Untuk mendefinisikan integral bergantung pada parameternya, kami memperkenalkan fungsi . Biarkan fungsi ini didefinisikan pada himpunan tertentu, di mana dan , yaitu, hasilnya adalah himpunan tersebut. Jika fungsinya kontinu masuk D, maka integralnya masuk akal, dimana X termasuk dalam interval berhingga atau tak terhingga, yang berarti integralnya mungkin tidak wajar.
Berdasarkan hal tersebut, kita dapat memberikan definisi integral tergantung pada parameternya.
Definisi.
Integral 
Disebut integral bergantung pada suatu parameter jika dapat diintegralkan pada interval untuk sembarang tetap, dimana .
Oleh karena itu, ini adalah fungsi dari variabel (parameter) yang didefinisikan dalam interval. Ada kemungkinan juga bahwa integral tersebut ada untuk suatu bilangan tetap, maka integral tersebut merupakan fungsi dari suatu variabel (parameter) yang ditentukan dalam interval tersebut. Ditunjuk seperti ini, jadi 
.
Tugas utamanya adalah, mengetahui sifat-sifat suatu fungsi, memperoleh informasi tentang sifat-sifat fungsi tersebut. Sifat-sifat ini mempunyai banyak kegunaan, terutama ketika menghitung integral tak wajar.
Contoh. Temukan integral dari fungsi tersebut,
Fungsi 
kontinu pada interval untuk sembarang tetap, yang berarti dapat diintegralkan. Kemudian
.
Butir 2. Melewati batas di bawah tanda integral. Kontinuitas integral sebagai fungsi parameter
Definisi.
Misalkan adalah titik limit himpunan. Suatu fungsi dikatakan konvergen seragam ke suatu fungsi dalam variabel jika kondisi berikut terpenuhi:
1. karena pada ada fungsi limit berhingga 
;
Catatan 1.
Pada rantai (1) hanya bergantung pada dan tidak bergantung pada , dan pertidaksamaan 
dilakukan untuk setiap secara bersamaan.
Catatan 2.
Jika , maka pada rantai (1) pertidaksamaan tersebut diganti dengan ().
Teorema 1 (uji konvergensi). Jika suatu fungsi terdefinisi pada suatu himpunan, maka agar fungsi tersebut mempunyai fungsi limit dan konvergen secara seragam terhadapnya, rantai tersebut perlu dan cukup
Mari kita buktikan teorema seperti ini.
Kebutuhan. Biarkan fungsinya konvergen secara seragam. Jika kita mengganti definisi dengan dan memilih yang sesuai, lalu mengambil dua nilai dan dari sehingga kondisi dan terpenuhi. Hasilnya kita dapatkan 
Dan 
dari situlah pertidaksamaan terakhir dalam rantai tersebut 
.
Kecukupan. Sekarang biarkan ada fungsi batas. Konvergensi seragam suatu fungsi terhadap fungsi limit harus dibuktikan. Untuk melakukan ini, mari kita beralih ke batas pertidaksamaan di , ternyata 
. Yang menegaskan konvergensi seragam pada fungsi tersebut.
Teorema 2 (tentang kontinuitas fungsi limit). Jika suatu fungsi untuk suatu nilai tetap kontinu pada dan konvergen secara seragam ke suatu fungsi limit terhadap variabel di , maka fungsi tersebut juga kontinu pada .
Teorema Dini mudah digeneralisasikan: jika suatu fungsi kontinu untuk sembarang tetap dan ketika fungsi tersebut meningkat, meningkat secara monoton, ia cenderung ke fungsi limit , kemudian konvergen secara seragam.
Teorema 3 (melewati batas terhadap parameter di bawah tanda integral). Jika fungsi tersebut kontinu untuk nilai konstanta dan konvergen secara seragam dalam variabel ke fungsi limit di , maka persamaannya berlaku
(2)
Bukti.
Kontinuitas mengikuti Teorema 2, yang berarti dapat diintegralkan pada interval. Karena konvergensi seragam, k berlaku. Kemudian, dengan hal yang sama, kita memiliki:
Dari mana asalnya? 
, yang membuktikan rumus (2).
Catatan 3.
Persamaan (2) dapat ditulis dalam bentuk lain
. (2`)
Akibat wajar 1.
Jika suatu fungsi kontinu dalam konstanta dan, seiring bertambahnya, cenderung meningkat secara monoton, hingga fungsi batas kontinu, maka rumus (2) dan (2`) valid.
Dengan asumsi bahwa daerah tersebut merupakan interval berhingga, pertimbangkan pertanyaan tentang kontinuitas fungsi.
Contoh(No. 3713 (c)). Menemukan 
.
1. fungsi 
fungsi kontinu aktif. Fungsi dan juga terus menerus aktif.
2. fungsi kontinu (v.4 dan sl.2) pada interval yang artinya 
Teorema 4 (tentang kontinuitas integral sebagai fungsi parameter). Biarkan fungsi tersebut terdefinisi dan kontinu pada persegi panjang 
, maka integralnya 
akan menjadi fungsi kontinu dari parameter dalam interval.
Bukti.
Karena kontinu pada himpunan tertutup, maka menurut teorema Cantor, kontinu seragam pada persegi panjang tertentu. Ayo ambil apa saja dan perbaiki. Maka nilai kita akan sesuai dengan , sehingga untuk dua titik mana pun yang termasuk dalam , dari pertidaksamaan dan , nilai tersebut akan mengikuti. Misalkan , , dimana , adalah salah satu dari , dan , dimana . Lalu kita dapatkan
Artinya fungsinya cenderung seragam. Dalam hal ini, menurut Teorema 3 
, dan dari sini mengikuti kesetaraan 
, yaitu, fungsi kita terus menerus aktif .
Catatan 4. Teorema untuk , Di mana .
Akibat wajar 2. Jika kontinu pada suatu persegi panjang, maka .
Contoh. Menemukan 
.
1. 
terus menerus menyala
2. maka berdasarkan Teorema 4. dan Akibat Akibat 2 kita peroleh
Butir 3. Diferensiasi di bawah tanda integral
Saat mempelajari sifat-sifat suatu fungsi, pertanyaan tentang turunannya terhadap suatu parameter adalah penting. Anda dapat menghitung turunannya menggunakan rumus 
, yang diturunkan oleh Leibniz pada tahun 1697. Mari kita perhatikan sebuah teorema yang menetapkan kondisi cukup sederhana untuk penerapan rumus ini.
Teorema (tentang diferensiasi integral bergantung pada parameter). Misalkan fungsi tersebut terdefinisi dan kontinu pada persegi panjang dan mempunyai turunan parsial kontinu di sana. Membiarkan , . Kemudian:
1. fungsi tersebut mempunyai turunan pada intervalnya;
2. , itu adalah 
, .
Bukti.
Mari kita ambil poin apa saja dan perbaiki. Mari tambahkan kenaikan dan satu poin 
. Kemudian 
, 
,
(1)
Menurut teorema Lagrange. Karena itu,
. (2)
Melewati (2) ke limit di , dengan memperhatikan teorema diperbolehkannya melewati limit di bawah tanda integral, kita memperoleh:
Oleh karena itu ada, dan 
. Karena - apapun, maka ada untuk apapun, dan 
.
Contoh. Temukan turunan suatu fungsi 
.
1. 
terus menerus menyala
2. 
. Fungsi ini juga terus menerus aktif.
4. 
Butir 4. Integrasi suatu parameter di bawah tanda integral
Mari kita pertimbangkan pertanyaan tentang integrasi pada parameter fungsi . Jika integral, maka integralnya akan berbentuk 
. Teorema berikut memberikan kondisi cukup untuk persamaan dua integral iterasi.
Dalil. Jika suatu fungsi kontinu pada kedua variabel pada suatu persegi panjang , Itu fungsi yang dapat diintegralkan pada interval dan persamaannya berlaku 
, itu adalah 
.
Dapat juga ditulis menggunakan integral iterasi sebagai berikut: 
.
Mari kita buktikan persamaan yang lebih umum.
untuk siapa pun. (1)
Di sisi kiri dan kanan persamaan (1) kita memiliki dua fungsi parameter T. Mari kita hitung turunannya dengan T. Karena , maka (t.4 hal.2), dan oleh karena itu terdapat integral dengan batas atas variabel dari fungsi kontinu. Kemudian, berdasarkan teorema Barrow:
, . (2)
Di sisi kanan ada integral dimana 
. Memang fungsi tersebut memenuhi syarat Teorema 3, dan juga kontinu berdasarkan Teorema 4 Bagian 2. Kita dapat mencari turunannya 
, yang akan kontinu sebagai fungsi dua variabel.
Kemudian, dengan teorema diferensiasi terhadap suatu parameter di bawah tanda integral
, . (3)
Kita melihat bahwa ruas kiri dan kanan persamaan (1) memiliki turunan yang berimpit pada interval tersebut (lihat (2) dan (3)). Ini berarti bahwa mereka berbeda dalam interval ini hanya dengan jumlah yang konstan, yaitu.
. (4)
Memasukkan (4) T = C, kami akan menerima. Ini berarti bahwa alih-alih (4) kita akan mendapatkan apa pun
. (5)
Biarkan masuk (5) T = D, kita mendapatkan
.
Itulah yang perlu kami dapatkan.
Bab 2. Integral tak wajar bergantung pada parameternya
Butir 1. Konvergensi seragam integral tak wajar bergantung pada parameternya
Ketika mempertimbangkan teori integral bergantung pada suatu parameter, dalam kasus integral tak wajar, konsep konvergensi seragam memainkan peran khusus. Mari kita perjelas konsep ini terlebih dahulu untuk integral tak wajar jenis pertama (NIIP-1), kemudian untuk integral jenis kedua (NIIP-2).
Misalkan suatu fungsi terdefinisi dan kontinu pada persegi panjang tertentu dan, untuk nilai tetap apa pun, terdapat integral tak wajar, bergantung pada parameternya, dari fungsi ini pada interval apa pun. Kemudian integralnya konvergen dan sama dengan
.
Dalam hal ini disebut integral tak wajar jenis pertama (IIP-1).
Pernyataan konvergen untuk setiap mempunyai arti sebagai berikut: untuk setiap tetap
.
Karena itu,
atau 
.
Ini berarti bahwa untuk masing-masing satu, Anda dapat menentukan angka sedemikian rupa sehingga jika , maka 
. Penting untuk dicatat bahwa ini bergantung pada keduanya: 
. Jika untuk siapa pun dapat menentukan angka yang hanya bergantung pada , sehingga kapan untuk, maka dalam hal ini disebut konvergen seragam terhadap parameter.
Sekarang kita merumuskan kriteria Cauchy untuk konvergensi seragam untuk kasus kita sebagai berikut:
Teorema 1. (Kriteria Cauchy untuk konvergensi seragam untuk NISP-1). Agar integral konvergen secara seragam pada variabel pada interval , rantai tersebut perlu dan cukup
, .
Mari kita pertimbangkan kriteria yang memadai untuk konvergensi seragam.
Teorema 2. (Uji Weierstrass untuk konvergensi seragam NISP-1). Biarkan fungsi tersebut terdefinisi dan kontinu pada persegi panjang 
dan memenuhi ketentuan:
1. kontinu terhadap variabel,
2. ada fungsi itu,
3. - menyatu.
Oleh karena itu, ia konvergen secara seragam di .
Bukti.
Sesuai dengan kondisi 3) kriteria Cauchy tentang konvergensi integral tak wajar fungsi satu variabel jenis pertama, kita mempunyai:
(1)
Kemudian, dengan cara yang sama seperti pada rantai, kita dapatkan
.
Dan dari sini, menurut Teorema 1, integral konvergen secara seragam.
Komentar.
Jika syarat-syarat Teorema 2 terpenuhi, kita katakan bahwa fungsi tersebut mempunyai mayoran yang dapat diintegralkan atau integral tersebut mayoritas oleh integral konvergen.
Konsekuensi.
Biarkan kondisi berikut dipenuhi:
1. fungsinya terdefinisi dan kontinu di ;
2. fungsinya dibatasi pada persegi panjang;
3. integralnya konvergen, maka berikut ini 
berkumpul secara seragam di .
Mari kita nyatakan dengan 
dan ambil sebagai , dan sebagai fungsi 
. Kemudian berdasarkan Teorema 2 diperoleh rantai (1).
Konsep konvergensi seragam integral tak wajar jenis kedua (NIIP-2) diperkenalkan dengan cara yang sangat mirip.
Biarkan fungsi terdefinisi dalam domain (a,b,c adalah bilangan berhingga). Biarkan integral tak wajar menyatu. Dalam hal ini, akan menjadi fungsi dari variabel (parameter) yang ditentukan dalam interval. Pernyataan bahwa integral tak wajar konvergen di , mempunyai arti sebagai berikut. Untuk setiap integral tetap
(Di Sini ). Ini berarti bahwa untuk masing-masing oleh siapa pun seseorang dapat menentukan sedemikian rupa sehingga, sesuai dengan kondisinya, 
. Penting untuk diperhatikan bahwa nomor tersebut dipilih oleh , dan akan berbeda untuk setiap orang, dengan kata lain, bergantung pada , dan pada: . Jika memungkinkan untuk menunjukkan bahwa hal tersebut hanya bergantung pada , sehingga jika kondisi terpenuhi maka akan menjadi benar untuk semua sekaligus, integral tak wajar disebut konvergen seragam terhadap parameter. Singkatnya, mereka mengatakan bahwa suatu integral disebut konvergen seragam dalam suatu variabel jika konvergen di dan rantainya bertahan: 
.
Untuk NISP-2, teorema yang mirip dengan t.1 dan t.2 adalah valid.
Teorema 3. (Kriteria Cauchy untuk konvergensi seragam NISP-2). Agar NISP-2 dapat berkumpul secara seragam di dalamnya perlu dan cukup bahwa:
, .
Teorema 4. Biarkan suatu fungsi didefinisikan dalam domain dan memenuhi kondisi berikut:
1. fungsinya kontinu di , untuk ;
2. ada fungsi sedemikian rupa 
, Dan .
3. - menyatu
NISP-2 
berkumpul secara seragam di .
Pembuktiannya sama dengan pembuktian Teorema 2.
Contoh. Selidiki integral untuk konvergensi seragam 
.
Untuk menentukan konvergensi seragam, perlu diperiksa apakah semua kondisi Teorema 2 terpenuhi.
1. 
ditetapkan dan berkesinambungan di kawasan;
2. ada fungsinya, 
, untuk siapa pun;
3. 
, yaitu konvergen.
Karena semua kondisi terpenuhi, integral konvergen secara seragam terhadap interval apa pun.
Butir 2. Kontinuitas NILP, melewati batas di bawah tanda integral.
Pada bagian ini kita akan membahas lintasan menuju limit di bawah tanda integral yang mempunyai limit tak terhingga, dan kontinuitas integral sebagai fungsi parameter. Kondisi yang cukup untuk diterimanya lintasan hingga batas tersebut diberikan oleh teorema berikut:
Teorema 1. Biarkan fungsi didefinisikan pada persegi panjang , memenuhi ketentuan:
1. berfungsi pada interval;
2. cenderung seragam untuk , dimana ;
3. integralnya konvergen seragam di .
Hasilnya, kesetaraan itu benar
(1)
Bukti.
Fungsinya akan berkelanjutan. Dengan kondisi konvergensi seragam, untuk setiap pasti ada hal tersebut 
, untuk , tetapi hanya . Melewati limit di bawah tanda integral, kita peroleh 
. Artinya, ini adalah fungsi yang dapat diintegralkan dalam interval tak terhingga. Maka untuk , yang kita miliki kontinu dan dapat diintegralkan pada interval - ini adalah sembarang tetap, maka rumusnya valid. Seringkali, permutasi seperti itu sulit dilakukan. , integral. Kesetaraan ini ditetapkan untuk 
, maka rumus (*) terpenuhi.
Integral eigen bergantung pada parameter 1.1. Konsep integral yang bergantung pada suatu parameter dan kontinuitasnya Misalkan fungsi dua variabel f(x, y) didefinisikan dalam persegi panjang (Gbr. 1). Mari kita asumsikan bahwa untuk setiap nilai tetap y e [c, d] terdapat integral. Jelas bahwa integral ini merupakan fungsi dari variabel y. Integral (1) disebut integral tergantung pada parameter y. Teorema berikut tentang kontinuitas integral bergantung pada parameternya berlaku. Teorema 1. Jika fungsi /(x, y) kontinu pada persegi panjang Π, maka fungsi /(y) yang didefinisikan oleh relasi (1) kontinu pada interval [c, d\. Dari rumus (1) dapat disimpulkan bahwa kenaikan) fungsi f(y), yang sesuai dengan kenaikan argumen Du, dapat diperkirakan sebagai berikut: Menurut kondisi teorema, fungsi f(x) y) kontinu pada persegi panjang tertutup Π, oleh karena itu f(x)y) kontinu seragam pada persegi panjang tersebut. Akibatnya, untuk setiap e > 0 dimungkinkan untuk menentukan a 6 > 0 sehingga untuk semua x dari dan semua ууу + Ду dari [с, d] sedemikian rupa sehingga |Ду| , pertidaksamaan akan terpenuhi. Oleh karena itu dan dari perkiraan (2) kita memperoleh bahwa Artinya fungsi /(y) kontinu di setiap titik pada segmen tersebut. Jika fungsi f(x) y) kontinu pada persegi panjang Π, maka di mana yо adalah sembarang bilangan tetap yang termasuk dalam ruas [c, d). Karena fungsi /(y) kontinu pada [c, d], maka persamaan integral bergantung pada parameternya integral tak wajar jenis pertama, bergantung pada parameternya Konvergensi seragam integral tak wajar Kriteria Cauchy Sifat-sifat integral tak wajar bergantung pada parameter ekuivalen persamaan Contoh 1. Hitung limit suatu kontinu persegi panjang dimana. Dari sini, dengan menggunakan rumus (3), kita memperoleh 1.2. Diferensiasi integral terhadap suatu parameter Teorema 2. Jika fungsi f(x) y) dan turunan parsialnya kontinu dalam suatu persegi panjang, maka untuk sembarang rumus Leibniz untuk diferensiasi terhadap parameter di bawah tanda integral adalah valid. Dengan asumsi bahwa ], kita merumuskan relasi selisih. Dengan meneruskan persamaan ini ke limit sebagai Dy -> 0 dan menggunakan kontinuitas turunan parsial dan rumus (3), kita memperoleh Keterangan. Biarkan batas integrasi bergantung pada parameter y. Kemudian jika kedua fungsi a(y) dan 6(y) terdiferensiasi pada interval. Asalkan fungsi /) kontinu dalam domainnya (Gbr. 2), kita peroleh bahwa fungsi F(y) terdiferensiasi pada ( c, d\, dan ( 5) (6) Rumus (6) dibuktikan dengan mendiferensiasikan suatu fungsi kompleks. Karena, turunan total adalah dimana Dengan mensubstitusi ekspresi turunannya ke dalam rumus (7), kita memperoleh rumus yang diperlukan (6). Contoh 2. Menerapkan diferensiasi terhadap suatu parameter, hitung integral dan juga turunannya terhadap parameter kontinu dalam persegi panjang. Oleh karena itu, Teorema 2 tentang diferensiasi integral terhadap parameter berlaku untuk Kita punya Mari kita masukkan Mengintegrasikan no t dari 0 ke, kita memperoleh Oleh karena itu. Membiarkan a cenderung nol dan mencatat bahwa /(0) = 0, kita mempunyai C = 0. Oleh karena itu, Contoh 3. Carilah turunan dari fungsi tersebut Dengan menggunakan rumus (b), kita memperoleh: 1.3. Integral integral pada parameter Teorema 3. Jika fungsi f(x, y) kontinu pada persegi panjang, maka fungsi tersebut dapat diintegralkan pada interval [c, d\, dan persamaannya valid. fungsi f(y) kontinu pada interval [c, d) dan oleh karena itu dapat diintegrasikan pada interval tersebut. Validitas rumus (8) mengikuti persamaan integral berulang, Contoh 4. Integralkan integral pada parameter y dalam rentang 0 hingga 1. Karena fungsi kontinu dalam persegi panjang, Teorema 3 tentang integrasi integral atas parameter berlaku. Kami memiliki §2. Integral tak wajar bergantung pada parameter 2.1. Konsep integral tak wajar jenis pertama, bergantung pada parameternya Misalkan fungsi dua variabel f(x, y) didefinisikan dalam setengah garis (Gbr. 3) dan untuk setiap integral tetap terdapat integral tak wajar yang adalah fungsi dari y. Maka fungsi tersebut disebut integral tak wajar jenis pertama, bergantung pada parameter y. Interval (c, d) bisa jadi tidak terbatas. Definisi 1. Integral tak wajar (1) dikatakan konvergen di suatu titik jika terdapat limit berhingga, yaitu. jika untuk sembarang e > O terdapat bilangan B0 sehingga untuk semua B ^ B0 terpenuhi pertidaksamaannya: Jika integral tak wajar (1) konvergen di setiap titik pada ruas [c, d], maka dikatakan konvergen pada segmen ini. Integral (1) dikatakan konvergen mutlak pada interval [с, d\, jika integral tersebut konvergen. Integral sejati bergantung pada suatu parameter konsep integral tak wajar jenis pertama, bergantung pada parameternya. Konvergensi seragam dari integral tak wajar. Sifat-sifat integral tak wajar yang konvergen seragam bergantung pada parameter 2.2. Konvergensi seragam integral tak wajar. Kriteria Cauchy Definisi 2. Integral tak wajar (1) dikatakan konvergen seragam pada parameter y pada interval [c, d), jika konvergen pada interval ini, dan untuk sembarang e > 0 dapat ditentukan A ^ a, hanya bergantung pada e, sehingga untuk semua B > A dan untuk semua y dalam interval [c, d\, pertidaksamaan berlaku. Kriteria Cauchy berikut untuk konvergensi seragam integral tak wajar bergantung pada parameternya berlaku. Teorema 4. Agar integral tak wajar (1) konvergen secara seragam terhadap parameter y pada interval [c, d\, perlu dan cukup bahwa untuk setiap e > 0 dapat ditunjukkan bilangan A ^ a yang hanya bergantung pada e dan sedemikian rupa sehingga untuk setiap B dan C yang lebih besar dari A, dan untuk semua y dari interval [c, d], validitas kriteria ini mengikuti langsung definisi konvergensi seragam. Mari kita merumuskan kriteria yang cukup untuk konvergensi seragam integral tak wajar bergantung pada parameternya. Teorema 5 (uji Weierstrass). Biarkan fungsi /(x, y) didefinisikan dalam pyupyos Poo dan untuk setiap y € | c, d] dapat diintegralkan terhadap x pada sembarang interval [a, A]. Misalkan, untuk semua titik pada setengah garis Π^, pertidaksamaan terpenuhi. Kemudian dari konvergensi integral f g(x) dx maka integral tak wajar tersebut konvergen secara seragam sepanjang segmen [c, d]. berdasarkan kriteria Cauchy untuk konvergensi integral suatu fungsi untuk setiap e > 0 kita dapat menentukan bilangan A ^ a sedemikian rupa sehingga untuk semua C > B ^ A pertidaksamaan dipenuhi. Dengan menggunakan pertidaksamaan (4), kita peroleh dari ini bahwa untuk semua y dari interval Jadi, kriteria Cauchy untuk konvergensi seragam integral terpenuhi. Citr 1. Isladova t pada konvergensi seragam iktral tak wajar dimana i adalah parameternya, Karena untuk sembarang bilangan real sembarang pertidaksamaan berlaku dan integralnya konvergen, maka berdasarkan uji Weierstrass, integral (5) konvergen secara seragam untuk semua 2.3. Sifat-sifat integral tak wajar yang konvergen seragam bergantung pada parameternya. Sifat 1. Kontinuitas integral tak wajar terhadap parameter. Jika fungsi tersebut kontinu dalam domain Poo dan integralnya konvergen seragam di y pada segmen (c, dj), maka fungsi 1(y) kontinu pada Sifat 2. Integrasi integral tak wajar terhadap suatu parameter Jika fungsinya kontinu di daerah asal I" dan integral (6) konvergen seragam di y pada, maka Sifat 3. Dapat Didiferensiasikan™ dari integral tak wajar terhadap parameternya. Misalkan fungsi f(x,y) dan turunan parsial kontinu dalam domain Pso, integral tak wajar (6) konvergen, dan integral konvergen seragam terhadap y. Kemudian Contoh 2. Hitung integral bergantung pada parameter $ terhadap parameter s pada interval apa pun. Mari kita tunjukkan bahwa integral (9) juga konvergen secara seragam terhadap parameter s pada interval apa pun integral (9). Menyatakan integral dari integral (5) dengan kita perhatikan bahwa merupakan integral dari integral konvergen seragam (9). Dengan menggunakan sifat terdiferensiasi dari integral tak wajar terhadap suatu parameter, kita memperoleh Karena 1($) = (ini mudah diverifikasi dengan mengintegrasikan bagian-bagiannya), maka Oleh karena itu Contoh 3. Mengintegrasikan persamaan terhadap. temukan integralnya Mari kita tunjukkan dulu integral tak wajar Integral sejati yang bergantung pada suatu parameter Diferensiasi integral atas suatu parameter Integrasi integral terhadap suatu parameter Konsep integral tak wajar jenis pertama yang bergantung pada suatu parameter Konvergensi seragam integral tak wajar Kriteria Cauchy Sifat-sifat integral tak wajar yang konvergen seragam bergantung pada parameter bergantung pada parameter y, konvergen seragam pada segmen (a, 6). Ini mengikuti kriteria Weyer-igtrass, karena kita mengintegrasikan parameter y dalam rentang dari a hingga 6. Oleh karena itu, kita mempunyai Catatan. Sampai saat ini, kita telah membahas n integral wajar berbentuk ho. Ini adalah integral tak wajar jenis pertama, bergantung pada parameter y. Integral tak wajar jenis kedua, bergantung pada parameter y, disebut integral berbentuk. Teori integral tak wajar jenis kedua, bergantung pada parameternya, mirip dengan teori yang kita bahas untuk integral tak wajar jenis pertama , bergantung pada parameter.
Salinan
1 Topik Mata Kuliah: INTEGRASI TAK TERGANTUNG PARAMETER. Kuliah 7. Integral tak wajar bergantung pada suatu parameter. Konvergensi seragam integral tak wajar jenis ke-th. Kriteria Cauchy. Tanda Weierstrass, Dirichlet dan Abel. Hubungan antar teori integral tak wajar jenis -th, bergantung pada parameter dan deret fungsional. Konvergensi seragam integral tak wajar jenis ke-2. Tanda Weierstrass. Integral tak wajar bergantung pada suatu parameter. Definisi. Misalkan Y untuk suatu fungsi f ada untuk sembarang integral I = bergantung pada parameternya, kita akan menyebutnya f, d. Integral tak wajar jenis ke-I, I = f, d=lim f, d. Faktanya, seperti sebelumnya, ini adalah keluarga parametrik integral tak wajar. Himpunan parameter yang integralnya konvergen disebut daerah konvergensi. Konvergensi seragam integral jenis ke-th. Di sini dan di bawah, biarkan himpunan Y dimasukkan dalam domain konvergensi. Definisi. Integral jika B B, Y f, d konvergen seragam pada himpunan Y, f, d. Berikut ini kita akan menggunakan notasi F, = f, d untuk integral parsial. Kriteria Cauchy. Agar keluarga integral parsial F, I dapat konvergen secara seragam terhadap parameter Y, konvergensi seragam itu sendiri diperlukan dan cukup: B B, Y f, d. Tanda Weierstrass. Misalkan f, g untuk Y dan x cukup besar, dan untuk beberapa integral g d konvergen, maka integral I konvergen mutlak dan seragam.
2 Bukti. Menurut kriteria perbandingan pertama untuk integral tak wajar, integral yang ditunjukkan konvergen secara mutlak. Karena di Y estimasi f, d g d terjadi, maka menurut kriteria Cauchy, integralnya konvergen secara seragam. Contoh. Anggaplah integral f, d, sebagai penjumlahan: f,. Karena p seragam dimana-mana. = Saya dosa f, =, hal, hal. Mari kita bayangkan. Untuk suatu fungsi f, pendugaan benar bahwa d p, maka integral asal konvergen mutlak dan Contoh. Misalkan I = f, d, f, =e sin,. Karena f, e dan integral ed, maka integral tersebut konvergen mutlak dan seragam pada sinar [,). Oleh karena itu, ia konvergen secara mutlak pada setengah sumbu. Mengintegrasikan bagian dua kali, kita memperoleh sin os e I = 2 = = = 2. Contoh. Periksa integral M = e ln d untuk konvergensi seragam. Karena untuk, ln, estimasi f, =e ln e =g valid untuk integrand. Karena integral g d konvergen, maka integral asal konvergen secara mutlak dan seragam sesuai dengan kriteria Weierstrass. Tes Dirichlet. Kita akan membahas integral I = f, g, d, Y. Kita akan menyatakan integral parsial untuk fungsi f sebagai F, = f t, dt. Batasan seragam dari keluarga fungsi F berarti adanya konstanta K f, Y, d.b. Dalil. Biarkan fungsi f, g, didefinisikan di, Y, dan kondisi berikut dipenuhi :. Fungsi f kontinu di, kelompok fungsi F dibatasi secara seragam; 2. Terdapat turunan parsial g, kontinu dalam dan bertanda konstan untuk d.b. Suatu kelompok fungsi g, untuk seragam terhadap parameter Y. Kemudian integral I konvergen seragam pada himpunan Y.
3 Bukti. Biarkan di g. Karena fungsi f t, kontinu di t, maka F, = f,. Terakhir, dari kondisi g, maka untuk kondisi sembarang, untuk d.b. dan Y berlaku pertidaksamaan g, 4 K. Mari kita periksa pemenuhan syarat kriteria Cauchy untuk konvergensi seragam untuk integral I. Jadi, misalkan Y. Kemudian, dengan menerapkan rumus integrasi per bagian, kita memperoleh fgd itu. = g F d = gf Fg d. Mari kita evaluasi modul gf. gf = g f t, dt g K 4, lalu gf gf, gf, 2. Fg d F g d K g d= Kg K g, g, 2. Jadi, akhirnya kita mendapatkan fgd itu, menurut kriteria Cauchy, integral I konvergen seragam. Komentar. Jelas bahwa uji Dirichlet dapat diterapkan pada integral bentuk f, g d, f g, d. Dalam kasus pertama, diperlukan kontinuitas dan tanda konstanta turunan g dan kondisi g, dan dalam kasus kedua, batas himpunan integral parsial fungsi kontinu F = f t dt. Contoh dosa. Perhatikan integral I = d, 2. Misalkan f, = sin, g =. Mari kita perkirakan integral parsial fungsi 2 f: sin t dt = os t t = t = = os 2 2 fungsi g, g. Menurut kriteria Dirichlet, integralnya konvergen secara seragam. tanda Habel. Dalil. Biarkan fungsi f, g, didefinisikan di, Y, dan kondisi berikut dipenuhi :. Fungsi f kontinu, integral f, d konvergen seragam pada himpunan Y; 2. Rumpun fungsi g berbatas seragam, terdapat turunan parsial kontinu dari g, dan tanda konstanta Y dan d.b. Kemudian integral I konvergen seragam pada himpunan Y. Bukti. Mari kita perkenalkan konstanta K g, notasi untuk F, lihat di atas. Misalkan Y. Sekali lagi berintegrasi dengan bagian-bagian segmen integral :, fgd= g F d= gf Fg d ()
4 Berdasarkan teorema nilai rata-rata, untuk integral tertentu suatu hasil kali fungsi kontinu, yang salah satunya bertanda konstan, terdapat suatu titik sehingga integral Fg d=f, g, d=f, g, g, . Maka untuk ruas kanan persamaan () kita dapat menulis: fgd=g, F, F, g, F, F, Karena menurut syarat teorema, keluarga integral parsial F, = f t, dt f t, dt untuk seragam terhadap parameter, maka menurut kriteria Cauchy untuk konvergensi seragam suatu kelompok fungsi, keluarga fungsi F konvergen seragam dengan sendirinya: F h, F, untuk d.b perkiraan berikut akan valid: fgd g, F, F, g, F , F, K 2 K K 2 K =. Komentar. Jelas bahwa uji Abel dapat diterapkan pada integral berbentuk f, g d, f g, d. Dalam kasus pertama, fungsi g harus dibatasi dan turunan biasa adalah kontinu dan bertanda konstan. Pada persamaan kedua, fungsi f kontinu dan integral f d konvergen. Contoh. Selidiki integral konvergensi seragam untuk I = e sin sin d. Mari kita nyatakan f = dengan perpanjangan kontinu dengan satu di nol, g, =e. Integral fungsi f konvergen. Dari variabel non-negatif maka g, kelompok fungsi, adalah terbatas. Turunan parsial g = e bertanda konstan dan kontinu. Menurut kriteria Abel, integral I konvergen seragam di. Hubungan antara teori integral tak wajar jenis -th, bergantung pada parameter, dan deret fungsional. Mengetahui hubungan ini sangat menyederhanakan pembuktian pernyataan lebih lanjut terkait integral tak wajar bergantung pada suatu parameter, mereduksinya menjadi fakta yang diketahui dari teori deret fungsional. Kami akan menyatakan F, = f, d. Maka integral I = lim F,. Berdasarkan definisi Heine, cukup mempelajari kasus semua barisan. Mari kita perkenalkan notasi: n, n, = (2) n = n n f, d (3)
5 Teorema. Untuk konvergensi (konvergensi seragam) integral I, konvergensi (konvergensi seragam) deret n= n diperlukan dan cukup untuk semua barisan (2), dan integralnya sama dengan jumlah deret tersebut. Jika di depan semua orang dan d.b. f, maka konvergensi (konvergensi seragam) deret untuk sembarang deret (2) sudah cukup. Pembuktian pernyataan tersebut dilakukan dengan cara yang sama dengan pembuktian yang diberikan pada topik “Hubungan antara teori integral tak wajar jenis dan deret bilangan”. Sifat-sifat integral tak wajar jenis tergantung pada parameternya. Biarkan f, g di. Jika I = f, d g d, maka mereka berbicara tentang kemungkinan melewati batas di bawah tanda integral. Dalil. Misalkan fungsi f terdefinisi dan kontinu pada setengah garis [, ;,d ] ; untuk semua, rangkaian fungsi f, g for bersifat relatif seragam pada setiap segmen [,] ; integral f, d konvergen seragam terhadap parameter [, d ]. Kemudian integral g d konvergen dan kita dapat menuju ke limit di bawah tanda integral. Bukti. Mari kita perkenalkan barisan dan besaran (2), (3) dan n = n Untuk konvergensi integral n g d. I = g d (atau konvergensi seragam integral I = f, d) konvergensi deret bilangan n perlu dan cukup, dan konvergensi seragam deret fungsi n), dan I = n, I = n. Berdasarkan teorema perjalanan ke limit integral tertentu yang bergantung pada suatu parameter, lim n = n. Menurut teorema serupa untuk deret fungsional, deret bilangan n konvergen dan lim n n = n n. Teorema 2. Misalkan fungsi f terdefinisi dan kontinu pada setengah garis [, ;, d ] ; integral f, d konvergen seragam terhadap parameter [, d ]. Maka integral I kontinu. Bukti. Berdasarkan Teorema 2, untuk integral tertentu, fungsi n kontinu. Berdasarkan Teorema 2 untuk deret fungsional, jumlah I kontinu. Menurut definisi, Anda dapat mengubah urutan integrasi berulang jika d d f, d= d d f, d. Teorema 3. Jika syarat Teorema 2 terpenuhi, orde integrasi berulang dapat diubah. Pembuktian pernyataan tersebut didasarkan pada teorema integrasi integral tertentu yang bergantung pada parameter dan deret fungsional. Kemungkinan diferensiasi di bawah tanda deret berarti d d f, d= f, d. (atau
6 Teorema 4. Misalkan fungsi f terdefinisi dan kontinu pada setengah garis [, ;, d ] ; turunan parsial dari f kontinu; integral f, d konvergen; integral f, d konvergen secara seragam. Maka integrasi di bawah tanda integral dapat dilakukan. Pembuktiannya didasarkan pada teorema diferensiasi integral tertentu bergantung pada parameter dan deret fungsional. Teorema 2-4 digunakan, khususnya, ketika menghitung integral tertentu dan integral tak wajar yang bergantung dan tidak bergantung pada parameter. Contoh. Tentukan integral I = e sin d,. Larutan. Karena mencari integral secara langsung cukup sulit, mari kita coba mencari turunannya. Untuk melakukan ini, kami menempatkan parameter tetap sembarang di segmen [,d ], d. Mari kita periksa pemenuhan syarat Teorema 4. Fungsi f, di bawah tanda integral, kontinu (di titik = f, = terdefinisi kontinu. Turunan f = e sin kontinu. Untuk nilai sembarang dari parameter, maka dari hubungan tersebut f, = f, turunan parsial kontinu di mana-mana. Sebelumnya, konvergensi integral I dan konvergensi seragam integral e sin d=, 2 telah dibuktikan. maka I =C rtg,. Karena untuk integral asal I, maka I, C= 2. Terakhir, I = 2. rtg,. Sebagai kesimpulan, kami sajikan beberapa pernyataan tentang perilaku integral tak wajar jenis ke-2, bergantung pada parameter. Definisi: Suatu integral konvergen seragam pada himpunan Y jika f, d dengan titik tunggal a disebut: Y f, d. Integral di titik a akan konvergen seragam pada himpunan Y jika :, 2 2, Y 2 f, d dengan bentuk tunggal f, d. Uji Weierstrass secukupnya Jika untuk Y, f, g, integral g d, maka f, d konvergen mutlak dan seragam pada Y. Sedangkan untuk integral jenis -th, analognya teorema Dirichlet, Abel dan teorema -4 tentang sifat (kontinuitas, diferensiasi, keterpaduan) dapat dirumuskan untuk integral tersebut.
16. Konvergensi barisan dan deret seragam 16.1. Perhatikan himpunan sembarang X dan barisan fungsi f yang terdefinisi pada X. Barisan f dikatakan konvergen searah titik
V.V. Zhuk, SAYA. Seri Kekuatan Kamachkin 1. Jari-jari konvergensi dan interval konvergensi. Sifat konvergensi. Integrasi dan diferensiasi. 1.1 Radius konvergensi dan interval konvergensi. Rentang fungsional
5 Bab FUNGSI BEBERAPA VARIABEL Ruang R n Konsep fungsi beberapa variabel Definisi Himpunan semua himpunan terurut (, n), dimana n adalah bilangan real disebut berdimensi n
1. Analisis matematis semester satu Daftar soal ujian 1.1. Definisi (2006-2007, semester 1 1. Merumuskan definisi himpunan bilangan real terbatas. 2. Merumuskan definisi
4 Integral pasti Riemann. Definisi, teorema nilai rata-rata yang digeneralisasi, integral dengan batas atas variabel, perubahan rumus variabel, integrasi bagian, beberapa pertidaksamaan. 4.1
1. Pengertian dan sifat dasar integral Riemann Definisi partisi Partisi ruas [, b] adalah himpunan titik = x 1< x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть
S A Lavrenchenko wwwwrckoru Kuliah Transformasi Fourier Konsep transformasi integral Metode transformasi integral adalah salah satu metode fisika matematika yang ampuh dan merupakan solusi yang ampuh
8 Barrow Isaac (Brrow Is) -77 ahli matematika, filolog, teolog Inggris. Profesor di Universitas Cambridge. Penulis kuliah optik dan geometri (9-7). Berdasarkan teorema integral tertentu
VARIASI DAN EKSTREMUM FUNGSIONAL A. N. Myagky Persamaan integral dan kalkulus variasi Kuliah Misalkan fungsi V = V , y(x) M E diberikan. Mari kita perbaiki fungsi y (x) M. Lalu fungsi lainnya
Bab Deret pangkat a a a Deret dengan bentuk a a a a a () disebut deret pangkat, di mana, a, adalah konstanta yang disebut koefisien deret tersebut. Terkadang deret pangkat dengan bentuk yang lebih umum dianggap: a a(a) a(a) a(a)(), dimana
Integrasi suatu fungsi (menurut Riemann) dan integral tertentu Contoh penyelesaian masalah 1. Konstanta fungsi f(x) = C dapat diintegralkan pada , karena untuk sembarang partisi dan sembarang pilihan titik ξ i integralnya
8. Integral tentu 8.. Misalkan f adalah fungsi berbatas yang terdefinisi pada ruas [, b] R. Partisi ruas [, b] adalah himpunan titik τ = (x, x,..., x n , x n) [, b] , yang = x< x < < x n < x n =
Kuliah 8 Teorema Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange dan L'Hopital Abstrak: Semua teorema ini dibuktikan dan diberikan contoh pengungkapan ketidakpastian menurut aturan L'Hopital. Definisi Fungsi y=f() tercapai
KATA PENGANTAR Panduan ini merupakan lanjutan. Itu dibuat berdasarkan buku teks terkenal tentang analisis matematika [6]. Hal ini didasarkan pada ceramah V.V. Zhuk yang dibacakan beberapa kali
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN FEDERASI RUSIA Universitas Negeri Nizhny Novgorod dinamai NI Lobachevsky Instruksi metodologis untuk memecahkan masalah integral dengan parameter Manual pendidikan dan metodologi
Integral ganda Definisi integral ganda dan sifat-sifatnya Sama seperti masalah menghitung luas trapesium lengkung mengarah ke integral tertentu dari fungsi satu variabel, demikian pula masalah serupa
S A Lavrenchenko wwwlawrecekoru Kuliah Representasi fungsi berdasarkan deret pangkat Pendahuluan Representasi fungsi berdasarkan deret pangkat berguna dalam memecahkan masalah berikut: - integrasi fungsi
Integral tak wajar dengan batas integrasi tak terhingga. Definisi. Properti. Tanda-tanda konvergensi. Contoh dengan solusi. Definisi Biarkan fungsi f() didefinisikan untuk semua a dan dapat diintegrasikan pada semua a
TIKET 1 “3” Definisi antiturunan “3” Teorema 12 (tentang keterintegrasian fungsi monoton) “3” Teorema 4 (teorema perbandingan deret) TIKET 2 “3” Definisi antiturunan umum Teorema “3” 16
1 Fungsi kontinu pada suatu interval (teorema Bolzano-Cauchy, Weierstrass, Cantor). Fungsionalitasnya berkelanjutan pada compact. 1.1 Teorema nilai antara Teorema 1. (Bolzano-Cauchy) Misalkan fungsi f kontinu pada interval, dan f(a) f(b). Maka untuk sembarang bilangan C yang terdapat di antara f(a) dan f(b) terdapat titik γ (a, b) sehingga f(γ) = C. Bukti. Misalkan f(a) = A< B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на . Кроме того, g(a) < 0, g(b) >0. Untuk membuktikan teorema tersebut, cukup dengan menunjukkan bahwa terdapat suatu titik γ (a, b) sehingga g(γ) = 0. Bagilah ruas dengan titik x 0 menjadi dua ruas yang sama panjang, maka g (x 0) = 0 dan, ini berarti titik yang diinginkan γ = x 0 telah ditemukan, atau g(x 0) 0, dan kemudian di ujung salah satu interval yang dihasilkan fungsi g mengambil nilai yang berbeda tanda, lebih tepatnya, di ujung kiri nilainya kurang dari nol, di ujung kanan - lebih. Mari kita tentukan segmen ini dan bagi lagi menjadi dua segmen dengan panjang yang sama, dan seterusnya. Hasilnya, setelah sejumlah langkah berhingga kita sampai pada titik yang diinginkan γ, di mana g(γ) = 0, atau kita memperoleh rangkaian segmen bertumpuk sepanjang yang cenderung nol dan sedemikian rupa sehingga g(an)< 0 < g(b n) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков , n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n) = lim g(b n) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n) 0 lim g(b n) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0) = β (f(x 0) = α). 1
Kuliah 3 Teorema eksistensi dan keunikan penyelesaian persamaan skalar Rumusan masalah Hasil utama Perhatikan masalah Cauchy d f() d =, () = Fungsi f(,) diberikan pada daerah G pada bidang ( ,
Universitas Teknik Negeri Moskow dinamai N.E. Departemen Pemodelan Matematika Fakultas Ilmu Dasar Bauman A.N. Kaviakovykov, A.P. Kremenko
178 4 Sifat-sifat dasar integral tertentu Mari kita perhatikan sifat-sifat dasar integral tertentu. 1) Jika batas bawah dan batas atas integrasi sama (=), maka integralnya sama dengan nol f() d = 0 Diberikan
4. Konsep deret bilangan. Kriteria Cauchy untuk konvergensi suatu deret bilangan. Kata “deret” dalam analisis matematis dipahami sebagai jumlah suku-suku yang tak terhingga banyaknya. Pertimbangkan urutan angka yang berubah-ubah
KULIAH 8A 9A Spasi D, lanjutan 5 Perubahan linear suatu variabel Untuk memperkenalkan operasi linear (lebih tepatnya, perubahan affine suatu variabel, seperti sebelumnya, kita akan menggunakan prinsip kelanjutan dari himpunan reguler
PERTANYAAN DAN MODEL MASALAH untuk ujian akhir disiplin ilmu “Analisis Matematika” Matematika Terapan Pada ujian lisan, siswa menerima dua soal teori dan dua soal Total 66 soal per tahun
Soal dan tugas ujian analisis matematis semester I, - Topik Himpunan dan Barisan Numerik Definisi Merumuskan definisi: himpunan bilangan real yang dibatasi
Saya tahun, tugas. Buktikan bahwa fungsi Riemann, jika 0, m m R(), jika, m, m 0, dan pecahannya tidak dapat direduksi, 0, jika irasional, diskontinu di setiap titik rasional dan kontinu di setiap titik irasional. Larutan.
Kuliah 6 Integral Pasti Riemann Abstrak: Diketahui bahwa selain integral Riemann, ada integral lain yang dibahas. Sifat-sifat integral tentu adalah sebagai berikut
Topik mata kuliah : PENERAPAN TEORI INTEGRAL BERGANTUNG PARAMETER PADA PERHITUNGAN BEBERAPA INTEGRASI TAK SAMA INTEGRAL EULER Kuliah 8 Integral Euler-Poisson Integral Laplace Integral Fresnel
Kuliah 7 TURUNAN LEMAH DAN KUAT 1. Turunan lemah Definisi 1. Fungsi v(x) L p loc() disebut turunan lemah x α dari fungsi u(x) L p loc() dan kita tuliskan v(x) = α u(x) , jika untuk fungsi apa pun
PENDAHULUAN ANALISIS MATEMATIKA Topik: Limit dan kontinuitas suatu fungsi Kuliah 6 Limit suatu barisan bilangan ISI: Batas lintasan pada pertidaksamaan Barisan-barisan pokok
58 Integral pasti Misalkan fungsi () diberikan pada interval. Kita akan menganggap fungsi tersebut kontinu, meskipun hal ini tidak perlu.
SA Lavrenchenko wwwlwrncnkoru Pelajaran praktis 9 Integral tak wajar Perhitungan standar, Integral tak wajar jenis ke- Integral tak wajar jenis ke- dilambangkan dan didefinisikan sebagai berikut:
Kicauan Mth. Analisis, SPb. Universitas Stee. A.V. Poteun, Studi tentang konvergensi integral tak wajar Petunjuk metodologis untuk menyelesaikan masalah A.V. Poteun Seperti diketahui (lihat Bab III, 7), jika
UNIVERSITAS NEGERI BELARUSIA FAKULTAS MATEMATIKA TERAPAN DAN ILMU INFORMASI JURUSAN MATEMATIKA TINGGI INTEGRAL PENTING Panduan pendidikan dan metodologi bagi mahasiswa Fakultas Matematika Terapan
Fungsi kontinu pada suatu interval (teorema Bolzano-Cauchy, Weierstrass, Cantor). Fungsional kontinu pada himpunan kompak. Teorema nilai perantara. (Bolzano-Cauchy) Misalkan fungsi f kontinu
Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Federasi Rusia Badan Federal untuk Pendidikan Lembaga Pendidikan Negara Pendidikan Profesi Tinggi UNIVERSITAS NEGARA ROSTOV
KEMENTERIAN ILMU PENGETAHUAN DAN PENDIDIKAN UNIVERSITAS TERBUKA NEGARA RF MOSKOW dinamai VS INSTITUT Chernomyrdin KOLOMENSKY JURUSAN MATEMATIKA DAN FISIKA TINGGI EF KALINICHENKO KULIAH PERHITUNGAN KHUSUS
KULIAH Integral tak wajar dan sifat-sifatnya Konvergensi bersyarat dan mutlak Tanda-tanda konvergensi Definisi integral tertentu, sifat-sifatnya dan metode integrasinya dipertimbangkan dengan asumsi
Bab 7. KONTINUITAS FUNGSI SERAGAM Suatu fungsi f() x disebut kontinu seragam pada himpunan X jika > δδ () > () () x x X x x
Abstrak program kerja disiplin B.2.B.1 analisis matematika Arah pelatihan: 080100.62 “Ekonomi” Profil: “Ekonomi dan manajemen informasi dan matematika” 1. Maksud dan tujuan disiplin ilmu
1. Integral pasti 1.1. Misalkan f adalah fungsi berbatas yang terdefinisi pada ruas [, b] R. Partisi ruas [, b] adalah himpunan titik τ = (x, x 1,..., x n 1, x n) [, b ] sehingga = x< x 1 < < x n 1
Daftar Isi Bab Ruang Euclidean Konsep ruang Euclidean berdimensi m Himpunan titik-titik ruang Euclidean berdimensi m 4 m Barisan titik-titik dalam ruang R 5 4 Limit fungsi m variabel
13. Turunan parsial orde tinggi Misalkan = mempunyai dan terdefinisi pada DO. Fungsi dan disebut juga turunan parsial orde pertama suatu fungsi atau turunan parsial pertama suatu fungsi. dan secara umum
Universitas Pedagogis Negeri Penza dinamai VGBelinsky PERINGKAT OGNikitin Buku Teks Penza Diterbitkan berdasarkan keputusan dewan editorial dan penerbitan Universitas Pedagogis Negeri Penza
Kuliah 7 Bilangan kompleks, representasinya pada bidang Operasi aljabar pada bilangan kompleks Konjugasi kompleks Modulus dan argumen bilangan kompleks Bentuk aljabar dan trigonometri
PEKERJAAN LABORATORIUM 5 LULUS KE BATAS DI BAWAH TANDA INTEGRAL LEBESGUE I. Konsep dasar dan teorema Misalkan X adalah suatu himpunan, suatu -aljabar dari himpunan bagian dari suatu himpunan X dan diberi -tambahan lengkap
11. Derivatif (lanjutan); fungsi kontinu Pada kuliah terakhir kita menurunkan aturan untuk membedakan produk fungsi; Sekarang kita akan membahas diferensiasi hasil bagi. Mari kita perhatikan hal itu terlebih dahulu
6 Soal-soal yang mengarah pada konsep turunan Misalkan suatu titik material bergerak sepanjang garis lurus dalam satu arah menurut hukum s f (t), dimana t adalah waktu, dan s adalah lintasan yang dilalui oleh titik tersebut dalam waktu t titik tertentu
Seminar 3 Limit fungsi beberapa variabel O. Misalkan D adalah himpunan titik dalam ruang R m: D R m. Misalkan setiap titik M(x, x, xm) D dihubungkan dengan bilangan tertentu u R. Lalu mereka berkata,
PENDAHULUAN Ketika mempelajari proses stasioner dari berbagai sifat fisik (osilasi, konduktivitas termal, difusi, dll.), kita biasanya sampai pada persamaan tipe elips
Pelajaran 24 Integral Euler (fungsi Γ dan B) Analisis matematika, matematika terapan, semester 3 Definisi fungsi gamma dan fungsi beta: Γ(x) = t x 1 et dt B(x, y) = t x 1 ( 1 t) y 1 dt D 3841 Buktikan fungsinya
Kuliah 19 DERIVATIF DAN APLIKASINYA. DEFINISI TURUNAN. Mari kita memiliki beberapa fungsi y=f(x), yang didefinisikan pada interval tertentu. Untuk setiap nilai argumen x dari interval ini, fungsi y=f(x)
Kementerian Pendidikan Federasi Rusia Universitas Teknik Negeri Ulyanovsk SERI NUMERIK DAN FUNGSIONAL SERI FOURIER Ulyanovsk UDC 57(76) BBK 9 i 7 Ch-67 Kandidat Reviewer Ilmu Fisika dan Matematika
Departemen Matematika dan Ilmu Komputer Analisis matematika Kompleks pendidikan dan metodologi untuk mahasiswa pendidikan tinggi yang belajar menggunakan teknologi jarak jauh Modul 4 Aplikasi turunan Disusun oleh: Associate Professor
Kuliah 6 9 Prinsip pemetaan kontraksi Teorema titik tetap Misalkan D adalah a, secara umum, operator nonlinier yang bekerja dari ruang Banach B ke dalam dirinya sendiri Definisi Operator D yang bekerja dari ruang Banach
TOPIK V KULIAH SERI FOURIER 6 Perluasan fungsi periodik menjadi deret Fourier Banyak proses yang terjadi di alam dan teknologi mempunyai sifat berulang pada interval waktu tertentu
Dana Dana alat penilaian dalam disiplin B.2.1 “Analisis Matematika” untuk pemantauan berkelanjutan terhadap kemajuan dan sertifikasi menengah siswa ke arah 080100.62 Topik “Ekonomi”
Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Federasi Rusia LEMBAGA PENDIDIKAN ANGGARAN NEGARA FEDERAL LEMBAGA PENDIDIKAN PROFESIONAL TINGGI "UNVERSITAS NEGARA SARATOV DInamai SETELAH
KULIAH N Diferensial total, turunan parsial, dan diferensial orde tinggi Diferensial total Diferensial parsial Derivatif parsial orde tinggi Diferensial orde tinggi 4Turunan
Analisis Matematika Bagian: Pengantar Analisis Topik: Limit Limit Fungsi Suatu Fungsi dan Sifat-sifatnya, Fungsi Besar Tak Terhingga Beserta Sifat-sifatnya Dosen Januszczyk OV 215 g 3 Limit suatu fungsi 1 Pengertian limit
LAB 6 TRANSFORMASI FOURIER I KONSEP DASAR DAN TEOREMA Definisi Transformasi Fourier suatu fungsi dari L adalah fungsi yang didefinisikan dengan persamaan d Operator F: disebut
Universitas Negeri Moskow dinamai M.V. Lomonosova V.A. Ilyin, V.A. Sadovnichy, Bl.Kh. BUKU PELAJARAN ANALISIS MATEMATIKA Sendov Dalam 2 bagian Bagian 2 edisi ke-2, direvisi dan diperluas Diedit oleh
џ. Konsep deret bilangan. Misalkan barisan bilangan a, a 2,..., a,... Diberikan Deret bilangan adalah persamaan a = a + a 2 +... + a +... (.) Bilangan a, a 2,.. ., a,... disebut anggota deret, a
Daftar soal yang penyelesaiannya dalam analisis fungsional Misalkan suatu ruang bernorma linier. Buktikan bahwa untuk sembarang elemen berlaku pertidaksamaan dari aksioma norma :, maka: Apakah mungkin dalam ruang
Pertimbangkan integralnya
F(kamu) =
untuk area tampilan
Di mana F didefinisikan di daerah tersebut D(tertutup),X 1 (kamu), X 2 (kamu) fungsi kontinu yang ditentukan pada [ C, D].
Dalil. Jika f kontinu di D, x 1 (y), x 2 (y) kontinu di , maka F(y) kontinu di .
Bukti. Fungsi F mari kita definisikan pada persegi panjang [ A, B] [ C, D] berisi area tersebut D, seperti yang ditunjukkan pada gambar, sebagai berikut: letakkan F(X, kamu) = F(X 1 (kamu), kamu) di tetap kamu [ C, D] Dan X [ A, X 1 (kamu)], Demikian pula di sisi kanan area tersebut F(X, kamu) = F(X 2 (kamu), kamu) pada kamu [ C, D] Dan X [ X 2 (kamu), B]. Kami akan terus menunjukkan fungsi tambahan yang ditentukan F(X, kamu) . Fungsi ini akan terus menerus untuk [ A, B] [ C, D].
Lebih jauh |
F(kamu+
kamu) -
F(kamu)| = 
=
+
+
M|
X 1
|+(B -
A)
+
M|
X 2
|.
Ini menggunakan fungsi terbatas F dan kontinuitas seragamnya.
Definisi. Biarkan fungsinya F(X, kamu) didefinisikan pada [ A, B] untuk siapa punkamu Y. Mereka mengatakan itu F(X, kamu) konvergen secara seragam ke G(X) pada [ A, B] padakamu kamu 0 Jika
>0 >0xyU (y 0): |f(x,y) - g(x)|
Dapat dibuktikan jika F(X, kamu) terus menerus dan menyatu secara seragam ke G(X) pada [ A, B] pada kamu kamu 0 , lalu fungsinya G(X) terus menerus menyala [ A, B].
Bukti. Mari kita tuliskan ketidaksetaraannya
| G(X)- G(X 0 )|=| G(X)- F(X, kamu) + F(X, kamu)- F(X 0 , kamu)- G(X 0 )+ F(X 0 , kamu)| | G(X)- F(X, kamu)|+ | F(X, kamu)- F(X 0 , kamu)|+ | G(X 0 )- F(X 0 , kamu)|. Untuk suatu hal pilih dulu lingkungan suatu titik X 0 sehingga di sekitar ini | F(X, kamu)- F(X 0 , kamu)| untuk apa pun kamu dari beberapa lingkungan suatu titik kamu 0 . Hal ini dapat dilakukan karena kesinambungan fungsi yang seragam F(X, kamu). Kuantitas | G(X)- F(X, kamu)|, | G(X 0 )- F(X 0 , kamu)| Anda dapat melakukan hal yang sama memilih lingkungan yang lebih kecil dari titik tersebut kamu 0 untuk semua X karena konvergensi seragam F(X, kamu) Ke G(X) .
Dalil. JikaF(X, kamu) kontinu dan konvergen secara seragamG(X) pada [ A, B] pada kamu kamu 0 , Itu
.
Bukti. 
|
B -
A|
.
Integrasiintegral tergantung pada parameternya
|
F(kamu) =
|
 |
kontinu di , maka F(y) = 
dapat dibedakan dengan dan 
.
Bukti.
=
=
, 0
Kemudian
.
Dari pertidaksamaan ini dan kontinuitas fungsi yang seragam pernyataan yang diperlukan berikut ini.
Pertimbangkan suatu wilayah seperti DI DALAM ditunjukkan pada gambar dan fungsinya F , didefinisikan pada persegi panjang [ A, B] [ C, D] , berisi area tersebut D.
Dalil. Jika f dan turunannya kontinu di , x 1 (y), x 2 (y) mempunyai turunan kontinu, maka F(y) = juga mempunyai turunan
+
-
.
Bukti. Pertimbangkan fungsinya F(kamu,
kamu,
ay) =
.
Untuk itu ada turunan parsial kontinu 
(tidak jelas apakah fungsinya kontinu 
). Membedakan fungsi yang kompleks F(kamu) =
= (kamu,
X 1
(kamu),
X 2
(kamu))
kami memperoleh kesetaraan yang diperlukan. Kontinuitas fungsi =
mengikuti dari kontinuitas seragam fungsi 
.
§2 . tidak integral yang tepat tergantung pada parameter
Konvergensi seragam dari integral tak wajar suatu parameter
(1)
, kamuY.
Mari kita asumsikan hal itu untuk beberapa orang kamu integral (1) bukan hak milik. Jadi jika dan untuk beberapa orang kamu integral (1) memiliki satu-satunya kekhasan di dalamnya B, maka syarat konvergensi integral (1) akan ada batas yang terbatas
.
Jika untuk suatu hal kamu
integralnya konvergen, maka untuk sembarang
[
A,
B)
integral
(disebut sisanya) akan ada dan kondisi konvergensinya dapat ditulis sebagai 
. Dalam hal divergensi integral ini, wajar untuk mengasumsikan kondisi tersebut belum selesai. Dengan demikian, kondisi konvergensi selanjutnya akan dituliskan dalam bentuk
.
Definisi. Integral yang konvergen pada Y disebut konvergen seragam pada Y jika
>0 >0(b-,b)yY: 
(untuk integral jenis ke-2)
>0M(M,+)yY: 
(untuk integral jenis pertama)
Uji Weierstrass untuk konvergensi seragam (untuk integral jenis ke-2)
Jika g(x) pada kamu
kamu 0
, integral menyatu secara seragam keY, 
menyatu. Kemudian
.
Bukti.
=
.
dapat dibuat kecil secara sembarang karena konvergensi fungsi yang seragam F(X,
kamu)
Ke
G(X).
Integral 
dapat dibuat kecil secara sembarang karena konvergensi integral yang seragam
.
Integral 
dapat dibuat kecil secara sembarang karena konvergensi integral
.
Kriteria Cauchy untuk konvergensi seragam. Untuk konvergensi seragam integral perlu dan cukup untuk
>0>0 y Y,(b-,b): 
.
Kecukupan. Ketika syaratnya terpenuhi Untuk
kamu
Y
,
(B-
,
B)
Anda dapat mencapai batas di
B .
Lalu untuk
kamu
Y
(B-
,
B) : 
,
yang berarti konvergensi seragam integral .
Kebutuhan. Kita punya
>0
>0
kamu
Y
(B-
,
B): . Lalu di
,
(B-
,
B)
akan selesai .
Kontinuitas integral parameter
konvergen seragam pada , maka integral tersebut merupakan fungsi kontinu.
Bukti.
|(y+y) - (y)| = 
+
+.
Integral kedua dan ketiga dapat dibuat lebih kecil dari yang ditentukan
pilihan
karena konvergensi seragam integralnya .
Setelah seleksi
integral pertama dapat dibuat kurang dari yang ditentukan
dengan memilih partisi yang cukup kecil karena kontinuitas fungsinya yang seragam.
Integrasi integral yang bergantung pada parameter
konvergen secara seragam pada , lalu
=
=
.
Bukti. Untuk siapa pun dalam batas wajar
=
. Ini menyiratkan pernyataan yang diperlukan, dengan mempertimbangkan hal itu 
menyatu secara seragam [
C,
D]
Ke 
pada
B.
Teorema ini dapat digeneralisasikan
Dalil. Jika fungsi f(x,y) terdefinisi dan kontinu pada , integralnya 
konvergen secara seragam pada dan salah satu integral berulangnya ada
, 
, maka yang lainnya juga ada dan kesetaraan tetap berlaku
=.
Tidak ada bukti.
Diferensiasi integral tergantung pada parameternya
setara dengan kondisi untuk barisan apa pun
N
Bseri konvergen 
.
Demikian pula untuk konvergensi seragam.
Dalil. Biarkan fungsi f(x,y) dan terus menerus menyala. Jika konvergen untuk semua ya 
konvergen seragam pada , maka fungsi (y) = terdiferensiasi secara kontinyu pada interval ini dan
.
Bukti. Membiarkan N B . Menurut lemanya
(kamu) = =
, .
Contoh. Fungsi gamma Euler G(P) = 
,
P > 0.
Kontinuitas aktif (0, ).
Mari kita pertimbangkan dua integral 
, 
.
1)
,
P
[
, 1) .
Tanda Weierstrass.
- milik untuk P
.
Tanda Weierstrass.
, hal(0 , 1] .
Mari kita buktikan rumusnya
(1)
Untuk melakukan ini kami akan melakukan penggantian X
xy .
(P) = =
=
.
2. Fungsi beta Euler B(p,q) = 
, p > 0 , q >0 .
Mari kita buat penggantinya 
, dx =
.
B(p,q) = 
=
.
B(p,q) = 
(2)
3 . Beberapa properti fungsi Euler
Dari rumusnya (1) mengikuti itu
, 
. Mengintegrasikan, kita mendapatkan. Dari mana, menggunakan (2)
G
DI DALAM(P,
Q) = 
G 
.
DI DALAM(P,1-
P) = G 
=
=
.
Г(1) = 1, Г(p+1) = p Г(p).
Perhatikan bahwa dari rumus ini cukup mengetahui fungsi Gamma pada interval tersebut (0, 1/2).
Integral menyatu secara seragam pada apa pun [
,
A ], 0
A.
Oleh karena itu, integral dapat dibedakan berdasarkan parameternya. Pertimbangkan integralnya 
.
Di sekitar nol |
dalam
X|
Untuk
> 0
ada
C 1
(
).
.
=
=
=
F(a,b) = 
+C(b)= 
+C(b).
ln b = F(b,b)= ln 2 + C(b), C(b) = 
.
analisis matematis. semester 3. Loginov A.S. 2005 [dilindungi email]
halaman 1, halaman 2
Diferensiasi terhadap suatu parameter terkadang dapat digunakan untuk mengevaluasi integral.
Contoh 5 . Hitung di A> 1 .
Larutan . Mari kita cari turunan integral terhadap parameternya A. Oleh karena itu, mudah untuk memeriksa bahwa persyaratan Teorema 4 terpenuhi
.
Mari kita terapkan substitusi T= tgx. Kemudian 
, 
,
. Jika X®
0
,Itu T®
0
, jika kemudian T®
¥
. Kami melanjutkan perhitungan:
.
Sekarang, dengan menghitung integralnya, kita mendapatkan:
.
Konstan DENGAN mudah ditemukan karena
.
Dari sini: Pln2+C= 0 ,T. e. DENGAN= –Pln2. Akhirnya kita mendapatkan:
Sekarang mari kita pelajari cara menghitung turunan jika tidak hanya fungsi integran, tetapi juga batas integrasi bergantung pada parameter.
Dalil 5 . Membiarkan f(x,kamu), kontinu dalam persegi panjang D= ´ ; biarkan fungsi A(kamu), B(kamu) pada kamuÎ dapat dibedakan, dan A£ A(kamu)£ B,A£ B(kamu)£ B. Kemudian
Bukti
. Mari kita ambil sudut pandang yang sewenang-wenang kamu 0Î
dan hitung menurut definisi: 
. Tapi pertama-tama kita tulis, menggunakan aditif integral:
Turunan suku ke-2 dihitung dengan menggunakan Teorema 4:
.
Mari kita cari turunan suku ke-3:
Kami menggunakan teorema nilai rata-rata untuk integral tertentu, dan kemudian menggunakan kontinuitas f(x,kamu) dan diferensiasi B(kamu). Turunan suku pertama dihitung dengan cara yang persis sama:
.
Menambahkan ketiga suku tersebut, kita memperoleh rumus yang diperlukan (pada titik sembarang kamu 0Î ).
Contoh 6
. Temukan turunan suatu fungsi 
Larutan . Di sini kita perlu membedakan integral terhadap parameternya X. Kami bertindak sesuai dengan rumus Teorema 5:
16 .1 .3 Integrasi pada parameter.
Teorema 6
. Membiarkan f(x,kamu) kontinu dalam persegi panjang D=
´
. Mari kita pertimbangkan 
. Kemudian
.
Atau, apa yang sama,
.
Bukti . Mari kita buktikan hubungan yang lebih umum. Membiarkan T–titik sembarang dari segmen tersebut . Mari kita buktikan itu
.
(*)
Mari kita cari turunannya terhadap T dari setiap bagian kesetaraan ini. Menerapkan Teorema 5 (atau teorema terkenal tentang integral dengan batas atas variabel), kita memperoleh:
.
Di sisi kanan persamaan (*) adalah integral tergantung pada parameternya T. Kami membedakannya menggunakan Teorema 4:
.
Hasil yang sama menunjukkan bahwa fungsi pada ruas kiri dan kanan persamaan (*) hanya berbeda sebesar konstanta: 
. Itu benar "
TÎ
. Khususnya, kapan T= C kita mendapatkan: 0
= 0
+ DENGAN, yaitu. DENGAN= 0
dan kesetaraan terbukti. Jika Anda menerapkannya kapan T= D, kita memperoleh pernyataan teorema.
Contoh 7
. Hitung integral 
.
Larutan . Integrasi dalam urutan ini sulit dilakukan:
Dengan menggunakan Teorema 6, mari kita ubah urutan integrasinya.
Integralnya telah dihitung. Sepanjang perjalanan, diperoleh relasi berikut:
.
Mari kita beri contoh yang menunjukkan bahwa jika kontinuitas fungsi integran dilanggar, perubahan orde integrasi dapat mengakibatkan hasil yang berbeda.
Contoh 8 . Mari kita hitung integralnya:
Saat menghitung dalam urutan yang berbeda, Anda dapat melihat bahwa jika Anda mengubah tanda fungsi integran, Anda mendapatkan integral yang sudah dipertimbangkan:
.
Jawaban yang berbeda - karena fakta bahwa integran berfungsi pada suatu titik (0 , 0) memiliki celah.
16. 2 Integral tak wajar dengan parameter
Mari kita lanjutkan mempelajari integral tak wajar yang bergantung pada suatu parameter. Notasi paling sederhana untuk integral semacam itu masih ada
, tapi di sini juga B= ¥
, atau fungsi f(x, kamu) tidak terbatas pada sekitar titik tersebut X= B. Untuk singkatnya, kita akan mengatakan bahwa integral memiliki keanehan
pada intinya X= B. Variabel kamu mengambil nilai pada interval
(atau pada interval yang tidak terbatas, misalnya,
, Jika "
kamuÎ
integral 
menyatu, yaitu ada yang terbatas 
.
Katakanlah itu 
menyatu rata
pada
, Jika
