Volume limas segitiga beraturan melalui tepi lateral. Volume limas segitiga. Rumus dan contoh penyelesaian masalah. Apa ini

Salah satu bangun tiga dimensi yang paling sederhana adalah limas segitiga, karena ia terdiri dari jumlah muka paling sedikit yang dapat membentuk suatu bangun di ruang angkasa. Pada artikel ini kita akan melihat rumus yang dapat digunakan untuk mencari volume piramida segitiga beraturan.

Piramida segitiga

Menurut definisi umum, piramida adalah suatu poligon yang semua simpulnya terhubung pada satu titik yang tidak terletak pada bidang poligon tersebut. Jika yang terakhir adalah segitiga, maka keseluruhan bangunnya disebut limas segitiga.

Piramida yang dimaksud terdiri dari alas (segitiga) dan tiga sisi sisinya (segitiga). Titik pertemuan ketiga sisi sisinya disebut titik sudut suatu bangun datar. Garis tegak lurus dari titik sudut ini ke alas adalah tinggi limas. Jika titik potong garis tegak lurus dengan alasnya bertepatan dengan titik potong median segitiga di alasnya, maka kita berbicara tentang piramida beraturan. Jika tidak, maka akan menjadi miring.

Seperti yang telah disebutkan, alas limas segitiga dapat berupa jenis segitiga umum. Namun, jika berbentuk sama sisi, dan piramida itu sendiri lurus, maka mereka berbicara tentang bangun tiga dimensi beraturan.

Setiap piramida segitiga memiliki 4 sisi, 6 sisi, dan 4 titik sudut. Jika panjang semua sisinya sama, maka bangun tersebut disebut tetrahedron.

tipe umum

Sebelum menuliskan piramida segitiga beraturan, kita akan memberikan ekspresi besaran fisis untuk piramida tipe umum. Ungkapan ini terlihat seperti:

Di sini S o adalah luas alasnya, h adalah tinggi bangunnya. Persamaan ini berlaku untuk semua jenis alas poligon piramida, serta untuk kerucut. Jika pada alasnya terdapat segitiga dengan panjang sisi a dan tinggi h o diturunkan ke atasnya, maka rumus volume ditulis sebagai berikut:

Rumus volume limas segitiga beraturan

Piramida segitiga beraturan mempunyai segitiga sama sisi pada alasnya. Diketahui bahwa tinggi segitiga tersebut berhubungan dengan panjang sisinya dengan persamaan:

Mengganti ungkapan ini ke dalam rumus volume limas segitiga yang ditulis pada paragraf sebelumnya, kita memperoleh:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Volume limas beraturan yang alasnya berbentuk segitiga merupakan fungsi dari panjang sisi alas dan tinggi bangunnya.

Karena poligon beraturan apa pun dapat dimasukkan ke dalam lingkaran, yang jari-jarinya secara unik akan menentukan panjang sisi poligon, maka rumus ini dapat ditulis dalam radius r yang sesuai:

Rumus ini dapat dengan mudah diperoleh dari rumus sebelumnya, jika kita memperhitungkan bahwa jari-jari r lingkaran yang dibatasi melalui panjang sisi a segitiga ditentukan oleh persamaan:

Masalah menentukan volume tetrahedron

Kami akan menunjukkan cara menggunakan rumus di atas saat menyelesaikan masalah geometri tertentu.

Diketahui sebuah tetrahedron mempunyai panjang rusuk 7 cm. Hitunglah volume piramida-tetrahedron berbentuk segitiga beraturan.

Ingatlah bahwa tetrahedron adalah bilangan beraturan yang semua basanya sama satu sama lain. Untuk menggunakan rumus volume segitiga, Anda perlu menghitung dua besaran:

panjang sisi segitiga;
tinggi gambar.

Besaran pertama diketahui dari kondisi masalah:

Untuk menentukan tingginya, perhatikan gambar yang ditunjukkan pada gambar.

Segitiga ABC yang diberi tanda merupakan segitiga siku-siku, yang sudut ABC-nya 90 o. Sisi AC adalah sisi miring dan panjangnya a. Dengan menggunakan penalaran geometri sederhana, kita dapat menunjukkan bahwa sisi BC mempunyai panjang:

Perhatikan bahwa panjang BC adalah jari-jari lingkaran yang mengelilingi segitiga.

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).

Sekarang Anda dapat mengganti h dan a ke dalam rumus volume yang sesuai:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Jadi, kita telah memperoleh rumus volume tetrahedron. Dapat dilihat bahwa volume hanya bergantung pada panjang rusuknya. Jika kita mengganti nilai dari kondisi masalah ke dalam ekspresi, maka kita mendapatkan jawabannya:

V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm 3.

Jika kita membandingkan nilai ini dengan volume kubus yang rusuknya sama, kita mendapati bahwa volume tetrahedron adalah 8,5 kali lebih kecil. Hal ini menunjukkan bahwa tetrahedron merupakan sosok kompak yang terdapat pada beberapa bahan alam. Misalnya, molekul metana memiliki bentuk tetrahedral, dan setiap atom karbon dalam berlian dihubungkan dengan empat atom lainnya membentuk tetrahedron.

Masalah piramida homotetis

Mari kita selesaikan satu masalah geometri yang menarik. Misalkan terdapat sebuah limas beraturan berbentuk segitiga dengan volume tertentu V 1. Berapa kali ukuran gambar ini harus diperkecil agar diperoleh piramida homotetis yang volumenya tiga kali lebih kecil dari aslinya?

Mari kita mulai menyelesaikan soal dengan menulis rumus piramida beraturan asli:

V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .

Misalkan volume bangun yang diperlukan oleh kondisi masalah diperoleh dengan mengalikan parameternya dengan koefisien k. Kami memiliki:

V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .

Karena perbandingan volume bangun-bangun diketahui dari kondisi, maka diperoleh nilai koefisien k:

k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.

Perhatikan bahwa kita akan memperoleh nilai koefisien k yang serupa untuk jenis piramida apa pun, dan tidak hanya untuk piramida segitiga biasa.

Ciri utama bangun geometri di ruang angkasa adalah volumenya. Pada artikel ini kita akan melihat apa itu limas yang alasnya berbentuk segitiga, dan kami juga akan menunjukkan cara mencari volume limas segitiga - penuh beraturan dan terpotong.

Apa ini - piramida segitiga?

Semua orang pernah mendengar tentang piramida Mesir kuno, tetapi piramida itu berbentuk segi empat biasa, bukan segitiga. Mari kita jelaskan cara mendapatkan limas segitiga.

Mari kita ambil sebuah segitiga sembarang dan hubungkan semua simpulnya dengan suatu titik yang terletak di luar bidang segitiga ini. Gambar yang dihasilkan akan disebut piramida segitiga. Hal ini ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Seperti yang Anda lihat, bangun datar yang dimaksud dibentuk oleh empat buah segitiga yang pada umumnya berbeda-beda. Setiap segitiga adalah sisi-sisi piramida atau wajahnya. Piramida ini sering disebut tetrahedron, yaitu bangun tiga dimensi tetrahedral.

Selain sisi, limas juga memiliki tepi (ada 6) dan simpul (4).

dengan alas segitiga

Suatu bangun datar yang diperoleh dengan menggunakan segitiga sembarang dan suatu titik dalam ruang pada umumnya akan menjadi limas miring tidak beraturan. Sekarang bayangkan segitiga asal mempunyai sisi-sisi yang sama, dan sebuah titik dalam ruang terletak tepat di atas pusat geometrinya pada jarak h dari bidang segitiga. Piramida yang dibangun menggunakan data awal ini adalah benar.

Jelasnya, jumlah rusuk, sisi, dan simpul pada limas segitiga beraturan akan sama dengan jumlah limas yang dibangun dari segitiga sembarang.

Namun, angka yang benar memiliki beberapa ciri khas:

tingginya yang ditarik dari titik sudut akan memotong tepat alas di pusat geometri (titik potong median);
permukaan lateral piramida tersebut dibentuk oleh tiga segitiga identik, yaitu sama kaki atau sama sisi.

Piramida segitiga beraturan bukan hanya objek geometris yang murni teoretis. Beberapa struktur di alam memiliki bentuknya sendiri, misalnya kisi kristal berlian, tempat atom karbon dihubungkan ke empat atom yang sama melalui ikatan kovalen, atau molekul metana, yang puncak piramidanya dibentuk oleh atom hidrogen.

piramida segitiga

Anda dapat menentukan volume piramida apa pun dengan n-gon sembarang di alasnya menggunakan ekspresi berikut:

Di sini simbol S o menunjukkan luas alasnya, h adalah tinggi bangun yang ditarik ke alas yang ditandai dari puncak limas.

Karena luas segitiga sembarang sama dengan setengah hasil kali panjang sisinya a dan apotema h a yang dijatuhkan pada sisi tersebut, maka rumus volume limas segitiga dapat dituliskan dalam bentuk berikut:

V = 1/6 × a × h a × h

Untuk tipe umum, menentukan ketinggian bukanlah tugas yang mudah. Cara mengatasinya paling mudah adalah dengan menggunakan rumus jarak antara titik (titik) dan bidang (alas segitiga) yang dinyatakan dengan persamaan umum.

Kalau yang benar, mempunyai tampilan yang spesifik. Luas alas (segitiga sama sisi) sama dengan:

Menggantinya ke dalam ekspresi umum untuk V, kita mendapatkan:

V = √3/12 × a 2 × jam

Kasus khusus adalah situasi ketika semua sisi tetrahedron ternyata merupakan segitiga sama sisi yang identik. Dalam hal ini, volumenya hanya dapat ditentukan berdasarkan pengetahuan tentang parameter tepinya a. Ekspresi yang sesuai terlihat seperti:

Piramida terpotong

Jika bagian atas yang memuat titik sudut dipotong dari limas segitiga beraturan, diperoleh gambar terpotong. Berbeda dengan yang asli, ia akan terdiri dari dua alas segitiga sama sisi dan tiga trapesium sama kaki.

Foto di bawah ini menunjukkan seperti apa bentuk piramida segitiga terpotong biasa yang terbuat dari kertas.

Untuk menentukan volume limas segitiga terpotong, Anda perlu mengetahui tiga ciri liniernya: masing-masing sisi alasnya dan tinggi bangunnya, sama dengan jarak antara alas atas dan bawah. Rumus volume yang sesuai ditulis sebagai berikut:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Di sini h adalah tinggi bangun, A dan a adalah panjang sisi segitiga sama sisi besar (bawah) dan kecil (atas).

Solusi masalah

Untuk memperjelas informasi dalam artikel kepada pembaca, kami akan menunjukkan dengan contoh yang jelas bagaimana menggunakan beberapa rumus tertulis.

Misalkan volume limas segitiga tersebut adalah 15 cm 3 . Diketahui angka tersebut benar. Apotema a b rusuk lateral harus dicari jika diketahui tinggi limas adalah 4 cm.

Karena volume dan tinggi suatu bangun diketahui, Anda dapat menggunakan rumus yang sesuai untuk menghitung panjang sisi alasnya. Kami memiliki:

V = √3/12 × a 2 × jam =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm

a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 cm

Panjang apotema gambar yang dihitung ternyata lebih besar dari tingginya, hal ini berlaku untuk semua jenis piramida.

Piramida adalah polihedron dengan poligon di dasarnya. Semua wajah, pada gilirannya, membentuk segitiga yang bertemu di satu titik sudut. Piramida berbentuk segitiga, segi empat, dan sebagainya. Untuk menentukan piramida mana yang ada di depan Anda, cukup menghitung jumlah sudut pada alasnya. Pengertian “ketinggian limas” sangat sering dijumpai pada permasalahan geometri dalam kurikulum sekolah. Pada artikel ini kami akan mencoba melihat berbagai cara untuk menemukannya.

Bagian dari piramida

Setiap piramida terdiri dari elemen-elemen berikut:

sisi samping, yang memiliki tiga sudut dan menyatu di bagian atas;
apotema mewakili ketinggian yang turun dari puncaknya;
puncak limas adalah titik yang menghubungkan rusuk-rusuk samping, tetapi tidak terletak pada bidang alasnya;
alasnya adalah poligon yang titik puncaknya tidak terletak;
tinggi limas adalah ruas yang memotong puncak limas dan membentuk sudut siku-siku dengan alasnya.

Cara mencari tinggi limas jika volumenya diketahui

Melalui rumus V = (S*h)/3 (dalam rumus V adalah volume, S adalah luas alas, h adalah tinggi limas) kita mengetahui bahwa h = (3*V)/ S. Untuk memantapkan materi, mari kita segera selesaikan masalahnya. Luas alas segitiga adalah 50 cm 2 , sedangkan volumenya 125 cm 3 . Ketinggian limas segitiga tidak diketahui, itulah yang perlu kita cari. Semuanya sederhana di sini: kami memasukkan data ke dalam rumus kami. Kita peroleh h = (3*125)/50 = 7,5 cm.

Cara mencari tinggi limas jika diketahui panjang diagonal dan rusuknya

Seperti yang kita ingat, tinggi limas membentuk sudut siku-siku dengan alasnya. Artinya tinggi, rusuk, dan setengah diagonalnya membentuk satu kesatuan. Banyak tentunya yang ingat teorema Pythagoras. Mengetahui dua dimensi, tidak akan sulit menemukan besaran ketiga. Mari kita ingat kembali teorema terkenal a² = b² + c², di mana a adalah sisi miring, dan dalam kasus kita adalah tepi piramida; b - kaki pertama atau setengah diagonal dan c - masing-masing, kaki kedua, atau tinggi limas. Dari rumus ini c² = a² - b².

Sekarang masalahnya: dalam limas beraturan, diagonalnya adalah 20 cm, jika panjang rusuknya 30 cm, Anda perlu mencari tingginya. Kita selesaikan: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Maka c = √ 500 = sekitar 22,4.

Cara mencari tinggi limas terpotong

Ini adalah poligon dengan penampang sejajar dengan alasnya. Ketinggian limas terpotong adalah ruas yang menghubungkan kedua alasnya. Ketinggian limas beraturan dapat diketahui jika panjang diagonal kedua alas dan tepi limas diketahui. Misalkan diagonal alas yang lebih besar adalah d1, diagonal alas yang lebih kecil adalah d2, dan panjang rusuknya l. Untuk mencari tingginya, Anda dapat menurunkan tinggi dari dua titik berlawanan di atas diagram ke alasnya. Kita melihat bahwa kita mempunyai dua segitiga siku-siku; yang tersisa hanyalah mencari panjang kakinya. Caranya, kurangi diagonal yang lebih kecil dari diagonal yang lebih besar dan bagi dengan 2. Jadi kita akan mendapatkan satu kaki: a = (d1-d2)/2. Setelah itu, menurut teorema Pythagoras, yang harus kita lakukan hanyalah mencari kaki kedua, yaitu tinggi limas.

Sekarang mari kita lihat semuanya dalam praktik. Kami memiliki tugas di depan kami. Sebuah limas terpotong mempunyai alas berbentuk persegi, panjang diagonal alas yang lebih besar adalah 10 cm, sedangkan yang lebih kecil adalah 6 cm, dan panjang rusuknya adalah 4 cm. Carilah tinggi limas tersebut. Pertama kita cari satu kaki: a = (10-6)/2 = 2 cm, satu kaki panjangnya 2 cm, dan sisi miringnya 4 cm. Ternyata kaki atau tingginya yang kedua sama dengan 16-4 = 12, yaitu h = √12 = sekitar 3,5 cm.

Piramida segitiga

Setiap piramida segitiga memiliki 4 sisi, 6 sisi, dan 4 titik sudut. Jika panjang semua sisinya sama, maka bangun tersebut disebut tetrahedron.

Volume piramida segitiga umum

Sebelum menuliskan rumus volume limas segitiga beraturan, terlebih dahulu kita berikan persamaan besaran fisis untuk limas tipe umum. Ungkapan ini terlihat seperti:

Tentang topik: "Keuangan Global": ulasan perusahaan dari karyawan dan klien

V = 1/6*a*h o *h.