Tentukan nilai integer terbesar dari fungsi tersebut. Bagaimana cara mencari nilai terbesar suatu fungsi? Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi - definisi, ilustrasi


DENGAN poin praktis Dari sudut pandang praktis, minat terbesar adalah menggunakan turunan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi. Apa hubungannya ini? Memaksimalkan keuntungan, meminimalkan biaya, menentukan beban peralatan yang optimal... Dengan kata lain, di banyak bidang kehidupan kita harus memecahkan masalah dalam mengoptimalkan beberapa parameter. Dan inilah tugas mencari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi.

Perlu dicatat bahwa yang terbesar dan tidak nilai yang lebih rendah fungsi biasanya dicari pada beberapa interval X, yang merupakan domain keseluruhan dari fungsi tersebut atau sebagian dari domain tersebut. Interval X sendiri dapat berupa segmen, interval terbuka , interval tak terbatas.

Pada artikel kali ini kita akan membahas tentang mencari nilai terbesar dan terkecil secara eksplisit fungsi yang diberikan satu variabel y=f(x) .

Navigasi halaman.

Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi - definisi, ilustrasi.

Mari kita lihat secara singkat definisi utama.

Nilai fungsi terbesar itu untuk siapa pun ketimpangan memang benar adanya.

Nilai terkecil dari fungsi tersebut y=f(x) pada interval X disebut nilai seperti itu itu untuk siapa pun ketimpangan memang benar adanya.

Definisi ini bersifat intuitif: nilai terbesar (terkecil) dari suatu fungsi adalah nilai terbesar (terkecil) yang diterima pada interval yang dipertimbangkan pada absis.

Poin stasioner– ini adalah nilai argumen di mana turunan fungsi menjadi nol.

Mengapa kita memerlukan titik stasioner saat mencari nilai terbesar dan terkecil? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema Fermat. Dari teorema ini dapat disimpulkan bahwa jika suatu fungsi terdiferensiasi mempunyai ekstrem (minimum lokal atau maksimum lokal) di suatu titik, maka titik tersebut stasioner. Jadi, suatu fungsi sering kali mengambil nilai terbesar (terkecil) pada interval X di salah satu titik stasioner dari celah ini.

Selain itu, suatu fungsi sering kali dapat mengambil nilai terbesar dan terkecilnya pada titik-titik di mana turunan pertama dari fungsi tersebut tidak ada, dan fungsi itu sendiri terdefinisi.

Mari kita segera menjawab salah satu pertanyaan paling umum tentang topik ini: “Apakah selalu mungkin untuk menentukan nilai terbesar (terkecil) suatu fungsi”? Tidak, tidak selalu. Kadang-kadang batas interval X bertepatan dengan batas domain definisi fungsi, atau interval X tidak terbatas. Dan beberapa fungsi pada jarak tak terhingga dan pada batas domain definisi dapat mempunyai nilai yang sangat besar dan nilai yang sangat kecil. Dalam kasus ini, tidak ada yang bisa dikatakan tentang nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut.

Untuk lebih jelasnya, kami akan memberikan ilustrasi grafis. Lihatlah gambar-gambarnya dan banyak hal akan menjadi lebih jelas.

Di segmen tersebut


Pada gambar pertama, fungsi tersebut mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik stasioner yang terletak di dalam segmen [-6;6].

Perhatikan kasus yang digambarkan pada gambar kedua. Mari kita ubah segmennya menjadi. Dalam contoh ini, nilai fungsi terkecil dicapai pada titik stasioner, dan nilai terbesar dicapai pada titik dengan absis yang sesuai dengan batas kanan interval.

Pada Gambar 3, titik batas ruas [-3;2] adalah absis titik-titik yang sesuai dengan nilai fungsi terbesar dan terkecil.

Pada interval terbuka


Pada gambar keempat, fungsi tersebut mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik stasioner yang terletak di dalam interval terbuka (-6;6).

Pada interval , tidak dapat diambil kesimpulan mengenai nilai terbesarnya.

Tanpa batas


Dalam contoh yang ditunjukkan pada gambar ketujuh, fungsi tersebut diambil nilai tertinggi(maks y) pada titik stasioner dengan absis x=1, dan nilai terkecil (min y) dicapai pada batas kanan interval. Pada minus tak terhingga, nilai fungsinya mendekati y=3 secara asimtotik.

Selama interval tersebut, fungsi tersebut tidak mencapai nilai terkecil maupun terbesar. Ketika x=2 mendekat dari kanan, nilai fungsinya cenderung minus tak terhingga (garis lurus x=2 adalah asimtot vertikal), dan karena absisnya cenderung plus tak terhingga, nilai fungsinya mendekati y=3 secara asimtotik. Ilustrasi grafis dari contoh ini ditunjukkan pada Gambar 8.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi kontinu pada suatu segmen.

Mari kita menulis sebuah algoritma yang memungkinkan kita menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen.

  1. Kami menemukan domain definisi fungsi dan memeriksa apakah fungsi tersebut berisi seluruh segmen.
  2. Kami menemukan semua titik di mana turunan pertamanya tidak ada dan terdapat dalam segmen tersebut (biasanya titik seperti itu ditemukan dalam fungsi dengan argumen di bawah tanda modulus dan dalam fungsi daya dengan eksponen pecahan-rasional). Jika tidak ada poin seperti itu, lanjutkan ke poin berikutnya.
  3. Kami menentukan semua titik stasioner yang termasuk dalam segmen tersebut. Untuk melakukan ini, kita menyamakannya dengan nol, menyelesaikan persamaan yang dihasilkan dan memilih akar yang sesuai. Jika tidak ada titik stasioner atau tidak ada satupun yang termasuk dalam segmen tersebut, maka lanjutkan ke titik berikutnya.
  4. Kami menghitung nilai fungsi pada titik stasioner yang dipilih (jika ada), pada titik di mana turunan pertamanya tidak ada (jika ada), serta pada x=a dan x=b.
  5. Dari nilai fungsi yang diperoleh, kami memilih yang terbesar dan terkecil - masing-masing akan menjadi nilai fungsi terbesar dan terkecil yang diperlukan.

Mari kita menganalisis algoritma untuk menyelesaikan contoh untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen.

Contoh.

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi

  • pada segmen tersebut;
  • di segmen [-4;-1] .

Larutan.

Domain suatu fungsi adalah keseluruhan himpunan bilangan real, kecuali nol, yaitu . Kedua segmen termasuk dalam domain definisi.

Temukan turunan fungsi terhadap:

Jelasnya, turunan dari fungsi tersebut ada di semua titik pada segmen dan [-4;-1].

Kami menentukan titik stasioner dari persamaan. Satu-satunya akar real adalah x=2. Titik stasioner ini termasuk dalam segmen pertama.

Untuk kasus pertama, kita menghitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik stasioner, yaitu untuk x=1, x=2 dan x=4:

Oleh karena itu, nilai fungsi terbesar dicapai pada x=1, dan nilai terkecil – pada x=2.

Untuk kasus kedua, kami menghitung nilai fungsi hanya di ujung segmen [-4;-1] (karena tidak mengandung satu titik stasioner):

Rekomendasi metodologis untuk mempelajari topik “Beberapa nilai suatu fungsi. Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi.”

Dalam matematika sendiri sarana utamanya

untuk mencapai kebenaran - induksi dan analogi.

Diberikan: - fungsi. Mari kita tunjukkan
- domain definisi fungsi.

Himpunan (domain) nilai suatu fungsi adalah himpunan semua nilai yang dapat diambil oleh suatu fungsi.
.Secara geometris, ini berarti proyeksi grafik suatu fungsi ke sumbu
.

Jika ada benarnya sedemikian rupa bagi siapa pun dari himpunan tersebut terdapat pertidaksamaan
, lalu mereka mengatakan bahwa fungsi di himpunan mengambil alih nilai terkecil

Jika terdapat suatu titik sehingga pertidaksamaan tetap berlaku untuk salah satu himpunan tersebut
, lalu mereka mengatakan bahwa fungsi di himpunan mengambil alih nilai tertinggi .

Fungsinya disebut dibatasi di bawah di set jika nomor tersebut ada
. Secara geometris, grafik fungsinya tidak lebih rendah dari garis lurus
.

Fungsinya disebut dibatasi di atas di set jika nomor tersebut ada , bahwa untuk himpunan mana pun pertidaksamaannya benar
. Secara geometris, grafik fungsinya tidak lebih tinggi dari garis lurus

Fungsinya disebut terbatas pada himpunan jika dibatasi pada himpunan ini dari bawah dan atas. Keterbatasan suatu fungsi berarti grafiknya berada di dalam pita horizontal tertentu.

Pertidaksamaan Cauchy tentang mean aritmatika dan mean geometrik
:

>,>0) Contoh:

Nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada suatu interval

(segmen, interval, sinar)

Sifat-sifat fungsi kontinu pada suatu interval.

1. Jika suatu fungsi kontinu pada suatu segmen, maka fungsi tersebut mencapai nilai maksimum dan minimumnya.

2. Suatu fungsi kontinu dapat mencapai nilai maksimum dan minimumnya baik di ujung segmen maupun di dalamnya

3. Jika nilai terbesar (atau terkecil) dicapai di dalam segmen, maka hanya pada titik stasioner atau titik kritis.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi kontinu pada segmen tersebut

1. Temukan turunannya
.

2. Temukan alat tulis dan poin kritis, berbaring di dalam segmen .

3. Temukan nilai fungsi pada titik stasioner dan kritis yang dipilih dan pada ujung segmen, mis.
Dan
.

4.Di antara nilai yang ditemukan, pilih yang terkecil (inilah yang terjadi
) dan yang terbesar (ini akan menjadi
)

Sifat-sifat fungsi kontinu yang monotonik pada suatu interval:

Peningkatan terus menerus pada suatu segmen fungsi tersebut mencapai nilai terbesarnya pada
, yang terkecil – di
.

Penurunan terus menerus pada suatu segmen fungsi tersebut mencapai nilai terbesarnya pada , dan nilai minimumnya pada .

Jika nilai fungsinya
nonnegatif pada interval tertentu, maka fungsi ini dan fungsinya
, dimana n adalah bilangan asli, mengambil nilai terbesar (terkecil) pada titik yang sama.

Mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi kontinu pada suatu interval
atau pada balok

(masalah optimasi).

Jika fungsi berkelanjutan mempunyai satu titik ekstrem pada suatu interval atau sinar dan ekstrem tersebut maksimum atau minimum, maka pada titik ini nilai maksimum atau minimum fungsi ( atau ) tercapai

Penerapan sifat monotonisitas fungsi.

1. Suatu fungsi kompleks yang terdiri dari dua fungsi yang bertambah dan bertambah.

2.Jika fungsinya bertambah dan fungsinya
berkurang, maka fungsinya
- menurun.

3. Jumlah dua fungsi naik (turun), fungsi naik (turun).

4. Jika dalam Persamaan.
ruas kiri merupakan fungsi naik (atau turun), maka persamaan tersebut mempunyai paling banyak satu akar.

5.Jika fungsinya meningkat (menurun), dan fungsinya menurun (meningkat), maka persamaannya
mempunyai paling banyak satu solusi.

6. Persamaan
mempunyai paling sedikit satu akar jika dan hanya jika

memiliki banyak makna
fungsi .

Penerapan properti fungsi terbatas.

1. Jika ruas kiri persamaan (pertidaksamaan) (
kurang dari atau sama dengan suatu bilangan (
), A bagian kanan lebih besar atau sama dengan angka ini (), maka sistem berlaku
penyelesaiannya merupakan penyelesaian persamaan (pertidaksamaan) itu sendiri.

Tugas pengendalian diri


Aplikasi:


3. Temukan semua nilai yang persamaannya
punya solusi.

Pekerjaan rumah

1.Temukan nilai terbesar dari fungsi tersebut:

, Jika
.

2. Temukan nilai terkecil dari fungsi tersebut:

.

3. Temukan nilai bilangan bulat terbesar dari fungsi tersebut:

. mereka yang sesuai dengan terbesar. Ideal-...

  • Rekomendasi metodologis untuk kelas praktis Topik: Pendahuluan. Sejarah Singkat Bahasa Latin. Alfabet. Fonetik

    Pedoman

    Besar, atas, kecil, depan, paling sedikit, terbesar. 3) Terjemahkan: A. Mm. palati dan... arti a) Streptocidum b) Barbamylum c) Corticotropinum d) Cholosasum e) Agovirin Fakultas: MTD Modul: bahasa Latin Metodis rekomendasi Untuk ...

  • Pedoman

    ... . Terbesar Dan terkecil nilai-nilai fungsi Terhebat Dan paling sedikit nilai-nilai 2 14. Antiturunan fungsi Antiturunan 2 15. Konsep persamaan diferensial Contoh penggunaan turunan Untuk ...

  • Rekomendasi metodologis untuk pelatihan mandiri taruna dan siswa dalam disiplin “Pelatihan Fisik” Krasnodar

    Pedoman

    ... Terhebat kecepatan gerakan tunggal sukarela dan terkecil... Tersedia sekelompok rekomendasi Oleh... arti memiliki kombinasi rasional tindakan umum dan lokal. 4. Metodis rekomendasi Untuk mandiri mempelajari ... fungsi. Mereka itu ...

  • Rekomendasi metodologis untuk penggunaan buku teks “Aljabar dan analisis matematika, 10”, “Aljabar dan analisis matematika, 11” (penulis: N. Ya. Vilenkin, O. S. Ivashev-Musatov, S. I. Shvartsburd) ketika mempelajari subjek di tingkat profil

    Pedoman

    ... , sekelompok nilai-nilai fungsi, nol fungsi, interval tanda konstan fungsi, kemerataan, keanehan, periodisitas. Nada datar fungsi, interval monotonisitas, ekstrem fungsi. Terhebat Dan paling sedikit nilai-nilai fungsi ...

    • Studi tentang objek semacam itu analisis matematis sebagai fungsinya sangat bagus arti dan di bidang ilmu pengetahuan lainnya. Misalnya, di analisa ekonomi perilaku terus-menerus perlu dinilai fungsi keuntungan, yaitu menentukan sebesar-besarnya arti dan mengembangkan strategi untuk mencapainya.

    instruksi

    Studi tentang perilaku apa pun harus selalu dimulai dengan pencarian domain definisi. Biasanya, berdasarkan kondisi masalah tertentu, perlu ditentukan masalah terbesar arti fungsi baik di seluruh wilayah ini, atau pada interval tertentu dengan batas terbuka atau tertutup.

    Berdasarkan , yang terbesar adalah arti fungsi y(x0), yang mana untuk titik mana pun dalam domain definisi, pertidaksamaan y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) berlaku. Secara grafis, titik ini akan menjadi yang tertinggi jika nilai argumen ditempatkan pada sumbu absis, dan fungsi itu sendiri ditempatkan pada sumbu ordinat.

    Untuk menentukan yang terbesar arti fungsi, ikuti algoritma tiga langkah. Harap dicatat bahwa Anda harus bisa mengerjakan satu sisi dan , serta menghitung turunannya. Jadi, misalkan suatu fungsi y(x) diberikan dan Anda perlu mencari fungsi terbesarnya arti pada interval tertentu dengan nilai batas A dan B.

    Cari tahu apakah interval ini termasuk dalam cakupan definisi fungsi. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukannya dengan mempertimbangkan semua kemungkinan batasan: keberadaan pecahan dalam ekspresi, akar pangkat dua dll. Domain definisi adalah himpunan nilai argumen yang fungsinya masuk akal. Tentukan apakah interval tertentu merupakan bagian dari interval tersebut. Jika ya, lanjutkan ke langkah berikutnya.

    Temukan turunannya fungsi dan selesaikan persamaan yang dihasilkan dengan menyamakan turunannya dengan nol. Dengan cara ini Anda akan mendapatkan nilai yang disebut titik stasioner. Evaluasi apakah paling sedikit salah satunya termasuk dalam interval A, B.

    Pada tahap ketiga, pertimbangkan titik-titik ini dan substitusikan nilainya ke dalam fungsi. Tergantung pada jenis interval, lakukan langkah tambahan berikut. Jika ada segmen berbentuk [A, B], titik batasnya termasuk dalam interval; Hitung Nilai fungsi untuk x = A dan x = B. Jika intervalnya terbuka (A, B), nilai batasnya tertusuk, yaitu. tidak termasuk di dalamnya. Selesaikan limit satu sisi untuk x→A dan x→B. Interval gabungan berbentuk [A, B) atau (A, B), yang salah satu batasnya termasuk dalam interval tersebut, sedangkan batas lainnya tidak termasuk dalam interval tersebut. Tentukan limit satu sisi karena x cenderung ke nilai yang tertusuk, dan substitusikan yang lain ke dalam fungsi. Interval dua sisi tak hingga (-∞, +∞) atau interval tak hingga satu sisi yang bentuknya: , (-∞, B). Untuk limit real A dan B, lanjutkan sesuai prinsip yang telah dijelaskan, dan untuk yang tak terhingga, carilah limit masing-masing x→-∞ dan x→+∞.

    Tugas pada tahap ini

    Dalam banyak bidang kehidupan, Anda mungkin dihadapkan pada kenyataan bahwa Anda perlu menyelesaikan sesuatu dengan menggunakan angka, misalnya di bidang ekonomi dan akuntansi, Anda dapat mengetahui minimum dan maksimum dari beberapa indikator hanya dengan mengoptimalkan parameter yang diberikan. Dan ini tidak lebih dari mencari nilai terbesar dan terkecil pada segmen fungsi tertentu. Sekarang mari kita lihat cara mencari nilai terbesar suatu fungsi.

    Menemukan nilai terbesar: instruksi

    1. Cari tahu di segmen fungsi mana Anda perlu menghitung nilainya, tandai dengan titik. Interval ini dapat terbuka (bila fungsinya sama dengan segmen), tertutup (bila fungsi berada pada segmen) dan tak terhingga (bila fungsinya tidak berakhir).
    2. Temukan fungsi turunannya.
    3. Temukan titik-titik pada segmen fungsi yang turunannya nol dan semua titik kritis. Kemudian hitung nilai fungsi pada titik-titik tersebut dan selesaikan persamaannya. Temukan yang terbesar di antara nilai yang diperoleh.
    4. Identifikasi nilai fungsi pada titik akhir, tentukan yang terbesar
    5. Bandingkan data dengan nilai terbesar dan pilih yang terbesar. Ini akan menjadi nilai fungsi terbesar.

    Bagaimana cara mencari nilai integer terbesar dari suatu fungsi? Anda perlu menghitung apakah fungsinya genap atau ganjil, lalu menyelesaikannya contoh spesifik. Jika bilangan diperoleh dengan pecahan, jangan diperhitungkan; hasil nilai bilangan bulat terbesar dari fungsi tersebut hanya berupa bilangan bulat.

    Pada artikel ini saya akan membahas tentang bagaimana menerapkan keterampilan mencari dalam mempelajari suatu fungsi: mencari nilai terbesar atau terkecilnya. Dan kemudian kita akan menyelesaikan beberapa masalah dari Tugas B15 dari Bank Terbuka tugas untuk .

    Seperti biasa, mari kita ingat dulu teorinya.

    Pada awal setiap studi tentang suatu fungsi, kita menemukannya

    Untuk menemukan nilai terbesar atau terkecil suatu fungsi, Anda perlu memeriksa pada interval mana fungsi tersebut bertambah dan pada interval mana fungsi tersebut berkurang.

    Untuk melakukan ini, kita perlu mencari turunan dari fungsi tersebut dan memeriksa interval tanda konstannya, yaitu interval di mana turunan tersebut mempertahankan tandanya.

    Interval yang turunannya suatu fungsi positif adalah interval kenaikan fungsi.

    Interval yang turunannya suatu fungsi negatif adalah interval penurunan fungsi.

    1 . Ayo selesaikan tugas B15 (No. 245184)

    Untuk mengatasinya, kami akan mengikuti algoritma berikut:

    a) Temukan domain definisi fungsi

    b) Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut.

    c) Mari kita samakan dengan nol.

    d) Mari kita cari interval tanda konstan dari fungsi tersebut.

    e) Temukan titik di mana fungsi tersebut mempunyai nilai terbesar.

    f) Tentukan nilai fungsi pada titik ini.

    Saya menjelaskan solusi terperinci untuk tugas ini di VIDEO TUTORIAL:

    Browser Anda mungkin tidak didukung. Untuk menggunakan pelatih " Jam Ujian Negara Bersatu", coba unduh
    Firefox

    2. Ayo selesaikan tugas B15 (No. 282862)

    Temukan nilai terbesar dari fungsi tersebut pada segmen tersebut

    Jelas sekali bahwa fungsi tersebut mengambil nilai terbesar pada segmen tersebut pada titik maksimum, pada x=2. Mari kita cari nilai fungsinya pada saat ini:

    Jawaban: 5

    3. Mari kita selesaikan tugas B15 (No. 245180):

    Temukan nilai terbesar dari fungsi tersebut

    1. judul="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

    2. Karena menurut domain definisi fungsi aslinya title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

    3. Pembilang sama dengan nol pada . Mari kita periksa apakah itu miliknya fungsi ODZ. Untuk melakukan ini, mari kita periksa apakah kondisi title="4-2x-x^2>0"> при .!}

    Judul="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

    ini berarti titik tersebut termasuk dalam fungsi ODZ

    Mari kita periksa tanda turunan di kanan dan kiri titik:

    Kita melihat bahwa fungsi tersebut memperoleh nilai terbesarnya di titik . Sekarang mari kita cari nilai fungsinya di:

    Catatan 1. Perhatikan bahwa dalam soal ini kami tidak menemukan domain definisi fungsi: kami hanya memperbaiki batasannya dan memeriksa apakah titik di mana turunannya sama dengan nol termasuk dalam domain definisi fungsi. Ternyata ini cukup untuk tugas ini. Namun, hal ini tidak selalu terjadi. Itu tergantung pada tugasnya.

    Catatan 2. Saat mempelajari perilaku fungsi yang kompleks Anda dapat menggunakan aturan ini:

    • Jika fungsi eksternal suatu fungsi kompleks meningkat, maka fungsi tersebut memperoleh nilai terbesarnya pada titik yang sama fungsi dalaman mengambil nilai terbesar. Berikut ini definisi fungsi meningkat: suatu fungsi meningkat pada interval I jika nilai yang lebih tinggi argumen dari interval ini sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar.
    • jika fungsi luar suatu fungsi kompleks berkurang, maka fungsi tersebut mengambil nilai terbesarnya pada titik yang sama di mana fungsi dalam mengambil nilai terkecilnya . Berikut ini definisi fungsi menurun: suatu fungsi menurun pada interval I jika nilai argumen yang lebih besar dari interval ini sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

    Dalam contoh kita, fungsi eksternal meningkat di seluruh domain definisi. Di bawah tanda logaritma ada ekspresi - trinomial kuadrat, yang, dengan koefisien terdepan negatif, mengambil nilai terbesar pada titik tersebut . Selanjutnya, kita substitusikan nilai x ini ke dalam persamaan fungsi dan temukan nilai terbesarnya.