§ 1 Persamaan rasional bilangan bulat dan pecahan
Dalam pelajaran ini kita akan melihat konsep-konsep seperti persamaan rasional, ekspresi rasional, ekspresi bilangan bulat, ekspresi pecahan. Mari kita pertimbangkan penyelesaian persamaan rasional.
Persamaan rasional adalah persamaan yang mempunyai ruas kiri dan ruas kanan ekspresi rasional.
Ekspresi rasional adalah:
Pecahan.
Ekspresi bilangan bulat terdiri dari bilangan, variabel, pangkat bilangan bulat menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dengan bilangan selain nol.
Misalnya:
Ekspresi pecahan melibatkan pembagian dengan variabel atau ekspresi dengan variabel. Misalnya:
Ekspresi pecahan tidak masuk akal untuk semua nilai variabel yang termasuk di dalamnya. Misalnya saja ungkapan
pada x = -9 tidak masuk akal, karena pada x = -9 penyebutnya menjadi nol.
Artinya persamaan rasional bisa berupa bilangan bulat atau pecahan.
Persamaan rasional utuh adalah persamaan rasional yang ruas kiri dan ruas kanannya merupakan ekspresi bilangan bulat.
Misalnya:
Persamaan rasional pecahan adalah persamaan rasional yang ruas kiri atau ruas kanannya merupakan ekspresi pecahan.
Misalnya:
§ 2 Solusi keseluruhan persamaan rasional
Mari kita pertimbangkan solusi seluruh persamaan rasional.
Misalnya:
Kalikan kedua ruas persamaan dengan yang terkecil penyebut yang sama penyebut pecahan yang ada di dalamnya.
Untuk melakukan ini:
1. carilah penyebut yang sama untuk penyebut 2, 3, 6. Sama dengan 6;
2. temukan faktor tambahan untuk setiap pecahan. Caranya, bagilah penyebut yang sama 6 dengan masing-masing penyebutnya
faktor tambahan untuk pecahan
faktor tambahan untuk pecahan
3. mengalikan pembilang pecahan dengan faktor tambahan yang bersesuaian. Jadi, kita memperoleh persamaannya
yang setara dengan persamaan yang diberikan
Di sebelah kiri kita akan membuka tanda kurung, sisi kanan Mari kita pindahkan ke kiri, mengubah tanda sukunya saat memindahkannya ke kebalikannya.
Mari kita bawa suku-suku polinomial yang serupa dan dapatkan
Kita melihat bahwa persamaannya linier.
Setelah menyelesaikannya, kita menemukan bahwa x = 0,5.
§ 3 Solusi persamaan rasional pecahan
Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.
Misalnya:
1. Kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut terkecil dari penyebut pecahan rasional yang termasuk di dalamnya.
Mari kita cari penyebut yang sama untuk penyebut x + 7 dan x - 1.
Itu sama dengan hasil kali mereka (x + 7)(x - 1).
2. Mari kita cari faktor tambahan untuk setiap pecahan rasional.
Caranya, bagilah penyebut yang sama (x + 7)(x - 1) dengan masing-masing penyebutnya. Faktor tambahan untuk pecahan
sama dengan x - 1,
faktor tambahan untuk pecahan
sama dengan x+7.
3. Kalikan pembilang pecahan dengan faktor tambahannya yang bersesuaian.
Kita peroleh persamaan (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), yang ekuivalen dengan persamaan ini
4. Kalikan binomial dengan binomial kiri dan kanan dan dapatkan persamaan berikut
5. Kita pindahkan ruas kanan ke kiri, ubah tanda tiap suku saat berpindah ke kebalikannya:
6. Mari kita sajikan suku-suku polinomial yang serupa:
7. Kedua bagian tersebut dapat dibagi -1. Kami mengerti persamaan kuadrat:
8. Setelah diselesaikan, kita akan menemukan akarnya
Karena dalam Persamaan.
sisi kiri dan kanan adalah ekspresi pecahan, dan ekspresi pecahan untuk beberapa nilai penyebut variabel bisa menjadi nol, maka perlu dilakukan pengecekan apakah penyebutnya tidak menjadi nol ketika x1 dan x2 ditemukan.
Pada x = -27, penyebutnya (x + 7)(x - 1) tidak hilang; pada x = -1, penyebutnya juga tidak hilang; sama dengan nol.
Oleh karena itu, akar -27 dan -1 merupakan akar persamaan.
Saat menyelesaikan persamaan rasional pecahan, lebih baik segera menunjukkan wilayahnya nilai-nilai yang dapat diterima. Hilangkan nilai-nilai yang penyebutnya menjadi nol.
Mari kita perhatikan contoh lain penyelesaian persamaan rasional pecahan.
Misalnya, mari kita selesaikan persamaannya
Kita memfaktorkan penyebut pecahan di ruas kanan persamaan
Kami mendapatkan persamaannya
Mari kita cari penyebut yang sama untuk penyebut (x - 5), x, x(x - 5).
Ini akan menjadi ekspresi x(x - 5).
Sekarang mari kita cari kisaran nilai persamaan yang dapat diterima
Untuk melakukan ini, kita menyamakan penyebutnya dengan nol x(x - 5) = 0.
Kita memperoleh persamaan, penyelesaiannya kita temukan bahwa pada x = 0 atau pada x = 5 penyebutnya menjadi nol.
Artinya x = 0 atau x = 5 tidak bisa menjadi akar-akar persamaan kita.
Pengganda tambahan sekarang dapat ditemukan.
Faktor tambahan untuk pecahan rasional
faktor tambahan untuk pecahan tersebut
akan menjadi (x - 5),
dan faktor tambahan pecahan
Kami mengalikan pembilangnya dengan faktor tambahan yang sesuai.
Kita mendapatkan persamaan x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).
Mari kita buka tanda kurung di kiri dan kanan, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
Mari kita pindahkan suku dari kanan ke kiri, mengubah tanda suku yang ditransfer:
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
Dan setelah membawa suku-suku serupa, kita memperoleh persamaan kuadrat x2 - 3x - 10 = 0. Setelah menyelesaikannya, kita mencari akar-akar x1 = -2; x2 = 5.
Namun kita telah mengetahui bahwa pada x = 5 penyebutnya x(x - 5) menjadi nol. Oleh karena itu, akar persamaan kita
akan menjadi x = -2.
§ 4 Ringkasan singkat pelajaran
Penting untuk diingat:
Saat menyelesaikan persamaan rasional pecahan, lakukan sebagai berikut:
1. Temukan penyebut pecahan yang termasuk dalam persamaan tersebut. Selain itu, jika penyebut pecahan dapat difaktorkan, faktorkanlah pecahan tersebut lalu cari penyebutnya.
2. Kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama: cari faktor tambahan, kalikan pembilangnya dengan faktor tambahan.
3. Selesaikan seluruh persamaan yang dihasilkan.
4. Hilangkan dari akarnya hal-hal yang membuat penyebut yang sama hilang.
Daftar literatur bekas:
- Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Diedit oleh Telyakovsky S.A. Aljabar: buku teks. untuk kelas 8. pendidikan umum institusi. - M.: Pendidikan, 2013.
- Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8: Dalam dua bagian. Bagian 1: Buku Teks. untuk pendidikan umum institusi. - M.: Mnemosin.
- Rurukin A.N. Perkembangan pembelajaran aljabar: kelas 8. - M.: VAKO, 2010.
- Aljabar kelas 8: rencana pelajaran menurut buku teks oleh Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Guru, 2005.
Kita telah mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Sekarang mari kita memperluas metode yang dipelajari ke persamaan rasional.
Apa yang dimaksud dengan ekspresi rasional? Kami telah menemukan konsep ini. Ekspresi rasional adalah ekspresi yang terdiri dari angka, variabel, pangkatnya, dan simbol operasi matematika.
Oleh karena itu, persamaan rasional adalah persamaan yang berbentuk: , dimana 
- ekspresi rasional.
Sebelumnya, kita hanya membahas persamaan rasional yang dapat direduksi menjadi persamaan linier. Sekarang mari kita lihat persamaan rasional yang dapat direduksi menjadi persamaan kuadrat.
Contoh 1
Selesaikan persamaan: .
Larutan:
Pecahan sama dengan 0 jika dan hanya jika pembilangnya sama dengan 0 dan penyebutnya tidak sama dengan 0.
Kami mendapatkan sistem berikut:
Persamaan pertama sistem ini adalah persamaan kuadrat. Sebelum menyelesaikannya, bagi semua koefisiennya dengan 3. Kita peroleh:
Kami mendapatkan dua akar: ; .
Karena 2 tidak pernah sama dengan 0, ada dua syarat yang harus dipenuhi: 
. Karena tidak ada akar persamaan yang diperoleh di atas yang bertepatan dengan nilai tidak valid dari variabel yang diperoleh saat menyelesaikan pertidaksamaan kedua, keduanya merupakan solusi persamaan yang diberikan.
Menjawab:.
Jadi, mari kita rumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional:
1. Pindahkan semua suku ke ruas kiri sehingga ruas kanan berakhir dengan 0.
2. Ubah dan sederhanakan ruas kiri, bawa semua pecahan ke penyebut yang sama.
3. Samakan pecahan yang dihasilkan dengan 0, kali ke algoritma berikut: 
.
4. Tuliskan akar-akar yang diperoleh pada persamaan pertama dan penuhi pertidaksamaan kedua pada jawabannya.
Mari kita lihat contoh lainnya.
Contoh 2
Selesaikan persamaan: 
.
Larutan
Pada awalnya, mari kita pindahkan semua persyaratan ke sisi kiri, sehingga 0 tetap di sebelah kanan.
Sekarang mari kita bawa ruas kiri persamaan tersebut ke penyebut yang sama:
Persamaan ini setara dengan sistem:
Persamaan pertama sistem ini adalah persamaan kuadrat.
Koefisien persamaan ini: . Kami menghitung diskriminan:
Kami mendapatkan dua akar: ; .
Sekarang mari kita selesaikan pertidaksamaan kedua: hasil kali faktor-faktor tidak sama dengan 0 jika dan hanya jika tidak ada faktor yang sama dengan 0.
Dua syarat harus dipenuhi: 
. Kami menemukan bahwa dari dua akar persamaan pertama, hanya satu yang cocok - 3.
Menjawab:.
Dalam pelajaran ini, kita mengingat apa itu ekspresi rasional, dan juga mempelajari cara menyelesaikan persamaan rasional yang direduksi menjadi persamaan kuadrat.
Pada pelajaran selanjutnya kita akan menganggap persamaan rasional sebagai model situasi nyata, dan juga mempertimbangkan tugas pergerakan.
Referensi
- Bashmakov M.I. Aljabar, kelas 8. - M.: Pendidikan, 2004.
- Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dan lain-lain. Aljabar, 8. edisi ke-5. - M.: Pendidikan, 2010.
- Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Aljabar, kelas 8. Tutorial untuk lembaga pendidikan. - M.: Pendidikan, 2006.
- Festival ide-ide pedagogis "Buka pelajaran" ().
- Sekolah.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com().
Pekerjaan rumah
Tujuan pelajaran:
Pendidikan:
- pembentukan konsep persamaan rasional pecahan;
- pertimbangkan berbagai cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan;
- pertimbangkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, termasuk syarat pecahan sama dengan nol;
- mengajarkan penyelesaian persamaan rasional pecahan dengan menggunakan algoritma;
- memeriksa tingkat penguasaan topik dengan melakukan tes.
Pembangunan:
- pengembangan kemampuan untuk mengoperasikan dengan benar pengetahuan yang diperoleh dan berpikir logis;
- pengembangan keterampilan intelektual dan operasi mental- analisis, sintesis, perbandingan dan sintesis;
- pengembangan inisiatif, kemampuan mengambil keputusan, dan tidak berhenti di situ;
- perkembangan berpikir kritis;
- pengembangan keterampilan penelitian.
Mendidik:
- asuhan minat kognitif ke subjek;
- menumbuhkan kemandirian dalam pengambilan keputusan tugas pendidikan;
- memupuk kemauan dan ketekunan untuk mencapai hasil akhir.
Jenis pelajaran: pelajaran - penjelasan materi baru.
Kemajuan pelajaran
1. Momen organisasi.
Halo teman-teman! Ada persamaan yang tertulis di papan tulis, perhatikan baik-baik. Bisakah kamu menyelesaikan semua persamaan ini? Mana yang tidak dan mengapa?
Persamaan yang ruas kiri dan kanannya merupakan ekspresi rasional pecahan disebut persamaan rasional pecahan. Menurut Anda apa yang akan kita pelajari di kelas hari ini? Merumuskan topik pelajaran. Jadi, bukalah buku catatanmu dan tuliskan topik pelajaran “Menyelesaikan persamaan rasional pecahan”.
2. Memperbarui pengetahuan. Survei depan, pekerjaan lisan dengan kelas.
Dan sekarang kita akan mengulangi materi teori utama yang perlu kita pelajari topik baru. Silakan jawab pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Apa itu persamaan? ( Kesetaraan dengan variabel atau variabel.)
- Apa nama persamaan nomor 1? ( Linier.) Suatu metode untuk menyelesaikan persamaan linear. ( Pindahkan semua bilangan yang tidak diketahui ke ruas kiri persamaan, semua bilangan ke kanan. Memimpin istilah serupa. Temukan faktor yang tidak diketahui).
- Apa nama persamaan nomor 3? ( Persegi.) Metode penyelesaian persamaan kuadrat. ( Pilihan persegi penuh, dengan rumus, menggunakan teorema Vieta dan konsekuensinya.)
- Apa itu proporsi? ( Kesetaraan dua rasio.) Sifat utama proporsi. ( Jika proporsinya benar, maka hasil kali suku ekstrimnya sama dengan hasil kali suku tengahnya.)
- Properti apa yang digunakan saat menyelesaikan persamaan? ( 1. Jika Anda memindahkan suatu suku dalam suatu persamaan dari satu bagian ke bagian lain, mengubah tandanya, Anda akan mendapatkan persamaan yang setara dengan persamaan yang diberikan. 2. Jika kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, maka diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan bilangan yang diberikan.)
- Kapan pecahan sama dengan nol? ( Pecahan sama dengan nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol..)
3. Penjelasan materi baru.
Selesaikan persamaan No. 2 di buku catatan Anda dan di papan tulis.
Menjawab: 10.
Yang persamaan rasional pecahan Dapatkah Anda mencoba menyelesaikannya menggunakan sifat dasar proporsi? (No.5).
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6
x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8
Selesaikan persamaan No. 4 di buku catatan Anda dan di papan tulis.
Menjawab: 1,5.
Persamaan rasional pecahan apa yang dapat kamu selesaikan dengan mengalikan kedua ruas persamaan tersebut dengan penyebutnya? (No.6).
x 2 -7x+12 = 0
D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.
Menjawab: 3;4.
Sekarang coba selesaikan persamaan nomor 7 dengan menggunakan salah satu cara berikut.
(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5) |
|
||
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0 |
x 2 -2x-5=x+5 |
||
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0 |
x 2 -2x-5-x-5=0 |
||
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0 |
|||
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0 |
|||
x 1 =0 x 2 =5 D=49 |
|||
x 3 =5 x 4 =-2 |
x 3 =5 x 4 =-2 |
||
Menjawab: 0;5;-2. |
Menjawab: 5;-2. |
Jelaskan mengapa ini terjadi? Mengapa ada tiga akar dalam satu kasus dan dua akar dalam kasus lainnya? Berapakah akar-akar persamaan rasional pecahan tersebut?
Sampai saat ini siswa belum menemukan konsep akar asing; memang sangat sulit bagi mereka untuk memahami mengapa hal tersebut terjadi. Jika tidak ada seorang pun di kelas yang dapat memberikan penjelasan yang jelas tentang situasi ini, maka guru akan mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang mengarahkan.
- Apa perbedaan persamaan no 2 dan 4 dengan persamaan no 5,6,7? ( Pada persamaan no 2 dan 4 ada bilangan penyebutnya, no 5-7 adalah ekspresi dengan variabel.)
- Apa akar persamaan? ( Nilai variabel yang persamaannya menjadi benar.)
- Bagaimana cara mengetahui apakah suatu bilangan merupakan akar persamaan? ( Lakukan pemeriksaan.)
Saat pengujian, beberapa siswa memperhatikan bahwa mereka harus membagi dengan nol. Mereka menyimpulkan bahwa angka 0 dan 5 bukanlah akar persamaan tersebut. Timbul pertanyaan: apakah ada cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang memungkinkan kita menghilangkannya kesalahan ini? Ya, cara ini didasarkan pada syarat pecahan sama dengan nol.
x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.
Jika x=5, maka x(x-5)=0, artinya 5 adalah akar asing.
Jika x=-2, maka x(x-5)≠0.
Menjawab: -2.
Mari kita coba merumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dengan cara ini. Anak-anak merumuskan sendiri algoritmanya.
Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:
- Pindahkan semuanya ke sisi kiri.
- Kurangi pecahan menjadi penyebut yang sama.
- Buatlah sistem: pecahan sama dengan nol jika pembilangnya sama dengan nol dan penyebutnya tidak sama dengan nol.
- Selesaikan persamaannya.
- Periksa pertidaksamaan untuk mengecualikan akar-akar asing.
- Tuliskan jawabannya.
Pembahasan: cara memformalkan penyelesaian jika menggunakan sifat dasar proporsi dan mengalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama. (Tambahkan ke solusinya: kecualikan dari akar-akarnya hal-hal yang membuat penyebut yang sama hilang).
4. Pemahaman awal materi baru.
Bekerja berpasangan. Siswa memilih sendiri cara menyelesaikan persamaan tergantung pada jenis persamaannya. Tugas dari buku teks “Aljabar 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: No.600(b,c,i); No.601(a,e,g). Guru memantau penyelesaian tugas, menjawab setiap pertanyaan yang muncul, dan memberikan bantuan kepada siswa yang berprestasi rendah. Tes mandiri: jawaban ditulis di papan tulis.
b) 2 – akar asing. Jawaban: 3.
c) 2 – akar asing. Jawaban: 1.5.
a) Jawaban: -12.5.
g) Jawaban: 1;1.5.
5. Menetapkan pekerjaan rumah.
- Baca paragraf 25 dari buku teks, analisis contoh 1-3.
- Pelajari algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.
- Selesaikan dalam buku catatan No. 600 (a, d, e); No.601(g,h).
- Cobalah untuk menyelesaikan No. 696(a) (opsional).
6. Menyelesaikan tugas kontrol pada topik yang dipelajari.
Pekerjaan itu dilakukan pada selembar kertas.
Contoh tugas:
A) Persamaan manakah yang rasional pecahan?
B) Suatu pecahan sama dengan nol jika pembilangnya __________ dan penyebutnya _______________________.
Q) Apakah angka -3 merupakan akar persamaan nomor 6?
D) Selesaikan persamaan no.7.
Kriteria penilaian tugas:
- “5” diberikan jika siswa menyelesaikan lebih dari 90% tugas dengan benar.
- "4" - 75%-89%
- "3" - 50%-74%
- “2” diberikan kepada siswa yang menyelesaikan kurang dari 50% tugas.
- Peringkat 2 tidak diberikan dalam jurnal, 3 bersifat opsional.
7. Refleksi.
Pada lembar kerja mandiri, tulislah:
- 1 – jika pelajarannya menarik dan dapat Anda pahami;
- 2 – menarik, tetapi tidak jelas;
- 3 – tidak menarik, tapi bisa dimengerti;
- 4 – tidak menarik, tidak jelas.
8. Menyimpulkan pelajaran.
Jadi, hari ini dalam pelajaran kita berkenalan dengan persamaan rasional pecahan, belajar bagaimana menyelesaikan persamaan tersebut dalam berbagai cara, menguji pengetahuan mereka dengan bantuan pelatihan pekerjaan mandiri. Anda akan mempelajari hasil kerja mandiri Anda pada pelajaran berikutnya, dan di rumah Anda akan memiliki kesempatan untuk mengkonsolidasikan pengetahuan Anda.
Menurut Anda, metode penyelesaian persamaan rasional pecahan manakah yang lebih mudah, mudah diakses, dan rasional? Terlepas dari metode penyelesaian persamaan rasional pecahan, apa yang harus Anda ingat? Apa yang dimaksud dengan “liciknya” persamaan rasional pecahan?
Terima kasih semuanya, pelajaran sudah selesai.
Kita perkenalkan persamaan di atas pada § 7. Pertama, mari kita ingat kembali apa itu ekspresi rasional. Ini - ekspresi aljabar, terdiri dari bilangan dan variabel x menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan eksponensial dengan eksponen natural.
Jika r(x) merupakan ekspresi rasional, maka persamaan r(x) = 0 disebut persamaan rasional.
Namun, dalam praktiknya akan lebih mudah untuk menggunakan interpretasi yang sedikit lebih luas dari istilah “persamaan rasional”: ini adalah persamaan dalam bentuk h(x) = q(x), di mana h(x) dan q(x) adalah ekspresi rasional.
Hingga saat ini, kita belum dapat menyelesaikan persamaan rasional apa pun, tetapi hanya persamaan rasional yang, sebagai hasil dari berbagai transformasi dan penalaran, dapat direduksi menjadi persamaan linier. Sekarang kemampuan kita jauh lebih besar: kita akan mampu menyelesaikan persamaan rasional yang tidak hanya bisa direduksi menjadi persamaan linier
mu, tetapi juga ke persamaan kuadrat.
Mari kita mengingat kembali bagaimana kita memecahkan persamaan rasional sebelumnya dan mencoba merumuskan algoritma solusi.
Contoh 1. Selesaikan persamaannya
Larutan. Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk
Dalam hal ini, seperti biasa, kita memanfaatkan fakta bahwa persamaan A = B dan A - B = 0 menyatakan hubungan yang sama antara A dan B. Hal ini memungkinkan kita untuk memindahkan suku ke ruas kiri persamaan dengan tanda yang berlawanan.
Mari kita ubah ruas kiri persamaannya. Kita punya
Mari kita mengingat kembali kondisi kesetaraan pecahan nol: jika dan hanya jika dua relasi dipenuhi secara bersamaan:
1) pembilang pecahan adalah nol (a = 0); 2) penyebut pecahan bukan nol).
Menyamakan pembilang pecahan di ruas kiri persamaan (1) dengan nol, kita peroleh
Tetap memeriksa pemenuhan kondisi kedua yang disebutkan di atas. Arti hubungan untuk persamaan (1) itu . Nilai x 1 = 2 dan x 2 = 0,6 memenuhi hubungan yang ditunjukkan dan oleh karena itu berfungsi sebagai akar persamaan (1), dan sekaligus akar persamaan yang diberikan.
1) Mari kita ubah persamaannya ke bentuk
2) Mari kita ubah ruas kiri persamaan ini:
(sekaligus mengubah tanda pembilang dan
pecahan).
Dengan demikian, persamaan yang diberikan mengambil formulir
3) Selesaikan persamaan x 2 - 6x + 8 = 0. Temukan
4) Untuk nilai yang ditemukan, periksa pemenuhan kondisinya 
. Angka 4 memenuhi syarat ini, tetapi angka 2 tidak. Artinya 4 adalah akar persamaan yang diberikan, dan 2 adalah akar asing.
JAWABAN: 4.
2. Menyelesaikan persamaan rasional dengan memasukkan variabel baru
Metode memasukkan variabel baru sudah tidak asing lagi bagi Anda; kami telah menggunakannya lebih dari sekali. Mari kita tunjukkan dengan contoh bagaimana ini digunakan dalam menyelesaikan persamaan rasional.
Contoh 3. Selesaikan persamaan x 4 + x 2 - 20 = 0.
Larutan. Mari kita perkenalkan variabel baru y = x 2 . Karena x 4 = (x 2) 2 = y 2, persamaan berikut dapat ditulis ulang menjadi
kamu 2 + kamu - 20 = 0.
Ini adalah persamaan kuadrat, yang akar-akarnya dapat dicari dengan menggunakan persamaan yang diketahui rumus; kita mendapatkan y 1 = 4, y 2 = - 5.
Tapi y = x 2, yang berarti masalahnya direduksi menjadi penyelesaian dua persamaan:
x 2 =4; x 2 = -5.
Dari persamaan pertama kita mengetahui bahwa persamaan kedua tidak mempunyai akar.
Menjawab: .
Persamaan berbentuk ax 4 + bx 2 + c = 0 disebut persamaan bikuadrat (“bi” adalah dua, yaitu sejenis persamaan “kuadrat ganda”). Persamaan yang baru saja diselesaikan justru bersifat biquadratic. Setiap persamaan bikuadrat diselesaikan dengan cara yang sama seperti persamaan dari contoh 3: masukkan variabel baru y = x 2, selesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan terhadap variabel y, dan kemudian kembali ke variabel x.
Contoh 4. Selesaikan persamaannya
Larutan. Perhatikan bahwa ekspresi yang sama x 2 + 3x muncul dua kali di sini. Artinya masuk akal untuk memasukkan variabel baru y = x 2 + 3x. Hal ini akan memungkinkan kita untuk menulis ulang persamaan tersebut ke dalam bentuk yang lebih sederhana dan menyenangkan (yang sebenarnya merupakan tujuan untuk memperkenalkan persamaan baru). variabel- dan menyederhanakan perekaman
menjadi lebih jelas, dan struktur persamaan menjadi lebih jelas):
Sekarang mari kita gunakan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional.
1) Mari kita pindahkan semua suku persamaan ke dalam satu bagian:
= 0
2) Transformasikan ruas kiri persamaan
Jadi, kami telah mengubah persamaan yang diberikan ke bentuk
3) Dari persamaan - 7y 2 + 29y -4 = 0 kita temukan (Anda dan saya telah menyelesaikan cukup banyak persamaan kuadrat, jadi mungkin tidak ada gunanya selalu memberikan perhitungan rinci di buku teks).
4) Mari kita periksa akar-akar yang ditemukan menggunakan kondisi 5 (y - 3) (y + 1). Kedua akar memenuhi kondisi ini.
Jadi, persamaan kuadrat untuk variabel baru y terselesaikan: 
Karena y = x 2 + 3x, dan y, seperti yang telah kita tentukan, mempunyai dua nilai: 4 dan , kita masih harus menyelesaikan dua persamaan: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Akar persamaan pertama adalah bilangan 1 dan - 4, akar persamaan kedua adalah bilangan
Dalam contoh-contoh yang dipertimbangkan, metode memasukkan variabel baru, seperti yang sering dikatakan oleh para ahli matematika, memadai untuk situasi tersebut, yaitu, cocok dengan situasi tersebut. Mengapa? Ya, karena ekspresi yang sama muncul dengan jelas dalam persamaan beberapa kali dan ada alasan untuk menunjuk ekspresi ini surat baru. Namun hal ini tidak selalu terjadi; terkadang variabel baru “muncul” hanya selama proses transformasi. Inilah yang akan terjadi pada contoh berikutnya.
Contoh 5. Selesaikan persamaannya
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Larutan. Kita punya
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.
Artinya persamaan yang diberikan dapat ditulis ulang ke dalam bentuk
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Sekarang variabel baru telah “muncul”: y = x 2 - 3x.
Dengan bantuannya, persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi y (y + 2) = 24 dan kemudian y 2 + 2y - 24 = 0. Akar persamaan ini adalah bilangan 4 dan -6.
Kembali ke variabel awal x, kita memperoleh dua persamaan x 2 - 3x = 4 dan x 2 - 3x = - 6. Dari persamaan pertama kita mencari x 1 = 4, x 2 = - 1; persamaan kedua tidak memiliki akar.
JAWABAN: 4, - 1.
Ekspresi keseluruhannya adalah ekspresi matematika, terdiri dari angka dan variabel abjad menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Bilangan bulat juga mencakup ekspresi yang melibatkan pembagian dengan bilangan apa pun selain nol.
Konsep ekspresi rasional pecahan
Ekspresi pecahan adalah ekspresi matematika yang selain operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian yang dilakukan dengan variabel bilangan dan huruf, serta pembagian dengan bilangan tidak sama dengan nol, juga memuat pembagian menjadi ekspresi dengan variabel huruf.
Ekspresi rasional adalah ekspresi utuh dan pecahan. Persamaan rasional adalah persamaan yang ruas kiri dan ruas kanannya merupakan ekspresi rasional. Jika dalam persamaan rasional ruas kiri dan kanan merupakan ekspresi bilangan bulat, maka persamaan rasional tersebut disebut bilangan bulat.
Jika dalam suatu persamaan rasional ruas kiri atau ruas kanannya sama ekspresi pecahan, maka persamaan rasional tersebut disebut pecahan.
Contoh ekspresi rasional pecahan
1.x-3/x = -6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
Skema penyelesaian persamaan rasional pecahan
1. Temukan penyebut yang sama dari semua pecahan yang termasuk dalam persamaan.
2. Kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama.
3. Selesaikan seluruh persamaan yang dihasilkan.
4. Periksa akar-akarnya dan kecualikan akar-akar yang menyebabkan penyebutnya hilang.
Karena kita menyelesaikan persamaan rasional pecahan, akan ada variabel dalam penyebut pecahan. Ini berarti bahwa mereka akan menjadi penyebut yang sama. Dan pada poin kedua dari algoritma kita mengalikan dengan penyebut yang sama, maka akar asing mungkin muncul. Jika penyebutnya sama dengan nol, maka mengalikannya tidak ada artinya. Oleh karena itu, pada akhirnya perlu dilakukan pengecekan akar yang diperoleh.
Mari kita lihat sebuah contoh:
Selesaikan persamaan rasional pecahan: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
Kami akan tetap berpegang pada itu skema umum: Mari kita cari dulu penyebut semua pecahan. Kita mendapatkan x*(x-5).
Kalikan setiap pecahan dengan penyebut yang sama dan tuliskan seluruh persamaan yang dihasilkan.
(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
Mari kita sederhanakan persamaan yang dihasilkan. Kami mendapatkan:
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
Kami mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi sederhana. Kami menyelesaikannya dengan salah satu dari itu metode yang diketahui, kita mendapatkan akar-akarnya x=-2 dan x=5.
Sekarang kami memeriksa solusi yang diperoleh:
Substitusikan angka -2 dan 5 ke dalam penyebut yang sama. Pada x=-2, penyebutnya x*(x-5) tidak hilang, -2*(-2-5)=14. Artinya angka -2 akan menjadi akar persamaan rasional pecahan asli.
Pada x=5 penyebutnya x*(x-5) menjadi nol. Oleh karena itu, bilangan ini bukanlah akar persamaan rasional pecahan asli, karena akan terjadi pembagian dengan nol.
