Membagi lingkaran menjadi enam bagian yang sama dan pembuatan segi enam beraturan dilakukan dengan menggunakan persegi dengan sudut 30, 60 dan 90 º dan/atau kompas. Saat membagi lingkaran menjadi enam bagian yang sama dengan kompas, busur ditarik dari dua ujung dengan diameter yang sama dengan jari-jari yang sama dengan jari-jari lingkaran tertentu sampai mereka berpotongan dengan lingkaran di titik 2, 6 dan 3, 5 (Gbr. .2.24). Dengan menghubungkan titik-titik yang dihasilkan secara berurutan, diperoleh segi enam bertulisan beraturan.

Gambar 2.24

Saat membagi lingkaran dengan kompas, dari keempat ujung dua diameter lingkaran yang saling tegak lurus, ditarik sebuah busur dengan jari-jari sama dengan jari-jari lingkaran tertentu hingga berpotongan dengan lingkaran (Gbr. 2.25). Dengan menghubungkan titik-titik yang dihasilkan, diperoleh dodecagon.

Gambar 2.25

2.2.5 Membagi sebuah lingkaran menjadi lima dan sepuluh bagian yang sama besar
dan konstruksi pentagon dan dekagon bertulis beraturan

Pembagian lingkaran menjadi lima dan sepuluh bagian yang sama dan konstruksi segilima dan dekagon beraturan ditunjukkan pada Gambar. 2.26.

Gambar 2.26

Setengah dari setiap diameter (jari-jari) dibagi dua (Gbr. 2.26 a), diperoleh titik A Dari titik A, seperti dari pusat, buatlah busur dengan jari-jari sama dengan jarak dari titik A ke titik 1 ke perpotongan dengan paruh kedua diameter ini, di titik B( Gambar 2.26 b ). Ruas 1 sama dengan tali busur yang membentuk busur yang panjangnya sama dengan 1/5 keliling. Membuat takik pada lingkaran (Gbr. 2.26, in ) radius KE sama dengan ruas 1B, bagilah lingkaran menjadi lima bagian yang sama besar. Titik awal 1 dipilih tergantung pada lokasi segi lima. Dari titik 1 bangun titik 2 dan 5 (Gbr. 2.26, c), kemudian dari titik 2 bangun titik 3, dan dari titik 5 bangun titik 4. Jarak dari titik 3 ke titik 4 diperiksa dengan kompas. Jika jarak titik 3 dan 4 sama dengan ruas 1B, maka pembangunan dilakukan secara akurat. Tidak mungkin membuat serif secara berurutan, dalam satu arah, karena terjadi kesalahan dan sisi terakhir segi lima menjadi miring. Dengan menghubungkan titik-titik yang ditemukan secara berurutan, diperoleh segi lima (Gbr. 2.26, d).

Membagi lingkaran menjadi sepuluh bagian yang sama dilakukan dengan cara yang sama seperti membagi lingkaran menjadi lima bagian yang sama besar (Gbr. 2.26), tetapi pertama-tama bagilah lingkaran menjadi lima bagian, mulai konstruksi dari titik 1, dan kemudian dari titik 6, yang terletak di seberangnya. ujung diameter (Gbr. 2.27, A). Dengan menghubungkan semua titik secara seri, diperoleh dekagon beraturan (Gbr. 2.27, b).

Gambar 2.27

2.2.6 Membagi sebuah lingkaran menjadi tujuh dan empat belas bagian yang sama besar
bagian dan konstruksi segi tujuh bertulis biasa dan
segi empat

Pembagian lingkaran menjadi tujuh dan empat belas bagian yang sama dan konstruksi segi tujuh beraturan dan segitiga bersisi empat belas ditunjukkan pada Gambar. 2.28 dan 2.29.

Dari titik mana pun pada lingkaran, misalnya titik A , menggambar busur dengan jari-jari lingkaran tertentu (Gbr. 2.28, a ) sampai berpotongan dengan lingkaran di titik B dan D . Mari kita hubungkan titik-titik Vi D dengan sebuah garis lurus. Setengah dari segmen yang dihasilkan (dalam dalam hal ini segmen BC) akan sama dengan tali busur yang membentuk busur yang merupakan 1/7 keliling. Dengan jari-jari sama dengan ruas BC, dibuat takik pada lingkaran dengan urutan seperti pada Gambar. 2.28,b . Dengan menghubungkan semua titik secara seri, mereka mendapatkan segi tujuh yang beraturan (Gbr. 2.28, c).

Pembagian lingkaran menjadi empat belas bagian yang sama dilakukan dengan membagi lingkaran menjadi tujuh bagian yang sama sebanyak dua kali dari dua titik (Gbr. 2.29, a).

Gambar 2.28

Pertama, lingkaran dibagi menjadi tujuh bagian yang sama dari titik 1, kemudian dilakukan konstruksi yang sama dari titik 8 . Titik-titik yang dibangun dihubungkan secara berurutan dengan garis lurus dan diperoleh segi empat beraturan (Gbr. 2.29, b).

Gambar 2.29

Konstruksi elips

Bayangan lingkaran pada proyeksi isometrik persegi panjang pada ketiga bidang proyeksi adalah elips yang bentuknya sama.

Arah sumbu minor elips bertepatan dengan arah sumbu aksonometri, tegak lurus terhadap bidang proyeksi tempat letak lingkaran yang digambarkan.

Saat membuat elips yang menggambarkan lingkaran berdiameter kecil, cukup membuat delapan titik milik elips (Gbr. 2.30). Empat diantaranya merupakan ujung sumbu elips (A, B, C, D), dan empat lainnya (N 1, N 2, N 3, N 4) terletak pada garis lurus yang sejajar dengan sumbu aksonometri, di a jarak sama dengan radiusnya lingkaran yang digambarkan dari pusat elips.

A	B

Gambar 2.30

3.193. Dua lingkaran berpotongan di titik A dan K. Pusat-pusatnya terletak di sepanjang sisi yang berbeda dari garis yang memuat ruas AK. Titik B dan C terletak pada lingkaran yang berbeda. Garis yang memuat ruas AB menyentuh salah satu lingkaran di titik A. Garis yang memuat ruas AC menyentuh lingkaran lain yang juga di titik A. Diketahui BK = 1, CK = 4,

tan TAKSI = √ 1 15 . Carilah luas segitiga ABC.

3.194. DI DALAM segitiga lancip ABC dengan sudut C sama dengan 30◦, ketinggiannya berpotongan di titik M. Hitunglah luas segitiga AM B jika jarak pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga ABC ke sisi BC dan AC adalah

bertanggung jawab sama dengan √ 2 dan √3.

3.195. Pada ruas AB terdapat titik C dan D, dan titik C berada di antara titik A dan D. Titik M diambil sehingga garis AM dan M D tegak lurus dan garis CM dan M B juga tegak lurus. Hitunglah luas segitiga AM B jika diketahui CM D = a, dan luas segitiga AM D dan CM B masing-masing sama dengan S1 dan S2.

3.196. (Rumus Brahmagupta.) Buktikan jika sisi-sisi segi empat siklik adalah a, b, c dan d, maka luasnya S dapat dihitung dengan rumus:

S = (p − a)(p − b)(p − c)(p − d),

dimana p = 1 2 (a + b + c + d) adalah setengah keliling segi empat.

3.197. Sebuah lingkaran pada segitiga, dengan titik singgung, membagi salah satu sisinya menjadi segmen-segmen yang sama dengan 3 dan 4, dan sudut yang berhadapan dengan sisi tersebut adalah 120◦. Temukan luas segitiga.√

3.198. Luas segitiga ABC adalah 15 3. Sudut BAC adalah 120◦. Sudut ABC lebih banyak sudut ACB. Jarak titik sudut A ke pusat lingkaran pada segitiga ABC adalah 2. Tentukan median segitiga ABC yang ditarik dari titik sudut B.

3.199. Sebuah segiempat ABCD terletak pada lingkaran yang berjari-jari 7. Diketahui AB = BC, luas segitiga BCD adalah dua kali lipatnya luasnya lebih sedikit segitiga ABD, ADC = 120◦. Temukan semua sisi segi empat ABCD.

3.200. Pada garis lurus yang melalui pusat O lingkaran berjari-jari 12 diambil titik A dan B sehingga OA = 15, AB = 5 dan A terletak di antara O dan B. Garis singgung lingkaran diambil dari titik A dan B , yang titik singgungnya terletak pada sisi yang sama dari garis lurus OB. Tentukan luas segitiga ABC, dimana C adalah titik potong garis singgung tersebut.

3.201. Titik K, L, M, N√ dan P terletak berurutan pada lingkaran berjari-jari 2 2. Hitunglah luas segitiga KLM jika LM k KN, KM k N P, M N k LP, dan sudut LOM

sama dengan 45◦, dimana O adalah titik potong tali busur LN dan MP P.

3.202. Pada segitiga siku-siku ABC dengan sudut siku-siku C, sudut B sama dengan 30◦, dan sisi CA = 1, ditarik median CD. Selain itu, ditarik garis lurus dari titik D dengan sudut 15◦ terhadap sisi miring, memotong ruas BC di titik F. Temukan luas segitiga CDF.

3.203. Sebuah lingkaran berjari-jari 3 melalui titik sudut B, titik tengah sisi AB dan BC, dan menyentuh sisi AC segitiga ABC. Sudut BAC lancip dan sin BAC = 1 3 . Carilah luas segitiga ABC.

3.204. Segitiga sama kaki lancip dan trapesium ditulis dalam sebuah lingkaran. Salah satu alas trapesium adalah diameter lingkaran, dan sisi sejajar dengan sisi-sisi segitiga. Buktikan bahwa trapesium dan segitiga sama besar.

Tugas tingkat ketiga

3.205. Di dalam segitiga beraturan ada sebuah titik yang terletak pada jarak 5, 6 dan 7 dari titik sudutnya. Hitunglah luas segitiga tersebut.

3.206. Sisi-sisi segi empat adalah a, b, c dan d. Diketahui bahwa sebuah lingkaran dapat ditulisi pada segi empat ini dan

sebuah lingkaran dapat digambarkan di sekelilingnya. Buktikan bahwa itu buruk

luasnya sama dengan abcd.

3.207. Misalkan a, b, c, d adalah sisi-sisi yang berurutan pada suatu segiempat. Buktikan bahwa jika S adalah luasnya, maka S 6 6 1 2 (ac + bd), dan persamaan tersebut hanya berlaku untuk segi empat bertulisan yang diagonal-diagonalnya saling tegak lurus.

3.208. Setiap diagonal segi lima cembung ABCDE memotong segitiga yang luas satuannya. Hitung luas segi lima ABCDE.

3.209. Pada segitiga ABC, titik D diambil pada sisi AC. Lingkaran pada segitiga ABD dan BCD berturut-turut menyentuh sisi AC di titik M dan N. Diketahui AM = 3, M D = 2, DN = 2, N C = 4. Tentukan sisi-sisi segitiga ABC.

3.210. Pada ruas AC diambil titik B dan pada ruas AB, BC dan AC dibuat seperti pada diameter setengah lingkaran S1, S2 dan S pada salah satu sisi AC. Hitunglah jari-jari lingkaran yang bersinggungan dengan ketiga setengah lingkaran jika diketahui pusat lingkaran tersebut berjarak a dari garis AC.

3.211. Buktikan bahwa titik potong diagonal-diagonal suatu segiempat yang dibatasi keliling lingkaran berimpit dengan titik potong diagonal-diagonal suatu segiempat yang titik-titik sudutnya merupakan titik singgung sisi-sisi segiempat pertama dengan lingkaran.

Jawaban, arahan, solusi

kelas 7

§ 1.1

1.1. 12. 1.2. 3: 2, 2: 5, 2: 3. 1.3. 2: 1, 1: 2, 1: 4. 1.4. 3,5, 8,5.

1.5. 6.1.6. 4; 2.1.7. 7; 5; 3; 1.1.8. Catatan. 6 = 2 ·5 −2 ·2. 1.9.

Catatan. a) 8 = 2 ·11 −2 ·7; b) 5 = 7 ·7 −4 ·11. 1.10. 2.1.11. 2.5.

1.12. 3: 7, 4: 7. 1,13 0. 2:7 dan 5:7; 2:3 dan 5:3. m: (m+n)

dan n: (m + n); m: (m −n) dan n: (m −n); m: (n − m) dan n: (n − m).

1.150. IKLAN: DC = 2: 3. 1.16. Pada sinar yang bermula di tengah ruas AB yang memuat titik B. 1.17. 105◦, 75◦. 1.18. 45◦, 135◦. 1.25. Biarkan M menjadi titik yang diperlukan. a) Salah satu M terletak pada ruas AB dan AM: M B = 2:1, atau B terletak di tengah ruas AM; b) M terletak pada ruas AB dan AM: M B = 1:3, atau A terletak pada ruas M B dan AM: AB = 1:2. 1.26. Misalkan M1 dan M2 adalah titik-titik yang rasio yang ditunjukkan sama dengan 2. a) Semua titik yang berbeda dari B antara M1 dan M2; b) semua titik garis yang tidak terletak pada ruas M1 M2. 1.27. Catatan. 40◦ = 180◦ − 2 · 70◦ .

1.28. Catatan. 1◦ = 19 · 19◦ − 360◦ . 1.30. a) 6◦; 0,5◦ ; b) 62,5◦; c) 13 jam 511 5 menit. 1.31. Di mana saja antara gubuk B dan C. 1.32. Di desa B.

§ 1.2

1.34. Catatan. Jika AM dan A 1 M1 median segitiga sama kaki ABC dan A1 B1 C1 (Gbr. 81), lalu segitiga ABM

dan A 1 B1 M1 sama besar pada dua sisi dan sudut di antara keduanya.

1.35. Catatan. Jika AD dan A 1 D1 garis bagi segitiga sama kaki ABC dan A1 B1 C1 (Gbr. 82), lalu segitiga ABD

dan A 1 B1 D1 sama panjang dan dua sudut berdekatan.

1.36. Catatan. AOD = BOC dan AOC = BOD pada dua sisi dan sudut di antara keduanya (Gbr. 83). ABC = BURUK

Dan ACD = BDC pada suatu sisi dan dua sudut yang berdekatan ABC = CDA dan ABD = CDB pada ketiga sisinya.

1.370. Jika AD adalah garis bagi segitiga ABC (Gbr. 84)

Dan AB = AC, maka segitiga ABD dan ACD sama panjang pada dua sisi dan sudut antara keduanya, maka BD = CD, yaitu AD adalah mediannya,

dan ADB = ADC = 90 ◦ , maka AD adalah tingginya.

1.380. Misalkan AD adalah median segitiga ABC dan AD BC (Gbr. 85). Maka segitiga ADB dan ADC sama panjang pada dua sisi dan sudut diantara keduanya, jadi AB = AC.

1.39. Misalkan AD adalah garis bagi segitiga ABC dan AD BC (Gbr. 86). Maka segitiga ADB dan ADC sama sisi dan dua sudutnya berdekatan, jadi AB = AC.

1.40. Catatan. Misalkan P adalah titik potong BK dan AM

B D C B D C B D C

(Gbr. 87). Pada segitiga ABM, garis bagi BP adalah ketinggian.

1.41. AB: AC = 1: 2. Catatan. Misalkan P adalah titik potong garis ini dengan median BD (Gbr. 88). Pada segitiga ABD, median AP adalah tinggi.

1.42. Misalkan titik K, L, M masing-masing terletak pada sisi AB, BC, AC segitiga sama sisi ABC, dan AK: KB = BL: LC = CM: MA (Gbr. 89). Maka AK = BL = CM dan BK = CL = AM. Karena sudut-sudut suatu segitiga sama sisi sama besar, maka segitiga AKM, BLK dan CM L sama besar pada dua sisi dan sudut diantara keduanya. Karena itu,

1.460. Misalkan A1 adalah titik kelanjutan median AM di luar titik M, dan M A1 = AM (Gbr. 90). Segitiga A1 M B

Dan AM C sama besar pada dua sisi dan sudut di antara keduanya, jadi

mu A1 B = AC = b. Demikian pula A1 C = AB = c.

1.470. Misalkan M adalah titik tengah sisi BC segitiga ABC

Dan Garis bagi segitiga AM (Gbr. 91). Pada lanjutan ruas AM melewati titik M, kita tunda ruas M A 1 sama dengan AM.

Maka segitiga A1 M B dan AM C sama panjang pada dua sisi dan sudut antara keduanya, jadi BA1 M = CAM = BAM. Artinya segitiga ABA1 sama kaki. Oleh karena itu AB =

A 1 B = AC.

1.48. a) Tidak; b) tidak.

1.490. b) Misalkan kaki AC dan sisi miring AB dari segitiga siku-siku ABC sama dengan kaki A1 C1 dan sisi miring A1 B1 dari segitiga siku-siku A1 B1 C1 (Gbr. 92). Pada kelanjutan kaki-kaki AC dan A1 C1, masing-masing di luar titik C dan C1, kita sisihkan ruas CK dan C1 K1 yang masing-masing sama dengan AC dan A1 C1. Maka median BC dan B1 C1 dari segitiga ABK dan A1 B1 K1 adalah tinggi, jadi segitiga tersebut sama kaki. Ketiga sisinya sama besar, artinya CAB = = C1 A1 B1. Karena itu, segitiga ABC dan A1 B1 C1 sama besar pada dua sisi dan sudut di antara keduanya.

c) Tanda ini mengikuti tanda bahwa segitiga-segitiga itu sama panjang pada salah satu sisinya dan pada dua sudut yang berdekatan.

1.510. Jika titik M berjarak sama dari ujung segmen AB (Gbr. 93) dan tidak termasuk dalam segmen tersebut, maka median M C segitiga sama kaki AM B adalah tingginya, maka M C adalah garis bagi tegak lurus ruas AB. Sebaliknya, setiap titik garis bagi yang tegak lurus terhadap ruas AB mempunyai jarak yang sama dari ujung-ujungnya, karena tinggi segitiga sama kaki yang ditarik ke alasnya adalah mediannya.

1.52. Pusat O1 dan O2 lingkaran (Gbr. 94) berjarak sama dari titik A dan B, oleh karena itu O1 O2 adalah garis bagi yang tegak lurus ruas AB.

1.54. Diketahui segitiga siku-siku ABC dan A 1 B1 C1

Dengan sisi miring AB dan A 1 B1 sama kaki AC dan A1 C1 dan sudut lancip B dan B1 (Gbr. 95). Pada kelanjutan leg BC seterusnya

titik C kita sisihkan ruas CB2 sama dengan B1 C1. Maka segitiga siku-siku ACB2 sama dengan segitiga A1 C1 B1 pada dua sisi, jadi B2 = B1 = B. Artinya segitiga BAB2 sama kaki, jadi AB = AB2 = A1 B1. Oleh karena itu segitiga ABC sama segitiga A1 B1 C1 sepanjang kaki dan sisi miring.

1.55. Dari rumusan masalah dapat disimpulkan bahwa BC + AC = BD + AD

Dan BC + BD = AC + AD (Gbr. 96). Menjumlahkan dan mengurangkan persamaan ini, kita memperoleh BC = AD dan AC = BD. Artinya segitiga ABC dan BAD sama panjang pada ketiga sisinya, jadi BAC = = ABD, segitiga AOB sama kaki. Karena itu,

1.56. a) Misalkan BM dan B 1 M1 adalah median segitiga ABC

dan A 1 B1 C1, AB = A1 B1, BM = B1 M1, BC = B1 C1 (Gbr. 97). Mari kita letakkan M1 pada lanjutan median BM dan B1 pada titik tersebut

ki M dan M1 adalah ruas MP dan M1 P1, masing-masing sama dengan BM dan B1 M1. Maka dari persamaan segitiga P M C dan BM A diperoleh P C = AB, dan dari persamaan segitiga P1 M1 C1 dan B1 M1 A1 diperoleh P1 C1 = A1 B1. Oleh karena itu segitiga

P BC dan P1 B1 C1 adalah sama. Oleh karena itu, M BC = M1 B1 C1. Artinya segitiga M BC dan M1 B1 C1 adalah sama besar. Jadi M C = = M1 C1, maka AC = A1 C1. Jadi segitiga ABC dan A1 B1 C1 sama panjang pada ketiga sisinya.

1.57. Catatan. Gunakan tanda kesetaraan segitiga siku-siku sepanjang sisi miring dan sudut tajam.

1.59. Misalkan ABCD adalah segiempat tertentu (Gbr. 98). Karena AB = AD dan CB = CD, titik A dan C berjarak sama dari ujung-ujung ruas BD, maka AC adalah garis bagi yang tegak lurus ruas BD.

1.60. Titik P terletak pada garis bagi yang tegak lurus ruas AB (Gbr. 99), jadi AP = BP. Begitu pula DP = CP. Artinya segitiga AP D dan BP C sama panjang pada ketiga sisinya, sehingga mediannya P M dan P N sama besar. Jadi, titik P berjarak sama dari ujung-ujung ruas M N , oleh karena itu terletak pada garis-bagi yang tegak lurus ruas tersebut.

1.61. Catatan. Gunakan tes persamaan segitiga siku-siku sepanjang kaki dan sisi miring.

1.62. Catatan. Gunakan tes persamaan segitiga siku-siku dengan sisi miring dan sudut lancip.

1.630. Catatan. Dari kriteria persamaan segitiga siku-siku sepanjang sisi miring dan sudut lancip, maka setiap titik yang terletak pada garis bagi mempunyai jarak yang sama dari sisi-sisi sudut tersebut.

Dari kriteria persamaan segitiga siku-siku sepanjang kaki dan sisi miring maka setiap titik di dalam suatu sudut, yang berjarak sama dari sisi-sisinya, terletak pada garis bagi sudut tersebut.

1.65. 7 atau 9.

1.66. Catatan. Garis-garis yang diperlukan tegak lurus terhadap garis-bagi sudut yang dibentuk oleh garis-garis tersebut.

1.67. Catatan. Biarkan poin B 1 simetris terhadap titik B terhadap garis lurus ini (Gbr. 100). Jika garis AB memotong garis l, maka titik C yang diinginkan.

1.68. Catatan. Biarkan poin B 1 simetris terhadap titik B relatif terhadap garis ini. Garis AB memotong garis l di titik C yang diinginkan.

1.69. Catatan. Buatlah titik-titik yang simetris terhadap data relatif terhadap sisi-sisi sudut.

1.70. Catatan. Buatlah sebuah titik yang simetris terhadap salah satu data relatif terhadap garis bagi sudut puncak.

1,71 0 . Catatan. Titik potong dua garis bagi suatu segitiga berjarak sama terhadap semua sisi segitiga, sehingga terletak pada garis bagi ketiga.

1.72. Catatan. Titik M dan N terletak pada garis bagi sudut A.

1.73. Misalkan A adalah titik sudut yang tidak dapat diakses (Gbr. 101). Mari kita ambil

Lingkaran adalah garis lengkung tertutup yang setiap titiknya terletak pada jarak yang sama dari satu titik O yang disebut pusat.

Garis lurus yang menghubungkan suatu titik pada lingkaran dengan pusatnya disebut jari-jari R.

Garis lurus AB yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui pusatnya O disebut diameter D.

Bagian-bagian lingkaran disebut busur.

Garis lurus CD yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut akord.

MN langsung, yang hanya memiliki satu poin umum dengan lingkaran disebut garis singgung.

Bagian lingkaran yang dibatasi oleh tali busur CD dan busur disebut segmen.

Bagian lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan sebuah busur disebut sektor.

Dua horizontal yang saling tegak lurus dan garis vertikal berpotongan di pusat lingkaran disebut sumbu lingkaran.

Sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari KOA disebut sudut tengah.

Dua radius yang saling tegak lurus buat sudut 90 0 dan batasi 1/4 lingkaran.

Membagi lingkaran menjadi beberapa bagian

Kami menggambar lingkaran dengan sumbu horizontal dan vertikal, yang membaginya menjadi 4 bagian yang sama. Menggambar dengan kompas atau persegi pada 45 0, dua garis yang saling tegak lurus membagi lingkaran menjadi 8 bagian yang sama besar.

Membagi lingkaran menjadi 3 dan 6 bagian sama besar (kelipatan 3 banding tiga)

Untuk membagi lingkaran menjadi 3, 6 dan kelipatannya, gambarlah sebuah lingkaran dengan jari-jari tertentu dan sumbu-sumbu yang bersesuaian. Pembagian dapat dimulai dari titik potong garis mendatar atau sumbu vertikal dengan lingkaran. Jari-jari lingkaran tertentu diplot 6 kali berturut-turut. Kemudian titik-titik yang dihasilkan pada lingkaran tersebut dihubungkan secara berurutan dengan garis lurus dan membentuk segi enam bertulis beraturan. Menghubungkan titik-titik melalui satu hal memberi segitiga sama sisi, dan membagi lingkaran menjadi tiga bagian yang sama besar.

Konstruksi segi lima beraturan dilakukan sebagai berikut. Kita menggambar dua sumbu lingkaran yang saling tegak lurus sama dengan diameter lingkaran. Bagilah separuh kanan diameter horizontal menjadi dua menggunakan busur R1. Dari hasil titik “a” di tengah ruas berjari-jari R2 ini, tariklah busur lingkaran hingga berpotongan dengan diameter mendatar di titik “b”. Dengan jari-jari R3, tariklah busur lingkaran dari titik “1” sampai berpotongan lingkaran yang diberikan(v.5) dan dapatkan sisi segi lima beraturan. Jarak "b-O" menghasilkan sisi segi sepuluh beraturan.

Membagi lingkaran menjadi N bagian yang identik (membuat poligon beraturan dengan N sisi)

Ini dilakukan sebagai berikut. Kami menggambar sumbu lingkaran horizontal dan vertikal yang saling tegak lurus. Dari titik teratas "1" lingkaran kita menggambar di bawah sudut sewenang-wenang garis lurus terhadap sumbu vertikal. Kami mengesampingkannya segmen yang sama dengan panjang sembarang, yang jumlahnya sama dengan jumlah bagian yang kita bagi pada lingkaran tertentu, misalnya 9. Ujung ruas terakhir dihubungkan ke titik terbawah diameter vertikal. Kami menggambar garis sejajar dengan garis yang dihasilkan dari ujung segmen yang disisihkan hingga berpotongan dengan diameter vertikal, sehingga membagi diameter vertikal lingkaran tertentu menjadi beberapa bagian. Dengan jari-jari sama dengan diameter lingkaran, tariklah busur MN dari titik terbawah sumbu vertikal hingga berpotongan dengan kelanjutan sumbu horizontal lingkaran. Dari titik M dan N kita tarik sinar melalui titik pembagian genap (atau ganjil) yang diameter vertikalnya sampai berpotongan dengan lingkaran. Segmen lingkaran yang dihasilkan akan menjadi segmen yang diperlukan, karena poin 1, 2,…. 9 bagilah lingkaran menjadi 9 (N) bagian yang sama.

Untuk menemukan pusat busur lingkaran, Anda perlu melakukan konstruksi berikut: pada busur ini kita menandai empat poin sewenang-wenang A, B, C, D dan hubungkan berpasangan dengan tali busur AB dan CD. Kami membagi setiap tali busur menjadi dua menggunakan kompas, sehingga memperoleh garis tegak lurus yang melewati bagian tengah tali busur yang bersangkutan. Perpotongan garis tegak lurus ini menghasilkan pusat busur tertentu dan lingkaran yang bersesuaian.