Contoh penyelesaian fungsi kontinu sedikit demi sedikit. Buat grafik fungsinya. Penentuan nasib sendiri untuk kegiatan pendidikan






Mundur ke depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili semua fitur presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Buku pelajaran: Aljabar kelas 8, diedit oleh A.G. Mordkovich.

Jenis pelajaran: Penemuan pengetahuan baru.

Sasaran:

untuk guru tujuan ditetapkan pada setiap tahap pelajaran;

untuk siswa:

Tujuan pribadi:

  • Belajar mengungkapkan pikiran dengan jelas, akurat, kompeten dalam pidato lisan dan tulisan, memahami arti tugas;
  • Belajar menerapkan pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh untuk memecahkan masalah baru;
  • Belajar mengendalikan proses dan hasil kegiatan Anda;

Tujuan meta-subjek:

Dalam aktivitas kognitif:

  • Pengembangan pemikiran dan ucapan logis, kemampuan untuk mendukung penilaian seseorang secara logis, melakukan sistematisasi sederhana;
  • Belajar mengajukan hipotesis ketika memecahkan masalah, memahami kebutuhan untuk mengujinya;
  • Menerapkan pengetahuan dalam situasi standar, belajar melakukan tugas secara mandiri;
  • Mentransfer pengetahuan ke dalam situasi yang berubah, melihat tugas dalam konteks situasi masalah;

Dalam kegiatan informasi dan komunikasi:

  • Belajar berdialog, mengakui hak berbeda pendapat;

Dalam kegiatan reflektif:

  • Belajarlah untuk mengantisipasi kemungkinan konsekuensi dari tindakan Anda;
  • Belajarlah untuk menghilangkan penyebab kesulitan.

Tujuan mata pelajaran:

  • Cari tahu apa itu fungsi sepotong-sepotong;
  • Belajar mendefinisikan fungsi tertentu secara analitis dari grafiknya;

Selama kelas

1. Penentuan nasib sendiri untuk kegiatan pendidikan

Tujuan panggung:

  • mengikutsertakan siswa dalam kegiatan pembelajaran;
  • tentukan isi pelajaran: kita terus mengulang topik fungsi numerik.

Organisasi proses pendidikan pada tahap 1:

T: Apa yang kita lakukan pada pelajaran sebelumnya?

D: Kita ulangi topik fungsi numerik.

U: Hari ini kita akan terus mengulang topik pelajaran sebelumnya, dan hari ini kita harus mencari tahu hal baru apa yang bisa kita pelajari dalam topik ini.

2. Memperbarui pengetahuan dan mencatat kesulitan dalam beraktivitas

Tujuan panggung:

  • memperbarui konten pendidikan yang diperlukan dan cukup untuk persepsi materi baru: mengingat rumus fungsi numerik, sifat-sifatnya, dan metode konstruksinya;
  • perbarui operasi mental yang diperlukan dan cukup untuk persepsi materi baru: perbandingan, analisis, generalisasi;
  • untuk mencatat kesulitan individu dalam suatu kegiatan yang menunjukkan, pada tingkat yang signifikan secara pribadi, kurangnya pengetahuan yang ada: menentukan fungsi tertentu secara analitis, serta membuat grafiknya.

Organisasi proses pendidikan pada tahap 2:

T: Slide menunjukkan lima fungsi numerik. Tentukan tipenya.

1) pecahan-rasional;

2) kuadrat;

3) tidak rasional;

4) berfungsi dengan modul;

5) tenang.

T: Sebutkan rumus-rumus yang sesuai dengannya.

3) ;

4) ;

U: Mari kita bahas apa peran masing-masing koefisien dalam rumus ini?

D: Variabel “l” dan “m” bertanggung jawab untuk menggeser grafik fungsi-fungsi ini ke kiri - kanan dan atas - bawah, koefisien “k” pada fungsi pertama menentukan posisi cabang-cabang hiperbola: k> 0 - cabangnya berada di kuarter I dan III, k< 0 - во II и IV четвертях, а коэффициент “а” определяет направление ветвей параболы: а>0 - cabang diarahkan ke atas, dan< 0 - вниз).

2. Geser 2

U: Tentukan secara analitis fungsi-fungsi yang grafiknya ditunjukkan pada gambar. (mengingat mereka bergerak y=x2). Guru menuliskan jawabannya di papan tulis.

D: 1) );

2);

3. Geser 3

U: Tentukan secara analitis fungsi-fungsi yang grafiknya ditunjukkan pada gambar. (mengingat mereka sedang bergerak). Guru menuliskan jawabannya di papan tulis.

4. Geser 4

U: Dengan menggunakan hasil sebelumnya, tentukan secara analitis fungsi-fungsi yang grafiknya ditunjukkan pada gambar.

3. Mengidentifikasi penyebab kesulitan dan menetapkan tujuan kegiatan

Tujuan panggung:

  • mengatur interaksi komunikatif, di mana ciri khas tugas yang menyebabkan kesulitan dalam kegiatan belajar diidentifikasi dan dicatat;
  • menyepakati tujuan dan topik pelajaran.

Organisasi proses pendidikan pada tahap 3:

T: Apa yang menyebabkan kamu kesulitan?

D: Potongan grafik disediakan di layar.

T: Apa tujuan pelajaran kita?

D: Belajar mendefinisikan bagian-bagian fungsi secara analitis.

T : Merumuskan topik pelajaran. (Anak-anak mencoba merumuskan topik secara mandiri. Guru memperjelasnya. Topik: Fungsi yang diberikan sedikit demi sedikit.)

4. Pembangunan proyek untuk keluar dari suatu kesulitan

Tujuan panggung:

  • mengatur interaksi komunikatif untuk membangun cara tindakan baru yang menghilangkan penyebab kesulitan yang teridentifikasi;
  • menetapkan metode tindakan baru.

Organisasi proses pendidikan pada tahap 4:

T: Mari kita baca kembali tugas itu dengan cermat. Hasil apa yang diminta untuk dijadikan bantuan?

D: Yang sebelumnya, yaitu. yang tertulis di papan tulis.

U: Mungkin rumus-rumus ini sudah menjadi jawaban untuk tugas ini?

D: Tidak, karena Rumus ini mendefinisikan fungsi kuadrat dan rasional, dan bagian-bagiannya ditampilkan pada slide.

U: Mari kita bahas interval sumbu x manakah yang sesuai dengan bagian fungsi pertama?

U: Maka cara analitis untuk menentukan fungsi pertama terlihat seperti: if

T: Apa yang perlu dilakukan untuk menyelesaikan tugas serupa?

D: Tuliskan rumusnya dan tentukan interval sumbu absis mana yang sesuai dengan bagian fungsi ini.

5. Konsolidasi primer dalam pidato eksternal

Tujuan panggung:

  • merekam konten pendidikan yang dipelajari dalam pidato eksternal.

Organisasi proses pendidikan pada tahap 5:

7. Inklusi dalam sistem pengetahuan dan pengulangan

Tujuan panggung:

  • melatih keterampilan dalam menggunakan konten baru bersamaan dengan konten yang dipelajari sebelumnya.

Organisasi proses pendidikan pada tahap 7:

U: Definisikan secara analitis fungsi yang grafiknya ditunjukkan pada gambar.

8. Refleksi kegiatan dalam pembelajaran

Tujuan panggung:

  • merekam konten baru yang dipelajari dalam pelajaran;
  • evaluasi aktivitas Anda sendiri dalam pelajaran;
  • berterima kasih kepada teman sekelasmu yang telah membantu mendapatkan hasil pelajaran;
  • mencatat kesulitan-kesulitan yang belum terselesaikan sebagai arahan untuk kegiatan pendidikan di masa depan;
  • berdiskusi dan menuliskan pekerjaan rumah.

Organisasi proses pendidikan pada tahap 8:

T: Apa yang kita pelajari di kelas hari ini?

D: Dengan fungsi yang diberikan sedikit demi sedikit.

T: Pekerjaan apa yang kita pelajari hari ini?

D: Tentukan jenis fungsi ini secara analitis.

T: Angkat tangan, siapa yang paham topik pelajaran hari ini? (Diskusikan masalah apa pun yang muncul dengan anak-anak lain).

Pekerjaan rumah

  • Nomor 21.12(a,c);
  • Nomor 21.13(a,c);
  • №22.41;
  • №22.44.

Penugasan fungsi analitis

Fungsi %%y = f(x), x \dalam X%% diberikan dengan cara analitis yang eksplisit, jika diberikan rumus yang menunjukkan urutan operasi matematika yang harus dilakukan dengan argumen %%x%% untuk mendapatkan nilai %%f(x)%% dari fungsi ini.

Contoh

  • %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \dalam \mathbb(R)%%;
  • %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
  • %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

Jadi, misalnya, dalam fisika, dengan gerak lurus beraturan yang dipercepat secara seragam, kecepatan suatu benda ditentukan dengan rumus %%v = v_0 + at%%, dan rumus untuk menggerakkan %%s%% benda dengan percepatan seragam gerak dalam interval waktu dari %%0%% ke %% t%% ditulis sebagai: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(at^2)(2) %%.

Fungsi yang ditentukan sedikit demi sedikit

Terkadang fungsi yang dimaksud dapat ditentukan dengan beberapa rumus yang beroperasi di berbagai bagian domain definisinya, di mana argumen fungsi tersebut berubah. Misalnya: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

Fungsi jenis ini terkadang disebut gabungan atau ditentukan sedikit demi sedikit. Contoh fungsi tersebut adalah %%y = |x|%%

Domain Fungsi

Jika suatu fungsi ditentukan secara analitis eksplisit menggunakan rumus, tetapi domain definisi fungsi dalam bentuk himpunan %%D%% tidak ditentukan, maka %%D%% yang kami maksud selalu himpunan nilai argumen %%x%% yang membuat rumus ini masuk akal. Jadi untuk fungsi %%y = x^2%% domain definisinya adalah himpunan %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, karena argumennya %%x%% dapat mengambil nilai apa pun nomor baris. Dan untuk fungsi %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%% domain definisinya adalah himpunan nilai %%x%% yang memenuhi pertidaksamaan %%1 - x^2 > 0%%, t .e. %%D = (-1, 1)%%.

Keuntungan menentukan suatu fungsi secara analitis secara eksplisit

Perhatikan bahwa metode analitik eksplisit untuk menentukan suatu fungsi cukup kompak (rumusnya biasanya hanya memakan sedikit ruang), mudah untuk direproduksi (rumusnya tidak sulit untuk ditulis) dan paling cocok untuk melakukan operasi dan transformasi matematika. pada fungsi.

Beberapa dari operasi ini - aljabar (penjumlahan, perkalian, dll.) - sudah diketahui dengan baik dari kursus matematika sekolah, yang lain (diferensiasi, integrasi) akan dipelajari di masa depan. Namun, metode ini tidak selalu jelas, karena sifat ketergantungan fungsi pada argumen tidak selalu jelas, dan terkadang diperlukan perhitungan yang rumit untuk menemukan nilai fungsi (jika diperlukan).

Penetapan fungsi implisit

Fungsi %%y = f(x)%% ditentukan secara analitis implisit, jika diberikan relasi $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ menghubungkan nilai fungsi %%y%% dan argumen %%x %%. Jika Anda menentukan nilai argumen, maka untuk mencari nilai %%y%% yang sesuai dengan nilai spesifik %%x%%, Anda perlu menyelesaikan persamaan %%(1)%% untuk %%y%% di sini nilai spesifik %%x%%.

Mengingat nilai %%x%%, persamaan %%(1)%% mungkin tidak memiliki solusi atau memiliki lebih dari satu solusi. Dalam kasus pertama, nilai yang ditentukan %%x%% tidak termasuk dalam domain definisi fungsi yang ditentukan secara implisit, dan dalam kasus kedua nilai tersebut menentukan fungsi multinilai, yang memiliki lebih dari satu arti untuk nilai argumen tertentu.

Perhatikan bahwa jika persamaan %%(1)%% dapat diselesaikan secara eksplisit terhadap %%y = f(x)%%, maka kita memperoleh fungsi yang sama, tetapi sudah ditentukan secara analitis eksplisit. Jadi, persamaan %%x + y^5 - 1 = 0%%

dan persamaan %%y = \sqrt(1 - x)%% mendefinisikan fungsi yang sama.

Spesifikasi fungsi parametrik

Ketika ketergantungan %%y%% pada %%x%% tidak diberikan secara langsung, melainkan ketergantungan kedua variabel %%x%% dan %%y%% pada beberapa variabel tambahan ketiga %%t%% diberikan dalam bentuk

$$ \begin(kasus) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(kasus) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$apa yang mereka bicarakan parametrik metode menentukan fungsi;

maka variabel bantu %%t%% disebut parameter.

Jika memungkinkan untuk menghilangkan parameter %%t%% dari persamaan %%(2)%%, maka kita sampai pada fungsi yang ditentukan oleh ketergantungan analitis eksplisit atau implisit dari %%y%% pada %%x%% . Misalnya, dari relasi $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ kecuali untuk parameter % %t%% kita memperoleh ketergantungan %%y = 2 x + 2%%, yang mendefinisikan garis lurus pada bidang %%xOy%%.

Metode grafis

Contoh definisi fungsi grafis

Contoh di atas menunjukkan bahwa metode analitik dalam menentukan suatu fungsi sesuai dengan metode tersebut gambar grafis, yang dapat dianggap sebagai bentuk deskripsi suatu fungsi yang nyaman dan visual. Terkadang digunakan metode grafis menentukan fungsi ketika ketergantungan %%y%% pada %%x%% ditentukan oleh garis pada bidang %%xOy%%. Namun, terlepas dari semua kejelasannya, akurasinya hilang, karena nilai argumen dan nilai fungsi yang sesuai hanya dapat diperoleh dari grafik secara perkiraan. Kesalahan yang dihasilkan bergantung pada skala dan keakuratan pengukuran absis dan ordinat masing-masing titik pada grafik. Di masa depan, kami akan menetapkan grafik fungsi hanya sebagai peran untuk mengilustrasikan perilaku fungsi dan oleh karena itu kami akan membatasi diri pada membuat “sketsa” grafik yang mencerminkan fitur utama fungsi.

Metode tabel

Catatan metode tabel penugasan fungsi, ketika beberapa nilai argumen dan nilai fungsi terkait ditempatkan dalam tabel dalam urutan tertentu. Beginilah cara tabel fungsi trigonometri, tabel logaritma, dll. Hubungan antara besaran-besaran yang diukur dalam penelitian eksperimen, observasi, dan tes biasanya disajikan dalam bentuk tabel.

Kerugian dari metode ini adalah tidak mungkin untuk menentukan secara langsung nilai fungsi untuk nilai argumen yang tidak termasuk dalam tabel. Jika ada keyakinan bahwa nilai argumen yang tidak disajikan dalam tabel termasuk dalam domain definisi fungsi yang bersangkutan, maka nilai fungsi yang bersangkutan dapat dihitung secara kasar menggunakan interpolasi dan ekstrapolasi.

Contoh

X 3 5.1 10 12.5
kamu 9 23 80 110

Metode algoritmik dan verbal untuk menentukan fungsi

Fungsinya dapat diatur algoritmik(atau perangkat lunak) dengan cara yang banyak digunakan dalam perhitungan komputer.

Akhirnya, hal ini dapat dicatat deskriptif(atau lisan) cara untuk menentukan suatu fungsi, ketika aturan untuk mencocokkan nilai fungsi dengan nilai argumen dinyatakan dalam kata-kata.

Misalnya, fungsi %%[x] = m~\forall (x \in dari baris: