Lukisan karya seniman Probabilitas – derajat (ukuran, hitungan

) kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Definisi klasik tentang probabilitas. Kemungkinan peristiwa acak A adalah rasio bilangan n dari kemungkinan ekuilibrium yang tidak kompatibel peristiwa dasar

, yang merupakan kejadian A, dengan banyaknya semua kemungkinan kejadian dasar N: Definisi geometris dari probabilitas. Meskipun definisi klasik bersifat intuitif dan diperoleh dari praktik, paling tidak, hal ini tidak dapat diterapkan secara langsung jika jumlah kemungkinan hasil yang sama tidak terbatas. Sebuah contoh yang mencolok jumlah yang tak terbatas hasil yang mungkin terjadi adalah luas geometri terbatas G, misalnya pada bidang datar dengan luas S. Sebuah “titik” yang “dilempar” secara acak dengan probabilitas yang sama bisa berakhir di mana saja di area ini. Masalahnya adalah menentukan peluang suatu titik jatuh ke dalam subwilayah tertentu g dengan luas s. Dalam hal ini, menggeneralisasi definisi klasik yang bisa kita dapatkan definisi geometris

probabilitas sebagai rasio s ke S:

Jika kejadian B dan C tidak dapat terjadi secara bersamaan, maka peluang terjadinya salah satu kejadian B atau C sama dengan jumlah peluang kejadian berikut:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Jika kejadian B tidak bergantung pada kejadian C, maka peluang terjadinya kejadian B dan C sama dengan hasil kali peluang kejadian berikut:

P(A · B) = P(A) · P(B).

Saat memecahkan masalah pencarian probabilitas, seringkali lebih mudah untuk menggunakan informasi dari kombinatorik, khususnya aturan penjumlahan dan perkalian.

Aturan jumlah. Jika suatu objek A dapat dipilih dari sekumpulan objek dengan m cara, dan objek B lainnya dapat dipilih dengan n cara, maka A atau B dapat dipilih dengan m + n cara.

Aturan produk. Jika beberapa objek A dapat dipilih dari sekumpulan objek dengan m cara dan setelah setiap pemilihan objek B lainnya dapat dipilih dengan n cara, maka sepasang objek (A, B) dengan urutan tertentu dapat dipilih dalam m · n cara.

Masalah dengan solusi

1. Melempar dadu. Sebuah dadu biasa dilempar dengan angka 1,2,3,4,5,6 secara acak sampai jumlah poin yang dijatuhkan pada saat pelemparan melebihi angka 12. Yang mana poin akan menjadi yang paling mungkin?

Mari kita lihat lemparan kedua dari belakang. Setelah itu, jumlah totalnya harus mengambil salah satu dari nilai berikut: 12, 11, 10, 9, 8, 7. Jika sama dengan 12, maka hasil keseluruhan akan dengan probabilitas yang sama mengambil nilai 13, 14, 15, 16, 17, 18. Begitu pula dengan jumlah 11 hasil akhir dengan probabilitas yang sama mengambil nilai 13, 14, 15, 16, 17 dan seterusnya. Nomor 13 muncul sebagai kandidat yang setara dalam setiap kasus dan memang demikian tunggal jenis ini. Jadi, angka 13 adalah yang paling mungkin.

Secara umum, argumen yang sama menunjukkan bahwa jumlah yang paling mungkin melebihi n untuk pertama kalinya (n adalah 6 atau lebih) adalah n+1.

2. Anggota juri yang sembrono.

Dalam juri yang terdiri dari tiga orang, dua anggota secara mandiri membuat keputusan yang benar dengan probabilitas p, dan anggota ketiga melempar koin untuk mengambil keputusan ( keputusan akhir berdasarkan suara terbanyak). Juri yang terdiri dari satu orang membuat keputusan yang adil dengan probabilitas p. Manakah dari juri berikut yang lebih mungkin mengambil keputusan yang adil?

p (1 – p) + (1 – p) p = 2p (1–p),

lalu mencari probabilitasnya keputusan yang tepat angka ini harus dikalikan 1/2. Dengan demikian, probabilitas total pengambilan keputusan yang adil oleh juri yang terdiri dari tiga orang adalah sama

hal 2 + hal (1–p) = hal,

yang sama dengan probabilitas untuk juri yang terdiri dari satu orang.

Jawaban: Kedua jenis juri tersebut memiliki kemungkinan yang sama dalam mengambil keputusan yang tepat.

3. Segitiga lepas.

Dari atas n-gon biasa(n>5) dua kembar tiga dipilih secara acak berbagai titik. Berapa peluang terambilnya dua segitiga yang titik sudutnya merupakan kembar tiga yang dipilih tidak berpotongan?

Mari kita bagi semua kemungkinan pasangan kembar tiga simpul ke dalam kelompok C n 6, kumpulkan dalam satu kelompok pasangan kembar tiga yang membentuk enam simpul identik. Di satu sisi, setiap kelompok tersebut mengandung elemen sebanyak berapa cara enam simpul tetap dapat dibagi menjadi dua kembar tiga, yaitu C 6 3 = 20 elemen. Di sisi lain, ada tepat 6 cara untuk membagi angka enam menjadi dua angka tiga yang memenuhi kondisi yang disyaratkan dalam soal. Oleh karena itu, probabilitas yang diinginkan adalah 6/20 = 0,3.

Jawaban: 0,3.

4. Bola putih dan hitam.

Masing-masing dari dua guci berisi bola putih dan hitam, dan jumlah bola di kedua guci adalah 25. Satu bola diambil secara acak dari setiap guci. Diketahui peluang terambilnya kedua bola berwarna putih adalah 0,54, tentukan peluang terambilnya kedua bola berwarna hitam.

Misalkan jumlah bola dalam guci pertama dan kedua masing-masing sama dengan m 1 dan m 2 (untuk lebih pastinya, kita asumsikan bahwa m 1 tidak lebih besar dari m 2), dan jumlah bola putih dalam guci tersebut adalah sama ke k 1 dan k 2, masing-masing. Maka peluang terambilnya kedua bola berwarna putih adalah sama

(k 1 /m 1)·(k 2 /m 2).

Kami mendapatkan rasio:

(k 1 /m 1)·(k 2 /m 2) = 0,54 = 27/50,

27m 1 m 2 = 50k 1 k 2,

maka paling sedikit salah satu bilangan m 1, m 2 habis dibagi 5. Tetapi jumlah m 1 + m 2 juga habis dibagi 5, jadi masing-masing bilangan m 1, m 2 habis dibagi 5. Jadi, kita punya hanya dua kemungkinan:

atau m 1 = 5, m 2 = 20,

atau m 1 = 10, m 2 = 15.

Dalam kasus m 1 = 5, m 2 = 20, kita memperoleh k 1 k 2 = 54, di mana k 1 tidak melebihi 5, dan k 2 tidak melebihi 20. Setelah melewati semua kemungkinan nilai ki, kita temukan k 1 = 3, k 2 = 18. Maka guci pertama terdapat 2 bola hitam, guci kedua juga terdapat 2 bola hitam, dan peluang terambilnya dua bola hitam adalah (2/5)·(2/20)=0,04.

Demikian pula, dalam kasus m 1 = 10, m 2 = 15, kita menemukan k 1 = 9, k 2 =9. Maka guci pertama berisi 1 bola hitam, guci kedua berisi 6 bola hitam, dan peluang terambilnya dua bola hitam adalah (1/10)·(6/15) = 0,04 (keduanya jawabannya sama).

Jawaban: 0,04.

5. Duel tiga arah.

Tiga penembak A, B, C memutuskan untuk berduel pada saat yang bersamaan. Mereka menetap di puncak segitiga sama sisi dan mereka sepakat sebagai berikut: tembakan pertama dilakukan oleh A, tembakan kedua oleh B, tembakan ketiga oleh C, dan seterusnya dalam lingkaran; Jika salah satu penembak keluar, duel berlanjut antara dua penembak lainnya. Diketahui penembak A mengenai sasaran dengan probabilitas 0,3, penembak C dengan probabilitas 0,5, dan penembak B tidak pernah meleset sama sekali. Masing-masing menembak ke salah satu dari dua lainnya atau ke udara sedemikian rupa sehingga kemungkinan besar memenangkan duel. Di mana penembak A harus mengarahkan tembakan pertamanya: ke penembak C, ke penembak B, atau ke udara?

Mari kita perhatikan tiga peristiwa yang dapat terjadi setelah tembakan pertama penembak A.

C terkena. Kemudian, dengan probabilitas 1, penembak A akan terkena tembakan pertama B.

V dipukul.

atau dengan probabilitas 0,5 penembak C akan mengenai A dengan tembakan pertamanya,

atau dengan probabilitas (1 – 0.5) 0.3 penembak A akan mengenai C dengan tembakan keduanya,

atau dengan probabilitas (1 – 0,5) · (1 – 0,3) · 0,5 penembak C akan mengenai A dengan tembakan keduanya,

atau dengan probabilitas (1 – 0.5) · (1 – 0.3) · (1 – 0.5) · 0.3 penembak A akan mengenai C dengan tembakan ketiganya, dan seterusnya.

Oleh karena itu, peluang A memenangkan duel dalam kasus ini adalah sama dengan

0,5 · 0,3 + 0,5 · 0,7 · 0,5 · 0,3 + 0,5 · 0,7 · 0,5 · 0,7 · 0,5 · 0,3 + . . . =

0,15 (1 + 0,35 + 0,35 2 + . . .) = 0,15 1/(1 – 0,35) = (15/100) (100/65) = 3/13 .

3) Tidak ada yang kagum. Setelah ini, B akan menembak ke arah C (sebagai lawan yang lebih akurat) dan memukulnya. Kemudian A akan memukul B dengan probabilitas 0,3 dan memenangkan duel tersebut. Jadi, karena 0,3 > 3/13, situasi yang paling menguntungkan bagi penembak A adalah ketika tidak ada seorang pun yang terkena tembakannya setelah tembakannya. Artinya dia harus menembak ke udara untuk pertama kalinya.

Jawaban : A harus menembak ke udara untuk pertama kalinya.

6. Bola merah dan hijau.

Kantong tersebut berisi 6 bola merah dan 8 bola hijau. 5 bola diambil secara acak dan dimasukkan ke dalam kotak merah, 9 bola sisanya dimasukkan ke dalam kotak hijau. Berapa peluang banyaknya bola merah di dalam kotak hijau ditambah banyaknya bola hijau di kotak merah bukan bilangan prima?

Mari kita nyatakan dengan G jumlah bola hijau di kotak merah. Karena ada 6 bola merah dan 8 bola hijau, maka pembagian warna ke dalam kotak adalah sebagai berikut:

Kotak merah: G hijau, (5 – G) merah;

Kotak hijau: (8 – G) hijau, (G + 1) merah.

Jadi banyaknya bola merah di kotak hijau ditambah banyaknya bola hijau di kotak merah adalah (G + 1) + G = 2G + 1, – angka ganjil. Angka G tidak melebihi 5 – jumlah total bola dalam kotak merah. Oleh karena itu, penjumlahan 2G+1 dapat mengambil nilai dari 1 (G=0) hingga 11 (G=5).

Satu-satunya yang aneh bilangan komposit dalam batasan tersebut ada 9. Namun, kita juga harus memasukkan angka 1, yang bukan bilangan prima maupun komposit. Jadi 2G + 1 harus sama dengan 0 atau 9, yang dimungkinkan dengan G = 0 atau G = 4.

Peluang terambilnya suatu sampel dengan G = 0 (banyaknya cara memperoleh 5 warna merah dibagi jumlah seluruh sampel) sama dengan C 6 5 /C 14 5 .

Peluang terambilnya sampel dengan G = 4 (banyaknya cara mendapatkan 4 warna hijau dan 1 warna merah dibagi dengan jumlah sampel) sama dengan C 8 4 C 6 1 /C 14 5 .

Kami menemukan probabilitas kejadian yang diinginkan sebagai jumlah dari probabilitas yang ditunjukkan:

(C 6 5 + C 8 4 C 6 1) / C 14 5 = (6 + 420) / 2002 = 213/1001.

Jawaban: 213/1001.

7. Kepala atau ekor?

Dua pemain A dan B sedang memperhatikan seorang anak laki-laki yang terus-menerus melempar koin. Hasil pelemparan ditulis berurutan dengan menggunakan huruf : on tempat ke-k Urutannya ditandai dengan huruf O atau huruf P, tergantung pada apa yang muncul pada pelemparan ke-k - masing-masing “kepala” atau “ekor”. Pemain A mengklaim bahwa triple OOO akan muncul di rekor lebih awal daripada triple OOO. Pemain B bertaruh bahwa yang terjadi sebaliknya. Pemain mana yang lebih berpeluang memenangkan taruhan ini?

Huruf pertama O (sejak pengamatan anak laki-laki itu dimulai, ada kemungkinan 1 bahwa huruf O akan muncul setidaknya satu kali) dapat diikuti dengan probabilitas yang sama sebesar 1/4 oleh salah satu kombinasi berikut:

RO, OO, RR, ATAU.

Dalam kasus pertama, pemain B menang, dalam kasus kedua, pemain A menang, dan jika kasus ketiga terwujud, maka setelah itu para pemain akan memiliki peluang yang sama seperti di awal permainan. Dalam kasus keempat, dengan probabilitas 1/2 huruf O akan mengikuti dan pemain B akan menang, dan dengan probabilitas 1/2 huruf P akan mengikuti, setelah itu pemain akan memiliki peluang yang sama seperti di awal permainan. Jadi, dengan probabilitas 1/4 A menang, dengan probabilitas

1/4 + 1/4 1/2 = 3/8

B akan menang dan dengan probabilitas 3/8 akan muncul situasi dimana para pemain akan memiliki peluang yang sama seperti di awal permainan. Oleh karena itu, pemain B mempunyai peluang menang lebih besar dibandingkan pemain A.

Jawaban: pemain B.

8. Di teater.

Delapan anak laki-laki dan tujuh anak perempuan secara mandiri membeli satu tiket dari tiket yang sama barisan teater dengan 15 tempat. Berapa rata-rata jumlah tempat berdekatan yang ditempati oleh pasangan-pasangan pada baris tersebut?

Misalnya barisnya diisi sebagai berikut: YUDDYYUDYUDYUDD (di sini Y berarti laki-laki, dan D berarti perempuan), maka ada 9 pasang YUD dan DYU. Kami tertarik pada jumlah rata-rata pasangan tersebut. Jika dua tempat pertama berturut-turut ditempati oleh orang yang berbeda jenis kelamin, maka kita sudah memiliki pasangan yang diinginkan. Peluang kejadian ini adalah

(15/8) · (14/7) + (15/7) · (14/8) = 15/8.

Selain itu, 15/8 juga merupakan jumlah rata-rata pasangan di dua tempat pertama

(15/8) 1 + (15/7) 0 = 15/8.

Alasan yang sama berlaku untuk setiap pasangan lokasi yang berdekatan.

Untuk menentukan rata-rata jumlah pasangan remaja, nilai ini harus dikalikan dengan jumlah tempat yang berdekatan sebesar 14, sehingga menghasilkan 112/15.

Lagi secara umum, jika ada b benda sejenis dan m benda lain yang disusun secara acak dalam satu baris, maka banyaknya pasangan rata-rata yang terdiri dari berbagai objek, sama

Dalam contoh kita, b = 8, m = 7, dan jawabannya adalah 112/15.

Di sini kita telah memanfaatkan secara signifikan fakta bahwa ekspektasi matematis dari jumlah variabel acak sama dengan jumlah tersebut ekspektasi matematis ketentuan. Kami menemukan jumlah rata-rata pasangan JD atau DJ untuk setiap dua tempat yang berdekatan dan menjumlahkannya untuk semua pasangan tersebut.

Jawaban: 112/15.

9. Dalam salah satu permainan populer di Amerika, pemain melempar koin dari jarak yang cukup jauh ke permukaan meja yang dipotong kotak berukuran satu inci. Jika koin (berdiameter 3/4 inci) mendarat sepenuhnya di dalam kotak, pemain menerima hadiah, jika tidak, ia akan kehilangan koinnya. Berapa peluang menang jika koin mendarat di meja?

Saat kita melempar koin ke atas meja, beberapa area pusat gravitasi koin lebih besar kemungkinannya dibandingkan area lainnya, namun jika kuadratnya cukup kecil, kita dapat berasumsi bahwa distribusi probabilitasnya seragam. Artinya peluang jatuhnya pusat pada suatu luas persegi sebanding dengan luas luas tersebut; sama dengan luas daerah dibagi luas persegi. Karena jari-jari koin adalah 3/8 inci, agar pemain dapat menang, jarak pusat koin tidak boleh lebih dekat dari 3/8 inci dari sisi kotak.

Batasan ini dipenuhi oleh sebuah persegi dengan sisi 1/4 inci, di mana pusat koin harus berada. Karena peluang sebanding dengan luas, peluang menang adalah (1/4) 2 = 1/16.

Tentu saja, koin tersebut mungkin tidak mengenai meja sama sekali, dan kemungkinan menang sebenarnya lebih rendah lagi. Kotak juga bisa dibuat lebih kecil dengan mempertebal garis pemisahnya. Jika tebal garis ini 1/16 inci, maka area kemenangan mempunyai probabilitas (3/16)2 = 9/256, atau kurang dari 1/28.

Jawaban: 16/1.

10. Melempar koin.

Pemain A melempar koin sebanyak n+1 kali, dan pemain B melempar koin sebanyak n kali. Berapa peluang pemain A mendapatkan head lebih banyak daripada pemain B?

Misalkan pemain A dan B mendapat kepala m dan k masing-masing. Maka peluang p yang diinginkan dari kejadian m>k sama dengan peluang q kejadian

(n + 1) – m > n – k,

yaitu, probabilitas bahwa pemain A akan mendapat kepala lebih banyak daripada pemain B (karena setiap kali sebuah koin dilempar, kepala dan ekor memiliki peluang yang sama untuk mendarat).

Sebaliknya kejadian m>k terjadi jika dan hanya jika

yaitu, ketika (n+1)–m tidak melebihi n–k (karena n–m dan n–k adalah bilangan bulat). Oleh karena itu p=1–q, maka kita mendapatkan p=q=1/2.

Jawaban: 1/2.

Masalah tanpa solusi

1. Kemenangan berturut-turut.

Untuk mendorong anaknya agar berhasil bermain tenis, sang ayah menjanjikan hadiah kepadanya jika ia memenangkan setidaknya dua pertandingan tenis berturut-turut melawan ayahnya dan juara klub sesuai dengan salah satu skema: ayah - juara - ayah atau juara - ayah - Juara berdasarkan pilihan putra. Sang juara sedang bermain lebih baik dari ayah. Skema mana yang sebaiknya dipilih anak saya?

2. “Cobalah keberuntunganmu”

“Coba keberuntunganmu” adalah permainan untung-untungan yang sering dimainkan di rumah judi dan selama festival umum. Setelah pemain memasang taruhan pada salah satu angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, tiga dilempar dadu. Jika nomor pemain muncul pada satu, dua atau tiga dadu, maka untuk setiap kemunculan nomor tersebut pemain dibayar taruhan aslinya, dan uangnya sendiri juga dikembalikan. Jika tidak, pemain kalah taruhan. Berapa rata-rata kerugian pemain dalam satu taruhan? (Faktanya, Anda dapat bertaruh pada beberapa nomor sekaligus, namun setiap taruhan dihitung secara terpisah.)

3. Setumpuk kartu.

Setumpuk n kartu remi berbeda yang disusun secara acak berisi tiga kartu as. Kartu teratas dari tumpukan dikeluarkan satu per satu hingga kartu as kedua dikeluarkan. Buktikan bahwa rata-rata jumlah kartu yang ditarik adalah (n + 1)/2.

4. Buket bunga

Buket bunga terdiri dari 5 bunga aster dan 10 bunga jagung. Karangan bunga kecil yang masing-masing terdiri dari 3 bunga dibuat secara acak dari karangan bunga ini. Berapa peluang setiap buket kecil berisi satu bunga aster?

5. Segitiga lancip.

Tiga titik A, B, C dipilih secara acak pada sebuah lingkaran. Berapakah peluangnya segitiga ABC bersudut tajam?

Saya perlu membuat titik acak seragam dalam lingkaran berjari-jari R.

Saya memahaminya hanya dengan memilih sudut acak yang seragam dalam interval, memberikan jarak dari pusat. Segitiga kita berupa garis tipis, jadi AB dan BC pada dasarnya sejajar. Jadi titik Z hanyalah jarak x + y dari titik asal. Jika x + y > R kita membuangnya kembali.

Berikut algoritma lengkap untuk R = 1. Saya harap Anda menganggapnya cukup sederhana. Ini menggunakan pemicu, tetapi Anda dapat memberikan jaminan berapa lama waktu yang dibutuhkan, dan berapa banyak random() yang dibutuhkan, dibandingkan dengan sampel penolakan.

T = 2*pi*random() u = acak()+random() r = jika u>1 maka 2-u jika tidak u

Ini dia di Mathematica.

F := Blok[(u, t, r), u = Acak + Acak;

t = Acak 2 Pi;

r = Jika; (r Cos[t], r Sin[t]) ] ListPlot, AspectRatio -> Otomatis] Inilah solusi cepat dan mudah.< a , замените их. Ваша точка (b*R*cos(2*pi*a/b), b*R*sin(2*pi*a/b)) .

Pilih dua nomor acak. Turunkan skala segitiga dan Anda akan mendapatkan segitiga dari (0, 0) ke (1, 0) ke (1, 1) dan kembali ke (0, 0). Semua transformasi ini mengubah kepadatan secara seragam. Apa yang Anda lakukan adalah memilih titik acak dalam segitiga secara seragam dan membalikkan proses untuk mendapatkan titik dalam lingkaran.

Perhatikan bahwa kepadatan titik sebanding dengan kebalikan kuadrat jari-jari, jadi daripada memilih r dari , pilihlah dari , lalu hitung koordinat Anda sebagai:

X = kuadrat(r) * cos(sudut) y = kuadrat(r) * sin(sudut)

Ini akan memberi Anda pemerataan titik pada disk.

Pikirkan seperti ini. Jika Anda memiliki sebuah persegi panjang yang salah satu sumbunya adalah jari-jari dan satu lagi sudutnya, dan Anda mengambil titik-titik di dalam persegi panjang tersebut yang dekat dengan jari-jari 0. Titik-titik tersebut akan sangat dekat dengan titik asal (dekat dengan lingkaran). Namun, titik-titik yang dekat dengan jari-jari R semuanya akan berada di dekat tepi lingkaran (yaitu, berjauhan satu sama lain).

Ini mungkin memberi Anda gambaran mengapa Anda melakukan perilaku ini.

Premis dasarnya adalah Anda dapat membuat variabel dengan distribusi yang diinginkan dari variabel seragam dengan menyesuaikan invers seragam dari fungsi distribusi kumulatif ke fungsi kepadatan probabilitas yang diinginkan. Untuk apa? Anggap saja itu biasa saja, tapi itulah faktanya.

Inilah penjelasan saya yang sedikit intuitif tentang matematika. Fungsi kepadatan f(r) terhadap r harus sebanding dengan r itu sendiri. Memahami fakta ini adalah bagian dari buku kalkulus dasar apa pun. Lihat bagian tentang elemen kutub. Beberapa poster lain menyebutkan hal ini.

Jadi sebut saja f(r) = C*r;

Ternyata, ini paling bekerja. Sekarang, karena f(r) harus merupakan kepadatan probabilitas, mudah untuk melihat bahwa dengan mengintegrasikan f(r) pada interval (0, R) Anda mendapatkan bahwa C = 2/R^2 (ini adalah latihan untuk pembaca .)

Jadi f(r) = 2 * r/R^2

Kemudian bagian terakhir berasal dari variabel acak seragam u di (0,1), yang harus Anda petakan ke kebalikan dari fungsi distribusi kumulatif dari kepadatan yang diperlukan f(r). Untuk memahami mengapa hal ini terjadi, Anda perlu menemukan teks probabilitas tingkat lanjut seperti Papulis (atau mendapatkannya sendiri).

Mengintegrasikan f(r) Anda mendapatkan F(r) = r^2/R^2

Untuk menemukan fungsi terbalik ini, Anda memberi u = r^2/R^2 dan kemudian menyelesaikan r, yang memberi Anda r = R * sqrt(u)

Ini juga masuk akal secara intuitif, u = 0 harus dipetakan ke r = 0. Selain itu, u = 1 harus dipetakan ke r = R. Selain itu, ini adalah sebuah fungsi akar kuadrat, yang masuk akal dan cocok dengan tautannya.

Alasannya solusi naif tidak berfungsi adalah memberikan kepadatan probabilitas yang lebih tinggi pada titik-titik yang terletak lebih dekat ke pusat lingkaran. Dengan kata lain, sebuah lingkaran dengan jari-jari r/2 mempunyai peluang r/2 untuk mendapatkan sebuah titik terpilih di dalamnya, namun mempunyai luas (jumlah titik) pi * r^2/4.

Oleh karena itu, kami ingin kepadatan probabilitas radius memiliki properti berikut:

Peluang terambilnya jari-jari yang lebih kecil atau sama dengan r tertentu harus sebanding dengan luas lingkaran yang berjari-jari r. (karena kami ingin memiliki distribusi yang seragam di seluruh titik, dan wilayah yang luas- lebih banyak poin)

Dengan kata lain, kita ingin peluang terpilihnya jari-jari antara sama dengan pecahannya terhadap luas total lingkaran. luas keseluruhan suatu lingkaran adalah pi * R^2 dan luas lingkaran yang berjari-jari r adalah pi * r^2. Jadi kita ingin peluang memilih jari-jari antara menjadi (pi * r^2)/(pi * R^2) = r^2/R^2.

Sekarang sampai pada perhitungannya:

Probabilitas terpilihnya radius antara merupakan integral dari p(r)dr dari 0 hingga r (ini hanya karena kita menjumlahkan semua probabilitas dengan radius yang lebih kecil). Jadi kita menginginkan integral (p(r)dr) = r^2/R^2. Kita dapat melihat dengan jelas bahwa R^2 adalah sebuah konstanta, jadi kita hanya perlu mencari tahu p(r) yang mana, jika diintegrasikan akan beri kami sesuatu seperti r^2. Jawabannya jelas r* konstan. integral (r * const dr) = r ^ 2/2 * konstanta. Ini harus sama dengan r^2/R^2, jadi konstanta = 2/R^2. Jadi, Anda memiliki distribusi probabilitas p(r) = r*2/R^2

Catatan. Cara intuitif lain untuk memikirkan soal ini adalah dengan membayangkan bahwa Anda mencoba memberikan radius probabilitas pada setiap lingkaran dengan proporsi yang sama dengan jumlah titik yang dimilikinya pada panjang kelilingnya. Jadi sebuah lingkaran dengan jari-jari r akan memiliki 2 * pi * r "titik" di sepanjang kelilingnya. Jumlah keseluruhan poin pi * R^2. Jadi, Anda harus memberi lingkaran r probabilitas yang sama dengan (2 * pi * r)/(pi * R^2) = 2 * r/R^2. tapi itu tidak sehat secara matematis.

Itu sangat tergantung pada apa yang Anda maksud dengan "acak seragam". Ini adalah poin yang bagus, dan Anda dapat membaca lebih lanjut tentang hal ini di halaman wiki di sini: http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_%28probability%29, di mana masalah yang sama memberikan interpretasi berbeda dari "acak seragam" memberikan jawaban yang berbeda!

Tergantung pada cara Anda memilih titik, distribusinya dapat berubah, meskipun agak seragam.

Entri blog tersebut sepertinya mencoba membuatnya acak secara seragam dalam pengertian berikut: jika Anda mengambil sublingkaran dari sebuah lingkaran dengan pusat yang sama, maka peluang suatu titik jatuh di daerah tersebut sebanding dengan luas daerah tersebut. . Saya yakin ini mencoba mengikuti interpretasi standar "acak seragam" untuk wilayah 2D dengan wilayah yang ditentukan di dalamnya: probabilitas suatu titik jatuh di wilayah mana pun (dengan wilayah yang terdefinisi dengan baik) sebanding dengan luas wilayah itu.

Ini kode Python saya untuk menghasilkan jumlah titik acak dari lingkaran berjari-jari rad:

Impor matplotlib.pyplot sebagai plt impor numpy sebagai np rad = 10 num = 1000 t = np.random.uniform(0.0, 2.0*np.pi, num) r = rad * np.sqrt(np.random.uniform(0.0, 1.0, angka)) x = r * np.cos(t) y = r * np.sin(t) plt.plot(x, y, "ro", ms=1) plt.axis([-15, 15 , -15, 15]) plt.tampilkan()

Misalkan ρ (radius) dan φ (azimuth) menjadi dua variabel acak, sesuai dengan koordinat kutub titik sewenang-wenang di dalam lingkaran. Jika titik-titiknya terdistribusi merata, lalu apa fungsi distribusi dari fungsi ρ dan φ?

Untuk setiap r: 0

P[ρ

Dimana S1 dan S0 berturut-turut adalah luas lingkaran yang berjari-jari r dan R. Jadi CDF dapat ditentukan sebagai:

0 jika r<=0 CDF = (r/R)**2 if 0 < r <= R 1 if r >R

PDF = d/dr(CDF) = 2 * (r/R**2) (0< r <= R).

Perhatikan bahwa untuk R = 1 variabel acak kuadrat (X), dimana X seragam pada = P = y * * 2 pada 0

Distribusi φ tampaknya seragam dari 0 hingga 2 * π. Sekarang Anda dapat menghasilkan koordinat kutub acak dan mengubahnya menjadi Cartesian menggunakan persamaan trigonometri:

X = ρ * cos(φ) y = ρ * sin(φ)

Tidak dapat menahan diri untuk tidak memposting kode python untuk R=1.

Dari matplotlib import pyplot as plt import numpy as np rho = np.sqrt(np.random.uniform(0, 1, 5000)) phi = np.random.uniform(0, 2*np.pi, 5000) x = rho * np.cos(phi) y = rho * np.sin(phi) plt.scatter(x, y, s = 4)

Anda akan menerima

Solusi Java dan contoh propagasi (2000 poin)

Kekosongan publik getRandomPointInCircle() ( double t = 2 * Math.PI * Math.random(); double r = Math.sqrt(Math.random()); double x = r * Math.cos(t); double y = r * Matematika.sin(t); Sistem.keluar.println(x);

Pertama kita akan menghasilkan cdf[x] yaitu

Peluang terambilnya suatu titik kurang dari jarak x dari pusat lingkaran. Misalkan lingkaran mempunyai jari-jari R.

Jelasnya, jika x nol, maka cdf = 0

jelasnya, jika x sama dengan R, maka cdf [R] = 1

jelasnya, jika x = r, maka cdf [r] = (Pi r ^ 2)/(Pi R ^ 2)

Hal ini dikarenakan setiap “luas kecil” pada lingkaran mempunyai peluang terpilih yang sama, sehingga peluangnya sebanding dengan luas tersebut. Luas yang diketahui pada jarak x dari pusat lingkaran adalah Pi r^2

jadi cdf[x] = x^2/R^2 karena Pi saling membatalkan

kita punya cdf[x] = x^2/R^2, di mana x berpindah dari 0 ke R

Jadi kita menyelesaikannya untuk x

R^2 cdf[x] = x^2 x = R Persegi[ cdf[x] ]

Sekarang kita bisa mengganti cdf dengan angka acak antara 0 dan 1

X = R Kuadrat[ AcakReal[(0,1)] ]

R = R Kuadrat[ AcakReal[(0,1)] ]; theta = 360 derajat * RandomReal[(0,1)]; (r,theta)

kita mendapatkan koordinat kutub (0,601168 R, 311,915 derajat)

Saya menggunakan metode ini: Ini mungkin sama sekali tidak dioptimalkan (yaitu menggunakan serangkaian titik, jadi tidak cocok untuk lingkaran besar), tetapi memberikan distribusi acak. Anda dapat melewati pembuatan matriks dan menggambar secara langsung jika Anda mau. Caranya adalah dengan mengacak semua titik pada persegi panjang yang berada di dalam lingkaran.

Bool[,] getMatrix(System.Drawing.Rectangle r) ( bool[,] matriks = bool baru; matriks kembali; ) void fillMatrix(ref bool[,] matriks, Pusat vektor) ( radius ganda = pusat.X; R acak = baru Acak(); untuk (int y = 0; y< matrix.GetLength(0); y++) { for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++) { double distance = (center - new Vector(x, y)).Length; if (distance < radius) { matrix = r.NextDouble() >0,5;< matrix.GetLength(0); y++) { for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++) { if (matrix) { g.DrawImage(pixel, new PointF((float)(centerPoint.X - radius + x), (float)(centerPoint.Y - radius + y))); } } } g.Dispose(); } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { System.Drawing.Rectangle r = new System.Drawing.Rectangle(100,100,200,200); double radius = r.Width / 2; Vector center = new Vector(r.Left + radius, r.Top + radius); Vector normalizedCenter = new Vector(radius, radius); bool[,] matrix = getMatrix(r); fillMatrix(ref matrix, normalizedCenter); drawMatrix(center, radius, matrix); }

) ) ) ) private void drawMatrix(Vector centerPoint, radius ganda, bool[,] matriks) ( var g = this.CreateGraphics(); Bitmap pixel = Bitmap baru(1,1); pixel.SetPixel(0, 0, Warna .Hitam); untuk (int y = 0; y

Unsur luas suatu lingkaran adalah dA = rdr * dphi. Faktor tambahan ini merusak ide Anda untuk memilih r dan phi secara acak. Meskipun phi berdistribusi datar, r tidak, tetapi datar pada 1/r (artinya Anda lebih mungkin mencapai batas daripada tepat sasaran).

Jadi, untuk membuat titik-titik yang tersebar merata di sekeliling lingkaran, pilih phi dari distribusi datar dan r dari distribusi 1/r.

Alternatifnya adalah dengan menggunakan metode Monte Carlo yang dikemukakan oleh Mehrdad.

MENGUBAH

Untuk memilih r acak rata pada 1/r, Anda dapat memilih x acak dari interval dan menghitung r = 1/x. r kemudian didistribusikan secara padat menjadi 1/r.

Untuk menghitung phi acak, pilih x acak dari interval dan hitung phi = 2 * pi * x.

Anda juga dapat menggunakan intuisi Anda.

Luas lingkaran adalah pi*r^2

Ini memberi kita luas pi. Mari kita asumsikan kita mempunyai fungsi f yang akan mendistribusikan N=10 titik secara merata di dalam lingkaran. Rasio di sini adalah 10/pi

Sekarang kita gandakan luas dan jumlah titiknya

Ini menghasilkan luas 4pi dan rasionya sekarang menjadi 20/4pi atau 10/2pi. Rasionya akan semakin kecil jika jari-jarinya semakin besar, karena pertumbuhannya kuadrat dan N linier.

Untuk memperbaikinya kita cukup mengatakannya

X = r^2 akar persegi(x) = r

Jika Anda membuat vektor dalam koordinat kutub seperti ini

Bukan karya Russell, tentang tukang cukur dan argumen diagonal, melainkan karya Joseph Louis Francois. Terdiri dari berikut ini.
Soal: ada sebuah lingkaran, kita menggambar tali busur secara acak di sana. Berapa peluang suatu kejadian
A = (tali tali busur ternyata lebih panjang dari sisi segitiga sama sisi yang melingkari)?

Jawabannya tergantung bagaimana tepatnya kita memilih akord ini. Yaitu, ada tiga metode (lebih banyak lagi yang mungkin, tetapi ini sudah cukup untuk saat ini):

Metode 1: Akord - apa itu? Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada suatu lingkaran. Tanpa basa-basi lagi, mari kita ambil dua titik acak pada lingkaran ini (secara terpisah), dan buatlah tali busur di antara keduanya. Karena semua yang ada di sini simetris, titik pertama BOOMS akan jatuh tepat di kutub utara, dan peristiwa tersebut A akan terjadi ketika titik kedua menyentuh busur merah pada gambar (semua akord di postingan ini berwarna biru):

Tentu saja, probabilitas yang diinginkan adalah 1/3.

Metode 2. Sekarang mari kita ambil dan menggambar akordnya seperti ini. Pertama-tama mari kita pilih jari-jari acak (yaitu, hubungkan pusat dengan titik acak pada lingkaran), lalu pilih titik acak di atasnya, gambar garis tegak lurus, dan dapatkan tali busur. Sekali lagi, BOOMS jari-jari ini mengarah ke kutub utara (dan mengapa saya begitu tertarik ke kutub utara...), dan sisi segitiga sama sisi (yang titik sudutnya di kutub selatan) membagi jari-jari ini menjadi dua, dan lagi dari kontemplasi pada gambar

(titik acak pada jari-jari harus jatuh pada segmen merah) jelas bahwa probabilitas yang diinginkan adalah 1/2.

Metode 3. Secara umum, kita hanya akan memilih satu titik acak di dalam lingkaran. Jelas kita tidak bisa sampai tepat ke pusat, artinya hanya ada satu tali busur yang titik pusatnya bertepatan dengan tali busur yang dipilih. Mari kita pertimbangkan. Atau lebih tepatnya, mari kita lihat gambarnya

dan kita melihat dengan jelas bahwa probabilitas yang diinginkan adalah 1/4 (jari-jari lingkaran dalam di mana titik yang dipilih harus berada adalah setengah dari jari-jari aslinya).

Di Sini. Satu soal, tiga jawaban berbeda, 1/3, 1/2, 1/4. Dan di sini, pada titik ini, kesimpulannya biasanya diambil bahwa masalahnya dirumuskan secara salah; perlu untuk menunjukkan apa sebenarnya yang kami maksud dengan "memilih akord acak", jika tidak maka tidak mungkin. Jadi?

Tapi tidak seperti itu! Lebih tepatnya, tidak seperti itu. Begini masalahnya: jika kita benar-benar ingin merumuskan semua masalah probabilistik dengan cara yang benar-benar ketat dan tepat, maka alih-alih, misalnya, “dari sepuluh orang kita memilih dua secara acak”, kita harus menulis sesuatu seperti “dari himpunan semua pasangan tak berurutan dari elemen himpunan yang berbeda (1, ...,10) pilih satu pasangan dengan distribusi probabilitas yang seragam." Nah, apa sih, menurut saya biasanya sudah jelas bahwa ketika mereka mengatakan “kami akan memilih secara acak” tanpa klarifikasi lebih lanjut, ini berarti pilihannya memiliki kemungkinan yang sama, yaitu dibuat dengan distribusi yang seragam.

OKE. Bagus. Tapi di sini mereka akan menolak saya dalam artian itu

Jelaslah bagaimana kemungkinan yang sama untuk memilih elemen acak dari suatu himpunan N elemen (masing-masing diambil dengan probabilitas 1/N)

Secara intuitif juga jelas apa yang dimaksud dengan distribusi seragam di suatu area, katakanlah, pada bidang (lingkaran, persegi, ...).

Namun bagaimana dengan objek yang lebih kompleks?

Dan kami akan menjawabnya seperti ini. Hal utama, saya bahkan akan mengatakan, ciri Ini adalah sifat distribusi yang seragam. Membiarkan H- beberapa subset dari himpunan G, dan pilih satu objek dari G dengan kemungkinan yang sama. Jadi, asalkan hasilnya masuk H- memiliki distribusi yang seragam di sana, diperoleh invarian seperti itu. Misalnya, jika Anda memilih secara acak satu orang dari kelompok yang terdiri dari 5 laki-laki / 5 perempuan, dan diketahui bahwa orang tersebut adalah perempuan, maka salah satu dari lima orang tersebut mempunyai peluang yang sama (1/5) untuk terpilih. Dan semua ini juga berlaku untuk pemilihan seragam suatu titik dari suatu wilayah.

Jadi, apa yang kita inginkan dari akord acak? Berdasarkan hal di atas, masuk akal bagi saya bahwa yang kita inginkan adalah sebagai berikut:

asalkan akordnya acak AB memotong lingkaran kecil (menghasilkan tali busur di sana A"B"), akord ini A"B" memiliki distribusi probabilitas yang sama dengan “tali acak” (apa pun artinya untuk saat ini) dalam lingkaran kecil.

Jadi, ternyata dari ketiga cara membuat tali busur acak di atas, hanya cara 2 yang memiliki sifat ini! Dan tidak ada orang lain selain dia; semua yang lain tidak baik. Semua ini sudah diketahui sejak lama, lihat artikelnya, saya sangat merekomendasikannya.

Namun, apa yang telah kita bahas di sini menunjukkan pemikiran seperti itu. Oke, sekarang kita tahu bahwa ada tali busur acak pada sebuah lingkaran. Bagaimana
matematikawan sejati, kami ingin menggeneralisasikannya, dari lingkaran ke elips, persegi, hiperkubus, dan apa pun. Baiklah, mari kita mencobanya.

Artinya, mengulangi apa yang telah dilakukan, tali busur adalah ruas yang menghubungkan dua titik pada batas wilayah kita. Daripada langsung memilih kedua titik ini, mari kita coba melakukannya secara berbeda: pertama pilih satu titik pada batas (dengan cara tertentu), lalu pilih arah (dengan cara lain) ke mana akord akan bergerak dari titik ini. Dan akan terus sampai bersinggungan dengan perbatasan, dan kemanapun datangnya, titik kedua akan ada disana.

Seperti halnya latihan sederhana pengetahuan planimetri sekolah, buktikan bahwa cara 1 setara dengan prosedur ini: pertama kita ambil satu titik secara merata pada lingkaran, kemudian arah tali busur dipilih juga dengan distribusi yang seragam, seolah-olah semua arah kemungkinannya sama.

Dan dengan metode 2 kita yang berharga, situasinya adalah sebagai berikut: arah tali busur dipilih berdasarkan hukum kosinus, yaitu. kerapatan distribusi arah ini sebanding dengan kosinus sudut antara arah tersebut dan jari-jarinya (buktikan!). Apa yang akan terjadi jika prosedur serupa dilakukan dengan wilayah yang kurang lebih sewenang-wenang (kami tidak akan menulis komentar yang membosankan tentang kelancaran batasnya di sini), yaitu

(a) pertama-tama pilihlah sebuah titik yang seragam pada batasnya

(b) kita memilih arah dari sana sesuai dengan hukum kosinus (sudutnya terhadap garis normal terhadap batas pada titik ini), dan tali busurnya bergerak.

Ternyata ini semua benar-benar berhasil, dan dalam dimensi apa pun juga! Hal ini dapat dibuktikan

(hampir copy-paste, harap dicatat) mengingat bahwa, yang merupakan akord acak AB memotong wilayah bagian dalam (menghasilkan tali busur di sana A"B"), akord ini A"B" memiliki distribusi probabilitas yang sama dengan tali busur acak sederhana di wilayah internal (wilayah eksternal di sini kurang lebih berubah-ubah, tetapi tali busur internalnya cembung, sehingga tali busur yang “diinduksi” selalu ditentukan secara unik). Saya akan menggunakan kesempatan ini untuk mengiklankan artikel tersebut di sini, meskipun kami menemukan kembali roda tersebut di beberapa tempat. Anda setidaknya harus membaca bukunya terlebih dahulu (dan saya sangat merekomendasikannya, ya).

________________________________________ _____________________________________

Jaynes, ET. (1973). "Masalah yang Diajukan dengan Baik". Ditemukan. Fis. 3 (4): 477-492.

F. Komet, S. Popov, G.M. Schütz, M.Vachkovskaia (2009)
Biliar di domain umum dengan refleksi acak.
Arsip Mekanika dan Analisis Rasional, 193 (3), hal. 737-738,
http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-008-0120-x?LI=true
Lihat juga Erratum di sini: http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-009-0236-7?LI=true, karena mereka membuat kesalahan.
Dan sebaiknya baca disini: http://arxiv.org/abs/math/0612799, semuanya sudah diperbaiki disana dan aksesnya gratis.

Kendall, Moran. (1972)
Probabilitas geometris.
Saya pikir semua orang akan menemukan tempat untuk mengunduh :)

Rencana garis besar dikembangkan

Trofimova Lyudmila Alekseevna

Probabilitas geometris

Maksud dan tujuan: 1) Perkenalkan siswa pada salah satu metode penugasan yang mungkin

probabilitas;

2) Pengulangan apa yang telah dipelajari dan pemantapan keterampilan formalisasi

masalah probabilitas kata menggunakan bentuk geometris.

Hasil belajar:

1) Mengetahui definisi peluang geometrik terpilihnya suatu titik

di dalam gambar pada bidang datar dan garis lurus;

2) Mampu menyelesaikan permasalahan probabilitas geometri sederhana,

mengetahui luas bangun-bangun atau mampu menghitungnya.

SAYA. Memilih suatu titik dari suatu gambar pada bidang datar.

Contoh 1. Misalkan sebuah eksperimen pemikiran: sebuah titik dilempar secara acak ke dalam sebuah persegi yang sisinya sama dengan 1. Pertanyaannya adalah, berapa peluang suatu kejadian sehingga jarak dari titik tersebut ke sisi terdekat dari persegi tersebut tidak lebih dari ?

Dalam masalah ini kita berbicara tentang apa yang disebut probabilitas geometris.

Sebuah titik dilemparkan secara acak ke dalam sebuah gambar F di pesawat. Berapa peluang suatu titik mengenai angka tertentu G, yang terdapat pada gambar tersebut F.

Jawabannya bergantung pada makna yang kita masukkan ke dalam ungkapan “melemparkan suatu titik secara acak”.

Ungkapan ini biasanya diartikan sebagai berikut:

1. Sebuah titik yang dilempar dapat mengenai bagian mana pun dari gambar tersebut F.

2. Peluang suatu titik jatuh ke dalam angka tertentu G di dalam gambar F, berbanding lurus dengan luas gambar G.

Ringkasnya: misalkan dan menjadi luas bangun-bangun tersebut F Dan G. Kemungkinan kejadian A“Titik X milik gambar tersebut G, yang terdapat pada gambar tersebut F", sama dengan

Perhatikan luas gambar tersebut G tidak lebih dari luas gambar F, Itu sebabnya

Mari kita kembali ke tugas kita. Angka F dalam contoh ini, persegi dengan sisi 1. Oleh karena itu =1.

Suatu titik dihilangkan dari batas persegi tidak lebih dari , jika titik tersebut berada dalam bayangan yang diarsir pada gambar G. Untuk mencari luasnya, Anda perlu dari luas gambar F kurangi luas persegi bagian dalam dengan sisi .

Maka peluang terambilnya titik tersebut pada gambar G, sama dengan

Contoh 2. Titik X dipilih secara acak dari segitiga ABC. Tentukan peluang titik X tersebut berada pada segitiga yang titik-titik sudutnya berada pada titik tengah sisi-sisi segitiga tersebut.

Larutan: Garis tengah segitiga membaginya menjadi 4 segitiga sama besar. Cara,

Peluang terambilnya titik X pada segitiga KMN adalah:

Kesimpulan. Peluang suatu titik jatuh pada suatu bangun tertentu berbanding lurus dengan luas bangun tersebut.

Tugas. Duelist yang tidak sabar.

Duel di kota Awas jarang berakhir menyedihkan. Faktanya adalah setiap duelist tiba di tempat pertemuan secara acak antara jam 5 dan 6 pagi dan, setelah menunggu lawan selama 5 menit, pergi. Jika yang terakhir tiba dalam 5 menit tersebut, duel akan berlangsung. Berapa proporsi duel yang sebenarnya berakhir dengan pertarungan?

Larutan: Membiarkan X Dan pada menunjukkan waktu kedatangan duelist ke-1 dan ke-2, masing-masing, diukur dalam sepersekian jam mulai dari jam 5.

Duelist bertemu jika, mis. X - < kamu< X + .

Mari kita gambarkan ini dalam gambar.

Bagian alun-alun yang diarsir sesuai dengan kasus ketika para duelist bertemu.

Luas seluruh persegi adalah 1, luas bagian yang diarsir adalah :

Artinya peluang pertarungannya sama.

II. Memilih titik dari suatu segmen dan busur lingkaran.

Mari kita pertimbangkan eksperimen pemikiran yang terdiri dari pemilihan acak satu titik X dari segmen MN tertentu.

Hal ini dapat dipahami seolah-olah titik X “dilempar” secara acak ke segmen tersebut. Peristiwa dasar dalam percobaan ini dapat berupa pemilihan titik mana pun pada segmen tersebut.

Biarkan segmen CD termuat dalam segmen MN. Kami tertarik dengan acara tersebut A , terdiri dari fakta bahwa titik yang dipilih X termasuk dalam segmen CD.

Cara menghitung peluang ini sama dengan cara menghitung peluang pada bidang datar: peluangnya sebanding dengan panjang segmen CD.

Oleh karena itu, kemungkinan suatu kejadian A “Titik X termasuk dalam segmen CD yang terdapat pada segmen MN” sama dengan, .

Contoh 1. Sebuah titik X dipilih secara acak di dalam segmen MN. Tentukan peluang bahwa titik X lebih dekat ke titik N daripada ke M.

Larutan: Misalkan titik O adalah titik tengah ruas MN. Peristiwa kita akan terjadi ketika titik X terletak di dalam ruas ON.

Kemudian .

Tidak ada perubahan jika titik X dipilih bukan dari suatu ruas, melainkan dari busur suatu garis lengkung.

Contoh 2. Titik A dan B terletak pada sebuah lingkaran, dan titik-titik tersebut tidak berseberangan diametral. Titik C dipilih pada lingkaran yang sama. Tentukan peluang segmen BC memotong diameter lingkaran yang melalui titik A.

Larutan: Misalkan kelilingnya adalah L. Peristiwa yang menarik bagi kita KE Ruas BC memotong diameter DA hanya terjadi jika titik C terletak pada setengah lingkaran DA yang tidak memuat titik B. Panjang setengah lingkaran tersebut adalah L.

Contoh 3. Titik A diambil pada lingkaran. Titik B “dilempar” ke atas lingkaran. Berapakah peluang panjang tali busur AB lebih kecil dari jari-jari lingkaran.

Larutan: Misalkan r adalah jari-jari lingkaran.

Agar tali busur AB lebih pendek dari jari-jari lingkaran, titik B harus jatuh pada busur B1AB2 yang panjangnya sama dengan panjang lingkaran.

Peluang terambilnya tali busur AB lebih kecil dari jari-jari lingkaran adalah:

AKU AKU AKU. Memilih suatu titik dari garis bilangan

Probabilitas geometris dapat diterapkan pada interval numerik. Misalkan suatu bilangan X dipilih secara acak yang memenuhi kondisi . Percobaan ini dapat digantikan dengan percobaan dimana suatu titik dengan koordinat X dipilih dari suatu ruas pada garis bilangan.

Mari kita perhatikan kejadian sebuah titik dengan koordinat X dipilih dari segmen yang terdapat dalam segmen tersebut. Mari kita nyatakan peristiwa ini. Probabilitasnya sama dengan rasio panjang segmen dan .

Contoh 1. Temukan probabilitas bahwa suatu titik yang dipilih secara acak dari segmen tersebut termasuk dalam segmen tersebut.

Larutan: Dengan menggunakan rumus probabilitas geometrik kita menemukan:

Contoh 2. Menurut peraturan lalu lintas, pejalan kaki dapat menyeberang jalan di tempat yang tidak ditentukan jika tidak ada penyeberangan pejalan kaki yang terlihat. Di kota Mirgorod, jarak penyeberangan pejalan kaki di Jalan Solnechnaya adalah 1 km. Seorang pejalan kaki melintasi Jalan Solnechnaya di antara dua penyeberangan. Dia dapat melihat tanda penyeberangan tidak lebih dari 100 m dari dirinya. Temukan probabilitas bahwa pejalan kaki tidak melanggar peraturan.

Larutan: Mari kita gunakan metode geometris. Mari kita susun garis bilangan tersebut sehingga ruas jalan di antara perlintasan tersebut menjadi satu ruas. Misalkan seorang pejalan kaki mendekati jalan pada suatu titik dengan koordinat X. Pejalan kaki tersebut tidak melanggar peraturan jika berada pada jarak lebih dari 0,1 km dari setiap penyeberangan, yaitu 0,1

Contoh 3. Kereta melewati peron dalam waktu setengah menit. Pada suatu saat, secara kebetulan, saat melihat ke luar jendela dari kompartemennya, Ivan Ivanovich melihat kereta api sedang melewati peron. Ivan Ivanovich melihat ke luar jendela tepat 10 detik dan kemudian berbalik. Temukan kemungkinan dia melihat Ivan Nikiforovich, yang berdiri tepat di tengah-tengah peron.

Larutan: Mari kita gunakan metode geometris. Kami akan menghitung mundur dalam hitungan detik. Mari kita luangkan waktu 0 detik untuk menjadi momen ketika Ivan Ivanovich berhasil mengejar awal platform. Kemudian dia mencapai ujung platform dalam waktu 30 detik. Selama X detik. Mari kita tandai momen ketika Ivan Ivanovich melihat ke luar jendela. Oleh karena itu, nomor X dipilih secara acak dari segmen tersebut. Saya menyusul Ivan pada 15 detik. Dia melihat Ivan Nikiforovich hanya jika dia melihat ke luar jendela paling lambat saat itu, tetapi tidak lebih awal dari 10 detik sebelumnya. Oleh karena itu, Anda perlu mencari probabilitas geometrik dari kejadian tersebut. Menggunakan rumus yang kami temukan

"Latar belakang probabilistik"

Di awal puisi “Jiwa Mati”, dua pria berdebat tentang seberapa jauh roda kereta Chichikov akan melaju:

“...dua pria Rusia yang berdiri di depan pintu kedai di seberang hotel melontarkan beberapa komentar, yang, bagaimanapun, lebih berkaitan dengan gerbong tersebut daripada mereka yang duduk di dalamnya. “Lihat,” kata yang satu kepada yang lain, “roda yang luar biasa! Bagaimana menurut Anda, apakah roda itu, jika terjadi, akan sampai ke Moskow atau tidak?” “Itu akan sampai di sana,” jawab yang lain. “Tapi menurutku dia tidak akan sampai ke Kazan?” “Dia tidak akan sampai ke Kazan,” jawab yang lain.

Masalah yang harus dipecahkan.

1. Tentukan peluang suatu titik yang dilemparkan secara acak ke dalam persegi ABCD yang bersisi 4 akan berakhir di persegi A1B1C1D1 yang bersisi 3, yang terletak di dalam persegi ABCD.

Menjawab. 16/9.

2. Dua orang A dan B sepakat untuk bertemu di suatu tempat tertentu dalam selang waktu 900 sampai 1000. Masing-masing datang secara acak (pada selang waktu yang ditentukan), tidak tergantung satu sama lain, dan menunggu 10 menit. Berapa kemungkinan mereka akan bertemu?

Menjawab. 36/11.

3. Pada ruas AB yang panjangnya 3, titik C muncul secara acak. Tentukan peluang terambilnya jarak titik C ke B melebihi 1.

Menjawab. 2/3.

4. Sebuah segitiga dengan luas terbesar terdapat pada lingkaran yang berjari-jari 5. Tentukan peluang suatu titik yang secara tidak sengaja dilempar ke dalam lingkaran akan jatuh ke dalam segitiga.

5. Pinokio menanam noda bulat berjari-jari 1 cm pada lembaran persegi panjang berukuran 20 cm kali 25 cm. Segera setelah itu, Pinokio menanam noda serupa lainnya, yang seluruhnya berada di atas daun. Tentukan peluang kedua noda tersebut tidak bersentuhan.

6. Persegi ABCD ditulis dalam lingkaran. Sebuah titik M dipilih secara acak pada lingkaran ini. Tentukan peluang bahwa titik tersebut terletak pada: a) busur AB yang lebih kecil; b) busur AB yang lebih besar.

Menjawab. a) 1/4; b) 3/4.

7. Titik X dilempar secara acak ke ruas tersebut. Dengan probabilitas berapa pertidaksamaan tersebut terjadi: a) ; B) ; V) ?

Menjawab. a) 1/3; b) 1/3; c) 1/3.

8. Semua yang diketahui tentang desa Ivanovo adalah bahwa desa itu terletak di suatu tempat di jalan raya antara Mirgorod dan Stargorod. Panjang jalan raya adalah 200 km. Temukan probabilitas bahwa:

a) dari Mirgorod ke Ivanovo sepanjang jalan raya kurang dari 20 km;

b) dari Stargorod ke Ivanovo sepanjang jalan raya lebih dari 130 km;

c) Ivanovo terletak kurang dari 5 km dari titik tengah antar kota.

Menjawab. a) 0,1; b) 0,35; c) 0,05.

Materi tambahan

Pendekatan geometris terhadap probabilitas suatu kejadian tidak bergantung pada jenis pengukuran ruang geometris: yang penting adalah himpunan kejadian dasar F dan himpunan G yang mewakili kejadian A memiliki tipe dan dimensi yang sama.

2. Titik acak X terdistribusi merata dalam suatu persegi . Tentukan peluang bahwa sebuah persegi dengan pusat X dan panjang sisi b sejajar sumbu koordinat seluruhnya terdapat di dalam persegi A.

Literatur:

1. Teori probabilitas dan statistik / , . – Edisi ke-2, direvisi. – M.: MTsNMO: buku pelajaran,” 2008. – 256 hal.: sakit.

2. Teori probabilitas dan statistik matematika dalam contoh dan soal menggunakan Excel / , . – Ed. ke-4. – Rostov n/d: Phoenix, 2006. – 475 hal.: sakit. – (Pendidikan tinggi).

3. Lima puluh masalah probabilitas yang menghibur dengan solusi. Per. dari bahasa Inggris/Ed. . edisi ke-3. – M.: Nauka, Redaksi Utama Sastra Fisika dan Matematika, 1985. – 88 hal.

4. Kumpulan Soal Teori Probabilitas : Buku Ajar. Sebuah manual untuk universitas./, – edisi ke-2, direvisi. Dan tambahan – M.: Sains. Bab. ed. Fis.-matematika. menyala. – 1989. – 320 hal.

5. Mata kuliah pilihan matematika: Teori probabilitas: Proc. Panduan untuk kelas 9-11. rata-rata sekolah/ – edisi ke-3. dikerjakan ulang – M.: Pendidikan, 1990. – 160 hal.

Definisi geometris dari probabilitas. Aturan produk. Jika beberapa objek A dapat dipilih dari sekumpulan objek dengan m cara dan setelah setiap pemilihan objek B lainnya dapat dipilih dengan n cara, maka sepasang objek (A, B) dengan urutan tertentu dapat dipilih dalam m · n cara.

Di luar hari-hari awal musim gugur, dan dedaunan kuning di pepohonan membangkitkan suasana hati yang liris dan sedikit sedih…. Namun masih ada satu tahun ajaran ke depan dan pada saat-saat seperti itu Anda harus bersiap untuk pekerjaan yang bermanfaat! Saya segera menyenangkan semua pembaca yang murung dengan resep khas saya, yang memungkinkan Anda dengan cepat meningkatkan warna tubuh Anda. Untuk melakukan ini, ingatlah sedikit saja geometri… … tidak, saya setuju bahwa terkadang hal itu membuat Anda tertidur, tetapi dalam dosis kecil hal ini sangat menyegarkan! Dan, yang paling penting, ini sangat efektif - segera setelah Anda mulai mengambil bagian dari pengetahuan yang memberi kehidupan, Anda tidak akan segera mengalami depresi musiman!

Kembali ke pelajaran pertama tentang topik tersebut, kita bertemu definisi klasik tentang probabilitas terjadinya suatu peristiwa dalam suatu ujian dan rumus yang paling sederhana, dimana adalah jumlah seluruhnya semua mungkin sama mungkinnya , dasar hasil tes yang diberikan, dan merupakan jumlah hasil dasar yang mendukung kejadian tersebut.

Mengalami masalah dengan terminologi dan/atau pemahaman? Silakan mulai dengan dasar-dasar teori probabilitas.

Mari kita lanjutkan: definisi klasik tentang probabilitas ternyata efektif untuk menyelesaikan berbagai macam masalah, namun di sisi lain, ia juga memiliki sejumlah kelemahan. Akan lebih tepat jika dikatakan, bukan kekurangannya, tapi keterbatasannya. Salah satu batasannya adalah kenyataan bahwa hal ini tidak berlaku untuk uji coba dengan jumlah hasil yang tidak terbatas. Contoh paling sederhana:

Titik lapar dilemparkan secara acak ke dalam segmen tersebut. Berapa peluangnya jatuh di antara ?

Karena terdapat banyak sekali titik pada suatu segmen, rumus tersebut tidak dapat diterapkan di sini (karena nilai “en”) yang sangat besar dan pendekatan lain datang untuk menyelamatkan, yang disebut definisi geometris probabilitas.

Semuanya sangat mirip: peluang terjadinya suatu peristiwa dalam suatu pengujian sama dengan rasio , dimana – ukuran geometris, menyatakan jumlah total semua mungkin Dan sama mungkinnya hasil tes ini, dan – ukuran, menyatakan jumlah hasil yang menguntungkan acara tersebut. Dalam praktiknya, ukuran geometris seperti itu paling sering berupa panjang atau luas, lebih jarang volume.

Mari kita perhatikan kejadiannya: – sebuah titik yang dilempar ke suatu ruas jatuh ke dalam interval. Jelasnya, jumlah total hasil dinyatakan dengan panjang segmen yang lebih besar: , dan hasil yang mendukung peristiwa tersebut adalah panjang segmen yang disematkan: Menurut definisi geometri probabilitas:

Terlalu mudah? Seperti halnya dengan definisi klasik, ini adalah kesan yang menyesatkan. Kami secara menyeluruh dan sungguh-sungguh memahami contoh-contoh praktis:

Masalah 1

Pita meteran dipotong secara acak dengan gunting. Tentukan peluang terambilnya panjang potongan paling sedikit 80 cm.

Larutan: “Apa rumitnya hal itu? Kemungkinannya adalah 1/5.” Ini adalah kesalahan otomatis yang dilakukan karena kelalaian. Ya, benar sekali - panjang pemotongan setidaknya 80 cm jika Anda memotong tidak lebih dari 20 sentimeter dari selotip. Namun di sini mereka sering lupa bahwa potongan yang diinginkan bisa dibuat seperti dari satu ujung rekaman itu dan dari yang lain:

Perhatikan kejadian berikut: – panjang pemotongan paling sedikit 0,8 m.

Karena pita dapat dipotong di mana saja, jumlah total hasil sesuai dengan panjangnya: Bagian potongan yang sesuai untuk acara tersebut ditandai dengan warna merah pada gambar dan panjang totalnya sama dengan:

Menjawab: 0,4

Apa yang bisa disimpulkan? Meskipun tugas tersebut tampak sangat sederhana bagi Anda, JANGAN Terburu-buru. Impulsif pada umumnya adalah hal yang buruk - itu berarti kesalahan, pembelian yang tidak perlu, rusaknya hubungan kulit, dll.... tapi jangan membicarakan hal-hal yang menyedihkan!

Saat menyiapkan tugas, pastikan untuk menunjukkan dimensinya (satuan, meter, satuan persegi, meter persegi, dll.). Ngomong-ngomong, perhatikan bahwa pada tahap akhir penghitungan, ukuran geometrik dikurangi. Jadi dalam contoh yang dipertimbangkan, meter dikurangi: , sehingga menghasilkan probabilitas tak berdimensi seperti biasanya.

Masalah 2

Setelah badai, terjadi putusnya kabel di area antara 40 dan 70 kilometer saluran telepon. Berapa peluang hal itu terjadi antara kilometer ke-50 dan ke-55 dari garis tersebut?

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran.

Yang lebih umum adalah contoh di mana area muncul:

Masalah 3

Sebuah lingkaran tertulis dalam segitiga yang mempunyai sisi-sisi. Intinya ditempatkan secara sewenang-wenang dalam segitiga. Tentukan peluang titik tersebut berada di dalam lingkaran.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa lingkaran bertulisan terletak di dalam segitiga dan menyentuh sisi-sisinya di 3 titik

Larutan: karena titik ditempatkan pada segitiga dan lingkaran terletak di dalamnya, jumlah hasil sama dengan luas segitiga, dan himpunan hasil yang menguntungkan sesuai dengan luas lingkaran yang tertulis. Apa yang bisa saya katakan? Kami mencari area:

Jika panjang sisi-sisi suatu segitiga diberikan, maka akan lebih mudah untuk mencari luasnya dengan menggunakan Rumus bangau:
, dimana adalah panjang sisi-sisi segitiga, dan merupakan setengah keliling.

Pertama, mari kita hitung setengah keliling segitiga: , lalu luasnya:

Saya membahas metode mengekstraksi faktor-faktor dari bawah akar pada zaman kuno selama pelajaran pengantar tentang geometri analitik.

Kita mencari luas lingkaran yang tertulis menggunakan rumus , dimana jari-jarinya.

Dari mana Anda mendapatkan rumus geometri? Rumus yang diperlukan dapat ditemukan di buku pelajaran sekolah atau sumber informasi lainnya. Pada saat yang sama, tidak perlu mempelajarinya secara khusus, saya pribadi hanya mengingatnya, dan menemukan yang lainnya dalam hitungan menit di Wikipedia. Dan dalam hitungan menit saya akan dengan senang hati melupakan semua ini =)

Jadi, luas lingkaran yang tertulis adalah:

Menurut definisi geometris:
– peluang titik tersebut jatuh ke dalam lingkaran yang tertulis.

Menjawab:

Contoh sederhana untuk diselesaikan sendiri:

Masalah 4

Dalam sebuah lingkaran berjari-jari 10 cm terdapat sebuah segitiga siku-siku dengan kaki 12 dan 7 cm. Sebuah titik diletakkan secara acak pada lingkaran tersebut. Temukan probabilitas bahwa itu tidak akan jatuh ke dalam segitiga yang diberikan.

Perlu dicatat bahwa dalam soal ini segitiga tidak harus menyentuh lingkaran dengan cara apa pun, ia hanya terletak di dalam lingkaran dan hanya itu. Hati-hati!

Sekarang perhatikan masalah pertemuan yang terkenal:

Masalah 5

Dua truk dapat tiba untuk memuat antara pukul 19.00 dan 20.30. Memuat mobil pertama membutuhkan waktu 10 menit, yang kedua – 15 menit. Berapa probabilitas suatu mesin harus menunggu mesin lainnya selesai memuat?

Mari kita pikirkan sedikit tentang kondisinya. Pertama, mobil dapat tiba untuk memuat dalam urutan apa pun, dan kedua, kapan saja dalam waktu satu setengah jam. Sekilas, keputusan tersebut tampaknya cukup sulit. Dan bagi orang yang tidak siap, ini akan sangat sulit. Analisis rinci tentang metode penyelesaian masalah ini dapat ditemukan, misalnya, dalam buku teks Gmurman, tetapi saya akan membatasi diri saya sampai batas tertentu pada algoritma formal:

Larutan: Pertama kita cari tahu durasi jangka waktu berlangsungnya pertemuan. Dalam hal ini, seperti disebutkan di atas, itu adalah satu setengah jam atau 90 menit. Pada saat yang sama, kerangka waktu sebenarnya tidak terlalu menjadi masalah di sini - pemuatan mobil dapat dilakukan, misalnya, di pagi hari dari jam 8.30 hingga 10.00, dan keputusannya akan sama persis.

Perhitungan dapat dilakukan dalam sepersekian jam dan menit. Menurut pendapat saya, dalam banyak kasus, lebih mudah bekerja dengan menit - lebih sedikit kebingungan.

Mari kita perjelas batas bawah integrasi secara analitis (mari kita cari titik potong hiperbola tersebut dan lurus):