Bagaimana memperkirakan probabilitas suatu kejadian acak. Pemecahan Masalah (2019). Teori probabilitas. level rata-rata

Catatan penting!
1. Jika Anda melihat gobbledygook dan bukan rumus, kosongkan cache Anda. Cara melakukan ini di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel, perhatikan navigator kami untuk mendapatkan sumber daya yang paling berguna

Apa itu probabilitas?

Pertama kali saya menemukan istilah ini, saya tidak mengerti apa itu. Oleh karena itu, saya akan mencoba menjelaskannya secara gamblang.

Probabilitas adalah peluang terjadinya peristiwa yang kita inginkan.

Misalnya, Anda memutuskan untuk pergi ke rumah teman, Anda ingat pintu masuknya bahkan lantai tempat tinggalnya. Tapi saya lupa nomor dan lokasi apartemennya. Dan sekarang Anda berdiri di tangga, dan di depan Anda ada pintu untuk dipilih.

Berapa peluang (probabilitas) jika Anda membunyikan bel pintu pertama, teman Anda akan membukakan pintu untuk Anda? Hanya ada apartemen, dan seorang teman hanya tinggal di belakang salah satunya. Dengan peluang yang sama kita bisa memilih pintu mana saja.

Tapi peluang apa ini?

Pintunya, pintu kanan. Peluang menebak dengan membunyikan pintu pertama: . Artinya, satu dari tiga kali Anda akan menebak dengan akurat.

Kami ingin tahu, setelah menelepon sekali, seberapa sering kami akan menebak pintunya? Mari kita lihat semua opsi:

1. Anda menelepon 1 pintu
2. Anda menelepon ke-2 pintu
3. Anda menelepon ke-3 pintu

Sekarang mari kita lihat semua opsi di mana seorang teman bisa berada:

A. Di belakang 1 pintu
B. Di belakang ke-2 pintu
V. Di belakang ke-3 pintu

Mari kita bandingkan semua opsi dalam bentuk tabel. Tanda centang menunjukkan opsi ketika pilihan Anda bertepatan dengan lokasi teman, tanda silang - jika tidak bertepatan.

Bagaimana Anda melihat semuanya Mungkin pilihan lokasi teman Anda dan pilihan pintu mana yang akan Anda hubungi.

A hasil yang menguntungkan bagi semuanya . Artinya, Anda akan menebak sekali dengan membunyikan bel pintu satu kali, yaitu. .

Ini adalah probabilitas - rasio hasil yang menguntungkan (bila pilihan Anda bertepatan dengan lokasi teman Anda) dengan jumlah kemungkinan kejadian.

Definisinya adalah rumusnya. Probabilitas biasanya dilambangkan dengan p, oleh karena itu:

Sangat tidak mudah untuk menulis rumus seperti itu, jadi kita akan mengambil - jumlah hasil yang diinginkan, dan untuk - jumlah total hasil.

Probabilitasnya dapat ditulis sebagai persentase; untuk melakukan ini, Anda perlu mengalikan hasilnya dengan:

Kata “hasil” mungkin menarik perhatian Anda. Karena ahli matematika menyebut berbagai tindakan (dalam kasus kami, tindakan seperti itu adalah bel pintu) sebagai eksperimen, hasil dari eksperimen tersebut biasanya disebut hasil.

Ya, ada hasil yang menguntungkan dan tidak menguntungkan.

Mari kita kembali ke contoh kita. Katakanlah kita membunyikan salah satu pintu, tetapi orang asing membukakannya untuk kita. Kami tidak menebak dengan benar. Berapa peluang jika kita membunyikan salah satu pintu yang tersisa, teman kita akan membukakannya untuk kita?

Jika Anda berpikir demikian, maka ini adalah sebuah kesalahan. Mari kita cari tahu.

Kami memiliki dua pintu tersisa. Jadi kami memiliki langkah-langkah yang mungkin:

1) Panggilan 1 pintu
2) Panggilan ke-2 pintu

Temannya, terlepas dari semua ini, pasti berada di belakang salah satu dari mereka (bagaimanapun juga, dia tidak berada di belakang orang yang kami panggil):

a) Teman untuk 1 pintu
b) Teman untuk ke-2 pintu

Mari kita menggambar tabelnya lagi:

Seperti yang Anda lihat, hanya ada pilihan yang menguntungkan. Artinya, kemungkinannya sama.

Mengapa tidak?

Situasi yang kami pertimbangkan adalah contoh kejadian dependen. Peristiwa pertama adalah bel pintu pertama, peristiwa kedua adalah bel pintu kedua.

Dan disebut ketergantungan karena mempengaruhi tindakan berikut. Lagi pula, jika setelah bunyi pertama bel pintu dijawab oleh seorang teman, berapa kemungkinan dia berada di belakang salah satu dari dua lainnya? Benar, .

Tapi kalau ada kejadian dependen, pasti ada juga mandiri? Benar, itu memang terjadi.

Contoh di buku teks adalah melempar koin.

1. Melempar koin satu kali. Misalnya, berapa kemungkinan mendapatkan kepala? Itu benar - karena ada semua pilihan (baik kepala atau ekor, kita akan mengabaikan kemungkinan koin mendarat di tepinya), tapi itu hanya cocok untuk kita.
2. Tapi itu muncul. Oke, ayo kita lempar lagi. Berapa kemungkinan mendapatkan perhatian sekarang? Tidak ada yang berubah, semuanya sama. Berapa banyak pilihan? Dua. Berapa banyak yang membuat kita bahagia? Satu.

Dan biarkan hal itu muncul setidaknya seribu kali berturut-turut. Kemungkinan mendapatkan kepala sekaligus akan sama. Selalu ada pilihan, dan ada pilihan yang menguntungkan.

Sangat mudah untuk membedakan peristiwa dependen dari peristiwa independen:

1. Jika percobaan dilakukan satu kali (mereka melempar koin satu kali, membunyikan bel pintu satu kali, dan seterusnya), maka kejadiannya selalu independen.
2. Jika suatu percobaan dilakukan beberapa kali (sebuah koin dilempar satu kali, bel pintu dibunyikan beberapa kali), maka kejadian pertama selalu bebas. Dan kemudian, jika jumlah yang menguntungkan atau jumlah semua hasil berubah, maka peristiwa-peristiwa tersebut bergantung, dan jika tidak, maka peristiwa-peristiwa tersebut independen.

Mari kita berlatih sedikit menentukan probabilitas.

Contoh 1.

Koin tersebut dilempar sebanyak dua kali. Berapa peluang terambilnya gambar dua kali berturut-turut?

Larutan:

Mari pertimbangkan semua opsi yang memungkinkan:

1. Elang-elang
2. Kepala-ekor
3. Ekor-Kepala
4. Ekor-ekor

Seperti yang Anda lihat, hanya ada pilihan. Dari jumlah tersebut, kami hanya puas. Artinya, kemungkinannya:

Jika kondisi hanya meminta Anda mencari peluang, maka jawabannya harus diberikan dalam bentuk pecahan desimal. Jika ditentukan bahwa jawabannya harus diberikan dalam persentase, maka kita kalikan dengan.

Menjawab:

Contoh 2.

Dalam sekotak coklat, semua coklat dikemas dalam satu bungkus yang sama. Namun, dari yang manis-manis - dengan kacang, dengan cognac, dengan ceri, dengan karamel, dan dengan nougat.

Berapa peluang terambilnya satu permen dan mendapat permen berisi kacang? Berikan jawaban Anda sebagai persentase.

Larutan:

Berapa banyak kemungkinan hasil yang ada? .

Artinya, jika Anda mengambil satu permen, itu akan menjadi salah satu yang tersedia di dalam kotak.

Berapa banyak hasil yang menguntungkan?

Karena kotaknya hanya berisi coklat dengan kacang.

Menjawab:

Contoh 3.

Di dalam sekotak balon. diantaranya berwarna putih dan hitam.

1. Berapa peluang terambilnya bola putih?
2. Kami menambahkan lebih banyak bola hitam ke dalam kotak. Berapakah peluang terambilnya bola putih sekarang?

Larutan:

a) Hanya ada bola di dalam kotak. Diantaranya berwarna putih.

Kemungkinannya adalah:

b) Sekarang ada lebih banyak bola di dalam kotak. Dan jumlah orang kulit putih yang tersisa sama banyaknya - .

Menjawab:

Kemungkinan total

Peluang semua kejadian yang mungkin terjadi sama dengan ().

Katakanlah ada bola merah dan hijau di dalam sebuah kotak. Berapa peluang terambilnya bola merah? Bola hijau? Bola merah atau hijau?

Peluang terambilnya bola merah

Bola hijau:

Bola merah atau hijau:

Seperti yang Anda lihat, jumlah semua kejadian yang mungkin sama dengan (). Memahami poin ini akan membantu Anda memecahkan banyak masalah.

Contoh 4.

Ada spidol di dalam kotak: hijau, merah, biru, kuning, hitam.

Berapa peluang terambilnya BUKAN spidol merah?

Larutan:

Mari kita hitung jumlahnya hasil yang menguntungkan.

BUKAN spidol merah, artinya hijau, biru, kuning atau hitam.

Peluang tidak terjadinya suatu peristiwa sama dengan dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen

Anda sudah tahu apa itu acara independen.

Bagaimana jika Anda perlu mencari peluang terjadinya dua (atau lebih) peristiwa independen secara berturut-turut?

Katakanlah kita ingin mengetahui berapa probabilitas jika kita melempar sebuah koin satu kali, kita akan melihat gambarnya dua kali?

Kami telah mempertimbangkan - .

Bagaimana jika kita melempar koin satu kali? Berapa peluang melihat elang dua kali berturut-turut?

Jumlah opsi yang memungkinkan:

1. Elang-elang-elang
2. Kepala-kepala-ekor
3. Kepala-ekor-kepala
4. Kepala-ekor-ekor
5. Ekor-kepala-kepala
6. Ekor-kepala-ekor
7. Ekor-ekor-kepala
8. Ekor-ekor-ekor

Saya tidak tahu tentang Anda, tetapi saya membuat kesalahan beberapa kali saat menyusun daftar ini. Wow! Dan satu-satunya pilihan (yang pertama) yang cocok untuk kita.

Untuk 5 lemparan, Anda dapat membuat sendiri daftar kemungkinan hasil. Namun matematikawan tidak pekerja keras seperti Anda.

Oleh karena itu, mereka pertama-tama memperhatikan dan kemudian membuktikan bahwa peluang suatu rangkaian kejadian independen tertentu setiap kali berkurang sebesar peluang satu kejadian.

Dengan kata lain,

Mari kita lihat contoh koin naas yang sama.

Kemungkinan mendapat tantangan? . Sekarang kita melempar koinnya satu kali.

Berapa peluang mendapatkan hasil berturut-turut?

Aturan ini tidak hanya berlaku jika kita diminta mencari peluang terjadinya peristiwa yang sama beberapa kali berturut-turut.

Jika kita ingin mencari barisan TAILS-HEADS-TAILS untuk pelemparan berturut-turut, kita akan melakukan hal yang sama.

Peluang terambilnya ekor adalah , kepala - .

Peluang terambilnya barisan TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Anda bisa mengeceknya sendiri dengan membuat tabel.

Aturan untuk menambahkan probabilitas kejadian yang tidak kompatibel.

Jadi berhentilah! Definisi baru.

Mari kita cari tahu. Mari kita ambil koin kita yang sudah usang dan melemparkannya sekali.
Opsi yang memungkinkan:

1. Elang-elang-elang
2. Kepala-kepala-ekor
3. Kepala-ekor-kepala
4. Kepala-ekor-ekor
5. Ekor-kepala-kepala
6. Ekor-kepala-ekor
7. Ekor-ekor-kepala
8. Ekor-ekor-ekor

Jadi, peristiwa-peristiwa yang tidak sesuai adalah suatu rangkaian peristiwa yang pasti dan tertentu. - ini adalah peristiwa yang tidak kompatibel.

Jika kita ingin menentukan berapa peluang dua (atau lebih) kejadian yang tidak sesuai, maka kita tambahkan peluang kejadian tersebut.

Perlu Anda pahami bahwa head atau tail adalah dua peristiwa yang berdiri sendiri.

Jika kita ingin menentukan peluang terjadinya suatu barisan (atau barisan lainnya), maka kita menggunakan aturan mengalikan peluang.
Berapa peluang munculnya gambar kepala pada pelemparan pertama, dan hasil gambar pada pelemparan kedua dan ketiga?

Tetapi jika kita ingin mengetahui berapa probabilitas untuk mendapatkan salah satu dari beberapa urutan, misalnya ketika kepala muncul tepat satu kali, yaitu. pilihan dan, kemudian kita harus menjumlahkan probabilitas dari barisan ini.

Pilihan total cocok untuk kita.

Kita bisa mendapatkan hal yang sama dengan menjumlahkan peluang terjadinya setiap barisan:

Jadi, kita menambahkan probabilitas ketika kita ingin menentukan probabilitas dari rangkaian kejadian tertentu yang tidak konsisten.

Ada aturan bagus untuk membantu Anda menghindari kebingungan kapan harus mengalikan dan kapan harus menjumlahkan:

Mari kita kembali ke contoh di mana kita melempar koin satu kali dan ingin mengetahui probabilitas melihat kepala satu kali.
Apa yang akan terjadi?

Harus rontok:
(kepala DAN ekor DAN ekor) ATAU (ekor DAN kepala DAN ekor) ATAU (ekor DAN ekor DAN kepala).
Begini hasilnya:

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 5.

Ada pensil di dalam kotak. merah, hijau, oranye dan kuning dan hitam. Berapa peluang terambilnya pensil merah atau hijau?

Larutan:

Contoh 6.

Jika sebuah dadu dilempar dua kali, berapakah peluang munculnya mata dadu berjumlah 8?

Larutan.

Bagaimana kita bisa mendapatkan poin?

(dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan).

Peluang terambilnya satu (setiap) wajah adalah .

Kami menghitung probabilitasnya:

Pelatihan.

Saya rasa sekarang Anda mengerti kapan Anda perlu menghitung probabilitas, kapan harus menjumlahkannya, dan kapan harus mengalikannya. Bukankah begitu? Mari berlatih sedikit.

Tugas:

Mari kita ambil setumpuk kartu yang berisi kartu termasuk sekop, hati, 13 tongkat, dan 13 berlian. Dari hingga As masing-masing setelan.

1. Berapa peluang terambilnya tongkat secara berurutan (kita meletakkan kartu pertama yang ditarik kembali ke dalam tumpukan dan mengocoknya)?
2. Berapa peluang terambilnya kartu hitam (sekop atau pentungan)?
3. Berapa peluang terambilnya gambar (jack, queen, king atau ace)?
4. Berapa peluang terambilnya dua gambar berturut-turut (kita mengeluarkan kartu pertama yang diambil dari tumpukan)?
5. Berapa probabilitas, dengan mengambil dua kartu, untuk mengumpulkan kombinasi - (jack, queen atau king) dan kartu as?

Jawaban:

Jika Anda mampu menyelesaikan semua masalah sendiri, maka Anda hebat! Sekarang Anda akan memecahkan soal teori probabilitas dalam Ujian Negara Bersatu seperti orang gila!

TEORI PROBABILITAS. LEVEL RATA-RATA

Mari kita lihat sebuah contoh. Katakanlah kita melempar sebuah dadu. Tulang macam apa ini, tahukah kamu? Inilah yang mereka sebut kubus dengan angka di wajahnya. Berapa banyak wajah, begitu banyak angka: dari sampai berapa? Sebelum.

Jadi kita melempar dadu dan kita menginginkannya muncul atau. Dan kami mengerti.

Dalam teori probabilitas, mereka mengatakan apa yang terjadi peristiwa yang menguntungkan(jangan bingung dengan makmur).

Jika itu terjadi, acaranya juga akan menguntungkan. Secara total, hanya dua peristiwa menguntungkan yang bisa terjadi.

Berapa banyak yang tidak menguntungkan? Karena ada total kejadian yang mungkin terjadi, maka kejadian yang tidak menguntungkan adalah kejadian (ini jika atau rontok).

Definisi:

Probabilitas adalah perbandingan jumlah kejadian yang menguntungkan dengan jumlah semua kejadian yang mungkin terjadi. Artinya, probabilitas menunjukkan berapa proporsi semua kemungkinan kejadian yang menguntungkan.

Mereka menunjukkan probabilitas dengan huruf Latin (tampaknya dari kata bahasa Inggris probabilitas - probabilitas).

Merupakan kebiasaan untuk mengukur probabilitas sebagai persentase (lihat topik). Untuk melakukan ini, nilai probabilitas harus dikalikan. Dalam contoh dadu, probabilitas.

Dan dalam persentase: .

Contoh (putuskan sendiri):

1. Berapa peluang munculnya kepala pada saat pelemparan sebuah koin? Berapa kemungkinan mendaratnya kepala?
2. Berapa peluang terambilnya angka genap pada pelemparan sebuah dadu? Yang mana yang aneh?
3. Di dalam kotak pensil sederhana, biru dan merah. Kami menggambar satu pensil secara acak. Berapa peluang terambilnya yang sederhana?

Solusi:

1. Berapa banyak pilihan yang ada? Kepala dan ekor - hanya dua. Berapa banyak yang menguntungkan? Hanya satu yang seekor elang. Jadi kemungkinannya

   Sama halnya dengan ekor: .

2. Pilihan total: (berapa banyak sisi yang dimiliki kubus, begitu banyak pilihan berbeda). Yang menguntungkan: (ini semua bilangan genap :).
   Kemungkinan. Tentu saja sama halnya dengan angka ganjil.
3. Jumlah: . Menguntungkan: . Kemungkinan: .

Kemungkinan total

Semua pensil di dalam kotak berwarna hijau. Berapa peluang terambilnya pensil merah? Tidak ada peluang: probabilitas (bagaimanapun juga, peristiwa yang menguntungkan -).

Peristiwa seperti ini disebut mustahil.

Berapa peluang terambilnya pensil hijau? Jumlah peristiwa menguntungkan sama persis dengan jumlah peristiwa total (semua peristiwa menguntungkan). Jadi probabilitasnya sama dengan atau.

Peristiwa seperti ini disebut dapat diandalkan.

Jika sebuah kotak berisi pensil hijau dan merah, berapa peluang terambilnya pensil hijau atau merah? Sekali lagi. Perhatikan ini: peluang terambilnya warna hijau adalah sama, dan peluang terambilnya warna merah adalah sama.

Singkatnya, probabilitas ini sama persis. Itu adalah, jumlah peluang semua kejadian yang mungkin terjadi sama dengan atau.

Contoh:

Di dalam kotak pensil, di antaranya berwarna biru, merah, hijau, polos, kuning, dan selebihnya oranye. Berapa peluang terambilnya warna hijau?

Larutan:

Kami ingat bahwa semua kemungkinan bertambah. Dan kemungkinan menjadi hijau adalah sama. Artinya peluang tidak terambilnya warna hijau adalah sama.

Ingat trik ini: Peluang tidak terjadinya suatu peristiwa sama dengan dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Peristiwa bebas dan aturan perkalian

Anda melempar koin sekali dan ingin koin itu muncul dua kali. Seberapa besar kemungkinannya?

Mari kita lihat semua opsi yang memungkinkan dan tentukan berapa banyak yang ada:

Kepala-Kepala, Ekor-Kepala, Kepala-Ekor, Ekor-Ekor. Apa lagi?

Jumlah pilihan. Dari jumlah tersebut, hanya satu yang cocok untuk kita: Elang-Elang. Secara total, kemungkinannya sama.

Bagus. Sekarang mari kita melempar koin satu kali. Hitung sendiri. Telah terjadi? (menjawab).

Anda mungkin telah memperhatikan bahwa dengan penambahan setiap lemparan berikutnya, kemungkinannya berkurang setengahnya. Aturan umum disebut aturan perkalian:

Kemungkinan kejadian independen berubah.

Apa itu acara independen? Semuanya logis: inilah yang tidak bergantung satu sama lain. Misalnya, ketika kita melempar koin beberapa kali, setiap kali dilakukan lemparan baru, yang hasilnya tidak bergantung pada semua lemparan sebelumnya. Kita bisa dengan mudah melempar dua koin berbeda secara bersamaan.

Contoh lainnya:

1. Dadu dilempar dua kali. Berapa peluang terambilnya kedua kali tersebut?
2. Koin tersebut dilempar satu kali. Berapa probabilitas bahwa ia akan muncul pertama kali dan kemudian muncul dua kali?
3. Pemain melempar dua dadu. Berapa peluang terambilnya angka-angka yang sama?

Jawaban:

1. Peristiwa-peristiwa tersebut bersifat independen, yang berarti aturan perkalian berlaku: .
2. Kemungkinan munculnya kepala adalah sama. Kemungkinan ekornya sama. Berkembang biak:
3. 12 hanya dapat diperoleh jika dua -ki dilempar: .

Peristiwa yang tidak kompatibel dan aturan penambahan

Peristiwa yang saling melengkapi sampai pada titik kemungkinan penuh disebut tidak kompatibel. Seperti namanya, hal tersebut tidak bisa terjadi secara bersamaan. Misalnya, jika kita melempar koin, maka yang muncul adalah kepala atau ekor.

Contoh.

Di dalam kotak pensil, di antaranya berwarna biru, merah, hijau, polos, kuning, dan selebihnya oranye. Berapa peluang terambilnya warna hijau atau merah?

Solusi.

Peluang terambilnya pensil hijau adalah sama. Merah - .

Peristiwa yang menguntungkan secara keseluruhan: hijau + merah. Artinya peluang terambilnya warna hijau atau merah adalah sama.

Probabilitas yang sama dapat direpresentasikan dalam bentuk ini: .

Ini adalah aturan penjumlahan: kemungkinan kejadian yang tidak kompatibel bertambah.

Masalah tipe campuran

Contoh.

Koin tersebut dilempar sebanyak dua kali. Berapa peluang hasil pelemparannya berbeda?

Solusi.

Artinya, jika hasil pertama adalah kepala, maka hasil kedua harus ekor, dan sebaliknya. Ternyata ada dua pasang kejadian yang saling bebas, dan pasangan tersebut tidak cocok satu sama lain. Bagaimana agar tidak bingung dimana harus mengalikan dan dimana harus menambah.

Ada aturan sederhana untuk situasi seperti ini. Coba jelaskan apa yang akan terjadi dengan menggunakan kata sambung “DAN” atau “ATAU”. Misalnya dalam hal ini:

Seharusnya muncul (kepala dan ekor) atau (ekor dan kepala).

Jika ada konjungsi “dan” maka akan terjadi perkalian, dan jika ada “atau” maka akan terjadi penjumlahan:

Cobalah sendiri:

1. Berapakah peluang jika sebuah mata uang logam dilempar dua kali, mata uang logam tersebut akan mendarat pada sisi yang sama pada kedua kali pelemparan tersebut?
2. Dadu dilempar dua kali. Berapa peluang mendapatkan total poin?

Solusi:

Contoh lain:

Melempar koin satu kali. Berapa peluang munculnya kepala paling sedikit satu kali?

Larutan:

TEORI PROBABILITAS. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Probabilitas adalah perbandingan jumlah kejadian yang menguntungkan dengan jumlah semua kejadian yang mungkin terjadi.

Acara independen

Dua kejadian dikatakan independen jika terjadinya salah satu kejadian tidak mengubah peluang terjadinya kejadian lainnya.

Kemungkinan total

Peluang semua kejadian yang mungkin terjadi sama dengan ().

Peluang tidak terjadinya suatu peristiwa sama dengan dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen

Peluang suatu rangkaian kejadian independen tertentu sama dengan hasil kali peluang setiap kejadian

Peristiwa yang tidak kompatibel

Peristiwa yang tidak kompatibel adalah peristiwa yang tidak mungkin terjadi secara bersamaan sebagai akibat dari suatu percobaan. Sejumlah peristiwa yang tidak kompatibel membentuk kelompok peristiwa yang lengkap.

Kemungkinan kejadian yang tidak kompatibel bertambah.

Setelah menjelaskan apa yang seharusnya terjadi, dengan menggunakan konjungsi “AND” atau “OR”, alih-alih “AND” kita beri tanda perkalian, dan sebagai ganti “OR” kita beri tanda penjumlahan.

Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...

Untuk apa?

Untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...

Orang yang mendapat pendidikan yang baik memperoleh penghasilan lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukanlah hal yang utama.

Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.

Anda akan perlu memecahkan masalah melawan waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.

Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua pilihan:

1. Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini -
2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 499 RUR

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan selama SELURUH umur situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.

“Dipahami” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Di blog saya, terjemahan kuliah berikutnya dari kursus “Prinsip Keseimbangan Game” oleh desainer game Jan Schreiber, yang mengerjakan proyek seperti Marvel Trading Card Game dan Playboy: the Mansion.

Sampai saat ini, hampir semua yang kita bicarakan bersifat deterministik, dan minggu lalu kita melihat lebih dekat mekanika transitif, dan membahasnya sedetail yang bisa saya jelaskan. Namun hingga saat ini kami belum memperhatikan aspek lain dari banyak permainan, yaitu aspek non-deterministik – dengan kata lain, keacakan.

Memahami sifat keacakan sangat penting bagi desainer game. Kami menciptakan sistem yang memengaruhi pengalaman pengguna dalam game tertentu, jadi kami perlu mengetahui cara kerja sistem tersebut. Jika terdapat keacakan dalam suatu sistem, kita perlu memahami sifat keacakan ini dan mengetahui cara mengubahnya agar mendapatkan hasil yang kita perlukan.

Dadu

Mari kita mulai dengan sesuatu yang sederhana - melempar dadu. Ketika kebanyakan orang memikirkan dadu, mereka memikirkan dadu bersisi enam yang dikenal sebagai d6. Tetapi sebagian besar gamer telah melihat banyak dadu lainnya: tetrahedral (d4), segi delapan (d8), dua belas sisi (d12), dua puluh sisi (d20). Jika Anda seorang geek sejati, Anda mungkin memiliki dadu bersisi 30 atau 100 di suatu tempat.

Jika Anda belum familiar dengan terminologinya, d berarti dadu, dan angka setelahnya adalah jumlah sisinya. Jika angka tersebut muncul sebelum d, berarti menunjukkan jumlah dadu yang akan dilempar. Misalnya, dalam permainan Monopoli Anda melakukan roll 2d6.

Jadi, dalam hal ini, frasa “dadu” adalah sebuah simbol. Ada sejumlah besar generator bilangan acak lainnya yang tidak terlihat seperti angka plastik, tetapi menjalankan fungsi yang sama - menghasilkan bilangan acak dari 1 hingga n. Koin biasa juga dapat direpresentasikan sebagai dadu dihedral d2.

Saya melihat dua desain dadu bersisi tujuh: salah satunya tampak seperti dadu, dan yang lainnya lebih mirip pensil kayu bersisi tujuh. Dreidel tetrahedral, juga dikenal sebagai titotum, mirip dengan tulang tetrahedral. Papan panah berputar di Chutes & Ladders, di mana skornya dapat berkisar dari 1 hingga 6, setara dengan dadu bersisi enam.

Generator angka acak di komputer dapat menghasilkan angka apa pun dari 1 hingga 19 jika perancangnya menentukannya, meskipun komputer tersebut tidak memiliki dadu bersisi 19 (secara umum, saya akan membahas lebih lanjut tentang kemungkinan munculnya angka pada dadu bersisi 19). komputer minggu depan). Semua item ini terlihat berbeda, namun kenyataannya setara: Anda memiliki peluang yang sama untuk masing-masing dari beberapa kemungkinan hasil.

Dadu mempunyai beberapa khasiat menarik yang perlu kita ketahui. Pertama, kemungkinan mendarat di kedua sisi adalah sama (saya berasumsi Anda melempar dadu berbentuk biasa). Jika Anda ingin mengetahui nilai rata-rata sebuah gulungan (bagi mereka yang termasuk dalam probabilitas, ini dikenal sebagai nilai yang diharapkan), jumlahkan nilai pada semua sisi dan bagi angka tersebut dengan jumlah sisi.

Jumlah nilai semua sisi dadu bersisi enam standar adalah 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Bagilah 21 dengan jumlah sisinya dan dapatkan nilai rata-rata pelemparannya: 21 / 6 = 3,5. Ini adalah kasus khusus karena kami berasumsi bahwa semua hasil memiliki kemungkinan yang sama.

Bagaimana jika Anda memiliki dadu khusus? Misalnya, saya melihat permainan dadu bersisi enam dengan stiker khusus di sisinya: 1, 1, 1, 2, 2, 3, sehingga berperilaku seperti dadu bersisi tiga yang aneh yang lebih cenderung menghasilkan angka 1 daripada a 2. dan lebih mungkin untuk melempar angka 2 daripada angka 3. Berapa rata-rata pelemparan dadu ini? Jadi, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, dibagi 6 - hasilnya 5/3, atau kira-kira 1,66. Jadi jika Anda memiliki dadu khusus dan para pemain melempar tiga dadu lalu menjumlahkan hasilnya - Anda tahu bahwa lemparan mereka akan berjumlah sekitar 5, dan Anda dapat menyeimbangkan permainan berdasarkan asumsi tersebut.

Dadu dan Kemerdekaan

Seperti yang telah saya katakan, kami berangkat dari asumsi bahwa masing-masing pihak memiliki kemungkinan yang sama untuk tersingkir. Tidak masalah berapa banyak dadu yang Anda lempar. Setiap pelemparan dadu bersifat independen, artinya pelemparan dadu sebelumnya tidak mempengaruhi hasil pelemparan dadu berikutnya. Dengan uji coba yang cukup, Anda pasti akan melihat pola angka - misalnya, sebagian besar nilai yang lebih tinggi atau lebih rendah - atau fitur lainnya, tetapi itu tidak berarti dadu itu "panas" atau "dingin". Kita akan membicarakannya nanti.

Jika sebuah dadu standar bersisi enam dilempar dan angka 6 muncul dua kali berturut-turut, peluang munculnya angka 6 pada pelemparan berikutnya adalah tepat 1/6. . Pada saat yang sama, probabilitasnya tidak berkurang: salah jika beralasan bahwa angka 6 telah muncul dua kali berturut-turut, yang berarti sekarang sisi lain harus muncul.

Tentu saja, jika Anda melempar sebuah dadu sebanyak dua puluh kali dan mendapatkan angka 6 setiap kali, kemungkinan Anda mendapatkan angka 6 pada kedua puluh satu kali cukup tinggi: mungkin Anda hanya salah memasukkan dadu. Namun jika dadunya adil, masing-masing pihak mempunyai peluang yang sama untuk mendarat, terlepas dari hasil pelemparan dadu lainnya. Anda juga dapat membayangkan bahwa kita mengganti dadu setiap kali: jika angka 6 dilempar dua kali berturut-turut, keluarkan dadu “panas” dari permainan dan ganti dengan yang baru. Saya minta maaf jika ada di antara Anda yang sudah mengetahui hal ini, namun saya perlu menjelaskannya sebelum melanjutkan.

Cara membuat dadu bergulir kurang lebih acak

Mari kita bicara tentang cara mendapatkan hasil berbeda pada dadu yang berbeda. Baik Anda melempar dadu hanya sekali atau beberapa kali, permainan akan terasa lebih acak ketika dadu memiliki lebih banyak sisi. Semakin sering Anda harus melempar dadu, dan semakin banyak dadu yang Anda lempar, maka hasilnya semakin mendekati rata-rata.

Misalnya, dalam kasus 1d6 + 4 (yaitu, jika Anda melempar dadu standar bersisi enam satu kali dan menambahkan 4 pada hasilnya), rata-ratanya adalah angka antara 5 dan 10. Jika Anda melempar 5d2, rata-ratanya adalah juga akan berupa angka antara 5 dan 10. Hasil pengguliran 5d2 sebagian besar akan berupa angka 7 dan 8, lebih jarang nilai lainnya. Deret yang sama, meskipun nilai rata-ratanya sama (dalam kedua kasus 7,5), tetapi sifat keacakannya berbeda.

Tunggu sebentar. Bukankah saya baru saja mengatakan bahwa dadu tidak "panas" atau "dingin"? Sekarang saya katakan: jika Anda melempar banyak dadu, hasil lemparannya akan mendekati rata-rata. Mengapa?

Biar saya jelaskan. Jika Anda melempar satu dadu, setiap sisi mempunyai peluang yang sama untuk mendarat. Artinya, jika Anda melempar banyak dadu dari waktu ke waktu, setiap sisinya akan muncul dengan jumlah yang sama. Semakin banyak dadu yang Anda lempar, maka hasil totalnya akan mendekati rata-rata.

Hal ini bukan karena nomor yang ditarik “memaksa” ditariknya nomor lain yang belum ditarik. Namun karena rangkaian kecil pelemparan angka 6 (atau 20, atau angka lainnya) pada akhirnya tidak akan terlalu mempengaruhi hasil jika Anda melempar dadu sepuluh ribu kali lagi dan sebagian besar akan muncul angka rata-rata. Sekarang Anda akan mendapatkan beberapa angka besar, dan kemudian beberapa angka kecil - dan seiring waktu angka tersebut akan semakin mendekati rata-rata.

Ini bukan karena pelemparan sebelumnya mempengaruhi dadu (serius, dadu itu terbuat dari plastik, tidak punya otak untuk berpikir, "Oh, sudah lama kamu tidak melempar angka 2"), tetapi karena biasanya hal ini terjadi. terjadi ketika Anda melempar banyak lemparan dadu

Oleh karena itu, cukup mudah untuk melakukan perhitungan untuk satu pelemparan dadu secara acak - setidaknya untuk menghitung nilai rata-rata pelemparan tersebut. Ada juga cara untuk menghitung "seberapa acak" sesuatu dan mengatakan bahwa hasil pengguliran 1d6+4 akan "lebih acak" daripada 5d2. Untuk 5d2, gulungan akan lebih merata. Untuk melakukan ini, Anda perlu menghitung simpangan baku: semakin besar nilainya, semakin acak hasilnya. Saya tidak ingin memberikan begitu banyak perhitungan hari ini; saya akan menjelaskan topik ini nanti.

Satu-satunya hal yang saya ingin Anda ingat adalah, sebagai aturan umum, semakin sedikit dadu yang Anda lempar, semakin besar keacakannya. Dan semakin banyak sisi yang dimiliki sebuah dadu, semakin besar keacakannya, karena semakin banyak kemungkinan pilihan nilai.

Cara Menghitung Probabilitas Menggunakan Penghitungan

Anda mungkin bertanya-tanya: bagaimana cara menghitung probabilitas pasti untuk mendapatkan hasil tertentu? Faktanya, ini cukup penting untuk banyak permainan: jika Anda pertama kali melempar dadu, kemungkinan besar akan ada hasil yang optimal. Jawaban saya adalah: kita perlu menghitung dua nilai. Pertama, jumlah total hasil pelemparan dadu, dan kedua, jumlah hasil yang menguntungkan. Membagi nilai kedua dengan nilai pertama akan menghasilkan probabilitas yang diinginkan. Untuk mendapatkan persentasenya, kalikan hasilnya dengan 100.

Contoh

Ini adalah contoh yang sangat sederhana. Anda ingin angka 4 atau lebih tinggi melempar dadu bersisi enam satu kali. Jumlah hasil maksimal adalah 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Dari jumlah tersebut, 3 hasil (4, 5, 6) menguntungkan. Artinya untuk menghitung probabilitas, kita membagi 3 dengan 6 dan mendapatkan 0,5 atau 50%.

Berikut ini contoh yang sedikit lebih rumit. Anda menginginkan bilangan genap saat menggulirkan 2d6. Jumlah hasil maksimum adalah 36 (6 pilihan untuk setiap dadu, satu dadu tidak mempengaruhi yang lain, jadi kalikan 6 dengan 6 dan dapatkan 36). Kesulitan dari soal jenis ini adalah mudahnya menghitung dua kali. Misalnya, saat menggulirkan 2d6, ada dua kemungkinan hasil 3: 1+2 dan 2+1. Kelihatannya sama, namun perbedaannya adalah nomor mana yang ditampilkan pada dadu pertama dan nomor mana yang ditampilkan pada dadu kedua.

Anda juga dapat membayangkan bahwa dadu memiliki warna yang berbeda: misalnya, dalam kasus ini, satu dadu berwarna merah dan yang lainnya berwarna biru. Kemudian hitung jumlah opsi untuk menggulirkan bilangan genap:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Ternyata ada 18 opsi untuk hasil yang menguntungkan dari 36 opsi - seperti pada kasus sebelumnya, probabilitasnya adalah 0,5 atau 50%. Mungkin tidak terduga, tapi cukup akurat.

Simulasi Monte Carlo

Bagaimana jika Anda memiliki terlalu banyak dadu untuk perhitungan ini? Misalnya, Anda ingin mengetahui peluang mendapatkan total 15 atau lebih saat menggulirkan 8d6. Ada banyak sekali hasil yang berbeda untuk delapan dadu, dan menghitungnya dengan tangan akan memakan waktu yang sangat lama - bahkan jika kita dapat menemukan solusi yang baik untuk mengelompokkan rangkaian pelemparan dadu yang berbeda.

Dalam hal ini, cara termudah adalah tidak menghitung secara manual, melainkan menggunakan komputer. Ada dua cara untuk menghitung probabilitas di komputer. Metode pertama dapat memberi Anda jawaban yang akurat, namun melibatkan sedikit pemrograman atau skrip. Komputer akan melihat setiap kemungkinan, mengevaluasi dan menghitung jumlah total iterasi dan jumlah iterasi yang sesuai dengan hasil yang diinginkan, lalu memberikan jawabannya. Kode Anda mungkin terlihat seperti ini:

Jika Anda tidak memahami pemrograman dan Anda memerlukan jawaban perkiraan daripada jawaban pasti, Anda bisa mensimulasikan situasi ini di Excel, di mana Anda memutar 8d6 beberapa ribu kali dan mendapatkan jawabannya. Untuk menggulung 1d6 di Excel, gunakan rumus =LANTAI(RAND()*6)+1.

Ada nama untuk situasi ketika Anda tidak tahu jawabannya dan hanya mencoba berulang kali - simulasi Monte Carlo. Ini adalah solusi bagus untuk digunakan ketika menghitung probabilitas terlalu sulit. Hebatnya adalah dalam hal ini kita tidak perlu memahami cara kerja matematika, dan kita tahu bahwa jawabannya akan "cukup bagus" karena, seperti yang sudah kita ketahui, semakin banyak lemparan, semakin dekat hasilnya dengan hasil yang diperoleh. rata-rata.

Bagaimana menggabungkan uji coba independen

Jika Anda bertanya tentang beberapa uji coba berulang namun independen, hasil dari satu lemparan tidak mempengaruhi hasil lemparan lainnya. Ada penjelasan lain yang lebih sederhana untuk situasi ini.

Bagaimana membedakan sesuatu yang bergantung dan mandiri? Pada dasarnya, jika Anda dapat mengisolasi setiap lemparan (atau rangkaian lemparan) sebuah dadu sebagai kejadian terpisah, maka dadu tersebut independen. Misalnya kita melempar 8d6 dan menginginkan total 15. Peristiwa ini tidak dapat dibagi menjadi beberapa pelemparan dadu yang berdiri sendiri. Untuk mendapatkan hasilnya, Anda menghitung jumlah semua nilai, sehingga hasil yang muncul pada satu dadu mempengaruhi hasil yang muncul pada dadu lainnya.

Berikut ini contoh lemparan independen: Anda sedang memainkan permainan dadu, dan Anda melempar dadu bersisi enam beberapa kali. Gulungan pertama harus bernilai 2 atau lebih tinggi agar dapat bertahan dalam permainan. Untuk lemparan kedua - 3 atau lebih tinggi. Yang ketiga membutuhkan angka 4 atau lebih tinggi, yang keempat membutuhkan angka 5 atau lebih tinggi, dan yang kelima membutuhkan angka 6. Jika kelima gulungan berhasil, Anda menang. Dalam hal ini, semua lemparan bersifat independen. Ya, jika satu lemparan tidak berhasil, hal itu akan mempengaruhi hasil keseluruhan permainan, tetapi satu lemparan tidak mempengaruhi lemparan lainnya. Misalnya, jika pelemparan dadu kedua Anda sangat berhasil, bukan berarti pelemparan dadu berikutnya akan sama bagusnya. Oleh karena itu, kita dapat mempertimbangkan probabilitas setiap pelemparan dadu secara terpisah.

Jika Anda mempunyai probabilitas independen dan ingin mengetahui berapa probabilitas semua peristiwa akan terjadi, Anda menentukan probabilitas masing-masing dan mengalikannya. Cara lain: jika Anda menggunakan konjungsi “dan” untuk mendeskripsikan beberapa kondisi (misalnya, berapa peluang terjadinya suatu kejadian acak dan kejadian acak independen lainnya?) - hitung probabilitas individu dan kalikan.

Apa pun yang Anda pikirkan, jangan pernah menjumlahkan probabilitas independen. Ini adalah kesalahan umum. Untuk memahami mengapa hal ini salah, bayangkan situasi di mana Anda melempar koin dan ingin mengetahui kemungkinan mendapatkan gambar dua kali berturut-turut. Kemungkinan masing-masing pihak tersingkir adalah 50%. Jika Anda menjumlahkan dua probabilitas ini, Anda mempunyai peluang 100% untuk mendapatkan gambar utama, namun kami tahu hal tersebut tidak benar karena bisa saja hasil tersebut muncul dua kali berturut-turut. Jika Anda mengalikan kedua probabilitas, Anda mendapatkan 50% * 50% = 25% - yang merupakan jawaban yang benar untuk menghitung probabilitas mendapatkan gambar dua kali berturut-turut.

Contoh

Mari kita kembali ke permainan dadu bersisi enam, di mana pertama-tama Anda harus melempar angka yang lebih besar dari 2, kemudian lebih besar dari 3 - dan seterusnya hingga 6. Berapakah peluang bahwa dalam rangkaian lima pelemparan tertentu, semua hasilnya akan menguntungkan? ?

Seperti yang dinyatakan di atas, ini adalah uji coba independen, jadi kami menghitung probabilitas untuk setiap lemparan dan kemudian mengalikannya. Peluang hasil pelemparan pertama menguntungkan adalah 5/6. Kedua - 4/6. Ketiga - 3/6. Yang keempat - 2/6, yang kelima - 1/6. Kami mengalikan semua hasil satu sama lain dan mendapatkan sekitar 1,5%. Kemenangan dalam permainan ini cukup jarang terjadi, sehingga jika Anda menambahkan elemen ini ke dalam permainan Anda, Anda memerlukan jackpot yang cukup besar.

Penyangkalan

Berikut tip berguna lainnya: terkadang sulit menghitung probabilitas suatu peristiwa terjadi, namun lebih mudah untuk menentukan peluang suatu peristiwa tidak terjadi. Sebagai contoh, katakanlah kita mempunyai permainan lain: Anda mendapatkan angka 6d6 dan menang jika Anda mendapatkan angka 6 setidaknya sekali. Berapa probabilitas untuk menang?

Dalam hal ini, ada banyak pilihan yang perlu dipertimbangkan. Kemungkinan akan keluar satu angka 6, yaitu salah satu dadu menunjukkan angka 6, dan dadu yang lain menunjukkan angka 1 sampai 5, maka ada 6 pilihan dadu yang mana yang menunjukkan angka 6. Anda bisa mendapatkan angka 6 pada dua dadu, atau tiga, atau bahkan lebih, dan setiap kali Anda perlu melakukan perhitungan terpisah, sehingga mudah menjadi bingung di sini.

Tapi mari kita lihat masalahnya dari sisi lain. Anda akan kalah jika tidak ada satu pun dadu yang menghasilkan angka 6. Dalam hal ini kita memiliki 6 percobaan independen. Peluang munculnya angka selain 6 pada setiap dadu adalah 5/6. Lipat gandakan dan Anda mendapatkan sekitar 33%. Jadi, kemungkinan kalah adalah satu banding tiga. Oleh karena itu, kemungkinan menang adalah 67% (atau dua banding tiga).

Jelas dari contoh ini: jika Anda menghitung probabilitas bahwa suatu peristiwa tidak akan terjadi, Anda perlu mengurangi hasilnya dari 100%. Jika peluang menang 67%, maka peluang kalah 100% dikurangi 67% atau 33%, begitu pula sebaliknya. Jika sulit menghitung satu probabilitas tetapi mudah menghitung kebalikannya, hitung kebalikannya lalu kurangi angka tersebut dari 100%.

Kami menggabungkan kondisi untuk satu tes independen

Saya katakan di atas bahwa Anda tidak boleh menambahkan probabilitas pada uji coba independen. Apakah ada kasus yang memungkinkan untuk menjumlahkan probabilitasnya? Ya, dalam satu situasi khusus.

Jika Anda ingin menghitung probabilitas beberapa hasil menguntungkan yang tidak berhubungan dalam satu percobaan, jumlahkan probabilitas setiap hasil menguntungkan. Misalnya, peluang munculnya angka 4, 5, atau 6 pada 1d6 sama dengan jumlah peluang munculnya angka 4, peluang munculnya angka 5, dan peluang munculnya angka 6. Situasi ini dapat direpresentasikan sebagai berikut: jika Anda menggunakan konjungsi “atau” dalam pertanyaan tentang probabilitas (misalnya, berapa probabilitas hasil tertentu dari satu kejadian acak?) - hitung probabilitas individu dan jumlahkan.

Harap diperhatikan: saat Anda menghitung semua kemungkinan hasil suatu permainan, jumlah probabilitas kemunculannya harus sama dengan 100%, jika tidak, perhitungan Anda salah. Ini adalah cara yang baik untuk memeriksa ulang perhitungan Anda. Misalnya, Anda menganalisis probabilitas semua kombinasi dalam poker. Jika Anda menjumlahkan semua hasil, Anda akan mendapatkan tepat 100% (atau setidaknya mendekati 100%: jika Anda menggunakan kalkulator, mungkin ada kesalahan pembulatan kecil, tetapi jika Anda menjumlahkan angka pastinya dengan tangan, semuanya harus bertambah). Jika jumlahnya tidak konvergen, kemungkinan besar Anda tidak memperhitungkan beberapa kombinasi atau salah menghitung probabilitas beberapa kombinasi, dan perhitungan tersebut perlu diperiksa ulang.

Probabilitas yang tidak sama

Hingga saat ini, kita berasumsi bahwa setiap sisi dadu dilempar dengan frekuensi yang sama, karena seperti itulah cara kerja dadu. Namun terkadang Anda mungkin menghadapi situasi di mana hasil yang berbeda mungkin terjadi dan peluang kemunculannya berbeda.

Misalnya, dalam salah satu perluasan permainan kartu Perang Nuklir terdapat lapangan bermain dengan panah, yang menjadi sandaran hasil peluncuran roket. Paling sering ia menimbulkan kerusakan normal, lebih kuat atau lebih lemah, tetapi terkadang kerusakannya berlipat ganda atau tiga kali lipat, atau roket meledak di landasan peluncuran dan melukai Anda, atau peristiwa lain terjadi. Berbeda dengan papan panah di Chutes & Ladders atau A Game of Life, hasil papan permainan di Nuclear War tidak merata. Beberapa bagian lapangan permainan lebih besar dan panahnya lebih sering berhenti di sana, sementara bagian lainnya sangat kecil dan panahnya jarang berhenti di sana.

Jadi, sekilas, dadu terlihat seperti ini: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - kita sudah membicarakannya, ini seperti 1d3 berbobot. Oleh karena itu, kita perlu membagi semua bagian ini menjadi bagian-bagian yang sama, mencari satuan ukuran terkecil, yang pembaginya adalah kelipatan semuanya, dan kemudian merepresentasikan situasinya dalam bentuk d522 (atau lainnya), di mana himpunan dadu wajah akan mewakili situasi yang sama, tetapi dengan hasil yang lebih banyak. Ini adalah salah satu cara untuk menyelesaikan masalah, dan secara teknis dapat dilakukan, namun ada pilihan yang lebih sederhana.

Mari kita kembali ke dadu bersisi enam standar kita. Kami telah mengatakan bahwa untuk menghitung lemparan rata-rata dadu normal, Anda perlu menjumlahkan nilai pada semua sisi dan membaginya dengan jumlah sisi, tetapi bagaimana tepatnya cara kerja penghitungannya? Ada cara lain untuk mengungkapkan hal ini. Untuk sebuah dadu bersisi enam, peluang munculnya masing-masing sisi dadu tepat 1/6. Sekarang kita mengalikan hasil setiap sisi dengan probabilitas hasil tersebut (dalam hal ini, 1/6 untuk setiap sisi), lalu menjumlahkan nilai yang dihasilkan. Jadi, jumlahkan (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), kita mendapatkan hasil yang sama (3,5) seperti pada perhitungan di atas. Faktanya, kita menghitung dengan cara ini setiap saat: kita mengalikan setiap hasil dengan probabilitas hasil tersebut.

Bisakah kita melakukan perhitungan yang sama untuk panah di lapangan dalam Perang Nuklir? Tentu saja kita bisa. Dan jika kita menjumlahkan semua hasil yang ditemukan, kita akan mendapatkan nilai rata-ratanya. Yang perlu kita lakukan hanyalah menghitung probabilitas setiap hasil panah di lapangan permainan dan mengalikannya dengan nilai hasil.

Contoh lain

Metode penghitungan rata-rata ini juga cocok jika kemungkinan hasilnya sama tetapi memiliki keuntungan yang berbeda - misalnya, jika Anda melempar dadu dan menang lebih banyak di satu sisi dibandingkan sisi lainnya. Misalnya, mari kita ambil permainan kasino: Anda memasang taruhan dan melakukan roll 2d6. Jika tiga angka bernilai rendah (2, 3, 4) atau empat angka bernilai tinggi (9, 10, 11, 12) dilempar, Anda akan memenangkan jumlah yang sama dengan taruhan Anda. Angka dengan nilai terendah dan tertinggi adalah angka spesial: jika Anda mendapatkan angka 2 atau 12, Anda menang dua kali lipat dari taruhan Anda. Jika ada nomor lain yang keluar (5, 6, 7, 8), Anda akan kehilangan taruhan Anda. Ini adalah permainan yang cukup sederhana. Tapi seberapa besar kemungkinan menangnya?

Mari kita mulai dengan menghitung berapa kali Anda bisa menang. Jumlah maksimum hasil pada pengguliran 2d6 adalah 36. Berapakah jumlah hasil yang diinginkan?

• Ada 1 opsi pelemparan angka 2, dan 1 opsi pelemparan angka 12.
• Ada 2 pilihan yang akan digulung 3 dan 2 pilihan yang akan digulung 11.
• Ada 3 pilihan dimana angka 4 akan dilempar, dan 3 pilihan dimana angka 10 akan dilempar.
• Ada 4 opsi untuk menggulirkan angka 9.

Menjumlahkan semua opsi, kami mendapatkan 16 hasil yang menguntungkan dari 36. Jadi, dalam kondisi normal, Anda akan menang 16 kali dari 36 kemungkinan - kemungkinan menang sedikit kurang dari 50%.

Namun dalam dua kasus dari enam belas kasus ini, Anda akan menang dua kali lebih banyak - ini seperti menang dua kali. Jika Anda memainkan permainan ini 36 kali, bertaruh $1 setiap kali, dan setiap kemungkinan hasil muncul satu kali, Anda akan memenangkan total $18 (Anda sebenarnya akan menang 16 kali, tetapi dua di antaranya akan dihitung sebagai dua kemenangan). Jika Anda bermain 36 kali dan memenangkan $18, bukankah itu berarti peluangnya sama?

Tidak usah buru-buru. Jika Anda menghitung berapa kali Anda bisa kalah, Anda akan mendapatkan 20, bukan 18. Jika Anda bermain 36 kali, bertaruh $1 setiap kali, Anda akan memenangkan total $18 jika Anda mencapai semua pilihan pemenang. Namun Anda akan kehilangan total $20 jika Anda mendapatkan semua 20 hasil yang tidak menguntungkan. Akibatnya, Anda akan sedikit tertinggal: Anda kehilangan rata-rata $2 bersih untuk setiap 36 pertandingan (Anda juga dapat mengatakan bahwa Anda kehilangan rata-rata 1/18 dolar per hari). Sekarang Anda melihat betapa mudahnya membuat kesalahan dalam kasus ini dan salah menghitung probabilitas.

Penyusunan kembali

Selama ini kita berasumsi bahwa urutan angka pada pelemparan dadu tidak menjadi masalah. Menggulung 2 + 4 sama dengan menggulung 4 + 2. Dalam kebanyakan kasus, kami menghitung secara manual jumlah hasil yang diinginkan, namun terkadang metode ini tidak praktis dan lebih baik menggunakan rumus matematika.

Contoh situasi ini adalah dari permainan dadu Farkle. Untuk setiap babak baru, Anda mendapatkan 6d6. Jika Anda beruntung dan mendapatkan semua kemungkinan hasil 1-2-3-4-5-6 (lurus), Anda akan mendapatkan bonus besar. Seberapa besar kemungkinan hal ini terjadi? Dalam hal ini, ada banyak pilihan untuk mendapatkan kombinasi ini.

Penyelesaiannya sebagai berikut: salah satu dadu (dan hanya satu) harus berangka 1. Berapa banyak cara munculnya angka 1 pada satu dadu? Ada 6 pilihan, karena ada 6 dadu, dan salah satunya bisa jatuh pada angka 1. Oleh karena itu, ambil satu dadu dan sisihkan. Sekarang salah satu dadu yang tersisa harus melempar angka 2. Ada 5 pilihan untuk ini. Ambil dadu lain dan sisihkan. Kemudian 4 dadu yang tersisa akan menghasilkan angka 3, 3 dadu yang tersisa akan menghasilkan angka 4, dan 2 dadu yang tersisa akan menghasilkan angka 5. Hasilnya, Anda hanya mempunyai satu dadu yang akan menghasilkan angka 5. nomor 6 (dalam kasus terakhir, dadu hanya memiliki satu tulang, dan tidak ada pilihan).

Untuk menghitung jumlah hasil yang menguntungkan dalam pukulan lurus, kita mengalikan semua kemungkinan independen yang berbeda: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - tampaknya terdapat cukup banyak kemungkinan munculnya kombinasi ini .

Untuk menghitung peluang terambilnya garis lurus, kita perlu membagi 720 dengan jumlah semua kemungkinan hasil pada pengguliran 6d6. Berapa jumlah semua kemungkinan hasil? Setiap dadu bisa mempunyai 6 sisi, jadi kita kalikan 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (angka yang jauh lebih besar dari yang sebelumnya). Bagilah 720 dengan 46656 dan kita mendapatkan probabilitas sekitar 1,5%. Jika Anda merancang game ini, ada baiknya Anda mengetahui hal ini sehingga Anda dapat membuat sistem penilaian yang sesuai. Sekarang kami memahami mengapa di Farkle Anda mendapatkan bonus sebesar itu jika Anda mendapatkan straight: ini adalah situasi yang cukup jarang terjadi.

Hasilnya juga menarik karena alasan lain. Contoh tersebut menunjukkan betapa jarangnya hasil yang sesuai dengan probabilitas terjadi dalam waktu singkat. Tentu saja, jika kita melempar beberapa ribu dadu, sisi dadu yang berbeda akan sering muncul. Namun ketika kita hanya melempar enam dadu, hampir tidak pernah muncul setiap wajah. Menjadi jelas bahwa adalah bodoh untuk mengharapkan sekarang akan muncul garis yang belum terjadi, karena “kita sudah lama tidak menggulirkan angka 6”. Dengar, pembuat nomor acakmu rusak.

Hal ini membawa kita pada kesalahpahaman umum bahwa semua hasil terjadi pada frekuensi yang sama dalam periode waktu yang singkat. Jika kita melempar dadu beberapa kali, frekuensi jatuhnya masing-masing sisi tidak akan sama.

Jika Anda pernah mengerjakan game online dengan semacam generator angka acak sebelumnya, kemungkinan besar Anda pernah menghadapi situasi di mana seorang pemain menulis ke dukungan teknis dengan keluhan bahwa generator angka acak tidak menampilkan angka acak. Dia sampai pada kesimpulan ini karena dia membunuh 4 monster berturut-turut dan menerima 4 hadiah yang persis sama, dan hadiah ini hanya akan muncul 10% dari waktu, jadi ini jelas hampir tidak pernah terjadi.

Anda sedang melakukan perhitungan matematis. Probabilitasnya adalah 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, yaitu 1 hasil dalam 10 ribu adalah kasus yang jarang terjadi. Inilah yang coba disampaikan pemain kepada Anda. Apakah ada masalah dalam kasus ini?

Itu semua tergantung pada keadaan. Berapa banyak pemain yang saat ini ada di server Anda? Katakanlah Anda memiliki game yang cukup populer dan 100 ribu orang memainkannya setiap hari. Berapa banyak pemain yang bisa membunuh empat monster berturut-turut? Mungkin semuanya, beberapa kali sehari, tapi anggap saja setengah dari mereka hanya menukar berbagai item di lelang, mengobrol di server RP, atau melakukan aktivitas dalam game lainnya - jadi hanya setengah dari mereka yang berburu monster. Berapa peluang seseorang mendapat imbalan yang sama? Dalam situasi ini, Anda dapat memperkirakan hal ini akan terjadi setidaknya beberapa kali sehari.

Ngomong-ngomong, inilah mengapa sepertinya setiap beberapa minggu seseorang memenangkan lotre, meskipun orang tersebut bukanlah Anda atau siapa pun yang Anda kenal. Jika cukup banyak orang yang bermain secara teratur, kemungkinan besar akan ada setidaknya satu pemain yang beruntung di suatu tempat. Namun jika Anda bermain togel sendiri, kemungkinan besar Anda tidak akan menang, melainkan Anda akan diundang untuk bekerja di Infinity Ward.

Kartu dan kecanduan

Kita telah membahas peristiwa independen, seperti melempar dadu, dan sekarang mengetahui banyak alat yang ampuh untuk menganalisis keacakan di banyak permainan. Menghitung probabilitas sedikit lebih rumit ketika mengambil kartu dari dek, karena setiap kartu yang kita ambil memengaruhi kartu yang tersisa di dek.

Jika Anda memiliki tumpukan kartu standar yang terdiri dari 52 kartu, Anda mengeluarkan 10 hati darinya dan ingin mengetahui kemungkinan bahwa kartu berikutnya akan memiliki jenis yang sama - kemungkinannya telah berubah dari aslinya karena Anda telah mengeluarkan satu kartu dari jenis tersebut hati dari dek. Setiap kartu yang Anda keluarkan mengubah kemungkinan munculnya kartu berikutnya di dek. Dalam hal ini, kejadian sebelumnya mempengaruhi kejadian berikutnya, jadi kita menyebutnya bergantung pada probabilitas.

Harap dicatat bahwa ketika saya mengatakan "kartu", yang saya maksud adalah mekanik permainan apa pun di mana Anda memiliki sekumpulan objek dan Anda menghapus salah satu objek tanpa menggantinya. “Setumpuk kartu” dalam hal ini dianalogikan dengan sekantong keripik dari mana Anda mengambil satu keping, atau sebuah guci dari mana bola berwarna diambil (Saya belum pernah melihat permainan dengan guci dari mana bola berwarna diambil, tetapi guru teori probabilitas tentang apa -alasan mengapa contoh ini lebih disukai).

Properti Ketergantungan

Saya ingin mengklarifikasi bahwa jika menyangkut kartu, saya berasumsi Anda mengambil kartu, melihatnya, dan mengeluarkannya dari tumpukan. Masing-masing tindakan ini merupakan properti penting. Jika saya memiliki setumpuk, katakanlah, enam kartu dengan angka 1 sampai 6, saya akan mengocoknya dan menarik satu kartu, lalu mengocok keenam kartu itu lagi - ini akan mirip dengan melempar dadu bersisi enam, karena satu hasil memiliki tidak berpengaruh pada yang berikutnya. Dan jika saya mengeluarkan kartu dan tidak menggantinya, maka dengan mengeluarkan kartu 1, saya meningkatkan kemungkinan bahwa lain kali saya akan mengambil kartu dengan angka 6. Kemungkinannya akan meningkat hingga saya akhirnya mengeluarkan kartu itu atau mengocok dek.

Fakta bahwa kita sedang melihat kartu juga penting. Jika saya mengeluarkan kartu dari tumpukan dan tidak melihatnya, saya tidak akan memiliki informasi tambahan apa pun dan kemungkinannya tidak akan berubah. Ini mungkin terdengar berlawanan dengan intuisi. Bagaimana membalik kartu secara ajaib dapat mengubah peluang? Namun hal ini mungkin terjadi karena Anda dapat menghitung probabilitas item yang tidak diketahui hanya dari apa yang Anda ketahui.

Misalnya, jika Anda mengocok setumpuk kartu standar dan memperlihatkan 51 kartu dan tidak ada satupun yang merupakan ratu klub, maka Anda dapat 100% yakin bahwa kartu yang tersisa adalah ratu klub. Jika Anda mengocok setumpuk kartu standar dan mengeluarkan 51 kartu tanpa melihatnya, kemungkinan kartu yang tersisa adalah ratu klub masih 1/52. Saat Anda membuka setiap kartu, Anda mendapatkan lebih banyak informasi.

Menghitung probabilitas untuk kejadian-kejadian dependen mengikuti prinsip yang sama seperti untuk kejadian-kejadian independen, hanya saja perhitungan ini sedikit lebih rumit karena probabilitasnya berubah seiring dengan pembukaan kartu. Jadi, Anda perlu mengalikan banyak nilai berbeda, bukan mengalikan nilai yang sama. Artinya, kita perlu menggabungkan semua perhitungan yang kita lakukan ke dalam satu kombinasi.

Contoh

Anda mengocok setumpuk 52 kartu standar dan mengambil dua kartu. Berapa peluang terambilnya sepasang? Ada beberapa cara untuk menghitung probabilitas ini, tetapi mungkin yang paling sederhana adalah: berapa probabilitas jika Anda mengambil satu kartu, Anda tidak akan dapat menarik sepasang kartu? Probabilitas ini nol, jadi tidak masalah kartu pertama mana yang Anda ambil, asalkan cocok dengan kartu kedua. Tidak masalah kartu mana yang kita ambil terlebih dahulu, kita masih mempunyai peluang untuk menarik sepasang. Oleh karena itu, peluang terambilnya pasangan setelah kartu pertama diambil adalah 100%.

Berapa peluang terambilnya kartu kedua yang cocok dengan kartu pertama? Ada 51 kartu tersisa di dek, dan 3 di antaranya cocok dengan kartu pertama (sebenarnya akan ada 4 dari 52 kartu, tetapi Anda sudah mengeluarkan salah satu kartu yang cocok saat Anda mengambil kartu pertama), jadi kemungkinannya adalah 1/ 17. Jadi lain kali Anda bermain Texas Hold'em, pria di seberang meja Anda berkata, “Keren, sepasang lagi? Saya merasa beruntung hari ini,” Anda akan tahu bahwa ada kemungkinan besar dia menggertak.

Bagaimana jika kita menambahkan dua pelawak sehingga kita memiliki 54 kartu di tumpukan kartu dan ingin mengetahui berapa peluang terambilnya sepasang kartu? Kartu pertama mungkin adalah kartu joker, dan kemudian hanya akan ada satu kartu di tumpukan yang cocok, dan bukan tiga. Bagaimana cara mencari probabilitas dalam kasus ini? Kami akan membagi probabilitas dan mengalikan setiap kemungkinan.

Kartu pertama kita bisa berupa kartu joker atau kartu lainnya. Peluang terambilnya kartu joker adalah 2/54, peluang terambilnya kartu lain adalah 52/54. Jika kartu pertama adalah joker (2/54), maka peluang terambilnya kartu kedua cocok dengan kartu pertama adalah 1/53. Kita mengalikan nilainya (kita dapat mengalikannya karena keduanya merupakan peristiwa yang terpisah dan kita ingin kedua peristiwa tersebut terjadi) dan kita mendapatkan 1/1431 - kurang dari sepersepuluh persen.

Jika Anda mengambil kartu lain terlebih dahulu (52/54), peluang terambilnya kartu kedua adalah 3/53. Kami mengalikan nilainya dan mendapatkan 78/1431 (sedikit lebih dari 5,5%). Apa yang kita lakukan dengan kedua hasil ini? Mereka tidak berpotongan, dan kami ingin mengetahui probabilitas masing-masingnya, jadi kami menambahkan nilainya. Kami mendapatkan hasil akhir 79/1431 (masih sekitar 5,5%).

Jika kita ingin memastikan keakuratan jawabannya, kita dapat menghitung probabilitas semua kemungkinan hasil lainnya: terambilnya joker dan tidak cocok dengan kartu kedua, atau terambilnya kartu lain dan tidak cocok dengan kartu kedua. Dengan menjumlahkan probabilitas ini dan probabilitas menang, kita akan mendapatkan tepat 100%. Saya tidak akan memberikan perhitungannya di sini, tetapi Anda dapat mencoba perhitungannya untuk mengecek ulang.

Paradoks Monty Hall

Hal ini membawa kita pada paradoks terkenal yang sering membingungkan banyak orang - Paradoks Monty Hall. Paradoks ini dinamai pembawa acara TV Let's Make a Deal. Bagi yang belum pernah menonton acara TV ini, ini adalah kebalikan dari The Price Is Right.

Di The Price Is Right, tuan rumah (Bob Barker dulunya adalah tuan rumah; siapa sekarang, Drew Carey? Sudahlah) adalah teman Anda. Dia ingin Anda memenangkan uang atau hadiah keren. Ini mencoba memberi Anda setiap peluang untuk menang, selama Anda bisa menebak berapa sebenarnya nilai barang yang dibeli oleh sponsor.

Monty Hall berperilaku berbeda. Dia seperti saudara kembar Bob Barker yang jahat. Tujuannya adalah membuat Anda terlihat seperti orang idiot di televisi nasional. Jika Anda tampil di acara itu, dia adalah lawan Anda, Anda bermain melawannya, dan kemungkinan besar menguntungkannya. Mungkin saya terlalu kasar, tapi melihat pertunjukan yang kemungkinan besar akan Anda ikuti jika Anda mengenakan kostum konyol, itulah yang saya pikirkan.

Salah satu meme paling terkenal dalam acara tersebut adalah: ada tiga pintu di depan Anda, pintu nomor 1, pintu nomor 2, dan pintu nomor 3. Anda dapat memilih satu pintu secara gratis. Di belakang salah satunya ada hadiah luar biasa - misalnya mobil baru. Tidak ada hadiah di balik dua pintu lainnya, keduanya tidak ada nilainya. Mereka seharusnya mempermalukan Anda, jadi di belakang mereka bukan hanya apa-apa, tapi sesuatu yang bodoh, misalnya seekor kambing atau pasta gigi yang besar - apa pun kecuali mobil baru.

Anda memilih salah satu pintu, Monty akan membukanya untuk memberi tahu Anda apakah Anda menang atau tidak... tapi tunggu. Sebelum kita mengetahuinya, mari kita lihat salah satu pintu yang tidak Anda pilih. Monty tahu pintu mana yang berisi hadiah, dan dia selalu bisa membuka pintu yang tidak ada hadiahnya. “Apakah kamu memilih pintu nomor 3? Kalau begitu mari kita buka pintu nomor 1 untuk menunjukkan bahwa tidak ada hadiah di baliknya." Dan sekarang, karena kemurahan hatinya, dia menawarkan Anda kesempatan untuk menukar pintu nomor 3 yang dipilih dengan apa yang ada di balik pintu nomor 2.

Pada titik ini, muncul pertanyaan tentang probabilitas: apakah peluang ini meningkatkan peluang Anda untuk menang, atau menurunkannya, atau tetap tidak berubah? Bagaimana menurut Anda?

Jawaban yang benar: kemampuan untuk memilih pintu lain meningkatkan kemungkinan menang dari 1/3 menjadi 2/3. Ini tidak masuk akal. Jika Anda belum pernah menemui paradoks ini sebelumnya, kemungkinan besar Anda berpikir: tunggu, bagaimana bisa dengan membuka satu pintu, kita secara ajaib mengubah kemungkinannya? Seperti yang telah kita lihat pada peta, inilah yang terjadi ketika kita memperoleh lebih banyak informasi. Tentunya saat pertama kali memilih, kemungkinan menangnya adalah 1/3. Ketika satu pintu terbuka, hal itu tidak mengubah kemungkinan menang untuk pilihan pertama sama sekali: kemungkinannya masih 1/3. Namun peluang pintu lainnya benar sekarang adalah 2/3.

Mari kita lihat contoh ini dari sudut pandang yang berbeda. Anda memilih pintu. Kemungkinan menang adalah 1/3. Saya sarankan Anda mengganti dua pintu lainnya, seperti yang dilakukan Monty Hall. Tentu, dia membuka salah satu pintu untuk mengungkapkan tidak ada hadiah di baliknya, tapi dia selalu bisa melakukan itu, jadi itu tidak mengubah apa pun. Tentu saja Anda ingin memilih pintu yang berbeda.

Jika Anda kurang memahami pertanyaannya dan memerlukan penjelasan yang lebih meyakinkan, klik tautan ini untuk dibawa ke aplikasi Flash kecil yang memungkinkan Anda menjelajahi paradoks ini lebih detail. Anda dapat bermain mulai dengan sekitar 10 pintu dan kemudian secara bertahap melanjutkan hingga permainan dengan tiga pintu. Ada juga simulator di mana Anda dapat bermain dengan jumlah pintu berapa pun dari 3 hingga 50, atau menjalankan beberapa ribu simulasi dan melihat berapa kali Anda akan menang jika bermain.

Pilih salah satu dari tiga pintu - kemungkinan menang adalah 1/3. Sekarang Anda punya dua strategi: ubah pilihan Anda setelah membuka pintu yang salah atau tidak. Jika Anda tidak mengubah pilihan Anda, maka kemungkinannya akan tetap 1/3, karena pilihan hanya terjadi pada tahap pertama, dan Anda harus langsung menebaknya. Jika Anda berubah, maka Anda bisa menang jika Anda terlebih dahulu memilih pintu yang salah (kemudian mereka membuka pintu lain yang salah, pintu yang benar tetap ada - dengan mengubah keputusan, Anda menerimanya). Kemungkinan memilih pintu yang salah di awal adalah 2/3 - jadi ternyata dengan mengubah keputusan, Anda menggandakan kemungkinan menang.

Ucapan dari guru matematika tingkat tinggi dan spesialis keseimbangan permainan Maxim Soldatov - tentu saja, Schreiber tidak memilikinya, tetapi tanpanya cukup sulit untuk memahami transformasi ajaib ini

Dan lagi tentang paradoks Monty Hall

Adapun acaranya sendiri: meskipun lawan Monty Hall tidak pandai matematika, dia pandai dalam hal itu. Inilah yang dia lakukan untuk sedikit mengubah permainan. Jika Anda memilih pintu yang memiliki hadiah di belakangnya, yang memiliki peluang 1/3 untuk terjadi, pintu tersebut akan selalu menawarkan Anda pilihan untuk memilih pintu lain. Anda akan memilih mobil dan menukarnya dengan seekor kambing dan Anda akan terlihat sangat bodoh - itulah yang Anda inginkan karena Hall adalah tipe orang jahat.

Namun jika Anda memilih pintu yang tidak memiliki hadiah di baliknya, dia hanya akan meminta Anda untuk memilih satu pintu lagi, atau dia hanya akan menunjukkan kambing baru Anda dan Anda akan meninggalkan panggung. Mari kita analisis permainan baru ini di mana Monty Hall dapat memutuskan apakah akan menawarkan Anda kesempatan untuk memilih pintu lain atau tidak.

Katakanlah dia mengikuti algoritme ini: jika Anda memilih pintu dengan hadiah, dia selalu menawarkan Anda kesempatan untuk memilih pintu lain, jika tidak, kemungkinan besar dia akan menawarkan Anda untuk memilih pintu lain atau memberi Anda seekor kambing. Berapa peluang Anda untuk menang?

Di salah satu dari tiga opsi, Anda langsung memilih pintu di belakang tempat hadiah berada, dan presenter mengundang Anda untuk memilih yang lain.

Dari dua dari tiga opsi yang tersisa (awalnya Anda memilih pintu tanpa hadiah), dalam separuh kasus, presenter akan menawarkan Anda untuk mengubah keputusan, dan di separuh kasus lainnya, tidak.

Setengah dari 2/3 adalah 1/3, yaitu, dalam satu dari tiga kasus Anda akan mendapatkan seekor kambing, dalam satu dari tiga kasus Anda akan memilih pintu yang salah dan tuan rumah akan meminta Anda untuk memilih yang lain, dan dalam satu kasus dari tiga Anda akan memilih pintu yang tepat, tapi dia lagi dia akan menawarkan yang lain.

Jika presenter menawarkan untuk memilih pintu lain, kita sudah tahu bahwa satu dari tiga kasus, ketika dia memberi kita seekor kambing dan kita pergi, tidak terjadi. Ini adalah informasi yang berguna: artinya peluang kita untuk menang telah berubah. Dua dari tiga kasus ketika kita memiliki kesempatan untuk memilih: dalam satu kasus berarti kita menebak dengan benar, dan di kasus lain kita salah menebak, jadi jika kita ditawari kesempatan untuk memilih, maka kemungkinan kita menang adalah 1/2 , dan dari sudut pandang matematika, tidak masalah apakah Anda tetap pada pilihan Anda atau memilih pintu lain.

Seperti poker, ini adalah permainan psikologis, bukan permainan matematika. Mengapa Monty memberi Anda pilihan? Apakah dia mengira Anda adalah orang bodoh yang tidak tahu bahwa memilih pintu lain adalah keputusan yang “tepat” dan akan dengan keras kepala mempertahankan pilihannya (lagipula, situasinya secara psikologis lebih sulit ketika Anda memilih mobil dan kemudian kehilangannya? )?

Atau apakah dia, yang memutuskan bahwa Anda pintar dan akan memilih pintu lain, menawarkan Anda kesempatan ini karena dia tahu bahwa Anda menebak dengan benar dan akan ketagihan? Atau mungkin dia bersikap sangat baik dan mendorong Anda untuk melakukan sesuatu yang bermanfaat bagi Anda karena dia sudah lama tidak memberikan mobil dan produser mengatakan penonton mulai bosan dan akan lebih baik jika segera memberikan hadiah besar untuk melakukannya. ratingnya turun?

Dengan cara ini, Monty kadang-kadang berhasil menawarkan pilihan dan tetap menjaga kemungkinan menang secara keseluruhan pada 1/3. Ingatlah bahwa kemungkinan Anda kalah total adalah 1/3. Peluang Anda langsung menebak dengan benar adalah 1/3, dan 50% dari jumlah tersebut Anda akan menang (1/3 x 1/2 = 1/6).

Kemungkinan Anda salah menebak pada awalnya tetapi kemudian memiliki kesempatan untuk memilih pintu lain adalah 1/3, dan setengah dari jumlah tersebut Anda akan menang (juga 1/6). Tambahkan dua kemungkinan kemenangan independen dan Anda mendapatkan probabilitas 1/3, jadi tidak masalah apakah Anda tetap pada pilihan Anda atau memilih pintu lain - probabilitas keseluruhan Anda untuk menang sepanjang permainan adalah 1/3.

Kemungkinannya tidak menjadi lebih besar daripada situasi ketika Anda menebak pintunya dan presenter hanya menunjukkan kepada Anda apa yang ada di baliknya, tanpa menawarkan untuk memilih yang lain. Inti dari usulan tersebut bukan untuk mengubah probabilitas, tetapi untuk membuat proses pengambilan keputusan lebih menyenangkan untuk ditonton di televisi.

Ngomong-ngomong, inilah salah satu alasan mengapa poker bisa begitu menarik: di sebagian besar format, di antara ronde ketika taruhan dibuat (misalnya, flop, turn, dan river di Texas Hold'em), kartu dibuka secara bertahap, dan jika di awal permainan Anda memiliki satu peluang untuk menang, maka setelah setiap putaran pertaruhan, ketika lebih banyak kartu dibuka, kemungkinan ini berubah.

Paradoks laki-laki dan perempuan

Hal ini membawa kita ke paradoks terkenal lainnya, yang biasanya membingungkan semua orang - paradoks laki-laki dan perempuan. Satu-satunya hal yang saya tulis hari ini yang tidak berhubungan langsung dengan game (walaupun menurut saya saya hanya mendorong Anda untuk membuat mekanisme game yang sesuai). Ini lebih merupakan teka-teki, tetapi menarik, dan untuk menyelesaikannya, Anda perlu memahami probabilitas bersyarat, yang telah kita bicarakan di atas.

Masalah: Saya punya teman dengan dua anak, setidaknya salah satunya perempuan. Berapa peluang anak kedua juga perempuan? Mari kita asumsikan bahwa dalam keluarga mana pun peluang memiliki anak perempuan dan laki-laki adalah 50/50, dan hal ini berlaku untuk setiap anak.

Faktanya, beberapa pria memiliki lebih banyak sperma dengan kromosom X atau kromosom Y dalam spermanya, sehingga kemungkinannya sedikit berubah. Jika Anda mengetahui bahwa salah satu anak adalah perempuan, kemungkinan memiliki anak perempuan kedua sedikit lebih tinggi, dan terdapat kondisi lain, seperti hermafroditisme. Namun untuk mengatasi masalah ini, kami tidak akan memperhitungkan hal ini dan berasumsi bahwa kelahiran seorang anak adalah peristiwa yang berdiri sendiri dan kelahiran anak laki-laki dan perempuan memiliki kemungkinan yang sama.

Karena kita berbicara tentang peluang 1/2, secara intuitif kita berharap bahwa jawabannya kemungkinan besar adalah 1/2 atau 1/4, atau bilangan lain yang merupakan kelipatan dua penyebutnya. Tapi jawabannya 1/3. Mengapa?

Kesulitannya di sini adalah informasi yang kita miliki mengurangi jumlah kemungkinan. Misalkan orang tuanya adalah penggemar Sesame Street dan, terlepas dari jenis kelamin anak-anaknya, beri nama mereka A dan B. Dalam kondisi normal, ada empat kemungkinan yang sama: A dan B adalah dua laki-laki, A dan B adalah dua perempuan, A laki-laki, B perempuan, A perempuan, dan B laki-laki. Karena kita mengetahui bahwa setidaknya satu anak adalah perempuan, kita dapat mengesampingkan kemungkinan bahwa A dan B adalah dua laki-laki. Hal ini memberi kita tiga kemungkinan – masih sama kemungkinannya. Jika semua kemungkinan mempunyai peluang yang sama dan ada tiga kemungkinan, maka peluang masing-masing kemungkinan adalah 1/3. Dari ketiga pilihan tersebut, hanya satu yang sama-sama anak perempuan, jadi jawabannya 1/3.

Dan lagi tentang paradoks laki-laki dan perempuan

Solusi terhadap masalah ini menjadi semakin tidak logis. Bayangkan teman saya mempunyai dua orang anak dan salah satunya adalah perempuan yang lahir pada hari Selasa. Mari kita asumsikan bahwa dalam kondisi normal, seorang anak dapat dilahirkan pada tujuh hari dalam seminggu dengan probabilitas yang sama. Berapa peluang anak kedua juga perempuan?

Anda mungkin mengira jawabannya masih 1/3: apa pentingnya hari Selasa? Namun bahkan dalam kasus ini, intuisi kita mengecewakan kita. Jawabannya adalah 27/13, yang tidak hanya tidak intuitif, tetapi juga sangat aneh. Ada apa dalam kasus ini?

Faktanya, hari Selasa mengubah probabilitas karena kita tidak tahu anak mana yang lahir pada hari Selasa, atau mungkin keduanya lahir pada hari Selasa. Dalam hal ini, kami menggunakan logika yang sama: kami menghitung semua kemungkinan kombinasi jika setidaknya satu anak adalah perempuan yang lahir pada hari Selasa. Seperti pada contoh sebelumnya, asumsikan anak tersebut diberi nama A dan B. Kombinasinya terlihat seperti ini:

• A adalah perempuan yang lahir pada hari Selasa, B adalah laki-laki (dalam situasi ini ada 7 kemungkinan, satu kemungkinan untuk setiap hari dalam seminggu dimana anak laki-laki bisa saja dilahirkan).
• B perempuan lahir hari selasa, A laki-laki (juga 7 kemungkinan).
• A - anak perempuan yang lahir pada hari Selasa, B - anak perempuan yang lahir pada hari lain dalam seminggu (6 kemungkinan).
• B adalah anak perempuan yang lahir pada hari Selasa, A adalah anak perempuan yang tidak lahir pada hari Selasa (juga 6 kemungkinan).
• A dan B adalah dua anak perempuan yang lahir pada hari selasa (1 kemungkinan perlu diperhatikan agar tidak dihitung dua kali).

Kami menjumlahkan dan mendapatkan 27 kombinasi kelahiran anak dan hari yang sama-sama mungkin dengan setidaknya satu kemungkinan kelahiran anak perempuan pada hari Selasa. Dari jumlah tersebut, ada 13 kemungkinan lahirnya dua anak perempuan. Tampaknya juga sangat tidak masuk akal - sepertinya tugas ini diciptakan hanya untuk membuat sakit kepala. Jika Anda masih bingung, situs ahli teori permainan Jesper Juhl memiliki penjelasan yang bagus tentang masalah ini.

Jika saat ini Anda sedang mengerjakan sebuah game

Jika ada keacakan dalam game yang Anda rancang, inilah saat yang tepat untuk menganalisisnya. Pilih beberapa elemen yang ingin Anda analisis. Pertama-tama tanyakan pada diri Anda berapa kemungkinan yang Anda harapkan untuk suatu elemen tertentu, apa yang seharusnya ada dalam konteks permainan.

Misalnya, jika Anda membuat RPG dan bertanya-tanya berapa kemungkinan pemain tersebut akan mengalahkan monster dalam pertempuran, tanyakan pada diri Anda sendiri berapa persentase kemenangan yang menurut Anda tepat. Biasanya dengan RPG konsol, pemain akan sangat kesal saat kalah, jadi sebaiknya mereka jarang kalah - 10% atau kurang. Jika Anda seorang desainer RPG, Anda mungkin lebih tahu daripada saya, tetapi Anda harus memiliki gagasan dasar tentang kemungkinannya.

Kemudian tanyakan pada diri Anda apakah probabilitas Anda bergantung (seperti pada kartu) atau independen (seperti pada dadu). Analisis semua kemungkinan hasil dan probabilitasnya. Pastikan jumlah semua probabilitas adalah 100%. Dan tentunya bandingkan hasil yang didapat dengan ekspektasi Anda. Apakah Anda sudah bisa melempar dadu atau menarik kartu sesuai keinginan Anda, atau sudah jelas nilainya perlu disesuaikan. Dan tentu saja, jika Anda menemukan kekurangan, Anda dapat menggunakan perhitungan yang sama untuk menentukan seberapa besar perubahan nilainya.

Pekerjaan rumah

Pekerjaan rumah Anda minggu ini akan membantu Anda mengasah keterampilan probabilitas Anda. Berikut adalah dua permainan dadu dan permainan kartu yang akan Anda analisis menggunakan probabilitas, serta mekanisme permainan aneh yang pernah saya kembangkan yang akan menguji metode Monte Carlo.

Game #1 - Tulang Naga

Ini adalah permainan dadu yang pernah saya dan kolega saya buat (terima kasih kepada Jeb Heavens dan Jesse King) - permainan ini secara khusus mengejutkan orang dengan probabilitasnya. Ini adalah permainan kasino sederhana yang disebut Dragon Dice, dan ini adalah kompetisi perjudian dadu antara pemain dan rumah.

Anda diberi dadu 1d6 normal. Tujuan permainan ini adalah untuk mendapatkan angka yang lebih tinggi dari angka rumah. Tom diberikan 1d6 non-standar - sama seperti milik Anda, tetapi di salah satu wajahnya, bukan unit, ada gambar naga (jadi, kasino memiliki kubus naga - 2-3-4-5-6 ). Jika rumah mendapat naga, otomatis menang dan Anda kalah. Jika keduanya mendapatkan angka yang sama, maka dinyatakan seri dan Anda melempar dadu lagi. Orang yang mendapatkan angka tertinggi adalah pemenangnya.

Tentu saja, semuanya tidak sepenuhnya menguntungkan pemain, karena kasino memiliki keunggulan dalam bentuk keunggulan naga. Tapi apakah ini benar? Inilah yang harus Anda hitung. Tapi periksa dulu intuisi Anda.

Katakanlah oddsnya adalah 2 banding 1. Jadi jika Anda menang, Anda pertahankan taruhan Anda dan dapatkan dua kali lipat taruhan Anda. Misalnya, jika Anda bertaruh 1 dolar dan menang, Anda menyimpan dolar itu dan mendapat 2 dolar lagi, dengan total 3 dolar. Jika kalah, Anda hanya kehilangan taruhan Anda. Maukah kamu bermain? Apakah Anda secara intuitif merasa bahwa kemungkinannya lebih besar dari 2 banding 1, atau apakah Anda masih berpikir bahwa kemungkinannya lebih kecil? Dengan kata lain, rata-rata dalam 3 pertandingan, apakah Anda berharap menang lebih dari sekali, atau kurang, atau sekali?

Setelah intuisi Anda diketahui, gunakan matematika. Hanya ada 36 kemungkinan posisi untuk kedua dadu, jadi Anda dapat menghitung semuanya tanpa masalah. Jika Anda tidak yakin dengan tawaran 2-untuk-1 tersebut, pertimbangkan ini: Katakanlah Anda memainkan permainan tersebut 36 kali (bertaruh $1 setiap kali). Untuk setiap kemenangan Anda mendapat 2 dolar, untuk setiap kekalahan Anda kehilangan 1, dan hasil imbang tidak mengubah apa pun. Hitung semua kemungkinan kemenangan dan kerugian Anda dan putuskan apakah Anda akan kehilangan atau mendapatkan sejumlah dolar. Kemudian tanyakan pada diri Anda seberapa benar intuisi Anda. Dan kemudian menyadari betapa jahatnya aku.

Dan ya, jika Anda sudah memikirkan pertanyaan ini - saya sengaja membingungkan Anda dengan salah mengartikan mekanisme permainan dadu yang sebenarnya, tapi saya yakin Anda bisa mengatasi kendala ini hanya dengan sedikit pemikiran. Cobalah untuk menyelesaikan sendiri masalah ini.

Game No. 2 - Lempar untuk keberuntungan

Ini adalah permainan untung-untungan dadu yang disebut "Roll for Luck" (juga disebut "Birdcage" karena terkadang dadu tidak dilempar, tetapi ditempatkan di dalam sangkar kawat besar, mengingatkan pada sangkar dari Bingo). Permainan ini sederhana dan pada dasarnya bermuara pada ini: bertaruh, katakanlah, $1 pada angka dari 1 hingga 6. Kemudian Anda menggulung 3d6. Untuk setiap dadu yang nomor Anda dapatkan, Anda mendapatkan $1 (dan mempertahankan taruhan awal Anda). Jika nomor Anda tidak muncul pada dadu mana pun, kasino mendapatkan dolar Anda dan Anda tidak mendapat apa pun. Jadi jika Anda bertaruh pada angka 1 dan mendapatkan angka 1 di sisinya sebanyak tiga kali, Anda mendapat $3.

Secara intuitif, tampaknya permainan ini memiliki peluang yang sama. Setiap dadu memiliki peluang menang 1 banding 6, jadi jika dijumlahkan dari ketiga pelemparan, peluang Anda untuk menang adalah 3 banding 6. Namun, tentu saja, ingatlah bahwa Anda menambahkan tiga dadu terpisah, dan Anda hanya diperbolehkan untuk tambahkan jika kita berbicara tentang kombinasi pemenang terpisah dari dadu yang sama. Sesuatu yang perlu Anda gandakan.

Setelah Anda menghitung semua kemungkinan hasil (mungkin lebih mudah dilakukan di Excel daripada dengan tangan, karena ada 216 hasil), permainan ini masih terlihat ganjil-genap pada pandangan pertama. Faktanya, kasino masih memiliki peluang menang yang lebih baik – berapa banyak lagi? Secara khusus, berapa banyak uang rata-rata yang Anda perkirakan akan hilang pada setiap putaran permainan?

Yang harus Anda lakukan adalah menjumlahkan kemenangan dan kekalahan dari semua 216 hasil dan kemudian membaginya dengan 216, yang seharusnya cukup sederhana. Namun, seperti yang Anda lihat, ada beberapa kendala di sini, itulah sebabnya saya katakan: jika menurut Anda permainan ini memiliki peluang menang yang sama, Anda salah.

Permainan #3 – 5 Kartu Stud Poker

Jika Anda sudah melakukan pemanasan dengan permainan sebelumnya, mari kita periksa apa yang kita ketahui tentang probabilitas bersyarat menggunakan permainan kartu ini sebagai contoh. Mari kita bayangkan permainan poker dengan setumpuk 52 kartu. Bayangkan juga 5 kartu stud, dimana setiap pemain hanya menerima 5 kartu saja. Anda tidak dapat membuang satu kartu, Anda tidak dapat mengambil kartu baru, tidak ada tumpukan kartu bersama - Anda hanya mendapat 5 kartu.

Royal flush adalah 10-J-Q-K-A di satu tangan, totalnya ada empat, jadi ada empat kemungkinan cara mendapatkan royal flush. Hitung peluang Anda mendapatkan salah satu kombinasi tersebut.

Saya harus memperingatkan Anda tentang satu hal: ingatlah bahwa Anda dapat menarik lima kartu ini dalam urutan apa pun. Artinya, pertama-tama Anda bisa menggambar kartu as atau sepuluh, tidak masalah. Jadi saat Anda menghitung, perlu diingat bahwa sebenarnya ada lebih dari empat cara untuk mendapatkan royal flush, dengan asumsi kartu dibagikan secara berurutan.

Permainan No. 4 - Lotere IMF

Masalah keempat tidak dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan metode yang kita bicarakan hari ini, tetapi Anda dapat dengan mudah mensimulasikan situasinya menggunakan pemrograman atau Excel. Dengan menggunakan contoh masalah inilah Anda dapat menyelesaikan metode Monte Carlo.

Saya telah menyebutkan sebelumnya permainan Chron X, yang pernah saya kerjakan, dan ada satu kartu yang sangat menarik di sana - lotere IMF. Begini cara kerjanya: Anda menggunakannya di dalam game. Setelah putaran berakhir, kartu-kartu tersebut didistribusikan kembali, dan ada kemungkinan 10% bahwa kartu tersebut akan keluar dari permainan dan pemain acak akan menerima 5 unit dari setiap jenis sumber daya yang tokennya ada di kartu tersebut. Kartu tersebut dimasukkan ke dalam permainan tanpa satu chip pun, tetapi setiap kali kartu tersebut tetap dimainkan di awal babak berikutnya, kartu tersebut menerima satu chip.

Jadi ada kemungkinan 10% jika Anda memainkannya, putaran akan berakhir, kartu akan keluar dari permainan, dan tidak ada yang akan mendapatkan apa pun. Jika hal ini tidak terjadi (peluang 90%), ada kemungkinan 10% (sebenarnya 9%, karena 10% dari 90%) bahwa pada putaran berikutnya dia akan meninggalkan permainan dan seseorang akan menerima 5 unit sumber daya. Jika kartu keluar dari permainan setelah satu putaran (10% dari 81% tersedia, jadi kemungkinannya adalah 8,1%), seseorang akan menerima 10 unit, putaran berikutnya - 15, putaran berikutnya - 20, dan seterusnya. Pertanyaan: Berapa nilai umum yang diharapkan dari jumlah sumber daya yang akan Anda peroleh dari kartu ini ketika kartu tersebut akhirnya keluar dari permainan?

Biasanya kita akan mencoba memecahkan masalah ini dengan menghitung kemungkinan setiap hasil dan mengalikannya dengan jumlah semua hasil. Ada kemungkinan 10% Anda akan mendapatkan 0 (0,1 * 0 = 0). 9% Anda akan menerima 5 unit sumber daya (9% * 5 = 0,45 sumber daya). 8,1% dari apa yang akan Anda dapatkan adalah 10 (8,1%*10=0,81 sumber daya - nilai keseluruhan yang diharapkan). Dan seterusnya. Dan kemudian kami akan menyimpulkan semuanya.

Dan sekarang masalahnya jelas bagi Anda: selalu ada kemungkinan bahwa kartu tersebut tidak akan keluar dari permainan, kartu tersebut dapat tetap berada dalam permainan selamanya, untuk jumlah putaran yang tidak terbatas, jadi tidak ada cara untuk menghitung setiap probabilitas. Metode yang kita pelajari hari ini tidak memungkinkan kita menghitung rekursi tak terbatas, jadi kita harus membuatnya secara artifisial.

Jika Anda cukup mahir dalam pemrograman, tulislah sebuah program yang akan mensimulasikan peta ini. Anda harus memiliki perulangan waktu yang membawa variabel ke posisi awal nol, menunjukkan angka acak dan dengan peluang 10% variabel tersebut keluar dari perulangan. Jika tidak, ia menambahkan 5 ke variabel dan perulangan berulang. Ketika akhirnya keluar dari loop, tambah jumlah total uji coba yang dijalankan sebesar 1 dan jumlah total sumber daya (seberapa banyak bergantung pada di mana variabel berakhir). Kemudian setel ulang variabel dan mulai lagi.

Jalankan program ini beberapa ribu kali. Pada akhirnya, bagi jumlah total sumber daya dengan jumlah total proses - ini akan menjadi nilai Monte Carlo yang Anda harapkan. Jalankan program beberapa kali untuk memastikan angka yang Anda peroleh kurang lebih sama. Jika pencarnya masih besar, tingkatkan jumlah pengulangan pada putaran terluar hingga Anda mulai mendapatkan kecocokan. Anda dapat yakin bahwa angka apa pun yang Anda hasilkan kira-kira benar.

Jika Anda baru mengenal pemrograman (walaupun Anda baru), berikut adalah latihan singkat untuk menguji kemampuan Excel Anda. Jika Anda seorang desainer game, keterampilan ini tidak akan berguna.

Sekarang fungsi if dan rand akan sangat berguna bagi Anda. Rand tidak memerlukan nilai, ia hanya mengeluarkan angka desimal acak antara 0 dan 1. Kami biasanya menggabungkannya dengan lantai dan plus dan minus untuk mensimulasikan pelemparan dadu, yang telah saya sebutkan sebelumnya. Namun, dalam kasus ini kita hanya menyisakan 10% kemungkinan kartu tersebut akan keluar dari permainan, jadi kita cukup memeriksa apakah nilai randnya kurang dari 0,1 dan tidak mengkhawatirkannya lagi.

Jika memiliki tiga arti. Urutan: kondisi yang bernilai benar atau salah, lalu nilai yang dikembalikan jika kondisi benar, dan nilai yang dikembalikan jika kondisi salah. Jadi fungsi berikut akan mengembalikan 5% dari waktu tersebut, dan 0 pada 90% waktu lainnya: =JIKA(RAND()<0.1,5,0) .

Ada banyak cara untuk mengatur perintah ini, tapi saya akan menggunakan rumus ini untuk sel yang mewakili putaran pertama, misalkan sel A1: =JIKA(RAND()<0.1,0,-1) .

Di sini saya menggunakan variabel negatif yang berarti "kartu ini belum keluar dari permainan dan belum menyerahkan sumber daya apa pun." Jadi jika putaran pertama selesai dan kartu keluar dari permainan, A1 adalah 0; jika tidak, maka –1.

Untuk sel berikutnya yang mewakili putaran kedua: =JIKA(A1>-1, A1, JIKA(RAND()<0.1,5,-1)) . Jadi jika putaran pertama berakhir dan kartu segera keluar dari permainan, A1 adalah 0 (jumlah sumber daya) dan sel ini hanya akan menyalin nilai tersebut. Jika tidak, A1 adalah -1 (kartu belum keluar dari permainan), dan sel ini terus bergerak secara acak: 10% dari waktu tersebut akan mengembalikan 5 unit sumber daya, sisanya nilainya akan tetap sama dengan -1. Jika kami menerapkan rumus ini ke sel tambahan, kami mendapatkan putaran tambahan, dan sel mana pun yang Anda gunakan akan memberi Anda hasil akhir (atau -1 jika kartu tidak pernah keluar dari permainan setelah semua putaran yang Anda mainkan).

Ambil baris sel tersebut, yang mewakili satu-satunya putaran dengan kartu itu, lalu salin dan tempel beberapa ratus (atau ribuan) baris. Kami mungkin tidak dapat melakukan pengujian tanpa batas untuk Excel (jumlah sel dalam tabel terbatas), namun setidaknya kami dapat mencakup sebagian besar kasus. Kemudian pilih satu sel di mana Anda akan menempatkan rata-rata hasil semua putaran - Excel menyediakan fungsi average() untuk ini.

Di Windows, Anda setidaknya dapat menekan F9 untuk menghitung ulang semua nomor acak. Seperti sebelumnya, lakukan ini beberapa kali dan lihat apakah Anda mendapatkan nilai yang sama. Jika penyebarannya terlalu besar, gandakan jumlah larinya dan coba lagi.

Masalah yang belum terpecahkan

Jika Anda kebetulan memiliki gelar dalam teori probabilitas dan soal-soal di atas tampaknya terlalu mudah bagi Anda, berikut adalah dua soal yang telah saya pikirkan selama bertahun-tahun, namun sayangnya saya tidak cukup pandai matematika untuk menyelesaikannya.

Masalah #1 yang Belum Terpecahkan: Lotere IMF

Masalah pertama yang belum terselesaikan adalah pekerjaan rumah sebelumnya. Saya dapat dengan mudah menerapkan metode Monte Carlo (menggunakan C++ atau Excel) dan yakin dengan jawaban atas pertanyaan “berapa banyak sumber daya yang akan diterima pemain”, tetapi saya tidak tahu persis bagaimana memberikan jawaban pasti yang dapat dibuktikan secara matematis (ini adalah deret tak hingga).

Masalah yang belum terpecahkan #2: Urutan angka

Masalah ini (juga melampaui tugas-tugas yang diselesaikan di blog ini) diberikan kepada saya oleh seorang teman gamer lebih dari sepuluh tahun yang lalu. Saat bermain blackjack di Vegas, dia memperhatikan satu hal menarik: ketika dia mengeluarkan kartu dari sepatu 8 dek, dia melihat sepuluh angka berturut-turut (angka atau kartu wajah - 10, Joker, Raja atau Ratu, jadi ada 16 di dalamnya). total dalam kartu standar 52-dek atau 128 dalam sepatu 416 kartu).

Berapa peluang bahwa sepatu ini memuat setidaknya satu urutan sepuluh angka atau lebih? Mari kita asumsikan bahwa mereka dikocok secara adil, dalam urutan acak. Atau, jika Anda mau, berapa peluang bahwa rangkaian sepuluh angka atau lebih tidak muncul di mana pun?

Kita dapat menyederhanakan tugas tersebut. Berikut adalah urutan 416 bagian. Setiap bagian adalah 0 atau 1. Ada 128 angka satu dan 288 angka nol yang tersebar secara acak di seluruh rangkaian. Berapa banyak cara untuk menyelingi 128 angka nol secara acak dengan 288 angka nol, dan berapa kali setidaknya satu kelompok yang terdiri dari sepuluh angka atau lebih akan muncul?

Setiap kali saya mulai memecahkan masalah ini, tampaknya mudah dan jelas bagi saya, tetapi begitu saya mempelajari detailnya, masalah itu tiba-tiba berantakan dan tampak mustahil.

Jadi jangan terburu-buru melontarkan jawabannya: duduk, pikirkan baik-baik, pelajari kondisinya, coba masukkan bilangan real, karena semua orang yang saya ajak bicara tentang masalah ini (termasuk beberapa mahasiswa pascasarjana yang bekerja di bidang ini) bereaksi tentang sama: “Ini sangat jelas... oh, tidak, tunggu, itu tidak jelas sama sekali.” Ini adalah kasus ketika saya tidak memiliki metode untuk menghitung semua opsi. Tentu saja saya dapat melakukan brute force masalah melalui algoritma komputer, namun akan jauh lebih menarik jika mengetahui solusi matematisnya.

Jelas bahwa setiap peristiwa mempunyai tingkat kemungkinan terjadinya (implementasinya) yang berbeda-beda. Untuk membandingkan secara kuantitatif kejadian-kejadian yang satu dengan yang lain menurut derajat kemungkinannya, tentunya perlu dikaitkan dengan suatu bilangan tertentu dengan setiap kejadian, yang semakin besar maka semakin besar kemungkinan kejadian tersebut. Angka ini disebut peluang suatu kejadian.

Kemungkinan kejadian– adalah ukuran numerik dari tingkat kemungkinan obyektif terjadinya peristiwa ini.

Perhatikan eksperimen stokastik dan kejadian acak A yang diamati dalam eksperimen ini. Mari kita ulangi percobaan ini sebanyak n kali dan misalkan m(A) adalah banyaknya percobaan yang terjadi kejadian A.

Hubungan (1.1)

ditelepon Frekuensi relatif kejadian A pada rangkaian percobaan yang dilakukan.

Sangat mudah untuk memverifikasi validitas properti:

jika A dan B tidak konsisten (AB= ), maka ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Frekuensi relatif ditentukan hanya setelah serangkaian percobaan dan, secara umum, dapat bervariasi dari rangkaian ke rangkaian. Namun, pengalaman menunjukkan bahwa dalam banyak kasus, seiring dengan bertambahnya jumlah eksperimen, frekuensi relatifnya mendekati angka tertentu. Fakta stabilitas frekuensi relatif ini telah berulang kali diverifikasi dan dapat dianggap ditetapkan secara eksperimental.

Contoh 1.19.. Jika Anda melempar satu koin, tidak ada yang bisa memprediksi sisi mana koin itu akan mendarat. Tetapi jika Anda melempar dua ton koin, maka semua orang akan mengatakan bahwa sekitar satu ton akan jatuh bersama lambang, yaitu frekuensi relatif lambang yang rontok kira-kira 0,5.

Jika, dengan bertambahnya jumlah percobaan, frekuensi relatif kejadian ν(A) cenderung ke bilangan tertentu yang tetap, maka dikatakan bahwa peristiwa A stabil secara statistik, dan bilangan ini disebut peluang kejadian A.

Kemungkinan kejadian tersebut A suatu bilangan tetap P(A) disebut, yang frekuensi relatifnya ν(A) dari kejadian ini cenderung seiring dengan bertambahnya jumlah percobaan, yaitu,

Definisi ini disebut penentuan statistik probabilitas .

Mari kita pertimbangkan eksperimen stokastik tertentu dan biarkan ruang kejadian elementernya terdiri dari himpunan kejadian elementer yang berhingga atau tak terhingga (tetapi dapat dihitung) ω 1, ω 2, …, ω i, …. Mari kita asumsikan bahwa setiap peristiwa dasar ω i diberi nomor tertentu - р i, yang mencirikan tingkat kemungkinan terjadinya peristiwa dasar tertentu dan memenuhi sifat-sifat berikut:

Nomor p i ini disebut probabilitas suatu kejadian dasarωi.

Misalkan A adalah kejadian acak yang diamati dalam percobaan ini, dan misalkan A berkorespondensi dengan himpunan tertentu

Dalam pengaturan ini kemungkinan suatu peristiwa A sebutkan jumlah peluang kejadian-kejadian dasar yang mendukung A(termasuk dalam set A yang sesuai):

(1.4)

Probabilitas yang diperkenalkan dengan cara ini mempunyai sifat yang sama dengan frekuensi relatif, yaitu:

Dan jika AB = (A dan B tidak kompatibel),

maka P(A+B) = P(A) + P(B)

Memang, menurut (1.4)

Dalam hubungan terakhir kita mengambil keuntungan dari kenyataan bahwa tidak ada satu peristiwa dasar pun yang dapat mendukung dua peristiwa yang tidak kompatibel pada waktu yang sama.

Kami secara khusus mencatat bahwa teori probabilitas tidak menunjukkan metode untuk menentukan pi; metode tersebut harus dicari untuk alasan praktis atau diperoleh dari eksperimen statistik yang sesuai.

Sebagai contoh, perhatikan skema klasik teori probabilitas. Untuk melakukan ini, pertimbangkan eksperimen stokastik, ruang kejadian elementer yang terdiri dari sejumlah elemen berhingga (n). Mari kita asumsikan juga bahwa semua kejadian elementer ini sama-sama mungkin terjadi, yaitu probabilitas kejadian elementer sama dengan p(ω i)=p i =p. Oleh karena itu

Contoh 1.20. Saat melempar koin simetris, kemungkinan mendapatkan kepala dan ekor sama, probabilitasnya sama dengan 0,5.

Contoh 1.21. Pada pelemparan sebuah dadu simetris, semua muka mempunyai kemungkinan yang sama, peluangnya sama dengan 1/6.

Sekarang misalkan kejadian A diunggulkan oleh m kejadian dasar, biasa disebut demikian hasil yang menguntungkan bagi peristiwa A. Kemudian

Telah mendapatkan definisi klasik tentang probabilitas: peluang P(A) kejadian A sama dengan rasio banyaknya hasil yang menguntungkan kejadian A dengan jumlah total hasil

Contoh 1.22. Guci tersebut berisi m bola putih dan n bola hitam. Berapa peluang terambilnya bola putih?

Larutan. Banyaknya kejadian dasar adalah m+n. Semua kemungkinannya sama. Peristiwa yang menguntungkan A dimana m. Karena itu, .

Sifat-sifat berikut mengikuti definisi probabilitas:

Properti 1. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu.

Memang benar, jika kejadian tersebut dapat diandalkan, maka setiap hasil dasar dari tes tersebut akan mendukung kejadian tersebut. Pada kasus ini t=p, karena itu,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Properti 2. Kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang mustahil adalah nol.

Memang benar, jika suatu peristiwa tidak mungkin terjadi, maka tidak ada satu pun hasil dasar tes yang mendukung peristiwa tersebut. Pada kasus ini T= 0, oleh karena itu, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Properti 3.Peluang suatu kejadian acak adalah bilangan positif antara nol dan satu.

Memang benar, hanya sebagian dari jumlah total hasil tes dasar yang disukai oleh kejadian acak. Artinya, 0≤m≤n, yang berarti 0≤m/n≤1, oleh karena itu, peluang suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan ganda 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Membandingkan definisi probabilitas (1.5) dan frekuensi relatif (1.1), kami menyimpulkan: definisi probabilitas tidak memerlukan pengujian untuk dilakukan nyatanya; definisi frekuensi relatif mengasumsikan hal itu tes benar-benar dilakukan. Dengan kata lain, probabilitas dihitung sebelum percobaan, dan frekuensi relatif - setelah percobaan.

Namun, penghitungan probabilitas memerlukan informasi awal tentang jumlah atau probabilitas hasil dasar yang menguntungkan untuk suatu peristiwa tertentu. Dengan tidak adanya informasi awal tersebut, data empiris digunakan untuk menentukan probabilitas, yaitu frekuensi relatif kejadian ditentukan berdasarkan hasil eksperimen stokastik.

Contoh 1.23. Departemen kontrol teknis ditemukan 3 bagian non-standar dalam kumpulan 80 bagian yang dipilih secara acak. Frekuensi relatif kemunculan suku cadang non-standar r(A)= 3/80.

Contoh 1.24. Sesuai dengan tujuannya, diproduksi 24 ditembak, dan 19 pukulan dicatat. Tingkat pencapaian target relatif. r(A)=19/24.

Pengamatan jangka panjang telah menunjukkan bahwa jika percobaan dilakukan dalam kondisi yang sama, yang masing-masing jumlah pengujiannya cukup banyak, maka frekuensi relatif menunjukkan sifat stabilitas. Properti ini adalah bahwa dalam eksperimen yang berbeda, frekuensi relatifnya sedikit berubah (semakin sedikit, semakin banyak pengujian yang dilakukan), berfluktuasi di sekitar angka konstan tertentu. Ternyata bilangan konstan ini dapat dianggap sebagai nilai perkiraan probabilitas.

Hubungan antara frekuensi relatif dan probabilitas akan dijelaskan lebih detail dan tepat di bawah ini. Sekarang mari kita ilustrasikan sifat stabilitas dengan contoh.

Contoh 1.25. Menurut statistik Swedia, frekuensi relatif kelahiran anak perempuan pada tahun 1935 berdasarkan bulan ditandai dengan angka-angka berikut (angka-angka tersebut disusun menurut bulan, dimulai dengan Januari): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Frekuensi relatif berfluktuasi di sekitar angka 0,481, yang dapat dianggap sebagai nilai perkiraan kemungkinan memiliki anak perempuan.

Perhatikan bahwa data statistik dari berbagai negara memberikan nilai frekuensi relatif yang kira-kira sama.

Contoh 1.26. Eksperimen pelemparan koin dilakukan berkali-kali, di mana jumlah kemunculan “lambang” dihitung. Hasil beberapa percobaan ditunjukkan pada tabel.

Tidak mungkin banyak orang memikirkan apakah mungkin untuk menghitung peristiwa yang kurang lebih acak. Secara sederhana, apakah mungkin untuk mengetahui sisi kubus mana yang akan muncul selanjutnya? Pertanyaan inilah yang ditanyakan oleh dua ilmuwan besar yang meletakkan dasar bagi ilmu pengetahuan seperti teori probabilitas, di mana probabilitas suatu peristiwa dipelajari secara ekstensif.

Asal

Jika Anda mencoba mendefinisikan konsep seperti teori probabilitas, Anda akan mendapatkan yang berikut: ini adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari keteguhan kejadian acak. Tentu saja konsep ini tidak terlalu mengungkapkan esensinya secara keseluruhan, sehingga perlu dikaji lebih detail.

Saya ingin memulai dengan pencipta teori ini. Seperti disebutkan di atas, ada dua di antaranya, dan mereka termasuk orang pertama yang mencoba menghitung hasil suatu peristiwa tertentu dengan menggunakan rumus dan perhitungan matematis. Secara umum, awal mula ilmu ini muncul pada Abad Pertengahan. Saat itu, berbagai pemikir dan ilmuwan mencoba menganalisis permainan judi, seperti roulette, craps, dan sebagainya, sehingga dapat menetapkan pola dan persentase keluarnya suatu angka tertentu. Fondasinya diletakkan pada abad ketujuh belas oleh para ilmuwan yang disebutkan di atas.

Pada awalnya, karya-karya mereka belum bisa dianggap sebagai prestasi besar di bidang ini, karena yang mereka lakukan hanyalah fakta empiris, dan eksperimen dilakukan secara visual, tanpa menggunakan rumus. Seiring waktu, dimungkinkan untuk mencapai hasil luar biasa yang muncul sebagai hasil pengamatan pelemparan dadu. Alat inilah yang membantu memperoleh rumus pertama yang dapat dipahami.

Orang-orang yang berpikiran sama

Mustahil untuk tidak menyebut orang seperti Christiaan Huygens dalam proses mempelajari topik yang disebut “teori probabilitas” (probabilitas suatu peristiwa justru tercakup dalam ilmu ini). Orang ini sangat menarik. Ia, seperti para ilmuwan yang dikemukakan di atas, mencoba menurunkan pola kejadian acak dalam bentuk rumus matematika. Patut dicatat bahwa dia tidak melakukan ini bersama dengan Pascal dan Fermat, yaitu semua karyanya tidak bersinggungan dengan pemikiran ini. Huygens menyimpulkan

Fakta menariknya, karyanya muncul jauh sebelum hasil karya para penemunya, atau tepatnya dua puluh tahun sebelumnya. Di antara konsep yang teridentifikasi, yang paling terkenal adalah:

• konsep probabilitas sebagai nilai peluang;
• ekspektasi matematis untuk kasus-kasus diskrit;
• teorema perkalian dan penjumlahan probabilitas.

Juga tidak mungkin untuk tidak mengingat siapa yang juga memberikan kontribusi signifikan terhadap kajian masalah ini. Dengan melakukan pengujiannya sendiri, tanpa bergantung pada siapa pun, ia mampu menyajikan bukti hukum bilangan besar. Pada gilirannya, ilmuwan Poisson dan Laplace, yang bekerja pada awal abad kesembilan belas, mampu membuktikan teorema aslinya. Sejak saat inilah teori probabilitas mulai digunakan untuk menganalisis kesalahan dalam observasi. Ilmuwan Rusia, atau lebih tepatnya Markov, Chebyshev dan Dyapunov, tidak bisa mengabaikan ilmu ini. Berdasarkan pekerjaan yang dilakukan oleh para jenius besar, mereka menetapkan mata pelajaran ini sebagai salah satu cabang matematika. Angka-angka ini sudah berhasil pada akhir abad kesembilan belas, dan berkat kontribusinya, fenomena berikut terbukti:

• hukum jumlah besar;
• teori rantai Markov;
• teorema limit pusat.

Jadi, dengan sejarah lahirnya ilmu pengetahuan dan dengan orang-orang utama yang mempengaruhinya, semuanya kurang lebih jelas. Sekarang waktunya telah tiba untuk mengklarifikasi semua fakta.

Konsep dasar

Sebelum membahas hukum dan teorema, ada baiknya mempelajari konsep dasar teori probabilitas. Acara ini memainkan peran utama di dalamnya. Topik ini cukup banyak, tetapi tanpanya tidak mungkin memahami segala hal lainnya.

Peristiwa dalam teori probabilitas adalah serangkaian hasil eksperimen. Ada beberapa konsep tentang fenomena ini. Oleh karena itu, ilmuwan Lotman, yang bekerja di bidang ini, mengatakan bahwa dalam kasus ini kita berbicara tentang apa yang “terjadi, meskipun hal itu mungkin tidak terjadi”.

Peristiwa acak (teori probabilitas memberikan perhatian khusus pada peristiwa tersebut) adalah konsep yang secara mutlak menyiratkan setiap fenomena yang mempunyai peluang untuk terjadi. Atau sebaliknya, skenario ini mungkin tidak akan terjadi jika banyak syarat terpenuhi. Perlu juga diketahui bahwa peristiwa acaklah yang menangkap seluruh volume fenomena yang telah terjadi. Teori probabilitas menunjukkan bahwa semua kondisi dapat berulang secara konstan. Tingkah laku mereka itulah yang disebut “pengalaman” atau “ujian”.

Peristiwa yang dapat diandalkan adalah fenomena yang kemungkinannya seratus persen terjadi dalam suatu pengujian tertentu. Oleh karena itu, peristiwa yang mustahil adalah peristiwa yang tidak akan terjadi.

Kombinasi dari sepasang tindakan (dengan syarat kasus A dan kasus B) merupakan fenomena yang terjadi secara bersamaan. Mereka ditunjuk sebagai AB.

Jumlah pasangan kejadian A dan B adalah C, dengan kata lain jika terjadi paling sedikit salah satu kejadian (A atau B), maka diperoleh rumus fenomena yang dijelaskan sebagai berikut: C = A + B.

Peristiwa yang tidak selaras dalam teori probabilitas menyiratkan bahwa dua kasus saling eksklusif. Dalam situasi apa pun hal itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Peristiwa gabungan dalam teori probabilitas adalah antipodenya. Yang dimaksud di sini adalah jika A terjadi, maka tidak mencegah B sama sekali.

Peristiwa yang berlawanan (teori probabilitas mempertimbangkannya dengan sangat rinci) mudah dipahami. Cara terbaik untuk memahaminya adalah dengan membandingkannya. Peristiwa tersebut hampir sama dengan peristiwa yang tidak sesuai dalam teori probabilitas. Namun perbedaannya terletak pada kenyataan bahwa salah satu dari banyak fenomena pasti terjadi.

Peristiwa yang mungkin terjadi adalah peristiwa yang mempunyai peluang terulang yang sama. Untuk membuatnya lebih jelas, Anda dapat membayangkan melempar koin: kehilangan salah satu sisinya kemungkinan besar akan jatuh pada sisi lainnya.

Lebih mudah untuk mempertimbangkan peristiwa yang menguntungkan dengan sebuah contoh. Katakanlah ada episode B dan episode A. Yang pertama adalah pelemparan dadu yang muncul angka ganjil, dan yang kedua adalah munculnya angka lima pada dadu. Lalu ternyata A memihak B.

Peristiwa independen dalam teori probabilitas diproyeksikan hanya pada dua kasus atau lebih dan menyiratkan independensi tindakan apa pun dari kasus lain. Misalnya, A adalah hilangnya kepala saat melempar koin, dan B adalah terambilnya dongkrak dari geladak. Itu adalah peristiwa independen dalam teori probabilitas. Pada titik ini semuanya menjadi lebih jelas.

Peristiwa yang saling bergantung dalam teori probabilitas juga hanya diperbolehkan untuk sekumpulan peristiwa tersebut. Hal ini menyiratkan ketergantungan satu sama lain, yaitu fenomena B hanya dapat terjadi jika A sudah terjadi atau sebaliknya belum terjadi, bila hal ini merupakan syarat utama bagi B.

Hasil percobaan acak yang terdiri dari satu komponen adalah kejadian-kejadian elementer. Teori probabilitas menjelaskan bahwa fenomena ini hanya terjadi satu kali saja.

Rumus dasar

Jadi, konsep “peristiwa” dan “teori probabilitas” telah dibahas di atas; definisi istilah dasar ilmu ini juga diberikan. Sekarang saatnya berkenalan langsung dengan rumus-rumus penting tersebut. Ekspresi ini secara matematis mengkonfirmasi semua konsep utama dalam subjek yang kompleks seperti teori probabilitas. Kemungkinan suatu peristiwa juga memainkan peran besar di sini.

Lebih baik memulai dengan yang dasar. Dan sebelum Anda memulainya, ada baiknya mempertimbangkan apa itu.

Kombinatorik pada dasarnya adalah cabang matematika; ia berkaitan dengan studi tentang sejumlah besar bilangan bulat, serta berbagai permutasi dari bilangan itu sendiri dan elemennya, berbagai data, dll., yang mengarah pada munculnya sejumlah kombinasi. Selain teori probabilitas, cabang ini penting untuk statistik, ilmu komputer, dan kriptografi.

Nah, sekarang kita lanjut ke pemaparan rumus-rumus itu sendiri beserta definisinya.

Yang pertama adalah ekspresi jumlah permutasi, tampilannya seperti ini:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Persamaan tersebut diterapkan hanya jika unsur-unsurnya hanya berbeda dalam urutan susunannya.

Sekarang rumus penempatannya akan diperhatikan, tampilannya seperti ini:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Ungkapan ini berlaku tidak hanya pada urutan penempatan suatu unsur, tetapi juga pada komposisinya.

Persamaan ketiga dari kombinatorik, dan juga yang terakhir, disebut rumus banyaknya kombinasi:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :M!

Kombinasi mengacu pada pilihan yang tidak diurutkan; oleh karena itu, aturan ini berlaku untuk pilihan tersebut.

Rumus kombinatorik mudah dipahami; sekarang Anda dapat beralih ke definisi klasik tentang probabilitas. Ungkapan ini terlihat seperti ini:

Dalam rumus ini, m adalah banyaknya kondisi yang mendukung kejadian A, dan n adalah banyaknya semua kemungkinan hasil yang sama dan elementer.

Ada banyak sekali ekspresi; artikel ini tidak akan membahas semuanya, tetapi yang paling penting akan disinggung, seperti, misalnya, probabilitas jumlah kejadian:

P(A + B) = P(A) + P(B) - teorema ini hanya untuk menjumlahkan kejadian yang tidak kompatibel;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - dan yang ini hanya untuk menambahkan yang kompatibel.

Kemungkinan terjadinya peristiwa:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - teorema ini untuk kejadian bebas;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - dan yang ini untuk tanggungan.

Daftar kejadian akan dilengkapi dengan rumusan kejadian. Teori probabilitas memberitahu kita tentang teorema Bayes, yang terlihat seperti ini:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., N

Dalam rumus ini, H 1, H 2, ..., H n merupakan kelompok hipotesis yang lengkap.

Contoh

Jika Anda mempelajari bagian matematika mana pun dengan cermat, itu tidak lengkap tanpa latihan dan solusi sampel. Begitu pula dengan teori probabilitas: peristiwa dan contoh di sini merupakan komponen integral yang menegaskan perhitungan ilmiah.

Rumus banyaknya permutasi

Katakanlah ada tiga puluh kartu dalam satu setumpuk kartu, dimulai dengan nilai satu. Pertanyaan selanjutnya. Berapa banyak cara menyusun tumpukan kartu agar kartu bernilai satu dan dua tidak bersebelahan?

Tugas telah ditetapkan, sekarang mari kita lanjutkan menyelesaikannya. Pertama kita perlu menentukan banyaknya permutasi dari tiga puluh elemen, untuk ini kita ambil rumus yang disajikan di atas, ternyata P_30 = 30!.

Berdasarkan aturan ini, kita mengetahui berapa banyak opsi yang ada untuk melipat dek dengan cara yang berbeda, tetapi kita perlu mengurangi opsi yang kartu pertama dan kedua bersebelahan. Untuk melakukan ini, mari kita mulai dengan opsi ketika opsi pertama berada di atas opsi kedua. Ternyata kartu pertama dapat menempati dua puluh sembilan tempat - dari yang pertama hingga dua puluh sembilan, dan kartu kedua dari yang kedua hingga ketiga puluh, sehingga totalnya ada dua puluh sembilan tempat untuk sepasang kartu. Pada gilirannya, sisanya dapat menerima dua puluh delapan tempat, dalam urutan apa pun. Artinya, untuk menyusun ulang dua puluh delapan kartu, ada dua puluh delapan pilihan P_28 = 28!

Hasilnya, jika kita perhatikan penyelesaiannya ketika kartu pertama berada di atas kartu kedua, maka akan ada 29 ⋅ 28 kemungkinan tambahan! = 29!

Dengan menggunakan metode yang sama, Anda perlu menghitung jumlah opsi yang berlebihan jika kartu pertama berada di bawah kartu kedua. Ternyata juga 29 ⋅ 28! = 29!

Oleh karena itu, ada 2 ⋅ 29 opsi tambahan!, sedangkan cara yang diperlukan untuk merakit dek adalah 30! - 2 ⋅ 29!. Yang tersisa hanyalah menghitung.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Sekarang kamu perlu mengalikan semua angka dari satu sampai dua puluh sembilan, dan akhirnya mengalikan semuanya dengan 28. Jawabannya adalah 2.4757335 ⋅〖10〗^32

Contoh solusi. Rumus nomor penempatan

Dalam soal ini, Anda perlu mencari tahu berapa banyak cara untuk meletakkan lima belas jilid dalam satu rak, tetapi dengan syarat totalnya ada tiga puluh jilid.

Solusi untuk masalah ini sedikit lebih sederhana dibandingkan solusi sebelumnya. Dengan menggunakan rumus yang sudah diketahui, perlu untuk menghitung jumlah total susunan tiga puluh volume lima belas.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Oleh karena itu, jawabannya adalah 202.843.204.931.727.360.000.

Sekarang mari kita ambil tugas yang sedikit lebih sulit. Anda perlu mencari tahu berapa banyak cara untuk menyusun tiga puluh buku dalam dua rak buku, mengingat satu rak hanya dapat menampung lima belas jilid.

Sebelum memulai penyelesaian, saya ingin menjelaskan bahwa beberapa masalah dapat diselesaikan dengan beberapa cara, dan yang satu ini memiliki dua metode, tetapi keduanya menggunakan rumus yang sama.

Pada soal kali ini kamu bisa mengambil jawaban dari soal sebelumnya, karena disana kami menghitung berapa kali kamu bisa mengisi rak dengan lima belas buku dengan cara yang berbeda-beda. Ternyata A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Kita akan menghitung rak kedua dengan menggunakan rumus permutasi, karena dapat memuat lima belas buku di dalamnya, sedangkan yang tersisa hanya lima belas. Kami menggunakan rumus P_15 = 15!.

Ternyata totalnya adalah A_30^15 ⋅ P_15 cara, tetapi selain itu, hasil kali semua bilangan dari tiga puluh hingga enam belas perlu dikalikan dengan hasil kali bilangan dari satu hingga lima belas, pada akhirnya Anda akan mendapatkan hasil kali semua bilangan dari satu sampai tiga puluh, yaitu jawabannya sama dengan 30!

Namun masalah ini dapat diselesaikan dengan cara lain - lebih mudah. Untuk melakukan ini, Anda dapat membayangkan ada satu rak untuk tiga puluh buku. Semuanya ditempatkan di bidang ini, tetapi karena kondisinya mengharuskan ada dua rak, kami melihat satu rak panjang menjadi dua, jadi kami mendapat dua dari lima belas. Dari sini ternyata ada P_30 = 30 pilihan susunan!.

Contoh solusi. Rumus bilangan kombinasi

Sekarang kita akan mempertimbangkan versi soal ketiga dari kombinatorik. Penting untuk mengetahui berapa banyak cara untuk menyusun lima belas buku, asalkan Anda harus memilih dari tiga puluh buku yang benar-benar identik.

Untuk menyelesaikannya tentu saja akan diterapkan rumus banyaknya kombinasi. Dari kondisi tersebut menjadi jelas bahwa urutan kelima belas buku yang identik itu tidak penting. Oleh karena itu, pada awalnya Anda perlu mengetahui jumlah total kombinasi dari tiga puluh buku dari lima belas.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Itu saja. Dengan menggunakan rumus ini, kami dapat menyelesaikan soal ini dalam waktu sesingkat mungkin; jawabannya adalah 155.117.520.

Contoh solusi. Definisi klasik tentang probabilitas

Dengan menggunakan rumus di atas, Anda dapat menemukan jawaban dari soal sederhana. Namun hal ini akan membantu untuk melihat dengan jelas dan melacak kemajuan tindakan.

Soalnya menyatakan bahwa ada sepuluh bola yang benar-benar identik di dalam guci. Dari jumlah tersebut, empat berwarna kuning dan enam berwarna biru. Satu bola diambil dari guci. Anda perlu mengetahui kemungkinan terkena warna biru.

Untuk menyelesaikan soal tersebut, perlu ditetapkan perolehan bola biru sebagai kejadian A. Percobaan ini dapat mempunyai sepuluh hasil, yang pada gilirannya bersifat dasar dan sama-sama mungkin. Pada saat yang sama, dari sepuluh, enam mendukung peristiwa A. Kita menyelesaikannya menggunakan rumus:

P(A) = 6 : 10 = 0,6

Dengan menerapkan rumus ini, kita mengetahui bahwa peluang terambilnya bola biru adalah 0,6.

Contoh solusi. Probabilitas jumlah kejadian

Sebuah opsi sekarang akan disajikan yang diselesaikan menggunakan rumus probabilitas jumlah kejadian. Jadi, syaratnya ada dua kotak, kotak pertama berisi satu bola abu-abu dan lima bola putih, dan kotak kedua berisi delapan bola abu-abu dan empat bola putih. Alhasil, mereka mengambil salah satunya dari kotak pertama dan kedua. Anda perlu mencari tahu berapa peluang bola yang Anda peroleh berwarna abu-abu dan putih.

Untuk mengatasi masalah ini, perlu dilakukan identifikasi kejadian.

• Jadi, A - mengambil bola abu-abu dari kotak pertama: P(A) = 1/6.
• A' - mengambil bola putih juga dari kotak pertama: P(A") = 5/6.
• B - bola abu-abu dikeluarkan dari kotak kedua: P(B) = 2/3.
• B’ - mengambil bola abu-abu dari kotak kedua: P(B") = 1/3.

Sesuai dengan kondisi permasalahannya, salah satu fenomena harus terjadi: AB' atau A'B. Dengan menggunakan rumus tersebut, kita mendapatkan: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Sekarang rumus mengalikan probabilitas telah digunakan. Selanjutnya, untuk mengetahui jawabannya, Anda perlu menerapkan persamaan penjumlahannya:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 18/11.

Beginilah cara Anda menyelesaikan masalah serupa menggunakan rumus.

Intinya

Artikel tersebut menyajikan informasi dengan topik "Teori Probabilitas", di mana probabilitas suatu peristiwa memainkan peran penting. Tentu saja, tidak semuanya diperhitungkan, tetapi berdasarkan teks yang disajikan, Anda secara teoritis dapat membiasakan diri dengan bagian matematika ini. Ilmu yang dimaksud dapat bermanfaat tidak hanya dalam urusan profesional, tetapi juga dalam kehidupan sehari-hari. Dengan bantuannya, Anda dapat menghitung kemungkinan terjadinya peristiwa apa pun.

Teks tersebut juga menyinggung tanggal-tanggal penting dalam sejarah terbentuknya teori probabilitas sebagai suatu ilmu, dan nama-nama orang yang karyanya diinvestasikan di dalamnya. Inilah bagaimana keingintahuan manusia mengarah pada fakta bahwa orang belajar menghitung kejadian acak sekalipun. Dahulu kala mereka hanya tertarik dengan hal ini, tetapi hari ini semua orang sudah mengetahuinya. Dan tidak ada yang akan mengatakan apa yang menanti kita di masa depan, penemuan brilian apa lagi yang terkait dengan teori yang sedang dipertimbangkan akan dibuat. Namun satu hal yang pasti - penelitian tidak berhenti!

Sampai saat ini, bank terbuka berisi soal-soal Ujian Negara Bersatu dalam matematika (mathege.ru) disajikan, yang penyelesaiannya hanya didasarkan pada satu rumus, yaitu definisi klasik tentang probabilitas.

Cara termudah untuk memahami rumusnya adalah dengan contoh.
Contoh 1. Ada 9 bola merah dan 3 bola biru di dalam keranjang. Bola-bola tersebut hanya berbeda warnanya saja. Kami mengambil salah satunya secara acak (tanpa melihat). Berapa peluang terambilnya bola dengan cara ini berwarna biru?

Komentar. Dalam soal-soal dalam teori probabilitas, terjadi sesuatu (dalam hal ini, tindakan kita menarik bola) yang dapat memberikan hasil yang berbeda - suatu hasil. Perlu dicatat bahwa hasilnya dapat dilihat dengan cara yang berbeda. “Kami mengeluarkan semacam bola” juga merupakan hasil. “Kami mengeluarkan bola biru” - hasilnya. “Kami mengeluarkan bola ini dengan tepat dari semua kemungkinan bola” - pandangan hasil yang paling tidak umum ini disebut hasil dasar. Hasil dasar inilah yang dimaksudkan dalam rumus untuk menghitung probabilitas.

Larutan. Sekarang mari kita hitung peluang terambilnya bola biru.
Acara A: “bola yang dipilih ternyata berwarna biru”
Jumlah total semua kemungkinan hasil: 9+3=12 (jumlah semua bola yang dapat diambil)
Jumlah hasil yang menguntungkan untuk kejadian A: 3 (jumlah hasil di mana peristiwa A terjadi - yaitu, jumlah bola biru)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Jawaban: 0,25

Untuk soal yang sama, mari kita hitung peluang terambilnya bola merah.
Jumlah total hasil yang mungkin akan tetap sama, 12. Jumlah hasil yang diinginkan: 9. Probabilitas yang dicari: 9/12=3/4=0.75

Probabilitas suatu kejadian selalu terletak antara 0 dan 1.
Kadang-kadang dalam percakapan sehari-hari (tetapi tidak dalam teori probabilitas!), probabilitas suatu peristiwa diperkirakan dalam persentase. Transisi antara skor matematika dan percakapan dicapai dengan mengalikan (atau membagi) dengan 100%.
Jadi,
Selain itu, kemungkinan nol untuk peristiwa yang tidak dapat terjadi sungguh luar biasa. Misalnya, dalam contoh kita, ini adalah probabilitas terambilnya bola hijau dari keranjang. (Jumlah hasil yang diinginkan adalah 0, P(A)=0/12=0, jika dihitung menggunakan rumus)
Probabilitas 1 mempunyai kejadian yang pasti terjadi, tanpa pilihan. Misalnya, probabilitas “bola yang dipilih berwarna merah atau biru” adalah untuk tugas kita. (Jumlah hasil yang menguntungkan: 12, P(A)=12/12=1)

Kita melihat contoh klasik yang mengilustrasikan definisi probabilitas. Semua soal serupa dalam Ujian Negara Bersatu dalam teori probabilitas diselesaikan dengan menggunakan rumus ini.
Di tempat bola merah dan biru mungkin ada apel dan pir, anak laki-laki dan perempuan, tiket terpelajar dan tidak terpelajar, tiket berisi dan tidak berisi pertanyaan tentang topik tertentu (prototipe,), tas atau pompa taman yang rusak dan berkualitas tinggi (prototipe ,) - prinsipnya tetap sama.

Mereka sedikit berbeda dalam rumusan masalah teori probabilitas Unified State Examination, dimana Anda perlu menghitung probabilitas suatu peristiwa terjadi pada hari tertentu. ( , ) Seperti pada soal sebelumnya, Anda perlu menentukan hasil dasar, lalu menerapkan rumus yang sama.

Contoh 2. Konferensi ini berlangsung selama tiga hari. Pada hari pertama dan kedua pembicara berjumlah 15 orang, pada hari ketiga - 20 orang. Berapakah peluang laporan Profesor M. jatuh pada hari ketiga jika urutan laporan ditentukan dengan cara pengundian?

Apa hasil dasarnya di sini? – Menetapkan laporan profesor salah satu dari semua kemungkinan nomor seri pidato. 15+15+20=50 orang berpartisipasi dalam pengundian. Jadi, laporan Profesor M. mungkin menerima satu dari 50 terbitan. Artinya hanya ada 50 hasil dasar.
Apa hasil yang menguntungkan? - Yang ternyata profesor akan berbicara pada hari ketiga. Artinya, 20 angka terakhir.
Menurut rumus, peluang P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Jawaban: 0,4

Pengundian di sini melambangkan pembentukan korespondensi acak antara orang dan tempat yang teratur. Dalam Contoh 2, pencocokan dipertimbangkan dari sudut pandang kursi mana yang dapat ditempati oleh orang tertentu. Anda dapat mendekati situasi yang sama dari sisi lain: orang mana dengan probabilitas berapa yang dapat mencapai tempat tertentu (prototipe , , , ):

Contoh 3. Pengundian mencakup 5 orang Jerman, 8 orang Prancis, dan 3 orang Estonia. Berapa peluang orang pertama (/kedua/ketujuh/terakhir – tidak masalah) adalah orang Prancis.

Banyaknya hasil dasar adalah jumlah semua kemungkinan orang yang dapat memasuki suatu tempat dengan cara mengundi. 5+8+3=16 orang.
Hasil yang menguntungkan - Perancis. 8 orang.
Probabilitas yang diperlukan: 8/16=1/2=0,5
Jawaban: 0,5

Prototipenya sedikit berbeda. Masih ada masalah tentang koin () dan dadu (), yang terbilang lebih kreatif. Solusi untuk masalah ini dapat ditemukan di halaman prototipe.

Berikut beberapa contoh pelemparan koin atau dadu.

Contoh 4. Jika kita melempar sebuah mata uang logam, berapakah peluang munculnya kepala?
Ada 2 hasil – kepala atau ekor. (diyakini bahwa koin tidak pernah mendarat di tepinya) Hasil yang menguntungkan adalah ekor, 1.
Probabilitas 1/2=0,5
Jawaban: 0,5.

Contoh 5. Bagaimana jika kita melempar koin dua kali? Berapa probabilitas mendapatkan kepala kedua kali?
Hal utama adalah menentukan hasil dasar apa yang akan kita pertimbangkan ketika melempar dua koin. Setelah melempar dua koin, salah satu hasil berikut dapat terjadi:
1) PP – kedua kali muncul kepala
2) PO – head pertama kali, head kali kedua
3) OP – memimpin pertama kali, mengikuti kedua kalinya
4) OO – kepala muncul dua kali
Tidak ada jalan lain. Artinya ada 4 hasil dasar. Hanya yang pertama, 1, yang menguntungkan.
Probabilitas: 1/4=0,25
Jawaban: 0,25

Berapa peluang pelemparan dua buah uang logam menghasilkan angka?
Banyaknya hasil dasar sama, 4. Hasil yang disukai adalah hasil kedua dan ketiga, 2.
Peluang terambilnya satu ekor: 2/4=0,5

Dalam soal seperti itu, rumus lain mungkin berguna.
Jika dalam satu kali pelemparan sebuah koin kita mempunyai 2 pilihan hasil yang mungkin, maka untuk dua kali pelemparan hasilnya adalah 2 2 = 2 2 = 4 (seperti pada contoh 5), untuk tiga kali pelemparan 2 2 2 = 2 3 = 8, untuk empat kali pelemparan : 2·2·2·2=2 4 =16, ... untuk N gulungan hasil yang mungkin adalah 2·2·...·2=2 N .

Jadi, Anda dapat mengetahui peluang munculnya 5 gambar dari 5 pelemparan koin.
Jumlah total hasil dasar: 2 5 =32.
Hasil yang menguntungkan: 1. (RRRRRR – melakukan head semua 5 kali)
Probabilitas: 1/32=0,03125

Hal yang sama berlaku untuk dadu. Dengan satu lemparan, ada 6 kemungkinan hasil. Jadi, untuk dua lemparan: 6 6 = 36, untuk tiga 6 6 6 = 216, dst.

Contoh 6. Kami melempar dadu. Berapa peluang terambilnya bilangan genap?

Total hasil: 6, sesuai dengan jumlah sisinya.
Menguntungkan: 3 hasil. (2, 4, 6)
Kemungkinan: 3/6=0,5

Contoh 7. Kami melempar dua dadu. Berapa peluang terambilnya angka 10? (dibulatkan menjadi kelipatan seratus)

Untuk satu dadu ada 6 kemungkinan hasil. Artinya untuk dua, menurut aturan di atas, 6·6=36.
Hasil apa yang menguntungkan agar totalnya menjadi 10?
10 harus dipecah menjadi jumlah dua angka dari 1 sampai 6. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara: 10=6+4 dan 10=5+5. Artinya opsi berikut ini dimungkinkan untuk kubus:
(6 pada yang pertama dan 4 pada yang kedua)
(4 pada yang pertama dan 6 pada yang kedua)
(5 pada yang pertama dan 5 pada yang kedua)
Total, 3 pilihan. Probabilitas yang diperlukan: 3/36=1/12=0,08
Jawaban: 0,08

Jenis masalah B6 lainnya akan dibahas di artikel Cara Mengatasinya di masa mendatang.