Akar N-pangkatan suatu bilangan asli A nomor ini dipanggil N pangkatnya sama dengan A. Akarnya ditetapkan sebagai berikut: . Simbol √ disebut tanda akar atau tanda radikal, nomor A - bilangan radikal, N - eksponen akar.
Tindakan yang menemukan akar derajat tertentu disebut ekstraksi akar.
Karena menurut definisi konsep akar N gelar ke-th
Itu ekstraksi akar- tindakan kebalikan dari menaikkan pangkat, yang dengannya basis derajat ditemukan dari derajat tertentu dan dari eksponen tertentu.
Akar pangkat dua
Akar kuadrat suatu bilangan A adalah bilangan yang kuadratnya sama A.
Tindakan yang menghitung akar kuadrat disebut rooting kuadrat.
Akar pangkat dua- tindakan kebalikan dari mengkuadratkan (atau menaikkan angka ke pangkat dua). Saat mengkuadratkan suatu bilangan, Anda perlu mencari kuadratnya. Saat mengekstrak akar kuadrat, kuadrat dari bilangan tersebut diketahui; Anda perlu menggunakannya untuk mencari bilangan itu sendiri.
Oleh karena itu, untuk memeriksa kebenaran tindakan, Anda dapat menaikkan akar yang ditemukan ke pangkat dua dan, jika derajatnya sama dengan bilangan radikal, maka akar tersebut ditemukan dengan benar.
Mari kita lihat mengekstrak akar kuadrat dan memeriksanya menggunakan sebuah contoh. Mari kita hitung atau (eksponen akar yang bernilai 2 biasanya tidak ditulis, karena 2 adalah eksponen terkecil dan perlu diingat bahwa jika tidak ada eksponen di atas tanda akar, maka yang tersirat adalah eksponen 2), untuk ini kita perlu mencari bilangan tersebut, jika dipangkatkan ke pangkat dua menjadi 49. Jelas bilangan tersebut adalah 7, karena
7 7 = 7 2 = 49.
Menghitung akar kuadrat
Jika suatu bilangan adalah 100 atau kurang, akar kuadratnya dapat dihitung menggunakan tabel perkalian. Misalnya akar kuadrat dari 25 adalah 5, karena 5 5 = 25.
Sekarang mari kita lihat cara mencari akar kuadrat dari bilangan apa pun tanpa menggunakan kalkulator. Misalnya, ambil angka 4489 dan mulai menghitungnya langkah demi langkah.
- Mari kita tentukan digit mana yang harus terdiri dari root yang dibutuhkan. Karena 10 2 = 10 · 10 = 100, dan 100 2 = 100 · 100 = 10000, menjadi jelas bahwa akar yang diinginkan harus lebih besar dari 10 dan kurang dari 100, yaitu. terdiri dari puluhan dan satuan.
- Temukan jumlah puluhan akarnya. Mengalikan puluhan menghasilkan ratusan, dan bilangan kita berjumlah 44, jadi akarnya harus berisi puluhan sebanyak itu sehingga kuadrat dari puluhan menghasilkan kira-kira 44 ratusan. Oleh karena itu, akarnya harus memiliki 6 puluhan, karena 60 2 = 3600, dan 70 2 = 4900 (ini terlalu banyak). Jadi, kami menemukan bahwa akar kami berisi 6 puluhan dan beberapa unit, karena berada dalam kisaran 60 hingga 70.
- Tabel perkalian akan membantu Anda menentukan jumlah satuan di akar. Melihat angka 4489, kita melihat bahwa angka terakhirnya adalah 9. Sekarang kita lihat tabel perkalian dan melihat bahwa 9 satuan hanya dapat diperoleh dengan mengkuadratkan angka 3 dan 7. Artinya akar dari angka tersebut adalah sama dengan 63 atau 67.
- Kita periksa angka 63 dan 67 yang kita terima dengan mengkuadratkannya: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.
Dan apakah kamu punya kecanduan kalkulator? Atau menurut Anda menghitungnya sangat sulit, misalnya kecuali dengan kalkulator atau menggunakan tabel kuadrat.
Kebetulan anak-anak sekolah terikat pada kalkulator dan bahkan mengalikan 0,7 dengan 0,5 dengan menekan tombol yang disayangi. Mereka bilang, ya, saya masih tahu cara menghitung, tapi sekarang saya akan menghemat waktu... Ketika ujian tiba... maka saya akan memaksakan diri...
Jadi faktanya sudah ada banyak “momen menegangkan” selama ujian... Seperti kata pepatah, air mengikis batu. Jadi dalam ujian, hal-hal kecil, kalau banyak, bisa merusakmu...
Mari kita meminimalkan jumlah kemungkinan masalah.
Mengambil akar kuadrat dari suatu bilangan besar
Sekarang kita hanya akan membahas kasus ketika hasil ekstraksi akar kuadrat adalah bilangan bulat.
Kasus 1.
Jadi, dengan cara apa pun (misalnya, saat menghitung diskriminan), kita perlu menghitung akar kuadrat dari 86436.
Kita akan memfaktorkan bilangan 86436 menjadi faktor prima. Bagi dengan 2, kita mendapatkan 43218; dibagi 2 lagi, kita mendapat 21609. Suatu bilangan tidak bisa habis dibagi 2. Tetapi karena jumlah angka-angkanya habis dibagi 3, maka bilangan itu sendiri habis dibagi 3 (secara umum jelas juga habis dibagi 9). . Bagi lagi dengan 3, dan kita mendapatkan 2401. 2401 tidak habis dibagi 3. Tidak habis dibagi lima (tidak berakhiran 0 atau 5).
Kami menduga dapat dibagi dengan 7. Memang, dan ,
Jadi, Selesaikan pesanan!
Kasus 2.
Mari kita perlu menghitung. Tidak nyaman untuk bertindak dengan cara yang sama seperti dijelaskan di atas. Kami mencoba memfaktorkan...
Bilangan 1849 tidak habis dibagi 2 (tidak genap)…
Tidak habis dibagi 3 (jumlah angka-angkanya bukan kelipatan 3)...
Tidak habis dibagi 5 (digit terakhir bukan 5 atau 0)…
Tidak habis dibagi 7, tidak habis dibagi 11, tidak habis dibagi 13... Nah, berapa lama waktu yang kita perlukan untuk mengurutkan semua bilangan prima tersebut?
Mari kita berpikir sedikit berbeda.
Kami memahami hal itu
Kami telah mempersempit pencarian kami. Sekarang kita membahas angka-angka dari 41 hingga 49. Selain itu, jelas bahwa karena digit terakhir dari angka tersebut adalah 9, maka kita harus berhenti pada opsi 43 atau 47 - hanya angka-angka ini, jika dikuadratkan, akan menghasilkan angka terakhir 9 .
Nah, di sini tentu saja kita berhenti di angka 43. Memang,
P.S. Bagaimana caranya kita mengalikan 0,7 dengan 0,5?
Anda harus mengalikan 5 dengan 7, mengabaikan angka nol dan tanda, lalu memisahkan, dari kanan ke kiri, dua angka desimal. Kami mendapatkan 0,35.
Apa itu akar kuadrat?
Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Konsep ini sangat sederhana. Alami, menurut saya. Matematikawan mencoba menemukan reaksi untuk setiap tindakan. Ada penjumlahan, ada pula pengurangan. Ada perkalian, ada juga pembagian. Ada kuadrat... Jadi ada juga mengambil akar kuadrat! Itu saja. Aksi ini ( akar pangkat dua) dalam matematika ditunjukkan dengan ikon ini:
Ikon itu sendiri disebut dengan kata yang indah " radikal".
Bagaimana cara mengekstrak rootnya? Lebih baik untuk melihat contoh.
Berapakah akar kuadrat dari 9? Berapa bilangan kuadrat yang menghasilkan 9? 3 kuadrat memberi kita 9! Itu:
Tapi apa akar kuadrat dari nol? Tidak masalah! Berapa bilangan kuadrat yang dihasilkan nol? Ya, itu memberi nol! Cara:
Mengerti, apa itu akar kuadrat? Lalu kami pertimbangkan contoh:
Jawaban (berantakan): 6; 1; 4; 9; 5.
Diputuskan? Sungguh, betapa mudahnya itu?!
Tapi... Apa yang dilakukan seseorang ketika dia melihat suatu tugas yang berakar?
Seseorang mulai merasa sedih... Dia tidak percaya pada kesederhanaan dan ringannya akarnya. Meski sepertinya dia tahu apa itu akar kuadrat...
Hal ini terjadi karena orang tersebut mengabaikan beberapa poin penting saat mempelajari akarnya. Kemudian mode ini membalas dendam dengan kejam pada ujian dan ujian...
Poin satu. Anda perlu mengenali akarnya dengan melihat!
Berapakah akar kuadrat dari 49? Tujuh? Benar! Bagaimana kamu tahu itu jam tujuh? Kuadratkan tujuh dan dapatkan 49? Benar! Harap dicatat bahwa ekstrak akarnya dari 49 kami harus melakukan operasi sebaliknya - kotak 7! Dan pastikan kita tidak ketinggalan. Atau mereka bisa saja ketinggalan...
Inilah kesulitannya ekstraksi akar. Persegi Anda dapat menggunakan nomor apa pun tanpa masalah. Kalikan angka dengan kolom itu sendiri - itu saja. Tapi untuk ekstraksi akar Tidak ada teknologi yang sederhana dan aman dari kegagalan. Kita harus menjemput jawab dan periksa apakah benar dengan mengkuadratkannya.
Proses kreatif yang rumit ini - memilih jawaban - akan sangat disederhanakan jika Anda Ingat kuadrat angka populer. Seperti tabel perkalian. Jika, katakanlah, Anda perlu mengalikan 4 dengan 6, Anda tidak menambahkan empat sebanyak 6 kali, bukan? Jawaban 24 langsung muncul. Meski tidak semua orang paham ya...
Untuk bekerja dengan bebas dan sukses dengan akar, cukup mengetahui kuadrat angka dari 1 hingga 20. Apalagi di sana Dan kembali. Itu. Anda harus bisa dengan mudah melafalkan keduanya, katakanlah, 11 kuadrat dan akar kuadrat dari 121. Untuk mencapai hafalan ini, ada dua cara. Yang pertama adalah mempelajari tabel persegi. Ini akan sangat membantu dalam memecahkan contoh. Yang kedua adalah memecahkan lebih banyak contoh. Ini akan sangat membantu Anda mengingat tabel persegi.
Dan tidak ada kalkulator! Untuk tujuan pengujian saja. Jika tidak, Anda akan melambat tanpa ampun selama ujian...
Jadi, apa itu akar kuadrat Dan bagaimana ekstrak akar- Menurutku sudah jelas. Sekarang mari kita cari tahu dari APA kita bisa mengekstraknya.
Poin kedua. Root, aku tidak mengenalmu!
Dari bilangan manakah kamu dapat mengambil akar kuadrat? Ya, hampir semua dari mereka. Lebih mudah untuk memahami dari mana asalnya itu dilarang ekstrak mereka.
Mari kita coba menghitung root ini:
Untuk melakukan ini, kita perlu memilih angka yang kuadratnya akan menghasilkan -4. Kami memilih.
Apa itu tidak cocok? 2 2 memberi +4. (-2) 2 memberi lagi +4! Itu saja... Tidak ada bilangan yang jika dikuadratkan akan menghasilkan bilangan negatif! Meskipun saya tahu angka-angka ini. Tapi saya tidak akan memberi tahu Anda). Pergilah ke perguruan tinggi dan Anda akan mengetahuinya sendiri.
Kisah yang sama akan terjadi pada bilangan negatif apa pun. Oleh karena itu kesimpulannya:
Ekspresi yang berisi bilangan negatif di bawah tanda akar kuadrat - tidak masuk akal! Ini adalah operasi terlarang. Hal ini sama terlarangnya dengan membagi dengan nol. Ingatlah fakta ini dengan tegas! Atau dengan kata lain:
Anda tidak dapat mengekstrak akar kuadrat dari bilangan negatif!
Namun di antara semua hal lainnya, hal itu mungkin saja terjadi. Misalnya, sangat mungkin untuk menghitung
Sekilas, ini sangat sulit. Memilih pecahan dan mengkuadratkannya... Jangan khawatir. Ketika kita memahami sifat-sifat akar, contoh-contoh tersebut akan direduksi menjadi tabel kuadrat yang sama. Hidup akan menjadi lebih mudah!
Oke, pecahan. Namun kami masih menemukan ekspresi seperti:
Tidak apa-apa. Semua sama. Akar kuadrat dari dua adalah bilangan yang jika dikuadratkan akan menghasilkan dua. Hanya angka ini yang benar-benar tidak merata... Ini dia:
Menariknya pecahan ini tidak pernah berakhir... Bilangan seperti itu disebut irasional. Dalam akar kuadrat, ini adalah hal yang paling umum. Omong-omong, inilah sebabnya ekspresi dengan akar disebut irasional. Jelas bahwa menulis pecahan tak hingga sepanjang waktu tidaklah nyaman. Oleh karena itu, alih-alih pecahan tak terbatas, biarkan seperti ini:
Jika, saat menyelesaikan sebuah contoh, Anda mendapatkan sesuatu yang tidak dapat diekstraksi, seperti:
lalu kita biarkan seperti itu. Ini akan menjadi jawabannya.
Anda perlu memahami dengan jelas apa arti ikon tersebut
Tentu saja jika diambil akar bilangannya mulus, kamu harus melakukan ini. Jawaban tugas ada dalam bentuk, misalnya
Jawaban yang cukup lengkap.
Dan, tentu saja, Anda perlu mengetahui perkiraan nilai dari memori:
Pengetahuan ini sangat membantu untuk menilai situasi dalam tugas-tugas kompleks.
Poin ketiga. Yang paling licik.
Kebingungan utama dalam bekerja dengan root disebabkan oleh hal ini. Dialah yang memberi kepercayaan pada kemampuannya sendiri... Mari kita atasi poin ini dengan benar!
Pertama, mari kita ambil akar kuadrat dari keempatnya lagi. Apakah saya sudah mengganggu Anda dengan root ini?) Sudahlah, sekarang akan menarik!
Angka berapa yang dikuadratkan oleh 4? Ya, dua, dua - saya mendengar jawaban yang tidak puas...
Benar. Dua. Tetapi juga dikurangi dua akan memberikan 4 kuadrat... Sementara itu, jawabannya
benar dan jawabannya
kesalahan besar. Seperti ini.
Jadi apa masalahnya?
Memang (-2) 2 = 4. Dan berdasarkan definisi akar kuadrat empat dikurangi dua cukup cocok... Ini juga merupakan akar kuadrat dari empat.
Tetapi! Dalam pelajaran matematika sekolah, merupakan kebiasaan untuk mempertimbangkan akar kuadrat hanya bilangan non-negatif! Artinya, nol dan semuanya positif. Bahkan istilah khusus pun diciptakan: dari nomor tersebut A- Ini non-negatif bilangan yang kuadratnya A. Hasil negatif saat mengekstraksi akar kuadrat aritmatika akan dibuang begitu saja. Di sekolah, semuanya adalah akar kuadrat - hitung. Meskipun hal ini tidak disebutkan secara khusus.
Oke, itu bisa dimengerti. Lebih baik lagi jangan ambil pusing hasil negatif... Ini belum kebingungan.
Kebingungan dimulai ketika memecahkan persamaan kuadrat. Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan berikut.
Persamaannya sederhana, kita tulis jawabannya (seperti yang diajarkan):
Jawaban ini (benar-benar benar) hanyalah versi singkat dua jawaban:
Berhenti berhenti! Tepat di atas saya menulis bahwa akar kuadrat adalah bilangan Selalu non-negatif! Dan inilah salah satu jawabannya - negatif! Kekacauan. Ini adalah masalah pertama (tapi bukan yang terakhir) yang menyebabkan ketidakpercayaan pada akarnya... Mari kita selesaikan masalah ini. Mari kita tuliskan jawabannya (hanya untuk pemahaman!) seperti ini:
Tanda kurung tidak mengubah inti jawaban. Saya baru saja memisahkannya dengan tanda kurung tanda-tanda dari akar. Sekarang Anda dapat melihat dengan jelas bahwa akar itu sendiri (dalam tanda kurung) masih merupakan bilangan non-negatif! Dan tanda-tandanya adalah hasil penyelesaian persamaan tersebut. Lagi pula, ketika menyelesaikan persamaan apa pun, kita harus menulis Semua Xs yang jika disubstitusikan ke persamaan awal akan memberikan hasil yang benar. Akar lima (positif!) dengan plus dan minus cocok dengan persamaan kita.
Seperti ini. Jika kamu ambil saja akar kuadratnya dari apa pun, kamu Selalu Anda mendapatkan satu non-negatif hasil. Misalnya:
Karena itu - akar kuadrat aritmatika.
Namun jika Anda menyelesaikan persamaan kuadrat, seperti:
Itu Selalu ternyata dua jawaban (dengan plus dan minus):
Karena ini adalah solusi persamaan.
Harapan, apa itu akar kuadrat Anda sudah memahami maksud Anda dengan jelas. Sekarang tinggal mencari tahu apa yang bisa dilakukan dengan akarnya, apa sifat-sifatnya. Dan apa saja poin dan kendalanya... maaf, batu!)
Semua ini ada dalam pelajaran berikut.
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.
instruksi
Pilih pengali untuk bilangan radikal, yang dihilangkan dari bawah akar benar-benar sebuah ekspresi - jika tidak, operasinya akan kalah. Misalnya jika di bawah tanda akar dengan eksponen sama dengan tiga (akar pangkat tiga), biayanya nomor 128, maka dari bawah tanda tersebut dapat dikeluarkan, misalnya, nomor 5. Pada saat yang sama, radikal nomor 128 harus dibagi 5 pangkat tiga: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Jika adanya bilangan pecahan di bawah tanda akar tidak bertentangan dengan kondisi permasalahan, maka dimungkinkan dalam bentuk ini. Jika Anda memerlukan opsi yang lebih sederhana, pertama-tama pecahkan ekspresi radikal menjadi faktor bilangan bulat, yang akar pangkat tiga salah satunya adalah bilangan bulat nomor m.Contoh: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.
Gunakan untuk memilih faktor suatu bilangan radikal jika tidak mungkin menghitung pangkat suatu bilangan di kepala Anda. Hal ini terutama berlaku untuk akar m dengan eksponen lebih besar dari dua. Jika Anda memiliki akses ke Internet, Anda dapat melakukan perhitungan menggunakan kalkulator yang ada di mesin pencari Google dan Nigma. Misalnya, jika Anda perlu mencari faktor bilangan bulat terbesar yang dapat diambil dari bawah tanda kubik akar untuk nomor 250, lalu buka situs Google dan masukkan kueri “6^3” untuk memeriksa apakah mungkin untuk menghapusnya dari bawah tanda akar enam. Mesin pencari akan menampilkan hasil sebesar 216. Sayangnya, 250 tidak dapat dibagi tanpa sisa dengan ini nomor. Kemudian masukkan kueri 5^3. Hasilnya adalah 125, dan ini memungkinkan Anda membagi 250 menjadi faktor 125 dan 2, yang berarti menghilangkan tandanya akar nomor 5, berangkat dari sana nomor 2.
Sumber:
- bagaimana cara mengeluarkannya dari bawah akarnya
- Akar kuadrat dari produk
Keluarkan dari bawah akar salah satu faktor diperlukan dalam situasi di mana Anda perlu menyederhanakan ekspresi matematika. Ada kalanya tidak mungkin melakukan perhitungan yang diperlukan menggunakan kalkulator. Misalnya, jika sebutan huruf untuk variabel digunakan sebagai pengganti angka.
instruksi
Pecahkan ekspresi radikal menjadi faktor-faktor sederhana. Lihat faktor mana yang diulang dengan jumlah yang sama, yang ditunjukkan dalam indikator akar, atau lebih. Misalnya, Anda perlu mengambil akar keempat dari a. Dalam hal ini, bilangan tersebut dapat direpresentasikan sebagai a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. Indikator akar dalam hal ini akan sesuai dengan faktor a3. Itu perlu dikeluarkan dari tandanya.
Ekstrak akar radikal yang dihasilkan secara terpisah jika memungkinkan. Ekstraksi akar adalah operasi aljabar kebalikan dari eksponensial. Ekstraksi akar dari suatu pangkat sembarang, carilah suatu bilangan dari suatu bilangan yang, jika dipangkatkan, akan menghasilkan bilangan tersebut. Jika ekstraksi akar tidak dapat diproduksi, tinggalkan ekspresi radikal di bawah tanda akar memang seperti itu. Sebagai akibat dari tindakan di atas, Anda akan dikeluarkan dari bawah tanda akar.
Video tentang topik tersebut
catatan
Berhati-hatilah saat menulis ekspresi radikal dalam bentuk faktor - kesalahan pada tahap ini akan menyebabkan hasil yang salah.
Saran yang bermanfaat
Saat mengekstraksi akar, akan lebih mudah untuk menggunakan tabel khusus atau tabel akar logaritma - ini akan secara signifikan mengurangi waktu yang diperlukan untuk menemukan solusi yang tepat.
Sumber:
- tanda ekstraksi akar pada tahun 2019
Penyederhanaan ekspresi aljabar diperlukan dalam banyak bidang matematika, termasuk penyelesaian persamaan tingkat tinggi, diferensiasi dan integrasi. Ada beberapa metode yang digunakan, termasuk faktorisasi. Untuk menerapkan metode ini, Anda perlu mencari dan membuat generalisasinya faktor di belakang tanda kurung.
instruksi
Melakukan pengganda total tanda kurung- salah satu metode dekomposisi yang paling umum. Teknik ini digunakan untuk menyederhanakan struktur ekspresi aljabar panjang, yaitu. polinomial. Bilangan umum dapat berupa bilangan, monomial atau binomial, dan untuk mencarinya digunakan sifat distributif perkalian.
Bilangan. Perhatikan baik-baik koefisien setiap polinomial untuk mengetahui apakah polinomial tersebut dapat dibagi dengan bilangan yang sama. Misalnya, dalam ekspresi 12 z³ + 16 z² – 4 sudah jelas faktor 4. Setelah transformasi, Anda mendapatkan 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Dengan kata lain, bilangan ini adalah pembagi bilangan bulat terkecil dari semua koefisien.
Monomial. Tentukan apakah variabel yang sama ada di setiap suku polinomial. Dengan asumsi demikian, sekarang lihat koefisiennya seperti pada kasus sebelumnya. Contoh: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.
Setiap elemen polinomial ini berisi variabel z. Selain itu, semua koefisien adalah bilangan kelipatan 3. Oleh karena itu, faktor persekutuannya adalah monomial 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1).
Binomial.Untuk tanda kurung umum faktor dari dua, variabel dan angka, yang merupakan polinomial persekutuan. Oleh karena itu, jika faktor-binomialnya tidak jelas, maka Anda perlu menemukan setidaknya satu akar. Pilih suku bebas dari polinomial; ini adalah koefisien tanpa variabel. Sekarang terapkan metode substitusi ke dalam ekspresi umum semua pembagi bilangan bulat suku bebas.
Misalkan: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Periksa apakah ada faktor bilangan bulat dari 4 yang z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Dengan substitusi sederhana, carilah z1 = 1 dan z2 = 2 yang artinya untuk tanda kurung kita dapat menghilangkan binomial (z - 1) dan (z - 2). Untuk menemukan ekspresi yang tersisa, gunakan pembagian panjang berurutan.
