Lingkaran dalam matematika merupakan salah satu tokoh yang sangat penting dan penting. Hal ini diperlukan untuk banyak perhitungan. Pengetahuan tentang sifat-sifat tokoh ini dari kurikulum sekolah tentunya akan berguna dalam kehidupan. Keliling diperlukan ketika menghitung banyak bahan dengan penampang melingkar. Mengerjakan gambar, membangun pagar di dekat petak bunga - ini membutuhkan pengetahuan tentang bentuk geometris dan propertinya.
Konsep lingkaran dan unsur-unsur utamanya
Suatu bangun datar pada suatu bidang yang terdiri dari beberapa titik yang terletak pada jarak yang sama dari titik pusat disebut lingkaran. Ruas yang memanjang dari pusat dan menghubungkannya dengan salah satu titik yang membentuk lingkaran disebut jari-jari. Tali busur adalah ruas yang menghubungkan sepasang titik yang terletak sepanjang keliling lingkaran satu sama lain. Jika diposisikan sedemikian rupa melewati titik pusat, maka ia juga merupakan diameter.
Panjang jari-jari lingkaran sama dengan panjang diameternya, dibelah dua. Sepasang titik divergen yang terletak pada sebuah lingkaran membaginya menjadi dua busur. Jika suatu ruas garis yang ujung-ujungnya di titik-titik tersebut melalui titik pusat (sehingga menjadi diameter), maka busur yang terbentuk akan berbentuk setengah lingkaran.
Lingkar
Perhitungan keliling lingkaran ditentukan dengan beberapa cara: melalui diameter atau melalui jari-jari. Dalam prakteknya diketahui bahwa keliling lingkaran (l) jika dibagi diameternya (d) selalu menghasilkan satu bilangan. Ini adalah bilangan π yang sama dengan 3.141692666... Perhitungan dilakukan dengan rumus: π= aku/ d. Mengubahnya, kita mendapatkan kelilingnya. Rumusnya adalah: l=πd.
Untuk mencari jari-jari, kita menerapkan rumus berikut: d=2r. Hal ini dimungkinkan berkat perpecahan. Bagaimanapun, jari-jarinya adalah setengah diameternya. Setelah kita memperoleh nilai-nilai di atas, kita dapat menghitung kelilingnya dengan menggunakan rumus berikut: l=2πr.
Properti dasar
Luas suatu lingkaran selalu lebih besar jika dibandingkan dengan luas kurva tertutup lainnya. Garis singgung adalah garis yang menyentuh lingkaran hanya pada satu titik. Jika suatu garis memotongnya di dua tempat, maka garis tersebut disebut garis potong. Titik pertemuan 2 lingkaran berbeda selalu berada pada garis yang melalui titik pusatnya. Lingkaran yang berpotongan pada suatu bidang adalah lingkaran yang mempunyai 2 titik persekutuan. Sudut antara keduanya dihitung sebagai sudut yang dibentuk oleh garis singgung titik kontak.
Jika melalui suatu titik yang bukan titik pada lingkaran ditarik dua garis lurus yang memotongnya, maka sudut yang dibentuk oleh kedua garis tersebut sama dengan selisih panjang busur yang dibelah dua. Aturan ini juga berlaku dalam kasus sebaliknya, ketika kita berbicara tentang dua akord. Dua tali busur yang berpotongan membentuk sudut yang sama dengan jumlah panjang busur dan dibagi dua. Busur dalam situasi seperti ini dipilih di sudut ini dan di sudut yang berlawanan. Sifat optik lingkaran menyatakan sebagai berikut: sinar cahaya yang dipantulkan dari cermin yang ditempatkan di sekeliling lingkaran dikumpulkan kembali ke pusatnya. Dalam hal ini, sumber cahaya harus dipasang di titik pusat lingkaran.
Pertama, mari kita pahami perbedaan antara lingkaran dan lingkaran. Untuk melihat perbedaannya, cukup dengan memperhatikan kedua angka tersebut. Ini adalah titik-titik yang jumlahnya tak terhingga pada bidang yang terletak pada jarak yang sama dari satu titik pusat. Namun jika lingkaran juga terdiri dari ruang dalam, maka lingkaran tersebut tidak termasuk dalam lingkaran. Ternyata lingkaran adalah lingkaran yang membatasinya (lingkaran(r)), dan titik-titik yang berada di dalam lingkaran yang tak terhitung banyaknya.
Untuk setiap titik L yang terletak pada lingkaran, berlaku persamaan OL=R. (Panjang ruas OL sama dengan jari-jari lingkaran).
Segmen yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut segmennya akord.
Tali busur yang melalui titik pusat lingkaran adalah diameter lingkaran ini (D). Diameternya dapat dihitung dengan rumus: D=2R
Lingkar dihitung dengan rumus: C=2\pi R
Luas lingkaran: S=\pi R^(2)
Busur lingkaran disebut bagian yang terletak di antara dua titiknya. Kedua titik ini menentukan dua busur lingkaran. CD akord mencakup dua busur: CMD dan CLD. Tali busur yang identik membentuk busur yang sama.
Sudut tengah Sudut yang terletak di antara dua jari-jari disebut.
Panjang busur dapat dicari dengan menggunakan rumus:
- Menggunakan ukuran derajat: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Menggunakan ukuran radian: CD = \alpha R
Diameter yang tegak lurus terhadap tali busur membagi tali busur dan busur yang dikontraknya menjadi dua.
Jika tali busur AB dan CD lingkaran berpotongan di titik N, maka hasil kali segmen tali busur yang dipisahkan oleh titik N adalah sama besar.
AN\cdot NB = CN\cdot ND
Bersinggungan dengan lingkaran
Bersinggungan dengan lingkaran Garis lurus yang memiliki satu titik persekutuan biasanya disebut dengan lingkaran.
Jika suatu garis mempunyai dua titik persekutuan disebut garis potong.
Jari-jari titik singgung tersebut ditarik tegak lurus terhadap garis singgung lingkaran.
Mari kita menggambar dua garis singgung dari titik ini ke lingkaran kita. Ternyata ruas-ruas garis singgungnya akan sama besar satu sama lain, dan pusat lingkaran akan terletak pada garis bagi sudut dengan titik puncak di titik tersebut.
AC = CB
Sekarang mari kita menggambar garis singgung dan garis potong lingkaran dari titik kita. Kita memperoleh bahwa kuadrat panjang ruas garis singgung akan sama dengan hasil kali seluruh ruas garis potong dan bagian luarnya.
AC^(2) = CD \cdot BC
Kita dapat menyimpulkan: hasil kali seluruh ruas garis potong pertama dan bagian luarnya sama dengan hasil kali seluruh ruas garis potong kedua dan bagian luarnya.
AC\cdot BC = EC\cdot DC
Sudut dalam lingkaran
Besar derajat sudut pusat dan busur tempatnya bertumpu adalah sama.
\sudut COD = \cangkir CD = \alpha ^(\circ)
Sudut tertulis adalah sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan sisi-sisinya terdapat tali busur.
Anda dapat menghitungnya dengan mengetahui ukuran busur, karena sama dengan setengah busur tersebut.
\sudut AOB = 2 \sudut ADB
Berdasarkan diameter, sudut tertulis, sudut siku-siku.
\sudut CBD = \sudut CED = \sudut CAD = 90^ (\circ)
Sudut-sudut bertulisan yang membentuk busur yang sama adalah sama besar.
Sudut-sudut bertulisan yang bertumpu pada satu tali busur adalah sama besar atau jumlahnya sama dengan 180^ (\circ) .
\sudut ADB + \sudut AKB = 180^ (\circ)
\sudut ADB = \sudut AEB = \sudut AFB
Pada lingkaran yang sama terdapat titik sudut segitiga yang sudutnya sama dan alasnya tertentu.
Sudut yang titik sudutnya berada di dalam lingkaran dan terletak di antara dua tali busur sama dengan setengah jumlah nilai sudut busur lingkaran yang terdapat dalam sudut tertentu dan vertikal.
\sudut DMC = \sudut ADM + \sudut DAM = \frac(1)(2) \kiri (\cup DmC + \cup AlB \kanan)
Suatu sudut yang titik sudutnya di luar lingkaran dan terletak di antara dua garis potong sama dengan setengah selisih nilai sudut busur lingkaran yang terdapat di dalam sudut tersebut.
\sudut M = \sudut CBD - \sudut ACB = \frac(1)(2) \kiri (\cup DmC - \cup AlB \kanan)
Lingkaran tertulis
Lingkaran tertulis adalah lingkaran yang bersinggungan dengan sisi-sisi poligon.
Pada titik perpotongan garis-bagi sudut suatu poligon, terletak pusatnya.
Sebuah lingkaran tidak boleh tertulis di setiap poligon.
Luas poligon dengan lingkaran bertulisan ditemukan dengan rumus:
S = pr,
p adalah setengah keliling poligon,
r adalah jari-jari lingkaran yang tertulis.
Oleh karena itu, jari-jari lingkaran yang tertulis adalah:
r = \frac(S)(p)
Jumlah panjang sisi-sisi yang berhadapan akan sama jika lingkaran berada pada segi empat cembung. Dan sebaliknya: sebuah lingkaran masuk ke dalam segiempat cembung jika jumlah panjang sisi-sisi yang berhadapan sama.
AB + DC = IKLAN + SM
Dimungkinkan untuk menuliskan lingkaran di salah satu segitiga. Hanya satu saja. Pada titik perpotongan garis-bagi sudut dalam gambar, pusat lingkaran bertulisan ini akan terletak.
Jari-jari lingkaran bertulisan dihitung dengan rumus:
r = \frac(S)(p) ,
dimana p = \frac(a + b + c)(2)
Lingkaran
Jika sebuah lingkaran melewati setiap titik sudut suatu poligon, maka lingkaran seperti itu biasanya disebut dijelaskan tentang poligon.
Pada titik potong garis-bagi yang tegak lurus sisi-sisi gambar ini akan menjadi pusat lingkaran yang dibatasi.
Jari-jari dapat dicari dengan menghitungnya sebagai jari-jari lingkaran yang dibatasi oleh segitiga yang dibatasi oleh 3 titik sudut poligon.
Ada syarat berikut: sebuah lingkaran dapat digambarkan mengelilingi segiempat hanya jika jumlah sudut-sudut yang berhadapan sama dengan 180^( \circ) .
\sudut A + \sudut C = \sudut B + \sudut D = 180^ (\circ)
Di sekitar segitiga mana pun Anda dapat menggambarkan sebuah lingkaran, dan hanya satu. Pusat lingkaran tersebut akan terletak di titik perpotongan garis-bagi tegak lurus sisi-sisi segitiga.
Jari-jari lingkaran yang dibatasi dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4 S)
a, b, c adalah panjang sisi-sisi segitiga,
S adalah luas segitiga.
teorema Ptolemy
Terakhir, pertimbangkan teorema Ptolemeus.
Teorema Ptolemeus menyatakan bahwa hasil kali diagonal-diagonalnya sama dengan jumlah hasil kali sisi-sisi yang berhadapan pada suatu segiempat siklik.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot IKLAN
.png)
Sifat-sifat sudut tertulis
Sudut yang berhubungan dengan lingkaran
teorema Ptolemy
Lingkaran
Konsep dasar
Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang yang dipisahkan olehjarak tertentu dari suatu titik tertentu (pusat).
Lingkaran adalah bagian bidang yang dibatasi oleh lingkaran.
HAI
HAI
Jari-jari adalah ruas yang menghubungkan suatu titik pada lingkaran dengan pusatnya.
HAI
Isi
Konsep dasar
Tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada suatu lingkaran.Diameter adalah tali busur yang melalui pusat lingkaran.
HAI
HAI
Garis potong adalah garis lurus yang melalui dua titik sembarang
lingkaran.
Isi
Konsep dasar
Garis singgung - garis lurus yang melalui suatu titik pada lingkaran,tegak lurus terhadap jari-jarinya. Garis singgungnya berbentuk lingkaran
hanya satu poin umum.
Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari.
Sudut pusat diukur dengan busur tempat ia bertumpu.
HAI
HAI
Sudut tertulis adalah sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran.
dan sisi-sisinya adalah akordnya.
HAI
Isi
Sifat-sifat sudut tertulis
1. Sudut tertulis diukur dengan setengah busur tempatnya berada.Bukti.
1) Pusatkan pada salah satu sisi.
B
ABC - sudut tertulis, BA dan BC - tali busur, OA - jari-jari.
Mari kita menggambar jari-jari OA. Perhatikan segitiga OAB:
OB OA
HAI
A
Oleh karena itu, ia adalah sama kaki
danA B
Oleh karena itu, Sudut AOC bersifat eksternal
AOC A B 2 B
C
Karena itu,
1
B AOC
2
Sudut AOC diukur dengan busur AC, oleh karena itu setengahnya diukur dengan setengah busur AC.
Q.E.D.
Isi
Sifat-sifat sudut tertulis
B2) Pusatnya terletak di dalam sudut ABC.
ABC - sudut tertulis, BD - diameter,
ABC ABD DBC
Berdasarkan properti 1:
ABC ABD DBC
Karena itu,
1
1
ACDC
2
2
1
ABC CA
2
HAI
C
D
A
Q.E.D.
B
3) Bagian tengahnya terletak di luar sudut.
AOB - sudut tertulis, BD - diameter.
ABC ABD CBD
Q.E.D.
HAI
1
1
1
DA DC CA
2
2
2
A
C
D
Isi
Sifat-sifat sudut tertulis
2. Sudut-sudut bertulisan yang membentuk busur yang sama adalah sama besar.Bukti.
dan merupakan sudut tertulis, KL adalah busur.
Berdasarkan properti 1:
Karena itu,
1
KL
2
1
KL
2
HAI
K
L
Q.E.D.
Isi
Sifat-sifat sudut tertulis
3. Sudut bertulis berdasarkan diameter adalah garis lurus.A
Bukti.
- sudut dalam, BC - diameter.
B
HAI
C
Berdasarkan properti 1:
1
SM
2
Karena SM berbentuk setengah lingkaran, maka SM 180
Dengan demikian,
1
1
SM 180 90
2
2
Q.E.D.
Isi
Sifat-sifat sudut tertulis
4. Busur lingkaran yang sama panjang dibatasi oleh tali busur yang sama panjang.Bukti.
AB CD, AB dan CD adalah akord.
A
HAI
1. Mari menggambar jari-jari R OA OB OC OD
2. Segitiga OAB dan OCD sama besar karena
B
C
D
OA OB OC OD (jari-jari).
ULAR BOA
Karena itu,
1
1
AB dan DOCDC
2
2
DOKTER BOA
Pada segitiga sama kaki, sisi-sisi yang sama besar terletak berhadapan dengan sudut-sudut yang sama besar,
karenanya AB CD
Q.E.D.
Isi Sudut yang berhubungan dengan lingkaran
Teorema (sudut antara tali busur yang berpotongan). Sudut antara dua titik yang berpotongan
tali busur sama dengan setengah jumlah busur yang dibuatnya.
A B
B A
A
2
Bukti.
HAI
Sudut - sudut luar segitiga DOB.
B A
2
C
B
B
2
A
2
D
Q.E.D.
Isi Sudut yang berhubungan dengan lingkaran
Teorema (sudut antar garis potong). Sudut antara dua garis potong diambil dari satu
titik sama dengan selisih setengah busur besar dan kecil yang dipotong.
A B
2
M
A
Bukti.
B
2
Berdasarkan teorema sudut luar segitiga MBC:
A
B
A B
2
2
2
Q.E.D.
B
B
A
2
C
A
D
Isi Sudut yang berhubungan dengan lingkaran
Dalil (sudut antara garis singgung dan tali busur yang ditarik melalui titik singgung).
Sudut antara garis singgung dan tali busur yang ditarik ke titik singgung sama dengan setengah busur,
dikontrak oleh akord ini.
A
Bukti.
1. Mari menggambar diameternya.
2. Sudut
bertumpu pada busur A
2
Kemudian,
1
A
A
(A)
2
2
2
2 2
2
B
HAI
2
A
A
Q.E.D.
Begitu juga untuk sudut tumpul
Isi Sudut yang berhubungan dengan lingkaran
Teorema (sudut antara garis singgung dan garis potong). Sudut antara garis singgung dan garis potong adalah sama
semi-perbedaan pada busur yang mereka pahat.
Bukti.
C
1
Dengan teorema sudut tertulis: A
2
.
1
Berdasarkan teorema sudut antara garis singgung dan tali busur B
2
- sudut luar segitiga ABM.
A
B
B
A
1 1
A B
A B
2
2
2
Q.E.D.
Isi
M Sudut yang berhubungan dengan lingkaran
Teorema (sudut antar garis singgung). Sudut antara dua garis singgung ditarik dari
satu titik sama dengan setengah selisih busur besar dan kecil yang dipotong.
Bukti.
Mari kita tarik jari-jari ke titik singgung, keduanya tegak lurus
garis singgung.
90 90V 360 180V
Catatan.
Kemudian
A
B
B
A B
180
2
A B A B
B
2
2
Q.E.D.
Isi Segmen yang terkait dengan lingkaran
Dalil. Ruas garis singgung lingkaran yang ditarik dari titik yang sama adalah sama besar.
Bukti.
B
AOB AOC, karena sisi miring OA umum terjadi,
OB OC - jari-jari.
A
HAI
Karena itu,
ABAC
DENGAN
Q.E.D.
.
Isi Segmen yang terkait dengan lingkaran
Dalil. Hasil kali segmen-segmen yang membagi tali busur dengan suatu titik tertentu adalah untuk suatu titik tertentu
keliling adalah nilai konstan.
ab cd
A
Bukti.
A
Misalkan AB dan CD diberi tali busur dan O adalah titik potongnya.
Mari menggambar akord AC dan BD.
D
D
C
HAI
B
C
B
AOC ~ DOB, karena AOC DOB vertikal,
CAB CDB - bertumpu pada busur CB.
Kemudian
sebuah c
ab cd
d b
Q.E.D.
Isi Segmen yang terkait dengan lingkaran
Dalil. Hasil kali garis potong dan bagian luarnya adalah besaran untuk lingkaran tertentu
konstan.
(a b) b (c d) d
Bukti.
Mari menggambar akord AC dan BD.
A
A
B
AMC ~ DMB (dua sudut):
AMD - umum,
D
D
C
B
C
M
MAC BDC - berdasarkan busur BC.
Kemudian
B
C
(a b) b (c d) d
c d a b
Q.E.D.
Isi Segmen yang terkait dengan lingkaran
Dalil. Kuadrat garis singgung sama dengan hasil kali garis potong dan bagian luarnya.
c 2 a (ab)
M
Dengan
K
A
Bukti.
MKB ~ MAK, karena KMA bersifat umum,
MKB KAB
B
1
K.B.
2
B
A
Kemudian
C
A
c 2 a (ab)
a b c
Q.E.D.
Isi Segmen yang terkait dengan lingkaran
Dalil. Perbandingan tali busur dengan sinus sudut yang terletak pada tali busur tersebut adalah
sama dengan dua jari-jari (teorema sinus).
A
Bukti.
A
R
A A , karena keduanya bertumpu pada satu busur SM.
R
A
A
2R
dosa A dosa A
A
B
DENGAN
Q.E.D.
Isi teorema Ptolemy
Dalil. Pada setiap segiempat yang tertulis dalam lingkaran, jumlah hasil kali panjangnya
sisi-sisi yang berhadapan sama dengan hasil kali panjang diagonal-diagonalnya.
C
AC BD AB CD IKLAN SM
Bukti.
1. Mari menggambar diagonal AC dan BD.
2. Pilih titik K pada diagonal BD sehingga BAK CAD
B
3. Maka segitiga KBA dan ACD sebangun (menurut konstruksi A
sudut dan sepanjang sudut berdasarkan busur AD); segitiga AKD dan ABC
serupa (dalam dua sudut: BAC KAD (secara konstruksi) dan BDA BCA).
4. Kemudian:
K
D
| BK | | CD |
| BA | | AC |
| BK | | AC | | CD | | BA |
IKLAN
|
AC
|
IKLAN
|
SM
|
AC
|
KD
| KD | | SM |
| AC | (| BK | | KD |) | AB | | CD | | IKLAN | | SM |
| AC | | BD | | AB | | CD | | IKLAN | | SM |
Q.E.D.
Isi Lingkaran tertulis dalam poligon
Jika semua sisi poligon bersinggungan dengan lingkaran, maka lingkaran tersebut disebut lingkaran dalam
menjadi poligon, dan poligon tersebut dibatasi di sekitar lingkaran ini.
1) Sebuah lingkaran dapat ditulisi pada segitiga apa pun.
R
S
, di mana p adalah setengah keliling.
P
Pusat lingkaran adalah titik potong garis-bagi.
Isi Lingkaran tertulis dalam poligon
2) Pada setiap segiempat berbatas, jumlah sisi-sisi yang berhadapan adalah sama.
A
D
D
AK AL , karena AK dan AL bersinggungan dengan lingkaran,
dilakukan dari satu titik.
Sama dengan segmen lainnya.
B
B
L
A
K
C
c A
Maka jumlah sisi-sisi yang berhadapan adalah besaran segi empat tertentu
konstan.
Isi Lingkaran tertulis dalam poligon
3) Jika jumlah sisi-sisi yang berhadapan pada suatu segi empat cembung sama, maka masukkanlah
Anda bisa menulis lingkaran.
Dari jajaran genjang, sebuah lingkaran dapat ditulisi dalam belah ketupat atau persegi.
Jika sebuah lingkaran terdapat pada trapesium, maka jumlah alasnya sama dengan jumlah sisinya,
dan garis tengahnya adalah setengah jumlah sisi-sisinya.
A
M
a b c d
2
2
C
M
D
B
Isi Lingkaran dibatasi di sekitar poligon
Jika titik-titik sudut suatu poligon terletak pada suatu lingkaran, maka lingkaran tersebut disebut lingkaran luar
dekat poligon, dan poligon tersebut tertulis di lingkaran ini.
1) Sebuah lingkaran dapat dibuat mengelilingi segitiga apa pun.
C
B
4S
R
abc
HAI
S 2R 2 dosa dosa dosa
A
Pusat lingkaran luar adalah titik potong garis-garis tegak lurus ke
kepada para pihak.
Isi Lingkaran dibatasi di sekitar poligon
2) Pada setiap segi empat yang berada dalam lingkaran, jumlah sudut-sudut yang berhadapan adalah 180°.
A
DENGAN
1
BCD
2
B
A
1
COLEK
2
Kemudian
AC
1
(BCD DAB) 180
2
C
D
Dari semua jajaran genjang, lingkaran dapat digambarkan di sekitar persegi panjang atau persegi.
Isi
Lingkaran
Lingkaran luar adalah lingkaran yang menyentuh salah satu sisi segitiga dankelanjutan dari dua sisi lainnya.
Dalil. Jarak titik sudut segitiga ke titik singgung lingkaran dengan
perpanjangan sisinya sama dengan setengah keliling p.
A
Dengan
B
DENGAN
sebuah B
Bukti.
N
H
M
1.| SEBUAH | | SAYA | - ruas garis singgung yang memancar dari satu titik.
| CH | | CN | , | HB | | BM |
2.P | AC | | CH | | AB | | HB | | SEBUAH | | SAYA | 2 | SEBUAH |
Jadi | SEBUAH | P
Catatan: titik singgung suatu lingkaran dengan salah satu sisi segitiga membaginya
keliling menjadi dua: | AC | | CH | P
Konsekuensi:
| CH | hal | AC | hal c
| HB | hal b
.
Isi
Lingkaran
Dalil. Jari-jari lingkaran luar yang ditarik ke sisi a dihitung dengan rumus:S
hal
ra
Bukti.
A
C
1. Luas ONAM segiempat :
SONAM S AOM S AON
1
1
ra | SAYA | ra | SEBUAH |
2
2
ra | SAYA | hal
B
H
N
ra
M
HAI
2. Luas ONAM segiempat :
SONAM S ABC SOMBCN S ABC 2S BOH 2SCHO
1
S ABC 2SBOC S ABC 2 ra a S ABC ra a
2
3. Jadi,
.
ra p S ABC ra a ra (p a) S ABC ra
Q.E.D.
S ABC
hal
Isi
Lingkaran
Dalil. Luas segitiga dapat dihitung dengan menggunakan rumus:S ra rb rc r
Bukti.
ra rb rc r
S
S
S S
p a p b p c p
S4
S4
ra rb rc r
ra rb rc r 2
p(p a)(p b)(p c)
S
ra rb rc r S 2 S ra rb rc r
Q.E.D.
Isi
Sumbu radikal adalah garis lurus yang melalui titik potong dua lingkaran.
Garis pusat lingkaran adalah garis lurus yang melalui titik pusat dua lingkaran.
Teorema 1.
1) Sumbu radikal tegak lurus terhadap garis pusat lingkaran.
2) Ruas garis singgung yang ditarik dari sembarang titik sumbu akar ke lingkaran-lingkaran tersebut adalah sama besar.
Bukti:
1) Misalkan \(\triangle BMN\) dan \(\triangle AMN\) : ketiga sisinya sama besar (\(BM=AM=R_1, BN=AN=R_2\) adalah jari-jari lingkaran pertama dan kedua , masing-masing). Jadi, \(\angle BNM=\angle ANM\) , oleh karena itu, \(MN\) adalah garis bagi sama kaki \(\triangle ANB\), oleh karena itu, \(MN\perp AB\) .
2) Tandai titik sembarang \(O\) pada sumbu akar dan tarik garis singgung \(OK_1, OK_3\) ke lingkaran pertama dan \(OK_2, OK_4\) ke lingkaran kedua. Karena maka kuadrat ruas garis singgung sama dengan hasil kali garis potong dan bagian luarnya \(OK_1^2=OK_2^2=OK_3^2=OK_4^2=OB\cdot OA\).
Teorema 2.
Misalkan dua lingkaran dengan pusat \(M\) dan \(N\) bersentuhan secara eksternal di titik \(A\) . Dua garis singgung persekutuan (dalam dan luar) \(a\) dan \(b\) lingkaran ini berpotongan di titik \(B\) . Titik singgungnya adalah titik \(A, K_1, K_2\) (seperti terlihat pada gambar). Kemudian \[(1) \ (\besar(K_1B=AB=K_2B))\] \[(2) \ (\besar(\sudut K_1AK_2=90^\circ))\]
Bukti:
1) Karena \(BA\) dan \(BK_1\) adalah dua garis singgung yang ditarik pada lingkaran pertama dari satu titik, maka ruas-ruas singgung tersebut sama besar: \(BA=BK_1\) . Demikian pula, \(BA=BK_2\) . Jadi, \(BA=BK_1=BK_2\) .
2) Jadi, \(BA\) adalah median pada \(\segitiga K_1AK_2\), sama dengan setengah sisi yang digambar. Ini berarti \(\angle A=90^\circ\) .
Teorema 3.
Biarkan dua lingkaran bersentuhan secara eksternal di titik \(A\) . Melalui titik \(A\) ditarik dua garis \(B_1B_2\) dan \(C_1C_2\), yang memotong setiap lingkaran di dua titik, seperti terlihat pada gambar. Kemudian: \[(1) \ (\besar(\segitiga AB_1C_1 \sim \segitiga AB_2C_2))\] \[(2)\(\besar(B_1C_1\paralel B_2C_2))\]
Bukti:
1) Mari kita menggambar melalui titik \(A\) garis singgung persekutuan dari lingkaran-lingkaran ini \(OQ\) . \(\sudut OAC_2=\sudut QAC_1=\alpha\) seperti vertikal. Karena sudut antara garis singgung dan tali busur yang ditarik melalui titik singgung sama dengan setengah busur yang terletak di antara keduanya \(\angle OAC_2=\frac12\buildrel\smile\over(AC_2)\), \(\angle QAC_1=\frac12\buildrel\smile\over(AC_1)\). Karena itu, \(\buildrel\smile\over(AC_1)=\buildrel\smile\over(AC_2)=2\alpha\). Dengan demikian, \(\sudut AB_1C_1=\sudut AB_2C_2=\alpha\). Jadi, di dua sudut \(\segitiga AB_1C_1\sim \segitiga AB_2C_2\).
2) Karena \(\sudut AB_1C_1=\sudut AB_2C_2\), lalu garis \(B_1C_1\parallel B_2C_2\) sepanjang sudut melintang pada garis potong \(B_1B_2\) .
teorema Ptolemy
Pada segi empat siklik, hasil kali diagonal-diagonalnya sama dengan jumlah hasil kali sisi-sisi yang berhadapan: \
Bukti
Misalkan untuk kepastian \(\angle ABD<\angle CBD\) . Проведем отрезок \(BO\) так, чтобы \(O\) лежала на \(AC\) и \(\angle ABD=\angle CBO\) :
Karena \(\angle ACB=\angle ADB\) (berdasarkan busur yang sama), lalu pada dua sudut \(\segitiga OBC\sim \segitiga ABD\). Cara: \[\dfrac(OC)(AD)=\dfrac(BC)(BD) \Panah Kanan AD\cdot BC=OC\cdot BD\phantom(00000000000) (1)\]
Karena \(\angle BAC=\angle BDC\) (berdasarkan busur yang sama), \(\angle ABO=\angle CBD\) (terdiri dari sudut-sudut yang sama besar (oranye) dan sudut yang sama \(\angle DBO \) ) , lalu di dua sudut \(\segitiga ABO\sim \segitiga BDC\). Cara: \[\dfrac(AO)(DC)=\dfrac(AB)(BD) \Panah Kanan AB\cdot CD=AO\cdot BD \phantom(00000000000) (2)\]
Mari kita tambahkan persamaan \((1)\) dan \((2)\) : \(AD\cdot BC+AB\cdot CD=OC\cdot BD+AO\cdot BD=AC\cdot BD\), thd.
Rumus Euler:
Misalkan \(R\) adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga \(ABC\), \(r\) adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi. Kemudian jarak \(d\) antara pusat lingkaran tersebut dihitung dengan rumus: \[(\large(d^2=R^2-2Rr))\] 
Bukti:
a) Misalkan \(d\ne 0\) . Misalkan \(O, Q\) masing-masing adalah pusat lingkaran luar dan lingkaran tertulis. Mari kita menggambar diameter lingkaran yang dibatasi \(PS\) melalui titik \(Q\) . Mari kita juga menggambar garis bagi sudut \(\sudut A, \sudut B\) - \(AA_1, BB_1\) (perhatikan bahwa keduanya berpotongan di titik \(Q\), karena pusat lingkaran terletak di perpotongan garis bagi). Tali busur \(PS\) dan \(BB_1\) berpotongan, sehingga segmen tali busur tersebut sama besar: \(PQ\cdot QS=BQ\cdot QB_1\) .
Karena \(OP=OS=R, OQ=d\) , maka persamaan terakhir dapat ditulis ulang sebagai \((R-d)(R+d)=BQ\cdot QB_1 \ (*)\).
Perhatikan itu sejak itu \(AA_1, BB_1\) adalah garis bagi \(\buildrel\smile\over(AB_1)=\buildrel\smile\over(B_1C)=x, \\buildrel\smile\over(CA_1)=\buildrel\smile\over(A_1B)=y\). Karena sudut antara tali busur sama dengan setengah jumlah busur yang ada di antara tali busur tersebut, maka:
\(\sudut AQB_1=\frac12(x+y)\) .
Di sisi lain, \(\angle B_1AA_1=\frac12\big(\buildrel\smile\over(B_1C)+\buildrel\smile\over(CA_1)\big)=\frac12(x+y)\)
Dengan demikian, \(\sudut AQB_1=\sudut B_1AA_1\). Oleh karena itu, \(\triangle QB_1A\) adalah sama kaki dan \(B_1Q=B_1A\) . Artinya persamaan \((*)\) dapat ditulis ulang menjadi:
\(R^2-d^2=BQ\cdot AB_1 \ (**)\).
Mari menggambar diameter lingkaran lain \(B_1B_2\) . Maka \(\triangle B_1AB_2\) berbentuk persegi panjang (\(\angle A\) bertumpu pada diameternya). Misalkan lingkaran hitam juga menyentuh sisi \(AB\) di titik \(K\) . Maka \(\segitiga BKQ\) adalah persegi panjang.
Perhatikan juga bahwa \(\angle KBQ=\angle AB_2B_1\) (karena keduanya bertumpu pada busur yang sama).
Cara, \(\segitiga B_1AB_2\sim \segitiga BKQ\) pada dua sudut, oleh karena itu:
\(\dfrac(KQ)(AB_1)=\dfrac(BQ)(B_1B_2) \Panah Kanan \dfrac(r)(AB_1)=\dfrac(BQ)(2R) \Panah Kanan BQ\cdot AB_1=2Rr\).
Gantikan ini ke \((**)\) dan dapatkan:
\(R^2-d^2=2Rr \Panah Kanan d^2=R^2-2Rr\).
b) Jika \(d=0\), mis. maka pusat lingkaran bertulisan dan dibatasi itu bertepatan \(AK=BK=\sqrt(R^2-r^2) \Panah Kanan AB=2\sqrt(R^2-r^2)\). Mirip dengan \(AC=BC=AB=\sqrt(R^2-r^2)\), yaitu segitiga sama sisi. Karena itu, \(\sudut A=60^\circ \Panah Kanan \sudut KAO=30^\circ \Panah Kanan r=\frac12R \Panah Kanan R=2r\) atau \(0=R^2-2Rr\) (yaitu dalam hal ini rumusnya juga benar).
Teorema kupu-kupu:
Misalkan titik tengah tali busur \(AB\) adalah titik \(O\) dan dibuat dua tali busur \(MN\) dan \(KP\). Misalkan \(MP\cap AB=X, KN\cap AB=Y\) . Kemudian \[(\besar(OX=OY))\]
Bukti:
Mari menggambar garis tegak lurus \(XX_1, YY_2\pelaku MN, XX_2, YY_1\pelaku KP\).
Sudut-sudut berikut ini sama besar karena beristirahat di busur yang sama: \(\sudut PMO=\sudut NKO, \sudut MPO=\sudut KNO\).
Sudut-sudut berikut ini sama besar karena vertikal: \(\sudut XOX_1=\sudut YOY_2, \sudut XOX_2=\sudut YOY_1\).
Segitiga siku-siku berikut ini sebangun:
1) \(\segitiga XX_1O\sim \segitiga YY_2O \Panah Kanan \dfrac(XO)(YO)=\dfrac(XX_1)(YY_2)\)
2) \(\segitiga XX_2O\sim \segitiga YY_1O \Panah Kanan \dfrac(XO)(YO)=\dfrac(XX_2)(YY_1)\)
3) \(\segitiga MXX_1\sim \segitiga KYY_1 \Panah Kanan \dfrac(XX_1)(YY_1)=\dfrac(MX)(KY)\)
4) \(\segitiga PXX_2\sim \segitiga NYY_2 \Panah Kanan \dfrac(XX_2)(YY_2)=\dfrac(PX)(NY)\)
Dari 1) dan 2) berikut ini
\(\dfrac(XO^2)(YO^2)=\dfrac(XX_1\cdot XX_2)(YY_1\cdot YY_2)\)
Dari 3) dan 4) berikut ini
\(\dfrac(XX_1\cdot XX_2)(YY_1\cdot YY_2)=\dfrac(MX\cdot PX)(KY\cdot NY)\)
Menggabungkan dua persamaan terakhir, kita mendapatkan:
\(\dfrac(XO^2)(YO^2)=\dfrac(MX\cdot PX)(KY\cdot NY)\)
Perhatikan bahwa untuk akord yang berpotongan \(AB\) dan \(MP\) : \(AX\cdot XB=MX\cdot PX\) . Mirip dengan \(AY\cdot YB=KY\cdot NY\) . Cara:
\(\dfrac(XO^2)(YO^2)==\dfrac(AX\cdot XB)(AY\cdot YB)\)
Mari kita tunjukkan \(OX=x, OY=y, OA=OB=t \Panah Kanan\)
\(\dfrac(x^2)(y^2)=\dfrac((t-x)(t+x))((t+y)(t-y))=\dfrac(t^2-x^2)( t^2-y^2) \Panah kanan x^2t^2-x^2y^2=y^2t^2-x^2y^2 \Panah kanan x^2=y^2 \Panah kanan x=y\).
“Dan saya jatuh cinta dengan lingkaran itu dan menetap di sana.”
Proyek informasi dan pendidikan.
Topik: lingkaran
Tujuan proyek: Untuk mempelajari sifat-sifat, jenis-jenis lingkaran dan teorema yang terkait dengannya.
Saya memulai pekerjaan saya dengan mempelajari sifat-sifat lingkaran dalam mata pelajaran geometri sekolah menggunakan buku teks karya A.V. Pogorelov “Geometri 7-9” dan materi di luar lingkup mata pelajaran sekolah. Sambil mengumpulkan informasi dari berbagai sumber dan mengerjakan proyek, saya memperluas pengetahuan saya dan akan terus mempelajari topik ini lebih lanjut dan berbagi pengetahuan dengan teman sekelas dan semua orang yang tertarik.
Lingkaran- kedudukan titik-titik geometri pada suatu bidang yang berjarak sama dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat, pada jarak tertentu yang bukan nol, yang disebut jari-jarinya. Lingkaran tertutup tanpa ruang internal. 
Definisi lainnya
Lingkaran berdiameter AB adalah suatu bangun datar yang terdiri dari titik A, B dan semua titik pada bidang dimana segmen AB terlihat tegak lurus.
Lingkaran adalah bangun datar yang terdiri dari semua titik pada bidang, yang masing-masing titik tersebut mempunyai perbandingan jarak terhadap dua titik tertentu sama dengan bilangan tertentu yang berbeda satu. (lihat Lingkaran Apollonius)
Juga suatu gambar yang terdiri dari semua titik-titik tersebut, yang masing-masing titik tersebut jumlah kuadrat jarak ke dua titik tertentu sama dengan nilai tertentu, lebih besar dari setengah kuadrat jarak antara titik-titik tersebut.
Definisi terkait
Radius- tidak hanya jarak, tetapi juga segmen yang menghubungkan pusat lingkaran dengan salah satu titiknya.
Segmen yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut segmennya akord. Tali busur yang melalui pusat lingkaran disebut tali busur diameter.
Lingkaran itu disebut lajang, jika jari-jarinya sama dengan satu. Lingkaran satuan merupakan salah satu objek utama trigonometri.
Dua titik berbeda pada suatu lingkaran membaginya menjadi dua bagian. Masing-masing bagian ini disebut busur lingkaran. Busur itu disebut setengah lingkaran, jika ruas yang menghubungkan ujung-ujungnya adalah diameter.
teorema Ptolemy.
Claudius Ptolemy(), yang hidup pada akhir abad pertama - awal abad kedua Masehi, adalah seorang astronom, matematikawan, astrolog, ahli geografi, ahli kacamata, dan ahli teori musik Yunani kuno. Ia dikenal sebagai komentator Euclid. Ptolemeus mencoba membuktikan Postulat Kelima yang terkenal itu. Karya utama Ptolemy adalah “Almagest”, di mana ia menyajikan informasi tentang astronomi. Termasuk “Almagest” dan katalog langit berbintang.
teorema Ptolemy. Suatu lingkaran dapat digambarkan mengelilingi suatu segi empat jika dan hanya jika hasil kali diagonal-diagonalnya sama dengan jumlah hasil kali sisi-sisi yang berhadapan.
Bukti Kebutuhan. Karena segiempat ditulis dalam lingkaran, maka
Dari segitiga, dengan menggunakan teorema kosinus, kita temukan
Demikian pula dari segitiga:
Jumlah cosinusnya adalah nol:
Dari sini kami mengungkapkan:
Mari kita lihat segitiganya dan temukan:
Q.E.D.
Sepanjang perjalanan, kami membuktikan satu pernyataan lagi. Untuk segiempat yang tertulis dalam lingkaran,
Bukti kecukupan. Biarkan kesetaraan tetap ada
Mari kita buktikan bahwa sebuah lingkaran dapat dibatasi pada segiempat.
Mari kita nyatakan dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi . Dari suatu titik kita menjatuhkan garis tegak lurus ke garis dan dan dan menunjukkan titik potong garis-garis ini dan garis tegak lurus melalui dan, masing-masing. Dengan menggunakan teorema Dosa untuk sebuah segitiga, kita peroleh (diameter lingkaran yang dibatasi segitiga ini sama dengan):
Berdasarkan hukum sinus untuk segitiga yang kita miliki
Karena itu,
Dengan cara yang sama, dengan mempertimbangkan segitiga, kita memperoleh relasinya
Oleh karena itu, dengan mensubstitusi ekspresi-ekspresi ini ke dalam persamaan asli, kita mendapatkan
maka titik-titik tersebut terletak pada satu garis lurus.
Sekarang mari kita buktikan bahwa lingkaran dapat dibatasi di sekeliling segiempat (kondisi yang cukup untuk teorema Simson).
Mari kita membuat lingkaran berdasarkan segmen dan diameter. Yang pertama melalui titik dan (sudut dan garis lurus), dan yang kedua melalui titik dan ( 
). Sudut dan sama dengan sudut vertikal, yang artinya , dan oleh karena itu . Dari sini, sebuah lingkaran dapat dibuat mengelilingi segiempat tersebut.
rumus Euler dinamai Leonhard Euler, yang memperkenalkannya, dan menghubungkan eksponen kompleks dengan fungsi trigonometri. 
Rumus Euler menyatakan bahwa untuk sembarang bilangan real X persamaan berikut berlaku:
Di mana e- basis logaritma natural,
Saya- satuan imajiner.
Sudut yang dibentuk oleh busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jarinya diambil sebagai 1 radian
Panjang setengah lingkaran satuan dilambangkan dengan π.
Tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang jaraknya ke suatu titik tertentu tidak lebih besar dari jarak tertentu yang bukan nol, disebut semuanya .
Garis lurus yang mempunyai tepat satu titik persekutuan dengan lingkaran disebut garis singgung pada lingkaran, dan titik persekutuannya disebut titik singgung garis dan lingkaran.
Garis lurus yang melalui dua titik berbeda pada suatu lingkaran disebut garis potong
.
Sudut tengah - sudut dengan titik sudut di pusat lingkaran. Sudut pusat sama dengan besar derajat busur tempat ia bertumpu.
Dalam hal ini sudut AOB adalah pusat. 
Sudut tertulis
- sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan sisi-sisinya memotong lingkaran tersebut. Sudut tertulis sama dengan setengah derajat busur tempat ia bertumpu. Dalam hal ini sudut ABC adalah sudut tertulis. 
Dua lingkaran yang mempunyai pusat yang sama disebut konsentris
.
Dua lingkaran yang jari-jarinya berpotongan tegak lurus disebut
ortogonal.
Keliling: C = 2∙π∙R = π∙D
Jari-jari lingkaran: R = C/(2∙π) = D/2
Diameter lingkaran: D = C/π = 2∙R
Dua lingkaran diberikan oleh persamaan:
konsentris (yaitu mempunyai pusat yang sama) jika dan hanya jika A1 = A2 dan B1 = B2.
Dua lingkaran bersifat ortogonal (yaitu berpotongan tegak lurus) jika dan hanya jika kondisinya
Lingkaran tertulis
Suatu lingkaran disebut bersudut jika terletak di dalam sudut dan menyentuh sisi-sisinya. Pusat lingkaran pada suatu sudut terletak pada garis bagi sudut tersebut.
Suatu lingkaran dikatakan berada pada poligon cembung jika terletak di dalam poligon dan menyentuh semua garis yang melaluinya. sisi.
Dalam segitiga
Properti lingkaran tertulis:
garis bagi T adalah garis bagi tegak lurus T 1
Biarkan T 2 - ortosegitiga T 1 . Maka sisi-sisinya sejajar dengan sisi-sisi segitiga asal T.
Biarkan T 3 - segitiga tengah T 1 . Maka garis bagi T adalah tinggi T 3 .
Setiap segitiga dapat memuat sebuah lingkaran, dan hanya satu.
Jika sebuah garis melalui titik O sejajar sisi AB memotong sisi BC dan CA di titik A 1 dan B 1 , Itu A 1 B 1 = A 1 B + AB 1 .
Titik singgung lingkaran pada segitiga T dihubungkan oleh segmen - diperoleh segitiga T 1
Pusat O lingkaran dalam disebut pusat; jaraknya sama dari semua sisi dan merupakan titik potong garis bagi segitiga.
Jari-jari lingkaran pada segitiga adalah sama dengan
Dalam poligon
Jika sebuah lingkaran dapat dimasukkan ke dalam poligon cembung tertentu, maka garis bagi semua sudut poligon tersebut berpotongan di satu titik, yang merupakan pusat lingkaran yang tertulis.
Jari-jari lingkaran pada suatu poligon sama dengan perbandingan luasnya dengan setengah kelilingnya
Lingkaran yang dibatasi.
Lingkaran
- lingkaran yang memuat semua titik sudut suatu poligon. Pusatnya adalah sebuah titik (biasanya dilambangkan
HAI
) perpotongan garis bagi yang tegak lurus terhadap sisi-sisi poligon.
Properti
Pusat keliling n-gon cembung terletak pada titik potong garis-bagi yang tegak lurus dengan sisi-sisinya. Konsekuensinya: jika sebuah lingkaran dibatasi di sebelah n-gon, maka semua garis bagi yang tegak lurus sisi-sisinya berpotongan di satu titik (pusat lingkaran).
Poligon beraturan apa pun dapat dikelilingi oleh lingkaran, dan hanya satu.
Untuk segitiga
:
Di sekitar segitiga mana pun Anda dapat menggambarkan sebuah lingkaran, dan hanya satu. Pusatnya akan menjadi titik persimpangan garis bagi yang tegak lurus.
Untuk segitiga lancip, pusat lingkaran luarnya terletak di dalam, untuk segitiga siku-siku tumpul, terletak di luar segitiga, dan untuk segitiga siku-siku, terletak di tengah sisi miring.
3 dari 4 lingkaran dibatasi pada segitiga medial (terbentuk garis tengah segitiga) berpotongan di satu titik di dalam segitiga. Titik ini merupakan titik pusat segitiga utama.
Pusat lingkaran yang dibatasi pada segitiga berfungsi sebagai pusat orto segitiga yang titik sudutnya berada di titik tengah sisi-sisi segitiga tersebut.
Jarak dari titik sudut segitiga ke pusat orto dua kali jarak dari pusat lingkaran ke sisi yang berlawanan.
Radius
Jari-jari lingkaran luar dapat dicari dengan menggunakan rumus
Di mana:
A , B , C - sisi segitiga,
α - sudut berlawanan dengan sisi A ,
S - luas segitiga.
Posisi pusat lingkaran
Misalkan vektor jari-jari titik sudut segitiga adalah vektor jari-jari pusat lingkaran yang dibatasi. Kemudian
Di mana
Persamaan sunat
Misalkan koordinat titik-titik segitiga pada suatu sistem koordinat kartesius pada bidang, 
- Koordinat pusat lingkaran yang dibatasi. Kemudian
dan persamaan lingkaran luar mempunyai bentuk
Untuk titik-titik yang terletak di dalam lingkaran, determinannya negatif, dan untuk titik-titik di luar lingkaran, determinannya positif.
Rumus Euler: Jika D - jarak antara pusat lingkaran bertulisan dan lingkaran terbatas, serta jari-jarinya sama R Dan R karenanya D 2 = R 2 − 2 Rr .
Untuk segi empat.
Segiempat sederhana bertulisan (tanpa perpotongan sendiri) tentu saja cembung.
Sebuah lingkaran dapat dibatasi di sekitar segi empat cembung jika dan hanya jika jumlah sudut dalam yang berhadapan sama dengan 180° (π radian).
Anda dapat menggambarkan lingkaran di sekitar:
persegi panjang apa pun (kasus khusus adalah persegi)
trapesium sama kaki apa pun
Untuk segi empat yang berada dalam lingkaran, hasil kali panjang diagonal-diagonalnya sama dengan jumlah hasil kali panjang pasangan sisi yang berhadapan:
|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |SM|·|IKLAN|
Lingkaran Apollonius - kedudukan titik-titik geometri pada bidang, perbandingan jarak ke dua titik tertentu adalah nilai konstan, tidak sama dengan satu.
Koordinat bipolar adalah sistem koordinat bidang ortogonal berdasarkan lingkaran Apollonius.
Misalkan dua titik diberikan pada bidang tersebut A Dan B . Mari kita pertimbangkan semua poin P pesawat ini, untuk masing-masingnya
,
Di mana
k
- bilangan positif tetap. Pada
k
= 1 titik-titik ini mengisi median tegak lurus segmen tersebut
AB
; dalam kasus lain, lokasi geometris tertentu disebut lingkaran
Lingkar Apollonius
.
Lingkaran Apollonius. Setiap lingkaran biru memotong setiap lingkaran merah pada sudut siku-siku. Setiap lingkaran merah melewati dua titik (C dan D) dan setiap lingkaran biru hanya mengelilingi salah satu titik tersebut
Jari-jari lingkaran Apollonius adalah
:
Lingkaran satuan adalah lingkaran dengan jari-jari 1 dan berpusat di titik asal. Konsep lingkaran satuan dapat dengan mudah digeneralisasikan ke ruang berdimensi n ( N 2). Dalam hal ini, istilah “satuan bola” digunakan.
Untuk semua titik pada lingkaran, valid jika sesuai dengan teorema Pythagoras: X 2 + kamu 2 = 1.
Jangan bingung antara istilah “lingkaran” dan “lingkaran”!
Lingkaran pada jarak tertentu dari titik tertentu, pada bidang yang sama - sebuah kurva.
Lingkaran - tempat kedudukan titik-titik geometri terletak tidak lebih dari satu lingkaran , di satu bidang - sebuah gambar.
Juga, bagian aljabar, seperti trigonometri, dapat dikaitkan dengan lingkaran satuan.
Trigonometri.
Sinus dan kosinus dapat digambarkan sebagai berikut: dengan menghubungkan sembarang titik (
X
,
kamu
) pada lingkaran satuan yang titik asal (0,0), diperoleh ruas yang terletak pada sudut α relatif terhadap sumbu semi positif absis. Maka sesungguhnya:
karena α = X
dosa α = kamu
Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam persamaan di atas X 2 + kamu 2 = 1, kita peroleh:
karena 2 α + dosa 2 = 1
Perhatikan ejaan umum cos 2 X = (kos X ) 2 .
Periodisitas fungsi trigonometri juga dijelaskan dengan jelas di sini, karena sudut suatu segmen tidak bergantung pada jumlah “putaran penuh”:
dosa( X + 2 π k ) = dosa( X )
karena( X + 2 π k ) = karena( X )
untuk semua bilangan bulat k , dengan kata lain, k milik Z .
Pesawat yang kompleks.
Pada bidang kompleks, lingkaran satuan digambarkan dengan himpunan:
Sekelompok G memenuhi kondisi grup perkalian (dengan elemen netral e Saya 0 = 1).
Teorema garis potong - teorema planimetri. Dirumuskan sebagai berikut:
Jika dua garis potong ditarik dari suatu titik yang terletak di luar lingkaran, maka hasil kali salah satu garis potong dengan bagian luarnya sama dengan hasil kali garis potong lainnya dan bagian luarnya.
Jika pernyataan ini kita terjemahkan ke dalam huruf (sesuai gambar di sebelah kanan), kita mendapatkan yang berikut:
Kasus khusus dari teorema garis potong adalah Teorema tangen dan garis potong:
Jika suatu garis singgung dan garis potong ditarik pada sebuah lingkaran dari satu titik, maka hasil kali seluruh garis potong dan bagian luarnya sama dengan kuadrat garis singgung tersebut.
Sumber daya internet yang digunakan:
www.wikipedia.org
Dan juga literatur: Geometri kelas 7-11 Definisi, sifat, metode penyelesaian masalah pada tabel E.P
