z = 1+ - , . Larutan. Perhatikan bahwa setengah bidang yang ditentukan oleh sistem pertidaksamaan masalah ini tidak memiliki titik persekutuan (Gambar 2)