Seringkali dalam fisika dan matematika Anda perlu menemukannya tidak nilai yang lebih rendah fungsi. Sekarang kami akan memberi tahu Anda cara melakukan ini.
Cara mencari nilai terkecil suatu fungsi: instruksi
- Untuk menghitung nilai terkecil fungsi berkelanjutan pada segmen tertentu, Anda harus mengikuti algoritma ini:
- Temukan turunan dari fungsi tersebut.
- Temukan pada segmen tertentu titik-titik di mana turunannya sama dengan nol, dan juga semuanya poin kritis. Kemudian cari tahu nilai fungsi pada titik-titik tersebut, yaitu selesaikan persamaan dimana x sama dengan nol. Cari tahu nilai mana yang terkecil.
- Identifikasi nilai apa yang dimiliki suatu fungsi pada titik akhir. Tentukan nilai terkecil fungsi pada titik-titik tersebut.
- Bandingkan data yang diperoleh dengan nilai terendah. Semakin kecil angka yang dihasilkan akan menjadi nilai terkecil dari fungsi tersebut.
Perhatikan bahwa jika suatu fungsi pada suatu segmen tidak memiliki poin terkecil, artinya pada suatu segmen tertentu bertambah atau berkurang. Oleh karena itu, nilai terkecil harus dihitung pada segmen berhingga dari fungsi tersebut.
Dalam semua kasus lainnya, nilai fungsi dihitung sesuai dengan algoritma yang ditentukan. Pada setiap titik algoritma, Anda perlu menyelesaikan masalah sederhana persamaan linier dengan satu akar. Selesaikan persamaan menggunakan gambar untuk menghindari kesalahan.
Bagaimana cara mencari nilai terkecil suatu fungsi pada segmen setengah terbuka? Pada fungsi periode setengah terbuka atau terbuka, nilai terkecil harus dicari sebagai berikut. Di titik akhir nilai fungsi, hitung limit satu sisi fungsi tersebut. Dengan kata lain, selesaikan persamaan yang titik kecenderungannya diberikan oleh nilai a+0 dan b+0, dengan a dan b adalah nama titik kritisnya.
Sekarang Anda tahu cara mencari nilai terkecil suatu fungsi. Yang utama adalah melakukan semua perhitungan dengan benar, akurat dan tanpa kesalahan.
Dengan layanan ini Anda bisa mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi satu variabel f(x) dengan solusi yang diformat dalam Word. Jika fungsi f(x,y) diberikan, maka perlu dicari titik ekstrem dari fungsi dua variabel. Anda juga dapat menemukan interval fungsi naik dan turun.
Aturan untuk memasukkan fungsi:
Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem suatu fungsi dari satu variabel
Persamaan f" 0 (x *) = 0 adalah kondisi yang diperlukan ekstrem dari fungsi satu variabel, mis. di titik x * turunan pertama fungsi tersebut harus hilang. Ini mengidentifikasi titik stasioner xc di mana fungsinya tidak bertambah atau berkurang.Kondisi cukup untuk ekstrem suatu fungsi satu variabel
Misalkan f 0 (x) terdiferensialkan dua kali terhadap x yang termasuk dalam himpunan D. Jika pada titik x* syarat terpenuhi:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Maka titik x* adalah titik minimum lokal (global) dari fungsi tersebut.
Jika pada titik x* syarat terpenuhi:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x*)< 0
Maka titik x* adalah maksimum lokal (global).
Contoh No.1. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi: pada segmen.
Larutan. 
Titik kritisnya adalah satu x 1 = 2 (f’(x)=0). Titik ini termasuk dalam segmen tersebut. (Intinya x=0 tidak kritis, karena 0∉).
Kami menghitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik kritis.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Jawaban: f menit = 5/2 pada x=2; f maks =9 pada x=1
Contoh No.2. Dengan menggunakan turunan orde tinggi, carilah titik ekstrem dari fungsi y=x-2sin(x) .
Larutan.
Tentukan turunan dari fungsi tersebut: y’=1-2cos(x) . Mari kita cari titik kritisnya: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Kita mencari y’’=2sin(x), hitung , yang berarti x= π / 3 +2πk, k∈Z adalah titik minimum dari fungsi tersebut; 
, yang berarti x=- π / 3 +2πk, k∈Z adalah titik maksimum dari fungsi tersebut.
Contoh No.3. Selidiki fungsi ekstrem di sekitar titik x=0.
Larutan. Di sini perlu untuk menemukan ekstrem dari fungsinya. Jika ekstrem x=0, cari tahu jenisnya (minimum atau maksimum). Jika di antara titik-titik yang ditemukan tidak ada x = 0, maka hitunglah nilai fungsi f(x=0).
Perlu dicatat bahwa ketika turunan pada setiap sisi suatu titik tertentu tidak mengubah tandanya, situasi yang mungkin terjadi tidak habis bahkan untuk fungsi-fungsi yang terdiferensiasi: dapat terjadi bahwa untuk lingkungan kecil sembarang di satu sisi titik x 0 atau di kedua sisi turunannya berubah tanda. Pada titik ini perlu menggunakan metode lain untuk mempelajari fungsi ekstrem.
Mari kita lihat cara memeriksa suatu fungsi menggunakan grafik. Ternyata dengan melihat grafik tersebut kita bisa mengetahui semua hal yang menarik perhatian kita, yaitu:
- domain suatu fungsi
- rentang fungsi
- fungsi nol
- interval kenaikan dan penurunan
- poin maksimum dan minimum
- nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada suatu segmen.
Mari kita perjelas terminologinya:
Absis adalah koordinat horizontal suatu titik.
Ordinat- koordinat vertikal.
Sumbu absis- sumbu horizontal, paling sering disebut sumbu.
sumbu Y - sumbu vertikal, atau sumbu.
Argumen- variabel independen yang menjadi sandaran nilai fungsi. Paling sering ditunjukkan.
Dengan kata lain, kita memilih , mengganti fungsi ke dalam rumus dan mendapatkan .
Domain definisi fungsi - himpunan nilai argumen (dan hanya itu) yang fungsinya ada.
Ditunjukkan oleh: atau .
Pada gambar kita, domain definisi fungsi adalah segmen. Di segmen inilah grafik fungsi digambar. Hanya di sini fungsi ini ada.
Rentang Fungsi adalah himpunan nilai yang diambil suatu variabel. Dalam gambar kami, ini adalah segmen - dari nilai terendah hingga tertinggi.
Fungsi nol- titik di mana nilai fungsinya nol, yaitu. Dalam gambar kami ini adalah poin dan .
Nilai fungsinya positif Di mana . Pada gambar kita, ini adalah interval dan .
Nilai fungsi negatif Di mana . Bagi kami, ini adalah interval (atau interval) dari ke .
Konsep yang paling penting - fungsi naik dan turun pada beberapa set. Sebagai himpunan, Anda dapat mengambil segmen, interval, gabungan interval, atau seluruh garis bilangan.
Fungsi meningkat
Dengan kata lain, semakin , semakin banyak, artinya grafiknya bergerak ke kanan dan ke atas.
Fungsi berkurang pada suatu himpunan jika untuk sembarang dan termasuk dalam himpunan tersebut, maka pertidaksamaan tersebut berarti pertidaksamaan .
Untuk fungsi menurun nilai yang lebih tinggi sesuai dengan nilai yang lebih kecil. Grafiknya mengarah ke kanan dan ke bawah.
Pada gambar kita, fungsi bertambah pada interval dan berkurang pada interval dan .
Mari kita definisikan apa itu titik maksimum dan minimum dari fungsi tersebut.
Poin maksimal- ini adalah titik internal dari domain definisi, sehingga nilai fungsi di dalamnya lebih besar daripada di semua titik yang cukup dekat dengannya.
Dengan kata lain, titik maksimum adalah titik dimana nilai fungsi tersebut berada lagi daripada di negara tetangga. Ini adalah “bukit” lokal pada grafik.
Pada gambar kita ada titik maksimal.
Poin minimal- titik dalam domain definisi, sehingga nilai fungsi di dalamnya lebih kecil daripada di semua titik yang cukup dekat dengannya.
Artinya, titik minimumnya sedemikian rupa sehingga nilai fungsi di dalamnya lebih kecil daripada di tetangganya. Ini adalah “lubang” lokal pada grafik.
Ada titik minimum dalam gambar kami.
Intinya adalah batasnya. Dia tidak titik dalam domain definisi dan karena itu tidak sesuai dengan definisi titik maksimum. Lagi pula, dia tidak punya tetangga di sebelah kiri. Dengan cara yang sama, pada grafik kita tidak boleh ada titik minimum.
Poin maksimum dan minimum bersama-sama disebut titik ekstrem dari fungsi tersebut. Dalam kasus kami ini adalah dan .
Apa yang harus dilakukan jika Anda perlu mencari, misalnya, fungsi minimal di segmen tersebut? DI DALAM dalam hal ini menjawab: . Karena fungsi minimal adalah nilainya pada titik minimum.
Demikian pula, fungsi maksimum kita adalah . Hal ini tercapai pada titik .
Kita dapat mengatakan bahwa ekstrem dari fungsi tersebut sama dengan dan .
Terkadang masalah memerlukan penemuan nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada segmen tertentu. Hal-hal tersebut belum tentu sejalan dengan hal-hal ekstrem.
Dalam kasus kami nilai fungsi terkecil pada segmen tersebut sama dengan dan berimpit dengan fungsi minimum. Namun nilai terbesarnya pada segmen ini adalah . Itu dicapai di ujung kiri segmen.
Bagaimanapun, nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu pada suatu segmen dicapai baik pada titik ekstrem atau di ujung segmen.
DENGAN poin praktis Dari sudut pandang praktis, minat terbesar adalah menggunakan turunan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi. Apa hubungannya ini? Memaksimalkan keuntungan, meminimalkan biaya, menentukan beban peralatan yang optimal... Dengan kata lain, di banyak bidang kehidupan kita harus memecahkan masalah dalam mengoptimalkan beberapa parameter. Dan inilah tugas mencari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi.
Perlu diperhatikan bahwa nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi biasanya dicari pada interval X tertentu, yang merupakan seluruh domain fungsi atau sebagian dari domain definisi. Interval X sendiri dapat berupa segmen, interval terbuka 
, interval tak terbatas.
Pada artikel kali ini kita akan membahas tentang mencari nilai terbesar dan terkecil secara eksplisit fungsi yang diberikan satu variabel y=f(x) .
Navigasi halaman.
Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi - definisi, ilustrasi.
Mari kita lihat secara singkat definisi utama.
Nilai fungsi terbesar 
itu untuk siapa pun 
ketimpangan memang benar adanya.
Nilai terkecil dari fungsi tersebut y=f(x) pada interval X disebut nilai seperti itu 
itu untuk siapa pun ketimpangan memang benar adanya.
Definisi ini intuitif: nilai terbesar (terkecil) dari suatu fungsi adalah nilai terbesar (terkecil) yang diterima pada interval yang dipertimbangkan pada absis.
Poin stasioner– ini adalah nilai argumen di mana turunan fungsi menjadi nol.
Mengapa kita memerlukan titik stasioner saat mencari nilai terbesar dan terkecil? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema Fermat. Dari teorema ini dapat disimpulkan bahwa jika suatu fungsi terdiferensiasi mempunyai ekstrem (minimum lokal atau maksimum lokal) di suatu titik, maka titik tersebut stasioner. Jadi, suatu fungsi sering kali mengambil nilai terbesar (terkecil) pada interval X di salah satu titik stasioner dari interval ini.
Selain itu, suatu fungsi sering kali dapat mengambil nilai terbesar dan terkecilnya pada titik-titik di mana turunan pertama dari fungsi tersebut tidak ada, dan fungsi itu sendiri terdefinisi.
Mari kita segera menjawab salah satu pertanyaan paling umum tentang topik ini: “Apakah selalu mungkin untuk menentukan nilai terbesar (terkecil) suatu fungsi”? Tidak, tidak selalu. Kadang-kadang batas interval X bertepatan dengan batas domain definisi fungsi, atau interval X tidak terbatas. Dan beberapa fungsi pada jarak tak terhingga dan pada batas domain definisi dapat memiliki nilai yang sangat besar dan nilai yang sangat kecil. Dalam kasus ini, tidak ada yang bisa dikatakan tentang nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut.
Untuk lebih jelasnya, kami akan memberikan ilustrasi grafis. Lihatlah gambar-gambarnya dan banyak hal akan menjadi lebih jelas.
Di segmen tersebut
Pada gambar pertama, fungsi tersebut mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik stasioner yang terletak di dalam segmen [-6;6].
Perhatikan kasus yang digambarkan pada gambar kedua. Mari kita ubah segmennya menjadi. Dalam contoh ini, nilai fungsi terkecil dicapai pada titik stasioner, dan yang terbesar - pada titik dengan absis yang sesuai dengan batas kanan interval.
Pada Gambar 3, titik batas ruas [-3;2] adalah absis titik-titik yang sesuai dengan nilai fungsi terbesar dan terkecil.
Pada interval terbuka
Pada gambar keempat, fungsi tersebut mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik stasioner yang terletak di dalam interval terbuka (-6;6).
Pada interval , tidak dapat diambil kesimpulan mengenai nilai terbesarnya.
Tanpa batas
Pada contoh yang disajikan pada gambar ketujuh, fungsi tersebut mengambil nilai terbesar (maks y) pada titik stasioner dengan absis x=1, dan nilai terkecil (min y) dicapai pada batas kanan interval. Pada minus tak terhingga, nilai fungsinya mendekati y=3 secara asimtotik.
Pada interval fungsi tersebut tidak mencapai nilai terkecil maupun terkecil nilai tertinggi. Ketika x=2 mendekat dari kanan, nilai fungsinya cenderung minus tak terhingga (garis lurus x=2 adalah asimtot vertikal), dan karena absisnya cenderung plus tak terhingga, nilai fungsinya mendekati y=3 secara asimtotik. Ilustrasi grafis dari contoh ini ditunjukkan pada Gambar 8.
Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi kontinu pada suatu segmen.
Mari kita menulis sebuah algoritma yang memungkinkan kita menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen.
- Kami menemukan domain definisi fungsi dan memeriksa apakah fungsi tersebut berisi seluruh segmen.
- Kami menemukan semua titik di mana turunan pertamanya tidak ada dan terdapat dalam segmen tersebut (biasanya titik seperti itu ditemukan dalam fungsi dengan argumen di bawah tanda modulus dan dalam fungsi daya dengan eksponen pecahan-rasional). Jika tidak ada poin seperti itu, lanjutkan ke poin berikutnya.
- Kami menentukan semua titik stasioner yang termasuk dalam segmen tersebut. Untuk melakukan ini, kita menyamakannya dengan nol, menyelesaikan persamaan yang dihasilkan dan memilih akar yang sesuai. Jika tidak ada titik stasioner atau tidak ada satupun yang termasuk dalam segmen tersebut, maka lanjutkan ke titik berikutnya.
- Kami menghitung nilai fungsi pada titik stasioner yang dipilih (jika ada), pada titik di mana turunan pertamanya tidak ada (jika ada), serta pada x=a dan x=b.
- Dari nilai fungsi yang diperoleh, kami memilih yang terbesar dan terkecil - masing-masing akan menjadi nilai fungsi terbesar dan terkecil yang diperlukan.
Mari kita menganalisis algoritma untuk menyelesaikan contoh untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen.
Contoh.
Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi
- pada segmen tersebut;
- di segmen [-4;-1] .
Larutan.
Domain suatu fungsi adalah keseluruhan himpunan bilangan real, kecuali nol, yaitu . Kedua segmen termasuk dalam domain definisi.
Temukan turunan fungsi terhadap: 
Jelasnya, turunan dari fungsi tersebut ada di semua titik pada segmen dan [-4;-1].
Kami menentukan titik stasioner dari persamaan. Satu-satunya akar real adalah x=2. Titik stasioner ini termasuk dalam segmen pertama.
Untuk kasus pertama, kita menghitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik stasioner, yaitu untuk x=1, x=2 dan x=4: 
Oleh karena itu, nilai fungsi terbesar 
dicapai pada x=1, dan nilai terkecil 
– pada x=2.
Untuk kasus kedua, kami menghitung nilai fungsi hanya di ujung segmen [-4;-1] (karena tidak mengandung satu titik stasioner): 
Algoritma standar untuk menyelesaikan masalah seperti itu melibatkan, setelah menemukan nol dari suatu fungsi, menentukan tanda-tanda turunan pada intervalnya. Kemudian perhitungan nilai pada titik maksimum (atau minimum) yang ditemukan dan pada batas interval, tergantung pada pertanyaan apa yang ada dalam kondisi tersebut.
Saya menyarankan Anda untuk melakukan sesuatu dengan sedikit berbeda. Mengapa? Saya menulis tentang ini.
Saya mengusulkan untuk memecahkan masalah seperti berikut:
1. Temukan turunannya.
2. Temukan angka nol dari turunannya.
3. Tentukan mana di antara mereka yang termasuk dalam interval ini.
4. Kita menghitung nilai fungsi pada batas interval dan titik langkah 3.
5. Kita menarik kesimpulan (menjawab pertanyaan yang diajukan).
Saat menyelesaikan contoh yang disajikan, solusinya tidak dipertimbangkan secara rinci persamaan kuadrat, kamu harus bisa melakukan ini. Mereka juga harus tahu.
Mari kita lihat contohnya:
77422. Tentukan nilai terbesar dari fungsi y=x 3 –3x+4 pada ruas [–2;0].
Mari kita cari angka nol dari turunannya:
Titik x = –1 termasuk dalam interval yang ditentukan dalam kondisi.
Kami menghitung nilai fungsi di titik –2, –1 dan 0:
Nilai terbesar dari fungsi tersebut adalah 6.
Jawaban: 6
77425. Tentukan nilai terkecil fungsi y = x 3 – 3x 2 + 2 pada ruas tersebut.
Mari kita cari turunan dari fungsi yang diberikan:
Mari kita cari angka nol dari turunannya:
Titik x = 2 termasuk dalam interval yang ditentukan dalam kondisi.
Kami menghitung nilai fungsi pada titik 1, 2 dan 4:
Nilai terkecil dari fungsi tersebut adalah –2.
Jawaban: –2
77426. Tentukan nilai terbesar dari fungsi y = x 3 – 6x 2 pada ruas [–3;3].
Mari kita cari turunan dari fungsi yang diberikan:
Mari kita cari angka nol dari turunannya:
Interval yang ditentukan dalam kondisi memuat titik x = 0.
Kami menghitung nilai fungsi di titik –3, 0 dan 3:
Nilai terkecil dari fungsi tersebut adalah 0.
Jawaban: 0
77429. Tentukan nilai terkecil fungsi y = x 3 – 2x 2 + x +3 pada ruas tersebut.
Mari kita cari turunan dari fungsi yang diberikan:
3x 2 – 4x + 1 = 0
Kita mendapatkan akar-akarnya: x 1 = 1 x 1 = 1/3.
Interval yang ditentukan dalam kondisi hanya berisi x = 1.
Mari kita cari nilai fungsi di titik 1 dan 4:
Kami menemukan bahwa nilai terkecil dari fungsi tersebut adalah 3.
Jawaban: 3
77430. Tentukan nilai terbesar fungsi y = x 3 + 2x 2 + x + 3 pada ruas [– 4; –1].
Mari kita cari turunan dari fungsi yang diberikan:
Mari kita cari angka nol dari turunannya dan selesaikan persamaan kuadratnya:
3x 2 + 4x + 1 = 0
Mari kita lihat akarnya:
Akar x = –1 termasuk dalam interval yang ditentukan dalam kondisi.
Kita mencari nilai fungsi di titik –4, –1, –1/3 dan 1:
Kami menemukan bahwa nilai terbesar dari fungsi tersebut adalah 3.
Jawaban: 3
77433. Tentukan nilai terkecil fungsi y = x 3 – x 2 – 40x +3 pada ruas tersebut.
Mari kita cari turunan dari fungsi yang diberikan:
Mari kita cari angka nol dari turunannya dan selesaikan persamaan kuadratnya:
3x 2 – 2x – 40 = 0
Mari kita lihat akarnya:
Interval yang ditentukan dalam kondisi berisi akar x = 4.
Temukan nilai fungsi di titik 0 dan 4:
Kami menemukan bahwa nilai terkecil dari fungsi tersebut adalah –109.
Jawaban: –109
Mari kita perhatikan cara menentukan nilai fungsi terbesar dan terkecil tanpa turunan. Pendekatan ini dapat digunakan jika Anda punya masalah besar. Prinsipnya sederhana - kami mengganti semua nilai bilangan bulat dari interval ke dalam fungsi (faktanya adalah bahwa dalam semua prototipe jawabannya adalah bilangan bulat).
77437. Tentukan nilai terkecil dari fungsi y=7+12x–x 3 pada ruas [–2;2].
Poin pengganti dari –2 ke 2: Lihat solusi
77434. Tentukan nilai terbesar dari fungsi y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 pada ruas [–2;0].
Itu saja. Semoga beruntung untukmu!
Hormat kami, Alexander Krutitskikh.
P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu saya tentang situs ini di jejaring sosial.
