Arti dari integral. Pelajaran Kalkulus integral Integral tak tentu dan makna geometrinya. Sifat dasar integral tak tentu - Dokumen. Panduan Belajar Dasar-Dasar Kalkulus Integral

Antiturunan

Definisi fungsi antiturunan

• Fungsi kamu=F(x) disebut antiturunan dari fungsi tersebut kamu=f(x) pada interval yang diberikan X, jika untuk semua orang X ∈X kesetaraan berlaku: F′(x) = f(x)

Dapat dibaca dengan dua cara:

1. F turunan suatu fungsi F
2. F antiturunan suatu fungsi F

Properti antiturunan

• Jika F(x)- antiturunan suatu fungsi f(x) pada interval tertentu, maka fungsi f(x) mempunyai antiturunan yang tak terhingga banyaknya, dan semua antiturunan ini dapat ditulis dalam bentuk F(x) + C, di mana C adalah konstanta sembarang.

Interpretasi geometris

• Grafik semua antiturunan dari fungsi tertentu f(x) diperoleh dari grafik salah satu antiturunan transfer paralel sepanjang sumbu O pada.

Aturan untuk menghitung antiturunan

1. Antiturunan dari jumlah tersebut sama dengan jumlah antiturunannya. Jika F(x)- antiturunan untuk f(x), dan G(x) merupakan antiturunan untuk g(x), Itu F(x) + G(x)- antiturunan untuk f(x) + g(x).
2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Jika F(x)- antiturunan untuk f(x), Dan k- konstan, kalau begitu k·F(x)- antiturunan untuk kf(x).
3. Jika F(x)- antiturunan untuk f(x), Dan k, b- konstan, dan k ≠ 0, Itu 1/k F(kx + b)- antiturunan untuk f(kx + b).

Ingat!

Fungsi apa pun F(x) = x 2 + C , di mana C adalah konstanta sembarang, dan hanya fungsi tersebut yang merupakan antiturunan dari fungsi tersebut f(x) = 2x.

• Misalnya:

  F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, Karena F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, Karena F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Hubungan antara grafik suatu fungsi dan antiturunannya:

1. Jika grafik suatu fungsi f(x)>0 F(x) meningkat selama interval ini.
2. Jika grafik suatu fungsi f(x)<0 pada interval tersebut, maka grafik antiturunannya F(x) menurun selama interval ini.
3. Jika f(x)=0, lalu grafik antiturunannya F(x) pada titik ini berubah dari meningkat menjadi menurun (atau sebaliknya).

Untuk menyatakan antiturunan digunakan tanda integral tak tentu, yaitu integral tanpa menunjukkan batas integrasi.

Integral tak tentu

Definisi:

• Integral tak tentu dari fungsi f(x) adalah ekspresi F(x) + C, yaitu himpunan semua antiturunan dari fungsi tertentu f(x). Integral tak tentu dinotasikan sebagai berikut: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- disebut fungsi integran;
• f(x)dx- disebut integran;
• X- disebut variabel integrasi;
• F(x)- salah satu antiturunan dari fungsi f(x);
• DENGAN- konstanta sewenang-wenang.

Sifat-sifat integral tak tentu

1. Turunan integral tak tentu sama dengan integral: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Faktor konstanta integral dapat dikeluarkan dari tanda integral: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Integral jumlah (selisih) fungsi sama dengan jumlah (selisih) integral fungsi tersebut: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Jika k, b adalah konstanta, dan k ≠ 0, maka \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Tabel antiturunan dan integral tak tentu

Rumus Newton–Leibniz

Membiarkan f(x) fungsi ini F antiturunannya yang sewenang-wenang.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

Di mana F(x)- antiturunan untuk f(x)

Artinya, integral dari fungsinya f(x) pada suatu interval sama dengan selisih antiturunan pada titik-titik B Dan A.

Luas trapesium melengkung

Trapesium lengkung adalah bangun datar yang dibatasi oleh grafik suatu fungsi yang non-negatif dan kontinu pada suatu interval F, Sumbu sapi dan garis lurus x = sebuah Dan x = b.

Luas trapesium lengkung dicari dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz:

S= \int_(a)^(b) f(x)dx

Munculnya konsep integral disebabkan oleh kebutuhan untuk mencari fungsi antiturunan dari turunannya, serta untuk menentukan besarnya usaha, luas bangun kompleks, jarak yang ditempuh, dengan parameter yang digambarkan oleh kurva yang dijelaskan. dengan rumus nonlinier.

dan usaha itu sama dengan hasil kali gaya dan jarak. Jika seluruh gerakan terjadi dengan kecepatan konstan atau jarak yang ditempuh dengan gaya yang sama, maka semuanya jelas, Anda hanya perlu mengalikannya. Apa integral dari konstanta? dari bentuk y=kx+c.

Tetapi kekuatannya bisa berubah sepanjang pekerjaan, dan dalam beberapa jenis ketergantungan alami. Situasi yang sama terjadi dengan perhitungan jarak yang ditempuh jika kecepatannya tidak konstan.

Jadi sudah jelas mengapa integral diperlukan. Definisinya sebagai jumlah perkalian nilai-nilai suatu fungsi dengan pertambahan argumen yang sangat kecil sepenuhnya menggambarkan makna utama konsep ini sebagai luas bangun yang dibatasi di bagian atas oleh garis fungsi, dan di tepinya dengan batas definisi.

Jean Gaston Darboux, seorang matematikawan Perancis, pada paruh kedua abad ke-19, dengan sangat gamblang menjelaskan apa itu integral. Ia menegaskan, secara umum tidak akan sulit bagi seorang siswa SMP sekalipun untuk memahami permasalahan ini.

Katakanlah ada fungsi dengan bentuk kompleks apa pun. Sumbu ordinat di mana nilai-nilai argumen diplot dibagi menjadi interval-interval kecil, idealnya sangat kecil, tetapi karena konsep tak terhingga cukup abstrak, cukup dengan membayangkan segmen-segmen kecil, yang nilainya biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani Δ (delta).

Fungsinya ternyata “dipotong” menjadi batu bata kecil.

Setiap nilai argumen berhubungan dengan titik pada sumbu ordinat, di mana nilai fungsi terkait diplot. Namun karena area yang dipilih memiliki dua batas, maka akan terdapat dua nilai fungsi, lebih besar dan lebih kecil.

Jumlah hasil kali nilai-nilai yang lebih besar dengan pertambahan Δ disebut jumlah Darboux besar, dan dilambangkan dengan S. Oleh karena itu, nilai-nilai yang lebih kecil dalam luas terbatas, dikalikan dengan Δ, semuanya membentuk jumlah Darboux kecil s . Bagian itu sendiri menyerupai trapesium persegi panjang, karena kelengkungan garis fungsi dengan kenaikan yang sangat kecil dapat diabaikan. Cara termudah untuk mencari luas bangun geometri tersebut adalah dengan menjumlahkan hasil kali nilai fungsi yang lebih besar dan lebih kecil dengan kenaikan Δ dan membaginya dengan dua, yaitu menentukannya sebagai mean aritmatika.

Inilah yang dimaksud dengan integral Darboux:

s=Σf(x) Δ - jumlah kecil;

S= Σf(x+Δ)Δ adalah jumlah yang besar.

Jadi apa yang dimaksud dengan integral? Luas yang dibatasi oleh garis fungsi dan batas definisinya adalah:

f(x)dx = ((S+s)/2) +c

Artinya, rata-rata aritmatika jumlah Darboux besar dan kecil adalah nilai konstan yang disetel ulang selama diferensiasi.

Berdasarkan ekspresi geometri konsep ini, makna fisis integral menjadi jelas. digariskan oleh fungsi kecepatan, dan dibatasi oleh selang waktu sepanjang sumbu x, adalah panjang jarak yang ditempuh.

L = ∫f(x)dx pada interval dari t1 sampai t2,

f(x) adalah fungsi kecepatan, yaitu rumus yang berubah seiring waktu;

L - panjang jalur;

t1 - waktu mulai perjalanan;

t2 adalah waktu akhir perjalanan.

Prinsip yang persis sama digunakan untuk menentukan besarnya usaha, hanya jarak yang akan diplot sepanjang absis, dan jumlah gaya yang diterapkan pada setiap titik tertentu akan diplot sepanjang ordinat.

Fungsi antiturunan dan integral tak tentu

Fakta 1. Integrasi adalah kebalikan dari diferensiasi, yaitu memulihkan suatu fungsi dari turunan yang diketahui dari fungsi tersebut. Fungsinya dipulihkan F(X) disebut antiturunan untuk fungsi F(X).

Definisi 1. Fungsi F(X F(X) pada interval tertentu X, jika untuk semua nilai X dari interval ini persamaan berlaku F "(X)=F(X), yaitu fungsi ini F(X) adalah turunan dari fungsi antiturunan F(X). .

Misalnya saja fungsinya F(X) = dosa X merupakan antiturunan dari fungsi tersebut F(X) = karena X pada seluruh garis bilangan, karena untuk sembarang nilai x (dosa X)" = (kos X) .

Definisi 2. Integral tak tentu suatu fungsi F(X) adalah himpunan semua antiturunannya. Dalam hal ini, notasi digunakan

∫

F(X)dx

dimana tandanya ∫ disebut tanda integral, fungsi F(X) – fungsi integrand, dan F(X)dx – ekspresi integran.

Jadi, jika F(X) – beberapa antiturunan untuk F(X) , Itu

∫

F(X)dx = F(X) +C

Di mana C - konstanta sembarang (konstanta).

Untuk memahami pengertian himpunan antiturunan suatu fungsi sebagai integral tak tentu, analogi berikut ini tepat. Biarlah ada pintu (pintu kayu tradisional). Fungsinya adalah “menjadi pintu”. Pintunya terbuat dari apa? Terbuat dari kayu. Artinya himpunan antiturunan dari integral fungsi “menjadi pintu”, yaitu integral tak tentu, adalah fungsi “menjadi pohon + C”, dimana C adalah konstanta, yang dalam konteks ini dapat menunjukkan, misalnya, jenis pohon. Seperti halnya sebuah pintu dibuat dari kayu dengan menggunakan beberapa alat, maka turunan suatu fungsi “dibuat” dari fungsi antiturunan dengan menggunakan rumus yang kita pelajari saat mempelajari turunannya .

Kemudian tabel fungsi benda-benda biasa dan antiturunannya yang sesuai (“menjadi pintu” - “menjadi pohon”, “menjadi sendok” - “menjadi logam”, dll.) mirip dengan tabel dasar integral tak tentu, yang akan diberikan di bawah ini. Tabel integral tak tentu mencantumkan fungsi-fungsi umum dengan indikasi antiturunan dari mana fungsi-fungsi ini “dibuat”. Pada bagian soal mencari integral tak tentu, diberikan integran yang dapat diintegrasikan secara langsung tanpa banyak usaha, yaitu dengan menggunakan tabel integral tak tentu. Dalam permasalahan yang lebih kompleks, integran harus ditransformasikan terlebih dahulu agar integral tabel dapat digunakan.

Fakta 2. Saat memulihkan suatu fungsi sebagai antiturunan, kita harus memperhitungkan konstanta sembarang (konstanta) C, dan agar tidak menulis daftar antiturunan dengan berbagai konstanta dari 1 hingga tak terhingga, Anda perlu menulis himpunan antiturunan dengan konstanta sembarang C, misalnya seperti ini: 5 X³+C. Jadi, konstanta sembarang (konstanta) termasuk dalam ekspresi antiturunan, karena antiturunan dapat berupa fungsi, misalnya 5 X³+4 atau 5 X³+3 dan ketika dibedakan, 4 atau 3, atau konstanta lainnya menjadi nol.

Mari kita ajukan masalah integrasi: untuk fungsi ini F(X) temukan fungsi seperti itu F(X), turunannya siapa sama dengan F(X).

Contoh 1. Temukan himpunan antiturunan suatu fungsi

Larutan. Untuk fungsi ini, antiturunannya adalah fungsi tersebut

Fungsi F(X) disebut antiturunan untuk fungsi tersebut F(X), jika turunannya F(X) adalah sama dengan F(X), atau, yang merupakan hal yang sama, diferensial F(X) adalah sama F(X) dx, yaitu.

(2)

Oleh karena itu, fungsi tersebut merupakan antiturunan dari fungsi tersebut. Namun, ini bukan satu-satunya antiturunan untuk . Mereka juga berfungsi sebagai fungsi

Di mana DENGAN– konstanta sewenang-wenang. Hal ini dapat dibuktikan dengan diferensiasi.

Jadi, jika ada satu antiturunan untuk suatu fungsi, maka untuk fungsi tersebut terdapat antiturunan yang jumlahnya tak terhingga dan berbeda suku konstan. Semua antiturunan suatu fungsi ditulis dalam bentuk di atas. Ini mengikuti teorema berikut.

Teorema (pernyataan formal fakta 2). Jika F(X) – antiturunan untuk fungsi tersebut F(X) pada interval tertentu X, lalu antiturunan lainnya untuk F(X) pada interval yang sama dapat direpresentasikan dalam bentuk F(X) + C, Di mana DENGAN– konstanta sewenang-wenang.

Pada contoh berikut, kita beralih ke tabel integral, yang akan diberikan pada paragraf 3, setelah sifat-sifat integral tak tentu. Kami melakukan ini sebelum membaca keseluruhan tabel agar intisari di atas jelas. Dan setelah tabel dan properti, kami akan menggunakannya secara keseluruhan selama integrasi.

Contoh 2. Temukan kumpulan fungsi antiturunan:

Larutan. Kami menemukan kumpulan fungsi antiturunan dari mana fungsi-fungsi ini “dibuat”. Ketika menyebutkan rumus-rumus dari tabel integral, untuk saat ini terima saja rumus-rumus tersebut di sana, dan kita akan mempelajari tabel integral tak tentu itu sendiri lebih jauh.

1) Menerapkan rumus (7) dari tabel integral untuk N= 3, kita peroleh

2) Menggunakan rumus (10) dari tabel integral untuk N= 1/3, kita punya

3) Sejak

maka menurut rumus (7) dengan N= -1/4 kita temukan

Bukan fungsi itu sendiri yang ditulis di bawah tanda integral F, dan produknya dengan diferensial dx. Hal ini dilakukan terutama untuk menunjukkan variabel mana yang dicari antiturunannya. Misalnya,

, ;

di sini dalam kedua kasus integrannya sama dengan , tetapi integral tak tentu dalam kasus yang dipertimbangkan ternyata berbeda. Dalam kasus pertama, fungsi ini dianggap sebagai fungsi variabel X, dan yang kedua - sebagai fungsi dari z .

Proses mencari integral tak tentu suatu fungsi disebut mengintegrasikan fungsi tersebut.

Arti geometris dari integral tak tentu

Misalkan kita perlu mencari kurva kamu=F(x) dan kita telah mengetahui bahwa garis singgung sudut singgung pada setiap titiknya merupakan fungsi tertentu f(x) absis titik ini.

Menurut arti geometri turunannya, garis singgung sudut kemiringan garis singgung pada suatu titik tertentu pada kurva kamu=F(x) sama dengan nilai turunannya F"(x). Jadi kita perlu menemukan fungsi seperti itu F(x), untuk itu F"(x)=f(x). Fungsi yang diperlukan dalam tugas F(x) adalah antiturunan dari f(x). Kondisi permasalahan dipenuhi bukan oleh satu kurva, namun oleh sekelompok kurva. kamu=F(x)- salah satu kurva tersebut, dan kurva lainnya dapat diperoleh darinya dengan translasi paralel sepanjang sumbu Oi.

Sebut saja grafik fungsi antiturunan dari f(x) kurva integral. Jika F"(x)=f(x), maka grafik fungsinya kamu=F(x) ada kurva integral.

Fakta 3. Integral tak tentu secara geometris diwakili oleh keluarga semua kurva integral , seperti pada gambar di bawah ini. Jarak setiap kurva dari titik asal koordinat ditentukan oleh konstanta integrasi sembarang C.

Sifat-sifat integral tak tentu

Fakta 4. Teorema 1. Turunan integral tak tentu sama dengan integran, dan diferensialnya sama dengan integran.

Fakta 5. Teorema 2. Integral tak tentu dari diferensial suatu fungsi F(X) sama dengan fungsinya F(X) hingga suku konstan , yaitu.

(3)

Teorema 1 dan 2 menunjukkan bahwa diferensiasi dan integrasi merupakan operasi yang saling berbanding terbalik.

Fakta 6. Teorema 3. Faktor konstanta integran dapat dikeluarkan dari tanda integral tak tentu , yaitu.

Untuk setiap aksi matematis terdapat aksi kebalikannya. Untuk tindakan diferensiasi (mencari turunan fungsi), ada juga tindakan kebalikannya - integrasi. Melalui integrasi, suatu fungsi ditemukan (direkonstruksi) dari turunan atau diferensial tertentu. Fungsi yang ditemukan disebut antiturunan.

Definisi. Fungsi yang dapat dibedakan F(x) disebut antiturunan dari fungsi tersebut f(x) pada interval tertentu, jika untuk semua X dari interval ini persamaan berikut berlaku: F′(x)=f (x).

Contoh. Temukan antiturunan untuk fungsi: 1) f (x)=2x; 2) f(x)=3cos3x.

1) Karena (x²)′=2x, maka menurut definisi, fungsi F (x)=x² merupakan antiturunan dari fungsi f (x)=2x.

2) (dosa3x)′=3cos3x. Jika kita menyatakan f (x)=3cos3x dan F (x)=sin3x, maka, berdasarkan definisi antiturunan, kita mempunyai: F′(x)=f (x), dan oleh karena itu, F (x)=sin3x adalah antiturunan untuk f ( x)=3cos3x.

Perhatikan bahwa (sin3x +5 )′= 3cos3x, dan (dosa3x -8,2 )′= 3cos3x, ... dalam bentuk umum kita dapat menulis: (sin3x +C)′= 3cos3x, Di mana DENGAN- beberapa nilai konstan. Contoh-contoh ini menunjukkan ambiguitas tindakan integrasi, berbeda dengan tindakan diferensiasi, ketika setiap fungsi terdiferensiasi memiliki turunan tunggal.

Definisi. Jika fungsinya F(x) merupakan antiturunan dari fungsi tersebut f(x) pada interval tertentu, maka himpunan semua antiturunan dari fungsi ini berbentuk:

F(x)+C, di mana C adalah bilangan real apa pun.

Himpunan semua antiturunan F(x) + C dari fungsi f(x) pada interval yang ditinjau disebut integral tak tentu dan dilambangkan dengan simbol ∫ (tanda integral). Tuliskan: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Ekspresi ∫f(x)dx baca: “ef integral dari x ke de x.”

f(x)dx- ekspresi integran,

f(x)- fungsi integral,

X adalah variabel integrasi.

F(x)- antiturunan suatu fungsi f(x),

DENGAN- beberapa nilai konstan.

Sekarang contoh yang dipertimbangkan dapat ditulis sebagai berikut:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Apa maksudnya tanda d?

D- tanda diferensial - memiliki tujuan ganda: pertama, tanda ini memisahkan integran dari variabel integrasi; kedua, segala sesuatu yang muncul setelah tanda ini secara default dibedakan dan dikalikan dengan integran.

Contoh. Temukan integralnya: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Setelah ikon diferensial D biaya XX, A R

∫ 2хрdx=рх²+С. Bandingkan dengan contoh 1).

Mari kita lakukan pemeriksaan. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Setelah ikon diferensial D biaya R. Artinya variabel integrasi R, dan pengganda X harus dianggap sebagai nilai konstan.

∫ 2хрдр=р²х+С. Bandingkan dengan contoh 1) Dan 3).

Mari kita lakukan pemeriksaan. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Beberapa interval X. Jika Untuk sembarang xХ F"(x) = f(x), maka fungsi F diteleponantiturunanUntukfungsi f pada interval X. AntiturunanUntukfungsi kamu bisa mencoba mencarinya...