Fungsi f(x,y) dipanggil fungsi homogen argumennya berdimensi n, jika identitasnya benar f(tx,ty) \ekuivalen t^nf(x,y).

Misalnya, fungsi f(x,y)=x^2+y^2-xy adalah fungsi homogen berdimensi kedua, karena

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

Ketika n=0 kita memiliki fungsi berdimensi nol. Misalnya, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2) adalah fungsi homogen berdimensi nol, karena

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

Persamaan diferensial bentuk \frac(dy)(dx)=f(x,y) dikatakan homogen terhadap x dan y jika f(x,y) adalah fungsi homogen dari argumen berdimensi nolnya. Persamaan homogen selalu dapat direpresentasikan sebagai

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\kiri(\frac(y)(x)\kanan).

Dengan memperkenalkan fungsi baru yang diperlukan u=\frac(y)(x) , persamaan (1) dapat direduksi menjadi persamaan dengan variabel pemisah:

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

Jika u=u_0 adalah akar persamaan \varphi(u)-u=0, maka penyelesaian persamaan homogen tersebut adalah u=u_0 atau y=u_0x (garis lurus yang melalui titik asal).

Komentar. Saat menyelesaikan persamaan homogen, tidak perlu direduksi menjadi bentuk (1). Anda bisa langsung melakukan substitusi y=ux .

Contoh 1. Selesaikan persamaan homogen xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

Larutan. Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk y"=\sqrt(1-(\kiri(\frac(y)(x)\kanan)\^2}+\frac{y}{x} !} jadi persamaan ini menjadi homogen terhadap x dan y. Mari kita masukkan u=\frac(y)(x) , atau y=ux . Lalu y"=xu"+u . Mengganti ekspresi y dan y" ke dalam persamaan, kita mendapatkan x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). Kami memisahkan variabel: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). Dari sini, melalui integrasi kita temukan

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), atau \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

Karena C_1|x|=\pm(C_1x) , maka, menyatakan \pm(C_1)=C , kita peroleh \arcsin(u)=\ln(Cx), Di mana |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2) atau e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). Mengganti u dengan \frac(y)(x) , kita memiliki integral umum \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

Oleh karena itu solusi umum: y=x\sin\ln(Cx) .

Saat memisahkan variabel, kita membagi kedua ruas persamaan dengan hasil kali x\sqrt(1-u^2) , sehingga kita bisa kehilangan solusinya, sehingga hasil kali ini hilang.

Sekarang mari kita atur x=0 dan \sqrt(1-u^2)=0 . Tetapi x\ne0 karena substitusi u=\frac(y)(x) , dan dari relasi \sqrt(1-u^2)=0 kita mendapatkan bahwa 1-\frac(y^2)(x^2)=0, dari mana y=\pm(x) . Dengan verifikasi langsung kita yakin bahwa fungsi y=-x dan y=x juga merupakan solusi persamaan ini.

Contoh 2. Pertimbangkan keluarga kurva integral C_\alpha dari persamaan homogen y"=\varphi\!\kiri(\frac(y)(x)\kanan). Tunjukkan bahwa garis singgung pada titik-titik yang bersesuaian dengan kurva yang ditentukan oleh persamaan diferensial homogen ini adalah sejajar satu sama lain.

Catatan: Kami akan menelepon sesuai titik-titik pada kurva C_\alpha yang terletak pada sinar yang sama yang berasal dari titik asal.

Larutan. Menurut definisi poin-poin terkait yang kita miliki \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), jadi berdasarkan persamaan itu sendiri y"=y"_1, di mana y" dan y"_1 adalah koefisien sudut garis singgung kurva integral C_\alpha dan C_(\alpha_1), masing-masing di titik M dan M_1 (Gbr. 12).

Persamaan direduksi menjadi homogen

A. Pertimbangkan persamaan diferensial bentuk

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\right).

dimana a,b,c,a_1,b_1,c_1 adalah konstanta, dan f(u) adalah fungsi kontinu dari argumennya u.

Jika c=c_1=0, maka persamaan (3) homogen dan terintegrasi seperti yang ditunjukkan di atas.

Jika setidaknya salah satu angka c,c_1 berbeda dari nol, maka dua kasus harus dibedakan.

1) Penentu \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. Memasukkan variabel baru \xi dan \eta berdasarkan rumus x=\xi+h,~y=\eta+k, dimana h dan k masih merupakan konstanta yang belum dapat ditentukan, kita reduksi persamaan (3) menjadi bentuk

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\Kanan).

Memilih h dan k sebagai solusi sistem persamaan linear

\begin(kasus)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(kasus)~(\Delta\ne0),

kita memperoleh persamaan homogen \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\kanan). Setelah mencari integral umum dan mengganti \xi dengan x-h dan \eta dengan y-k, kita memperoleh integral umum persamaan (3).

2) Penentu \Delta=\mulai(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. Sistem (4) pada umumnya tidak memiliki solusi dan metode yang diuraikan di atas tidak dapat diterapkan; dalam hal ini \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, dan oleh karena itu persamaan (3) berbentuk \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\right). Mengganti z=ax+by menghasilkan persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan.

Contoh 3. Selesaikan persamaannya (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

Larutan. Pertimbangkan sistem persamaan aljabar linier \begin(kasus)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end(kasus)

Penentu sistem ini \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

Sistem memiliki solusi unik x_0=-1,~y_0=3. Kami melakukan penggantian x=\xi-1,~y=\eta+3 . Maka persamaan (5) akan berbentuk

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

Persamaan ini merupakan persamaan homogen. Pengaturan \eta=u\xi , kita dapatkan

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, Di mana (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

Memisahkan Variabel \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

Mengintegrasikan, kami menemukan \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C) atau \xi^2(1+2u-u^2)=C .

Mari kita kembali ke variabel x,~y :

(x+1)^2\kiri=C_1 atau x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

Contoh 4. Selesaikan persamaannya (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

Larutan. Sistem persamaan aljabar linier \begin(kasus)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(kasus) tidak kompatibel. Dalam hal ini, metode yang digunakan pada contoh sebelumnya tidak cocok. Untuk mengintegrasikan persamaan tersebut, kita menggunakan substitusi x+y=z, dy=dz-dx. Persamaannya akan berbentuk

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

Memisahkan variabel, kita dapatkan

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0 maka x-2z-3\ln|z-2|=C.

Kembali ke variabel x,~y, kita memperoleh integral umum persamaan ini

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

B. Terkadang persamaan dapat dibuat homogen dengan mengganti variabel y=z^\alpha . Hal ini terjadi jika semua suku dalam persamaan berdimensi sama, jika variabel x diberi dimensi 1, variabel y berdimensi \alpha dan turunan \frac(dy)(dx) - berdimensi \alpha-1.

Contoh 5. Selesaikan persamaannya (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

Larutan. Melakukan pergantian pemain y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, dimana \alpha adalah angka arbitrer untuk saat ini, yang akan kita pilih nanti. Mengganti ekspresi y dan dy ke dalam persamaan, kita mendapatkan

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0 atau \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

Perhatikan bahwa x^2z^(3\alpha-1) memiliki dimensi 2+3\alfa-1=3\alfa+1, z^(\alpha-1) memiliki dimensi \alpha-1 , xz^(3\alpha) memiliki dimensi 1+3\alpha . Persamaan yang dihasilkan akan homogen jika pengukuran semua sukunya sama, yaitu. jika syaratnya terpenuhi 3\alfa+1=\alfa-1, atau \alpha-1 .

Mari kita masukkan y=\frac(1)(z) ; persamaan aslinya mengambil bentuk

\kiri(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\kanan)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0 atau (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

Sekarang mari kita taruh z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. Maka persamaan ini akan berbentuk (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, Di mana u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

Memisahkan variabel dalam persamaan ini \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. Mengintegrasikan, kami menemukan

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C) atau \frac(x(u^2+1))(u)=C.

Mengganti u melalui \frac(1)(xy) , kita memperoleh integral umum persamaan ini 1+x^2y^2=Cy.

Persamaan tersebut juga memiliki solusi yang jelas y=0, yang diperoleh dari integral umum di C\to\infty, jika integral tersebut ditulis dalam bentuk y=\frac(1+x^2y^2)(C), lalu lanjutkan ke batas di C\to\infty . Jadi, fungsi y=0 adalah solusi khusus dari persamaan awal.

Javascript dinonaktifkan di browser Anda.
Untuk melakukan penghitungan, Anda harus mengaktifkan kontrol ActiveX!

Saya pikir kita harus mulai dengan sejarah alat matematika yang hebat seperti persamaan diferensial. Seperti semua kalkulus diferensial dan integral, persamaan ini ditemukan oleh Newton pada akhir abad ke-17. Dia menganggap penemuannya ini sangat penting sehingga dia bahkan mengenkripsi pesannya, yang saat ini dapat diterjemahkan seperti ini: “Semua hukum alam dijelaskan dengan persamaan diferensial.” Ini mungkin tampak berlebihan, tetapi ini benar. Hukum fisika, kimia, biologi apa pun dapat dijelaskan dengan persamaan ini.

Matematikawan Euler dan Lagrange memberikan kontribusi besar terhadap pengembangan dan penciptaan teori persamaan diferensial. Sudah di abad ke-18, mereka menemukan dan mengembangkan apa yang sekarang mereka pelajari di program universitas senior.

Tonggak baru dalam studi persamaan diferensial dimulai berkat Henri Poincaré. Dia menciptakan "teori persamaan diferensial kualitatif", yang dikombinasikan dengan teori fungsi variabel kompleks, memberikan kontribusi signifikan terhadap dasar topologi - ilmu ruang dan sifat-sifatnya.

Apa itu persamaan diferensial?

Banyak orang yang takut dengan satu ungkapan. Namun, dalam artikel ini kami akan menguraikan secara rinci seluruh esensi dari peralatan matematika yang sangat berguna ini, yang sebenarnya tidak serumit yang terlihat dari namanya. Untuk mulai membahas persamaan diferensial orde pertama, Anda harus terlebih dahulu memahami konsep dasar yang secara inheren terkait dengan definisi ini. Dan kita akan mulai dengan perbedaannya.

Diferensial

Banyak orang sudah mengetahui konsep ini sejak bangku sekolah. Namun, mari kita lihat lebih dekat. Bayangkan grafik suatu fungsi. Kita dapat meningkatkannya sedemikian rupa sehingga setiap ruasnya akan berbentuk garis lurus. Mari kita ambil dua titik yang jaraknya sangat dekat satu sama lain. Perbedaan antara koordinatnya (x atau y) akan sangat kecil. Disebut diferensial dan dilambangkan dengan tanda dy (diferensial y) dan dx (diferensial x). Sangat penting untuk dipahami bahwa diferensial bukanlah besaran yang terbatas, dan inilah arti dan fungsi utamanya.

Sekarang kita perlu membahas elemen berikutnya, yang akan berguna bagi kita dalam menjelaskan konsep persamaan diferensial. Ini adalah turunan.

Turunan

Kita semua mungkin mendengar konsep ini di sekolah. Turunannya dikatakan sebagai laju kenaikan atau penurunan suatu fungsi. Namun, banyak hal yang menjadi tidak jelas dari definisi ini. Mari kita coba menjelaskan turunan melalui diferensial. Mari kita kembali ke segmen fungsi yang sangat kecil dengan dua titik yang berada pada jarak minimum satu sama lain. Namun bahkan pada jarak ini, fungsinya dapat berubah dalam jumlah tertentu. Dan untuk menggambarkan perubahan ini mereka menghasilkan turunan, yang dapat ditulis sebagai rasio diferensial: f(x)"=df/dx.

Sekarang ada baiknya mempertimbangkan sifat dasar turunannya. Hanya ada tiga di antaranya:

Turunan dari suatu jumlah atau selisih dapat direpresentasikan sebagai jumlah atau selisih dari turunan: (a+b)"=a"+b" dan (a-b)"=a"-b".
Sifat kedua berkaitan dengan perkalian. Turunan suatu hasil kali adalah jumlah hasil kali suatu fungsi dan turunan fungsi lainnya: (a*b)"=a"*b+a*b".
Turunan selisihnya dapat dituliskan sebagai persamaan berikut: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Semua sifat ini akan berguna bagi kita untuk mencari solusi persamaan diferensial orde pertama.

Ada juga turunan parsial. Misalkan kita mempunyai fungsi z yang bergantung pada variabel x dan y. Untuk menghitung turunan parsial dari fungsi ini, katakanlah, terhadap x, kita perlu mengambil variabel y sebagai konstanta dan cukup membedakannya.

Integral

Konsep penting lainnya adalah integral. Faktanya, ini adalah kebalikan dari turunan. Ada beberapa jenis integral, tetapi untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang paling sederhana kita memerlukan persamaan yang paling sepele

Jadi, katakanlah kita mempunyai ketergantungan f pada x. Kita ambil integralnya dan dapatkan fungsi F(x) (sering disebut antiturunan), yang turunannya sama dengan fungsi aslinya. Jadi F(x)"=f(x). Hal ini juga berarti bahwa integral turunannya sama dengan fungsi aslinya.

Saat menyelesaikan persamaan diferensial, sangat penting untuk memahami arti dan fungsi integral, karena Anda harus sering menggunakannya untuk menemukan solusinya.

Persamaan bervariasi tergantung pada sifatnya. Pada bagian selanjutnya, kita akan melihat jenis-jenis persamaan diferensial orde pertama, dan kemudian mempelajari cara menyelesaikannya.

Kelas persamaan diferensial

"Diffurs" dibagi menurut urutan turunan yang terlibat di dalamnya. Jadi ada urutan pertama, kedua, ketiga dan seterusnya. Mereka juga dapat dibagi menjadi beberapa kelas: turunan biasa dan turunan parsial.

Pada artikel ini kita akan melihat persamaan diferensial biasa orde pertama. Kami juga akan membahas contoh dan cara menyelesaikannya pada bagian berikut. Kami hanya akan mempertimbangkan ODE, karena ini adalah jenis persamaan yang paling umum. Yang biasa dibagi menjadi subspesies: dengan variabel yang dapat dipisahkan, homogen dan heterogen. Selanjutnya, Anda akan mempelajari perbedaannya satu sama lain dan mempelajari cara menyelesaikannya.

Selain itu, persamaan-persamaan tersebut dapat digabungkan sehingga diperoleh sistem persamaan diferensial orde pertama. Kami juga akan mempertimbangkan sistem tersebut dan mempelajari cara mengatasinya.

Mengapa kami hanya mempertimbangkan pesanan pertama? Karena Anda harus memulai dengan sesuatu yang sederhana, dan tidak mungkin menjelaskan segala sesuatu yang berhubungan dengan persamaan diferensial dalam satu artikel.

Persamaan yang dapat dipisahkan

Ini mungkin persamaan diferensial orde pertama yang paling sederhana. Ini termasuk contoh yang dapat ditulis seperti ini: y"=f(x)*f(y). Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita memerlukan rumus untuk menyatakan turunan sebagai rasio diferensial: y"=dy/dx. Dengan menggunakannya kita mendapatkan persamaan berikut: dy/dx=f(x)*f(y). Sekarang kita dapat beralih ke metode penyelesaian contoh standar: kita akan membagi variabel menjadi beberapa bagian, yaitu kita akan memindahkan semuanya dengan variabel y ke bagian di mana dy berada, dan melakukan hal yang sama dengan variabel x. Kita memperoleh persamaan berbentuk: dy/f(y)=f(x)dx, yang diselesaikan dengan mengambil integral kedua ruas. Jangan lupa tentang konstanta yang perlu ditetapkan setelah mengambil integral.

Solusi untuk setiap “perbedaan” adalah fungsi ketergantungan x pada y (dalam kasus kita) atau, jika ada kondisi numerik, maka jawabannya dalam bentuk angka. Mari kita lihat keseluruhan proses solusi menggunakan contoh spesifik:

Mari kita pindahkan variabel ke arah yang berbeda:

Sekarang mari kita ambil integralnya. Semuanya dapat ditemukan dalam tabel integral khusus. Dan kami mendapatkan:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Jika diperlukan, kita dapat menyatakan "y" sebagai fungsi dari "x". Sekarang kita dapat mengatakan bahwa persamaan diferensial kita terpecahkan jika kondisinya tidak ditentukan. Suatu kondisi dapat ditentukan, misalnya y(n/2)=e. Kemudian kita cukup mensubstitusikan nilai-nilai variabel tersebut ke dalam solusi dan mencari nilai konstanta. Dalam contoh kita, nilainya adalah 1.

Persamaan diferensial homogen orde pertama

Sekarang mari kita beralih ke bagian yang lebih sulit. Persamaan diferensial homogen orde pertama dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai berikut: y"=z(x,y). Perlu diperhatikan bahwa fungsi ruas kanan dua variabel adalah homogen, dan tidak dapat dibagi menjadi dua ketergantungan : z pada x dan z pada y. Periksa apakah persamaan tersebut homogen atau tidak cukup sederhana: kita melakukan penggantian x = k * x dan y = k * y , maka persamaannya homogen dan kita dapat mulai menyelesaikannya dengan aman, katakanlah: prinsip penyelesaian contoh-contoh ini juga sangat sederhana.

Kita perlu melakukan penggantian: y=t(x)*x, di mana t adalah fungsi tertentu yang juga bergantung pada x. Kemudian kita dapat menyatakan turunannya: y"=t"(x)*x+t. Mengganti semua ini ke dalam persamaan awal dan menyederhanakannya, kita mendapatkan contoh dengan variabel yang dapat dipisahkan t dan x. Kami menyelesaikannya dan mendapatkan ketergantungan t(x). Saat kita menerimanya, kita cukup mengganti y=t(x)*x ke pengganti sebelumnya. Maka kita mendapatkan ketergantungan y pada x.

Agar lebih jelas mari kita lihat contohnya: x*y"=y-x*e y/x .

Saat dicek dengan penggantian, semuanya berkurang. Artinya persamaan tersebut benar-benar homogen. Sekarang kita membuat pengganti lain yang kita bicarakan: y=t(x)*x dan y"=t"(x)*x+t(x). Setelah disederhanakan, kita memperoleh persamaan berikut: t"(x)*x=-et. Kita selesaikan contoh yang dihasilkan dengan variabel terpisah dan dapatkan: e -t =ln(C*x). Yang harus kita lakukan hanyalah mengganti t dengan y/x (jika y =t*x, maka t=y/x), dan kita mendapatkan jawabannya: e -y/x =ln(x*C).

Persamaan diferensial linier orde pertama

Saatnya untuk melihat topik luas lainnya. Kami akan menganalisis persamaan diferensial tak homogen orde pertama. Apa bedanya dengan dua sebelumnya? Mari kita cari tahu. Persamaan diferensial linier orde pertama dalam bentuk umum dapat ditulis sebagai berikut: y" + g(x)*y=z(x). Perlu dijelaskan bahwa z(x) dan g(x) dapat berupa besaran konstan.

Dan sekarang contohnya: y" - y*x=x 2 .

Ada dua solusi, dan kita akan melihat keduanya secara berurutan. Yang pertama adalah metode memvariasikan konstanta sembarang.

Untuk menyelesaikan persamaan dengan cara ini, pertama-tama Anda harus menyamakan ruas kanan dengan nol dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, yang setelah memindahkan bagian-bagiannya, akan berbentuk:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Sekarang kita perlu mengganti konstanta C 1 dengan fungsi v(x), yang harus kita cari.

Mari kita ganti turunannya:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Dan substitusikan ekspresi ini ke persamaan aslinya:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Anda dapat melihat bahwa di sisi kiri ada dua syarat yang dibatalkan. Jika dalam beberapa contoh hal ini tidak terjadi, berarti Anda melakukan kesalahan. Mari kita lanjutkan:

v"*e x2/2 = x 2 .

Sekarang kita selesaikan persamaan biasa di mana kita perlu memisahkan variabel:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Untuk mengekstrak integral, kita harus menerapkan integrasi per bagian di sini. Namun, ini bukan topik artikel kami. Jika Anda tertarik, Anda dapat mempelajari sendiri cara melakukan tindakan tersebut. Ini tidak sulit, dan dengan keterampilan serta kehati-hatian yang memadai, tidak memakan banyak waktu.

Mari kita beralih ke metode kedua untuk menyelesaikan persamaan tak homogen: metode Bernoulli. Pendekatan mana yang lebih cepat dan mudah terserah Anda.

Jadi, saat menyelesaikan persamaan menggunakan metode ini, kita perlu melakukan substitusi: y=k*n. Di sini k dan n adalah beberapa fungsi yang bergantung pada x. Maka turunannya akan terlihat seperti ini: y"=k"*n+k*n". Kita substitusikan kedua pengganti tersebut ke dalam persamaan:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Pengelompokan:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Sekarang kita perlu menyamakan dengan nol apa yang ada di dalam tanda kurung. Sekarang, jika kita menggabungkan dua persamaan yang dihasilkan, kita mendapatkan sistem persamaan diferensial orde pertama yang perlu diselesaikan:

Kami menyelesaikan persamaan pertama sebagai persamaan biasa. Untuk melakukan ini, Anda perlu memisahkan variabel:

Kita ambil integralnya dan mendapatkan: ln(n)=x 2 /2. Lalu, jika kita nyatakan n:

Sekarang kita substitusikan persamaan yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua sistem:

k"*e x2/2 =x 2 .

Dan dengan mentransformasikannya, kita mendapatkan persamaan yang sama seperti pada metode pertama:

dk=x 2 /e x2/2 .

Kami juga tidak akan membahas tindakan lebih lanjut. Patut dikatakan bahwa penyelesaian persamaan diferensial orde pertama pada awalnya menyebabkan kesulitan yang signifikan. Namun, dengan mendalami topik ini lebih dalam, hal itu mulai menjadi lebih baik dan lebih baik lagi.

Di mana persamaan diferensial digunakan?

Persamaan diferensial digunakan dengan sangat aktif dalam fisika, karena hampir semua hukum dasar ditulis dalam bentuk diferensial, dan rumus yang kita lihat adalah solusi dari persamaan tersebut. Dalam kimia, mereka digunakan untuk alasan yang sama: hukum-hukum dasar diturunkan dengan bantuan mereka. Dalam biologi, persamaan diferensial digunakan untuk memodelkan perilaku sistem, seperti predator dan mangsa. Mereka juga dapat digunakan untuk membuat model reproduksi, katakanlah, koloni mikroorganisme.

Bagaimana persamaan diferensial dapat membantu Anda dalam hidup?

Jawaban atas pertanyaan ini sederhana: tidak sama sekali. Jika Anda bukan seorang ilmuwan atau insinyur, kemungkinan besar mereka tidak akan berguna bagi Anda. Namun, untuk pengembangan secara umum, tidak ada salahnya untuk mengetahui apa itu persamaan diferensial dan cara penyelesaiannya. Lalu pertanyaan anak laki-laki atau perempuan adalah “apa itu persamaan diferensial?” tidak akan membingungkanmu. Nah, jika Anda seorang ilmuwan atau insinyur, maka Anda sendiri memahami pentingnya topik ini dalam sains apa pun. Namun yang terpenting sekarang adalah pertanyaan “bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial orde pertama?” Anda selalu bisa memberikan jawaban. Setuju, selalu menyenangkan ketika Anda memahami sesuatu yang orang bahkan takut untuk memahaminya.

Masalah utama dalam belajar

Masalah utama dalam memahami topik ini adalah buruknya keterampilan dalam mengintegrasikan dan membedakan fungsi. Jika Anda tidak pandai mempelajari turunan dan integral, mungkin ada baiknya Anda mempelajari lebih lanjut, menguasai berbagai metode integrasi dan diferensiasi, dan baru kemudian mulai mempelajari materi yang dijelaskan dalam artikel.

Ada yang kaget ketika mengetahui dx dapat dibawa-bawa, karena sebelumnya (di sekolah) disebutkan pecahan dy/dx tidak dapat dibagi. Di sini Anda perlu membaca literatur tentang turunan dan memahami bahwa turunan adalah rasio besaran yang sangat kecil yang dapat dimanipulasi saat menyelesaikan persamaan.

Banyak orang tidak segera menyadari bahwa menyelesaikan persamaan diferensial orde pertama seringkali merupakan fungsi atau integral yang tidak dapat diambil, dan kesalahpahaman ini menimbulkan banyak masalah bagi mereka.

Apa lagi yang bisa Anda pelajari untuk pemahaman yang lebih baik?

Yang terbaik adalah memulai perendaman lebih lanjut dalam dunia kalkulus diferensial dengan buku teks khusus, misalnya, tentang analisis matematika untuk siswa dari spesialisasi non-matematika. Kemudian Anda dapat beralih ke literatur yang lebih terspesialisasi.

Patut dikatakan bahwa, selain persamaan diferensial, ada juga persamaan integral, sehingga Anda akan selalu memiliki sesuatu untuk diperjuangkan dan dipelajari.

Kesimpulan

Kami berharap setelah membaca artikel ini Anda memiliki gambaran tentang apa itu persamaan diferensial dan cara menyelesaikannya dengan benar.

Bagaimanapun, matematika akan berguna bagi kita dalam kehidupan dalam beberapa hal. Ini mengembangkan logika dan perhatian, yang tanpanya setiap orang tidak memiliki tangan.

Misalnya saja fungsinya
adalah fungsi homogen dari dimensi pertama, karena

adalah fungsi homogen dari dimensi ketiga, karena

adalah fungsi homogen dari dimensi nol, karena

, yaitu
.

Definisi 2. Persamaan diferensial orde pertama kamu" = F(X, kamu) disebut homogen jika fungsinya F(X, kamu) adalah fungsi homogen dari dimensi nol terhadap X Dan kamu, atau, seperti yang mereka katakan, F(X, kamu) adalah fungsi homogen berderajat nol.

Hal ini dapat direpresentasikan dalam bentuk

yang memungkinkan kita mendefinisikan persamaan homogen sebagai persamaan diferensial yang dapat diubah ke bentuk (3.3).

Penggantian
mereduksi persamaan homogen menjadi persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan. Memang setelah pergantian pemain kamu =xz kita dapatkan
,
Memisahkan variabel dan mengintegrasikannya, kita menemukan:

Contoh 1. Selesaikan persamaannya.

Δ Kami berasumsi kamu =zx,
Gantikan ekspresi ini kamu Dan mati ke dalam persamaan ini:
atau
Kami memisahkan variabel:
dan mengintegrasikan:
,

Mengganti z pada , kita dapatkan
.

Contoh 2. Temukan solusi umum persamaan tersebut.

Δ Dalam persamaan ini P (X,kamu) =X 2 -2kamu 2 ,Q(X,kamu) =2xy adalah fungsi homogen dari dimensi kedua, oleh karena itu persamaan ini homogen. Hal ini dapat direpresentasikan dalam bentuk
dan selesaikan sama seperti di atas. Namun kami menggunakan bentuk pencatatan yang berbeda. Ayo taruh kamu = zx, Di mana mati = zdx + xdz. Mengganti ekspresi ini ke dalam persamaan asli, kita akan mendapatkan

dx+2 zxdz = 0 .

Kami memisahkan variabel dengan menghitung

Mari kita integrasikan persamaan ini suku demi suku

, Di mana

yaitu
. Kembali ke fungsi sebelumnya
menemukan solusi umum


Contoh 3 . Temukan solusi umum persamaan tersebut
.

Δ Rantai transformasi: ,kamu = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

Kuliah 8.

4. Persamaan diferensial linier orde pertama Persamaan diferensial linier orde pertama mempunyai bentuk

Berikut suku bebasnya, disebut juga ruas kanan persamaan. Persamaan linier dalam bentuk ini akan kita bahas sebagai berikut.

Jika
0, maka persamaan (4.1a) disebut linier tidak homogen. Jika
0, maka persamaannya berbentuk

dan disebut homogen linier.

Nama persamaan (4.1a) dijelaskan oleh fakta bahwa fungsinya tidak diketahui kamu dan turunannya masukkan secara linear, mis. pada tingkat pertama.

Dalam persamaan homogen linier, variabel-variabelnya dipisahkan. Menulis ulang dalam formulir
Di mana
dan mengintegrasikan, kita mendapatkan:
,itu.

Ketika dibagi kita kehilangan keputusan
. Namun, hal ini dapat dimasukkan dalam kelompok solusi yang ditemukan (4.3), jika kita berasumsi demikian DENGAN juga dapat mengambil nilai 0.

Ada beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan (4.1a). Menurut metode Bernoulli, solusinya dicari sebagai produk dari dua fungsi X:

Salah satu fungsi ini dapat dipilih secara sewenang-wenang, karena hanya produknya sinar UV harus memenuhi persamaan awal, persamaan lainnya ditentukan berdasarkan persamaan (4.1a).

Membedakan kedua sisi persamaan (4.4), kita temukan
.

Mengganti ekspresi yang dihasilkan untuk turunannya , serta nilainya pada ke dalam persamaan (4.1a), kita peroleh
, atau

itu. sebagai sebuah fungsi ay Mari kita ambil solusi persamaan linear homogen (4.6):

(Di Sini C Penting untuk menulis, jika tidak, Anda tidak akan mendapatkan solusi umum, tetapi solusi khusus).

Jadi, kita melihat bahwa akibat substitusi yang digunakan (4.4), persamaan (4.1a) direduksi menjadi dua persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan (4.6) dan (4.7).

Mengganti
Dan ay(x) ke dalam rumus (4.4), akhirnya kita peroleh

Contoh 1. Temukan solusi umum persamaan tersebut

 Mari kita taruh
, Kemudian
. Mengganti ekspresi Dan ke dalam persamaan awal, kita dapatkan
atau
(*)

Mari kita atur koefisiennya menjadi nol sama dengan :

Memisahkan variabel-variabel dalam persamaan yang dihasilkan, kita punya

(konstanta sewenang-wenang C kami tidak menulis), dari sini ay= X. ay Nilai yang ditemukan

,
,
.

substitusikan ke persamaan (*):
Karena itu,

solusi umum persamaan awal.

Perhatikan bahwa persamaan (*) dapat ditulis dalam bentuk ekuivalen: Memilih fungsi secara acak kamu ay, bukan
, kami bisa percaya ay pada Memilih fungsi secara acak. Solusi ini berbeda dari yang dipertimbangkan hanya dalam penggantiannya Memilih fungsi secara acak pada ay(dan karena itu pada), jadi nilai akhirnya

ternyata sama.

Berdasarkan penjelasan di atas, kita memperoleh algoritma untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier orde pertama. pada Perhatikan lebih lanjut bahwa terkadang persamaan orde pertama menjadi linier jika X dianggap sebagai variabel independen, dan X Dan kamu– tergantung, yaitu berganti peran X Dan dx. Hal ini dapat dilakukan dengan syarat

masukkan persamaan secara linear. . Contoh 2
.

Selesaikan persamaannya pada.

Secara tampilan, persamaan ini tidak linier terhadap fungsinya X Namun jika kita pertimbangkan pada sebagai fungsi dari
, kemudian, mengingat itu

(4.1 , itu bisa dibawa ke bentuk)

B pada Mengganti
atau
, kita dapatkan . Membagi kedua ruas persamaan terakhir dengan hasil kali ya

, mari kita bentuk
. (**)

, atau
Di sini P(y)=, X. Ini adalah persamaan linier terhadap
,
. Mengganti ekspresi ini ke (**), kita mendapatkan

atau
.

Mari kita pilih v sehingga
,
, Di mana
;
. Selanjutnya kita punya
,
,
.

Karena
, maka kita sampai pada solusi umum persamaan ini dalam bentuk

.

Perhatikan bahwa dalam persamaan (4.1a) P(X) Dan Q (X) dapat dimasukkan tidak hanya dalam bentuk fungsi dari X, tetapi juga konstanta: P= A,Q= B. Persamaan linier

juga dapat diselesaikan dengan substitusi y= sinar UV dan pemisahan variabel:

;
.

Dari sini
;
;
; Di mana
. Membebaskan diri dari logaritma, kita memperoleh solusi umum persamaan tersebut

(Di Sini
).

Pada B= 0 kita sampai pada solusi persamaan tersebut

(lihat persamaan pertumbuhan eksponensial (2.4) di
).

Pertama, kita integrasikan persamaan homogen yang sesuai (4.2). Sebagaimana dinyatakan di atas, solusinya berbentuk (4.3). Kami akan mempertimbangkan faktornya DENGAN pada (4.3) sebagai fungsi dari X, yaitu pada dasarnya membuat perubahan variabel

dari mana, mengintegrasikan, kita temukan

Perhatikan bahwa menurut (4.14) (lihat juga (4.9)), solusi umum persamaan linier tak homogen sama dengan jumlah solusi umum persamaan homogen yang bersesuaian (4.3) dan solusi khusus persamaan tak homogen yang didefinisikan oleh suku kedua termasuk dalam (4.14) (dan dalam (4.9)).

Saat menyelesaikan persamaan tertentu, Anda harus mengulangi perhitungan di atas, dan tidak menggunakan rumus yang rumit (4.14).

Mari kita terapkan metode Lagrange pada persamaan yang dipertimbangkan dalam contoh 1 :

Kami mengintegrasikan persamaan homogen yang sesuai
.

Memisahkan variabel, kita dapatkan
dan seterusnya
. Memecahkan ekspresi dengan rumus kamu = Cx. Kami mencari solusi persamaan awal dalam bentuk kamu = C(X)X. Mengganti ekspresi ini ke dalam persamaan yang diberikan, kita mendapatkan
;
;
,
. Solusi umum persamaan awal memiliki bentuk

Sebagai kesimpulan, kami mencatat bahwa persamaan Bernoulli direduksi menjadi persamaan linier

, (
)

yang dapat ditulis dalam bentuk

Penggantian
itu direduksi menjadi persamaan linier:

,
,
.

Persamaan Bernoulli juga dapat diselesaikan dengan menggunakan metode yang diuraikan di atas.

Contoh 3 . Temukan solusi umum persamaan tersebut
.

 Rantai transformasi:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,


Persamaan diferensial homogen orde pertama adalah persamaan bentuk
, dimana f adalah suatu fungsi.

Cara menentukan persamaan diferensial homogen

Untuk menentukan apakah persamaan diferensial orde pertama homogen, Anda perlu memasukkan konstanta t dan mengganti y dengan ty dan x dengan tx: y → ty, x → tx. Jika t dibatalkan, maka ini persamaan diferensial homogen
.

. Turunan y′ tidak berubah dengan transformasi ini.

Contoh

Tentukan apakah persamaan tertentu homogen

Larutan

Kami melakukan penggantian y → ty, x → tx. 2 .

.
Bagilah dengan t

Persamaannya tidak mengandung t.

Persamaan diferensial homogen orde pertama direduksi menjadi persamaan dengan variabel-variabel yang dapat dipisahkan dengan menggunakan substitusi y = ux.
Mari kita tunjukkan. Perhatikan persamaannya:
(Saya)
Mari kita lakukan substitusi:
y = ux,
dimana u adalah fungsi dari x.
Diferensialkan terhadap x: Mari kita tunjukkan. Perhatikan persamaannya:.
,
,
kamu′ = .
Substitusikan ke persamaan awal (ii).

Mari kita pisahkan variabelnya. Kalikan dengan dx dan bagi dengan x ( f(kamu) - kamu ) Di f 0 (kamu) - kamu ≠ 0

dan x ≠

kita mendapatkan: Mari kita tunjukkan. Perhatikan persamaannya: Mari berintegrasi:

Jadi, kita telah memperoleh integral umum persamaan tersebut dalam kuadratur: Mari kita ganti konstanta integrasi C dengan

di C

, Kemudian Mari kita hilangkan tanda modulus, karena tanda yang diinginkan ditentukan oleh pilihan tanda konstanta C..
Maka integral umum akan berbentuk: kamu′ = Selanjutnya kita harus mempertimbangkan kasus f kamu′ =(kamu) - kamu = 0 Mari kita tunjukkan. Perhatikan persamaannya:.

Jika persamaan ini memiliki akar-akar, maka persamaan tersebut merupakan solusi dari persamaan tersebut . Sejak Persamaan. tidak sesuai dengan persamaan awal, maka Anda harus memastikan bahwa solusi tambahan memenuhi persamaan awal Setiap kali kita, dalam proses transformasi, membagi persamaan apa pun dengan beberapa fungsi, yang kita nyatakan sebagai g(x, kamu) , maka transformasi selanjutnya berlaku untuk g.

(x, y) ≠ 0

.

Tentukan apakah persamaan tertentu homogen

Oleh karena itu, kasus g harus dipertimbangkan secara terpisah
,
,
.
(x, kamu) = 0

Contoh penyelesaian persamaan diferensial orde satu yang homogen

Selesaikan persamaannya
dimana u adalah fungsi dari x. Mari kita periksa apakah persamaan ini homogen. Kami melakukan penggantian y → ty, x → tx.
Dalam hal ini, y′ → y′.
,
,
,
.
Kami mempersingkatnya dengan t. 0 Konstanta t mengalami penurunan. Oleh karena itu persamaannya homogen. 0 Kita melakukan substitusi y = ux, dimana u adalah fungsi dari x. 0 (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u 0 .
,
Substitusikan ke persamaan awal.

Ketika x ≥ 2 - 1 ≠ 0 , |x| = x.

dan x ≠

Ketika x ≤
.

, |x| = - x .
Kita menulis |x| = x artinya tanda paling atas mengacu pada nilai x ≥.
, dan yang lebih rendah - ke nilai x ≤
.
Kalikan dengan dx dan bagi dengan .
.
Ketika kamu
.

kami memiliki:
,
.
Integral tabel,

Mari kita terapkan rumusnya:
,
.
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2
,
,
.

Misalkan a = u, . 2 - 1 = 0 .
Mari kita ambil kedua sisi modulo dan logaritma,
.
Dari sini

Jadi kita punya:

,
,
.

Kami menghilangkan tanda modulus, karena tanda yang diinginkan dipastikan dengan memilih tanda konstanta C.
Kalikan dengan x dan gantikan ux = y.

Kuadratkan.

Sekarang perhatikan kasusnya, u Akar persamaan ini Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa fungsi y = x memenuhi persamaan awal. Menjawab Sastra bekas: N.M. Gunther, RO. Kuzmin, Kumpulan Masalah Matematika Tinggi, “Lan”, 2003. jenis remote control ini ditemukan di hampir semua pekerjaan uji pada topik diffuser. Jika Anda membuka halaman tersebut dari mesin pencari atau tidak terlalu yakin dalam memahami persamaan diferensial, maka pertama-tama saya sangat menyarankan untuk mempelajari pelajaran pengantar tentang topik tersebut - Persamaan diferensial orde pertama. Faktanya adalah banyak prinsip untuk menyelesaikan persamaan homogen dan teknik yang digunakan akan sama persis dengan persamaan paling sederhana dengan variabel yang dapat dipisahkan.

Apa perbedaan persamaan diferensial homogen dengan persamaan diferensial jenis lainnya? Cara termudah untuk segera menjelaskan hal ini adalah dengan contoh spesifik.

Contoh 1

Larutan:
Apa Pertama harus dianalisis ketika mengambil keputusan setiap persamaan diferensial pesanan pertama? Pertama-tama, perlu untuk memeriksa apakah mungkin untuk segera memisahkan variabel menggunakan tindakan “sekolah”? Biasanya analisis ini dilakukan secara mental atau dengan mencoba memisahkan variabel-variabel dalam suatu rancangan.

Dalam contoh ini variabel tidak dapat dipisahkan(Anda dapat mencoba membuang suku dari satu bagian ke bagian lain, menaikkan faktor di luar tanda kurung, dll.). Omong-omong, dalam contoh ini, fakta bahwa variabel tidak dapat dibagi cukup jelas karena adanya pengali.

Timbul pertanyaan: bagaimana mengatasi permasalahan yang tersebar luas ini?

Perlu memeriksa dan Bukankah persamaan ini homogen?? Verifikasinya sederhana, dan algoritma verifikasinya sendiri dapat dirumuskan sebagai berikut:

Ke persamaan aslinya:

alih-alih kami menggantinya, alih-alih kami menggantinya, kami tidak menyentuh turunannya:

Huruf lambda adalah parameter kondisional, dan di sini ia memainkan peran berikut: jika, sebagai hasil transformasi, SEMUA lambda dapat “dihancurkan” dan memperoleh persamaan aslinya, maka persamaan diferensial ini adalah homogen.

Jelas sekali bahwa lambda segera dikurangi dengan eksponen:

Sekarang di sisi kanan kita mengeluarkan lambda dari tanda kurung:

dan bagi kedua bagian dengan lambda yang sama ini:

Sebagai akibat Semua Lambda menghilang seperti mimpi, seperti kabut pagi, dan kami mendapatkan persamaan aslinya.

Kesimpulan: Persamaan ini homogen

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan diferensial homogen?

Saya punya kabar baik. Benar-benar semua persamaan homogen dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi standar tunggal (!).

Fungsi “permainan” seharusnya mengganti bekerja beberapa fungsi (juga bergantung pada “x”) dan "x":

Mereka hampir selalu menulis secara singkat:

Kami mencari tahu turunannya akan berubah menjadi apa dengan penggantian seperti itu, kami menggunakan aturan diferensiasi produk. Jika , maka:

Kami substitusikan ke persamaan asli:

Apa yang akan diberikan oleh pengganti seperti itu? Setelah penggantian dan penyederhanaan ini, kami terjamin kita memperoleh persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan. INGAT seperti cinta pertama :) dan, karenanya, .

Setelah substitusi, kami melakukan penyederhanaan maksimal:

Karena suatu fungsi bergantung pada “x”, maka turunannya dapat dituliskan sebagai pecahan baku: .
Dengan demikian:

Kami memisahkan variabel, sedangkan di sisi kiri Anda hanya perlu mengumpulkan “te”, dan di sisi kanan – hanya “x”:

Variabelnya dipisahkan, mari kita integrasikan:

Menurut tip teknis pertama saya dari artikel tersebut Persamaan diferensial orde pertama dalam banyak kasus disarankan untuk “merumuskan” konstanta dalam bentuk logaritma.

Setelah persamaan diintegrasikan, kita perlu melaksanakannya penggantian terbalik, ini juga standar dan unik:
Jika , maka
Dalam hal ini:

Dalam 18-19 kasus dari 20 kasus, solusi persamaan homogen ditulis sebagai integral umum.

Menjawab: integral umum:

Mengapa jawaban persamaan homogen hampir selalu diberikan dalam bentuk integral umum?
Dalam kebanyakan kasus, tidak mungkin untuk mengungkapkan “permainan” secara eksplisit (untuk mendapatkan solusi umum), dan jika memungkinkan, seringkali solusi umum menjadi rumit dan kikuk.

Jadi, misalnya, dalam contoh yang dipertimbangkan, solusi umum dapat diperoleh dengan menimbang logaritma pada kedua sisi integral umum:

- Yah, tidak apa-apa. Meski harus diakui, masih sedikit bengkok.

Omong-omong, dalam contoh ini saya tidak menuliskan integral umum dengan cukup “sopan”. Itu bukan kesalahan, tetapi dalam gaya “baik”, saya ingatkan Anda bahwa integral umum biasanya ditulis dalam bentuk . Untuk melakukan ini, segera setelah integrasi persamaan, konstanta harus ditulis tanpa logaritma apa pun (inilah pengecualian terhadap aturan tersebut!):

Dan setelah substitusi terbalik, dapatkan integral umum dalam bentuk “klasik”:

Jawaban yang diterima dapat diperiksa. Untuk melakukan ini, Anda perlu membedakan integral umum, yaitu temukan turunan dari suatu fungsi yang ditentukan secara implisit:

Kita menghilangkan pecahan dengan mengalikan setiap ruas persamaan dengan:

Persamaan diferensial asli telah diperoleh yang berarti penyelesaiannya telah ditemukan dengan benar.

Dianjurkan untuk selalu memeriksa. Namun persamaan homogen tidak menyenangkan karena biasanya sulit untuk memeriksa integral umumnya - hal ini memerlukan teknik diferensiasi yang sangat, sangat baik. Dalam contoh yang dipertimbangkan, selama verifikasi, perlu untuk menemukan bukan turunan yang paling sederhana (walaupun contohnya sendiri cukup sederhana). Jika Anda dapat memeriksanya, periksalah!

masukkan persamaan secara linear.

Periksa persamaan untuk homogenitas dan temukan integral umumnya.

Tulis jawabannya di formulir

Ini adalah contoh untuk Anda putuskan sendiri - sehingga Anda merasa nyaman dengan algoritme tindakan itu sendiri. Anda dapat melakukan pemeriksaan di waktu senggang Anda, karena... ini cukup rumit, dan saya bahkan tidak repot-repot menyajikannya, jika tidak, Anda tidak akan menjadi maniak seperti itu lagi :)

Dan sekarang poin penting yang dijanjikan, yang disebutkan di awal topik,
Saya akan menyorot dengan huruf hitam tebal:

Jika selama transformasi kita “mengatur ulang” pengganda (bukan konstanta)ke dalam penyebut, maka kita RESIKO kehilangan solusi!

Faktanya, kami menemukan ini pada contoh pertama pelajaran pengantar tentang persamaan diferensial. Dalam proses penyelesaian persamaan, “y” ternyata berada pada penyebut: , tetapi, jelas, merupakan solusi untuk DE dan sebagai akibat dari transformasi (pembagian) yang tidak sama, ada kemungkinan kehilangannya! Hal lainnya adalah bahwa ia dimasukkan dalam solusi umum dengan nilai konstanta nol. Menyetel ulang “X” pada penyebut juga bisa diabaikan, karena tidak memuaskan diffuser asli.

Cerita serupa dengan persamaan ketiga dari pelajaran yang sama, selama penyelesaiannya kita “jatuhkan” ke dalam penyebutnya. Sebenarnya di sini perlu dicek apakah diffuser ini solusinya? Bagaimanapun, itu benar! Tetapi bahkan di sini “semuanya baik-baik saja”, karena fungsi ini termasuk dalam integral umum pada .

Dan jika ini sering berhasil dengan persamaan yang “dapat dipisahkan”, maka dengan persamaan homogen dan beberapa diffuser lainnya mungkin tidak berhasil. Sangat mungkin.

Mari kita menganalisis masalah yang telah diselesaikan dalam pelajaran ini: in Contoh 1 ada "reset" dari X, tetapi ini tidak bisa menjadi solusi persamaan. Tapi di Contoh 2 kami dibagi menjadi , tapi dia juga “lolos”: karena , solusinya tidak mungkin hilang, solusinya tidak ada di sini. Namun, tentu saja, saya sengaja menciptakan “acara bahagia”, dan bukan fakta bahwa dalam praktiknya hal-hal berikut ini akan terjadi:

Contoh 3

Selesaikan persamaan diferensial

Contoh sederhananya bukan? ;-)

Larutan: homogenitas persamaan ini jelas, tapi tetap saja - pada langkah pertama Kami SELALU memeriksa apakah mungkin untuk memisahkan variabel. Sebab persamaannya juga homogen, namun variabel-variabel di dalamnya mudah dipisahkan. Ya, ada beberapa!

Setelah memeriksa “keterpisahan”, kami melakukan penggantian dan menyederhanakan persamaan sebanyak mungkin:

Kita pisahkan variabelnya, kumpulkan “te” di sebelah kiri, dan “x” di sebelah kanan:

Dan di sini BERHENTI. Saat membaginya, kita berisiko kehilangan dua fungsi sekaligus. Karena , berikut fungsinya:

Fungsi pertama jelas merupakan solusi persamaan tersebut . Kami memeriksa yang kedua - kami juga mengganti turunannya ke dalam diffuser kami:

– diperoleh persamaan yang benar, yang berarti fungsi tersebut merupakan solusi.

DAN kita berisiko kehilangan keputusan ini.

Selain itu, penyebutnya ternyata “X”, namun, penggantiannya menyiratkan bahwa itu bukan nol. Ingat fakta ini. Tetapi! Pastikan untuk memeriksanya, adalah solusi persamaan diferensial ASLI. Tidak, tidak.

Mari kita catat semua ini dan lanjutkan:

Saya harus mengatakan, saya beruntung dengan integral di sisi kiri;

Kami mengumpulkan satu logaritma di sisi kanan dan melepaskan belenggu:

Dan sekarang penggantian sebaliknya:

Mari kalikan semua suku dengan:

Sekarang Anda harus memeriksa - apakah solusi “berbahaya” dimasukkan dalam integral umum. Ya, kedua solusi tersebut dimasukkan ke dalam integral umum dengan nilai konstanta nol: , sehingga tidak perlu dicantumkan tambahan dalam menjawab:

integral umum:

Penyelidikan. Bahkan bukan ujian, tapi kesenangan murni :)

Persamaan diferensial asli telah diperoleh yang berarti penyelesaiannya telah ditemukan dengan benar.

Untuk mengatasinya sendiri:

Contoh 4

Lakukan uji homogenitas dan selesaikan persamaan diferensial

Periksa integral umum dengan diferensiasi.

Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Mari kita perhatikan beberapa contoh ketika persamaan homogen diberikan dengan diferensial yang sudah jadi.

Contoh 5

Selesaikan persamaan diferensial

Ini adalah contoh yang sangat menarik, sebuah thriller keseluruhan!

Larutan Kita akan terbiasa mendesainnya dengan lebih kompak. Pertama, secara mental atau pada draft, kita pastikan bahwa variabel-variabel di sini tidak dapat dipisahkan, setelah itu kita melakukan uji homogenitas - ini biasanya tidak dilakukan pada draft akhir. (kecuali diperlukan secara khusus). Jadi, solusinya hampir selalu dimulai dengan entri: “ Persamaan ini homogen, mari kita lakukan penggantian: ...».

Jika persamaan homogen mengandung diferensial yang sudah jadi, maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan substitusi yang dimodifikasi:

Tetapi saya tidak menyarankan penggunaan substitusi seperti itu, karena ini akan menjadi Tembok Besar Perbedaan Tiongkok, di mana Anda memerlukan mata dan mata. Dari sudut pandang teknis, akan lebih menguntungkan untuk beralih ke sebutan turunan “putus-putus” untuk melakukan ini, kita membagi semua suku persamaan dengan:

Dan di sini kita telah melakukan transformasi yang “berbahaya”! Diferensial nol berhubungan dengan kelompok garis lurus yang sejajar dengan sumbu. Apakah mereka adalah akar dari DU kita? Mari kita substitusikan ke persamaan awal:

Persamaan ini berlaku jika, yaitu, ketika membagi dengan kita berisiko kehilangan solusinya, dan kami kehilangan dia- sejak itu tidak lagi memuaskan persamaan yang dihasilkan .

Perlu dicatat bahwa jika kita mulanya persamaan tersebut diberikan , maka tidak akan ada pembicaraan tentang root. Tapi kami memilikinya, dan kami menangkapnya tepat waktu.

Kami melanjutkan solusi dengan penggantian standar:
:

Setelah substitusi, kita sederhanakan persamaannya sebanyak mungkin:

Kami memisahkan variabel:

Dan di sini lagi BERHENTI: ketika membagi dengan kita berisiko kehilangan dua fungsi. Karena , berikut fungsinya:

Jelasnya, fungsi pertama adalah solusi persamaan tersebut . Kami memeriksa yang kedua - kami juga mengganti turunannya:

- diterima kesetaraan yang sebenarnya, yang berarti fungsi tersebut juga merupakan solusi persamaan diferensial.

Dan ketika kita membaginya, kita berisiko kehilangan solusi ini. Namun, mereka bisa masuk ke dalam integral umum. Tapi mereka tidak boleh masuk

Mari kita perhatikan ini dan integrasikan kedua bagian tersebut:

Integral ruas kiri diselesaikan dengan cara standar menggunakan menyorot kotak yang lengkap, tapi jauh lebih nyaman digunakan dalam diffuser metode koefisien tidak pasti:

Dengan menggunakan metode koefisien tak tentu, kami memperluas integran menjadi jumlah pecahan dasar:

Dengan demikian:

Menemukan integral:

– karena kita hanya menggambar logaritma, kita juga memasukkan konstanta ke bawah logaritma.

Sebelum diganti sekali lagi menyederhanakan segala sesuatu yang dapat disederhanakan:

Menyetel ulang rantai:

Dan penggantian sebaliknya:

Sekarang mari kita ingat tentang “barang yang hilang”: penyelesaiannya termasuk dalam integral umum di , tetapi penyelesaiannya “melewati mesin kasir”, karena ternyata penyebutnya. Oleh karena itu, dalam jawabannya diberikan frasa terpisah, dan ya - jangan lupa tentang solusi yang hilang, yang ternyata juga ada di bawah.

Menjawab: integral umum: . Solusi lainnya:

Tidak sulit untuk mengungkapkan solusi umum di sini:
, tapi ini sudah menjadi pamer.

Namun, nyaman untuk diperiksa. Mari kita cari turunannya:

dan penggantinya ke sisi kiri persamaan:

– sebagai hasilnya, diperoleh ruas kanan persamaan yang perlu diperiksa.

Diffuser berikut ini berdiri sendiri:

Contoh 6

Selesaikan persamaan diferensial

Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran. Cobalah untuk mengungkapkan solusi umum di sini sekaligus untuk latihan.

Di bagian akhir pelajaran, kita akan membahas beberapa tugas umum tentang topik tersebut:

Contoh 7

Selesaikan persamaan diferensial

Larutan: Mari kita ikuti jalan yang dilalui. Persamaan ini homogen, mari kita lakukan penggantian:

Tanda “X” baik-baik saja di sini, tapi bagaimana dengan trinomial kuadrat? Karena tidak dapat diuraikan menjadi faktor-faktor: , maka kita pasti tidak akan kehilangan solusi. Akan selalu seperti ini! Pilih kotak lengkap di sisi kiri dan integrasikan:

Tidak ada yang perlu disederhanakan di sini, dan oleh karena itu penggantian sebaliknya:

Menjawab: integral umum:

Contoh 8

Selesaikan persamaan diferensial

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri.

Jadi:

Untuk konversi yang tidak setara, SELALU periksa (setidaknya secara lisan), Apakah Anda kehilangan solusi Anda? Apa saja transformasi tersebut? Biasanya memperpendek atau membagi sesuatu. Jadi, misalnya, saat membagi dengan, Anda perlu memeriksa apakah fungsi-fungsi tersebut merupakan solusi persamaan diferensial. Pada saat yang sama, ketika membagi dengan, pemeriksaan seperti itu tidak lagi diperlukan - karena pembagi ini tidak menjadi nol.

Inilah situasi berbahaya lainnya:

Di sini, menyingkirkan , Anda harus memeriksa apakah DE adalah solusinya. Seringkali, “x” dan “y” digunakan sebagai pengali, dan dengan mereduksinya, kita kehilangan fungsi yang mungkin bisa menjadi solusi.

Di sisi lain, jika ada sesuatu yang AWALnya ada pada penyebutnya, maka tidak ada alasan untuk khawatir. Jadi, dalam persamaan homogen, Anda tidak perlu mengkhawatirkan fungsinya karena fungsi tersebut “dideklarasikan” dalam penyebutnya.

Seluk-beluk yang tercantum tidak kehilangan relevansinya, bahkan jika masalahnya hanya memerlukan solusi tertentu. Meskipun kecil, ada kemungkinan kita akan kehilangan solusi tertentu yang diperlukan. Apakah itu benar? Masalah Cauchy dalam tugas praktek dengan persamaan homogen jarang ditanyakan. Namun, ada contoh seperti itu di artikel tersebut Persamaan direduksi menjadi homogen, yang saya rekomendasikan untuk dipelajari secara “hot on the heels” untuk memperkuat keterampilan pemecahan masalah Anda.

Ada juga persamaan homogen yang lebih kompleks. Kesulitannya bukan terletak pada perubahan atau penyederhanaan variabel, melainkan pada integral yang agak sulit atau jarang yang timbul akibat pemisahan variabel. Saya punya contoh solusi untuk persamaan homogen seperti itu - integral yang menakutkan dan jawaban yang menakutkan. Tapi kita tidak akan membicarakannya, karena dalam pelajaran berikutnya (lihat di bawah) Saya masih punya waktu untuk menyiksa Anda, saya ingin melihat Anda segar dan optimis!

Selamat berpromosi!

Solusi dan jawaban:

Contoh 2: Larutan: Mari kita periksa persamaan homogenitasnya, untuk tujuan ini dalam persamaan aslinya alih-alih mari kita gantikan , dan alih-alih mari kita gantikan:

Hasilnya diperoleh persamaan asli yang berarti DE ini homogen.