Mencari luas menggunakan integral online. Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis. Penerapan integral untuk penyelesaian masalah terapan

Larutan.

Pertama dan momen yang paling penting solusi - menggambar gambar.

Mari kita membuat gambarnya:

Persamaan kamu=0 mengatur sumbu “x”;

- x=-2 Dan x=1 - lurus, sumbu paralel Oh;

- kamu=x 2 +2 - parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, dengan titik sudut di titik (0;2).

Komentar. Untuk membuat parabola, cukup mencari titik potongnya sumbu koordinat, yaitu menempatkan x=0 carilah perpotongan dengan sumbunya Oh dan mengambil keputusan yang sesuai persamaan kuadrat, temukan perpotongan dengan sumbu Oh .

Titik puncak parabola dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Anda juga dapat membuat garis titik demi titik.

Pada interval [-2;1] grafik fungsi kamu=x 2 +2 terletak di atas sumbu Sapi , Itu sebabnya:

Menjawab: S =9 unit persegi

Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambarnya dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. DI DALAM dalam hal ini"dengan mata" kita menghitung jumlah sel dalam gambar - yah, akan ada sekitar 9, sepertinya benar. Sangat jelas jika kita mendapat, katakanlah, jawabannya: 20 satuan persegi, maka jelas ada kesalahan yang terjadi di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan salah.

Apa yang harus dilakukan jika ada trapesium melengkung di bawah poros Oh?

B) Hitung luas gambar tersebut, dibatasi oleh garis kamu=-ex , x=1 dan koordinat sumbu.

Larutan.

Mari kita membuat gambar.

Jika trapesium melengkung sepenuhnya terletak di bawah sumbu Oh , maka luasnya dapat dicari dengan rumus:

Menjawab: S=(e-1) unit persegi" 1,72 unit persegi

Perhatian! Kedua jenis tugas ini tidak boleh disamakan:

1) Jika Anda diminta menyelesaikan integral tertentu tanpa makna geometri apa pun, maka integral tersebut mungkin negatif.

2) Jika diminta mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul pada rumus yang baru saja dibahas.

Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah.

Dengan) Temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis y=2x-x 2, y=-x.

Larutan.

Pertama, Anda perlu menyelesaikan gambarnya. Secara umum, ketika membuat gambar dalam soal luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita cari titik potong parabola dan lurus Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Metode pertama adalah analitis.

Kami memecahkan persamaan:

Artinya batas bawah integrasi sebuah=0 , batas atas integrasi b=3 .

Kita buat garis-garis berikut: 1. Parabola - titik sudut di titik (1;1); persimpangan sumbu Oh - poin (0;0) dan (0;2). 2. Garis lurus - garis bagi ke-2 dan ke-4 sudut koordinat. Dan sekarang Perhatian! Jika pada segmen [ a;b] beberapa fungsi berkelanjutan f(x) lebih besar atau sama dengan beberapa fungsi berkelanjutan g(x), maka luas bangun yang bersesuaian dapat dicari dengan menggunakan rumus: .

Dan tidak masalah di mana letak gambarnya - di atas sumbu atau di bawah sumbu, tetapi yang penting adalah grafik mana yang LEBIH TINGGI (relatif terhadap grafik lain) dan mana yang DI BAWAH. Pada contoh yang dibahas, terlihat jelas bahwa pada ruas parabola terletak di atas garis lurus, oleh karena itu perlu dilakukan pengurangan dari

Anda dapat membuat garis titik demi titik, dan batas integrasi menjadi jelas “dengan sendirinya”. Namun demikian, metode analitis mencari batas kadang-kadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi rinci tidak mengungkapkan batas integrasi (bisa berupa pecahan atau irasional).

Bentuk yang diinginkan dibatasi oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.

Di segmen tersebut , menurut rumus yang sesuai:

Menjawab: S =4,5 unit persegi

Mundur ke Depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili semua fitur presentasi. Jika Anda tertarik pekerjaan ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Kata kunci: integral, trapesium lengkung, luas bangun yang dibatasi bunga lili

Peralatan: papan penanda, komputer, proyektor multimedia

Jenis pelajaran: pelajaran-ceramah

Tujuan Pelajaran:

pendidikan: membentuk budaya kerja mental, menciptakan situasi sukses bagi setiap siswa, dan menciptakan motivasi belajar yang positif; mengembangkan kemampuan berbicara dan mendengarkan orang lain.
berkembang: pembentukan pemikiran mandiri siswa dalam menerapkan pengetahuan dalam situasi yang berbeda, kemampuan menganalisis dan menarik kesimpulan, perkembangan logika, pengembangan kemampuan mengajukan pertanyaan dengan benar dan menemukan jawabannya. Meningkatkan pembentukan keterampilan komputasi, mengembangkan pemikiran siswa dalam menyelesaikan tugas yang diajukan, mengembangkan budaya algoritmik.
mendidik: merumuskan konsep trapesium lengkung, integral, menguasai keterampilan menghitung luas angka datar

Metode Pengajaran: penjelasan dan ilustratif.

Kemajuan pelajaran

Pada pelajaran sebelumnya kita telah belajar menghitung luas bangun datar yang batasnya berupa garis putus-putus. Dalam matematika, ada metode yang memungkinkan Anda menghitung luas bangun yang dibatasi oleh kurva. Angka-angka seperti itu disebut trapesium lengkung, dan luasnya dihitung menggunakan antiturunan.

Trapesium lengkung ( geser 1)

Trapesium lengkung adalah suatu bangun datar yang dibatasi oleh grafik suatu fungsi, ( sh.m.), lurus x = sebuah Dan x = b dan sumbu x

Macam-macam trapesium lengkung ( geser 2)

Kami sedang mempertimbangkan berbagai jenis trapesium lengkung dan perhatikan: salah satu garis lurus merosot ke suatu titik, peran fungsi pembatas dimainkan oleh garis lurus

Luas trapesium lengkung (slide 3)

Perbaiki ujung kiri interval A, dan yang benar X kita akan berubah, yaitu kita memindahkan dinding kanan trapesium lengkung dan mendapatkan gambar yang berubah. Luas trapesium lengkung variabel yang dibatasi oleh grafik fungsi merupakan antiturunan F untuk fungsi F

Dan di segmen [ A; B] luas trapesium lengkung yang dibentuk oleh fungsi tersebut F, sama dengan pertambahan antiturunan dari fungsi ini:

Tugas 1:

Temukan luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh grafik fungsi: f(x) = x 2 dan lurus kamu = 0, x = 1, x = 2.

Solusi: ( sesuai dengan algoritma slide 3)

Mari menggambar grafik fungsi dan garis

Mari kita temukan salah satunya fungsi antiturunan f(x) = x 2 :

Geser tes mandiri

Integral

Pertimbangkan trapesium lengkung yang ditentukan oleh fungsinya F di segmen [ A; B]. Mari kita bagi segmen ini menjadi beberapa bagian. Luas seluruh trapesium akan dibagi dengan jumlah luas trapesium lengkung yang lebih kecil. ( geser 5). Setiap trapesium tersebut kira-kira dapat dianggap sebagai persegi panjang. Jumlah luas persegi panjang ini memberikan perkiraan luas seluruh luas trapesium lengkung. Semakin kecil kita membagi segmen [ A; B], semakin akurat kita menghitung luasnya.

Mari kita tuliskan argumen-argumen ini dalam bentuk rumus.

Bagilah segmen [ A; B] menjadi n bagian demi titik x 0 = a, x1,…, xn = b. Panjang k- th dilambangkan dengan xk = xk – xk-1. Mari kita hitung jumlahnya

Secara geometris, jumlah ini menyatakan luas bangun yang diarsir pada bangun tersebut ( sh.m.)

Jumlah dari bentuk tersebut disebut jumlah integral untuk fungsi tersebut F. (sh.m.)

Jumlah integral memberikan perkiraan nilai luas. Nilai yang tepat diperoleh dengan meneruskan ke batas. Bayangkan kita sedang menyempurnakan partisi segmen [ A; B] sehingga panjang semua ruas kecil cenderung nol. Maka luas bangun yang tersusun akan mendekati luas trapesium lengkung. Dapat dikatakan bahwa luas trapesium lengkung sama dengan limit jumlah integral, Sc.t. (sh.m.) atau integral, yaitu,

Definisi:

Integral suatu fungsi f(x) dari A ke B disebut limit jumlah integral

= (sh.m.)

Rumus Newton-Leibniz.

Kita ingat bahwa limit jumlah integral sama dengan luas trapesium lengkung, artinya kita dapat menulis:

Sc.t. = (sh.m.)

Sebaliknya, luas trapesium lengkung dihitung dengan rumus

S k.t. (sh.m.)

Membandingkan rumus ini, kita mendapatkan:

= (sh.m.)

Persamaan ini disebut rumus Newton-Leibniz.

Untuk memudahkan perhitungan, rumusnya ditulis sebagai:

= = (sh.m.)

Tugas: (sh.m.)

1. Hitung integral menggunakan rumus Newton-Leibniz: ( cek di slide 5)

2. Susun integral sesuai gambar ( cek di slide 6)

3. Hitunglah luas bangun yang dibatasi oleh garis: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Geser 7)

Mencari luas bangun datar ( geser 8)

Bagaimana cara mencari luas bangun trapesium yang tidak melengkung?

Biarkan dua fungsi diberikan, grafik yang Anda lihat di slide . (sh.m.) Temukan luas gambar yang diarsir . (sh.m.). Apakah bangun yang dimaksud adalah trapesium lengkung? Bagaimana cara mencari luasnya dengan menggunakan sifat penjumlahan luas? Perhatikan dua buah trapesium lengkung dan kurangi luas salah satunya dengan luas trapesium lainnya ( sh.m.)

Mari buat algoritma untuk mencari area menggunakan animasi pada slide:

Fungsi grafik
Proyeksikan titik potong grafik tersebut ke sumbu x
Bayangkan gambar yang diperoleh ketika grafik-grafik tersebut berpotongan
Temukan trapesium lengkung yang titik potong atau gabungannya adalah gambar tertentu.
Hitung luas masing-masingnya
Temukan perbedaan atau jumlah area

Tugas lisan: Cara memperoleh luas bangun yang diarsir (ceritakan dengan menggunakan animasi, geser 8 dan 9)

Pekerjaan rumah: Kerjakanlah catatan, No. 353 (a), No. 364 (a).

Referensi

Aljabar dan permulaan analisis: buku teks untuk kelas 9-11 sekolah malam (shift) / ed. GD kaca. - M: Pencerahan, 1983.
Bashmakov M.I. Aljabar dan permulaan analisis: buku teks untuk kelas 10-11 sekolah menengah / Bashmakov M.I. - M: Pencerahan, 1991.
Bashmakov M.I. Matematika: buku teks untuk institusi permulaan. dan Rabu Prof. pendidikan / M.I. Bashmakov. - M: Akademi, 2010.
Kolmogorov A.N. Aljabar dan permulaan analisis: buku teks untuk kelas 10-11. lembaga pendidikan / A.N. - M: Pendidikan, 2010.
Ostrovsky S.L. Bagaimana cara membuat presentasi untuk suatu pelajaran?/ S.L. Ostrovsky. – M.: 1 September 2010.

Masalah 1(tentang menghitung luas trapesium lengkung).

Dalam Cartesian sistem persegi panjang koordinat xOy, diberikan suatu bangun (lihat gambar) yang dibatasi oleh sumbu x, garis lurus x = a, x = b (a dan trapesium lengkung. Diperlukan untuk menghitung luas trapesium lengkung.
Larutan. Geometri memberi kita resep untuk menghitung luas poligon dan beberapa bagian lingkaran (sektor, segmen). Dengan menggunakan pertimbangan geometris, kita hanya dapat menemukan nilai perkiraan luas yang dibutuhkan, dengan alasan sebagai berikut.

Mari kita bagi segmen [a; b] (alas trapesium lengkung) di n bagian yang sama; partisi ini dilakukan dengan menggunakan titik x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Mari kita tarik garis lurus melalui titik-titik ini sejajar dengan sumbu y. Kemudian trapesium lengkung yang diberikan akan dibagi menjadi n bagian, menjadi n kolom sempit. Luas seluruh trapesium sama dengan jumlah luas kolom.

Mari kita perhatikan kolom ke-k secara terpisah, mis. trapesium melengkung yang alasnya berupa ruas. Mari kita ganti dengan persegi panjang yang alasnya sama dan tingginya sama dengan f(x k) (lihat gambar). Luas persegi panjang sama dengan $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, dengan $\Delta x_k $ adalah panjang ruas; Wajar jika produk yang dihasilkan dianggap sebagai nilai perkiraan luas kolom ke-k.

Jika sekarang kita melakukan hal yang sama dengan semua kolom lainnya, kita akan mendapatkan hasil sebagai berikut: luas S dari trapesium lengkung tertentu kira-kira sama dengan luas S n dari bangun bertingkat yang terdiri dari n persegi panjang (lihat gambar):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \titik + f(x_k)\Delta x_k + \titik + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Di sini, demi keseragaman notasi, kita asumsikan a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - panjang segmen, $\Delta x_1 $ - panjang segmen, dll.; dalam hal ini, seperti yang kita sepakati di atas, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Jadi, $S \kira-kira S_n $, dan persamaan perkiraan ini lebih akurat, semakin besar n.
Menurut definisi, luas trapesium lengkung yang diperlukan sama dengan limit barisan (S n):
$$ S = \lim_(n \hingga \infty) S_n $$

Masalah 2(tentang memindahkan suatu titik)
Bergerak dalam garis lurus poin materi. Ketergantungan kecepatan terhadap waktu dinyatakan dengan rumus v = v(t). Temukan pergerakan suatu titik selama periode waktu [a; B].
Larutan. Jika geraknya seragam, maka masalahnya akan diselesaikan dengan sangat sederhana: s = vt, yaitu. s = v(b-a). Untuk gerakan tidak rata, Anda harus menggunakan ide yang sama yang menjadi dasar solusi masalah sebelumnya.
1) Bagilah selang waktu [a; b] menjadi n bagian yang sama.
2) Perhatikan suatu periode waktu dan asumsikan bahwa selama periode waktu tersebut kecepatannya konstan, sama seperti pada waktu t k. Jadi kita asumsikan bahwa v = v(t k).
3) Mari kita cari nilai perkiraan pergerakan titik selama periode waktu tertentu; kita nyatakan nilai perkiraan ini sebagai s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Temukan perkiraan nilai perpindahan s:
$s \kira-kira S_n $ dimana
$S_n = s_0 + \titik + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \titik + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Perpindahan yang diperlukan sama dengan limit barisan (S n):
$$ s = \lim_(n \hingga \infty) S_n $$

Mari kita rangkum. Solusi berbagai tugas direduksi menjadi model matematika yang sama. Banyak permasalahan dari berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi yang mengarah pada model yang sama dalam proses penyelesaiannya. Jadi ini model matematika perlu dipelajari secara khusus.

Konsep integral tertentu

Mari kita memberi deskripsi matematika model yang dibangun dalam tiga soal yang dipertimbangkan untuk fungsi y = f(x), kontinu (tetapi tidak harus non-negatif, seperti yang diasumsikan dalam soal yang dipertimbangkan) pada interval [a; B]:
1) membagi segmen [a; b] menjadi n bagian yang sama;
2) buat jumlah $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) hitung $$ \lim_(n \hingga \infty) S_n $$

Diketahui analisis matematis telah dibuktikan bahwa limit ini ada pada fungsi kontinu (atau kontinu sepotong-sepotong). Mereka memanggilnya integral tertentu dari fungsi y = f(x) pada segmen [a; B] dan dilambangkan sebagai berikut:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Bilangan a dan b disebut limit integrasi (masing-masing bawah dan atas).

Mari kembali ke tugas yang dibahas di atas. Definisi luas yang diberikan pada Soal 1 sekarang dapat ditulis ulang sebagai berikut:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
disini S adalah luas trapesium lengkung yang ditunjukkan pada gambar di atas. Ini arti geometri integral tertentu.

Definisi perpindahan s suatu titik yang bergerak lurus dengan kecepatan v = v(t) selama periode waktu dari t = a ke t = b, yang diberikan pada Soal 2, dapat ditulis ulang sebagai berikut:

Rumus Newton-Leibniz

Pertama, mari kita jawab pertanyaannya: apa hubungan antara integral tertentu dan antiturunan?

Jawabannya terdapat pada Soal 2. Di satu sisi, perpindahan s suatu titik yang bergerak lurus dengan kecepatan v = v(t) selama periode waktu dari t = a ke t = b dihitung dengan rumusnya
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Di sisi lain, koordinat suatu titik bergerak merupakan antiturunan untuk kecepatan - mari kita nyatakan s(t); Artinya perpindahan s dinyatakan dengan rumus s = s(b) - s(a). Hasilnya kita mendapatkan:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
dimana s(t) adalah antiturunan dari v(t).

Teorema berikut dibuktikan dalam analisis matematis.
Dalil. Jika fungsi y = f(x) kontinu pada interval [a; b], maka rumus tersebut valid
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
dimana F(x) adalah antiturunan dari f(x).

Rumus yang diberikan biasanya disebut Rumus Newton-Leibniz untuk menghormati fisikawan Inggris Isaac Newton (1643-1727) dan filsuf Jerman Gottfried Leibniz (1646-1716), yang menerimanya secara independen satu sama lain dan hampir bersamaan.

Dalam praktiknya, alih-alih menulis F(b) - F(a), mereka menggunakan notasi $\left.F(x)\right|_a^b $ (terkadang disebut substitusi ganda) dan, karenanya, tulis ulang rumus Newton-Leibniz dalam bentuk ini:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \kiri. F(x)\kanan|_a^b $

Saat menghitung integral tertentu, cari dulu antiturunannya, lalu lakukan substitusi ganda.

Berdasarkan rumus Newton-Leibniz, kita dapat memperoleh dua sifat integral tertentu.

Properti 1. Integral dari jumlah fungsi sama dengan jumlahnya integral:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Properti 2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Menghitung luas bangun datar dengan integral tertentu

Dengan menggunakan integral, Anda tidak hanya dapat menghitung luas trapesium lengkung, tetapi juga bangun datar lainnya tipe kompleks, misalnya yang ditunjukkan pada gambar. Gambar P dibatasi oleh garis lurus x = a, x = b dan grafik fungsi kontinu y = f(x), y = g(x), dan pada ruas [a; b] pertidaksamaan $g(x) \leq f(x) $ berlaku. Untuk menghitung luas S dari gambar tersebut, kita akan melakukan hal berikut:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Jadi, luas S suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis lurus x = a, x = b dan grafik fungsi y = f(x), y = g(x), kontinu pada ruas tersebut dan sedemikian rupa sehingga untuk sembarang x dari ruas tersebut [A; b] pertidaksamaan $g(x) \leq f(x) $ terpenuhi, dihitung dengan rumus
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabel integral tak tentu (antiturunan) beberapa fungsi

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \teks(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\teks(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \teks(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \teks(arctg) x +C $$ $$ \int \teks(ch) x dx = \teks(sh) x +C $$ $$ \int \teks(sh) x dx = \teks(ch ) x+C$$

Mari kita perhatikan trapesium lengkung yang dibatasi oleh sumbu Ox, kurva y=f(x) dan dua garis lurus: x=a dan x=b (Gbr. 85). Mari kita ambil nilai sewenang-wenang x (hanya bukan a dan bukan b). Mari kita tambahkan h = dx dan perhatikan sebuah jalur yang dibatasi oleh garis lurus AB dan CD, sumbu Ox dan busur BD milik kurva yang ditinjau. Kami akan menyebut strip ini sebagai strip dasar. Luas strip dasar berbeda dari luas persegi panjang ACQB dengan segitiga lengkung BQD, dan luas segitiga lengkung BQD luasnya lebih sedikit persegi panjang BQDM dengan sisi BQ = =h=dx) QD=Ay dan luasnya sama dengan hAy = Ay dx. Ketika sisi h berkurang, sisi Du juga berkurang dan bersamaan dengan h cenderung nol. Oleh karena itu, luas BQDM adalah orde kedua yang sangat kecil. Luas garis dasar adalah pertambahan luas, dan luas persegi panjang ACQB sama dengan AB-AC ==/(x) dx> adalah selisih luasnya. Akibatnya, kita mencari luas itu sendiri dengan mengintegrasikan diferensialnya. Dalam gambar yang dipertimbangkan, variabel bebas l: berubah dari a ke b, sehingga luas yang dibutuhkan 5 akan sama dengan 5= \f(x) dx. (I) Contoh 1. Mari kita hitung luas yang dibatasi oleh parabola y - 1 -x*, garis lurus X =--Fj-, x = 1 dan sumbu O* (Gbr. 86). di Gambar. 87. Gambar. 86. 1 Di sini f(x) = 1 - l?, limit integrasinya adalah a = - dan £ = 1, maka J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Contoh 2. Mari kita hitung luas yang dibatasi oleh sinusoidal y = sinXy, sumbu Ox dan garis lurus (Gbr. 87). Dengan menggunakan rumus (I), kita peroleh A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Contoh 3. Hitung luas yang dibatasi oleh busur sinusoidal ^у = sin jc, tertutup antara dua titik potong yang berdekatan dengan sumbu Ox (misalnya antara titik asal dan titik dengan absis i). Perhatikan bahwa dari pertimbangan geometris jelas bahwa luasnya akan menjadi dua kali lipat lebih banyak wilayah contoh sebelumnya. Namun, mari kita lakukan perhitungan: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Ternyata asumsi kami benar. Contoh 4. Hitung luas yang dibatasi oleh sinusoidal dan sumbu Ox pada satu periode (Gbr. 88). Perhitungan awal menunjukkan bahwa luasnya akan empat kali lebih besar dari pada Contoh 2. Namun, setelah melakukan perhitungan, kita memperoleh “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Hasil ini memerlukan klarifikasi. Untuk memperjelas inti permasalahan, kita juga menghitung luas yang dibatasi oleh sinusoida yang sama y = sin l: dan sumbu Ox dalam rentang l sampai 2i. Menerapkan rumus (I), kita memperoleh 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Jadi, kita melihat bahwa area ini ternyata negatif. Membandingkannya dengan luas yang dihitung pada latihan 3, kami menemukan bahwa luasnya nilai absolut sama, namun tandanya berbeda. Jika kita menerapkan properti V (lihat Bab XI, § 4), kita mendapatkan 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Apa yang terjadi dalam contoh ini bukanlah suatu kebetulan. Luas yang terletak di bawah sumbu Ox selalu, asalkan variabel bebasnya berubah dari kiri ke kanan, diperoleh bila dihitung dengan menggunakan integral. Dalam kursus ini kami akan selalu mempertimbangkan area tanpa rambu. Oleh karena itu, jawaban pada contoh yang baru saja dibahas adalah: luas yang dibutuhkan adalah 2 + |-2| = 4. Contoh 5. Mari kita hitung luas BAB yang ditunjukkan pada Gambar. 89. Daerah ini dibatasi oleh sumbu Ox, parabola y = - xr dan garis lurus y - = -x+\. Luas trapesium lengkung Luas OAB yang dibutuhkan terdiri dari dua bagian yaitu OAM dan MAV. Karena titik A merupakan titik potong parabola dan garis lurus, maka kita mencari koordinatnya dengan menyelesaikan sistem persamaan 3 2 Y = mx. (kita hanya perlu mencari absis titik A). Memecahkan sistem, kami menemukan l; = ~. Oleh karena itu luasnya harus dihitung sebagian, persegi dulu. OAM dan kemudian jamak. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x = [penggantian: