Seperti apa rumus hiperbolanya? Sifat dasar hiperbola. Rotasi dan translasi paralel parabola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jarak dari dua titik tetap pada bidang, disebut fokus, bernilai konstan; selisih yang ditunjukkan diambil sebagai nilai absolut dan biasanya dilambangkan dengan 2a. Fokus hiperbola dilambangkan dengan huruf F 1 dan F 2, jarak antara keduanya dengan 2c. Menurut definisi hiperbola 2a

Biarkan hiperbola diberikan. Jika sumbu sistem koordinat persegi panjang kartesius dipilih sehingga fokus hiperbola tertentu terletak pada sumbu absis secara simetris terhadap titik asal, maka dalam sistem koordinat ini persamaan hiperbola berbentuk

x 2 /a 2 + kamu 2 /b 2 = 1, (1)

dimana b = √(c 2 - a 2). Persamaan tipe (I) disebut persamaan kanonik hiperbola. Dengan pilihan sistem koordinat yang ditentukan, sumbu koordinat adalah sumbu simetri hiperbola, dan titik asal adalah pusat simetrinya (Gbr. 18). Sumbu simetri hiperbola disebut sumbunya, pusat simetrinya adalah pusat hiperbola. Hiperbola memotong salah satu sumbunya; titik potongnya disebut titik sudut hiperbola. Pada Gambar. Ke-18 simpul hiperbola adalah titik A" dan A.

Persegi panjang dengan sisi 2a dan 2b, terletak simetris terhadap sumbu hiperbola dan menyentuh titik sudutnya, disebut persegi panjang utama hiperbola.

Ruas dengan panjang 2a dan 2b yang menghubungkan titik tengah sisi-sisi persegi panjang utama hiperbola disebut juga sumbunya. Diagonal persegi panjang utama (diperpanjang tanpa batas) adalah asimtot hiperbola; persamaan mereka adalah:

y = b/a x, y = - b/a x

Persamaannya

X 2 /a 2 + kamu 2 /b 2 = 1 (2)

mendefinisikan hiperbola yang simetris terhadap sumbu koordinat dengan fokus pada sumbu ordinat; persamaan (2), seperti persamaan (1), disebut persamaan hiperbola kanonik; dalam hal ini, perbedaan jarak yang konstan dari titik sembarang hiperbola ke fokus adalah 2b.

Dua hiperbola, yang ditentukan oleh persamaan

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1, - x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1

dalam sistem koordinat yang sama disebut konjugasi.

Hiperbola dengan setengah sumbu yang sama (a = b) disebut sama sisi; persamaan kanoniknya memiliki bentuk

x 2 - y 2 = a 2 atau - x 2 + y 2 = a 2.

dimana a adalah jarak dari pusat hiperbola ke titik puncaknya, disebut eksentrisitas hiperbola. Jelasnya, untuk sembarang hiperbola ε > 1. Jika M(x; y) adalah titik sembarang dari hiperbola tersebut, maka segmen F 1 M dan F 2 M (lihat Gambar 18) disebut jari-jari fokus titik M. Jari-jari fokus titik-titik cabang kanan hiperbola dihitung menggunakan rumus

r 1 = εx + a, r 2 = εx - a,

jari-jari fokus titik-titik cabang kiri - sesuai dengan rumus

r 1 = -εх - a, r 2 = -εх + a

Jika hiperbola diberikan oleh persamaan (1), maka garis-garisnya ditentukan oleh persamaan tersebut

x = -a/ε, x = a/ε

disebut directricesnya (lihat Gambar 18). Jika hiperbola diberikan oleh persamaan (2), maka direktriksnya ditentukan oleh persamaan tersebut

x = -b/ε, x = b/ε

Setiap direktriks mempunyai sifat sebagai berikut: jika r adalah jarak dari titik sembarang hiperbola ke fokus tertentu, d adalah jarak dari titik yang sama ke direktriks satu sisi dengan fokus tersebut, maka perbandingan r/d adalah a nilai konstan sama dengan eksentrisitas hiperbola:

515. Buatlah persamaan hiperbola yang fokusnya terletak pada sumbu absis secara simetris terhadap titik asal, dengan mengetahui bahwa:

1) sumbunya 2a = 10 dan 2b = 8;

2) jarak antara fokus 2c = 10 dan sumbu 2b = 8;

3) jarak antara fokus 2с = 6 dan eksentrisitas = 3/2;

4) sumbu 2a = 16 dan eksentrisitas = 5/4;

5) persamaan asimtot y = ±4/3x dan jarak antara fokus 2c = 20;

6) jarak antar direktriks adalah 22 2/13 dan jarak antar fokus adalah 2c = 26; 39

7) jarak antara direktriks adalah 32/5 dan sumbu 2b = 6;

8) jarak antara direktriks adalah 8/3 dan eksentrisitas = 3/2;

9) persamaan asimtot y = ± 3/4 x dan jarak antar direktriks adalah 12 4/5.

516. Tulislah persamaan hiperbola yang fokusnya terletak pada sumbu ordinat secara simetris terhadap titik asal, dengan mengetahui bahwa:

1) sumbu semi-nya a = 6, b = 18 (dengan huruf a kita menyatakan semi-sumbu hiperbola yang terletak pada sumbu x);

2) jarak antara fokus adalah 2c = 10 dan ekceitrikisitasnya adalah ε = 5/3; sangat bagus 12

3) persamaan asimtot y = ±12/5x dan jarak antar titik 48;

4) jarak antara direktriks adalah 7 1/7 dan eksentrisitas = 7/5;

5) persamaan asimtot y = ± 4/3x dan jarak antar direktriks adalah 6 2/5.

517. Tentukan sumbu semi a dan b untuk setiap hiperbola berikut:

1) x 2 /9 - kamu 2 /4 = 1; 2) x 2 /16 - kamu 2 = 1; 3) x 2 - 4y 2 = 16;

4) x 2 - kamu 2 = 1; 5) 4x 2 - 9y 2 = 25; 6) 25x 2 -16y 2 = 1;

7) 9x 2 - 64y 2 = 1.

518. Diketahui hiperbola 16x 2 - 9y 2 = 144. Tentukan: 1) sumbu semi a dan b; 2) trik; 3) eksentrisitas; 4) persamaan asimtot; 5) persamaan direktriks.

519. Diketahui hiperbola 16x 2 - 9y 2 = -144. Temukan: 1) semi-sumbu a dan b; 2) trik; 3) eksentrisitas; 4) persamaan asimtot; 5) persamaan direktriks.

520. Hitung luas segitiga yang dibentuk oleh asimtot hiperbola x 2 /4 - y 2 /9 = 1 dan garis 9x + 2y - 24 = 0.

521. Tentukan garis mana yang ditentukan oleh persamaan berikut:

1) kamu = +2/3√(x 2 - 9); 2) kamu = -3√(x 2 + 1)

3) x = -4/3√(y 2 + 9); 4) +2/5√(x 2 + 25)

522. Diberikan sebuah titik M 1 (l0; - √5) pada hiperbola - x 2 /80 - y 2 /20 = 1. Buatlah persamaan garis yang menjadi tempat jari-jari fokus titik M 1 berada.

523. Setelah yakin bahwa titik M 1 (-5; 9/4) terletak pada bola insang x 2 /16 - y 2 /9 = 1, tentukan jari-jari fokus titik M 1.

524. Eksentrisitas hiperbola adalah = 2, jari-jari fokus titik M yang ditarik dari fokus tertentu adalah 16. Hitung jarak dari titik M ke direktriks satu sisi dengan fokus tersebut.

525. Eksentrisitas hiperbola adalah = 3, jarak titik M hiperbola ke direktriks adalah 4. Hitung jarak titik M ke fokus, satu sisi dengan direktriks tersebut.

526. Eksentrisitas hiperbola adalah ε = 2, pusatnya terletak di titik asal, salah satu fokus F(12; 0). Hitung jarak dari titik M 1 hiperbola dengan absis sama dengan 13 ke direktriks yang sesuai dengan fokus yang diberikan.

527. Eksentrisitas hiperbola adalah = 3/2, pusatnya terletak di titik asal, salah satu direktriksnya diberikan oleh persamaan x = -8. Hitung jarak dari titik M 1 hiperbola dengan absis sama dengan 10 ke fokus yang sesuai dengan direktriks yang diberikan.

528. Tentukan titik-titik hiperbola - x 2 /64 - y 2 /36 = 1 yang jaraknya ke fokus kanan adalah 4,5.

529. Tentukan titik-titik hiperbola x 2 /9 - y 2 /16 = 1 yang jaraknya ke fokus kiri adalah 7.

530. Melalui fokus kiri hiperbola x 2 /144 - y 2 /25 = 1 sebuah garis tegak lurus ditarik ke sumbunya yang memuat titik-titik tersebut. Tentukan jarak dari fokus ke titik potong tegak lurus tersebut dengan hiperbola.

531. Dengan menggunakan satu kompas, buatlah fokus hiperbola x 2 /16 - y 2 /25 = 1 (dengan asumsi sumbu koordinat digambarkan dan satuan skala diberikan).

532. Tulislah persamaan hiperbola yang fokusnya terletak pada sumbu absis secara simetris terhadap titik asal, jika diberikan:

1) titik M 1 (6; -1) dan M 2 (-8; 2√2) hiperbola;

2) titik M 1 (-5; 3) hiperbola dan eksentrisitas = √2;

3) titik M 1 (9/2;-l) hiperbola dan persamaan asimtot y = ± 2,3x;

4) titik M 1 (-3; 5.2) persamaan hiperbola dan direktriks x = ± 4/3;

5) persamaan asimtot y = ±-3/4x dan persamaan direktriks x = ± 16/5

533. Tentukan eksentrisitas hiperbola sama sisi.

534. Tentukan eksentrisitas suatu hiperbola jika ruas antara simpul-simpulnya terlihat dari fokus hiperbola konjugasinya pada sudut 60°.

535. Fokus hiperbola berimpit dengan fokus elips x 2 /25 + y 2 /9 = 1. Tuliskan persamaan hiperbola jika eksentrisitasnya = 2.

536. Tuliskan persamaan hiperbola yang fokusnya terletak pada titik sudut elips x 2 /100 + y 2 /64 = 1, dan direktriksnya melewati fokus elips tersebut.

537. Buktikan bahwa jarak fokus hiperbola x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 ke asimtotnya sama dengan b.

538. Buktikan bahwa hasil kali jarak dari sembarang titik hiperbolax x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 terhadap dua asimtotnya adalah nilai konstanta yang sama dengan a 2 b 2 /(a 2 + b 2)

539. Buktikan bahwa luas jajar genjang yang dibatasi oleh asimtot hiperbola x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 dan garis yang melalui salah satu titiknya yang sejajar dengan asimtot tersebut bernilai konstan sama dengan ab/2.

540. Tuliskan persamaan hiperbola jika sumbu a dan bnya diketahui, pusat C(x 0;y 0) dan fokusnya terletak pada garis lurus: 1) sejajar sumbu Sapi; 2) sejajar dengan sumbu Oy.

541. Tetapkan bahwa setiap persamaan berikut mendefinisikan hiperbola, dan tentukan koordinat pusatnya C, sumbu semi, eksentrisitas, persamaan asimtot, dan persamaan direktriks:

1) 16x 2 - 9у 2 - 64x - 54у - 161 =0;

2) 9x 2 - 16y 2 + 90x + 32y - 367 = 0;

3) 16x 2 - 9y 2 - 64x - 18y + 199 = 0.

542. Tentukan garis mana yang ditentukan oleh persamaan berikut:

1) kamu = - 1 + 2/3√(x 2 - 4x - 5);

2) kamu = 7 - 3/2√(x 2 - 6x + 13);

3) x = 9 - 2√(y 2 + 4y + 8);

4) X = 5 + 3/4√(kamu 2 + 4kamu - 12).

Gambarkan garis-garis ini pada gambar.

543. Buatlah persamaan hiperbola, dengan mengetahui bahwa:

1) jarak antara simpulnya adalah 24 dan fokusnya adalah F 1 (-10; 2), F 2 (16; 2);

2) fokusnya adalah F 1 (3; 4), F 2 (-3; -4) dan jarak antar direktriks adalah 3,6;

3) sudut antara asimtot adalah 90° dan fokusnya adalah F 1 (4; -4), F 1 (- 2; 2).

544. Tulislah persamaan hiperbola jika eksentrisitasnya = 5/4, fokus F (5; 0) dan persamaan direktriks yang bersesuaian 5x - 16 = 0 diketahui.

545. Tulislah persamaan hiperbola jika eksentrisitas e - fokus F(0; 13) dan persamaan direktriks yang bersesuaian 13y - 144 = 0 diketahui.

546. Titik A (-3; - 5) terletak pada hiperbola yang fokusnya pada F (-2;-3), dan direktriks yang bersesuaian diberikan oleh persamaan x + 1 = 0. Tuliskan persamaan hiperbola ini .

547. Tuliskan persamaan hiperbola jika eksentrisitasnya ε = √5, fokus F(2;-3) dan persamaan direktriks yang bersesuaian Zx - y + 3 = 0 diketahui.

548. Titik M 1 (1; 2) terletak pada hiperbola yang fokusnya adalah F(-2; 2), dan direktriks yang bersesuaian diberikan oleh persamaan 2x - y - 1 = 0. Tuliskan persamaan hiperbola ini .

549. Persamaan hiperbola sama sisi x 2 - y 2 = a 2 diberikan. Temukan persamaannya dalam sistem baru, dengan mengambil asimtotnya sebagai sumbu koordinat.

550. Setelah menetapkan bahwa setiap persamaan berikut mendefinisikan hiperbola, carilah pusat, sumbu semi, persamaan asimtot untuk masing-masing persamaan tersebut dan gambarkan pada gambar: 1) xy = 18; 2) 2xy - 9 = 0; 3) 2xy + 25 = 0.

551. Tentukan titik potong garis lurus 2x - y - 10 = 0 dan hiperbola x 2 /20 - y 2 /5 = 1.

552. Tentukan titik potong garis lurus 4x - 3y - 16 = 0 dan hiperbola x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

553. Tentukan titik potong garis lurus 2x - y + 1 = 0 dan hiperbola x 2 /9 - y 2 /4 = 1.

554. Dalam kasus berikut, tentukan letak garis relatif terhadap hiperbola: apakah garis tersebut berpotongan, bersinggungan, atau lewat di luarnya:

1) x - y - 3 = 0, x 2 /12 - y 2 /3 = aku;

2) x - 2kamu + 1 = 0, x 2 /16 - kamu 2 /9 = aku;

555. Tentukan pada nilai m berapa garis lurus y = 5/2x + m

1) memotong hiperbola x 2 /9 - y 2 /36 = 1; 2) menyentuhnya;

3) melampaui hiperbola ini.

556. Turunkan kondisi dimana garis lurus y = kx + m menyentuh hiperbola x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1.

557. Tuliskan persamaan garis singgung hiperbola x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 di titiknya Af, (*,; #i).

558. Buktikan bahwa garis singgung hiperbola yang ditarik pada ujung-ujungnya yang diameternya sama adalah sejajar.

559. Buatlah persamaan garis singgung hiperbola x 2 /20 - y 2 /5 = 1, tegak lurus garis 4x + 3y - 7 = 0.

560. Buatlah persamaan garis singgung hiperbola x 2 /16 - y 2 /64 = 1, sejajar dengan garis 10x - 3y + 9 = 0.

561. Gambarkan garis singgung hiperbola x 2 /16 - y 2 /8 = - 1 sejajar garis lurus 2x + 4y - 5 = 0 dan hitung jarak d antara keduanya.

562. Pada hiperbola x 2 /24 - y 2 /18 = 1, carilah titik M 1 yang paling dekat dengan garis 3x + 2y + 1 = O, lalu hitung jarak d dari titik M x ke garis tersebut.

563. Buatlah persamaan garis singgung hiperbola x 2 - y 2 = 16 yang diambil dari titik A(- 1; -7).

564. Dari titik C(1;-10) ditarik garis singgung hiperbola x 2 /8 - y 2 /32 = 1. Buatlah persamaan tali busur yang menghubungkan titik-titik singgung tersebut.

565. Dari titik P(1; -5) ditarik garis singgung hiperbola x 2 /3 - y 2 /5 = 1. Hitung jarak d dari titik P ke tali busur hiperbola yang menghubungkan titik-titik singgung tersebut.

566. Sebuah hiperbola melewati titik A(√6; 3) dan menyentuh garis 9x + 2y - 15 == 0. Tuliskan persamaan hiperbola tersebut dengan syarat sumbu-sumbunya berimpit dengan sumbu koordinat.

567. Tulislah persamaan hiperbola yang bersinggungan dengan dua garis lurus: 5x - 6y - 16 = 0, 13x - 10y - 48 = 0, asalkan sumbu-sumbunya berimpit dengan sumbu koordinat.

568. Setelah yakin bahwa titik potong elips x 2 /3 - y 2 /5 = 1 dan hiperbola x 2 /12 - y 2 /3 = 1 adalah titik sudut persegi panjang, buatlah persamaan sisi-sisinya .

569. Diketahui hiperbola x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 dan beberapa garis singgungnya: P adalah titik potong garis singgung tersebut dengan sumbu Ox, Q adalah proyeksi titik singgung tersebut pada sumbu yang sama . Buktikan bahwa OP OQ = a 2 .

570. Buktikan bahwa fokus hiperbola terletak pada sisi berlawanan dari setiap garis singgungnya.

571. Buktikan bahwa hasil kali jarak fokus ke sembarang garis singgung hiperbola x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 adalah nilai konstanta yang sama dengan b 2.

572. Garis lurus 2x - y - 4 == 0 menyentuh hiperbola yang fokusnya berada di titik F 1 (-3; 0) dan F 2 (3; 0). Tuliskan persamaan hiperbola ini.

573. Buatlah persamaan hiperbola yang titik fokusnya terletak pada sumbu x secara simetris terhadap titik asal, jika diketahui persamaan garis singgung hiperbola 15x + 16y - 36 = 0 dan jarak antara hiperbola tersebut simpul adalah 2a = 8.

574. Buktikan bahwa garis lurus yang bersinggungan dengan hiperbola di suatu titik M membentuk sudut yang sama besar dengan jari-jari fokus F 1 M, F 2 M dan melewati sudut F 1 MF 2. X^

575. Dari fokus kanan hiperbola x 2 /5 - y 2 /4 = 1 dengan sudut α(π

576. Buktikan bahwa elips dan hiperbola, yang mempunyai fokus yang sama, berpotongan tegak lurus.

577. Koefisien kompresi seragam bidang terhadap sumbu Ox adalah 4/3. Tentukan persamaan garis yang mengalami transformasi hiperbola x 2 /16 - y 2 /9 = 1 selama kompresi ini. Lihat soal 509.

578. Koefisien kompresi seragam bidang terhadap sumbu Oy adalah 4/5. Tentukan persamaan garis yang mengalami transformasi hiperbola x 2 /25 - y 2 /9 = 1 selama kompresi ini.

579. Temukan persamaan garis di mana hiperbola x 2 - y 2 = 9 ditransformasikan di bawah dua kompresi seragam berturut-turut dari bidang ke sumbu koordinat, jika koefisien kompresi seragam bidang ke sumbu Ox dan Oy adalah masing-masing sama dengan 2/3 dan 5/3.

580. Tentukan koefisien q kompresi seragam bidang terhadap sumbu Ox, di mana hiperbola - x 2 /25 - y 2 /36 = 1 diubah menjadi hiperbola x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

581. Tentukan koefisien q kompresi seragam bidang terhadap sumbu Oy, di mana hiperbola x 2 /4 - y 2 /9 = 1 diubah menjadi hiperbola x 2 /16 - y 2 /9 = 1.

582. Tentukan koefisien q 1 dan q 2 dari dua kompresi seragam berturut-turut pada sumbu Ox dan Oy, di mana hiperbola x 2 /49 - y 2 /16 = 1 diubah menjadi hiperbola x 2 /25 - kamu 2 /64 = 1.

Kelas 10 . Kurva orde kedua.

10.1. Elips. Persamaan kanonik. Semi-sumbu, eksentrisitas, grafik.

10.2. Hiperbola. Persamaan kanonik. Semi-sumbu, eksentrisitas, asimtot, grafik.

10.3. Parabola. Persamaan kanonik. Parameter parabola, grafik.

Kurva orde kedua pada suatu bidang adalah garis yang definisi implisitnya berbentuk:

Di mana
- diberi bilangan real,
- koordinat titik kurva. Garis terpenting di antara kurva orde kedua adalah elips, hiperbola, dan parabola.

10.1. Elips. Persamaan kanonik. Semi-sumbu, eksentrisitas, grafik.

Definisi elips.Elips adalah kurva bidang yang jumlah jarak dari dua titik tetap
pesawat ke titik mana pun

(itu.). Poin
disebut fokus elips.

Persamaan elips kanonik:
. (2)

(atau sumbu
) melewati trik
, dan asal adalah intinya - terletak di tengah ruas
(Gbr. 1). Elips (2) simetris terhadap sumbu koordinat dan titik asal (pusat elips). Permanen
,
disebut setengah sumbu elips.

Jika elips diberikan oleh persamaan (2), maka fokus elips dicari seperti ini.

1) Pertama, kita tentukan letak fokusnya: fokus terletak pada sumbu koordinat tempat sumbu semi utama berada.

2) Kemudian panjang fokus dihitung (jarak dari fokus ke asal).

Pada
fokus terletak pada sumbu
;
;
.

Keanehan elips disebut besaran: (pada
);(pada
).

Elips selalu
. Eksentrisitas berfungsi sebagai karakteristik kompresi elips.

Jika elips (2) digerakkan sehingga titik tengah elips menyentuh titik

,
, maka persamaan elips yang dihasilkan berbentuk

10.2. Hiperbola. Persamaan kanonik. Semi-sumbu, eksentrisitas, asimtot, grafik.

Definisi hiperbola.Hiperbola adalah kurva bidang yang mempunyai nilai mutlak selisih jarak dua titik tetap
pesawat ke titik mana pun
kurva ini memiliki nilai konstan yang tidak bergantung pada titiknya
(itu.). Poin
disebut fokus hiperbola.

Persamaan hiperbola kanonik:
atau
. (3)

Persamaan ini diperoleh jika sumbu koordinat
(atau sumbu
) melewati trik
, dan asal adalah intinya - terletak di tengah ruas
. Hiperbola (3) simetris terhadap sumbu koordinat dan titik asal. Permanen
,
disebut setengah sumbu hiperbola.

Fokus hiperbola ditemukan seperti ini.

Di hiperbola
fokus terletak pada sumbu
:
(Gbr. 2.a).

Di hiperbola
fokus terletak pada sumbu
:
(Gbr. 2.b)

Di Sini - panjang fokus (jarak dari fokus ke titik asal). Itu dihitung dengan rumus:
.

Keanehan hiperbola adalah kuantitas:

(Untuk
);(Untuk
).

Hiperbola selalu terjadi
.

Asimtot hiperbola(3) adalah dua garis lurus:
. Kedua cabang hiperbola mendekati asimtot tanpa batas seiring bertambahnya .

Pembuatan grafik hiperbola harus dilakukan sebagai berikut: pertama sepanjang sumbu semi
kita membuat persegi panjang bantu dengan sisi-sisinya sejajar dengan sumbu koordinat; kemudian tarik garis lurus melalui titik sudut yang berlawanan dari persegi panjang ini, ini adalah asimtot hiperbola; akhirnya kita menggambarkan cabang-cabang hiperbola, mereka menyentuh titik tengah sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi panjang bantu dan semakin dekat dengan pertumbuhan menjadi asimtot (Gbr. 2).

Jika hiperbola (3) dipindahkan sehingga pusatnya menyentuh suatu titik
, dan sumbu semi akan tetap sejajar dengan sumbu
,
, maka persamaan hiperbola yang dihasilkan akan ditulis dalam bentuk

,
.

10.3. Parabola. Persamaan kanonik. Parameter parabola, grafik.

Definisi parabola.Parabola adalah kurva bidang yang, untuk titik mana pun
kurva ini adalah jarak dari
ke titik tetap bidang (disebut fokus parabola) sama dengan jarak darinya
ke garis lurus tetap pada bidang(disebut direktriks parabola) .

Persamaan parabola kanonik:
, (4)

Di mana - sebuah konstanta dipanggil parameter parabola.

Dot
parabola (4) disebut titik puncak parabola. Sumbu
adalah sumbu simetri. Fokus parabola (4) berada pada titik
, persamaan direktriks
. Grafik parabola (4) beserta maknanya
Dan
ditunjukkan pada Gambar. 3.a dan 3.b masing-masing.

Persamaannya
juga mendefinisikan parabola di pesawat
, yang sumbunya, dibandingkan dengan parabola (4),
,
bertukar tempat.

Jika parabola (4) digerakkan hingga titik sudutnya menyentuh suatu titik
, dan sumbu simetri akan tetap sejajar dengan sumbu
, maka persamaan parabola yang dihasilkan berbentuk

Mari beralih ke contoh.

Contoh 1. Kurva orde kedua diberikan oleh persamaan
. Beri nama pada kurva ini. Temukan fokus dan eksentrisitasnya. Gambarlah kurva dan fokusnya pada bidang datar
.

Larutan. Kurva ini berbentuk elips yang berpusat pada suatu titik
dan poros gandar
. Ini dapat dengan mudah diverifikasi dengan menggantinya
. Transformasi ini berarti transisi dari sistem koordinat Cartesian tertentu
ke sistem koordinat kartesius baru
, poros siapa
sejajar dengan sumbu
,
. Transformasi koordinat ini disebut pergeseran sistem
tepat . Dalam sistem koordinat baru
persamaan kurva diubah menjadi persamaan kanonik elips
, grafiknya ditunjukkan pada Gambar. 4.

Ayo temukan triknya.
, jadi triknya
elips terletak pada sumbu
.. Dalam sistem koordinat
:
. Karena
, dalam sistem koordinat lama
fokus memiliki koordinat.

Contoh 2. Beri nama kurva orde kedua dan berikan grafiknya.

Larutan. Mari kita pilih kuadrat sempurna berdasarkan suku-suku yang mengandung variabel Dan .

Sekarang persamaan kurvanya dapat ditulis ulang sebagai berikut:

Oleh karena itu, kurva yang diberikan adalah elips yang berpusat di suatu titik
dan poros gandar
. Informasi yang diperoleh memungkinkan kita menggambar grafiknya.

Contoh 3. Beri nama dan grafik garis tersebut
.

Larutan. . Ini adalah persamaan kanonik elips yang berpusat di suatu titik
dan poros gandar
.

Karena,
, kami menyimpulkan: persamaan yang diberikan ditentukan pada bidang
bagian bawah elips (Gbr. 5).

Contoh 4. Beri nama kurva orde kedua
. Temukan fokusnya, eksentrisitas. Berikan grafik kurva ini.

- Persamaan kanonik hiperbola dengan semi-sumbu
.

Focal length.

Tanda minus mendahului suku dengan , jadi triknya
hiperbola terletak pada sumbunya
:. Cabang-cabang hiperbola terletak di atas dan di bawah sumbu
.

- eksentrisitas hiperbola.

Asimtot hiperbola: .

Pembuatan grafik hiperbola ini dilakukan sesuai dengan prosedur yang diuraikan di atas: kita membuat persegi panjang bantu, menggambar asimtot hiperbola, menggambar cabang hiperbola (lihat Gambar 2.b).

Contoh 5. Cari tahu jenis kurva yang diberikan oleh persamaan
dan merencanakannya.

- hiperbola yang berpusat di suatu titik
dan poros gandar.

Karena , kita menyimpulkan: persamaan yang diberikan menentukan bagian hiperbola yang terletak di sebelah kanan garis lurus
. Lebih baik menggambar hiperbola dalam sistem koordinat bantu
, diperoleh dari sistem koordinat
menggeser
, lalu sorot bagian hiperbola yang diinginkan dengan garis tebal

Contoh 6. Cari tahu jenis kurvanya dan gambarkan grafiknya.

Larutan. Mari kita pilih persegi lengkap berdasarkan suku-suku dengan variabel :

Mari kita tulis ulang persamaan kurvanya.

Berikut persamaan parabola yang titik sudutnya di titik tersebut
. Dengan menggunakan transformasi shift, persamaan parabola diubah menjadi bentuk kanonik
, yang jelas merupakan parameter parabola. Fokus parabola dalam sistem
memiliki koordinat
,, dan dalam sistem
(menurut transformasi shift). Grafik parabola ditunjukkan pada Gambar. 7.

Pekerjaan rumah.

1. Gambarlah elips yang diberikan oleh persamaan:
Temukan sumbu semi, panjang fokus, eksentrisitasnya dan tunjukkan pada grafik elips lokasi fokusnya.

2. Gambarlah hiperbola yang diberikan oleh persamaan:
Temukan sumbu semi, panjang fokus, eksentrisitasnya dan tunjukkan pada grafik hiperbola lokasi fokusnya. Tuliskan persamaan asimtot hiperbola yang diberikan.

3. Gambarlah parabola yang diberikan oleh persamaan:
. Temukan parameternya, panjang fokusnya, dan tunjukkan pada grafik parabola lokasi fokusnya.

4. Persamaan
mendefinisikan bagian kurva orde ke-2. Temukan persamaan kanonik kurva ini, tuliskan namanya, buat grafiknya dan sorot bagian kurva yang sesuai dengan persamaan aslinya.

Hiperbola dan parabola

Mari kita beralih ke artikel bagian kedua tentang garis pesanan kedua, didedikasikan untuk dua kurva umum lainnya - hiperbola Dan parabola. Jika Anda membuka halaman ini dari mesin pencari atau belum punya waktu untuk menavigasi topik, maka saya sarankan Anda mempelajari bagian pertama pelajaran terlebih dahulu, di mana kami tidak hanya memeriksa poin-poin teoretis utama, tetapi juga berkenalan. dengan elips. Saya menyarankan agar pembaca lainnya memperluas pengetahuan sekolah mereka tentang parabola dan hiperbola secara signifikan. Hiperbola dan parabola - apakah sederhana? ...Tidak sabar =)

Hiperbola dan persamaan kanoniknya

Struktur penyajian materi secara umum akan menyerupai paragraf sebelumnya. Mari kita mulai dengan konsep umum hiperbola dan tugas membangunnya.

Persamaan kanonik hiperbola berbentuk , dimana bilangan real positif. Harap dicatat bahwa, tidak seperti elips, syaratnya tidak berlaku di sini, yaitu nilai “a” boleh lebih kecil dari nilai “menjadi”.

Saya harus mengatakan, secara tidak terduga… persamaan hiperbola “sekolah” bahkan tidak mirip dengan notasi kanonik. Namun misteri ini masih harus menunggu kita, namun untuk saat ini mari kita garuk-garuk kepala dan mengingat ciri-ciri apa yang dimiliki kurva tersebut? Mari kita sebarkan di layar imajinasi kita grafik suatu fungsi ….

Hiperbola mempunyai dua cabang yang simetris.

Hiperbola mempunyai dua asimtot.

Bukan kemajuan yang buruk! Hiperbola apa pun memiliki sifat-sifat ini, dan sekarang kita akan melihat dengan kekaguman yang tulus pada garis leher baris ini:

Contoh 4

Bangun hiperbola yang diberikan oleh persamaan

Larutan: pada langkah pertama, kita membawa persamaan ini ke bentuk kanonik. Harap ingat prosedur standar. Di sebelah kanan Anda perlu mendapatkan “satu”, jadi kita bagi kedua ruas persamaan awal dengan 20:

Di sini Anda dapat mengurangi kedua pecahan, tetapi akan lebih optimal jika melakukan masing-masing pecahan tiga lantai:

Dan baru setelah itu lakukan pengurangan:

Pilih kotak di penyebutnya:

Mengapa lebih baik melakukan transformasi dengan cara ini? Toh pecahan di ruas kiri bisa langsung dikurangi dan diperoleh. Faktanya adalah bahwa dalam contoh yang dipertimbangkan kami sedikit beruntung: angka 20 habis dibagi 4 dan 5. Secara umum, angka seperti itu tidak berfungsi. Misalnya saja persamaannya. Di sini semuanya lebih menyedihkan dengan dan tanpa keterbagian pecahan tiga lantai tidak mungkin lagi:

Jadi, mari kita gunakan hasil kerja kita - persamaan kanonik:

Bagaimana cara membuat hiperbola?

Ada dua pendekatan untuk membangun hiperbola - geometris dan aljabar.
Dari sudut pandang praktis, menggambar dengan kompas... Saya bahkan akan mengatakan utopis, jadi jauh lebih menguntungkan untuk sekali lagi menggunakan perhitungan sederhana untuk membantu.

Dianjurkan untuk mengikuti algoritma berikut, pertama gambar yang sudah jadi, lalu komentar:

1) Pertama-tama, kita temukan asimtot. Jika hiperbola diberikan oleh persamaan kanonik, maka asimtotnya adalah lurus . Dalam kasus kami: . Barang ini diperlukan! Ini adalah ciri mendasar dari gambar tersebut, dan akan menjadi kesalahan besar jika cabang-cabang hiperbola “merangkak” melampaui asimtotnya.

2) Sekarang kita temukan dua simpul hiperbola, yang terletak pada sumbu absis di titik-titik . Penurunannya bersifat mendasar: jika , maka persamaan kanonik berubah menjadi , yang kemudian menjadi . Hiperbola yang dimaksud memiliki simpul

3) Kami mencari poin tambahan. Biasanya 2-3 sudah cukup. Pada posisi kanonik, hiperbola simetris terhadap titik asal dan kedua sumbu koordinat, sehingga cukup melakukan perhitungan pada kuarter koordinat ke-1. Tekniknya sama persis dengan saat membangun elips. Dari persamaan kanonik dalam draf kami menyatakan:

Persamaan tersebut dipecah menjadi dua fungsi:
– menentukan busur atas hiperbola (yang kita butuhkan);
– mendefinisikan busur bawah hiperbola.

Ini menyarankan untuk menemukan poin dengan absis:

4) Mari kita gambarkan asimtot pada gambar , puncak , titik tambahan dan simetris pada titik koordinat lainnya. Hubungkan dengan hati-hati titik-titik yang bersesuaian di setiap cabang hiperbola:

Kesulitan teknis mungkin timbul jika tidak rasional lereng, tapi ini adalah masalah yang sepenuhnya bisa diatasi.

Segmen garis ditelepon sumbu nyata hiperbola,
panjangnya adalah jarak antar simpul;
nomor ditelepon semi-sumbu nyata hiperbola;
nomor – semi-sumbu imajiner.

Dalam contoh kita: , dan, tentu saja, jika hiperbola ini diputar mengelilingi pusat simetri dan/atau dipindahkan, maka nilai-nilai ini tidak akan berubah.

Definisi hiperbola. Fokus dan eksentrisitas

Sebuah hiperbola, seperti a elips, ada dua titik khusus yang disebut Trik. Saya tidak mengatakan apa-apa, tetapi kalau-kalau ada yang salah paham: pusat simetri dan titik fokus, tentu saja, bukan milik kurva.

Konsep umum definisinya juga serupa:

Hiperbola disebut himpunan semua titik pada bidang, nilai mutlak perbedaan jarak yang masing-masing titik dari dua titik tertentu merupakan nilai konstan, yang secara numerik sama dengan jarak antara simpul-simpul hiperbola ini: . Dalam hal ini, jarak antara fokus melebihi panjang sumbu sebenarnya: .

Jika hiperbola diberikan oleh persamaan kanonik, maka jarak dari pusat simetri ke setiap fokus dihitung menggunakan rumus: .
Dan karenanya, fokusnya memiliki koordinat .

Untuk hiperbola yang diteliti:

Mari kita pahami definisinya. Mari kita nyatakan dengan jarak dari fokus ke titik sembarang hiperbola:

Pertama, secara mental gerakkan titik biru di sepanjang cabang kanan hiperbola - dimanapun kita berada, modul(nilai absolut) selisih panjang ruas-ruas tersebut akan sama:

Jika Anda “melempar” titik tersebut ke cabang kiri dan memindahkannya ke sana, maka nilai ini tidak akan berubah.

Tanda modulus diperlukan karena selisih panjang dapat bernilai positif atau negatif. Ngomong-ngomong, untuk titik mana pun di cabang kanan (karena segmennya lebih pendek dari segmennya ). Untuk titik mana pun di cabang kiri, situasinya justru sebaliknya dan .

Selain itu, mengingat sifat modul yang jelas, tidak masalah apa yang dikurangi dari apa.

Mari kita pastikan bahwa dalam contoh kita modul selisih ini benar-benar sama dengan jarak antar simpul. Tempatkan secara mental sebuah titik di titik sudut kanan hiperbola. Lalu: , yang mana yang perlu diperiksa.

Definisi . Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih masing-masing titik dengan dua titik tertentu, disebut fokus, bernilai konstan.

Mari kita ambil sistem koordinat sehingga fokusnya terletak pada sumbu absis, dan titik asal koordinat membagi segmen F 1 F 2 menjadi dua (Gbr. 30). Mari kita nyatakan F 1 F 2 = 2c. Kemudian F 1 (c; 0); F 2 (-c; 0)

MF 2 = r 2 , MF 1 = r 1 – jari-jari fokus hiperbola.

Menurut definisi hiperbola, r 1 – r 2 = konstanta.

Mari kita nyatakan dengan 2a

Maka r 2 - r 1 = ±2a jadi:

=> persamaan hiperbola kanonik

Karena persamaan hiperbola x dan y pangkat genap, maka jika titik M 0 (x 0; y 0) terletak pada hiperbola tersebut, maka titik M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x 0) juga berbaring di atasnya. -y 0) M 3 (-x 0; -y 0).

Oleh karena itu, hiperbola adalah simetris terhadap kedua sumbu koordinat.

Bila y = 0 x 2 = a 2 x = ± a. Titik sudut hiperbola adalah titik A 1 (a; 0); SEBUAH 2 (-Sebuah; 0).

. Karena simetri, kami melakukan penelitian pada kuartal pertama

1) kapan
y mempunyai nilai imajiner, oleh karena itu titik-titik hiperbola dengan absis
tidak ada

2) untuk x = a; y = 0 A 1 (a; 0) termasuk dalam hiperbola

3) untuk x > a; y > 0. Selain itu, dengan pertambahan x yang tidak terbatas, cabang hiperbola menjadi tak terhingga.

Oleh karena itu hiperbola adalah kurva yang terdiri dari dua cabang tak terhingga.

P 6. Asimtot hiperbola

Mari kita pertimbangkan bersama persamaannya
persamaan suatu garis

KE kurva akan terletak di bawah garis lurus (Gbr. 31). Perhatikan titik N (x, Y) dan M (x, y) yang absisnya sama, dan Y - y = MN. Perhatikan panjang ruas MN

Kami akan menemukannya

Jadi, jika titik M yang bergerak sepanjang hiperbola pada kuarter pertama menjauh hingga tak terhingga, maka jaraknya dari garis lurus
menurun dan cenderung nol.

Karena simetri, garis lurus mempunyai sifat yang sama
.

Definisi. Langsung ke mana di
Kurva tersebut mendekati tak terhingga dan disebut asimtot.

DAN
jadi, persamaan asimtot hiperbola
.

Asimtot hiperbola terletak pada diagonal-diagonal persegi panjang yang salah satu sisinya sejajar sumbu x sama dengan 2a, sisi lainnya sejajar sumbu oy dan sama dengan 2b, dan pusatnya terletak di asal koordinat (Gbr. 32).

P 7. Eksentrisitas dan direktriks suatu hiperbola

r 2 – r 1 = ± 2a tanda + mengacu pada cabang kanan hiperbola

tanda – mengacu pada cabang kiri hiperbola

Definisi. Eksentrisitas suatu hiperbola adalah perbandingan jarak antara fokus hiperbola tersebut dengan jarak antara simpul-simpulnya.

. Karena c > a, ε > 1

Mari kita nyatakan jari-jari fokus hiperbola dalam eksentrisitas:

Definisi . Sebut saja garis lurus
, tegak lurus terhadap sumbu fokus hiperbola dan terletak pada jarak tertentudari pusatnya melalui direktriks hiperbola yang bersesuaian dengan fokus kanan dan kiri.

T
adapun hiperbola
oleh karena itu, direktriks hiperbola terletak di antara simpulnya (Gbr. 33). Mari kita tunjukkan bahwa perbandingan jarak suatu titik hiperbola ke fokus dan direktriks yang bersesuaian adalah nilai konstan dan sama dengan ε.

P.8 Parabola dan persamaannya

TENTANG
definisi. Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu, disebut fokus, dan dari suatu garis tertentu, disebut direktriks.

Untuk menyusun persamaan parabola, kita ambil sebagai sumbu x sebuah garis lurus yang melalui fokus F 1 tegak lurus terhadap direktriks dan kita asumsikan bahwa sumbu x diarahkan dari direktriks ke fokus. Untuk titik asal koordinat kita ambil titik tengah O ruas dari titik F ke garis lurus ini, yang panjangnya kita nyatakan dengan p (Gbr. 34). Kita akan menyebut nilai p sebagai parameter parabola. Titik koordinat fokus
.

Misalkan M (x, y) adalah titik sembarang pada parabola.

Menurut definisi

pada 2 = 2рх – persamaan kanonik parabola

Untuk menentukan jenis parabola, kita ubah persamaannya
ini menyiratkan. Oleh karena itu, titik puncak parabola berada di titik asal dan sumbu simetri parabola adalah oh. Persamaan y 2 = -2px dengan p positif direduksi menjadi persamaan y 2 = 2px dengan mengganti x dengan –x dan grafiknya terlihat seperti (Gbr. 35).

kamu
Persamaan x2 = 2py merupakan persamaan parabola yang titik sudutnya di titik O (0; 0) yang cabang-cabangnya mengarah ke atas.

X
2 = -2ру – persamaan parabola yang berpusat di titik asal, simetris terhadap sumbu y, yang cabang-cabangnya mengarah ke bawah (Gbr. 36).

Parabola mempunyai satu sumbu simetri.

Jika x pangkat pertama dan y pangkat kedua, maka sumbu simetrinya adalah x.

Jika x pangkat dua dan y pangkat satu, maka sumbu simetrinya adalah sumbu y.

Catatan 1. Persamaan direktriks parabola berbentuk
.

Catatan 2. Karena untuk parabola , Ituε parabola sama dengan 1.ε = 1 .

Saya menyarankan agar pembaca lainnya memperluas pengetahuan sekolah mereka tentang parabola dan hiperbola secara signifikan. Hiperbola dan parabola - apakah sederhana? ...Tidak sabar =)

Hiperbola dan persamaan kanoniknya

Struktur penyajian materi secara umum akan menyerupai paragraf sebelumnya. Mari kita mulai dengan konsep umum hiperbola dan tugas membangunnya.

Hiperbola mempunyai dua cabang yang simetris.

Bukan kemajuan yang buruk! Hiperbola apa pun memiliki sifat-sifat ini, dan sekarang kita akan melihat dengan kekaguman yang tulus pada garis leher baris ini:

Contoh 4

Bangun hiperbola yang diberikan oleh persamaan

Di sini Anda dapat mengurangi kedua pecahan, tetapi akan lebih optimal jika melakukan masing-masing pecahan tiga lantai:

Dan baru setelah itu lakukan pengurangan:

Pilih kotak di penyebutnya:

Jadi, mari kita gunakan hasil kerja kita - persamaan kanonik:

Bagaimana cara membuat hiperbola?

Dianjurkan untuk mengikuti algoritma berikut, pertama gambar yang sudah jadi, lalu komentar:

Dalam prakteknya, sering dijumpai kombinasi rotasi dengan sudut sembarang dan translasi paralel hiperbola. Situasi ini dibahas di kelas Mereduksi persamaan garis orde 2 menjadi bentuk kanonik.

Parabola dan persamaan kanoniknya

Selesai! Dialah orangnya. Siap mengungkap banyak rahasia. Persamaan kanonik parabola berbentuk , dimana merupakan bilangan real. Sangat mudah untuk melihat bahwa dalam posisi standarnya parabola “terletak pada sisinya” dan titik puncaknya berada di titik asal. Dalam hal ini, fungsinya menentukan cabang atas dari garis ini, dan fungsinya – cabang bawah. Jelas bahwa parabola simetris terhadap sumbunya. Sebenarnya kenapa repot-repot:

Contoh 6

Buatlah sebuah parabola

Larutan: titik puncaknya diketahui, cari titik tambahannya. Persamaannya menentukan busur atas parabola, persamaan menentukan busur bawah.

Untuk mempersingkat pencatatan perhitungan, kami akan melakukan perhitungan “dengan satu kuas”:

Untuk pencatatan yang ringkas, hasilnya dapat diringkas dalam sebuah tabel.

Sebelum melakukan gambar dasar poin demi poin, mari kita rumuskan secara ketat

definisi parabola:

Parabola adalah himpunan semua titik pada bidang yang berjarak sama dari suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu yang tidak melalui titik tersebut.

Intinya disebut fokus parabola, garis lurus - kepala sekolah (dieja dengan satu "es") parabola. Konstanta "pe" dari persamaan kanonik disebut parameter fokus, yang sama dengan jarak dari fokus ke direktriks. Pada kasus ini . Dalam hal ini, fokusnya memiliki koordinat , dan direktriksnya diberikan oleh persamaan .
Dalam contoh kita:

Definisi parabola bahkan lebih sederhana untuk dipahami dibandingkan definisi elips dan hiperbola. Untuk setiap titik pada parabola, panjang segmen (jarak fokus ke titik) sama dengan panjang tegak lurus (jarak titik ke direktriks):

Selamat! Banyak dari Anda telah membuat penemuan nyata hari ini. Ternyata hiperbola dan parabola sama sekali bukan grafik fungsi “biasa”, tetapi mempunyai asal usul geometri yang jelas.

Jelasnya, dengan peningkatan parameter fokus, cabang-cabang grafik akan “naik” ke atas dan ke bawah, mendekati sumbu tanpa batas. Ketika nilai “pe” menurun, mereka akan mulai memampatkan dan meregang sepanjang sumbu

Eksentrisitas parabola apa pun sama dengan satu:

Rotasi dan translasi paralel parabola

Parabola adalah salah satu garis paling umum dalam matematika, dan Anda harus sering membuatnya. Oleh karena itu, harap berikan perhatian khusus pada paragraf terakhir pelajaran ini, di mana saya akan membahas pilihan umum untuk lokasi kurva ini.

! Catatan : seperti halnya kurva sebelumnya, lebih tepat berbicara tentang rotasi dan translasi paralel sumbu koordinat, tetapi penulis akan membatasi dirinya pada versi penyajian yang disederhanakan sehingga pembaca memiliki pemahaman dasar tentang transformasi ini.

KGB dan UFO - informasi yang dideklasifikasi dokumen rahasia KGB dan UFO

Persamaan garis dalam ruang adalah persamaan dua bidang yang berpotongan