Sudut antar garis dalam ruang kita akan memanggil salah satu dari sudut yang berdekatan, dibentuk oleh dua garis lurus yang ditarik titik sewenang-wenang sejajar dengan datanya.
Biarkan dua garis diberikan dalam ruang:
Jelasnya, sudut φ antara garis lurus dapat dianggap sebagai sudut antara vektor arahnya dan . Karena , maka dengan menggunakan rumus kosinus sudut antar vektor kita peroleh
Syarat kesejajaran dan tegak lurus dua garis lurus ekuivalen dengan syarat kesejajaran dan tegak lurus vektor arahnya dan:
Dua lurus paralel jika dan hanya jika koefisien-koefisien yang bersesuaian sebanding, yaitu. aku 1 paralel aku 2 jika dan hanya jika sejajar 
.
Dua lurus tegak lurus jika dan hanya jika jumlah produk dari koefisien-koefisien yang bersesuaian sama dengan nol: .
kamu tujuan antara garis dan bidang
Biarlah lurus D- tidak tegak lurus terhadap bidang θ;
D′− proyeksi suatu garis D ke bidang θ;
Sudut terkecil antara garis lurus D Dan D' kami akan menelepon sudut antara garis lurus dan bidang.
Mari kita nyatakan sebagai φ=( D,θ)
Jika D⊥θ, maka ( D,θ)=π/2
Oi→J→k→− sistem persegi panjang koordinat
Persamaan bidang:
θ: Kapak+Oleh+Cz+D=0
Kita asumsikan bahwa garis lurus ditentukan oleh sebuah titik dan vektor arah: D[M 0,P→]
Vektor N→(A,B,C)⊥θ
Kemudian tinggal mencari sudut antar vektor N→ dan P→, mari kita nyatakan sebagai γ=( N→,P→).
Jika sudut γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Jika sudutnya γ>π/2, maka sudut yang diinginkan adalah φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=dosa(γ−2π)=−cosγ
Kemudian, sudut antara garis lurus dan bidang dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Aplikasi 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√P 21+P 22+P 23
Pertanyaan29. Konsep bentuk kuadrat. Tanda tangani kepastian bentuk kuadrat.
Bentuk kuadrat j (x 1, x 2, …, x n) n variabel real x 1, x 2, …, x n disebut penjumlahan dari bentuk tersebut 
, (1)
Di mana sebuah ij – beberapa angka yang disebut koefisien. Tanpa kehilangan sifat umum, kita dapat berasumsi demikian sebuah ij = sebuah ji.
Bentuk kuadrat disebut sah, Jika sebuah ij
Î GR. Matriks bentuk kuadrat disebut matriks yang terdiri dari koefisien-koefisiennya. Bentuk kuadrat (1) sesuai dengan satu-satunya matriks simetris 
Itu adalah SEBUAH T = SEBUAH. Karena itu, bentuk kuadrat(1) dapat ditulis bentuk matriks J ( X) = x T Ah, Di mana x T = (X 1 X 2 … xn). (2)
Dan sebaliknya, setiap matriks simetris (2) mempunyai bentuk kuadrat unik hingga notasi variabel.
Peringkat bentuk kuadrat disebut pangkat matriksnya. Bentuk kuadrat disebut tidak merosot, jika matriksnya non-singular A. (ingat bahwa matriks A disebut non-degenerasi jika determinannya tidak sama dengan nol). Jika tidak, bentuk kuadratnya akan merosot.
pasti positif(atau sangat positif) jika
J ( X) > 0 , untuk siapa pun X = (X 1 , X 2 , …, xn), kecuali X = (0, 0, …, 0).
Matriks A bentuk kuadrat pasti positif j ( X) disebut juga pasti positif. Oleh karena itu, bentuk kuadrat pasti positif berhubungan dengan matriks pasti positif unik dan sebaliknya.
Bentuk kuadrat (1) disebut didefinisikan secara negatif(atau sangat negatif) jika
J ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, xn), kecuali X = (0, 0, …, 0).
Sama seperti di atas, matriks yang berbentuk kuadrat pasti negatif disebut juga pasti negatif.
Akibatnya, bentuk kuadrat pasti positif (negatif) j ( X) mencapai nilai minimum (maksimum) j ( X*) = 0 pada X* = (0, 0, …, 0).
Perhatikan itu kebanyakan bentuk kuadrat tidak pasti tanda, artinya tidak positif maupun negatif. Bentuk kuadrat seperti itu lenyap tidak hanya di titik asal sistem koordinat, tetapi juga di titik lain.
Kapan N> 2, diperlukan kriteria khusus untuk memeriksa tanda suatu bentuk kuadrat. Mari kita lihat mereka.
Anak di bawah umur besar bentuk kuadrat disebut minor:
yaitu, ini adalah anak di bawah umur dari urutan 1, 2, ..., N matriks A, terletak di sebelah kiri sudut atas, yang terakhir bertepatan dengan determinan matriks A.
Kriteria Kepastian Positif (Kriteria Sylvester)
X) = x T Ah adalah pasti positif, maka perlu dan mencukupi semua minor mayor matriks A positif, yaitu: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M N > 0. Kriteria kepastian negatif Agar bentuk kuadrat j ( X) = x T Ah bersifat negatif pasti, maka minor utamanya yang berorde genap harus positif, dan minor utamanya yang berorde ganjil menjadi negatif, yaitu: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)N
Dengan bantuan ini kalkulator daring Anda dapat menemukan sudut antara garis lurus. Diberikan solusi terperinci dengan penjelasan. Untuk menghitung sudut antar garis lurus, atur dimensinya (2 jika dianggap garis lurus pada bidang, 3 jika dianggap garis lurus dalam ruang), masukkan elemen persamaan ke dalam sel dan klik tombol “Selesaikan” tombol. Lihat bagian teoritis di bawah ini.
×
Peringatan
Hapus semua sel?
Tutup Hapus
Instruksi entri data. Angka dimasukkan sebagai bilangan bulat (contoh: 487, 5, -7623, dst.), desimal (mis. 67., 102.54, dst.) atau pecahan. Pecahan tersebut harus dimasukkan dalam bentuk a/b, dimana a dan b (b>0) adalah bilangan bulat atau angka desimal. Contoh 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, dst.
1. Sudut antar garis lurus pada suatu bidang
Garis ditentukan oleh persamaan kanonik
1.1. Menentukan sudut antar garis lurus
Biarkan garis-garis berada dalam ruang dua dimensi L 1 dan L
Jadi, dari rumus (1.4) kita dapat mencari sudut antara garis lurus L 1 dan L 2. Seperti terlihat pada Gambar 1, garis-garis yang berpotongan membentuk sudut-sudut yang berdekatan φ Dan φ 1 . Jika sudut yang ditemukan lebih besar dari 90°, maka Anda dapat mencari sudut minimum antar garis lurus L 1 dan L 2: φ 1 =180-φ .
Dari rumus (1.4) kita dapat menurunkan syarat kesejajaran dan tegak lurus dua garis lurus.
Contoh 1. Tentukan sudut antar garis
Mari sederhanakan dan selesaikan:
1.2. Syarat garis sejajar
Membiarkan φ =0. Kemudian cosφ=1. Dalam hal ini, ekspresi (1.4) akan berbentuk sebagai berikut:
| , |
| , |
Contoh 2: Tentukan apakah garis-garisnya sejajar
Persamaan (1.9) terpenuhi, oleh karena itu garis (1.10) dan (1.11) sejajar.
Menjawab. Garis (1.10) dan (1.11) sejajar.
1.3. Kondisi tegak lurus garis
Membiarkan φ =90°. Kemudian cosφ=0. Dalam hal ini, ekspresi (1.4) akan berbentuk sebagai berikut:
Contoh 3. Tentukan apakah garis-garis tersebut tegak lurus
Kondisi (1.13) terpenuhi, sehingga garis (1.14) dan (1.15) tegak lurus.
Menjawab. Garis (1.14) dan (1.15) tegak lurus.
Garis ditentukan oleh persamaan umum
1.4. Menentukan sudut antar garis lurus
Biarkan dua garis lurus L 1 dan L 2 diberikan persamaan umum
Dari definisi perkalian skalar dua vektor, kita peroleh:
Contoh 4. Temukan sudut antar garis
Mengganti nilai A 1 , B 1 , A 2 , B 2 in (1.23), kita mendapatkan:
Sudut ini lebih besar dari 90°. Mari kita cari sudut minimum antara garis lurus. Untuk melakukannya, kurangi sudut ini dari 180:
Sebaliknya kondisi garis sejajar L 1 dan L 2 setara dengan kondisi kolinearitas vektor N 1 dan N 2 dan dapat direpresentasikan seperti ini:
Persamaan (1.24) terpenuhi, oleh karena itu garis (1.26) dan (1.27) sejajar.
Menjawab. Garis (1.26) dan (1.27) sejajar.
1.6. Kondisi tegak lurus garis
Kondisi tegak lurus garis L 1 dan L 2 dapat diekstraksi dari rumus (1.20) dengan mensubstitusi karena(φ )=0. Kemudian produk skalar (N 1 ,N 2)=0. Di mana
Persamaan (1.28) terpenuhi, oleh karena itu garis (1.29) dan (1.30) tegak lurus.
Menjawab. Garis (1.29) dan (1.30) tegak lurus.
2. Sudut antar garis lurus dalam ruang
2.1. Menentukan sudut antar garis lurus
Biarkan ada garis lurus dalam ruang L 1 dan L 2 diberikan oleh persamaan kanonik
dimana | Q 1 | dan | Q 2 | modul vektor arah Q 1 dan Q 2 masing-masing, φ -sudut antar vektor Q 1 dan Q 2 .
Dari ekspresi (2.3) kita memperoleh:
 .
|
Mari sederhanakan dan selesaikan:
 .
|
Mari kita cari sudutnya φ
Oh-oh-oh-oh-oh... yah, sulit, seolah-olah dia sedang membacakan kalimat untuk dirinya sendiri =) Namun, relaksasi akan membantu nanti, apalagi hari ini saya membeli aksesoris yang sesuai. Oleh karena itu mari kita lanjutkan ke bagian pertama, semoga di akhir artikel suasana hati saya tetap ceria.
Posisi relatif dua garis
Hal ini terjadi ketika penonton ikut bernyanyi dalam paduan suara. Dua garis lurus bisa:
1) pertandingan;
2) sejajar: ;
3) atau berpotongan di satu titik: .
Bantuan untuk boneka : tolong ingat tanda matematika persimpangan, hal ini akan sangat sering terjadi. Notasi tersebut berarti garis tersebut berpotongan dengan garis di titik .
Bagaimana cara menentukan posisi relatif dua garis?
Mari kita mulai dengan kasus pertama:
Dua garis berhimpitan jika dan hanya jika koefisien-koefisien yang bersesuaian sebanding, yaitu ada bilangan “lambda” yang memenuhi persamaan tersebut
Mari kita perhatikan garis lurus dan buat tiga persamaan dari koefisien yang sesuai: . Oleh karena itu, dari setiap persamaan dapat disimpulkan bahwa garis-garis ini bertepatan.
Memang, jika semua koefisien persamaan 
kalikan dengan –1 (ubah tanda), dan semua koefisien persamaan 
dipotong 2, Anda mendapatkan persamaan yang sama: .
Kasus kedua, ketika garis-garisnya sejajar:
Dua garis sejajar jika dan hanya jika koefisien variabelnya sebanding: 
, Tetapi.
Sebagai contoh, perhatikan dua garis lurus. Kami memeriksa proporsionalitas koefisien yang sesuai untuk variabel: 
Namun, hal itu cukup jelas.
Dan kasus ketiga, ketika garis-garis tersebut berpotongan:
Dua garis berpotongan jika dan hanya jika koefisien variabelnya TIDAK proporsional, yaitu, TIDAK ada nilai “lambda” yang memenuhi persamaan tersebut 
Jadi, untuk garis lurus kita akan membuat sistem: 
Dari persamaan pertama maka , dan dari persamaan kedua: , yang artinya sistemnya tidak konsisten(tidak ada solusi). Dengan demikian, koefisien variabelnya tidak proporsional.
Kesimpulan: garis berpotongan
DI DALAM masalah praktis Anda dapat menggunakan skema solusi yang baru saja dibahas. Omong-omong, ini sangat mengingatkan pada algoritma untuk memeriksa kolinearitas vektor, yang kita lihat di kelas Konsep ketergantungan linier (dalam) vektor. Dasar vektor. Namun ada kemasan yang lebih beradab:
Contoh 1
Untuk mencari tahu pengaturan bersama langsung: 
Larutan berdasarkan kajian vektor pengarah garis lurus:
a) Dari persamaan kita mencari vektor arah garis: 
.
, artinya vektor-vektornya tidak segaris dan garis-garisnya berpotongan.
Untuk jaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan tanda di persimpangan jalan:
Sisanya melompati batu dan mengikuti lebih jauh, langsung ke Kashchei the Immortal =)
b) Temukan vektor arah garis: 
Garis-garis tersebut mempunyai vektor arah yang sama, artinya garis-garis tersebut sejajar atau berhimpitan. Tidak perlu menghitung determinannya di sini.
Jelaslah bahwa koefisien dari hal-hal yang tidak diketahui adalah proporsional, dan .
Mari kita cari tahu apakah persamaan tersebut benar: 
Dengan demikian,
c) Temukan vektor arah garis: 
Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor-vektor berikut: 
, oleh karena itu, vektor arahnya adalah segaris. Garis-garisnya sejajar atau berhimpitan.
Koefisien proporsionalitas “lambda” mudah dilihat langsung dari perbandingan vektor-vektor arah collinear. Namun, hal ini juga dapat ditemukan melalui koefisien persamaan itu sendiri: 
.
Sekarang mari kita cari tahu apakah persamaan itu benar. Kedua suku bebasnya adalah nol, jadi:
Nilai yang dihasilkan memuaskan persamaan ini(nomor berapa pun umumnya memenuhinya).
Jadi, garis-garisnya bertepatan.
Menjawab:
Segera Anda akan belajar (atau bahkan sudah belajar) untuk memecahkan masalah yang dibahas secara lisan hanya dalam hitungan detik. Dalam hal ini, saya tidak melihat ada gunanya menawarkan apa pun keputusan independen, lebih baik meletakkan batu bata penting lainnya di fondasi geometris:
Bagaimana cara membuat garis yang sejajar dengan garis tertentu?
Karena ketidaktahuan akan hal ini tugas paling sederhana Nightingale si Perampok menghukum dengan berat.
Contoh 2
Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tuliskan persamaan garis sejajar yang melalui suatu titik.
Larutan: Mari kita nyatakan garis yang tidak diketahui dengan huruf . Apa yang dikatakan kondisi tersebut tentang dirinya? Garis lurus melewati suatu titik. Dan jika garis-garisnya sejajar, maka jelas vektor arah garis lurus “tse” juga cocok untuk membuat garis lurus “de”.
Kita keluarkan vektor arah dari persamaan:
Menjawab:
Contoh geometri terlihat sederhana: 
Pengujian analitik terdiri dari langkah selanjutnya:
1) Kita periksa apakah garis-garis tersebut mempunyai vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak disederhanakan dengan baik, maka vektor-vektornya akan segaris).
2) Periksa apakah titik tersebut memenuhi persamaan yang dihasilkan.
Dalam kebanyakan kasus, pengujian analitis dapat dengan mudah dilakukan secara lisan. Lihatlah kedua persamaan tersebut, dan banyak dari Anda akan dengan cepat menentukan paralelisme garis tanpa menggambar apa pun.
Contoh solusi independen saat ini akan menjadi kreatif. Karena kamu masih harus bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, lho, pecinta segala macam teka-teki.
Contoh 3
Tuliskan persamaan garis yang melalui suatu titik yang sejajar dengan garis tersebut jika
Ada yang rasional dan ada yang tidak begitu rasional cara yang rasional solusi. Cara terpendek adalah di akhir pelajaran.
Kami bekerja sedikit dengan garis paralel dan akan kembali lagi nanti. Kasus garis-garis yang berhimpitan tidak begitu menarik, jadi mari kita pertimbangkan masalah yang sudah Anda kenal kurikulum sekolah:
Bagaimana cara mencari titik potong dua garis?
Jika lurus 
berpotongan di titik , maka koordinatnya adalah penyelesaiannya sistem persamaan linear 
Bagaimana cara mencari titik potong garis? Selesaikan sistem.
Ini dia makna geometris sistem dua persamaan linear dengan dua hal yang tidak diketahui- ini adalah dua garis yang berpotongan (paling sering) pada sebuah bidang.
Contoh 4
Temukan titik potong garis
Larutan: Ada dua cara untuk menyelesaikannya - grafis dan analitis.
Metode grafis adalah dengan menggambar garis-garis tertentu dan mencari titik potong langsung dari gambar: 
Inilah poin kami: . Untuk memeriksanya, Anda harus mengganti koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis, keduanya harus sesuai di sana dan di sana. Dengan kata lain, koordinat suatu titik merupakan solusi sistem. Pada dasarnya, kami melihat solusi grafis sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.
Metode grafis, tentu saja, tidak buruk, tetapi ada kelemahan yang nyata. Bukan, intinya bukan siswa kelas tujuh yang memutuskan seperti itu, intinya butuh waktu untuk membuat gambar yang benar dan AKURAT. Selain itu, beberapa garis lurus tidak begitu mudah untuk dibuat, dan titik perpotongannya mungkin terletak di suatu tempat di kerajaan ketiga puluh di luar lembar buku catatan.
Oleh karena itu, lebih bijaksana untuk mencari titik persimpangan metode analitis. Mari kita selesaikan sistemnya: 
Untuk menyelesaikan sistem tersebut digunakan metode penjumlahan persamaan suku demi suku. Untuk mengembangkan keterampilan yang relevan, ambillah pelajaran Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan?
Menjawab:
Pemeriksaannya sepele - koordinat titik potong harus memenuhi setiap persamaan sistem.
Contoh 5
Temukan titik potong garis-garis tersebut jika garis-garis tersebut berpotongan.
Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Akan lebih mudah untuk membagi tugas menjadi beberapa tahap. Analisis kondisi menunjukkan perlunya:
1) Tuliskan persamaan garis lurus.
2) Buatlah persamaan garis lurus.
3) Cari tahu posisi relatif garis-garis tersebut.
4) Jika garis-garis tersebut berpotongan, tentukan titik potongnya.
Pengembangan algoritma tindakan merupakan hal yang biasa bagi banyak orang masalah geometri, dan saya akan berulang kali fokus pada hal ini.
Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran:
Bahkan sepasang sepatu pun tidak rusak sebelum kita sampai pada bagian kedua dari pelajaran ini:
Garis tegak lurus. Jarak suatu titik ke suatu garis.
Sudut antar garis lurus
Mari kita mulai dengan yang khas dan sangat tugas penting. Pada bagian pertama, kita belajar cara membuat garis lurus sejajar dengan garis ini, dan sekarang gubuk di atas kaki ayam akan berubah 90 derajat:
Bagaimana cara membuat garis yang tegak lurus terhadap garis tertentu?
Contoh 6
Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tuliskan persamaan tegak lurus garis yang melalui titik tersebut.
Larutan: Dengan syarat diketahui bahwa . Akan menyenangkan untuk menemukan vektor pengarah garis. Karena garisnya tegak lurus, triknya sederhana:
Dari persamaan tersebut kita “menghilangkan” vektor normal: , yang akan menjadi vektor pengarah garis lurus.
Mari kita buat persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah:
Menjawab: 
Mari kita perluas sketsa geometrisnya:
Hmmm... Langit oranye, laut oranye, unta oranye.
Verifikasi analitis dari solusi:
1) Kami mengambil vektor arah dari persamaan 
dan dengan bantuan produk skalar vektor kita sampai pada kesimpulan bahwa garis-garis tersebut memang tegak lurus: .
Omong-omong, Anda bisa menggunakan vektor normal, bahkan lebih mudah.
2) Periksa apakah titik tersebut memenuhi persamaan yang dihasilkan 
.
Tes ini, sekali lagi, mudah dilakukan secara lisan.
Contoh 7
Temukan titik potong garis tegak lurus jika persamaannya diketahui 
dan titik.
Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Ada beberapa tindakan dalam masalah ini, sehingga akan lebih mudah untuk merumuskan solusi poin demi poin.
Perjalanan menarik kami berlanjut:
Jarak dari titik ke garis
Kami memiliki aliran sungai yang lurus di depan kami dan tugas kami adalah mencapainya melalui jalur terpendek. Tidak ada hambatan, dan rute yang paling optimal adalah bergerak secara tegak lurus. Artinya, jarak suatu titik ke suatu garis adalah panjang ruas tegak lurus tersebut.
Jarak dalam geometri secara tradisional dilambangkan surat Yunani“ro”, contoh: – jarak titik “em” ke garis lurus “de”.
Jarak dari titik ke garis 
dinyatakan dengan rumus
Contoh 8
Temukan jarak dari suatu titik ke garis 
Larutan: yang perlu Anda lakukan hanyalah mengganti angka-angka tersebut dengan hati-hati ke dalam rumus dan melakukan perhitungan:
Menjawab: 
Mari kita membuat gambarnya: 
Jarak yang didapat dari titik ke garis sama persis dengan panjang ruas merah. Jika Anda menggambar kertas kotak-kotak dalam skala 1 satuan. = 1 cm (2 sel), maka jaraknya dapat diukur dengan penggaris biasa.
Mari pertimbangkan tugas lain berdasarkan gambar yang sama:
Tugasnya adalah mencari koordinat suatu titik yang simetris terhadap titik tersebut terhadap garis lurus 
. Saya sarankan melakukan langkah-langkahnya sendiri, tetapi saya akan menguraikan algoritma solusinya hasil antara:
1) Carilah garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut.
2) Temukan titik potong garis: 
.
Kedua tindakan tersebut dibahas secara rinci dalam pelajaran ini.
3) Titik adalah titik tengah ruas tersebut. Kita mengetahui koordinat tengah dan salah satu ujungnya. Oleh rumus koordinat titik tengah suatu ruas kami menemukan.
Sebaiknya periksa apakah jaraknya juga 2,2 satuan.
Kesulitan mungkin timbul dalam perhitungan di sini, tetapi mikrokalkulator sangat membantu menara, memungkinkan Anda menghitung pecahan biasa. Saya telah menasihati Anda berkali-kali dan akan merekomendasikan Anda lagi.
Bagaimana cara mencari jarak antara dua garis sejajar?
Contoh 9
Temukan jarak antara dua garis sejajar
Ini adalah contoh lain untuk Anda putuskan sendiri. Saya akan memberi Anda sedikit petunjuk: ada banyak cara untuk menyelesaikan masalah ini. Pembekalan di akhir pelajaran, tapi lebih baik coba tebak sendiri, menurut saya kecerdikan Anda sudah berkembang dengan baik.
Sudut antara dua garis lurus
Setiap sudut adalah kusen: 
Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus dianggap sudut yang LEBIH KECIL, sehingga otomatis tidak mungkin tumpul. Pada gambar, sudut yang ditunjukkan oleh busur merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis yang berpotongan. Dan tetangganya yang “hijau” atau berorientasi berlawanan sudut "raspberry".
Jika garis-garisnya tegak lurus, maka salah satu dari 4 sudut tersebut dapat diambil sebagai sudut di antara keduanya.
Bagaimana perbedaan sudutnya? Orientasi. Pertama, arah “gulir” sudut adalah hal yang sangat penting. Kedua, sudut yang berorientasi negatif ditulis dengan tanda minus, misalnya .
Mengapa aku memberitahumu hal ini? Tampaknya kita dapat bertahan dengan konsep sudut yang biasa. Faktanya adalah rumus yang digunakan untuk mencari sudut dapat dengan mudah memberikan hasil negatif, dan ini tidak akan mengejutkan Anda. Sudut dengan tanda minus juga tidak lebih buruk, dan memiliki arti geometris yang sangat spesifik. Pada gambar, untuk sudut negatif, pastikan untuk menunjukkan orientasinya dengan panah (searah jarum jam).
Bagaimana cara mencari sudut antara dua garis lurus? Ada dua rumus kerja:
Contoh 10
Temukan sudut antar garis
Larutan Dan Metode satu
Misalkan dua garis lurus, diberikan oleh persamaan V pandangan umum:
Jika lurus tidak tegak lurus, Itu berorientasi Sudut antara keduanya dapat dihitung dengan menggunakan rumus: 
Mari kita perhatikan baik-baik penyebutnya - inilah tepatnya produk skalar mengarahkan vektor garis lurus:
Jika , maka penyebut rumusnya menjadi nol, vektor-vektornya ortogonal dan garis-garisnya tegak lurus. Oleh karena itu dibuat reservasi tentang garis lurus yang tidak tegak lurus dalam formulasinya.
Berdasarkan penjelasan di atas, akan lebih mudah untuk memformalkan solusi dalam dua langkah:
1) Mari kita hitung hasil kali skalar dari vektor-vektor arah garis:
, yang berarti garis-garisnya tidak tegak lurus.
2) Carilah sudut antar garis lurus dengan rumus:
Dengan menggunakan fungsi terbalik Sangat mudah untuk menemukan sudutnya sendiri. Dalam hal ini, kami menggunakan keanehan garis singgung busur (lihat. Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar):
Menjawab: 
Dalam jawabannya kami menunjukkan nilai yang tepat, serta nilai perkiraan (sebaiknya dalam derajat dan radian), dihitung menggunakan kalkulator.
Ya, minus, minus, bukan masalah besar. Berikut adalah ilustrasi geometris: 
Tidak mengherankan jika sudut ternyata mempunyai orientasi negatif, karena dalam rumusan masalah bilangan pertama adalah garis lurus dan “pelepasan” sudut justru dimulai dari situ.
Jika memang ingin mendapatkan sudut positif, Anda perlu menukar garisnya, yaitu mengambil koefisien dari persamaan kedua 
, dan ambil koefisien dari persamaan pertama. Singkatnya, Anda harus memulai dengan langsung 
.
Biarkan garis lurus diberikan dalam ruang aku Dan M. Melalui suatu titik A dalam ruang kita menggambar garis lurus aku 1 || aku Dan M 1 || M(Gbr. 138).
Perhatikan bahwa titik A dapat dipilih secara sembarang, khususnya, titik tersebut dapat terletak pada salah satu garis ini. Jika lurus aku Dan M berpotongan, maka A dapat diambil sebagai titik potong garis-garis tersebut ( aku 1 = aku Dan M 1 = m).
Sudut antar garis yang tidak sejajar aku Dan M adalah nilai sudut terkecil yang berdekatan yang dibentuk oleh garis-garis yang berpotongan aku 1 Dan M 1 (aku 1 || aku, M 1 || M). Sudut antara garis sejajar dianggap sama dengan nol.
Sudut antar garis lurus aku Dan M dinotasikan dengan \(\widehat((l;m))\). Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa jika diukur dalam derajat, maka 0° < \(\topi lebar((l;m)) \) < 90°, dan jika dalam radian, maka 0 < \(\topi lebar((l;m)) \) < π / 2 .
Tugas. Diberikan sebuah kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Gbr. 139).
Tentukan sudut antara garis lurus AB dan DC 1.
Garis lurus AB dan DC 1 berpotongan. Karena garis lurus DC sejajar dengan garis lurus AB, maka sudut antara garis lurus AB dan DC 1 menurut definisinya sama dengan \(\widehat(C_(1)DC)\).
Oleh karena itu, \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.
Langsung aku Dan M disebut tegak lurus, jika \(\topi lebar((l;m)) \) = π / 2. Misalnya saja dalam sebuah kubus
Perhitungan sudut antar garis lurus.
Masalah menghitung sudut antara dua garis lurus dalam ruang diselesaikan dengan cara yang sama seperti pada bidang. Mari kita nyatakan dengan φ besar sudut antar garis aku 1 Dan aku 2, dan melalui ψ - besarnya sudut antara vektor arah A Dan B garis lurus ini.
Lalu jika
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Gbr. 206.6), maka φ = 180° - ψ. Jelasnya, dalam kedua kasus persamaan cos φ = |cos ψ| adalah benar. Menurut rumus (kosinus sudut antara vektor bukan nol a dan b sama dengan hasil kali skalar vektor-vektor tersebut dibagi dengan hasil kali panjangnya) kita mempunyai
$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$
karena itu,
$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$
Biarkan garis-garis tersebut diberikan oleh persamaan kanoniknya
$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Dan \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$
Kemudian sudut φ antar garis ditentukan dengan menggunakan rumus
$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$
Jika salah satu garis (atau keduanya) diberikan oleh persamaan non-kanonik, maka untuk menghitung sudut Anda perlu mencari koordinat vektor arah garis-garis tersebut, dan kemudian menggunakan rumus (1).
Tugas 1. Hitung sudut antar garis
$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;dan\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$
Vektor arah garis lurus memiliki koordinat:
a = (-√2 ; √2 ; -2), B = (√3 ; √3 ; √6 ).
Menggunakan rumus (1) kita temukan
$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$
Jadi, sudut antara garis-garis tersebut adalah 60°.
Tugas 2. Hitung sudut antar garis
$$ \begin(kasus)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(kasus) dan \begin(kasus)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(kasus) $$
Di belakang vektor panduan A ambil garis lurus pertama produk vektor vektor biasa N 1 = (3; 0; -12) dan N 2 = (1; 1; -3) bidang yang membatasi garis ini. Dengan menggunakan rumus \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) kita peroleh
$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$
Demikian pula, kita menemukan vektor arah garis lurus kedua:
$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$
Tetapi dengan menggunakan rumus (1) kita menghitung kosinus sudut yang diinginkan:
$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$
Jadi, sudut antara garis-garis tersebut adalah 90°.
Tugas 3. DI DALAM piramida segitiga Tepi MABC MA, MB dan MS saling tegak lurus (Gbr. 207);
panjangnya masing-masing 4, 3, 6. Titik D adalah [MA] tengah. Tentukan sudut φ antara garis CA dan DB.
Misalkan CA dan DB adalah vektor arah garis lurus CA dan DB.
Mari kita ambil titik M sebagai titik asal koordinat. Berdasarkan kondisi persamaan kita memiliki A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Oleh karena itu \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Mari kita gunakan rumus (1):
$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$
Dengan menggunakan tabel kosinus, kita mengetahui bahwa sudut antara garis lurus CA dan DB kira-kira 72°.
Misalkan dua garis lurus l dan m pada suatu bidang masuk sistem kartesius koordinat diberikan oleh persamaan umum: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
Vektor normal pada garis berikut: = (A 1 , B 1) – ke garis l,
= (A 2 , B 2) – ke garis m.
Misalkan j adalah sudut antara garis l dan m.
Karena sudut-sudutnya saling menguntungkan sisi tegak lurus sama atau berjumlah p, lalu 
, yaitu cos j = .
Jadi, kami telah membuktikan teorema berikut.
Dalil. Misal j adalah sudut antara dua garis pada bidang, dan misalkan garis-garis tersebut ditentukan dalam sistem koordinat Kartesius dengan persamaan umum A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Maka cos j = 
.
Latihan.
1) Turunkan rumus menghitung sudut antar garis lurus jika:
(1) kedua garis ditentukan secara parametrik; (2) kedua garis diberikan oleh persamaan kanonik; (3) satu garis ditentukan secara parametrik, garis lainnya ditentukan dengan persamaan umum; (4) kedua garis diberikan oleh persamaan dengan koefisien sudut.
2) Misalkan j adalah sudut antara dua garis lurus pada suatu bidang, dan biarkan garis lurus tersebut didefinisikan dalam sistem koordinat Kartesius dengan persamaan y = k 1 x + b 1 dan y =k 2 x + b 2 .
Maka tan j = .
3) Jelajahi posisi relatif dua garis lurus, yang diberikan oleh persamaan umum dalam sistem koordinat Cartesian, dan isi tabelnya:
Jarak suatu titik ke garis lurus pada suatu bidang.
Misalkan garis lurus l pada suatu bidang dalam sistem koordinat kartesius diberikan oleh persamaan umum Ax + By + C = 0. Mari kita cari jarak dari titik M(x 0 , y 0) ke garis lurus l.
Jarak titik M ke garis lurus l adalah panjang tegak lurus HM (H О l, HM ^ l).
Vektor dan vektor normal terhadap garis l segaris, jadi | | = | | | | dan | | = .
Misalkan koordinat titik H adalah (x,y).
Karena titik H termasuk dalam garis l, maka Ax + By + C = 0 (*).
Koordinat vektor dan : = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).
| | = 
= 
= 
(C = -Ax - Oleh, lihat (*))
Dalil. Misalkan garis lurus l ditentukan dalam sistem koordinat kartesius dengan persamaan umum Ax + By + C = 0. Maka jarak dari titik M(x 0 , y 0) ke garis lurus tersebut dihitung dengan rumus: r ( M; aku) = .
Latihan.
1) Turunkan rumus untuk menghitung jarak suatu titik ke suatu garis jika: (1) garis tersebut diberikan secara parametrik; (2) garis lurus diberikan persamaan kanonik; (3) garis lurus diberikan oleh persamaan dengan koefisien sudut.
2) Tuliskan persamaan lingkaran yang bersinggungan dengan garis 3x – y = 0, yang berpusat di titik Q(-2,4).
3) Tuliskan persamaan garis yang membagi sudut yang dibentuk oleh perpotongan garis 2x + y - 1 = 0 dan x + y + 1 = 0, menjadi dua.
§ 27. Tugas analitis pesawat di luar angkasa
Definisi. Vektor normal ke bidang kami akan menelepon vektor bukan nol, perwakilan mana pun yang tegak lurus terhadap bidang tertentu.
Komentar. Jelas bahwa jika paling sedikit satu wakil vektor tegak lurus terhadap bidang, maka semua wakil vektor lainnya tegak lurus terhadap bidang tersebut.
Biarkan sistem koordinat Cartesian diberikan dalam ruang.
Misalkan sebuah bidang diberikan, = (A, B, C) – vektor normal bidang ini, titik M (x 0 , y 0 , z 0) termasuk dalam bidang a.
Untuk setiap titik N(x, y, z) pada bidang a, vektor-vektor dan bersifat ortogonal, yaitu hasil kali skalarnya sama dengan nol: = 0. Mari kita tuliskan persamaan terakhir dalam koordinat: A(x - x 0 ) + B(kamu - kamu 0) + C(z - z 0) = 0.
Misalkan -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, maka Ax + By + Cz + D = 0.
Mari kita ambil titik K (x, y) sedemikian rupa sehingga Ax + By + Cz + D = 0. Karena D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0, maka SEBUAH(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Karena koordinat ruas berarah = (x - x 0, y - y 0, z - z 0), persamaan terakhir berarti ^, dan oleh karena itu, K О a.
Jadi, kami telah membuktikan teorema berikut:
Dalil. Setiap bidang dalam ruang dalam sistem koordinat kartesius dapat ditentukan dengan persamaan berbentuk Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), dimana (A, B, C) adalah koordinat vektor normal ke bidang ini.
Hal sebaliknya juga terjadi.
Dalil. Persamaan apa pun yang berbentuk Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) dalam sistem koordinat Kartesius menentukan bidang tertentu, dan (A, B, C) adalah koordinat garis normal vektor ke bidang ini.
Bukti.
Ambil titik M (x 0 , y 0 , z 0) sedemikian sehingga Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 dan vektor = (A, B, C) ( ≠ q).
Sebuah bidang (dan hanya satu) melewati titik M tegak lurus terhadap vektor. Berdasarkan teorema sebelumnya, bidang ini diberikan oleh persamaan Ax + By + Cz + D = 0.
Definisi. Persamaan yang berbentuk Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) disebut persamaan bidang umum.
Contoh.
Mari kita tulis persamaan bidang yang melalui titik M (0,2,4), N (1,-1,0) dan K (-1,0,5).
1. Carilah koordinat vektor normal bidang (MNK). Karena hasil kali vektor ´ ortogonal terhadap vektor-vektor yang tidak segaris dan , maka vektor tersebut adalah segaris ´ .
= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);
´ = 
,
´ = (-11, 3, -5).
Jadi sebagai vektor normal kita ambil vektor = (-11, 3, -5).
2. Sekarang mari kita gunakan hasil teorema pertama:
persamaan bidang ini A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, dimana (A, B, C) adalah koordinat vektor normal, (x 0 , kamu 0 , z 0) – koordinat suatu titik yang terletak pada bidang (misalnya titik M).
11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0
11x + 3y – 5z + 14 = 0
Jawaban: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.
Latihan.
1) Tulis persamaan bidang jika
(1) bidang melewati titik M (-2,3,0) sejajar bidang 3x + y + z = 0;
(2) bidang tersebut memuat sumbu (Ox) dan tegak lurus terhadap bidang x + 2y – 5z + 7 = 0.
2) Tuliskan persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu.
§ 28. Definisi analitis dari setengah ruang*
Komentar*. Biarkan beberapa pesawat diperbaiki. Di bawah setengah ruang kita akan memahami himpunan titik-titik yang terletak pada salah satu sisi suatu bidang tertentu, yaitu dua titik terletak pada setengah ruang yang sama jika ruas yang menghubungkan keduanya tidak memotong bidang tersebut. Pesawat ini disebut perbatasan setengah ruang ini. Penyatuan bidang dan setengah ruang ini akan disebut setengah ruang tertutup.
Biarkan sistem koordinat Cartesius ditetapkan dalam ruang.
Dalil. Misalkan bidang a diberikan oleh persamaan umum Ax + By + Cz + D = 0. Maka salah satu dari dua setengah ruang di mana bidang a membagi ruang tersebut diberikan oleh pertidaksamaan Ax + By + Cz + D > 0 , dan separuh ruang kedua diberikan oleh pertidaksamaan Ax + By + Cz + D< 0.
Bukti.
Mari kita plot vektor normal = (A, B, C) ke bidang a dari titik M (x 0 , y 0 , z 0) yang terletak pada bidang ini: = , M О a, MN ^ a. Bidang tersebut membagi ruang menjadi dua setengah ruang: b 1 dan b 2. Jelas bahwa titik N termasuk dalam salah satu dari setengah ruang ini. Tanpa kehilangan keumumannya, kita asumsikan bahwa N О b 1 .
Mari kita buktikan bahwa setengah ruang b 1 ditentukan oleh pertidaksamaan Ax + By + Cz + D > 0.
1) Ambil satu titik K(x,y,z) di setengah ruang b 1 . Sudut Ð NMK adalah sudut antara vektor dan - lancip, sehingga hasil kali skalar vektor-vektor tersebut positif: > 0. Mari kita tuliskan pertidaksamaan ini dalam koordinat: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, yaitu Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.
Karena M О b 1, maka Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, maka -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Oleh karena itu, pertidaksamaan terakhir dapat ditulis sebagai berikut: Ax + By + Cz + D > 0.
2) Ambil titik L(x,y) sedemikian sehingga Ax + By + Cz + D > 0.
Mari kita tulis ulang pertidaksamaan tersebut dengan mengganti D dengan (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (karena M О b 1, maka Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) + B(kamu - kamu 0) + C(z - z 0) > 0.
Vektor dengan koordinat (x - x 0,y - y 0, z - z 0) adalah vektor, jadi persamaannya A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) dapat dipahami , sebagai produk skalar vektor dan . Karena hasil kali skalar vektor dan adalah positif, maka sudut antara keduanya adalah lancip dan titik L О b 1 .
Demikian pula, kita dapat membuktikan bahwa setengah ruang b 2 diberikan oleh pertidaksamaan Ax + By + Cz + D< 0.
Catatan.
1) Jelas bahwa pembuktian di atas tidak bergantung pada pilihan titik M pada bidang a.
2) Jelas bahwa setengah ruang yang sama dapat ditentukan oleh ketidaksetaraan yang berbeda.
Hal sebaliknya juga terjadi.
Dalil. Pertidaksamaan linier apa pun berbentuk Ax + By + Cz + D > 0 (atau Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.
Bukti.
Persamaan Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) dalam ruang mendefinisikan bidang tertentu a (lihat ...). Seperti yang telah dibuktikan pada teorema sebelumnya, salah satu dari dua setengah ruang yang menjadi tempat bidang membagi ruang diberikan oleh pertidaksamaan Ax Ax + By + Cz + D > 0.
Catatan.
1) Jelas bahwa setengah ruang tertutup dapat didefinisikan sebagai pertidaksamaan linier tidak ketat, dan setiap pertidaksamaan linier tidak ketat dalam sistem koordinat Kartesius mendefinisikan setengah ruang tertutup.
2) Setiap polihedron cembung dapat didefinisikan sebagai perpotongan setengah ruang tertutup (batasnya adalah bidang yang memuat permukaan polihedron), yaitu, secara analitis - dengan sistem pertidaksamaan linier tidak tegas.
Latihan.
1) Buktikan kedua teorema yang disajikan secara sembarang sistem affine koordinat
2) Apakah benar yang terjadi sebaliknya, bahwa sistem apa pun tidak ketat kesenjangan linier mendefinisikan poligon cembung?
Latihan.1) Selidiki posisi relatif dua bidang yang ditentukan oleh persamaan umum dalam sistem koordinat Cartesian dan isi tabelnya.
