Definisi terkait
Properti hubungan
Hubungan biner bisa saja terjadi berbagai properti, seperti
Jenis hubungan
- Relasi transitif refleksif disebut relasi kuasi-urutan.
- Relasi transitif simetris refleksif disebut relasi ekivalen.
- Relasi transitif antisimetris refleksif disebut relasi tatanan (parsial).
- Relasi transitif antisimetris anti-refleksif disebut relasi tatanan ketat.
- Relasi transitif antisimetris lengkap (untuk sembarang x, y xRy, atau yRx) disebut relasi tatanan linier.
- Hubungan asimetris anti-refleksif disebut hubungan dominasi.
Jenis hubungan ganda
- Sikap terbalik [menentukan] (relasi invers ke R) adalah relasi biner yang terdiri dari pasangan elemen (y, x) yang diperoleh dengan mengatur ulang pasangan elemen (x, y) dari suatu relasi tertentu R. Dilambangkan dengan: R −1. Untuk relasi ini dan inversnya, persamaan berikut berlaku: (R −1) −1 = R.
- Hubungan timbal balik(hubungan timbal balik) - hubungan yang ada kembali teman terhadap seorang teman. Rentang nilai yang satu berfungsi sebagai rentang definisi yang lain, dan rentang definisi yang pertama berfungsi sebagai rentang nilai yang lain.
- Sikap reflektif- relasi biner R yang didefinisikan pada himpunan tertentu dan dicirikan bahwa untuk setiap x dari himpunan ini, elemen x berada dalam relasi R dengan dirinya sendiri, yaitu, untuk setiap elemen x dari himpunan ini yang dimiliki xRx. Contoh hubungan refleksif: kesetaraan, simultanitas, kesamaan.
- Sikap anti-reflektif(Hubungan yang tidak refleksif, perhatikan bahwa sama seperti antisimetri tidak bertepatan dengan asimetri, maka tidak refleksivitas tidak bertepatan dengan non-refleksivitas.) - relasi biner R yang didefinisikan pada himpunan tertentu dan dicirikan bahwa untuk setiap elemen x dari himpunan ini tidak benar bahwa ia berada dalam relasi R dengan dirinya sendiri (tidak benar bahwa xRx), yaitu, ada kemungkinan bahwa suatu elemen himpunan tidak berada dalam relasi R dengan dirinya sendiri. Contoh sikap non-reflektif: “menjaga”, “menghibur”, “gugup”.
- Hubungan transitif- relasi dua tempat R, didefinisikan pada himpunan tertentu dan dicirikan bahwa untuk setiap x, y, z dari himpunan ini, xRy dan yRz menyiratkan xRz (xRy&yRzxRz). Contoh relasi transitif: “lebih”, “kurang”, “sama”, “serupa”, “di atas”, “utara”.
- Hubungan intransitif [menentukan] - relasi biner R yang didefinisikan pada himpunan tertentu dan dicirikan bahwa untuk setiap x, y, z dari himpunan ini xRy dan yRz tidak menyiratkan xRz ((xRy&yRzxRz)). Contoh relasi intransitif: “x adalah bapak dari y”
- Hubungan simetris- relasi dua tempat R, didefinisikan pada suatu himpunan tertentu dan dicirikan bahwa untuk setiap elemen x dan y dari himpunan ini, dari kenyataan bahwa x adalah ke y dalam relasi R (xRy), maka y berada pada himpunan yang sama hubungannya dengan x ( tahunRx). Contoh relasi simetris dapat berupa persamaan (=), relasi kesetaraan, persamaan, simultanitas, beberapa relasi kekerabatan (misalnya relasi persaudaraan).
- Hubungan antisimetris- relasi dua tempat R, didefinisikan pada himpunan tertentu dan dicirikan bahwa untuk setiap x dan y dari xRy dan xR −1 y mengikuti x = y (yaitu, R dan R −1 dipenuhi secara bersamaan hanya untuk anggota yang sama dengan satu sama lain).
- Hubungan asimetris [menentukan] adalah relasi dua tempat R, didefinisikan pada himpunan tertentu dan dicirikan bahwa untuk setiap x dan y, xRy menyiratkan yRx. Contoh: relasi “lebih dari” (>) dan “kurang dari” (<).
- Hubungan kesetaraan(hubungan identitas [ menentukan], relasi tipe kesetaraan) adalah relasi dua tempat R antara objek x dan y di area subjek D, memenuhi aksioma (kondisi) berikut: Jadi, relasi tipe kesetaraan bersifat refleksif, simetris, dan transitif secara bersamaan. Contoh: kesetaraan, kesetaraan kardinalitas dua himpunan, pertukaran barang di pasar, kesamaan, simultanitas. Contoh relasi yang memenuhi aksioma (3), tetapi tidak memenuhi aksioma (1) dan (2): “lebih”.
- Hubungan ketertiban- relasi yang hanya memiliki sebagian dari tiga sifat relasi ekuivalen. Secara khusus, relasi yang refleksif dan transitif, namun asimetris (misalnya, “tidak lebih”) membentuk tatanan “longgar”. Relasinya bersifat transitif, tetapi non-refleksif dan asimetris (misalnya, "kurang dari") - tatanan yang "ketat".
- Fungsi- hubungan ganda R, didefinisikan pada himpunan tertentu, dicirikan untuk setiap nilai X hubungan xRy kamu. Contoh: " kamu ayah X" Properti fungsionalitas relasi R ditulis sebagai aksioma: ( xRy Dan xRz)→(kamu≡z). Karena setiap nilai X dalam ekspresi xRy Dan xRz sesuai dengan nilai yang sama, lalu kamu Dan z bertepatan, ternyata sama. Relasi fungsionalnya unik, karena setiap nilai x mempunyai relasi xRy hanya sesuai dengan satu nilai tunggal kamu, tapi tidak sebaliknya.
- Kekecewaan(hubungan satu tempat) - hubungan dua tempat R, didefinisikan pada himpunan tertentu, dicirikan bahwa di dalamnya setiap nilai x berhubungan dengan satu nilai pada, dan setiap nilai pada cocok dengan satu nilai X. Relasi satu-ke-satu adalah kasus khusus dari relasi satu-ke-satu.
- Hubungan terkait- ini adalah relasi dua tempat R, didefinisikan pada himpunan tertentu, yang dicirikan untuk dua elemen berbeda X Dan pada dari himpunan ini, salah satunya ada dalam relasi R ke yang lain (yaitu, salah satu dari dua hubungan terpenuhi: xRy atau tahunRx). Contoh: relasi "kurang dari" (<).
Operasi pada hubungan
Karena relasi yang didefinisikan pada pasangan himpunan tetap, , adalah himpunan bagian dari himpunan, himpunan semua relasi ini membentuk aljabar Boolean terhadap operasi penyatuan, perpotongan, dan penjumlahan relasi. Khususnya untuk sewenang-wenang
Seringkali, alih-alih menggabungkan, memotong, dan melengkapi hubungan, mereka berbicara tentang disjungsi, konjungsi, dan negasi.
Misalnya, , , yaitu, gabungan relasi keteraturan ketat dengan relasi kesetaraan bertepatan dengan relasi keteraturan tidak ketat, dan perpotongannya kosong.
Selain hal di atas, operasi inversi dan perkalian relasi, yang didefinisikan sebagai berikut, juga penting.
Jika , maka relasi invers adalah relasi yang terdefinisi pada pasangan dan terdiri dari pasangan-pasangan yang . Misalnya, .
Biarkan sekarang, . Produk dari relasi adalah relasi sedemikian rupa
Jika , dan , maka hasil kali relasi tidak terdefinisi. Jika kita mempertimbangkan relasi yang didefinisikan pada himpunan tertentu, maka situasi seperti itu tidak akan muncul.
Misalnya, pertimbangkan relasi tatanan ketat yang ditentukan pada himpunan bilangan asli. Sangat mudah untuk menyadarinya
Hubungan biner disebut komutatif jika . Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk setiap relasi biner yang didefinisikan pada , di mana simbol menunjukkan persamaan yang didefinisikan pada . Namun, kesetaraan tidak selalu adil.
Identitas berikut berlaku:
Perhatikan bahwa analogi dari dua identitas terakhir tidak berlaku.
Beberapa properti suatu relasi dapat ditentukan dengan menggunakan operasi relasi:
Lihat juga
Literatur
- A.I.Maltsev. Sistem aljabar. - M.: Sains, 1970.
Yayasan Wikimedia.
Lihat apa itu “Relasi Biner” di kamus lain:
Hubungan biner- . Jika tidak: ganda atau ganda. Suatu “relasi biner pada himpunan X” adalah himpunan bagian dari pasangan elemen terurut dari X. Contoh B.o. adalah persamaan (=), pertidaksamaan (< или >), rasio inklusi A Ì B.… … Kamus ekonomi dan matematika
hubungan biner- Jika tidak: ganda atau ganda. Suatu “relasi biner pada himpunan X” adalah himpunan bagian dari pasangan elemen terurut dari X. Contoh B.o. apakah persamaan (=), pertidaksamaan (), relasi inklusi A ? B.Dalam arti luas... ... Panduan Penerjemah Teknis
Predikat dua tempat pada himpunan tertentu. Di bawah B.o. kadang-kadang dipahami sebagai himpunan bagian dari himpunan pasangan terurut (a, 6) dari elemen-elemen himpunan A. B. o. kasus khusus dari suatu hubungan. Biarkan saja. Jika, maka elemen tersebut dikatakan biner... ... Ensiklopedia Matematika
Dalam logika, sesuatu yang, tidak seperti properti, tidak mencirikan suatu objek individual, melainkan sepasang, tiga, dan seterusnya. item. Logika tradisional tidak mempertimbangkan O.; dalam logika modern O. adalah fungsi proposisional dari dua variabel atau lebih. Biner... Ensiklopedia Filsafat
sikap- RELATIONSHIP adalah himpunan individu yang terurut n ok (di mana n adalah 1), mis. berdua, bertiga, dan seterusnya. Angka n disebut "lokalitas", atau "aritas", O. dan, karenanya, mereka berbicara tentang n lokal (n arno) O. Jadi, misalnya, O ganda disebut... ... Ensiklopedia Epistemologi dan Filsafat Ilmu Pengetahuan
Dalam teori konsumen, ini adalah deskripsi formal tentang kemampuan konsumen untuk membandingkan (memesan berdasarkan keinginan) rangkaian barang yang berbeda (bundel konsumsi). Untuk menggambarkan hubungan preferensi, tidak perlu mengukur keinginan... ... Wikipedia
Istilah ini memiliki arti lain, lihat Sikap. Relasi adalah struktur matematika yang secara formal mendefinisikan properti berbagai objek dan hubungannya. Hubungan biasanya diklasifikasikan berdasarkan jumlah objek yang ditautkan... Wikipedia
Istilah ini memiliki arti lain, lihat Sikap. Suatu relasi dalam logika orde pertama terhadap dua atau lebih predikat argumen (banyak predikat), dua atau lebih properti predikat. Tanda hubungan: R.[sebutkan] Dalam hal hubungan... ... Wikipedia
Istilah ini memiliki arti lain, lihat Kesetaraan. Relasi ekivalen () pada suatu himpunan adalah relasi biner yang memenuhi syarat-syarat berikut: Refleksivitas: untuk sembarang dalam, Simetri: jika ... Wikipedia
Artikel ini harus di-Wikifikasi. Harap format sesuai dengan aturan format artikel. Relasi biner di banyak ... Wikipedia
Menemukan akar-akar trinomial kuadrat
Sasaran: memperkenalkan konsep trinomial kuadrat dan akar-akarnya; mengembangkan kemampuan mencari akar-akar trinomial kuadrat.
Kemajuan pelajaran
I. Momen organisasi.
II. Pekerjaan lisan.
Manakah dari angka tersebut: –2; –1; 1; 2 – apakah akar persamaannya?
a) 8 X+ 16 = 0; V) X 2 + 3X – 4 = 0;
b) 5 X 2 – 5 = 0; G) X 3 – 3X – 2 = 0.
AKU AKU AKU. Penjelasan materi baru.
Penjelasan materi baru harus dilakukan sesuai skema berikut:
1) Memperkenalkan konsep akar polinomial.
2) Memperkenalkan konsep trinomial kuadrat dan akar-akarnya.
3) Analisislah pertanyaan tentang kemungkinan jumlah akar suatu trinomial persegi.
Pertanyaan tentang mengisolasi kuadrat binomial dari trinomial persegi paling baik dibahas pada pelajaran berikutnya.
Pada setiap tahap penjelasan materi baru, siswa perlu ditawari tugas lisan untuk menguji penguasaannya terhadap pokok-pokok teori.
Tugas 1. Angka manakah yang: –1; 1; ; 0 – adalah akar polinomial X 4 + 2X 2 – 3?
Tugas 2. Manakah dari polinomial berikut yang merupakan trinomial kuadrat?
1) 2X 2 + 5X – 1; 6) X 2 – X – ;
2) 2X – ; 7) 3 – 4X + X 2 ;
3) 4X 2 + 2X + X 3 ; 8) X + 4X 2 ;
4) 3X 2 – ; 9) 
+ 3X – 6;
5) 5X 2 – 3X; 10) 7X 2 .
Trinomial kuadrat manakah yang akarnya 0?
Tugas 3. Dapatkah suatu trinomial persegi memiliki tiga akar? Mengapa? Berapa banyak akar yang dimiliki trinomial persegi? X 2 + X – 5?
IV. Pembentukan keterampilan dan kemampuan.
Latihan:
1. № 55, № 56, № 58.
2. Nomor 59 (a,c,d), Nomor 60(a,c).
Dalam tugas ini Anda tidak perlu mencari akar-akar trinomial kuadrat. Cukup dengan menemukan pembedanya dan menjawab pertanyaan yang diajukan.
a) 5 X 2 – 8X + 3 = 0;
D 1 = 16 – 15 = 1;
D 1 0, artinya trinomial kuadrat ini mempunyai dua akar.
b) 9 X 2 + 6X + 1 = 0;
D 1 = 9 – 9 = 0;
D 1 = 0, artinya trinomial kuadrat mempunyai satu akar.
c) –7 X 2 + 6X – 2 = 0;
7X 2 – 6X + 2 = 0;
D 1 = 9 – 14 = –5;
Jika masih ada waktu tersisa, Anda dapat melakukan No. 63.
Larutan
Membiarkan kapak 2 + bx + C adalah trinomial kuadrat tertentu. Sejak A+ B +
+ c= 0, maka salah satu akar trinomial ini sama dengan 1. Berdasarkan teorema Vieta, akar kedua sama dengan . Sesuai dengan kondisinya, Dengan = 4A, jadi akar kedua dari trinomial kuadrat ini sama dengan 
.
JAWABAN: 1 dan 4.
V.Ringkasan pelajaran.
Pertanyaan yang sering diajukan:
– Apa akar dari polinomial?
– Polinomial manakah yang disebut trinomial kuadrat?
– Bagaimana cara mencari akar-akar trinomial kuadrat?
– Apa diskriminan dari trinomial kuadrat?
– Berapa banyak akar yang dapat dimiliki suatu trinomial persegi? Hal ini bergantung pada apa?
Pekerjaan rumah: Nomor 57, Nomor 59 (b, d, f), Nomor 60 (b, d), Nomor 62.
Trinomial persegi disebut trinomial dengan bentuk a*x 2 +b*x+c, dengan a,b,c adalah beberapa bilangan real sembarang, dan x adalah variabel. Apalagi angka a tidak boleh sama dengan nol.
Bilangan a,b,c disebut koefisien. Bilangan a disebut koefisien terdepan, bilangan b adalah koefisien x, dan bilangan c disebut suku bebas.
Akar trinomial persegi a*x 2 +b*x+c adalah nilai apa pun dari variabel x sehingga trinomial kuadrat a*x 2 +b*x+c hilang.
Untuk mencari akar-akar trinomial kuadrat, kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat berbentuk a*x 2 +b*x+c=0.
Cara mencari akar-akar trinomial kuadrat
Untuk mengatasinya, Anda dapat menggunakan salah satu metode yang dikenal.
- 1 cara.
Mencari akar-akar trinomial persegi menggunakan rumus.
1. Carilah nilai diskriminan dengan menggunakan rumus D =b 2 -4*a*c.
2. Berdasarkan nilai diskriminannya, hitung akar-akarnya menggunakan rumus:
Jika D > 0, maka trinomial persegi mempunyai dua akar.
x = -b±√D / 2*a
Jika D< 0, maka trinomial kuadrat mempunyai satu akar.
Jika diskriminannya negatif, maka trinomial kuadrat tidak mempunyai akar.
- Metode 2.
Menemukan akar-akar trinomial kuadrat dengan cara mengisolasi persegi penuh. Mari kita lihat contoh trinomial kuadrat yang diberikan. Persamaan kuadrat tereduksi yang koefisien utamanya sama dengan satu.
Mari kita cari akar-akar trinomial kuadrat x 2 +2*x-3. Untuk melakukannya, kita selesaikan persamaan kuadrat berikut: x 2 +2*x-3=0;
Mari kita ubah persamaan ini:
Di sisi kiri persamaan ada polinomial x 2 +2*x, untuk menyatakannya sebagai kuadrat dari jumlah tersebut kita memerlukan koefisien lain yang sama dengan 1. Tambahkan dan kurangi 1 dari ekspresi ini, kita dapatkan :
(x 2 +2*x+1) -1=3
Apa yang dapat direpresentasikan dalam tanda kurung sebagai kuadrat binomial
Persamaan ini dipecah menjadi dua kasus: x+1=2 atau x+1=-2.
Dalam kasus pertama, kita mendapatkan jawabannya x=1, dan dalam kasus kedua, x=-3.
Jawaban: x=1, x=-3.
Sebagai hasil transformasi, kita perlu mendapatkan kuadrat binomial di ruas kiri, dan bilangan tertentu di ruas kanan. Sisi kanan tidak boleh berisi variabel.
Deskripsi video pelajaran
Masing-masing ekspresi adalah tiga x pangkat lima dikurangi x pangkat empat ditambah tiga x kubus dikurangi enam x ditambah dua; lima angka derajat keempat dikurangi angka kubus ditambah lima angka kuadrat dikurangi tiga angka ditambah delapan belas; tiga z pangkat enam dikurangi z pangkat empat ditambah z kuadrat dikurangi z ditambah dua adalah polinomial dalam satu variabel.
Nilai variabel yang menghilangkan polinomialnya disebut akar polinomial.
Mari kita cari, misalnya, akar-akar polinomial x kubus dikurangi empat x. Untuk melakukannya, kita selesaikan persamaan x kubus dikurangi empat x sama dengan nol. Setelah memfaktorkan ruas kiri persamaan, kita memperoleh hasil kali tiga faktor: x, x dikurangi dua dan x ditambah dua, yang sama dengan nol. Jadi x pertama sama dengan nol, x kedua sama dengan dua, x ketiga sama dengan minus dua.
Jadi, bilangan nol, dua, dan minus dua adalah akar-akar polinomial x kubus dikurangi empat x...
Polinomial berderajat kedua dengan satu variabel disebut trinomial kuadrat.
Trinomial persegi adalah polinomial yang berbentuk a x persegi ditambah menjadi x ditambah ce, dengan x adalah variabel, .. a, jadilah dan tse- beberapa angka, dan a tidak sama dengan nol.
Koefisien a disebut koefisien terdepan, ce adalah suku bebas trinomial kuadrat.
Contoh trinomial kuadrat adalah polinomial dua x kuadrat dikurangi x dikurangi lima; x persegi ditambah tujuh x dikurangi delapan. Yang pertama a sama dengan dua, be sama dengan minus satu, tse sama dengan minus lima, yang kedua a sama dengan satu, be sama dengan tujuh, tse sama dengan minus delapan. Trinomial kuadrat juga mencakup polinomial derajat kedua yang salah satu koefisiennya menjadi atau ce atau bahkan keduanya sama dengan nol. Jadi, polinomial lima x persegi dikurangi dua x dianggap sebagai trinomial persegi. Koefisien a sama dengan lima, be sama dengan minus dua, dan ce sama dengan nol.
Untuk mencari akar-akar trinomial kuadrat ax square plus be x plus ce, kamu perlu menyelesaikan persamaan kuadrat ax square plus be x plus ce sama dengan nol.
Contoh satu. Mari kita cari akar-akar trinomial kuadrat x kuadrat dikurangi tiga x dikurangi empat.
Untuk melakukan ini, mari kita samakan ekspresi ini ke nol dan selesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan. Diskriminan di dalamnya sama dengan dua puluh lima, akar pertama sama dengan empat, akar kedua sama dengan minus satu.
Jadi, trinomial kuadrat x kuadrat dikurangi tiga x dikurangi empat memiliki dua akar: empat dan minus satu.
Karena trinomial kuadrat a x square plus be x plus ce mempunyai akar-akar yang sama dengan persamaan a x square plus be x plus ce sama dengan nol, maka seperti persamaan kuadrat, ia dapat mempunyai dua akar, satu akar, atau tanpa akar sama sekali . Itu tergantung pada nilai diskriminannya persamaan kuadrat, yang disebut juga diskriminan trinomial kuadrat. Jika diskriminan lebih besar dari nol, maka trinomial kuadrat mempunyai dua akar; jika diskriminan sama dengan nol, maka trinomial kuadrat mempunyai satu akar; jika diskriminan kurang dari nol, maka trinomial kuadrat tidak mempunyai akar.
Saat menyelesaikan soal, terkadang lebih mudah untuk menyatakan trinomial kuadrat a x kuadrat ditambah menjadi x ditambah ce sebagai jumlah dari a dikalikan dengan kuadrat selisih a dan em...dan bilangan en, di mana em dan en adalah beberapa angka. Transformasi ini disebut pemisahan binomial kuadrat dari trinomial kuadrat. Mari kita tunjukkan dengan contoh bagaimana transformasi tersebut dilakukan.
Contoh kedua. Dari trinomial, ekstrak dua x persegi dikurangi empat x ditambah enam... kuadrat binomial.
Mari kita keluarkan faktor dua dari tanda kurung... lalu ubah ekspresi dalam tanda kurung dengan menambahkan dan mengurangi satu... Hasilnya, kita mendapatkan jumlah kuadrat ganda dari selisih angka x dan satu... Dan nomor empat.
Jadi, dua x kuadrat dikurangi empat x ditambah enam sama dengan jumlah dua kali kuadrat selisih bilangan x dan satu... Dan bilangan empat...
Mari kita pertimbangkan masalah yang solusinya melibatkan isolasi kuadrat binomial dari trinomial persegi.
Tugas. Mari kita buktikan bahwa semua persegi panjang yang kelilingnya 20 cm wilayah terbesar memiliki persegi.
Misalkan salah satu sisi persegi panjang tersebut berukuran x sentimeter. Maka panjang sekonnya adalah sepuluh dikurangi x sentimeter, dan luas persegi panjang sama dengan hasil kali sisi-sisinya.
Membuka tanda kurung pada ekspresi x dikalikan dengan selisih antara sepuluh dan x, kita mendapatkan sepuluh x dikurangi x kuadrat. Ekspresi dikurangi x kuadrat ditambah sepuluh x adalah trinomial kuadrat yang koefisien A sama dengan minus satu, be sama dengan sepuluh, dan ce sama dengan nol. Mari kita isolasi kuadrat binomialnya dan dapatkan persamaannya dikurangi kuadrat selisih x dan lima... ditambah dua puluh lima.
Karena ekspresi dikurangi kuadrat selisih x dan lima untuk setiap x yang tidak sama dengan lima adalah negatif, maka seluruh ekspresi dikurangi kuadrat selisih x dan lima ... ditambah dua puluh lima adalah nilai tertinggi dengan x sama dengan lima.
Artinya luas persegi panjang akan menjadi paling besar jika salah satu sisi persegi panjang tersebut adalah 5 cm. Dalam hal ini, sisi yang lain juga berukuran 5 cm. Artinya persegi panjang tersebut adalah persegi.
Praktek ujian matematika menunjukkan bahwa soal parameter adalah yang paling sulit, baik secara logika maupun teknis, oleh karena itu kemampuan menyelesaikannya sangat menentukan. berhasil diselesaikan ujian tingkat mana pun.
Dalam masalah dengan parameter, bersama dengan besaran yang tidak diketahui, muncul besaran, nilai numerik yang, meskipun tidak disebutkan secara spesifik, dianggap diketahui dan ditentukan di beberapa tempat kumpulan numerik. Dalam hal ini, parameter yang termasuk dalam kondisi secara signifikan mempengaruhi jalannya solusi logis dan teknis serta bentuk jawabannya. Masalah seperti itu dapat ditemukan dalam buku “514 masalah dengan parameter” Dalam literatur tentang matematika dasar banyak alat peraga, buku masalah, panduan metodologis, yang berisi masalah dengan parameter. Tapi kebanyakan dari mereka menutupi lingkaran sempit pertanyaan, menempatkan penekanan utama pada resep, bukan pada logika pemecahan masalah. Selain itu, buku-buku tersukses telah lama menjadi buku langka dalam bibliografi. Di akhir karya terdapat daftar buku, artikel yang membantu menyusun klasifikasi pernyataan tentang topik karya. Yang paling signifikan adalah manual oleh A. Kh. Shahmeister.
Tujuan utama dari pekerjaan ini adalah untuk mengisi beberapa kesenjangan substantif dalam kursus aljabar dasar dan menetapkan fakta tentang penggunaan properti fungsi kuadrat, yang memungkinkan penyederhanaan secara signifikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan letak akar-akar persamaan kuadrat relatif terhadap titik-titik karakteristik tertentu.
Tujuan pekerjaan:
Tetapkan kemungkinan kasus letak akar-akar trinomial persegi pada garis bilangan;
Mengidentifikasi algoritma yang memungkinkan penyelesaian persamaan kuadrat dengan parameter berdasarkan letak akar trinomial kuadrat pada garis bilangan;
Belajar memecahkan masalah dengan kompleksitas yang lebih tinggi dari tingkat yang disyaratkan; menguasai sejumlah keterampilan teknis dan intelektual matematika pada tingkat penggunaan bebasnya; meningkatkan budaya matematika dalam diri kursus sekolah matematika.
Objek kajian: letak akar-akar suatu trinomial persegi pada suatu garis koordinat.
Subjek penelitian: persamaan kuadrat dengan parameter.
Metode penelitian. Metode utama mempelajari masalah dengan parameter: analitis, grafis dan gabungan (fungsional - grafis). Analitik adalah metode yang disebut solusi langsung, mengulangi prosedur standar untuk menemukan jawaban dalam soal tanpa parameter. Grafik adalah metode yang menggunakan grafik bidang koordinat(x; kamu). Visibilitas metode grafis membantu Anda menemukan cara cepat untuk memecahkan masalah. Dari kedua metode ini, metode terakhir tidak hanya elegan, tetapi juga paling penting, karena menunjukkan hubungan antara semua tipe model matematika: deskripsi lisan soal, model geometri – grafik trinomial kuadrat, model analitis– deskripsi model geometri dengan sistem pertidaksamaan yang disusun berdasarkan pernyataan matematika yang diidentifikasi dari grafik fungsi kuadrat.
Dalam banyak kasus, menyelesaikan persamaan kuadrat dengan suatu parameter menyebabkan transformasi yang rumit. Hipotesa: penggunaan sifat-sifat fungsi kuadrat akan menyederhanakan penyelesaian secara signifikan, mereduksinya menjadi penyelesaian pertidaksamaan rasional.
Bagian utama. Letak akar-akar trinomial kuadrat pada garis koordinat
Mari kita perhatikan beberapa pernyataan yang berhubungan dengan letak akar-akar trinomial kuadrat f(x)=ax2+bx+c pada garis bilangan relatif terhadap titik m dan n sedemikian rupa sehingga m
x1 dan x2 adalah akar-akar trinomial kuadrat,
D=b2-4ac- diskriminan trinomial persegi, D≥0.
m, n, m1, m2, n1, n2 - angka yang diberikan.
Semua argumen dipertimbangkan untuk a>0, kasus untuk a
Pernyataan satu
Agar bilangan m terletak di antara akar-akar trinomial kuadrat (x1
Bukti.
disediakan x1
Interpretasi geometris
Misalkan x1 dan x2 adalah akar persamaannya. Untuk > 0 f(x)
Soal 1. Untuk nilai k berapakah persamaan x2-(2k+1)x + 3k-4=0 mempunyai dua akar, salah satunya lebih kecil dari 2 dan akar lainnya lebih besar dari 2?
Larutan. f(x)=x2-(2k+1)x + 3k-4; x1
Untuk k>-2, persamaan x2-(2k+1)x + 3k-4=0 mempunyai dua akar, salah satunya lebih kecil dari 2 dan akar lainnya lebih besar dari 2.
Jawaban: k>-2.
Soal 2. Untuk nilai k berapakah persamaan kx2+(3k-2)x + k-3=0 mempunyai akar-akar yang berbeda tanda?
Masalah ini dapat dirumuskan sebagai berikut: untuk nilai k berapakah angka 0 terletak di antara akar-akar persamaan tersebut.
Solusi (1 cara) f(x)= kx2+(3k-2)x + k-3; x1
Metode 2 (menggunakan teorema Vieta). Jika persamaan kuadrat mempunyai akar-akar (D>0) dan c/a
Soal 3. Berapa nilai k persamaan (k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2=0 mempunyai dua akar, salah satunya lebih kecil dari k dan yang lainnya lebih besar dari oke?
f(x)=(k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2; x1 Mengganti nilai k dari himpunan yang ditemukan, kami memastikan bahwa untuk nilai k D>0.
Pernyataan dua(a)
Agar akar-akar trinomial kuadrat menjadi angka yang lebih sedikit m(x1
Bukti: x1-m>0, x2-m 0; m2-mx1-mx2+x1x2>0; m2-(x1+x2)m+x1x2
Soal 4. Pada nilai parameter berapakah akar-akar persamaan x2-(3k+1)x+2k2+4k-6=0 kurang dari -1?
D≥0; (3k+1)2-4(2k2+4k-6) ≥0; (k-5)2≥0; k- apa saja; x0-3/2; k0. 1+(3k+1)+(2k2+4k-6)>0. 2(k+4)(k-1/2)>0. k1/2
Pernyataan dua (b)
Agar akar-akar trinomial kuadrat menjadi nomor lebih banyak m(m
D ≥0; x0>m; af(m)>0.
Jika kondisi m m. Karena m tidak termasuk dalam interval (x1; x2), maka f(m) > O untuk a > 0 dan f(m)
Sebaliknya, biarlah sistem kesenjangan terpenuhi. Kondisi D > 0 menyiratkan adanya akar x1 dan x2 (x1 m.
Tetap menunjukkan bahwa x1 > m. Jika D = 0, maka x1 = x2 > m. Jika D > 0, maka f(x0) = -D/4a dan af(x0) 0, oleh karena itu, di titik x0 dan m fungsi tersebut mengambil nilai yang berlawanan tanda dan x1 termasuk dalam interval (m; x0).
Soal 5. Berapa nilai parameter m yang akar-akar persamaan x2-(3m+1)x+2m2+4m-6=0 a) lebih besar dari 1? b) kurang dari -1?
Solusi a) D≥0; D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6) ≥0; x0>m; x0>1; ½(3m+1)>1; f(m)>0. f(1)>0. 1-(3m+1)+(2m2+4m-6)>0.
(m-5)2≥0; m - setiap m>1/3; m>1/3;
(2km-3)(m+2)>0. m3/2. Jawaban: m>3/2.
b) D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6)≥0; (m-5)2 ≥0; m - setiap x0-3/2; m0. 1+(3m+1)+(2m2+4m-6)>0. 2(m+4)(m-1/2)>0. m1/2.
Soal 6. Pada nilai parameter berapakah akar-akar persamaan kx2-(2k +1)x+3 k -1=0 lebih besar dari 1?
Larutan. Jelasnya, masalahnya setara dengan yang berikut: untuk nilai parameter m berapakah akar-akar trinomial kuadrat lebih besar dari 1?
D≥0; D≥0 (2k+1)2-4k (3k-1) ≥0; 8k2-8k-1≤0; x0>m; x0>1 (2k+1)/ (2k) >1; 2rb+1 > 2rb; af(m)>0. af(1)>0. k(k-(2k+1)+(3k-1)) >0. 2k2-2k>0.
Setelah memecahkan sistem ini, kami menemukannya
Pernyataan ketiga
Agar akar-akar suatu trinomial persegi lebih besar dari bilangan m dan lebih kecil dari n (m
D ≥0; m 0 af(n)>0.
Catatan ciri ciri grafis.
1) Persamaan tersebut mempunyai akar-akar yang artinya D > 0.
2) Sumbu simetri terletak di antara garis x = m dan x = n yang artinya m
3) Pada titik x = m dan x = n, grafik terletak di atas sumbu OX, sehingga f(m) > 0 dan f(n) > 0 (di m
Kondisi yang tercantum di atas (1; 2; 3) diperlukan dan cukup untuk mendapatkan nilai parameter yang diinginkan.
Soal 7. Untuk m x2-2mx+m2-2m+5=0 bilangan absolutnya tidak melebihi 4?
Larutan. Kondisi permasalahannya dapat dirumuskan sebagai berikut: untuk m berapa relasi -4
Kami menemukan nilai m dari sistem
D > 0; m2 - (m2 – 2m + 5) ≥ 0;
4 ≤ x0 ≤ 4; -4 ≤ m≤ 4; f(-4)≥ 0; 16 + 8m+ m2 – 2m + 5 ≥ 0; f(4)≥0; 16-8m + m2-2m + 5 ≥0; yang penyelesaiannya adalah segmen. Jawaban: m.
Soal 8. Berapa nilai m yang merupakan akar-akar trinomial kuadrat
(2m - 2)x2 + (m+1)x + 1 lebih besar dari -1, tetapi kurang dari 0?
Larutan. Nilai m dapat dicari dari sistem
D≥0; (m+1)2-4(2m-2) ≥ 0;
(2m - 2)/(-1) > 0 (2m -2)(2m -2 -m -1 +1) > 0;
(2m-2)f(0)>0; (2m-2)>0;
Jawaban: m > 2.
Pernyataan empat
Agar akar yang lebih kecil dari trinomial kuadrat termasuk dalam interval (m;n), dan akar yang lebih besar tidak termasuk dalam (m
D ≥0; af(m)>0 af(n)
Grafik trinomial kuadrat memotong sumbu OX tepat satu kali pada interval (m; n). Artinya pada titik x=m dan x=n trinomial persegi mempunyai nilai yang berbeda tanda.
Soal 10. Berapa nilai parameter a yang hanya mencakup akar terkecil dari persamaan kuadrat x2+2ax+a=0 yang termasuk dalam interval X(0;3).
Larutan. Perhatikan trinomial kuadrat y(x) = x2-2ax+a. Grafiknya adalah parabola. Cabang-cabang parabola mengarah ke atas. Misalkan x1 adalah akar kecil dari trinomial kuadrat. Berdasarkan kondisi soal, x1 termasuk dalam interval (0;3). Mari kita gambarkan model geometris tugas yang memenuhi kondisi tugas.
Mari kita beralih ke sistem kesenjangan.
1) Kita perhatikan bahwa y(0)>0 dan y(3) 0. Oleh karena itu, kondisi ini tidak perlu dituliskan ke dalam sistem pertidaksamaan.
Jadi, kita memperoleh sistem pertidaksamaan berikut:
Jawaban: a>1.8.
Pernyataan empat (b)
Untuk akar yang lebih besar trinomial kuadrat termasuk dalam interval (m; n), dan trinomial yang lebih kecil tidak termasuk dalam (x1
D ≥0; setelah(m) 0.
Pernyataan empat (gabungan)
Komentar. Misalkan masalahnya dirumuskan sebagai berikut: untuk nilai parameter berapa salah satu akar persamaan termasuk dalam interval (b;m), dan akar lainnya tidak? Untuk menyelesaikan soal ini tidak perlu membedakan dua subkasus; kita menemukan jawabannya dari pertidaksamaan f(m) f(n)
D ≥0; f(m) f(n)
Soal 11. Untuk m apa hanya satu akar persamaan x2-mх+6=0 yang memenuhi syarat 2
Larutan. Berdasarkan pernyataan 4(b), kita mencari nilai m dari kondisi f(2)f(5) (10 – 2m)(31 – 5m) m2 - 24 = 0, yaitu untuk m = ±2√6, Untuk m = -2√6 x = - √6 yang tidak termasuk dalam interval (2; 5), dengan m = 2√6 x =√6 termasuk dalam interval (2; 5).
Jawaban: m (2√6) U (5; 31/5).
Pernyataan kelima
Agar akar-akar trinomial kuadrat memenuhi relasi (x1
D ≥0; af(m)Soal 12. Tentukan semua nilai m yang pertidaksamaannya x2+2(m-3)x + m2-6m
Larutan. Dengan syarat, interval (0; 2) harus terdapat dalam himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 + 2(m - 3)x + m2 – 6m Berdasarkan Pernyataan 5, kita mencari nilai m dari sistem pertidaksamaan f(0) ≤ 0;m2-6m ≤ 0; m f(2) ≤ 0. 4 + 4(m-3) + m2-6m ≤ 0. m [-2;4], sehingga m.
Jawaban: m.
Pernyataan keenam
Agar akar yang lebih kecil dari trinomial kuadrat termasuk dalam interval (m1; m2), dan akar yang lebih besar termasuk dalam interval (n1; n2) (m2
D ≥0; af(m1)>0; af(m2)Pernyataan ini merupakan gabungan dari pernyataan 4a dan 4b. Dua pertidaksamaan pertama menjamin bahwa x1(m1, n1), dan dua pertidaksamaan terakhir menjamin bahwa x2(m2, n2),
Soal 13. Pada m manakah salah satu akar persamaan x2 - (2m + l)x + m2 + m- 2 = 0 terletak di antara angka 1 dan 3, dan akar kedua berada di antara angka 4 dan 6?
Larutan. 1 cara. Mengingat a = 1, maka nilai m dapat dicari dari sistem f(1) > 0; 1 -2m- 1+m2 + m-2 >0; m2-m-2>0 m (-∞;-1) U (2;+∞) f(3)
4(4) 0; 36-12m-6 + m2 + m-2 0 m (-∞;4)U (7;+∞), sehingga m(2; 4).
Jawaban: m(2;4).
Jadi, kita telah menetapkan pernyataan-pernyataan yang berkaitan dengan letak akar-akar trinomial kuadrat f(x)=ax2+bx+ pada garis bilangan terhadap titik-titik tertentu.
Kesimpulan
Selama pekerjaan saya, saya menguasai sejumlah keterampilan teknis dan matematika pada tingkat penggunaan gratis dan meningkatkan budaya matematika saya sebagai bagian dari kursus matematika sekolah.
Sebagai hasil dari pekerjaan tersebut, tujuan yang ditetapkan tercapai: sifat-sifat fungsi kuadrat ditetapkan, yang memungkinkan untuk secara signifikan menyederhanakan solusi masalah yang berkaitan dengan lokasi akar-akar persamaan kuadrat relatif terhadap titik-titik karakteristik tertentu. Kemungkinan kasus lokasi akar trinomial persegi pada garis bilangan telah ditetapkan. Algoritma telah diidentifikasi yang memungkinkan penyelesaian persamaan kuadrat dengan parameter berdasarkan lokasi akar trinomial persegi pada garis bilangan; tugas-tugas dengan kompleksitas yang lebih tinggi dari tingkat yang disyaratkan telah diselesaikan. Karya tersebut hanya menyajikan solusi untuk 12 permasalahan karena terbatasnya jumlah halaman karya. Tentu saja, masalah yang dibahas dalam karya ini dapat diselesaikan dengan cara lain: menggunakan rumus akar persamaan kuadrat, menggunakan sifat akar (teorema Vieta).
Faktanya, sejumlah besar masalah telah terselesaikan. Oleh karena itu, diputuskan untuk membuat kumpulan masalah dengan topik karya desain dan penelitian “Pemecahan masalah penerapan sifat-sifat trinomial persegi yang berkaitan dengan letak akar-akarnya pada garis koordinat.” Selain itu, hasil karya (produk karya desain dan penelitian) adalah presentasi komputer, yang dapat digunakan di kelas mata pelajaran pilihan “Memecahkan masalah dengan parameter.”
