Sejauh ini, kursus ini telah membahas variabel acak, yang setiap nilainya ditentukan oleh satu angka. Variabel acak seperti itu kadang-kadang disebut satu dimensi.
Selain variabel acak satu dimensi, terdapat variabel acak yang nilainya ditentukan oleh sepasang angka. Variabel acak seperti itu disebut dua dimensi dan ditunjuk. Variabel acak dua dimensi dapat dianggap sebagai sistem dua variabel acak dan , yang masing-masing disebut komponen variabel acak dua dimensi.
Pertama-tama mari kita perhatikan kasus ketika variabel acak dan , yang merupakan variabel acak dua dimensi, adalah diskrit.
Hukum distribusi variabel acak diskrit adalah daftar kemungkinan nilai variabel ini, yaitu pasangan () dan probabilitasnya.
Hukum distribusi ditunjukkan pada Tabel 4.2.1:
Tabel 4.2.1
| … | |||||
| … | |||||
| … | |||||
| … | … | … | … | … | … |
| … | |||||
| … |
Mari kita tuliskan kondisi untuk normalisasi hukum distribusi variabel acak dua dimensi. Mengingat acara yang disediakan; membentuk kelompok lengkap kejadian-kejadian yang tidak kompatibel, kita peroleh bahwa . Dalam praktiknya, ini berarti jumlah probabilitas yang terdapat di semua sel tabel 4.2.1 adalah 1.
Mari kita ajukan masalah penentuan hukum distribusi komponen dan dasar hukum distribusi dua dimensi. Mari kita pertimbangkan probabilitas. Suatu peristiwa dapat direpresentasikan sebagai jumlah peristiwa yang tidak kompatibel... Itu sebabnya:
Artinya sama dengan jumlah elemen-elemen pada baris ke-t yang bersesuaian pada tabel 4.1.
Dengan menggunakan alasan serupa, kita mendapatkan:
Artinya, probabilitasnya sama dengan jumlah elemen kolom ke-j yang bersesuaian pada tabel 1.1
Contoh 4.2.1. Temukan hukum distribusi komponen-komponen variabel acak dua dimensi yang ditentukan oleh hukum distribusi:
Tabel 4.2.2
| 0,2 | 0,3 | 0,5 | |
| 0,3 | 0,2 | 0,5 | |
| 0,5 | 0,5 |
Larutan:
Peluang yang menentukan hukum distribusi komponen disajikan pada kolom paling kanan pada Tabel 4.2.2
Hukum distribusi komponen dihitung dengan cara yang sama (intinya pada tabel 4.2.2).
Mari kita definisikan konsep independensi dua variabel acak dan . Sebelumnya, independensi dua variabel acak diartikan sebagai independensi sebaran suatu variabel acak terhadap nilai yang diambil oleh variabel acak lainnya.
Untuk peubah acak bebas diskrit, kejadian dan merupakan kejadian bebas untuk semua kemungkinan nilai dan . Oleh karena itu, dua variabel acak diskrit adalah bebas jika untuk semua kemungkinan nilai dan :
Misalnya, variabel acak dan , hukum distribusinya diberikan pada Tabel 4.2.3, bersifat independen.
Tabel 4.2.3
| 0,08 | 0,12 | 0,2 | |
| 0,24 | 0,42 | 0,8 | |
| 0,4 | 0,6 |
Mari kita pertimbangkan dua variabel acak dan evaluasi tingkat ketergantungan antara variabel acak ini. Ada dua kasus ekstrim: di satu sisi, variabel acak dapat independen, di sisi lain, ketergantungan antara dua variabel acak dapat bersifat fungsional, yaitu nilai dari satu variabel acak dapat digunakan untuk menentukan nilai secara jelas. variabel acak lainnya. Biasanya, untuk variabel acak arbitrer, derajat ketergantungan menempati nilai perantara tertentu di antara kasus-kasus yang terdaftar.
Misalnya, jika adalah nilai yang diterima seorang mahasiswa dalam suatu ujian mata pelajaran tertentu, dan merupakan jumlah perkuliahan yang ia ikuti, maka variabel acak dan . memiliki ketergantungan.
Mari kita ajukan masalah memperkirakan ketergantungan (atau derajat hubungan) dari dua variabel acak dan . Pertimbangkan momen campuran pusat dari dua variabel acak dan :
Ditelepon koefisien kovarians, atau koefisien koneksi, dua variabel acak.
Perhatikan bahwa rumus koefisien kovarians dapat diubah ke bentuk yang lebih sederhana: . Mari kita terapkan koefisien ini untuk mengevaluasi hubungan antara dua variabel acak. Namun, nilainya bergantung pada satuan pengukuran variabel acak dan , dan oleh karena itu tidak dapat digunakan sebagai penilaian terhadap hubungan antara variabel acak dan .
Mari kita pertimbangkan variabel acak standar; , Di mana , , , . Variabel acak ini mewakili deviasi ternormalisasi yang dicatat untuk variabel acak asli.
dan besarannya disebut koefisien korelasi dari sepasang variabel acak.
Contoh 4.2.2. Temukan koefisien korelasi untuk variabel acak yang diberikan pada Tabel 4.2.2.
Larutan:
Mari kita gunakan rumus untuk menghitung koefisien korelasi: . Mengingat distribusi komponen dihitung, kita memperoleh:
Dengan menggunakan koefisien kovarians, kita dapat menulis rumus dispersi jumlah (selisih) variabel acak sembarang dan:
Menuliskan rumus terakhir untuk variabel standar dan dengan memperhatikan bahwa varians suatu variabel acak tidak boleh negatif, maka diperoleh: variabel acak cenderung meningkat. Dalam hal ini, garis lurus yang mendekati hubungan antara dua variabel acak mempunyai kemiringan positif (a > 0).
Pasangan ( X, Y) - Di mana X Dan Y– variabel acak, disebut sistem dua variabel acak. Jika X Dan Y adalah variabel acak diskrit hukum distribusi sistem dua variabel acak (X, Y) adalah himpunan semua pasangan nilai besaran yang mungkin X Dan Y dan probabilitas 
penampilan bersama mereka. Lebih mudah untuk menetapkan hukum seperti itu dalam bentuk tabel yang disebut tabel distribusi variabel acak dua dimensi(X, Y).
Peristiwa yang terdiri dari fakta bahwa variabel acak X akan mengambil nilai ( Saya = 1, 2, …, N), dan variabel acak Y akan mengambil nilai ( J = 1, 2, …, M), tidak konsisten dan satu-satunya yang mungkin, yaitu. membentuk kelompok lengkap kejadian-kejadian berpasangan yang tidak kompatibel, sehingga jumlah semua probabilitas dalam tabel sama dengan satu: 
.
| Y | X | |||
| X 1 | X 2 | … | xn | |
| kamu 1 | P(X 1 , kamu 1) | P(X 2 , kamu 2) | … | P(xn, kamu 1) |
| … | … | … | … | … |
| kamu m | P(X 1 , kamu m) | P(X 2 , kamu m) | … | P(xn, kamu m) |
Menurut hukum distribusi variabel acak dua dimensi ( X, Y) seseorang dapat menemukan hukum distribusi setiap variabel acak X Dan Y. Untuk menemukan kemungkinannya 
X mengambil nilainya, kita perlu menjumlahkan probabilitas kolom: 
. Demikian pula untuk mencari probabilitas 
itu variabel acak Y mengambil nilainya, kita perlu menjumlahkan probabilitas string: 
.
Kemungkinan 
adalah probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai, dan variabel acak Y akan mengambil nilainya. Dengan menggunakan teorema perkalian probabilitas, probabilitas ini dapat ditulis sebagai: . Dari persamaan tersebut kita dapat memperoleh rumus:
, 
.
Fungsi distribusi sistem dua variabel acak (X, Y) adalah probabilitas terpenuhinya dua pertidaksamaan secara bersama-sama X < X, Y < kamu:
Y 
dan dihitung dengan rumus:
.
X, ditelepon fungsi regresi Y pada X.
Ekspektasi matematis bersyarat variabel acak diskrit X di adalah angka yang dilambangkan dengan 
dan dihitung dengan rumus:
.
Berfungsi sebagai fungsi argumen kamu, ditelepon fungsi regresi X pada Y.
Momen korelasi(atau kovarians) variabel acak X Dan Y Ekspektasi matematis dari hasil kali penyimpangan besaran-besaran ini dari ekspektasi matematisnya disebut:
Momen korelasi dapat dicari dengan menggunakan rumus:
Untuk variabel acak independen X Dan Y .
Untuk variabel acak diskrit X Dan Y momen korelasi sama dengan:
Koefisien korelasi variabel acak X Dan Y disebut besaran tak berdimensi:
,
Di mana 
, 
.
Sifat koefisien korelasi
1. Koefisien korelasi mencirikan keeratan dan arah hubungan korelasi.
3. Jika X Dan Y adalah variabel acak bebas, maka koefisien korelasinya adalah 0.
4. Jika , maka antar besaran X Dan Y terdapat ketergantungan fungsional yaitu linier. Oleh karena itu koefisien korelasi mengukur keketatan linier hubungan antar besaran X Dan Y.
5. Jika , maka hubungan antar besaran tersebut bersifat langsung (korelasi positif), yaitu. Ketika nilai suatu karakteristik meningkat, nilai karakteristik lainnya meningkat. Jika , maka hubungannya terbalik (korelasi negatif), yaitu. Ketika nilai suatu karakteristik meningkat, nilai karakteristik lainnya menurun.
6. Jika 
, maka korelasinya sangat lemah;
Jika 
, maka korelasinya lemah;
Jika 
Jika 
, maka korelasinya sedang;
Jika 
, maka korelasinya erat atau kuat.
Dua variabel acak dipanggil berkorelasi, jika koefisien korelasinya berbeda dari nol, dan tidak berkorelasi jika sama dengan nol.
Saat mempertimbangkan variabel acak dua dimensi ( X, Y), Di mana X Dan Y– variabel acak dependen, berbagai perkiraan dari satu variabel acak menggunakan variabel lain digunakan. Yang paling penting di antaranya adalah pendekatan linier.
Mari kita bayangkan sebuah variabel acak Y sebagai fungsi linear dari kuantitas X:
,
dimana α dan β adalah parameter yang akan ditentukan. Jika angka a dan b dipilih maka nilainya 
akan menjadi yang terkecil, maka fungsi numerik 
ditelepon regresi kuadrat rata-rata linier dari Y pada X. Menemukan garis lurus seperti itu disebut pendekatan terbaik Y menggunakan metode kuadrat terkecil. Koefisien a disebut koefisien regresi Y pada X. Diketahui bahwa
, .
Persamaan dengan memperhatikan rumus sebelumnya dapat ditulis sebagai:
.
Demikian pula, Persamaan. 
ditelepon regresi kuadrat rata-rata linier X pada Y ditulis sebagai:
,
Di mana 
, .
Tugas. Sistem variabel acak diskrit diberikan dalam tabel:
| X | ||||
| Y |
1) momen korelasi;
2) koefisien korelasi;
3) fungsi regresi linier Y pada X;
4) fungsi regresi linier X pada Y.
Larutan. 1) Momen korelasi dicari dengan rumus.
; 
;
2) Menurut rumus .
P+p | |||||||||||||||||||||
E−λ | E − λ e λ = 1. | ||||||||||||||||||||
pk= | −λ |
||||||||||||||||||||
Gambar 3.6 menunjukkan grafik fungsi |
|||||||||||||||||||||
dari k) | |||||||||||||||||||||
nilai-nilai | parameter |
||||||||||||||||||||
λ = 0,5 (garis padat), 1 | (garis putus-putus) dan 2 (garis putus-putus) |
||||||||||||||||||||
garis putus-putus). Setiap grafik mewakili diskrit |
|||||||||||||||||||||
deretan titik; untuk kejelasan yang lebih besar, titik koneksi |
|||||||||||||||||||||
kami secara berurutan garis putus-putus (yang disebut |
|||||||||||||||||||||
poligon distribusi). | |||||||||||||||||||||
Salah satu alasan pentingnya peran tersebut |
|||||||||||||||||||||
Beras . 3.6 | Distribusi Poisson untuk latihan, menyimpulkan- |
||||||||||||||||||||
dalam hubungannya yang erat dengan distribusi binomial. Ingat (§ 2.5) bahwa jika dalam rumus Bernoulli
P n (k )= C n k p k (1− p )n − k
kita memperbaiki nilai k dan mulai mengarahkan jumlah percobaan hingga tak terhingga, dan probabilitas p ke nol, terlebih lagi, sehingga produknya tetap sama dengan bilangan konstan λ (np = λ), maka kita akan mendapatkan:
Relasi (3.17) menunjukkan bahwa dengan melewati batas yang dijelaskan di atas, tabel (3.15) distribusi binomial masuk ke tabel (3.16) distribusi Poisson. Jadi, distribusi Poisson merupakan limit dari distribusi binomial pada kondisi di atas. Perhatikan bahwa sifat distribusi Poisson ini - untuk menyatakan distribusi binomial dengan sejumlah besar eksperimen dan probabilitas suatu peristiwa yang rendah - dikaitkan dengan nama yang sering digunakan untuknya: hukum kejadian langka.
§ 3.5. Sistem variabel acak diskrit
Hingga saat ini, kami telah mempertimbangkan variabel acak secara terpisah satu sama lain, tanpa menyentuh masalah hubungannya. Namun, dalam permasalahan praktis sering kali terdapat situasi ketika variabel acak tertentu harus dipelajari bersama. Dalam kasus seperti ini kita berbicara tentang sistem beberapa variabel acak. Lebih tepatnya: variabel acak membentuk suatu sistem jika variabel tersebut didefinisikan pada ruang kejadian dasar yang sama Ω.
Sistem dua variabel acak (X,Y) dapat diartikan sebagai titik acak pada suatu bidang, sistem tiga variabel acak (X,Y,Z) - sebagai titik acak dalam ruang tiga dimensi. Kami akan membatasi diri pada kasus dua dimensi.
Pendekatan intuitif terhadap konsep sistem dua variabel acak dikaitkan dengan gagasan pengalaman, yang hasilnya adalah sepasang angka X,Y. Karena hasil percobaan dianggap sebagai kejadian acak, tidak mungkin untuk memprediksi terlebih dahulu nilai bilangan X dan Y (bila percobaan diulang, nilainya berubah secara tidak terduga). Mari kita berikan beberapa contoh.
Contoh 3.7. Dadu dilempar dua kali. Mari kita nyatakan dengan X jumlah poin pada lemparan pertama, dan dengan Y jumlah poin pada lemparan kedua. Pasangan (X ,Y ) akan menjadi sistem dua variabel acak.
Contoh 3.8. Seorang siswa dipilih secara acak dari audiens tertentu X adalah tinggi badannya (katakanlah, dalam sentimeter), Y adalah berat badannya (dalam kilogram).
Contoh 3.9. Di suatu wilayah pertanian tertentu, petak penaburan gandum dengan luas 1 hektar dipilih secara acak; X adalah jumlah pupuk yang diberikan pada petak tersebut; Y adalah hasil panen yang diperoleh dari petak tersebut.
Contoh 3.10. Karya tertulis matematika dan bahasa Rusia dibandingkan; X adalah nilai untuk pekerjaan matematika, Y untuk pekerjaan dalam bahasa Rusia.
Daftar contoh-contoh tersebut mudah untuk dilanjutkan.
§ 3.6. Variabel acak diskrit independen
1°. Catatan umum. Contoh. Ketika mempertimbangkan sistem dua variabel acak (X,Y), perlu diingat bahwa sifat-sifat sistem tidak selalu dibatasi oleh sifat-sifat variabel itu sendiri X dan Y. Dengan kata lain, jika kita mengetahui segala sesuatu tentang besaran X dan segala sesuatu tentang besaran Y, bukan berarti kita mengetahui segala sesuatu tentang sistem (X,Y). Faktanya adalah mungkin terdapat ketergantungan antara besaran X dan Y, dan tanpa memperhitungkan ketergantungan ini, mustahil untuk membangun hukum distribusi untuk sistem (X,Y).
Ketergantungan antar variabel acak dalam kondisi nyata mungkin berbeda. Dalam beberapa kasus, ternyata begitu kuat sehingga, dengan mengetahui nilai apa yang diambil oleh nilai X, Anda dapat secara akurat menunjukkan nilai Y. Dengan menggunakan terminologi tradisional, kita dapat mengatakan bahwa dalam kasus ini ketergantungan antara X dan kamu fungsional(Namun, konsep fungsi variabel acak masih memerlukan klarifikasi; penjelasan terakhir akan diberikan dalam § 3.7). Kita terus-menerus menemukan contoh ketergantungan pada alam dan teknologi.
Pada saat yang sama, kita juga dapat menunjukkan contoh-contoh dari jenis yang berbeda - ketika ketergantungan antara variabel acak ada, tetapi tidak bersifat fungsional yang ditentukan secara ketat. Contoh-contoh seperti ini terutama berlaku untuk bidang ilmu pengetahuan dan praktik seperti teknologi pertanian, biologi, kedokteran, ekonomi, dll., Di mana perkembangan fenomena, pada umumnya, bergantung pada banyak faktor yang sulit untuk diperhitungkan. Misalnya, diketahui bahwa curah hujan yang melimpah selama periode pemasakan gandum menyebabkan peningkatan hasil; namun, hal ini tidak berarti bahwa hubungan antara jumlah curah hujan X dan hasil Y (katakanlah, per 1 ha) bersifat fungsional; Selain curah hujan, faktor lain juga mempengaruhi hasil: jenis tanah, jumlah pupuk yang diberikan, jumlah hari cerah, dll. Dalam kasus seperti itu, ketika perubahan dalam satu nilai mempengaruhi nilai lainnya hanya secara statistik, rata-rata, biasanya dibicarakan tentang koneksi probabilistik antar kuantitas. Tanpa memberikan definisi yang tepat, mari kita lihat beberapa contoh. Mereka menggambarkan tingkat ketergantungan yang berbeda antara variabel acak - dari ketergantungan yang kuat dan hampir fungsional hingga kemandirian praktis.
Contoh 3.11. Misalkan X adalah tinggi badan orang dewasa yang dipilih secara acak (misalnya, dalam sentimeter), dan Y adalah berat badannya (dalam kilogram). Hubungan antara tinggi dan berat badan sangat kuat; pada perkiraan pertama, bahkan dapat dianggap fungsional. Rumus yang kira-kira menyatakan ketergantungan ini biasanya ditulis:
Y (kg) =X (cm) – 100.
Contoh 3.12. X adalah tinggi pohon yang dipilih secara acak di hutan, Y adalah diameter pangkalnya. Dan di sini ketergantungannya harus diakui kuat, meskipun tidak sebesar pada contoh sebelumnya.
Contoh 3.13. Sebuah batu dipilih secara acak dari tumpukan batu yang bentuknya tidak beraturan. Misalkan X adalah massanya dan Y adalah panjang terbesarnya. Hubungan antara X dan Y murni bersifat probabilistik.
Contoh 3.14. X adalah tinggi badan orang dewasa yang dipilih secara acak, Y adalah umurnya. Pengamatan menunjukkan bahwa besaran-besaran ini praktis tidak bergantung pada apa pun.
2°. Penentuan independensi variabel acak. Mari kita kesampingkan dulu pertanyaan tentang
bilangan apa yang dapat digunakan untuk menyatakan derajat ketergantungan antara besaran X dan Y. Mari kita batasi diri kita pada definisi ketat tentang independensi variabel acak.
Definisi. Biarkan sistem (X, Y) diberikan. Kita dapat mengatakan bahwa besaran X dan Y saling bebas jika
kejadian X A dan Y B saling bebas, dimana A dan B adalah dua segmen [ a1 , a2 ] dan [ b1 , b2 ].
Dengan kata lain, kesetaraan tetap berlaku
dimana x i adalah sembarang nilai yang mungkin dari besaran X, dan y j adalah sembarang nilai yang mungkin dari besaran Y. Memang, dari (3.18) jelas mengikuti (3.19). Mari kita periksa itu dan sebaliknya dari (3.19)
berikut (3.18).
Biarkan sistem (X,Y) dikarakterisasi dengan tabel
hal 11 | hal 12 | ||
r 21 | r 22 | ||
Misalkan A = [a 1,a 2],B = [b 1,b 2]. Kemudian
p ij = P (X = x i )P (Y = y j ) (i ,j = 1, 2, ...) (persamaan tertulis tepatnya kondisi (3.19)). Dari sini
P(XA,YB) = | ∑ p ij= | ∑ P(X= xi ) P(Y= yj ) = |
||||||||
( aku j | xi A, yj B) ( saya, j | xi A, yj B) |
||||||||
= ∑ P (X =x saya ) | ∑ P(Y= yj ) = P(X A) P(Y B) , |
|||||||||
xi A) | kamu j B) | |||||||||
itu. besaran X dan Y saling bebas.
§ 3.7. Fungsi variabel acak. Tindakan pada variabel acak
Misalkan X adalah variabel acak. Seringkali ada kebutuhan untuk mempertimbangkan variabel acak dalam bentuk:
Y = g(X) , |
di mana g (x) adalah fungsi numerik tertentu. Apa arti dari entri (3.20), yaitu konsep
fungsi dari variabel acak?
Misalkan suatu peristiwa terjadi sebagai hasil percobaan
x = x
yaitu nilai X mengambil nilai. Kemudian, menurut definisi, kami percaya bahwa dalam percobaan ini kuantitas Y mengambil nilai g (x). Jelas bahwa untuk variabel acak diskrit, kesepakatan seperti itu sepenuhnya menentukan variabel acak baru Y. Sedangkan untuk variabel acak kontinu, pernyataan berikut ini benar.
Proposisi 3.1. Jika g(x) merupakan fungsi kontinu, maka relasi (3.20) menentukan variabel acak Y.
Bukti. Kita akan menggunakan kondisi (3.2), yang setara dengan definisi variabel acak. Jadi, kita perlu memeriksa bahwa untuk himpunan terbuka U pada garis bilangan terdapat himpunan kejadian dasar yang mana
Tetapi menurut definisi (3.2), himpunan kejadian dasar yang ditentukan oleh kondisi (3.22) adalah suatu kejadian. Oleh karena itu, kondisi (3.21) menentukan kejadian yang perlu dibuktikan.
Untuk fungsi apa pun (3.20) variabel acak
Y = g(X) ,
seperti X, mempunyai hukum distribusinya sendiri. Apa hukum ini? Mari kita batasi diri kita untuk mempertimbangkan kasus ketika variabel acak X bertipe diskrit. Biarkan hukum distribusi X diberikan pada tabel (3.11). Menurut definisi, hukum distribusi variabel acak Y diberikan oleh tabel (3.23), di mana
Kami mengganti baris pertama (3.11) dengan nilai fungsi g (x) yang sesuai, membiarkan baris kedua tidak berubah.
g(x1) | g(x2) | ||||
Jika ada nilai yang sama di antara nilai Y, maka Anda perlu menggabungkan kolom yang sesuai menjadi satu kolom dengan menambahkan probabilitas yang sesuai.
Contoh 3.15. Biarkan variabel acak X diberikan oleh hukum distribusi:
Temukan hukum distribusi variabel acak Y =X 2.
Solusi. Untuk mencari hukum distribusi Y = X 2, kita kuadratkan semua nilai dan dapatkan tabel berikut
Seringkali, untuk variabel acak X dan Y yang membentuk suatu sistem, perlu mempertimbangkan jumlah dan produknya. Karena hukum distribusi operasi ini dan operasi serupa pada variabel acak didefinisikan dengan cara yang sama, kita berasumsi bahwa kita sedang mempertimbangkan variabel acak
Z =g(X,Y),
di mana g (x,y) adalah suatu fungsi numerik.
Jadi, biarkan sistem (X,Y) dikarakterisasi dengan tabel | |||||
hal 11 | hal 12 | ||||
r 21 | r 22 | ||||
yang maknanya diketahui oleh pembaca. Besarnya
Z = g(X, Y)
juga akan diskrit. Nilai yang mungkin adalah angka z 11 = g (x 1,y 1), z 12 = g (x 1,y 2), ....
Mari kita lihat dua kasus.
1. Semua bilangan z ij berbeda-beda. Maka kejadiannyaZ =z ij, yaitu.
g (X ,Y )= z ij ,
hanya terjadi jika kejadian X = x i dan Y = y j terjadi secara bersamaan, maka peluangnya sama dengan
P(X= xi, Y= yj) = pij. 1 ,Y = kamu 2 ) dan (X = x 3 ,Y = kamu 5 ) ,
oleh karena itu, kemungkinannya adalah
hal 12+ hal 35.
Ringkasnya, kita dapat mengatakan bahwa hukum distribusi nilai g (X,Y) akan dinyatakan
tabel (3.25), di mana kolom-kolom dengan nilai z ij yang sama harus digabungkan menjadi satu, menjumlahkan probabilitas pij di dalamnya.
Contoh 3.16. Biarkan hukum distribusi sistem variabel acak (X,Y) diberikan dalam tabel. Temukan hukum distribusi produk mereka.
Solusi. Angka z ij dalam hal ini adalah
z 11= − 2 z 12= − 4 z 13= − 6 | |||||||||||||||||||||||
z 21= − 1 z 22= − 2 z 23= − 3 | |||||||||||||||||||||||
z 31= 0 z 32= 0 z 33= 0 . | |||||||||||||||||||||||
Oleh karena itu, hukum distribusi “pendahuluan” untuk X Y adalah | |||||||||||||||||||||||
dan yang terakhir | |||||||||||||||||||||||
Definisi
Sifat-sifat fungsi distribusi suatu sistem variabel acak
Definisi
Interpretasi geometris dan “mekanis” dari kepadatan distribusi suatu sistem dua variabel acak
Sifat kepadatan distribusi sistem
Definisi
Teorema perkalian untuk hukum distribusi
Definisi variabel acak independen
Koefisien korelasi
Konsep sistem variabel acak
Fungsi distribusi sistem dua variabel acak
Kepadatan distribusi sistem dua variabel acak
Hukum distribusi besaran-besaran individu yang termasuk dalam sistem. Hukum distribusi bersyarat
Variabel acak terikat dan bebas
Karakteristik numerik dari sistem dua variabel acak. Momen korelasi.
Apakah konsep variabel acak yang tidak berkorelasi setara dengan konsep independensi?
Sistem sejumlah variabel acak yang berubah-ubah
Konsep fungsi distribusi suatu sistem variabel acak Penentuan kepadatan distribusi suatu sistem n kontinu
variabel acak
Karakteristik numerik dari suatu sistem beberapa variabel acak
1. Konsep sistem variabel acak
Dalam penerapan praktis teori probabilitas, sering kali kita menemui masalah di mana hasil suatu eksperimen dijelaskan bukan oleh satu variabel acak, tetapi oleh dua atau lebih variabel acak yang membentuk suatu kompleks atau sistem. Misalnya, titik tumbukan proyektil ditentukan bukan oleh satu variabel acak, tetapi oleh dua variabel: absis dan ordinat - dan dapat dianggap sebagai kompleks dari dua variabel acak. Demikian pula, titik ledakan proyektil jarak jauh ditentukan oleh tiga variabel acak yang kompleks. Saat menembakkan sekelompok tembakan, kumpulan titik tumbukan pada bidang dapat dianggap sebagai kompleks atau sistem variabel acak: absis dan ordinat titik tumbukan. Fragmen yang terbentuk ketika proyektil pecah dicirikan oleh sejumlah variabel acak: berat, ukuran, kecepatan awal, arah terbang, dll. Mari kita sepakat untuk menyatakan sistem yang terdiri dari beberapa variabel acak.
Ketika mempertimbangkan masalah yang berkaitan dengan sistem variabel acak, akan lebih mudah untuk menggunakan interpretasi geometris dari sistem. Misalnya, sistem dua variabel acak dapat direpresentasikan sebagai titik acak pada bidang dengan koordinat dan (Gbr. 1.1). Demikian pula, sistem tiga variabel acak dapat diwakili oleh titik acak dalam ruang tiga dimensi. Seringkali lebih mudah untuk menyebut sistem variabel acak sebagai “titik acak dalam ruang pengukuran”. Meskipun penafsiran terakhir ini tidak memiliki kejelasan langsung, penggunaannya memberikan beberapa manfaat dalam hal terminologi umum dan penyederhanaan notasi.
Seringkali, alih-alih menggambarkan titik acak, gambar vektor acak digunakan untuk interpretasi geometris suatu sistem variabel acak. Sistem dua variabel acak dianggap sebagai vektor acak pada bidang, yang komponen-komponennya sepanjang sumbu mewakili variabel acak (Gbr. 1.2). Sistem tiga variabel acak diwakili oleh vektor acak dalam ruang tiga dimensi, dan sistem variabel acak diwakili oleh vektor acak dalam ruang dimensi. Dalam hal ini teori sistem bilangan acak dianggap sebagai teori vektor acak.
Gambar.1.1.
Gambar.1.2
Dalam kursus ini, tergantung pada kenyamanan penerapannya, kami akan menggunakan interpretasi yang satu dan yang lainnya.
Ketika berhadapan dengan sistem variabel acak, kita akan mempertimbangkan karakteristik probabilistik yang lengkap dan lengkap - hukum distribusi, dan yang tidak lengkap - karakteristik numerik.
Kami memulai presentasi kami dengan kasus paling sederhana dari sistem dua variabel acak.
Dalam rekayasa radio frekuensi statistik, seseorang harus menangani beberapa variabel acak secara bersamaan, misalnya, nilai tegangan sesaat pada keluaran susunan antena ketika masukannya terkena sinyal dan kebisingan, dll. Sifat-sifat suatu sistem yang terdiri dari beberapa SV tidak terbatas pada sifat-sifat satu SV saja, karena hal ini memerlukan uraian tentang hubungan antar komponen sistem SV.
1. Fungsi distribusi sistem dua variabel acak
Fungsi distribusi sistem dua SVadalah probabilitas terpenuhinya dua pertidaksamaan dan: .
Menurut definisi, fungsi distribusi X ada kemungkinan suatu titik acak dengan koordinat akan jatuh ke dalam persegi dengan dimensi tak terhingga yang terletak di kiri dan di bawah titik ini pada bidang. Secara terpisah untuk setiap SV Y Dan X. Ada juga kemungkinan jatuh ke setengah bidang di bawah titik tersebut kamu .Properti
: merupakan fungsi tak menurun dari kedua argumennya;2) pada - ¥ sama dengan nol pada kedua sumbu;
3) jika salah satu argumen sama dengan +¥, maka argumen lainnya berubah menjadi fungsi distribusi satu dimensi;
4) jika kedua argumen sama dengan +¥, maka
= 1.Kemungkinan suatu titik acak jatuh ke dalam persegi R dengan koordinat
sepanjang sumbu X dan sepanjang sumbu kamu sama dengan .ada untuk SV kontinu dan diskrit.
2. Kepadatan probabilitas dua dimensi
Kepadatan probabilitas dua dimensi adalah limit dari hubungan berikut: X. kamu
.
tidak hanya kontinu, tetapi juga terdiferensiasi, maka kerapatan probabilitas dua dimensi adalah turunan parsial campuran kedua dari fungsi tersebut terhadap
dan oleh X ada kemungkinan suatu titik acak dengan koordinat akan jatuh ke dalam persegi dengan dimensi tak terhingga yang terletak di kiri dan di bawah titik ini pada bidang. Secara terpisah untuk setiap SV Dimensiadalah kebalikan dari hasil kali dimensi SV
Y.Jadi, rapat peluang dua dimensi adalah batas perbandingan peluang suatu titik jatuh ke dalam persegi panjang kecil dengan luas persegi panjang tersebut ketika kedua dimensi persegi panjang tersebut cenderung nol. Secara geometris X 0kamu dapat direpresentasikan sebagai suatu permukaan. X 0kamu Jika kita memotong permukaan ini dengan bidang yang sejajar dengan bidang tersebut
, dan proyeksikan bagian yang dihasilkan ke bidang
., maka Anda mendapatkan kurva yang disebut “kurva kepadatan probabilitas yang sama”. Terkadang lebih mudah untuk mempertimbangkan kelompok kurva dengan kepadatan yang sama pada tingkat penampang yang berbeda. Sedangkan untuk kepadatan probabilitas satu dimensi, konsep elemen probabilitas diperkenalkan di sini Probabilitas suatu titik acak jatuh ke dalam area sembarang
G Terkadang lebih mudah untuk mempertimbangkan kelompok kurva dengan kepadatan yang sama pada tingkat penampang yang berbeda. Sedangkan untuk kepadatan probabilitas satu dimensi, konsep elemen probabilitas diperkenalkan di sini .ditentukan oleh integral dua dimensi dari Terkadang lebih mudah untuk mempertimbangkan kelompok kurva dengan kepadatan yang sama pada tingkat penampang yang berbeda. Sedangkan untuk kepadatan probabilitas satu dimensi, konsep elemen probabilitas diperkenalkan di sini di daerah ini. Secara geometris, ini adalah volume yang dibatasi oleh luas X :
Jika kamu ada persegi panjang dengan koordinat titik di sepanjang sumbunya
.
dan , dan sepanjang sumbu
: dan , maka peluang suatu titik acak jatuh ke dalam persegi panjang ini ditentukan oleh integralSifat kepadatan probabilitas dua dimensi:
adalah besaran non-negatif;
properti normalisasi mirip dengan kepadatan probabilitas satu dimensi, tetapi dengan integrasi dua dimensi pada batas tak terbatas.
Dan 
3. Hukum bersyarat distribusi SV individu yang termasuk dalam sistem SV 
.
Memiliki hukum distribusi suatu sistem dua SV, selalu dimungkinkan untuk menentukan hukum distribusi masing-masing SV yang termasuk dalam sistem. Misalnya,
.. Jika kepadatan probabilitas diketahui, maka
Hukum distribusi bersyarat suatu SV yang termasuk dalam suatu sistem adalah hukum distribusinya, ditentukan dengan syarat bahwa SV lain telah mengambil nilai tertentu:
. Dalam hal ini, Anda dapat mencari kepadatan probabilitas dua dimensi menggunakan rumus. Dari ungkapan tersebut berikut ini:
, 
.
4. Saling ketergantungan dan independensi statistik
TIDAK X disebut independen dari SV Y, jika hukum distribusi kuantitas X tidak bergantung pada nilai apa yang diambil SV Dimensi Dalam hal ini
kapan saja kamu. Perlu dicatat bahwa jika SV X tidak bergantung pada SV Y, lalu St Y tidak bergantung pada SV X. Untuk SV independen, teorema perkalian hukum distribusi berbentuk: 
.
Kondisi ini dianggap sebagai perlu dan cukup kondisi kemerdekaan Utara. Ada konsep ketergantungan fungsional dan statistik. Dengan ketergantungan statistik, tidak mungkin untuk menunjukkan dengan tepat nilai yang diambil salah satu SV, jika nilai SV yang lain diketahui, Anda hanya dapat menentukan pengaruh rata-rata. Namun seiring dengan meningkatnya saling ketergantungan, ketergantungan statistik berubah menjadi ketergantungan fungsional.
