Proses memeriksa suatu fungsi untuk mengetahui keberadaan titik-titik stasioner dan juga menemukannya adalah salah satunya elemen penting saat memplot suatu fungsi. Anda dapat menemukan titik stasioner suatu fungsi jika Anda memiliki pengetahuan matematika tertentu.

Anda akan membutuhkannya

• - fungsi yang perlu diperiksa keberadaan titik stasionernya;
• - definisi titik stasioner: titik stasioner suatu fungsi adalah titik (nilai argumen) di mana turunan fungsi orde pertama hilang.

instruksi

• Dengan menggunakan tabel turunan dan rumus diferensiasi fungsi, perlu dicari turunan fungsi tersebut. Langkah ini adalah yang paling sulit dan kritis dalam menyelesaikan tugas. Jika Anda melakukan kesalahan pada tahap ini, perhitungan lebih lanjut tidak masuk akal.
• Periksa apakah turunan suatu fungsi bergantung pada argumennya. Jika turunan yang ditemukan tidak bergantung pada argumennya, yaitu suatu bilangan (misalnya f"(x) = 5), maka dalam hal ini fungsi tersebut tidak mempunyai titik stasioner. Penyelesaian seperti itu hanya mungkin jika fungsi yang diteliti adalah fungsi linier orde pertama (misalnya f(x) = 5x+1). Jika turunan fungsi bergantung pada argumen, lanjutkan ke langkah terakhir.
• Buatlah persamaan f"(x) = 0 dan selesaikan. Persamaan tersebut mungkin tidak memiliki solusi - dalam hal ini, fungsinya tidak memiliki titik stasioner. Jika persamaan tersebut memiliki solusi, maka nilai argumen tertentu ini akan menjadi titik stasioner dari fungsi tersebut. Pada tahap ini, penyelesaian persamaan harus diperiksa dengan substitusi argumen.

§ 3 POIN STASIUN DAN KALKULUS DIFERENSIAL 369

jelas bahwa, secara umum, ada dua lingkaran keluarga yang ditinjau, bersinggungan dengan garis lurus l: pusat-pusatnya terletak di sepanjang sisi yang berbeda segmen P Q. Salah satu titik singgung memberikan nilai maksimum absolut dari j, sedangkan titik singgung lainnya hanya memberikan maksimum “relatif”: ini berarti nilai j pada titik ini lebih besar daripada nilai di beberapa lingkungan dari titik yang dimaksud. Maksimum yang lebih besar dari dua maksimum - maksimum absolut - diberikan oleh titik kontak yang terletak di sudut tajam, dibentuk oleh garis lurus l dan lanjutan ruas P Q, dan garis yang lebih kecil dibentuk oleh titik singgung yang terletak di sudut tumpul, dibentuk oleh garis lurus ini. (Titik potong garis lurus l dengan lanjutan ruas P Q memberikan nilai minimum sudut j yaitu j = 0.)

Beras. 190. Dari titik l manakah ruas P Q terlihat dengan sudut terbesar?

Menggeneralisasi masalah yang dipertimbangkan, kita dapat mengganti garis lurus l dengan beberapa kurva C dan mencari titik R pada kurva C di mana segmen tertentu P Q, yang tidak memotong C, terlihat pada sudut terbesar atau terkecil. Pada soal ini, seperti pada soal sebelumnya, lingkaran yang melalui P, Q, dan R harus menyentuh kurva C di titik R.

§ 3. Titik stasioner dan kalkulus diferensial

1. Titik ekstrim dan stasioner. Pada pembahasan sebelumnya kita sama sekali tidak menggunakan metode teknis kalkulus diferensial.

Sulit untuk tidak mengakui bahwa metode dasar kita lebih sederhana dan langsung dibandingkan metode analisis. Secara umum, saat melakukan satu atau lain hal masalah ilmiah, lebih baik melanjutkan dari individunya

fitur daripada hanya mengandalkan metode umum, meskipun, di sisi lain, prinsip umum, yang memperjelas maksud dari prosedur khusus yang diterapkan, tentunya harus selalu memainkan peran utama. Inilah pentingnya metode kalkulus diferensial ketika mempertimbangkan masalah-masalah ekstrem. Diamati di ilmu pengetahuan modern keinginan untuk bersifat umum hanya mewakili satu sisi saja, karena apa yang benar-benar penting dalam matematika, tanpa diragukan lagi, ditentukan oleh karakteristik individu dari masalah yang sedang dipertimbangkan dan metode yang digunakan.

Di miliknya perkembangan sejarah kalkulus diferensial sebagian besar telah dipengaruhi oleh masalah individu yang terkait dengan pencarian bilangan terbesar dan nilai terendah jumlah Hubungan antara masalah ekstrim dan kalkulus diferensial dapat dipahami sebagai berikut. Pada Bab VIII kita akan mempelajari secara rinci turunan f0 (x) dari fungsi f(x) dan fungsi f(x). makna geometris. Di sana kita akan melihat bahwa secara singkat turunan f0 (x) adalah kemiringan garis singgung kurva y = f(x) di titik (x, y). Jelas secara geometris bahwa pada titik maksimum atau minimum kurva mulus y = f(x), garis singgung kurva harus horizontal, yaitu kemiringannya harus nol. Jadi, kita memperoleh kondisi f0 (x) = 0 untuk titik ekstrem.

Untuk memahami dengan jelas apa arti hilangnya turunan f0 (x), perhatikan kurva yang ditunjukkan pada Gambar 191. Di sini kita melihat lima titik A, B, C, D, E, yang garis singgung kurvanya horizontal; mari kita tunjukkan nilai yang sesuai f(x) pada titik-titik ini melalui a, b, c, d, e. Nilai f(x) terbesar (dalam luas yang ditunjukkan pada gambar) dicapai di titik D, nilai terkecil di titik A. Di titik B terdapat nilai maksimum - dalam artian di semua titik di lingkungan tertentu. titik B nilai f(x) lebih kecil dari b, meskipun pada titik yang dekat dengan D, nilai f(x) masih lebih besar dari b. Oleh karena itu, biasanya dikatakan bahwa di titik B terdapat maksimum relatif dari fungsi f(x), sedangkan di titik D terdapat maksimum absolut. Demikian pula di titik C terdapat minimum relatif, dan di titik A terdapat minimum absolut. Terakhir, untuk titik E, tidak ada nilai maksimum dan minimum pada titik tersebut, meskipun persamaan f0 (x) = 0 tetap berlaku di sana, sehingga penghilangan turunan f0 (x) diperlukan, namun tidak demikian kondisi cukup untuk penampilan ekstrem fungsi lancar f(x); dengan kata lain, di setiap titik yang terdapat titik ekstrem (mutlak atau relatif), persamaan f0 (x) = 0 pasti berlaku, tetapi tidak di setiap titik di mana f0 (x) = 0 pasti terdapat titik ekstrem. Titik-titik di mana turunan f0 (x) hilang, terlepas dari apakah terdapat ekstrem pada titik tersebut, disebut titik stasioner. Analisis lebih lanjut mengarah pada lebih atau kurang

§ 3 POIN STASIUN DAN KALKULUS DIFERENSIAL 371

kondisi kompleks yang berkaitan dengan turunan yang lebih tinggi dari fungsi f(x) dan sepenuhnya mengkarakterisasi titik maksimal, minimum, dan titik stasioner lainnya.

Beras. 191. Titik stasioner suatu fungsi

2. Maksimum dan minimum fungsi beberapa variabel. Poin pelana. Ada masalah ekstrim yang tidak dapat diungkapkan dengan menggunakan konsep fungsi f(x) dari satu variabel. Contoh paling sederhana yang relevan di sini adalah masalah mencari ekstrem fungsi z = f(x, y) dari dua variabel bebas.

Kita selalu dapat membayangkan fungsi f(x, y) sebagai tinggi z permukaan di atas bidang x, y, dan kita akan menafsirkan gambar ini sebagai, katakanlah, lanskap pegunungan. Maksimum dari fungsi f(x, y) sesuai dengan puncak gunung, minimum - dasar lubang atau danau. Dalam kedua kasus tersebut, kecuali permukaannya halus, bidang singgung permukaan tersebut tentu saja horizontal. Namun, selain puncak gunung dan titik terendah di dalam lubang, mungkin ada titik lain yang bidang singgungnya horizontal: ini adalah titik “pelana” yang berhubungan dengan jalur gunung. Mari kita periksa lebih cermat. Misalkan (Gbr. 192) terdapat dua puncak A dan B pada suatu pegunungan dan dua titik C dan D pada kemiringan punggung bukit yang berbeda; Mari kita asumsikan bahwa dari C kita harus menuju ke D. Mari kita perhatikan dulu jalur yang mengarah dari C ke D yang diperoleh dengan memotong permukaan dengan bidang yang melewati C dan D. Setiap jalur tersebut memiliki titik tertinggi. Ketika posisi bidang potong berubah, jalurnya juga berubah, dan jalurnya dapat ditemukan titik tertinggi akan masuk

posisi serendah mungkin. Titik tertinggi E pada rute ini adalah titik jalur pegunungan di lanskap kami; itu juga bisa disebut titik pelana. Jelas bahwa di titik E tidak ada maksimum dan minimum, karena sedekat apa pun dengan E, ada titik-titik di permukaan yang berada di atas E dan di bawah E. Dalam penalaran sebelumnya, kita tidak dapat membatasi diri. untuk hanya mempertimbangkan jalur-jalur tersebut, yang muncul ketika bidang-bidang memotong suatu permukaan, dan mempertimbangkan jalur-jalur apa pun yang menghubungkan C dan D. Karakteristik yang kami berikan pada titik E tidak akan berubah dari sini.

Dengan cara yang sama, jika kita ingin pergi dari puncak A ke puncak B, maka setiap jalur yang kita pilih pasti mempunyai titik terendah; bahkan dengan mempertimbangkan hanya bagian bidang saja, kita akan menemukan jalur AB yang mana titik terkecil akan ditempatkan di level tertinggi, dan hasilnya akan sama lagi dengan titik E. Jadi, titik sadel E ini memiliki sifat memberikan minimum tertinggi atau maksimum terendah: di sini ada "maksimum" atau "minimaksimum" - disingkat minimax. Bidang singgung di titik E adalah horizontal; memang karena E adalah titik terendah dari lintasan AB, maka garis singgung AB di E adalah horizontal, begitu pula karena E adalah titik tertinggi dari lintasan CD, maka garis singgung CD di E adalah horizontal. Oleh karena itu, bidang singgung yang melalui kedua garis singgung tersebut adalah bidang horizontal. Jadi kita menemukan tiga berbagai jenis titik-titik dengan bidang singgung horizontal: titik maksimum, titik minimum, dan terakhir, titik pelana; Oleh karena itu, ada tiga jenis nilai fungsi stasioner yang berbeda.

Cara lain untuk merepresentasikan fungsi f(x, y) secara geometris adalah dengan menggambar garis datar – garis yang sama yang digunakan dalam kartografi untuk menunjukkan ketinggian di permukaan tanah (lihat halaman 308). Garis datar adalah kurva pada bidang x, y yang sepanjang fungsi f(x, y) mempunyai nilai yang sama; dengan kata lain garis datar sama dengan kurva keluarga f(x, y) = c. Melalui biasa

Beras. 194. Staci titik-titik unary pada daerah yang terhubung ganda

§ 3 POIN STASIUN DAN KALKULUS DIFERENSIAL 373

tepat satu garis lurus melewati sebuah titik pada bidang; titik maksimum dan minimum dikelilingi jalur tertutup tingkat, dua (atau lebih) garis tingkat berpotongan di titik pelana. Pada Gambar. 193 garis level digambar sesuai dengan lanskap yang ditunjukkan pada Gambar. 192.

Dalam hal ini, sifat luar biasa dari titik pelana E menjadi sangat jelas: setiap jalur yang menghubungkan A dan B dan tidak melewati E sebagian terletak di wilayah di mana f(x, y)< f(E), тогда как путь AEB на рис. 192 имеет минимум как раз в точке E. Таким же образом мы убеждаемся, что значение f(x, y) в точке E представляет собой наименьший максимум на путях, связывающих C и D.

3. Poin minimax dan topologi. Ada hubungan yang mendalam di antara keduanya teori umum titik stasioner dan ide topologi. Dalam hal ini, kami hanya dapat memberikan indikasi singkat di sini dan membatasi diri pada satu contoh saja.

Perhatikan lanskap pegunungan di pulau B berbentuk cincin dengan dua kontur pantai C dan C0; jika kita menyatakan, seperti sebelumnya, ketinggian di atas permukaan laut dengan u = f(x, y), dan asumsikan bahwa f(x, y) = 0 pada kontur C dan C0 dan f(x, y) > 0

di dalam, maka harus ada setidaknya satu jalur gunung di pulau itu: pada Gambar. 194 lintasan tersebut terletak pada titik perpotongan dua garis datar. Validitas pernyataan tersebut menjadi jelas ketika

Haruskah kita menetapkan tugas untuk menemukan jalan seperti itu, menghubungkan

umum C dan C0, yang tidak akan naik ke ketinggian yang lebih tinggi daripada itu tidak bisa dihindari. Setiap jalur dari C ke C0 memiliki yang tertinggi

titik tertinggi, dan jika kita memilih jalur yang titik tertingginya adalah titik terendah, maka titik tertinggi yang diperoleh adalah titik pelana dari fungsi u = f(x, y). (Perlu disebutkan kasus sepele, yang merupakan pengecualian, ketika beberapa bidang horizontal menyentuh pegunungan berbentuk cincin di sepanjang kurva tertutup.) Dalam kasus wilayah yang dibatasi oleh p kurva tertutup, secara umum setidaknya harus ada p − 1 poin minimaks. Hubungan serupa, seperti yang dikemukakan oleh Marston Morse, juga terjadi pada wilayah multidimensi,

tetapi variasi kemungkinan topologi dan jenis titik stasioner dalam hal ini jauh lebih besar. Hubungan-hubungan ini menjadi dasar teori modern titik stasioner.

4. Jarak suatu titik dari permukaan. Untuk jarak titik P

dari berbagai titik Untuk kurva tertutup, (setidaknya) ada dua nilai stasioner: minimum dan maksimum. Saat berpindah ke tiga dimensi, tidak ada fakta baru yang ditemukan jika kita membatasi diri pada pertimbangan permukaan C yang secara topologi setara dengan bola (seperti ellipsoid). Namun jika permukaannya bergenus 1 atau lebih tinggi, maka situasinya berbeda. Mari kita perhatikan permukaan torus C. Apapun titik P, tentu saja selalu ada titik pada torus C yang memberikan jarak terbesar dan terkecil dari P, dan segmen yang bersesuaian tegak lurus terhadap permukaan itu sendiri. Tapi sekarang kita akan menetapkan bahwa dalam hal ini juga ada titik minimax. Mari kita bayangkan salah satu lingkaran “meridian” L pada torus (Gbr. 195) dan pada lingkaran L ini kita akan menemukan titik Q yang paling dekat dengan P. Kemudian gerakkan lingkaran L sepanjang torus, kita cari posisinya sedemikian rupa sehingga jarak P Q menjadi: a) minimal - maka kita mendapatkan titik di C yang paling dekat dengan P; b) maksimum - maka Anda mendapatkan titik minimax stasioner. Dengan cara yang sama, kita dapat mencari titik di L yang terjauh dari P, lalu mencari posisi L yang jarak terjauhnya adalah: c) maksimum (kita mendapatkan titik di C terjauh dari P) , d) minimal. Jadi kita mendapatkan empat nilai stasioner yang berbeda untuk jarak titik torus C dari titik P.

Beras. 195–196. Jarak dari titik ke permukaan

Latihan. Ulangi alasan yang sama untuk tipe L0 lainnya dari kurva tertutup di C, yang juga tidak dapat dikontrakkan ke suatu titik (Gbr. 196).

Definisi:

Ekstrim memanggil nilai maksimum atau minimum suatu fungsi pada himpunan tertentu.

Titik ekstrem adalah titik di mana nilai maksimum atau minimum dari fungsi tersebut tercapai.

Poin maksimal adalah titik di mana hal itu dicapai nilai maksimum fungsi.

Poin minimal adalah titik di mana nilai minimum fungsi tercapai.

Penjelasan.

Pada gambar, di sekitar titik x = 3, fungsi mencapai nilai maksimumnya (yaitu, di sekitar titik tersebut tidak ada titik yang lebih tinggi). Di lingkungan x = 8, ia kembali mempunyai nilai maksimum (mari kita perjelas lagi: di lingkungan inilah tidak ada titik yang lebih tinggi). Pada titik-titik ini, kenaikan memberi jalan pada penurunan. Itu adalah poin maksimalnya:

x maks = 3, x maks = 8.

Di sekitar titik x = 5, nilai minimum fungsi tercapai (yaitu, di sekitar x = 5 tidak ada titik di bawahnya). Pada titik ini penurunan memberi jalan pada peningkatan. Ini adalah poin minimum:

Poin maksimum dan minimum adalah titik ekstrem dari fungsi tersebut, dan nilai fungsi pada titik-titik tersebut adalah nya ekstrem.

Titik kritis dan stasioner dari fungsi:

Prasyarat ekstrem:

Kondisi yang cukup untuk ekstrem:

Pada suatu segmen fungsinya kamu = F(X) dapat mencapai nilai terkecil atau terbesar baik pada titik kritis maupun pada ujung segmen.

Algoritma penelitian fungsi berkelanjutan kamu = F(X) untuk monotonisitas dan ekstrem:

Poin kritis– ini adalah titik di mana turunan suatu fungsi sama dengan nol atau tidak ada. Jika turunannya sama dengan 0 maka fungsi tersebut diambil pada titik tersebut minimum atau maksimum lokal. Pada grafik pada titik-titik tersebut fungsi mempunyai asimtot horizontal, yaitu garis singgungnya sejajar dengan sumbu Ox.

Titik-titik seperti ini disebut tidak bergerak. Jika Anda melihat “punuk” atau “lubang” pada grafik fungsi kontinu, ingatlah bahwa maksimum atau minimum dicapai pada titik kritis. Mari kita ambil tugas berikut sebagai contoh.

Contoh 1. Menemukan poin kritis fungsi y=2x^3-3x^2+5 .
Larutan. Algoritma untuk mencari titik kritis adalah sebagai berikut:

Jadi fungsinya mempunyai dua titik kritis.

Selanjutnya jika ingin mempelajari suatu fungsi, maka kita tentukan tanda turunannya di kiri dan kanan titik kritisnya. Jika turunan tersebut berubah tanda dari “-” menjadi “+” ketika melewati titik kritis, maka fungsi tersebut mengambil minimum lokal. Kalau dari “+” ke “-” seharusnya maksimum lokal.

Jenis titik kritis kedua ini adalah angka nol dari penyebut fungsi pecahan dan irasional

Fungsi logaritma dan trigonometri yang tidak terdefinisi pada titik-titik tersebut


Jenis titik kritis ketiga memiliki fungsi kontinu sedikit demi sedikit dan modul.
Misalnya, fungsi modul apa pun memiliki titik henti minimum atau maksimum.

Misalnya modul y = | x -5 |
pada titik x = 5 mempunyai minimum (titik kritis).

Turunannya tidak ada di dalamnya, tetapi di kanan dan kiri masing-masing bernilai 1 dan -1.

1)
2)
3)
4)
5)

Cobalah untuk menentukan titik-titik kritis suatu fungsi
Jika jawabannya adalah y, Anda mendapatkan nilainya
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1. maka kamu sudah tahu bagaimana menemukan titik kritis

dan mampu mengatasi ujian atau tes sederhana.

Titik stasioner suatu fungsi.

Kondisi yang diperlukan untuk fungsi ekstrem lokal

Kondisi cukup pertama untuk ekstrem lokal

Kondisi cukup kedua dan ketiga untuk ekstrem lokal

Nilai terkecil dan terbesar suatu fungsi pada suatu segmen

Fungsi cembung dan titik belok 1. Titik stasioner dari fungsi tersebut. Kondisi yang diperlukan untuk fungsi ekstrem lokal
Definisi 1 .
Biarkan fungsinya didefinisikan
. Dot disebut titik stasioner dari fungsi tersebut
.

, Jika dibedakan pada suatu titik
Dan
Teorema 1 (kondisi yang diperlukan untuk fungsi ekstrem lokal)
. Biarkan fungsinya

ditentukan pada

dan tepat sasaran ekstrem lokal. Maka salah satu syarat terpenuhi:
Jadi, untuk menemukan titik-titik yang mencurigakan terhadap suatu ekstrem, perlu dicari titik-titik stasioner dari fungsi tersebut dan titik-titik yang tidak ada turunan fungsinya, tetapi termasuk dalam domain definisi fungsi tersebut.
Contoh

. Membiarkan
. Temukan poin yang mencurigakan secara ekstrem. Untuk menyelesaikan masalah ini, pertama-tama, kita mencari domain definisi fungsi:

. Sekarang mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:
Titik dimana turunannya tidak ada:
. Poin fungsi stasioner:

Sejak dan

, Dan dibedakan pada suatu titik
Dan
termasuk dalam domain definisi fungsi, maka keduanya akan mencurigakan secara ekstrem. Namun untuk menyimpulkan apakah memang akan ada titik ekstrem di sana, perlu diterapkan kondisi yang cukup untuk titik ekstrem tersebut.
2. Kondisi cukup pertama untuk ekstrem lokal Teorema 1 (kondisi cukup pertama untuk ekstrem lokal)
dan dibedakan pada interval ini di mana pun kecuali, mungkin, intinya , tapi pada saat ini
fungsi

terus menerus. Jika terdapat semi-lingkungan kanan dan kiri suatu titik
, di masing-masingnya Biarkan fungsinya didefinisikan
mempertahankan tanda tertentu, kalau begitu

1) fungsi
memiliki ekstrem lokal pada titik tersebut mengambil nilai dari tanda yang berbeda di semi-lingkungan yang sesuai;
2) fungsi

tidak mempunyai ekstrem lokal pada titik tersebut , jika ke kanan dan kiri titik
memiliki tanda yang sama.
Bukti

.

. 1) Misalkan di semi-lingkungan Teorema 1 (kondisi cukup pertama untuk ekstrem lokal)
memiliki ekstrem lokal yaitu maksimum lokal yang perlu dibuktikan.

2) Misalkan di kiri dan kanan titik turunannya tetap mempertahankan tandanya, misalnya,
. Lalu seterusnya
disebut titik stasioner dari fungsi tersebut
Teorema 1 (kondisi cukup pertama untuk ekstrem lokal)
meningkat secara monoton, yaitu:

Jadi titik ekstremnya Teorema 1 (kondisi cukup pertama untuk ekstrem lokal)
tidak punya, itulah yang perlu dibuktikan.

Catatan 1 . Jika turunannya
ketika melewati suatu titik mengubah tanda dari “+” menjadi “-”, lalu pada titik Teorema 1 (kondisi cukup pertama untuk ekstrem lokal)
mempunyai maksimum lokal, dan jika tandanya berubah dari “-” menjadi “+”, maka mempunyai minimum lokal.

Catatan 2 . Syarat penting adalah kesinambungan fungsi
pada intinya . Jika kondisi ini tidak terpenuhi, maka Teorema 1 tidak berlaku.

dan tepat sasaran . Fungsinya dipertimbangkan (Gbr. 1):

Fungsi ini didefinisikan pada dan kontinu di semua tempat kecuali suatu titik
, yang memiliki celah yang dapat dilepas. Saat melewati suatu titik

mengubah tanda dari “-” menjadi “+”, tetapi fungsi tersebut tidak memiliki minimum lokal pada saat ini, tetapi menurut definisi memiliki maksimum lokal. Memang, hampir pada intinya
adalah mungkin untuk membangun suatu lingkungan sedemikian rupa sehingga untuk semua argumen dari lingkungan ini nilai fungsinya akan lebih kecil dari nilainya
. Teorema 1 tidak berhasil karena pada intinya
fungsinya memiliki kesenjangan.

Catatan 3 . Kondisi cukup pertama untuk ekstrem lokal tidak dapat digunakan untuk turunan suatu fungsi
mengubah tandanya di setiap semi-lingkungan kiri dan kanan suatu titik .

dan tepat sasaran . Fungsi yang dipertimbangkan adalah:

Sejak
, Itu
, dan oleh karena itu
, Tetapi
. Dengan demikian:

,

itu. pada intinya
Teorema 1 (kondisi cukup pertama untuk ekstrem lokal)
memiliki minimum lokal menurut definisi. Mari kita lihat apakah kondisi cukup pertama untuk ekstrem lokal berhasil di sini.

Untuk
:

Untuk suku pertama di sisi kanan rumus yang dihasilkan, kita mempunyai:

,

dan oleh karena itu di lingkungan kecil pada intinya
tanda turunannya ditentukan oleh tanda suku kedua, yaitu:

,

yang berarti bahwa di lingkungan mana pun pada intinya

akan menerima positif dan nilai-nilai negatif. Memang benar, pertimbangkan lingkungan yang sewenang-wenang dari suatu titik
:
. Kapan

,

Itu

(Gbr. 2), dan mengubah tandanya di sini berkali-kali tanpa batas. Jadi, kondisi cukup pertama untuk ekstrem lokal tidak dapat digunakan dalam contoh yang diberikan.