Fungsi dua variabel, kalkulus diferensial dan integral. Contoh penggunaan persamaan diferensial dalam kedokteran. Leibniz dan murid-muridnya

Kalkulus baru sebagai suatu sistem diciptakan sepenuhnya oleh Newton, namun sudah lama tidak mempublikasikan penemuannya.

Tanggal resmi lahirnya kalkulus diferensial dapat dianggap Mei, ketika Leibniz menerbitkan artikel pertamanya "Metode Baru Tinggi dan Rendah...". Artikel ini, dalam bentuk yang ringkas dan tidak dapat diakses, menguraikan prinsip-prinsip metode baru yang disebut kalkulus diferensial.

Leibniz dan murid-muridnya

Definisi-definisi ini dijelaskan secara geometris, sedangkan pada Gambar. peningkatan yang sangat kecil digambarkan sebagai terbatas. Pertimbangannya didasarkan pada dua syarat (aksioma). Pertama:

Diperlukan bahwa dua besaran yang berbeda satu sama lain hanya dengan jumlah yang sangat kecil dapat diambil [ketika menyederhanakan ekspresi?] secara acuh tak acuh, yang satu dan yang lainnya.

Dari sini ternyata X + DX = X , Lebih jauh

DXkamu = (X + DX)(kamu + Dkamu) − Xkamu = XDkamu + kamuDX + DXDkamu = (X + DX)Dkamu + kamuDX = XDkamu + kamuDX

Kelanjutan setiap garis tersebut disebut garis singgung kurva. Memeriksa garis singgung yang melalui suatu titik M = (X,kamu) , L'Hopital sangat mementingkan ukuran

mencapai nilai ekstrim pada titik belok kurva, rasio Dkamu Ke DX tidak ada arti khusus yang melekat.

Penting untuk menemukan titik ekstrem. Jika, dengan peningkatan diameter yang terus menerus X ordinat kamu pertama meningkat dan kemudian menurun, lalu diferensial Dkamu positif pertama dibandingkan dengan DX, dan kemudian negatif.

Tetapi nilai apa pun yang terus meningkat atau menurun tidak dapat berubah dari positif menjadi negatif tanpa melewati tak terhingga atau nol... Oleh karena itu, selisih nilai terbesar dan terkecil harus sama dengan nol atau tak terhingga.

Rumusan ini mungkin bukannya tanpa cela, jika kita mengingat syarat pertama: katakanlah, kamu = X 2 , maka berdasarkan persyaratan pertama

2XDX + DX 2 = 2XDX ;

pada angka nol, ruas kanan bernilai nol dan ruas kiri tidak. Tampaknya memang seharusnya dikatakan demikian Dkamu dapat ditransformasikan sesuai dengan syarat pertama sehingga pada titik maksimal Dkamu= 0 . . Dalam contoh semuanya sudah cukup jelas, dan hanya dalam teori titik belok L'Hopital menulis bahwa Dkamu sama dengan nol pada titik maksimum bila dibagi DX .

Selanjutnya, dengan bantuan diferensial saja, kondisi ekstrem dirumuskan dan sejumlah besar masalah kompleks yang berkaitan terutama dengan geometri diferensial pada bidang dipertimbangkan. Di akhir buku, di bab. 10, menetapkan apa yang sekarang disebut aturan L'Hopital, meskipun dalam bentuk yang agak tidak biasa. Biarkan besarnya ordinat kamu kurva dinyatakan sebagai pecahan, pembilang dan penyebutnya hilang ketika X = A. Kemudian titik kurva dengan X = A memiliki ordinat kamu, sama dengan perbandingan selisih pembilang dengan selisih penyebut, diambil pada X = A .

Menurut rencana L'Hôpital, apa yang ditulisnya merupakan bagian pertama dari Analisis, sedangkan bagian kedua seharusnya memuat kalkulus integral, yaitu metode mencari hubungan antar variabel berdasarkan hubungan yang diketahui dari perbedaannya. Presentasi pertamanya diberikan oleh Johann Bernoulli dalam karyanya Kuliah matematika metode integral. Di sini diberikan metode untuk mengambil sebagian besar integral dasar dan metode untuk menyelesaikan banyak persamaan diferensial orde pertama juga ditunjukkan.

Euler

Perubahan yang terjadi selama setengah abad berikutnya tercermin dalam risalah ekstensif Euler. Pemaparan analisis dibuka dengan dua jilid “Pendahuluan”, yang berisi penelitian tentang berbagai representasi fungsi dasar. Istilah “fungsi” pertama kali muncul hanya di Leibniz, tetapi Euler yang mengemukakannya. Penafsiran awal konsep fungsi adalah bahwa fungsi merupakan ekspresi penghitungan (Jerman. Rechnungsausdrϋck) atau ekspresi analitis.

Fungsi besaran variabel adalah ekspresi analitis yang tersusun dari besaran variabel dan bilangan atau besaran konstan.

Menekankan bahwa “perbedaan utama antara fungsi terletak pada cara mereka tersusun dari variabel dan konstanta,” Euler membuat daftar tindakan “yang melaluinya besaran dapat digabungkan dan dicampur satu sama lain; tindakan tersebut adalah: penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, eksponensial dan ekstraksi akar; Ini juga harus mencakup solusi persamaan [aljabar]. Selain operasi-operasi ini, yang disebut operasi aljabar, masih banyak lagi operasi transendental lainnya, seperti: eksponensial, logaritmik, dan banyak lagi lainnya, yang disampaikan melalui kalkulus integral.” Interpretasi ini memungkinkan penanganan fungsi multinilai dengan mudah dan tidak memerlukan penjelasan bidang mana yang sedang dipertimbangkan fungsi tersebut: ekspresi penghitungan ditentukan untuk nilai variabel yang kompleks meskipun hal ini tidak diperlukan untuk soal di bawah pertimbangan.

Operasi dalam ekspresi hanya diperbolehkan dalam jumlah yang terbatas, dan transendental ditembus dengan bantuan jumlah yang sangat besar. Dalam ekspresi, bilangan ini digunakan bersama dengan bilangan asli. Misalnya, ekspresi eksponen seperti itu dianggap dapat diterima

di mana hanya penulis kemudian yang melihat transisi terakhir. Berbagai transformasi dilakukan dengan ekspresi analitik, yang memungkinkan Euler menemukan representasi fungsi dasar dalam bentuk deret, hasil kali tak hingga, dll. Euler mentransformasikan ekspresi untuk menghitung seperti yang dilakukan dalam aljabar, tanpa memperhatikan kemungkinan menghitung nilai suatu fungsi pada suatu titik untuk masing-masing rumus tertulis.

Tidak seperti L'Hopital, Euler meneliti secara rinci fungsi transendental dan khususnya dua kelas yang paling banyak dipelajari - eksponensial dan trigonometri. Ia menemukan bahwa semua fungsi dasar dapat dinyatakan dengan menggunakan operasi aritmatika dan dua operasi - mengambil logaritma dan eksponen.

Buktinya sendiri dengan sempurna menunjukkan teknik penggunaan yang sangat besar. Setelah mendefinisikan sinus dan kosinus menggunakan lingkaran trigonometri, Euler menurunkan rumus penjumlahan berikut:

Percaya dan z = NX , ia mendapatkan

membuang jumlah yang sangat kecil dari tingkat yang lebih tinggi. Dengan menggunakan ungkapan ini dan ungkapan serupa, Euler memperoleh rumusnya yang terkenal

Setelah menunjukkan berbagai ekspresi untuk fungsi yang sekarang disebut fungsi dasar, Euler melanjutkan dengan mempertimbangkan kurva pada bidang yang digambar dengan gerakan bebas tangan. Menurutnya, tidak mungkin menemukan ekspresi analitis tunggal untuk setiap kurva tersebut (lihat juga String Dispute). Pada abad ke-19, atas dorongan Casorati, pernyataan ini dianggap keliru: menurut teorema Weierstrass, setiap kurva kontinu dalam pengertian modern dapat dideskripsikan dengan polinomial. Faktanya, Euler hampir tidak yakin dengan hal ini, karena jalan menuju batas masih perlu ditulis ulang menggunakan simbol.

Euler memulai presentasinya tentang kalkulus diferensial dengan teori perbedaan berhingga, yang diikuti pada bab ketiga dengan penjelasan filosofis bahwa “suatu kuantitas yang sangat kecil adalah tepat nol,” yang sebagian besar tidak sesuai dengan orang-orang sezaman Euler. Kemudian terbentuklah diferensial dari beda berhingga dengan pertambahan yang sangat kecil, dan dari rumus interpolasi Newton maka terbentuklah rumus Taylor. Metode ini pada dasarnya berasal dari karya Taylor (1715). Dalam hal ini, Euler mempunyai relasi stabil, namun dianggap sebagai relasi dua sangat kecil. Bab terakhir dikhususkan untuk perkiraan perhitungan menggunakan seri.

Dalam kalkulus integral tiga jilid, Euler menafsirkan dan memperkenalkan konsep integral sebagai berikut:

Fungsi yang diferensialnya = XDX, disebut integralnya dan dilambangkan dengan tanda S, ditempatkan di depan.

Secara umum, bagian dari risalah Euler ini dikhususkan untuk masalah integrasi persamaan diferensial yang lebih umum, dari sudut pandang modern. Pada saat yang sama, Euler menemukan sejumlah integral dan persamaan diferensial yang menghasilkan fungsi baru, misalnya fungsi -, fungsi elips, dll. Bukti kuat tentang sifat non-dasarnya diberikan pada tahun 1830-an oleh Jacobi untuk elips fungsi dan oleh Liouville (lihat fungsi dasar).

tertinggal

Karya besar berikutnya yang memainkan peran penting dalam pengembangan konsep analisis adalah Teori fungsi analitik Penceritaan kembali karya Lagrange secara ekstensif oleh Lagrange dan Lacroix dengan cara yang agak eklektik.

Ingin menghilangkan bilangan yang sangat kecil sama sekali, Lagrange membalikkan hubungan antara turunan dan deret Taylor. Dengan fungsi analitik, Lagrange memahami fungsi arbitrer yang dipelajari dengan metode analitis. Dia menetapkan fungsi itu sendiri sebagai F(X), memberikan cara grafis untuk mencatat ketergantungan - sebelumnya Euler hanya menggunakan variabel saja. Untuk menerapkan metode analisis, menurut Lagrange, fungsi tersebut perlu diperluas menjadi suatu rangkaian

yang koefisiennya akan menjadi fungsi baru X. Masih harus disebutkan namanya P turunan (koefisien diferensial) dan menyatakannya sebagai F"(X) . Dengan demikian, konsep turunan diperkenalkan pada halaman kedua risalah dan tanpa bantuan bilangan yang sangat kecil. Perlu dicatat bahwa

oleh karena itu koefisien Q adalah dua kali turunan dari turunannya F(X) , itu adalah

dll.

Pendekatan interpretasi konsep turunan ini digunakan dalam aljabar modern dan menjadi dasar penciptaan teori fungsi analitik Weierstrass.

Lagrange dioperasikan dengan rangkaian formal dan memperoleh sejumlah teorema yang luar biasa. Secara khusus, untuk pertama kalinya dan cukup teliti ia membuktikan solvabilitas masalah awal persamaan diferensial biasa dalam deret pangkat formal.

Pertanyaan untuk menilai keakuratan perkiraan yang diberikan oleh jumlah parsial deret Taylor pertama kali diajukan oleh Lagrange: pada akhirnya Teori fungsi analitik dia memperoleh apa yang sekarang disebut rumus Taylor dengan suku sisa dalam bentuk Lagrange. Namun, berbeda dengan penulis modern, Lagrange tidak melihat perlunya menggunakan hasil ini untuk membenarkan konvergensi deret Taylor.

Pertanyaan apakah fungsi-fungsi yang digunakan dalam analisis benar-benar dapat diperluas menjadi suatu rangkaian kekuasaan kemudian menjadi bahan perdebatan. Tentu saja, Lagrange mengetahui bahwa pada titik tertentu fungsi dasar tidak dapat diperluas menjadi deret pangkat, namun pada titik tersebut fungsi tersebut tidak dapat terdiferensiasi dalam arti apa pun. Cauchy dalam miliknya Analisis aljabar memberikan fungsi sebagai contoh tandingan

diperpanjang oleh nol di nol. Fungsi ini mulus di mana-mana pada sumbu real dan pada titik nol ia mempunyai deret Maclaurin nol, yang oleh karena itu, tidak konvergen ke nilainya. F(X) . Terhadap contoh ini, Poisson berkeberatan karena Lagrange mendefinisikan fungsi sebagai ekspresi analitik tunggal, sedangkan dalam contoh Cauchy, fungsi didefinisikan secara berbeda pada nol dan pada . Baru pada akhir abad ke-19 Pringsheim membuktikan adanya fungsi terdiferensiasi tak terhingga, yang diberikan oleh satu ekspresi, yang membuat deret Maclaurin menyimpang. Contoh dari fungsi tersebut adalah ekspresi

Pengembangan lebih lanjut

Bibliografi

Sastra pendidikan

Buku teks standar

Selama bertahun-tahun, buku pelajaran berikut telah populer di Rusia:

Kudryavtsev, L.D. , Kursus analisis matematika (dalam tiga volume).

T. 1. Kalkulus diferensial dan integral fungsi satu variabel. T.2. Baris. Kalkulus diferensial dan integral fungsi beberapa variabel. T. 3. Analisis Harmonik. Elemen analisis fungsional. Perhatian khusus dalam buku teks diberikan pada penyajian metode kualitatif dan analitis; buku ini juga mencerminkan beberapa penerapan analisis geometris. Ditujukan bagi mahasiswa dengan spesialisasi fisika, matematika, dan teknik fisika, serta mahasiswa spesialisasi lainnya untuk pelatihan matematika yang mendalam.

berani, R. (dalam dua volume). Penemuan metodologis utama kursus ini: pertama, gagasan utama dinyatakan secara sederhana, dan kemudian gagasan tersebut diberikan bukti yang kuat. Ditulis oleh Courant ketika dia menjadi profesor di Universitas Göttingen pada tahun 1920-an di bawah pengaruh gagasan Klein, kemudian dipindahkan ke tanah Amerika pada tahun 1930-an. Terjemahan bahasa Rusia tahun 1934 dan cetakan ulangnya memberikan teks berdasarkan edisi Jerman, terjemahan tahun 1960-an (yang disebut edisi ke-4) adalah kompilasi dari buku teks versi Jerman dan Amerika dan oleh karena itu sangat bertele-tele.
Fikhtengolts, Grigory Mikhailovich. Mata kuliah kalkulus diferensial dan integral(dalam tiga volume) // Mat. analisis di EqWorld adalah tutorial yang sangat bagus, tapi agak kuno.

dan buku soal

Demidovich, B.P., Kumpulan soal dan latihan analisis matematis// Tikar. analisis di EqWorld

Ada beberapa publikasi yang mengaku sebagai AntiDemidovich:

Lyashko I.I. dkk. Panduan referensi untuk matematika yang lebih tinggi. jilid 1-5

Sebagian besar universitas memiliki panduan analisisnya sendiri:

Universitas Negeri Moskow, Mekanika dan Matematika:

Arkhipov G.I., Sadovnichy V.A., Chubarikov V.N. Kuliah tentang matematika. analisis.
Zorich V.A. Analisis matematis. Bagian I.M.: Nauka, 1981. 544 hal.
Zorich V.A. Analisis matematis. Bagian II. M.: Nauka, 1984.640 hal.

Ilyin V.A., Sadovnichy V.A., Sendov Bl. X. Analisis Matematika (dalam dua bagian)

Universitas Negeri Moskow, Fakultas Fisika:

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Dasar-dasar analisis matematika (dalam dua bagian) // http://lib.homelinux.org.
Butuzov V.F. Tikar. analisis pertanyaan dan tugas // http://lib.homelinux.org.

Universitas Negeri Bauman:

Matematika di universitas teknik Koleksi buku ajar sebanyak 21 jilid.

NSU, Mekanika dan Matematika:

Reshetnyak Yu. Kursus analisis matematika. Bagian I. Buku 1. Pengantar Analisis Matematika. Kalkulus diferensial fungsi satu variabel. Novosibirsk: Rumah Penerbitan Institut Matematika, 1999. 454 dengan ISBN 5-86134-066-8.
Reshetnyak Yu. Kursus analisis matematika. Bagian I. Buku 2. Kalkulus integral fungsi satu variabel. Kalkulus diferensial fungsi beberapa variabel. Novosibirsk: Rumah Penerbitan Institut Matematika, 1999. 512 dengan ISBN 5-86134-067-6.
Reshetnyak Yu. Kursus analisis matematika. Bagian II. Buku 1. Dasar-dasar analisis halus dalam ruang multidimensi. Teori seri. Novosibirsk: Rumah Penerbitan Institut Matematika, 2000. 440 dengan ISBN 5-86134-086-2.
Reshetnyak Yu. Kursus analisis matematika. Bagian II. Buku 2. Kalkulus Integral Fungsi Beberapa Variabel. Kalkulus integral pada manifold. Bentuk diferensial eksternal. Novosibirsk: Rumah Penerbitan Institut Matematika, 2001. 444 dengan ISBN 5-86134-089-7.
Shvedov I.A. Mata kuliah analisis matematis ringkas,: Bagian 1. Fungsi satu variabel, Bagian 2. Kalkulus diferensial fungsi beberapa variabel.

Phystech, Moskow

Kudryavtsev L. D. Kursus analisis matematika (dalam tiga volume)

Buku teks tingkat lanjut

Buku teks:

Rudin U. Dasar-dasar analisis matematika. M., 1976 - sebuah buku kecil, ditulis dengan sangat jelas dan ringkas.

Masalah dengan tingkat kesulitan yang meningkat:

G.Polia, G.Szege, Masalah dan teorema dari analisis. Bagian 1, Bagian 2, 1978. (Sebagian besar materi berkaitan dengan TFKP)
Pascal, E.(Napoli). Esercizii, 1895; Edisi ke-2, 1909 // Arsip Internet

Direktori

Karya klasik

L'Hopital. Analisis yang sangat kecil // Mat. analisis di EqWorld
Bernulli, Johann. Ini adalah Integrelrechnunug yang pertama. Leipzig-Berlin, 1914.
Euler. Pengantar Analisis, Kalkulus Diferensial, Kalkulus Integral //Mat. analisis di EqWorld (Volume kedua Pengantar Analisis disimpan karena kesalahan)
Cauchy. Ringkasan singkat pelajaran kalkulus diferensial dan integral //Mat. analisis di EqWorld
Badai. Kursus analisis. T.1,2 - Kursus klasik Sekolah Politeknik Paris tahun 1830-an.
Gursa E. Kursus matematika. analisis. T.1.1, 1.2 // Mat. analisis di EqWorld

Buku sejarah

Kestner, Abraham Gottgelf. Geschichte der Mathematik. 4 jilid, Göttingen, 1796-1800
Kantor, Moritz. Vorlesungen über geschichte der mathematik Leipzig: BG Teubner, - . Bd. 1, Bd. 2, Bd. 3, Bd. 4
Sejarah matematika diedit oleh A.P. Yushkevich (dalam tiga volume):

Markushevich A.I. Esai tentang sejarah teori fungsi analitik. 1951
Vileitner G. Sejarah matematika dari Descartes hingga pertengahan abad ke-19. 1960
Buku teks matematika Rusia pertama. analisis: M.E. Vashchenko-Zakharchenko, Analisis Aljabar atau Aljabar Tinggi. 1887

Catatan

Rabu, misalnya Cornell Un saja
Newton I. Karya matematika. M, 1937.
Leibniz //Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., vol. 220-226. Rusia. Terjemahan: Uspekhi Mat. Sains, jilid 3, v. 1 (23), hal. 166-173.
L'Hopital. Analisis Sangat Kecil. M.-L.: GTTI, 1935. (Selanjutnya: L'Hopital) // Mat. analisis di EqWorld
L'Hopital, bab. 1, def. 2.
L'Hopital, bab. 4, def. 1.
L'Hopital, bab. 1, persyaratan 1.
L'Hopital, bab. 1, persyaratan 2.
L'Hopital, bab. 2, def.
L'Hopital, § 46.
L'Hopital mengkhawatirkan hal lain: Dkamu baginya panjang segmen tersebut dan perlu dijelaskan apa artinya menjadi negatif. Pernyataan yang dibuat dalam § 8-10 bahkan dapat dipahami sebagai penurunan kamu dengan pertumbuhan X harus ditulis DXkamu = kamuDX − XDkamu , tapi ini tidak digunakan lebih lanjut.
L'Hopital, § 46.
Bernulli, Johann. Ini adalah Integrelrechnunug yang pertama. Leipzig-Berlin, 1914.

Siswa harus:

tahu:

· penentuan limit suatu fungsi pada suatu titik;

sifat-sifat limit suatu fungsi di suatu titik;

formula untuk batasan yang luar biasa;

· Penentuan kontinuitas suatu fungsi pada suatu titik,

sifat-sifat fungsi kontinu;

· pengertian turunan, arti geometri dan fisisnya; turunan tabel, aturan diferensiasi;

· aturan untuk menghitung turunan fungsi kompleks; definisi diferensial suatu fungsi, sifat-sifatnya; definisi turunan dan diferensial tingkat yang lebih tinggi; penentuan titik ekstrem suatu fungsi, fungsi cembung, titik belok, asimtot;

· definisi integral tak tentu, sifat-sifatnya, integral tabel;

· rumus integrasi menggunakan perubahan variabel dan per bagian untuk integral tak tentu;

· definisi integral tertentu, sifat-sifatnya, rumus dasar kalkulus integral - rumus Newton-Leibniz;

· rumus integrasi dengan menggunakan perubahan variabel dan per bagian untuk integral tertentu;

· pengertian geometri integral tertentu, penerapan integral tertentu.

mampu untuk:

· menghitung limit barisan dan fungsi; mengungkapkan ketidakpastian;

· menghitung turunan dari fungsi kompleks, turunan dan diferensial orde yang lebih tinggi;

· menemukan titik ekstrem dan belok fungsi;

· melakukan penelitian fungsi menggunakan turunan dan membuat grafiknya.

· menghitung integral tak tentu dan integral tertentu dengan metode perubahan variabel dan per bagian;

· mengintegrasikan fungsi rasional, irasional dan beberapa fungsi trigonometri, menerapkan substitusi universal; menerapkan integral tertentu untuk mencari luas bangun datar.

Batas fungsi. Sifat-sifat limit suatu fungsi. Batasan sepihak. Limit jumlah, hasil kali, dan hasil bagi dua fungsi. Fungsi berkelanjutan, propertinya. Kontinuitas fungsi dasar dan kompleks. Batasan yang luar biasa.

Penentuan turunan suatu fungsi. Turunan dari fungsi dasar dasar. Diferensiabilitas suatu fungsi. Diferensial fungsi. Turunan dari fungsi kompleks. Aturan diferensiasi: turunan dari jumlah, hasil kali, dan hasil bagi. Derivatif dan diferensial dari orde yang lebih tinggi. Mengungkap ketidakpastian. Fungsi naik dan turun, syarat naik dan turun. Fungsi ekstrem, kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem. Menemukan ekstrem menggunakan turunan pertama. Fungsi cembung. Titik belok. Asimtot. Studi fungsi penuh.

Integral tak tentu, sifat-sifatnya. Tabel integral dasar. Metode penggantian variabel. Integrasi berdasarkan bagian. Integrasi fungsi rasional. Integrasi beberapa fungsi irasional. Substitusi universal.

Integral pasti, sifat-sifatnya. Rumus dasar kalkulus integral. Integrasi dengan perubahan variabel dan bagian-bagian dalam integral tertentu. Penerapan integral tertentu.

Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang analisis matematis yang mempelajari turunan, diferensial, dan kegunaannya dalam mempelajari fungsi.

Sejarah penampilan

Kalkulus diferensial menjadi disiplin ilmu yang berdiri sendiri pada paruh kedua abad ke-17, berkat karya Newton dan Leibniz, yang merumuskan prinsip-prinsip utama dalam kalkulus diferensial dan memperhatikan hubungan antara integrasi dan diferensiasi. Sejak saat itu, disiplin ilmu tersebut berkembang seiring dengan kalkulus integral, sehingga menjadi dasar analisis matematis. Kemunculan kalkuli tersebut membuka era modern baru dalam dunia matematika dan menyebabkan munculnya disiplin ilmu baru. Hal ini juga memperluas kemungkinan penerapan ilmu matematika dalam sains dan teknologi.

Konsep dasar

Kalkulus diferensial didasarkan pada konsep dasar matematika. Yaitu: kontinuitas, fungsi dan limit. Seiring waktu, mereka mengambil bentuk modernnya, berkat kalkulus integral dan diferensial.

Proses penciptaan

Terbentuknya kalkulus diferensial dalam bentuk metode terapan dan kemudian ilmiah terjadi sebelum munculnya teori filsafat yang diciptakan oleh Nikolai Kuzansky. Karya-karyanya dianggap sebagai perkembangan evolusioner dari penilaian ilmu pengetahuan kuno. Terlepas dari kenyataan bahwa sang filsuf sendiri bukanlah seorang ahli matematika, kontribusinya terhadap perkembangan ilmu matematika tidak dapat disangkal. Kuzansky adalah salah satu orang pertama yang meninggalkan pertimbangan aritmatika sebagai bidang ilmu yang paling tepat, sehingga menimbulkan keraguan terhadap matematika pada masa itu.

Para ahli matematika kuno mempunyai kriteria kesatuan yang universal, sementara sang filsuf mengusulkan ketidakterbatasan sebagai ukuran baru, bukan angka pasti. Dalam hal ini, representasi akurasi dalam ilmu matematika adalah terbalik. Pengetahuan ilmiah, menurutnya, terbagi menjadi rasional dan intelektual. Yang kedua lebih akurat, menurut ilmuwan, karena yang pertama hanya memberikan hasil perkiraan.

Ide

Ide dan konsep dasar dalam kalkulus diferensial berkaitan dengan fungsi pada lingkungan kecil pada titik-titik tertentu. Untuk melakukan hal ini, perlu dibuat peralatan matematika untuk mempelajari suatu fungsi yang perilakunya di lingkungan kecil titik-titik tertentu mendekati perilaku fungsi polinomial atau linier. Hal ini didasarkan pada pengertian turunan dan diferensial.

Kemunculannya tersebut disebabkan oleh banyaknya permasalahan dari ilmu alam dan matematika yang berujung pada ditemukannya nilai-nilai limit yang sejenis.

Salah satu tugas utama yang diberikan sebagai contoh, mulai dari sekolah menengah, adalah menentukan kecepatan suatu titik yang bergerak sepanjang garis lurus dan membuat garis singgung kurva tersebut. Diferensial terkait dengan hal ini karena fungsi dapat didekati di lingkungan kecil dari titik fungsi linier yang bersangkutan.

Dibandingkan dengan konsep turunan suatu fungsi variabel nyata, definisi diferensial hanya beralih ke fungsi yang bersifat umum, khususnya gambaran ruang Euclidean ke ruang Euclidean lainnya.

Turunan

Misalkan titik tersebut bergerak searah dengan sumbu Oy; misalkan x sebagai waktu, yang dihitung dari titik awal tertentu. Pergerakan tersebut dapat dijelaskan dengan menggunakan fungsi y=f(x), yang ditetapkan pada setiap momen waktu x dari koordinat titik yang dipindahkan. Dalam mekanika fungsi ini disebut hukum gerak. Ciri utama gerak, khususnya gerak tidak beraturan, adalah Ketika suatu titik bergerak sepanjang sumbu Oy menurut hukum mekanika, maka pada momen waktu acak x memperoleh koordinat f(x). Pada saat waktu x + Δx, dimana Δx menyatakan pertambahan waktu, koordinatnya adalah f(x + Δx). Beginilah rumus Δy = f(x + Δx) - f(x) terbentuk, yang disebut pertambahan fungsi. Ini mewakili jalur yang dilalui suatu titik waktu dari x ke x + Δx.

Sehubungan dengan terjadinya kecepatan ini pada momen waktu, diperkenalkan turunan. Dalam fungsi sembarang, turunan pada suatu titik tetap disebut limit (asalkan ada). Itu dapat ditunjukkan dengan simbol-simbol tertentu:

f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Proses menghitung turunannya disebut diferensiasi.

Kalkulus diferensial suatu fungsi beberapa variabel

Metode kalkulus ini digunakan ketika mempelajari suatu fungsi dengan beberapa variabel. Diberikan dua variabel x dan y, turunan parsial terhadap x di titik A disebut turunan fungsi ini terhadap x dengan y tetap.

Dapat ditunjukkan dengan simbol berikut:

f’(x)(x,y), u’(x), ∂u/∂x atau ∂f(x,y)’/∂x.

Keterampilan yang Diperlukan

Untuk berhasil belajar dan mampu menyelesaikan difusi, diperlukan keterampilan dalam integrasi dan diferensiasi. Agar lebih mudah dalam memahami persamaan diferensial, sebaiknya Anda sudah memahami topik turunan dengan baik dan juga tidak ada salahnya mempelajari cara mencari turunan dari suatu fungsi yang diberikan secara implisit. Hal ini disebabkan karena dalam proses pembelajaran sering kali harus menggunakan integral dan diferensiasi.

Jenis persamaan diferensial

Hampir pada semua pengujian yang berkaitan dengan persamaan, terdapat 3 jenis persamaan: homogen, dengan variabel yang dapat dipisahkan, linier tidak homogen.

Ada juga jenis persamaan yang lebih jarang: dengan diferensial penuh, persamaan Bernoulli dan lain-lain.

Dasar-dasar Solusi

Pertama, Anda harus mengingat persamaan aljabar dari kursus sekolah. Mereka berisi variabel dan angka. Untuk menyelesaikan persamaan biasa, Anda perlu mencari sekumpulan bilangan yang memenuhi kondisi tertentu. Biasanya, persamaan tersebut hanya memiliki satu akar, dan untuk memeriksa kebenarannya, hanya perlu mengganti nilai ini dengan nilai yang tidak diketahui.

Persamaan diferensial serupa dengan ini. Secara umum persamaan orde pertama tersebut meliputi:

Variabel bebas.
Turunan dari fungsi pertama.
Fungsi atau variabel terikat.

Dalam beberapa kasus, salah satu yang tidak diketahui, x atau y, mungkin hilang, tapi ini tidak begitu penting, karena keberadaan turunan pertama, tanpa turunan orde tinggi, diperlukan agar solusi dan kalkulus diferensial menjadi benar.

Menyelesaikan persamaan diferensial berarti mencari himpunan semua fungsi yang sesuai dengan ekspresi tertentu. Himpunan fungsi seperti ini sering disebut solusi umum DE.

Kalkulus integral

Kalkulus integral merupakan salah satu cabang analisis matematika yang mempelajari konsep integral, sifat-sifat dan cara perhitungannya.

Seringkali perhitungan integral terjadi ketika menghitung luas bangun lengkung. Luas ini berarti batas dimana luas poligon pada suatu gambar cenderung meningkat secara bertahap pada sisi-sisinya, sedangkan sisi-sisi ini dapat dibuat lebih kecil dari nilai kecil sembarang yang ditentukan sebelumnya.

Ide pokok dalam menghitung luas bangun geometri sembarang adalah menghitung luas persegi panjang, yaitu membuktikan luasnya sama dengan hasil kali panjang dan lebar. Kalau bicara geometri, semua konstruksi dibuat dengan menggunakan penggaris dan kompas, dan perbandingan panjang dan lebar adalah nilai rasional. Saat menghitung luas segitiga siku-siku, Anda dapat menentukan bahwa jika Anda meletakkan segitiga yang sama berdampingan, maka akan terbentuk persegi panjang. Dalam jajar genjang, luas dihitung menggunakan metode serupa, namun sedikit lebih rumit, yaitu menggunakan persegi panjang dan segitiga. Dalam poligon, luas dihitung melalui segitiga-segitiga yang termasuk di dalamnya.

Saat menentukan luas kurva sembarang, metode ini tidak akan berhasil. Jika Anda membaginya menjadi satuan persegi, maka akan ada ruang yang tidak terisi. Dalam hal ini mereka mencoba menggunakan dua cakupan, dengan persegi panjang di atas dan bawah, akibatnya mereka menyertakan grafik fungsi dan tidak. Yang penting di sini adalah metode pembagian menjadi persegi panjang tersebut. Selain itu, jika kita mengambil pembagian yang semakin kecil, maka luas di atas dan di bawah harus bertemu pada nilai tertentu.

Anda harus kembali ke metode membagi menjadi persegi panjang. Ada dua metode yang populer.

Riemann meresmikan definisi integral yang diciptakan oleh Leibniz dan Newton sebagai luas subgraf. Dalam hal ini, kami mempertimbangkan gambar yang terdiri dari sejumlah persegi panjang vertikal tertentu dan diperoleh dengan membagi suatu segmen. Ketika, dengan berkurangnya partisi, ada batas pengurangan luas bangun serupa, batas ini disebut integral Riemann dari suatu fungsi pada segmen tertentu.

Metode kedua adalah konstruksi integral Lebesgue, yang terdiri dari membagi domain tertentu menjadi bagian-bagian integral dan kemudian menyusun jumlah integral dari nilai-nilai yang diperoleh di bagian-bagian tersebut, membagi rentang nilainya menjadi interval, dan kemudian menjumlahkannya dengan ukuran yang sesuai dari gambar kebalikan dari integral tersebut.

Manfaat masa kini

Salah satu manual utama untuk mempelajari kalkulus diferensial dan integral ditulis oleh Fichtenholtz - “Kursus Kalkulus Diferensial dan Integral”. Buku teksnya merupakan panduan mendasar untuk mempelajari analisis matematika, yang telah melalui banyak edisi dan terjemahan ke dalam bahasa lain. Dibuat untuk mahasiswa dan telah digunakan sejak lama di banyak institusi pendidikan sebagai salah satu alat bantu belajar utama. Memberikan data teoritis dan keterampilan praktis. Pertama kali diterbitkan pada tahun 1948.

Algoritma Penelitian Fungsi

Untuk mempelajari suatu fungsi menggunakan metode kalkulus diferensial, Anda harus mengikuti algoritma yang sudah ditentukan:

Temukan domain definisi fungsi.
Temukan akar persamaan yang diberikan.
Hitung ekstrem. Untuk melakukan ini, Anda perlu menghitung turunan dan titik-titik yang sama dengan nol.
Kami mengganti nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan.

Jenis persamaan diferensial

DE orde pertama (jika tidak, kalkulus diferensial satu variabel) dan jenisnya:

Persamaan yang dapat dipisahkan: f(y)dy=g(x)dx.
Persamaan paling sederhana, atau kalkulus diferensial suatu fungsi satu variabel, memiliki rumus: y"=f(x).
DE tak homogen linier orde pertama: y"+P(x)y=Q(x).
Persamaan diferensial Bernoulli: y"+P(x)y=Q(x)y a.
Persamaan selisih total: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Persamaan diferensial orde dua dan jenisnya:

Persamaan diferensial homogen linier orde kedua dengan nilai koefisien konstan: yn +py"+qy=0 p, q milik R.
Persamaan diferensial linier tak homogen orde kedua dengan koefisien konstan: y n +py"+qy=f(x).
Persamaan diferensial homogen linier: y n +p(x)y"+q(x)y=0, dan persamaan orde dua tak homogen: y n +p(x)y"+q(x)y=f(x).

Persamaan diferensial orde tinggi dan jenisnya:

Persamaan diferensial yang memungkinkan pengurangan orde: F(x,y (k) ,y (k+1) ,..,y (n) =0.
Persamaan linier orde tinggi adalah homogen: kamu (n) +f (n-1) kamu (n-1) +...+f 1 kamu"+f 0 kamu=0, dan tidak homogen: kamu (n) +f (n-1) kamu (n-1) +...+f 1 kamu"+f 0 kamu=f(x).

Tahapan penyelesaian masalah dengan persamaan diferensial

Dengan bantuan remote control, tidak hanya soal-soal matematika atau fisika yang diselesaikan, tetapi juga berbagai soal dari biologi, ekonomi, sosiologi dan lain-lain. Terlepas dari beragamnya topik, seseorang harus mematuhi satu urutan logis ketika memecahkan masalah seperti:

Menyusun DU. Salah satu tahapan tersulit, yang membutuhkan ketelitian maksimal, karena kesalahan apa pun akan menghasilkan hasil yang sepenuhnya salah. Semua faktor yang mempengaruhi proses harus diperhitungkan dan kondisi awal harus ditentukan. Anda juga harus berdasarkan fakta dan kesimpulan logis.
Solusi dari persamaan yang dikompilasi. Proses ini lebih sederhana dibandingkan poin pertama, karena hanya memerlukan perhitungan matematis yang ketat.
Analisis dan evaluasi hasil yang diperoleh. Solusi yang dihasilkan harus dievaluasi untuk menetapkan nilai praktis dan teoritis dari hasilnya.

Contoh penggunaan persamaan diferensial dalam kedokteran

Penggunaan DE dalam bidang kedokteran terjadi ketika membangun model matematika epidemiologi. Pada saat yang sama, kita tidak boleh lupa bahwa persamaan ini juga ditemukan dalam biologi dan kimia, yang dekat dengan kedokteran, karena studi tentang berbagai populasi biologis dan proses kimia dalam tubuh manusia memainkan peran penting di dalamnya.

Dalam contoh epidemi di atas, kita dapat melihat penyebaran infeksi di masyarakat yang terisolasi. Penghuninya terbagi menjadi tiga jenis:

Terinfeksi, nomor x(t), terdiri dari individu pembawa infeksi yang masing-masing menular (masa inkubasinya singkat).
Tipe kedua mencakup individu rentan y(t), yang mampu tertular melalui kontak dengan individu yang terinfeksi.
Tipe ketiga mencakup individu yang tidak rentan z(t), yaitu kebal atau meninggal karena penyakit.

Jumlah individu adalah konstan; kelahiran, kematian alami dan migrasi tidak diperhitungkan. Akan ada dua hipotesis yang mendasarinya.

Persentase kesakitan pada suatu titik waktu tertentu sama dengan x(t)y(t) (asumsi didasarkan pada teori bahwa jumlah orang sakit sebanding dengan jumlah persimpangan antara perwakilan yang sakit dan rentan, yang dalam suatu perkiraan pertama akan sebanding dengan x(t)y(t)), sehingga jumlah orang sakit bertambah, dan jumlah orang rentan berkurang dengan laju yang dihitung dengan rumus ax(t)y(t) (sebuah > 0).

Jumlah individu yang kebal yang memperoleh kekebalan atau meninggal meningkat dengan laju yang sebanding dengan jumlah kasus, bx(t) (b > 0).

Hasilnya, Anda dapat membuat sistem persamaan dengan mempertimbangkan ketiga indikator dan menarik kesimpulan berdasarkan hal tersebut.

Contoh penggunaan dalam bidang ekonomi

Kalkulus diferensial sering digunakan dalam analisis ekonomi. Tugas utama dalam analisis ekonomi adalah mempelajari besaran-besaran dari ilmu ekonomi yang ditulis dalam bentuk fungsi. Ini digunakan ketika memecahkan masalah seperti perubahan pendapatan segera setelah kenaikan pajak, pengenalan bea, perubahan pendapatan perusahaan ketika harga pokok produk berubah, berapa proporsi yang memungkinkan untuk mengganti karyawan yang pensiun dengan peralatan baru. Untuk menyelesaikan pertanyaan tersebut, perlu dibangun fungsi link dari variabel masukan, yang kemudian dipelajari dengan menggunakan kalkulus diferensial.

Dalam bidang ekonomi, seringkali perlu dicari indikator yang paling optimal: produktivitas tenaga kerja maksimum, pendapatan tertinggi, biaya terendah, dll. Setiap indikator tersebut merupakan fungsi dari satu atau lebih argumen. Misalnya, produksi dapat dianggap sebagai fungsi input tenaga kerja dan modal. Dalam hal ini, mencari nilai yang sesuai dapat direduksi menjadi mencari maksimum atau minimum suatu fungsi dari satu atau lebih variabel.

Permasalahan semacam ini menimbulkan golongan permasalahan ekstrim dalam bidang ekonomi yang penyelesaiannya memerlukan kalkulus diferensial. Ketika suatu indikator ekonomi perlu diminimalkan atau dimaksimalkan sebagai fungsi dari indikator lain, maka pada titik maksimum rasio kenaikan fungsi terhadap argumen akan cenderung nol jika kenaikan argumen cenderung nol. Sebaliknya, bila rasio tersebut cenderung ke nilai positif atau negatif, titik yang ditunjukkan tidak sesuai, karena dengan menambah atau mengurangi argumen, nilai dependen dapat diubah ke arah yang diinginkan. Dalam terminologi kalkulus diferensial, hal ini berarti bahwa syarat maksimum suatu fungsi adalah nilai nol dari turunannya.

Dalam ilmu ekonomi, seringkali terdapat kendala dalam mencari titik ekstrem suatu fungsi dengan beberapa variabel, karena indikator ekonomi terdiri dari banyak faktor. Pertanyaan serupa dipelajari dengan baik dalam teori fungsi beberapa variabel, dengan menggunakan metode perhitungan diferensial. Permasalahan tersebut tidak hanya mencakup fungsi yang harus dimaksimalkan dan diminimalkan, namun juga pembatasan. Pertanyaan serupa berkaitan dengan pemrograman matematika, dan diselesaikan dengan menggunakan metode yang dikembangkan secara khusus, juga berdasarkan cabang ilmu ini.

Di antara metode kalkulus diferensial yang digunakan dalam ilmu ekonomi, bagian yang penting adalah analisis batas. Dalam bidang ekonomi, istilah ini mengacu pada seperangkat teknik untuk mempelajari indikator variabel dan hasil ketika volume penciptaan dan konsumsi berubah, berdasarkan analisis indikator pembatasnya. Indikator pembatasnya adalah turunan atau turunan parsial dengan beberapa variabel.

Kalkulus diferensial beberapa variabel merupakan topik penting dalam bidang analisis matematika. Untuk studi mendetail, Anda dapat menggunakan berbagai buku teks untuk institusi pendidikan tinggi. Salah satu yang paling terkenal diciptakan oleh Fichtenholtz - “Kursus Kalkulus Diferensial dan Integral”. Seperti namanya, keterampilan dalam bekerja dengan integral sangat penting untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Ketika kalkulus diferensial suatu fungsi dari satu variabel terjadi, penyelesaiannya menjadi lebih sederhana. Meski perlu dicatat, hal itu tunduk pada aturan dasar yang sama. Untuk mempelajari suatu fungsi dalam kalkulus diferensial dalam praktiknya, cukup mengikuti algoritma yang sudah ada, yang diberikan di sekolah menengah dan hanya sedikit rumit ketika variabel baru diperkenalkan.

Sebuah lingkaran muncul, perwakilan yang paling menonjol adalah Bernoulli bersaudara (Jacob dan Johann) dan L'Hopital. Dengan menggunakan ceramah I. Bernoulli, L'Hopital menulis buku teks pertama, memaparkan metode baru yang diterapkan pada teori kurva bidang. Dia meneleponnya Analisis Sangat Kecil, sehingga memberi salah satu nama pada cabang matematika baru. Penyajiannya didasarkan pada konsep besaran variabel, yang di antaranya terdapat hubungan tertentu, yang menyebabkan perubahan pada suatu besaran menyebabkan perubahan pada besaran lainnya. L'Hopital memberikan hubungan ini menggunakan kurva bidang: if M (\gaya tampilan M) adalah titik bergerak suatu kurva bidang, maka koordinat kartesiusnya x (\gaya tampilan x) Dan y (\gaya tampilan y), disebut absis dan ordinat kurva, adalah variabel, dan perubahan x (\gaya tampilan x) memerlukan perubahan y (\gaya tampilan y). Konsep fungsi tidak ada: ingin mengatakan bahwa ketergantungan variabel diberikan, L'Hopital mengatakan bahwa “sifat kurva diketahui”. Konsep diferensial diperkenalkan sebagai berikut:

Bagian yang sangat kecil di mana suatu besaran variabel terus bertambah atau berkurang disebut diferensial... Untuk menyatakan diferensial suatu besaran variabel, yang dinyatakan dengan satu huruf, kita akan menggunakan tanda atau simbol d (\gaya tampilan d). ... Bagian yang sangat kecil di mana diferensial suatu nilai variabel terus bertambah atau berkurang disebut ... diferensial kedua.

Definisi-definisi ini dijelaskan secara geometris, sedangkan pada Gambar. peningkatan yang sangat kecil digambarkan sebagai terbatas. Pertimbangannya didasarkan pada dua syarat (aksioma). Pertama:

Diperlukan bahwa dua besaran yang berbeda satu sama lain hanya dengan jumlah yang sangat kecil dapat diambil [ketika menyederhanakan ekspresi?] secara acuh tak acuh, yang satu dan yang lainnya.

Dari sini ternyata x + d x = x (\gaya tampilan x+dx=x), Lebih jauh

D x y = (x + d x) (y + d y) − x y = x d y + y d x + d x d y = (x + d x) d y + y d x = x d y + y d x (\displaystyle dxy=(x+dx)(y+dy)- xy=xdy+ydx+dxdy=(x+dx)dy+ydx=xdy+ydx)

Persyaratan kedua menyatakan:

Garis lengkung harus dianggap sebagai kumpulan garis lurus yang jumlahnya tak terhingga.

Kelanjutan setiap garis tersebut disebut garis singgung kurva. Memeriksa garis singgung yang melalui suatu titik M = (x , y) (\displaystyle M=(x,y)), L'Hopital sangat mementingkan ukuran

y d x d y − x (\displaystyle y(\frac (dx)(dy))-x),

mencapai nilai ekstrim pada titik belok kurva, rasio d y (\gaya tampilan dy) Ke dx (\gaya tampilan dx) tidak ada arti khusus yang melekat.

Penting untuk menemukan titik ekstrem. Jika, dengan peningkatan terus menerus pada absis x (\gaya tampilan x) ordinat y (\gaya tampilan y) pertama meningkat dan kemudian menurun, lalu diferensial d y (\gaya tampilan dy) positif pertama dibandingkan dengan dx (\gaya tampilan dx), dan kemudian negatif.

Tetapi nilai apa pun yang terus meningkat atau menurun tidak dapat berubah dari positif menjadi negatif tanpa melewati tak terhingga atau nol... Oleh karena itu, selisih nilai terbesar dan terkecil harus sama dengan nol atau tak terhingga.

Rumusan ini mungkin mempunyai kelemahan, jika kita mengingat syarat pertama: katakanlah, y = x 2 (\gaya tampilan y=x^(2)), maka berdasarkan persyaratan pertama

2 x d x + d x 2 = 2 x d x (\displaystyle 2xdx+dx^(2)=2xdx);

pada angka nol, ruas kanan bernilai nol dan ruas kiri tidak. Tampaknya memang seharusnya dikatakan demikian d y (\gaya tampilan dy) dapat ditransformasikan sesuai dengan syarat pertama sehingga pada titik maksimal d y = 0 (\gaya tampilan dy=0). . Dalam contoh semuanya sudah cukup jelas, dan hanya dalam teori titik belok L'Hopital menulis bahwa d y (\gaya tampilan dy) sama dengan nol pada titik maksimum bila dibagi dx (\gaya tampilan dx) .

Selanjutnya, dengan bantuan diferensial saja, kondisi ekstrem dirumuskan dan sejumlah besar masalah kompleks yang berkaitan terutama dengan geometri diferensial pada bidang dipertimbangkan. Di akhir buku, di bab. 10, menetapkan apa yang sekarang disebut aturan L'Hopital, meskipun dalam bentuk yang tidak biasa. Biarkan besarnya ordinat y (\gaya tampilan y) kurva dinyatakan sebagai pecahan yang pembilang dan penyebutnya hilang pada . Kemudian titik kurva dengan x = a (\gaya tampilan x=a) memiliki ordinat y (\gaya tampilan y), sama dengan perbandingan selisih pembilang dengan selisih penyebut, diambil pada x = a (\gaya tampilan x=a).

Menunjukkan kegunaan praktis dan kesederhanaan metode baru ini, Leibniz menulis:

Apa yang dapat diperoleh seseorang yang ahli dalam kalkulus ini secara langsung dalam tiga jalur, terpaksa dicari oleh orang terpelajar lainnya dengan mengikuti jalan memutar yang rumit.

Euler

Leonard Euler

Perubahan yang terjadi selama setengah abad berikutnya tercermin dalam risalah ekstensif Euler. Pemaparan analisis dibuka dengan dua jilid “Pendahuluan”, yang berisi penelitian tentang berbagai representasi fungsi dasar. Istilah “fungsi” pertama kali muncul hanya di Leibniz, tetapi Euler yang mengemukakannya. Penafsiran asli konsep fungsi adalah bahwa fungsi merupakan ekspresi penghitungan (Jerman: Rechnungsausdrϋck) atau ekspresi analitis.

Fungsi besaran variabel adalah ekspresi analitis yang tersusun dari besaran variabel dan bilangan atau besaran konstan.

Menekankan bahwa “perbedaan utama antara fungsi terletak pada cara mereka tersusun dari variabel dan konstanta,” Euler membuat daftar tindakan “yang melaluinya besaran dapat digabungkan dan dicampur satu sama lain; tindakan tersebut adalah: penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, eksponensial dan ekstraksi akar; Ini juga harus mencakup solusi persamaan [aljabar]. Selain operasi-operasi ini, yang disebut operasi aljabar, ada banyak operasi transendental lainnya, seperti operasi eksponensial, logaritmik, dan banyak operasi lain yang disediakan oleh kalkulus integral.” Interpretasi ini memungkinkan penanganan fungsi multinilai dengan mudah dan tidak memerlukan penjelasan bidang mana yang sedang dipertimbangkan fungsi tersebut: ekspresi penghitungan ditentukan untuk nilai variabel yang kompleks meskipun hal ini tidak diperlukan untuk soal di bawah pertimbangan.

Operasi dalam ekspresi hanya diperbolehkan dalam jumlah yang terbatas, dan transendental ditembus dengan bantuan jumlah yang sangat besar. ∞ (\displaystyle \infty ). Dalam ekspresi, bilangan ini digunakan bersama dengan bilangan asli. Misalnya, ekspresi eksponen seperti itu dianggap dapat diterima

e x = (1 + x ∞) ∞ (\displaystyle e^(x)=\left(1+(\frac (x)(\infty ))\right)^(\infty )),

(cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x) (cos ⁡ y + − 1 sin ⁡ y) = cos ⁡ (x + y) + − 1 sin ⁡ (x + y) , (\displaystyle (\cos x+(\ persegi (-1))\sin x)(\cos y+(\sqrt (-1))\sin y)=\cos ((x+y))+(\sqrt (-1))\sin ((x +y)),) 2 cos ⁡ n x = (cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x) n + (cos ⁡ x − − 1 sin ⁡ x) n (\displaystyle 2\cos nx=(\cos x+(\sqrt (-1)) \sin x)^(n)+(\cos x-(\sqrt (-1))\sin x)^(n))

Percaya n = ∞ (\displaystyle n=\infty ) Dan z = n x (\gaya tampilan z=nx), ia mendapatkan

2 cos ⁡ z = (1 + − 1 z ∞) ∞ + (1 − − 1 z ∞) ∞ = e − 1 z + e − − 1 z (\displaystyle 2\cos z=\left(1+(\ frac ((\sqrt (-1))z)(\infty ))\right)^(\infty )+\left(1-(\frac ((\sqrt (-1))z)(\infty )) \kanan)^(\infty )=e^((\sqrt (-1))z)+e^(-(\sqrt (-1))z)),

membuang jumlah yang sangat kecil dari tingkat yang lebih tinggi. Dengan menggunakan ungkapan ini dan ungkapan serupa, Euler memperoleh rumusnya yang terkenal

e − 1 x = cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x (\displaystyle e^((\sqrt (-1))x)=\cos (x)+(\sqrt (-1))\sin (x) ).

Setelah menunjukkan berbagai ekspresi untuk fungsi yang sekarang disebut fungsi dasar, Euler melanjutkan dengan mempertimbangkan kurva pada bidang yang digambar dengan gerakan bebas tangan. Menurutnya, tidak mungkin menemukan ekspresi analitis tunggal untuk setiap kurva tersebut (lihat juga String Dispute). Pada abad ke-19, atas dorongan Casorati, pernyataan ini dianggap keliru: menurut teorema Weierstrass, setiap kurva kontinu dalam pengertian modern dapat dideskripsikan dengan polinomial. Faktanya, Euler hampir tidak yakin dengan hal ini, karena dia masih perlu menulis ulang bagian tersebut hingga batasnya menggunakan simbol ∞ (\displaystyle \infty ).

Euler memulai presentasinya tentang kalkulus diferensial dengan teori perbedaan berhingga, yang diikuti pada bab ketiga dengan penjelasan filosofis bahwa “suatu kuantitas yang sangat kecil adalah tepat nol,” yang sebagian besar tidak sesuai dengan orang-orang sezaman Euler. Kemudian, diferensial dibentuk dari selisih hingga dengan pertambahan yang sangat kecil, dan rumus Taylor dibentuk dari rumus interpolasi Newton. Metode ini pada dasarnya berasal dari karya Taylor (1715). Pada saat yang sama, Euler memiliki hubungan yang stabil d k y d x k (\displaystyle (\frac (d^(k)y)(dx^(k)))), yang, bagaimanapun, dianggap sebagai rasio dua sangat kecil. Bab terakhir dikhususkan untuk perkiraan perhitungan menggunakan seri.

Dalam kalkulus integral tiga volume, Euler memperkenalkan konsep integral sebagai berikut:

Fungsi itu yang diferensialnya = X d x (\gaya tampilan =Xdx), disebut integralnya dan dilambangkan dengan tanda S (\gaya tampilan S), ditempatkan di depan.

Secara umum, bagian dari risalah Euler ini dikhususkan untuk masalah integrasi persamaan diferensial yang lebih umum, dari sudut pandang modern. Pada saat yang sama, Euler menemukan serangkaian integral dan persamaan diferensial yang menghasilkan fungsi baru, misalnya, Γ (\displaystyle \Gamma )-fungsi, fungsi elips, dll. Bukti kuat tentang sifat non-dasarnya diberikan pada tahun 1830-an oleh Jacobi untuk fungsi elips dan oleh Liouville (lihat fungsi dasar).

tertinggal

Ingin menghilangkan bilangan yang sangat kecil sama sekali, Lagrange membalikkan hubungan antara turunan dan deret Taylor. Dengan fungsi analitik, Lagrange memahami fungsi arbitrer yang dipelajari dengan metode analitis. Dia menetapkan fungsi itu sendiri sebagai , memberikan cara grafis untuk menulis ketergantungan - sebelumnya Euler hanya menggunakan variabel saja. Untuk menerapkan metode analisis, menurut Lagrange, fungsi tersebut perlu diperluas menjadi suatu rangkaian

f (x + h) = f (x) + p h + q h 2 + … (\displaystyle f(x+h)=f(x)+ph+qh^(2)+\dots ),

yang koefisiennya akan menjadi fungsi baru x (\gaya tampilan x). Masih harus disebutkan namanya p (\gaya tampilan p) turunan (koefisien diferensial) dan menyatakannya sebagai f ′ (x) (\gaya tampilan f"(x)). Dengan demikian, konsep turunan diperkenalkan pada halaman kedua risalah dan tanpa bantuan bilangan yang sangat kecil. Perlu dicatat bahwa

f ′ (x + h) = p + 2 q h + … (\displaystyle f"(x+h)=p+2qh+\dots ),

oleh karena itu koefisien q (\gaya tampilan q) adalah dua kali turunan dari turunannya f (x) (\gaya tampilan f(x)), itu adalah

q = 1 2 ! f ″ (x) (\displaystyle q=(\frac (1)(2}f""(x)} !} dll.

Pendekatan interpretasi konsep turunan ini digunakan dalam aljabar modern dan menjadi dasar penciptaan teori fungsi analitik Weierstrass.

f (x) = e − 1 / x 2 , (\displaystyle f(x)=e^(-1/x^(2)),)

diperpanjang oleh nol di nol. Fungsi ini mulus di mana-mana pada sumbu real dan pada titik nol ia mempunyai deret Maclaurin nol, yang oleh karena itu, tidak konvergen ke nilainya. f (x) (\gaya tampilan f(x)). Poisson keberatan dengan contoh ini karena Lagrange mendefinisikan fungsi sebagai ekspresi analitis tunggal, sedangkan dalam contoh Cauchy, fungsi didefinisikan secara berbeda pada nol dan pada x ≠ 0 (\displaystyle x\tidak =0). Baru pada akhir abad ke-19 Pringsheim membuktikan adanya fungsi terdiferensiasi tak terhingga, yang diberikan oleh satu ekspresi, yang membuat deret Maclaurin menyimpang. Contoh dari fungsi tersebut adalah ekspresi

Ψ (x) = ∑ k = 0 ∞ cos ⁡ (3 k x) k ! (\displaystyle \Psi (x)=\jumlah \batas _(k=0)^(\infty )(\frac (\cos ((3^(k)x)))(k}} !}.

Pengembangan lebih lanjut

Kalkulus diferensial

Kalkulus diferensial mempelajari definisi, sifat, dan penerapan turunan fungsi. Proses mencari turunannya disebut diferensiasi. Mengingat suatu fungsi dan sebuah titik dalam domainnya, turunan pada titik tersebut adalah cara untuk mengkodekan perilaku skala kecil dari fungsi tersebut di dekat titik tersebut. Dengan mencari turunan suatu fungsi di setiap titik dalam domainnya, kita dapat mendefinisikan suatu fungsi baru yang disebut fungsi turunan atau sederhananya turunan dari fungsi aslinya. Dalam bahasa matematika, turunan adalah pemetaan linier yang masukannya berupa suatu fungsi dan keluarannya adalah fungsi lain. Konsep ini lebih abstrak dibandingkan kebanyakan proses yang dipelajari dalam aljabar dasar, dimana fungsi biasanya memiliki satu bilangan sebagai masukan dan bilangan lainnya sebagai keluaran. Misalnya, jika fungsi penggandaan diberi masukan tiga, keluarannya akan menjadi enam; Jika Anda menetapkan masukan ke fungsi kuadrat menjadi tiga, keluarannya akan menjadi sembilan. Turunan dapat mempunyai fungsi kuadrat sebagai masukannya. Artinya, turunan tersebut mengambil semua informasi tentang fungsi kuadrat, yaitu jika diberi masukan dua, maka akan dihasilkan empat, tiga diubah menjadi sembilan, empat diubah menjadi enam belas, dan seterusnya, dan menggunakan informasi tersebut untuk menghasilkan fungsi lain. (Turunan fungsi kuadrat justru merupakan fungsi penggandaan.)

Simbol paling umum untuk menyatakan turunan adalah tanda seperti apostrof yang disebut bilangan prima. Jadi, turunan dari fungsi tersebut F Ada F', diucapkan "f pukulan". Misalnya jika F(X) = X 2 adalah fungsi kuadrat F'(X) = 2X adalah turunannya, ini adalah fungsi penggandaannya.

Jika masukan suatu fungsi adalah waktu, maka turunannya menyatakan perubahan terhadap waktu. Misalnya jika F adalah fungsi yang bergantung pada waktu, dan memberikan posisi keluaran bola dalam waktu, lalu turunannya F menentukan perubahan posisi bola terhadap waktu, yaitu kecepatan bola.

Integral tak tentu adalah antiturunan, yaitu operasi kebalikan dari turunannya. F adalah integral tak tentu dari F dalam kasus ketika F berasal dari F. (Penggunaan huruf besar dan kecil untuk suatu fungsi dan integral tak tentu merupakan hal yang umum dalam kalkulus.)

Integral pasti nilai fungsi masukan dan keluaran adalah suatu bilangan yang sama dengan luas permukaan yang dibatasi oleh grafik fungsi, sumbu absis, dan dua ruas garis lurus dari grafik fungsi sampai sumbu absis pada titik-titik nilai keluaran. Secara teknis, integral tentu adalah limit jumlah luas persegi panjang yang disebut dengan jumlah Riemann.

Contoh dari ilmu fisika adalah menghitung jarak yang ditempuh ketika berjalan pada waktu tertentu.

D i s t a n ce e = S p e e d ⋅ T i m e (\displaystyle \mathrm (Jarak) =\mathrm (Kecepatan) \cdot \mathrm (Waktu) )

Jika kecepatannya konstan, maka operasi perkalian saja sudah cukup, tetapi jika kecepatannya bervariasi, maka kita harus menggunakan metode yang lebih canggih untuk menghitung jarak. Salah satu metode tersebut adalah perhitungan perkiraan dengan membagi waktu menjadi periode-periode pendek yang terpisah. Dengan mengalikan waktu dalam setiap interval dengan salah satu kecepatan dalam interval tersebut dan kemudian menjumlahkan semua perkiraan jarak (jumlah Riemann) yang ditempuh dalam setiap interval, kita memperoleh total jarak yang ditempuh. Ide dasarnya adalah jika Anda menggunakan interval yang sangat pendek, kecepatan masing-masing interval akan tetap konstan. Namun, jumlah Riemann hanya memberikan perkiraan jarak. Untuk mencari jarak pastinya, kita harus mencari limit semua jumlah Riemann tersebut.

Jika f(x) pada diagram di sebelah kiri menunjukkan perubahan kecepatan terhadap waktu, kemudian jarak yang ditempuh (antara momen A Dan B) adalah luas daerah yang diarsir S.

Untuk perkiraan perkiraan luas tertentu, metode intuitif dimungkinkan, yang terdiri dari membagi jarak antara A Dan B menjadi sejumlah segmen (segmen) yang sama panjangnya Δx. Untuk setiap segmen kita dapat memilih satu nilai fungsi F(X). Sebut saja nilai ini H. Maka luas persegi panjang dengan alasnya Δx dan tinggi badan H memberikan jarak (waktu Δx dikalikan dengan kecepatan H) selesai di segmen ini. Setiap segmen dikaitkan dengan nilai rata-rata fungsi di dalamnya f(x)=h. Jumlah semua persegi panjang tersebut memberikan perkiraan luas di bawah kurva, yang merupakan perkiraan total jarak yang ditempuh. Mengurangi Δx akan memberikan jumlah persegi panjang yang lebih besar dan akan menjadi perkiraan yang lebih baik dalam banyak kasus, namun untuk mendapatkan jawaban yang akurat kita harus menghitung limit di Δx cenderung nol.

Simbol integrasi adalah ∫ (\displaystyle \int ), surat memanjang S(S adalah singkatan dari "jumlah"). Integral tertentu dituliskan sebagai:

∫ a b f (x) d x . (\displaystyle \int _(a)^(b)f(x)\,dx.)

dan berbunyi: “integral dari A sebelum B fungsi F dari X Oleh X" Notasi Leibniz dx dirancang untuk membagi luas di bawah kurva menjadi persegi panjang yang jumlahnya tak terhingga sedemikian rupa sehingga lebarnya Δx adalah kuantitas yang sangat kecil dx. Dalam perumusan kalkulus berbasis batas, notasi

∫ a b … d x (\displaystyle \int _(a)^(b)\ldots \,dx)

harus dipahami sebagai operator yang mengambil fungsi sebagai input dan menghasilkan angka yang sama dengan luas area sebagai output. dx bukan angka dan tidak dikalikan f(x).

Integral tak tentu, atau antiturunan, ditulis sebagai:

∫ f(x)dx . (\displaystyle \int f(x)\,dx.)

Fungsi-fungsi yang berbeda sebesar konstanta mempunyai turunan yang sama, dan oleh karena itu antiturunan dari suatu fungsi sebenarnya adalah suatu kelompok fungsi yang hanya berbeda oleh sebuah konstanta. Karena turunan dari fungsi tersebut kamu = X² + C, Di mana C- konstanta apa pun sama dengan kamu′ = 2X, maka antiturunan yang terakhir ditentukan dengan rumus:

∫ 2 x d x = x 2 + C . (\displaystyle \int 2x\,dx=x^(2)+C.)

Konstanta tipe tidak terdefinisi C antiturunannya dikenal sebagai konstanta integrasi.

Teorema Newton-Leibniz

Teorema Newton-Leibniz, disebut juga teorema utama analisis menyatakan bahwa diferensiasi dan integrasi merupakan operasi yang saling bertolak belakang. Lebih tepatnya, ini menyangkut pengertian antiturunan untuk integral tertentu. Karena biasanya lebih mudah menghitung antiturunan daripada menggunakan rumus integral tentu, teorema ini memberikan cara praktis untuk mengevaluasi integral tertentu. Dapat juga diartikan sebagai pernyataan yang tepat bahwa diferensiasi adalah kebalikan dari integrasi.

Teorema menyatakan: jika suatu fungsi F kontinu pada interval [ A, B] dan jika F ada fungsi yang turunannya sama dengan F pada interval ( A, B), Itu:

∫ a b f (x) d x = F (b) − F (a) . (\displaystyle \int _(a)^(b)f(x)\,dx=F(b)-F(a).)

Apalagi bagi siapa pun X dari interval ( A, B)

d d x ∫ a x f (t) d t = f (x) . (\displaystyle (\frac (d)(dx))\int _(a)^(x)f(t)\,dt=f(x).)

Wawasan ini, yang dibuat oleh Newton dan Leibniz, yang mendasarkan hasil mereka pada tulisan Isaac Barrow sebelumnya, merupakan kunci bagi penyebaran cepat hasil analisis setelah karya mereka diketahui. Teorema dasar memberikan metode aljabar untuk menghitung banyak integral tertentu tanpa membatasi prosesnya, dengan mencari rumus antiturunan. Selain itu, muncul prototipe untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Persamaan diferensial menghubungkan fungsi yang tidak diketahui dengan turunannya dan digunakan di banyak ilmu pengetahuan.

Aplikasi

Analisis matematika banyak digunakan dalam bidang fisika, ilmu komputer, statistika, teknik, ekonomi, bisnis, keuangan, kedokteran, demografi, dan bidang lain di mana model matematika dapat dibangun untuk memecahkan suatu masalah, dan solusi optimalnya harus ditemukan.

Secara khusus, hampir semua konsep dalam mekanika klasik dan elektromagnetisme terkait erat satu sama lain melalui analisis matematika klasik. Misalnya, jika diketahui distribusi massa jenis suatu benda, massa, momen inersia, dan energi total dalam medan potensial dapat dicari dengan menggunakan kalkulus diferensial. Contoh mencolok lainnya dari penerapan analisis matematis dalam mekanika adalah hukum kedua Newton: secara historis, hukum ini secara langsung menggunakan istilah “laju perubahan” dalam rumusan “Gaya = massa × percepatan”, karena percepatan adalah turunan waktu dari kecepatan atau detik. turunan terhadap waktu dari lintasan atau posisi spasial.

Analisis matematis juga digunakan untuk menemukan solusi perkiraan persamaan. Dalam praktiknya, ini adalah cara standar untuk menyelesaikan persamaan diferensial dan menemukan akar di sebagian besar aplikasi. Contohnya adalah metode Newton, metode iterasi sederhana, dan metode pendekatan linier. Misalnya, saat menghitung lintasan pesawat ruang angkasa, versi metode Euler digunakan untuk memperkirakan arah pergerakan lengkung tanpa adanya gravitasi.

Bibliografi

Artikel ensiklopedis

// Kamus Ensiklopedis: Dalam 17 volume. - Sankt Peterburg. : Jenis. A.Plushara, 1835-1841.
// Kamus Ensiklopedis Brockhaus dan Efron: dalam 86 volume (82 volume dan 4 tambahan). - Sankt Peterburg. , 1890-1907.

Sastra pendidikan

Buku teks standar

Selama bertahun-tahun, buku pelajaran berikut telah populer di Rusia:

berani, R. Kursus kalkulus diferensial dan integral (dalam dua jilid). Penemuan metodologis utama kursus ini: pertama, gagasan utama dinyatakan secara sederhana, dan kemudian gagasan tersebut diberikan bukti yang kuat. Ditulis oleh Courant ketika dia menjadi profesor di Universitas Göttingen pada tahun 1920-an di bawah pengaruh gagasan Klein, kemudian dipindahkan ke tanah Amerika pada tahun 1930-an. Terjemahan bahasa Rusia tahun 1934 dan cetakan ulangnya memberikan teks berdasarkan edisi Jerman, terjemahan tahun 1960-an (yang disebut edisi ke-4) adalah kompilasi dari buku teks versi Jerman dan Amerika dan oleh karena itu sangat bertele-tele.
Fikhtengolts G.M. Kursus kalkulus diferensial dan integral (dalam tiga jilid) dan buku soal.
Demidovich B.P. Kumpulan soal dan latihan analisis matematis.
Lyashko I.I. dkk. Buku referensi matematika tingkat tinggi, vol.

Beberapa universitas memiliki panduan analisisnya sendiri:

MSU, Mekanik dan Mat:

Arkhipov G.I., Sadovnichy V.A., Chubarikov V.N. Kuliah tentang matematika. analisis.
Zorich V.A. Analisis matematis. Bagian I.M.: Nauka, 1981. 544 hal.
Zorich V.A. Analisis matematis. Bagian II. M.: Nauka, 1984.640 hal.
Kamynin L.I. Kursus analisis matematika (dalam dua volume). M.: Rumah Penerbitan Universitas Moskow, 2001.

V.A.Ilyin, V.A.Sadovnichy, Bl. H.Sendov. Analisis Matematika / Ed.

KALKULU DIFERENSIAL, salah satu cabang analisis matematika yang mempelajari turunan, diferensial dan penerapannya dalam studi fungsi. Kalkulus diferensial berkembang sebagai disiplin ilmu yang berdiri sendiri pada paruh kedua abad ke-17 di bawah pengaruh karya I. Newton dan G. W. Leibniz, di mana mereka merumuskan prinsip-prinsip dasar kalkulus diferensial dan mencatat sifat diferensiasi dan integrasi yang saling bertolak belakang. Sejak saat itu, kalkulus diferensial telah berkembang erat dengan kalkulus integral, yang dengannya merupakan bagian utama dari analisis matematika (atau analisis yang sangat kecil). Terciptanya kalkulus diferensial dan integral membuka era baru dalam perkembangan matematika, menyebabkan munculnya sejumlah disiplin ilmu matematika baru (teori deret, teori persamaan diferensial, geometri diferensial, kalkulus variasi, analisis fungsional) dan secara signifikan memperluas kemungkinan penerapan matematika pada isu-isu ilmu pengetahuan alam dan teknologi.

Kalkulus diferensial didasarkan pada konsep dasar seperti bilangan real, fungsi, limit, kontinuitas. Konsep-konsep ini mengambil bentuk modernnya selama pengembangan kalkulus diferensial dan integral. Ide dasar dan konsep kalkulus diferensial dikaitkan dengan studi fungsi dalam skala kecil, yaitu, dalam lingkungan kecil dari titik-titik individu, yang memerlukan penciptaan peralatan matematika untuk mempelajari fungsi-fungsi yang perilakunya dalam lingkungan yang cukup kecil dari setiap titik. domain definisinya mendekati perilaku fungsi linier atau polinomial. Peralatan ini didasarkan pada konsep turunan dan diferensial. Konsep turunan muncul sehubungan dengan sejumlah besar masalah berbeda dalam ilmu alam dan matematika, yang mengarah pada perhitungan limit yang sejenis. Tugas yang paling penting adalah menentukan kecepatan pergerakan suatu titik material sepanjang garis lurus dan membuat garis singgung kurva. Konsep diferensial dikaitkan dengan kemungkinan memperkirakan suatu fungsi di lingkungan kecil dari titik yang ditinjau dengan fungsi linier. Berbeda dengan konsep turunan suatu fungsi variabel riil, konsep diferensial dapat dengan mudah dipindahkan ke fungsi-fungsi yang bersifat lebih umum, termasuk pemetaan ruang Euclidean ke ruang Euclidean lainnya, pemetaan ruang Banach ke ruang Banach lainnya, dan berfungsi sebagai salah satu konsep dasar analisis fungsional.

Turunan. Biarkan titik material bergerak sepanjang sumbu Oy, dan x menunjukkan waktu yang dihitung dari suatu momen awal. Deskripsi gerakan ini diberikan oleh fungsi y = f(x), yang menetapkan setiap momen waktu x koordinat y dari titik bergerak. Fungsi dalam mekanika ini disebut hukum gerak. Ciri penting suatu gerak (terutama jika geraknya tidak rata) adalah kecepatan suatu titik yang bergerak pada setiap momen waktu x (kecepatan ini disebut juga kecepatan sesaat). Jika suatu titik bergerak sepanjang sumbu Oy menurut hukum y = f(x), maka pada waktu sembarang x mempunyai koordinat f(x), dan pada waktu tertentu x + Δx - koordinat f(x + Δx), dimana Δx adalah pertambahan waktu. Bilangan Δy = f(x + Δx) - f(x), yang disebut pertambahan fungsi, menyatakan lintasan yang dilalui oleh titik bergerak selama waktu dari x ke x + Δx. Sikap

disebut perbandingan selisih, adalah kelajuan rata-rata pergerakan suatu titik dalam selang waktu dari x ke x + Δx. Kecepatan sesaat (atau sekadar kecepatan) suatu titik bergerak pada waktu x adalah batas kecenderungan kecepatan rata-rata (1) ketika selang waktu x mendekati nol, yaitu batas (2)

Konsep kecepatan sesaat mengarah pada konsep turunan. Turunan dari suatu fungsi sembarang y = f(x) pada suatu titik tetap tertentu x disebut limit (2) (asalkan limit tersebut ada). Turunan fungsi y = f(x) pada suatu titik x dilambangkan dengan salah satu simbol f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Operasi mencari turunan (atau berpindah dari suatu fungsi ke turunannya) disebut diferensiasi.

Masalah membuat garis singgung kurva bidang, yang didefinisikan dalam sistem koordinat Cartesian Oxy dengan persamaan y = f(x), di beberapa titik M (x, y) (Gbr.) juga mengarah ke limit (2). Setelah memberikan argumen x kenaikan Δx dan mengambil titik M' pada kurva dengan koordinat (x + Δx, f(x) + Δx)), garis singgung di titik M ditentukan sebagai posisi pembatas dari garis potong MM' sebagai titik M' cenderung ke M (yaitu Δх cenderung nol). Karena titik M yang dilalui garis singgung diberikan, konstruksi garis singgung direduksi menjadi menentukan koefisien sudutnya (yaitu garis singgung sudut kemiringannya terhadap sumbu Sapi). Dengan menggambar garis lurus MR sejajar dengan sumbu Ox, kita mendapatkan bahwa koefisien sudut garis potong MM’ sama dengan rasio

Pada limit, karena Δx → 0, koefisien sudut garis potong berubah menjadi koefisien sudut garis singgung, yang ternyata sama dengan limit (2), yaitu turunan f’(x).

Sejumlah permasalahan lain dalam ilmu pengetahuan alam juga mengarah pada konsep turunan. Misalnya, kuat arus dalam suatu konduktor didefinisikan sebagai batas lim Δt→0 Δq/Δt, dimana Δq adalah muatan listrik positif yang ditransfer melalui penampang konduktor dalam waktu Δt, laju reaksi kimia didefinisikan sebagai lim Δt→0 ΔQ/Δt, di mana ΔQ adalah perubahan jumlah zat terhadap waktu Δt dan, secara umum, turunan suatu besaran fisika terhadap waktu adalah laju perubahan besaran ini.

Jika fungsi y = f(x) terdefinisi di titik x itu sendiri dan di lingkungan tertentu, dan mempunyai turunan di titik x, maka fungsi tersebut kontinu di titik x. Contoh fungsi y = |x| yang didefinisikan di sembarang lingkungan titik x = 0, kontinu di titik ini, tetapi tidak mempunyai turunan di x = 0, menunjukkan bahwa kontinuitas fungsi di suatu titik tertentu tidak , secara umum, menyiratkan adanya turunan pada titik ini. Selain itu, ada fungsi yang kontinu di setiap titik domain definisinya, tetapi tidak mempunyai turunan di titik mana pun dalam domain definisi tersebut.

Dalam kasus ketika fungsi y = f(x) terdefinisi hanya di sebelah kanan atau hanya di sebelah kiri titik x (misalnya, ketika x adalah titik batas segmen di mana fungsi ini didefinisikan), konsepnya turunan kanan dan kiri dari fungsi y = f(x) diperkenalkan di titik x. Turunan kanan fungsi y = f(x) di titik x didefinisikan sebagai limit (2) dengan syarat Δx cenderung nol namun tetap positif, dan turunan kiri didefinisikan sebagai limit (2) dengan syarat Δx cenderung nol sedangkan tersisa negatif. Fungsi y = f(x) mempunyai turunan di titik x jika dan hanya jika turunan kanan dan kirinya sama di titik tersebut. Fungsi di atas y =|x| mempunyai turunan kanan sama dengan 1 di titik x = 0 dan turunan kiri sama dengan -1, dan karena turunan kanan dan kiri tidak sama, maka fungsi ini tidak mempunyai turunan di titik x = 0. Pada golongan fungsi yang mempunyai turunan, diferensiasi operasinya linier, yaitu (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x), dan (αf(x))' = αf'(x) untuk sembarang bilangan α. Selain itu, aturan diferensiasi berikut ini berlaku:

Turunan dari beberapa fungsi dasar adalah:

α - angka apa pun, x > 0;

n = 0, ±1, ±2,

Turunan dari setiap fungsi dasar juga merupakan fungsi dasar.

Jika turunan f'(x), pada gilirannya, mempunyai turunan di suatu titik x, maka turunan fungsi f'(x) disebut turunan kedua dari fungsi y = f(x) di titik x dan dilambangkan dengan salah satu simbol f''(x ), y'', ÿ, d 2 f/dx 2 , d 2 y/dx 2 , D 2 f(x).

Untuk suatu titik material yang bergerak sepanjang sumbu Oy menurut hukum y = f(x), turunan keduanya menyatakan percepatan titik tersebut pada waktu x. Turunan dari sembarang orde bilangan bulat n didefinisikan dengan cara yang sama, dilambangkan dengan simbol f (n) (x), y (n), d (n) f/dx (n), d (n) y/dx (n), D (n) f (x).

Diferensial. Suatu fungsi y = f(x), yang domainnya memuat lingkungan tertentu dari titik x, disebut terdiferensiasi di titik x jika kenaikannya pada titik ini sesuai dengan kenaikan argumen Δx, yaitu nilai Δy = f (x + Δx) - f (x) dapat direpresentasikan dalam bentuk Δy = AΔх + αΔх, dimana A = A(x), α = α(x, Δх) → 0 sebagai Δх → 0. Dalam hal ini, ekspresi AΔх disebut diferensial fungsi f(x) di titik x dan dilambangkan dengan simbol dy atau df(x). Secara geometris, untuk nilai x yang tetap dan kenaikan Δx yang berubah-ubah, diferensialnya adalah pertambahan ordinat garis singgung, yaitu segmen RM" (Gbr.). Diferensial dy adalah fungsi dari titik x dan titik kenaikan Δx. Diferensial disebut bagian linier utama dari kenaikan fungsi, karena pada untuk nilai tetap x, nilai dy adalah fungsi linier dari Δx, dan selisih Δу - dy sangat kecil dibandingkan dengan Δx untuk Δx → 0. Untuk fungsi f(x) = x, menurut definisi dx = Δx, yaitu diferensial variabel bebas dx bertepatan dengan kenaikannya Δx. Hal ini memungkinkan Anda untuk menulis ulang ekspresi diferensial dalam bentuk dy= tambahan.

Untuk suatu fungsi satu variabel, konsep diferensial berkaitan erat dengan konsep turunan: agar fungsi y = f(x) memiliki diferensial di titik x, maka fungsi tersebut perlu dan cukup mempunyai diferensial berhingga. turunan f'(x) pada titik ini, dan persamaan dy = f'(x)dx. Arti visual dari pernyataan ini adalah bahwa garis singgung kurva y = f(x) di titik dengan absis x bukan hanya posisi pembatas garis potong, tetapi juga garis lurus yang berada di lingkungan yang sangat kecil dari titik tersebut. x berbatasan dengan kurva y = f(x ) lebih rapat dibandingkan garis lurus lainnya. Jadi, A(x) selalu = f'(x) dan notasi dy/dx dapat dipahami tidak hanya sebagai sebutan untuk turunan f'(x), tetapi juga sebagai rasio diferensial fungsi dan argumennya. . Karena persamaan dy = f’(x)dx, aturan untuk mencari selisih langsung mengikuti aturan terkait untuk turunan. Perbedaan orde kedua dan yang lebih tinggi juga dipertimbangkan.

Aplikasi. Kalkulus diferensial membangun hubungan antara sifat-sifat fungsi f(x) dan turunannya (atau diferensialnya), yang merupakan isi dari teorema utama kalkulus diferensial. Di antara teorema tersebut adalah pernyataan bahwa semua titik ekstrem suatu fungsi terdiferensiasi f(x) yang terletak di dalam domain definisinya berada di antara akar-akar persamaan f'(x) = 0, dan rumus kenaikan hingga yang sering digunakan (rumus Lagrange) f(b ) - f(a) = f'(ξ)(b - a), dimana a<ξ0 memerlukan peningkatan fungsi yang ketat, dan kondisi f '' (x) > 0 berarti konveksitasnya yang ketat. Selain itu, kalkulus diferensial memungkinkan Anda menghitung berbagai macam limit fungsi, khususnya limit rasio dua fungsi, yang merupakan ketidakpastian berbentuk 0/0 atau bertipe ∞/∞ (lihat Pengungkapan ketidakpastian). Kalkulus diferensial sangat berguna untuk mempelajari fungsi dasar, yang turunannya dituliskan secara eksplisit.

Kalkulus diferensial fungsi beberapa variabel. Metode kalkulus diferensial digunakan untuk mempelajari fungsi beberapa variabel. Untuk fungsi dua variabel u = f(x, y), turunan parsialnya terhadap x di titik M (x, y) adalah turunan fungsi tersebut terhadap x untuk y tetap, yang didefinisikan sebagai

dan dilambangkan dengan salah satu simbol f’(x)(x,y), u’(x), ∂u/∂x atau ∂f(x,y)’/∂x. Turunan parsial dari fungsi u = f(x,y) terhadap y didefinisikan dan dilambangkan dengan cara yang sama. Besaran Δu = f(x + Δx, y + Δy) - f(x,y) disebut pertambahan total fungsi di titik M (x, y). Jika besaran tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk

dimana A dan B tidak bergantung pada Δх dan Δу, dan α cenderung nol sebagai

maka fungsi u = f(x, y) dikatakan terdiferensiasi di titik M(x, y). Jumlah AΔx + BΔy disebut diferensial total dari fungsi u = f(x, y) di titik M(x, y) dan dilambangkan dengan simbol du. Karena A = f'x(x, y), B = f'y(x, y), dan pertambahan Δx dan Δy dapat dianggap sama dengan selisihnya dx dan dy, maka selisih total du dapat ditulis dalam membentuk

Secara geometris, diferensiabilitas suatu fungsi dua variabel u = f(x, y) pada suatu titik M (x, y) berarti grafiknya mempunyai bidang singgung pada titik tersebut, dan diferensial fungsi ini menyatakan pertambahan sebesar penerapan titik bidang singgung yang bersesuaian dengan pertambahan dx dan dy variabel bebas. Untuk fungsi dua variabel, konsep diferensial jauh lebih penting dan wajar dibandingkan konsep turunan parsial. Berbeda dengan fungsi satu variabel, agar fungsi dua variabel u = f(x, y) dapat terdiferensiasi pada suatu titik tertentu M(x, y), keberadaan turunan parsial berhingga pada titik tersebut f'x(x, y), dan f' y(x, y). Syarat perlu dan cukup untuk diferensiasi fungsi u = f(x, y) di titik M (x, y) adalah adanya turunan parsial berhingga f'x(x, y) dan f'y(x, y) dan cenderung nol pada

jumlah

Pembilang besaran ini diperoleh jika kita terlebih dahulu mengambil pertambahan fungsi f(x, y), sesuai dengan pertambahan Δx dari argumen pertamanya, dan kemudian mengambil pertambahan selisih yang dihasilkan f(x + Δx, y) - f(x, y), sesuai dengan kenaikan Δy dari argumen kedua. Syarat cukup sederhana untuk diferensiabilitas fungsi u = f(x, y) di titik M(x, y) adalah adanya turunan parsial kontinu f'x(x, y) dan f'y(x, y) ) pada saat ini.

Derivatif parsial dari orde yang lebih tinggi didefinisikan dengan cara yang sama. Turunan parsial ∂ 2 f/∂х 2 dan ∂ 2 f/∂у 2 , yang kedua diferensiasinya dilakukan terhadap satu variabel, disebut murni, dan turunan parsial ∂ 2 f/∂х∂у dan ∂ 2 f/∂у∂х - campur. Pada setiap titik dimana kedua turunan parsial campuran kontinu, keduanya sama besar. Definisi dan notasi ini terbawa ke kasus dengan jumlah variabel yang lebih besar.

Sketsa sejarah. Masalah individu tentang menentukan garis singgung kurva dan menemukan nilai maksimum dan minimum variabel diselesaikan oleh ahli matematika Yunani Kuno. Misalnya, metode ditemukan untuk membuat garis singgung pada bagian kerucut dan beberapa kurva lainnya. Namun, metode yang dikembangkan oleh ahli matematika kuno jauh dari gagasan kalkulus diferensial dan hanya dapat digunakan dalam kasus-kasus yang sangat khusus. Pada pertengahan abad ke-17, menjadi jelas bahwa banyak masalah yang disebutkan, bersama dengan masalah lainnya (misalnya, masalah menentukan kecepatan sesaat) dapat diselesaikan dengan menggunakan peralatan matematika yang sama, menggunakan turunan dan diferensial. Sekitar tahun 1666, I. Newton mengembangkan metode fluks (lihat Kalkulus Fluks). Newton mempertimbangkan, khususnya, dua masalah mekanika: masalah menentukan kecepatan gerak sesaat dari ketergantungan jalur yang diketahui terhadap waktu dan masalah menentukan jarak yang ditempuh selama waktu tertentu dari kecepatan sesaat yang diketahui. Newton menyebut fungsi kontinu waktu lancar, dan laju perubahannya disebut fluksi. Jadi, konsep utama Newton adalah turunan (fluksion) dan integral tak tentu (fluenta). Ia mencoba membuktikan metode fluksi dengan menggunakan teori limit, yang pada saat itu belum cukup berkembang.

Pada pertengahan tahun 1670-an, G. W. Leibniz mengembangkan algoritma yang mudah digunakan untuk kalkulus diferensial. Konsep utama Leibniz adalah diferensial sebagai pertambahan suatu fungsi yang sangat kecil dan integral tertentu sebagai jumlah dari sejumlah besar diferensial. Dia memperkenalkan notasi diferensial dan integral, istilah “kalkulus diferensial”, memperoleh sejumlah aturan diferensiasi, dan mengusulkan simbolisme yang mudah digunakan. Perkembangan lebih lanjut dari kalkulus diferensial pada abad ke-17 terutama mengikuti jalur yang digariskan oleh Leibniz; Karya-karya J. dan I. Bernoulli, B. Taylor dan lain-lain memainkan peran utama pada tahap ini.

Tahap selanjutnya dalam perkembangan kalkulus diferensial dikaitkan dengan karya L. Euler dan J. Lagrange (abad ke-18). Euler pertama kali mulai menyajikan kalkulus diferensial sebagai disiplin analitis, tidak bergantung pada geometri dan mekanika. Ia kembali menggunakan turunan sebagai konsep dasar kalkulus diferensial. Lagrange mencoba membangun kalkulus diferensial secara aljabar, menggunakan perluasan fungsi dalam deret pangkat; ia memperkenalkan istilah “turunan” dan notasi y' dan f'(x). Pada awal abad ke-19, masalah pembuktian kalkulus diferensial berdasarkan teori limit sebagian besar terpecahkan, terutama berkat karya O. Cauchy, B. Bolzano dan C. Gauss. Analisis mendalam terhadap konsep awal kalkulus diferensial dikaitkan dengan perkembangan teori himpunan dan teori fungsi variabel nyata pada akhir abad ke-19 dan awal abad ke-20.

Lit.: Sejarah Matematika: Dalam 3 jilid M., 1970-1972; Rybnikov K. A. Sejarah matematika. edisi ke-2. M., 1974; Nikolsky S. M. Kursus analisis matematika. edisi ke-6. M., 2001: Zorich V. A. Analisis matematika: Bagian 2, edisi ke-4. M., 2002; Kudryavtsev L.D. Kursus analisis matematika: Dalam 3 volume, edisi ke-5. M., 2003-2006; Fikhtengolts G. M. Kursus kalkulus diferensial dan integral: Dalam 3 volume edisi ke-8. M., 2003-2006; Ilyin V. A., Poznyak E. G. Dasar-dasar analisis matematika. edisi ke-7. M., 2004. Bagian 1. Edisi ke-5. M., 2004. Bagian 2; Ilyin V.A., Sadovnichy V.A., Sendov Bl. X. Analisis matematis. edisi ke-3. M., 2004. Bagian 1. Edisi ke-2. M., 2004. Bagian 2; Ilyin V. A., Kurkina L. V. Matematika yang lebih tinggi. edisi ke-2. M., 2005.

KGB dan UFO - informasi yang dideklasifikasi dokumen rahasia KGB dan UFO

Persamaan garis dalam ruang adalah persamaan dua bidang yang berpotongan