Mari mengenal persamaan rasional dan rasional pecahan, memberikan definisinya, memberikan contoh, dan juga menganalisis jenis-jenis soal yang paling umum.
Yandex.RTB RA-339285-1
Persamaan rasional: definisi dan contoh
Perkenalan dengan ekspresi rasional dimulai pada kelas 8 sekolah. Pada saat ini, dalam pembelajaran aljabar, siswa semakin banyak menjumpai tugas-tugas dengan persamaan yang memuat ekspresi rasional dalam catatannya. Mari segarkan ingatan kita tentang apa itu.
Definisi 1
Persamaan rasional adalah persamaan yang kedua ruasnya mengandung ekspresi rasional.
DI DALAM berbagai manfaat satu formulasi lagi dapat ditemukan.
Definisi 2
Persamaan rasional adalah persamaan yang ruas kirinya memuat ekspresi rasional, dan yang kanan adalah nol.
Definisi yang kami berikan untuk persamaan rasional adalah setara, karena membicarakan hal yang sama. Kebenaran kata-kata kami ditegaskan oleh fakta bahwa untuk ekspresi rasional apa pun P Dan Q persamaan P = Q Dan P − Q = 0 akan menjadi ekspresi yang setara.
Sekarang mari kita lihat contohnya.
Contoh 1
x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .
Persamaan rasional, sama seperti persamaan jenis lainnya, dapat memuat sejumlah variabel mulai dari 1 hingga beberapa. Pertama kita akan melihat contoh sederhana, yang persamaannya hanya berisi satu variabel. Dan kemudian kita akan mulai memperumit tugas secara bertahap.
Persamaan rasional dibagi menjadi dua kelompok besar: bilangan bulat dan pecahan. Mari kita lihat persamaan apa yang berlaku untuk masing-masing kelompok.
Definisi 3
Persamaan rasional akan menjadi bilangan bulat jika ruas kiri dan kanannya memuat seluruh persamaan rasional.
Definisi 4
Persamaan rasional akan menjadi pecahan jika salah satu atau kedua bagiannya mengandung pecahan.
Persamaan rasional pecahan tentu mengandung pembagian dengan suatu variabel atau variabel tersebut ada pada penyebutnya. Tidak ada pembagian seperti itu dalam penulisan persamaan utuh.
Contoh 2
3 x + 2 = 0 Dan (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– seluruh persamaan rasional. Di sini kedua ruas persamaan diwakili oleh ekspresi bilangan bulat.
1 x - 1 = x 3 dan x: (5 x 3 + kamu 2) = 3: (x − 1) : 5 adalah persamaan rasional pecahan.
Persamaan rasional utuh meliputi persamaan linier dan persamaan kuadrat.
Memecahkan seluruh persamaan
Penyelesaian persamaan seperti itu biasanya dilakukan dengan mengubahnya menjadi persamaan aljabar yang setara. Hal ini dapat dicapai dengan melakukan transformasi persamaan yang ekuivalen sesuai dengan algoritma berikut:
- pertama kita mendapatkan nol di ruas kanan persamaan; untuk melakukan ini, kita perlu memindahkan ekspresi di ruas kanan persamaan ke ruas kiri dan mengubah tandanya;
- lalu kita ubah ekspresi di sisi kiri persamaan menjadi polinomial tampilan standar.
Kita harus mendapatkan persamaan aljabar. Persamaan ini akan ekuivalen dengan persamaan aslinya. Kasus mudah memungkinkan kita mereduksi seluruh persamaan menjadi persamaan linier atau kuadrat untuk menyelesaikan masalah. Secara umum, kita menyelesaikan persamaan derajat aljabar N.
Contoh 3
Penting untuk menemukan akar-akar seluruh persamaan 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.
Larutan
Mari kita ubah ekspresi aslinya untuk mendapatkan persamaan aljabar yang setara. Untuk melakukan ini, kita akan memindahkan ekspresi yang terdapat di ruas kanan persamaan ke ruas kiri dan mengganti tandanya dengan tanda yang berlawanan. Hasilnya kita mendapatkan: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.
Sekarang mari kita ubah ekspresi di sisi kiri menjadi polinomial bentuk standar dan hasilkan tindakan yang diperlukan dengan polinomial ini:
3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6
Kami berhasil mereduksi solusi persamaan awal menjadi solusi bentuk persamaan kuadrat x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminan persamaan ini positif: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . Artinya akan ada dua akar real. Mari kita cari menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat:
x = - - 5 ± 49 2 1,
x 1 = 5 + 7 2 atau x 2 = 5 - 7 2,
x 1 = 6 atau x 2 = - 1
Mari kita periksa kebenaran akar-akar persamaan yang kita temukan selama penyelesaian. Untuk melakukan ini, kami mengganti angka-angka yang kami terima ke dalam persamaan asli: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 Dan 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 · (− 1) − 1) − 3. Dalam kasus pertama 63 = 63 , di detik 0 = 0 . Akar x = 6 Dan x = − 1 memang merupakan akar persamaan yang diberikan dalam kondisi contoh.
Menjawab: 6 , − 1 .
Mari kita lihat apa yang dimaksud dengan "derajat persamaan keseluruhan". Kita akan sering menjumpai istilah ini ketika kita perlu merepresentasikan keseluruhan persamaan dalam bentuk aljabar. Mari kita definisikan konsepnya.
Definisi 5
Derajat seluruh persamaan- ini adalah gelarnya persamaan aljabar, setara dengan persamaan bilangan bulat asli.
Jika Anda melihat persamaan dari contoh di atas, Anda dapat menentukan: derajat seluruh persamaan ini adalah yang kedua.
Jika mata kuliah kita hanya sebatas menyelesaikan persamaan derajat kedua, maka pembahasan topik bisa berakhir di situ. Tapi itu tidak sesederhana itu. Memecahkan persamaan derajat ketiga penuh dengan kesulitan. Dan untuk persamaan yang lebih tinggi dari derajat keempat tidak ada rumus umum akar. Dalam hal ini, menyelesaikan seluruh persamaan derajat ketiga, keempat, dan derajat lainnya mengharuskan kita menggunakan sejumlah teknik dan metode lain.
Pendekatan yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional didasarkan pada metode faktorisasi. Algoritma tindakan dalam hal ini adalah sebagai berikut:
- kita memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri sehingga nol tetap berada di sisi kanan rekaman;
- Kami menyatakan ekspresi di sisi kiri sebagai produk dari faktor-faktor, dan kemudian beralih ke serangkaian beberapa persamaan sederhana.
Temukan penyelesaian persamaan (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .
Larutan
Kami memindahkan ekspresi dari sisi kanan rekaman ke kiri dengan tanda yang berlawanan: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Mengonversi ruas kiri ke polinomial bentuk standar tidak tepat karena ini akan menghasilkan persamaan aljabar derajat keempat: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Kemudahan konversi tidak membenarkan semua kesulitan dalam memecahkan persamaan tersebut.
Jauh lebih mudah untuk melakukan hal sebaliknya: mari kita keluarkan dari tanda kurung pengganda umum x 2 − 10 x + 13 . Jadi kita sampai pada persamaan bentuk (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Sekarang mari kita ganti persamaan yang dihasilkan dengan himpunan dua persamaan kuadrat x 2 − 10 x + 13 = 0 Dan x 2 − 2 x − 1 = 0 dan temukan akar-akarnya melalui diskriminan: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.
Menjawab: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.
Dengan cara yang sama, kita bisa menggunakan metode memperkenalkan variabel baru. Metode ini memungkinkan kita untuk berpindah ke persamaan ekuivalen yang derajatnya lebih rendah dari derajat persamaan bilangan bulat aslinya.
Contoh 5
Apakah persamaan tersebut mempunyai akar? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?
Larutan
Jika sekarang kita mencoba mereduksi seluruh persamaan rasional menjadi persamaan aljabar, kita akan mendapatkan persamaan derajat 4, yang tidak memiliki akar rasional. Oleh karena itu, akan lebih mudah bagi kita untuk mengambil cara lain: masukkan variabel baru y, yang akan menggantikan ekspresi dalam persamaan x 2 + 3 x.
Sekarang kita akan mengerjakan seluruh persamaan (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Mari kita jadwalkan ulang sisi kanan persamaan ke kiri dengan tanda berlawanan dan lakukan transformasi yang diperlukan. Kami mendapatkan: kamu 2 + 4 kamu + 3 = 0. Mari kita cari akar persamaan kuadrat: kamu = − 1 Dan kamu = − 3.
Sekarang mari kita lakukan penggantian terbalik. Kami mendapatkan dua persamaan x 2 + 3 x = − 1 Dan x 2 + 3 · x = − 3 . Mari kita tulis ulang menjadi x 2 + 3 x + 1 = 0 dan x 2 + 3 x + 3 = 0. Kita menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat untuk mencari akar-akar persamaan pertama dari persamaan yang diperoleh: - 3 ± 5 2. Diskriminan persamaan kedua adalah negatif. Artinya persamaan kedua tidak mempunyai akar real.
Menjawab:- 3 ± 5 2
Persamaan utuh derajat tinggi cukup sering ditemui dalam tugas. Tidak perlu takut pada mereka. Anda harus siap untuk melamar metode non-standar solusi mereka, termasuk sejumlah transformasi buatan.
Memecahkan persamaan rasional pecahan
Kita akan memulai pembahasan subtopik ini dengan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan berbentuk p (x) q (x) = 0, di mana hal(x) Dan q(x)– seluruh ekspresi rasional. Penyelesaian persamaan rasional pecahan lainnya selalu dapat direduksi menjadi penyelesaian persamaan jenis yang ditunjukkan.
Metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan p(x)q(x)=0 didasarkan pada pernyataan berikut: pecahan numerik kamu v, Di mana ay– ini adalah bilangan yang bukan nol, sama dengan nol hanya jika pembilangnya adalah pecahan sama dengan nol. Mengikuti logika pernyataan di atas, kita dapat menyatakan bahwa penyelesaian persamaan p (x) q (x) = 0 dapat direduksi menjadi memenuhi dua kondisi: p(x)=0 Dan q(x) ≠ 0. Hal inilah yang menjadi dasar penyusunan algoritma penyelesaian persamaan rasional pecahan berbentuk p(x)q(x)=0:
- temukan solusi untuk seluruh persamaan rasional p(x)=0;
- kami memeriksa apakah kondisinya terpenuhi untuk akar yang ditemukan selama penyelesaian q(x) ≠ 0.
Jika kondisi ini terpenuhi, maka ditemukan root. Jika tidak, maka root bukanlah solusi masalah.
Contoh 6
Mari kita cari akar-akar persamaan 3 x - 2 5 x 2 - 2 = 0.
Larutan
Kita berhadapan dengan persamaan rasional pecahan berbentuk p (x) q (x) = 0, dimana p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Mari kita mulai menyelesaikan persamaan linear 3 x − 2 = 0. Akar persamaan ini adalah x = 2 3.
Mari kita periksa root yang ditemukan untuk melihat apakah memenuhi kondisi 5 x 2 − 2 ≠ 0. Untuk melakukan ini, mari kita gantikan nilai numerik ke dalam ekspresi. Kita peroleh: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.
Syaratnya terpenuhi. Artinya x = 2 3 adalah akar persamaan aslinya.
Menjawab: 2 3 .
Ada pilihan lain untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan p (x) q (x) = 0. Ingatlah bahwa persamaan ini ekuivalen dengan persamaan keseluruhan p(x)=0 pada kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x persamaan asli. Hal ini memungkinkan kita untuk menggunakan algoritma selanjutnya dalam menyelesaikan persamaan p(x) q(x) = 0:
- menyelesaikan persamaan tersebut p(x)=0;
- temukan kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x;
- kita mengambil akar-akar yang terletak pada kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x sebagai akar-akar yang diinginkan dari persamaan rasional pecahan asli.
Selesaikan persamaan x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.
Larutan
Pertama, mari kita selesaikan persamaan kuadratnya x 2 − 2 x − 11 = 0. Untuk menghitung akar-akarnya, kita menggunakan rumus akar-akar koefisien kedua genap. Kami mengerti D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12, dan x = 1 ± 2 3 .
Sekarang kita dapat menemukannya variabel ODZ x untuk persamaan aslinya. Ini semua adalah angka-angka yang mana x 2 + 3 x ≠ 0. Itu sama dengan x (x + 3) ≠ 0, dari mana x ≠ 0, x ≠ − 3.
Sekarang mari kita periksa apakah akar-akar x = 1 ± 2 3 yang diperoleh pada penyelesaian tahap pertama berada dalam kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x. Kami melihat mereka masuk. Artinya persamaan rasional pecahan asli mempunyai dua akar x = 1 ± 2 3.
Menjawab: x = 1 ± 2 3
Metode solusi kedua dijelaskan lebih mudah dari yang pertama dalam kasus di mana kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x mudah ditemukan, dan akar persamaannya p(x)=0 irasional. Misalnya, 7 ± 4 · 26 9. Akarnya bisa rasional, tetapi pembilang atau penyebutnya besar. Misalnya, 127 1101 Dan − 31 59 . Ini menghemat waktu dalam memeriksa kondisi q(x) ≠ 0: Jauh lebih mudah untuk mengecualikan akar yang tidak sesuai dengan ODZ.
Dalam kasus di mana akar-akar persamaan p(x)=0 adalah bilangan bulat, lebih baik menggunakan algoritma pertama yang dijelaskan untuk menyelesaikan persamaan bentuk p (x) q (x) = 0. Temukan akar seluruh persamaan dengan lebih cepat p(x)=0, lalu periksa apakah kondisinya terpenuhi q(x) ≠ 0, daripada mencari ODZ, lalu menyelesaikan persamaannya p(x)=0 di ODZ ini. Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu biasanya lebih mudah untuk memeriksa daripada menemukan DZ.
Contoh 8
Carilah akar-akar persamaan (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.
Larutan
Mari kita mulai dengan melihat keseluruhan persamaan (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 dan menemukan akarnya. Untuk melakukan ini, kami menerapkan metode penyelesaian persamaan melalui faktorisasi. Ternyata persamaan aslinya ekuivalen dengan himpunan empat persamaan 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, tiga di antaranya linier dan satu adalah kuadrat. Menemukan akar: dari persamaan pertama x = 1 2, dari yang kedua – x = 6, dari yang ketiga – x = 7 , x = − 2 , dari yang keempat – x = − 1.
Mari kita periksa akar yang diperoleh. Tentukan ADL di dalam hal ini Ini sulit bagi kami, karena untuk ini kami harus menyelesaikan persamaan aljabar derajat kelima. Akan lebih mudah untuk memeriksa kondisi di mana penyebut pecahan di sisi kiri persamaan tidak boleh menjadi nol.
Mari kita bergiliran mensubstitusi akar-akar variabel x ke dalam ekspresi x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 dan hitung nilainya:
1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;
6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;
7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;
(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .
Verifikasi yang dilakukan memungkinkan kita untuk menetapkan bahwa akar-akar persamaan rasional pecahan asli adalah 1 2, 6 dan − 2 .
Menjawab: 1 2 , 6 , - 2
Contoh 9
Temukan akar-akar persamaan rasional pecahan 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.
Larutan
Mari kita mulai mengerjakan persamaannya (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Mari kita temukan akarnya. Lebih mudah bagi kita untuk membayangkan persamaan ini sebagai himpunan persamaan kuadrat dan linier 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 Dan x − 2 = 0.
Kami menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat untuk mencari akar-akarnya. Dari persamaan pertama kita memperoleh dua akar x = 7 ± 69 10, dan dari persamaan kedua x = 2.
Akan sangat sulit bagi kita untuk mensubstitusikan nilai akar-akarnya ke dalam persamaan awal untuk memeriksa kondisinya. Akan lebih mudah untuk menentukan ODZ variabel x. Dalam hal ini, ODZ variabel x adalah semua bilangan kecuali yang kondisinya terpenuhi x 2 + 5 x − 14 = 0. Kita peroleh: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.
Sekarang mari kita periksa apakah akar-akar yang kita temukan termasuk dalam kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x.
Akar-akar x = 7 ± 69 10 termasuk dalam akar-akar persamaan awal, dan x = 2- bukan milik, oleh karena itu, ini adalah akar asing.
Menjawab: x = 7 ± 69 10 .
Mari kita periksa secara terpisah kasus ketika pembilang persamaan rasional pecahan berbentuk p (x) q (x) = 0 memuat suatu bilangan. Dalam kasus seperti ini, jika pembilangnya mengandung bilangan selain nol, maka persamaan tersebut tidak memiliki akar. Jika bilangan ini sama dengan nol, maka akar persamaannya adalah bilangan berapa pun dari ODZ.
Contoh 10
Selesaikan persamaan rasional pecahan - 3, 2 x 3 + 27 = 0.
Larutan
Persamaan ini tidak mempunyai akar, karena pembilang pecahan di sisi kiri persamaan mengandung bilangan bukan nol. Artinya, jika nilai x tidak ada, nilai pecahan yang diberikan dalam rumusan masalah akan sama dengan nol.
Menjawab: tidak ada akar.
Contoh 11
Selesaikan persamaan 0 x 4 + 5 x 3 = 0.
Larutan
Karena pembilang pecahannya nol, penyelesaian persamaannya adalah nilai x dari ODZ variabel x.
Sekarang mari kita definisikan ODZ. Ini akan mencakup semua nilai x yang mana x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Solusi persamaan x 4 + 5 x 3 = 0 adalah 0 Dan − 5 , karena persamaan ini ekuivalen dengan persamaan tersebut x 3 (x + 5) = 0, dan ini setara dengan kombinasi dua persamaan x 3 = 0 dan x + 5 = 0, di mana akar-akar ini terlihat. Kami sampai pada kesimpulan bahwa kisaran nilai yang dapat diterima yang diinginkan adalah sembarang x kecuali x = 0 Dan x = − 5.
Ternyata persamaan rasional pecahan 0 x 4 + 5 x 3 = 0 mempunyai himpunan tak terbatas penyelesaiannya, yaitu bilangan apa pun kecuali nol dan - 5.
Menjawab: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
Sekarang mari kita bicara tentang persamaan rasional pecahan tipe sewenang-wenang dan metode penyelesaiannya. Mereka dapat ditulis sebagai r(x) = s(x), Di mana r(x) Dan s(x)– ekspresi rasional, dan setidaknya salah satunya adalah pecahan. Penyelesaian persamaan tersebut direduksi menjadi penyelesaian persamaan bentuk p (x) q (x) = 0.
Kita telah mengetahui bahwa kita dapat memperoleh persamaan ekuivalen dengan memindahkan persamaan dari ruas kanan persamaan ke ruas kiri yang bertanda berlawanan. Artinya persamaannya r(x) = s(x) setara dengan persamaan r (x) − s (x) = 0. Kita juga telah membahas cara mengubah ekspresi rasional menjadi pecahan rasional. Berkat ini, kita dapat dengan mudah mengubah persamaan tersebut r (x) − s (x) = 0 menjadi pecahan rasional identik berbentuk p (x) q (x) .
Jadi kita beralih dari persamaan rasional pecahan asli r(x) = s(x) ke persamaan bentuk p (x) q (x) = 0, yang telah kita pelajari penyelesaiannya.
Perlu diingat bahwa ketika melakukan transisi dari r (x) − s (x) = 0 ke p(x)q(x) = 0 lalu ke p(x)=0 kita mungkin tidak memperhitungkan perluasan kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x.
Sangat mungkin persamaan aslinya r(x) = s(x) dan persamaan p(x)=0 sebagai akibat dari transformasi mereka tidak lagi setara. Kemudian solusi persamaannya p(x)=0 dapat memberi kita akar yang asing bagi kita r(x) = s(x). Dalam hal ini, dalam setiap kasus perlu dilakukan verifikasi menggunakan salah satu metode yang dijelaskan di atas.
Untuk memudahkan Anda mempelajari topik tersebut, kami telah merangkum semua informasi ke dalam algoritma penyelesaian persamaan rasional pecahan berbentuk r(x) = s(x):
- kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan dengan tanda berlawanan dan mendapatkan nol di sebelah kanan;
- ubah ekspresi asli menjadi pecahan rasional p (x) q (x) , secara berurutan melakukan operasi dengan pecahan dan polinomial;
- menyelesaikan persamaan tersebut p(x)=0;
- kami mengidentifikasi akar-akar asing dengan memeriksa kepemilikannya pada ODZ atau dengan mensubstitusikannya ke persamaan aslinya.
Secara visual, rangkaian tindakan akan terlihat seperti ini:
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → eliminasi AKAR EKSTERNAL
Contoh 12
Selesaikan persamaan rasional pecahan x x + 1 = 1 x + 1 .
Larutan
Mari kita lanjutkan ke persamaan x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Mari kita ubah ekspresi rasional pecahan di ruas kiri persamaan ke bentuk p (x) q (x) .
Untuk melakukan ini kita harus membawanya pecahan rasional ke penyebut yang sama dan sederhanakan ekspresi:
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)
Untuk mencari akar persamaan - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, kita perlu menyelesaikan persamaan tersebut − 2 x − 1 = 0. Kami mendapatkan satu akar x = - 1 2.
Yang harus kita lakukan adalah memeriksa menggunakan salah satu metode. Mari kita lihat keduanya.
Mari kita substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan aslinya. Kita peroleh - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Kita telah sampai pada persamaan numerik yang benar − 1 = − 1 . Artinya x = − 1 2 adalah akar persamaan aslinya.
Sekarang mari kita periksa melalui ODZ. Mari kita tentukan kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x. Ini akan menjadi keseluruhan himpunan bilangan, kecuali − 1 dan 0 (pada x = − 1 dan x = 0, penyebut pecahannya hilang). Akar yang kami peroleh x = − 1 2 milik ODZ. Artinya, ini adalah akar persamaan aslinya.
Menjawab: − 1 2 .
Contoh 13
Temukan akar-akar persamaan x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.
Larutan
Kita berhadapan dengan persamaan rasional pecahan. Oleh karena itu, kami akan bertindak sesuai algoritma.
Mari kita pindahkan persamaan dari ruas kanan ke kiri dengan tanda kebalikannya: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
Mari kita lakukan transformasi yang diperlukan: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.
Kita sampai pada persamaannya x = 0. Akar persamaan ini adalah nol.
Mari kita periksa apakah akar ini asing dengan persamaan aslinya. Mari kita substitusikan nilainya ke persamaan awal: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Seperti yang Anda lihat, persamaan yang dihasilkan tidak masuk akal. Artinya 0 adalah akar asing, dan persamaan rasional pecahan asli tidak mempunyai akar.
Menjawab: tidak ada akar.
Jika kita belum memasukkan orang lain ke dalam algoritma transformasi yang setara, ini tidak berarti bahwa mereka tidak dapat digunakan. Algoritma ini bersifat universal, namun dirancang untuk membantu, bukan membatasi.
Contoh 14
Selesaikan persamaan 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24
Larutan
Cara termudah adalah dengan menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang diberikan menggunakan algoritma. Tapi ada cara lain. Mari kita pertimbangkan.
Kurangi 7 dari ruas kanan dan kiri, kita peroleh: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.
Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan penyebut di ruas kiri harus sama dengan kebalikan dari bilangan di ruas kanan, yaitu 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.
Kurangi 3 dari kedua ruas: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Dengan analogi, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, dari mana 1 5 - x 2 = 1 3, lalu 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2
Mari kita lakukan pemeriksaan untuk menentukan apakah akar-akar yang ditemukan merupakan akar-akar persamaan awal.
Menjawab: x = ± 2
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, sorot teks tersebut dan tekan Ctrl+Enter
§ 1 Persamaan rasional bilangan bulat dan pecahan
Dalam pelajaran ini kita akan melihat konsep-konsep seperti persamaan rasional, ekspresi rasional, ekspresi bilangan bulat, ekspresi pecahan. Mari kita pertimbangkan penyelesaian persamaan rasional.
Persamaan rasional adalah persamaan yang ruas kiri dan ruas kanannya merupakan ekspresi rasional.
Ekspresi rasional adalah:
Pecahan.
Ekspresi bilangan bulat terdiri dari bilangan, variabel, pangkat bilangan bulat menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dengan bilangan selain nol.
Misalnya:
Ekspresi pecahan melibatkan pembagian dengan variabel atau ekspresi dengan variabel. Misalnya:
Ekspresi pecahan tidak masuk akal untuk semua nilai variabel yang termasuk di dalamnya. Misalnya saja ungkapan
pada x = -9 tidak masuk akal, karena pada x = -9 penyebutnya menjadi nol.
Artinya persamaan rasional bisa berupa bilangan bulat atau pecahan.
Persamaan rasional utuh adalah persamaan rasional yang ruas kiri dan ruas kanannya merupakan ekspresi bilangan bulat.
Misalnya:
Persamaan rasional pecahan adalah persamaan rasional yang ruas kiri atau ruas kanannya merupakan ekspresi pecahan.
Misalnya:
§ 2 Solusi dari seluruh persamaan rasional
Mari kita pertimbangkan solusi seluruh persamaan rasional.
Misalnya:
Kalikan kedua ruas persamaan dengan yang terkecil penyebut yang sama penyebut pecahan yang ada di dalamnya.
Untuk melakukan ini:
1. carilah penyebut yang sama untuk penyebut 2, 3, 6. Sama dengan 6;
2. temukan faktor tambahan untuk setiap pecahan. Caranya, bagilah penyebut yang sama 6 dengan masing-masing penyebutnya
faktor tambahan untuk pecahan
faktor tambahan untuk pecahan
3. kalikan pembilang pecahan dengan faktor tambahan yang bersesuaian. Jadi, kita memperoleh persamaannya
yang setara dengan persamaan yang diberikan
Mari kita buka tanda kurung di sebelah kiri, pindahkan bagian kanan ke kiri, ubah tanda sukunya jika dipindahkan ke kebalikannya.
Mari kita bawa suku-suku polinomial yang serupa dan dapatkan
Kita melihat bahwa persamaannya linier.
Setelah menyelesaikannya, kita menemukan bahwa x = 0,5.
§ 3 Solusi persamaan rasional pecahan
Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.
Misalnya:
1. Kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut terkecil dari penyebut pecahan rasional yang termasuk di dalamnya.
Mari kita cari penyebut yang sama untuk penyebut x + 7 dan x - 1.
Itu sama dengan hasil kali mereka (x + 7)(x - 1).
2. Mari kita cari faktor tambahan untuk setiap pecahan rasional.
Caranya, bagilah penyebut yang sama (x + 7)(x - 1) dengan masing-masing penyebutnya. Pengganda tambahan untuk pecahan
sama dengan x - 1,
faktor tambahan untuk pecahan
sama dengan x+7.
3. Kalikan pembilang pecahan dengan faktor tambahannya yang bersesuaian.
Kita peroleh persamaan (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), yang ekuivalen dengan persamaan ini
4. Kalikan binomial dengan binomial kiri dan kanan dan dapatkan persamaan berikut
5. Kita pindahkan ruas kanan ke kiri, ubah tanda tiap suku saat berpindah ke kebalikannya:
6. Mari kita sajikan suku-suku polinomial yang serupa:
7. Kedua bagian tersebut dapat dibagi -1. Kami mendapatkan persamaan kuadrat:
8. Setelah diselesaikan, kita akan menemukan akarnya
Karena dalam Persamaan.
sisi kiri dan kanan adalah ekspresi pecahan, dan ekspresi pecahan untuk beberapa nilai penyebut variabel bisa menjadi nol, maka perlu dilakukan pengecekan apakah penyebutnya tidak menjadi nol ketika x1 dan x2 ditemukan.
Pada x = -27, penyebutnya (x + 7)(x - 1) tidak hilang; pada x = -1, penyebutnya juga tidak nol.
Oleh karena itu, akar -27 dan -1 merupakan akar-akar persamaan tersebut.
Saat menyelesaikan persamaan rasional pecahan, lebih baik segera menunjukkan kisaran nilai yang dapat diterima. Hilangkan nilai-nilai yang penyebutnya menjadi nol.
Mari kita perhatikan contoh lain penyelesaian persamaan rasional pecahan.
Misalnya, mari kita selesaikan persamaannya
Kita memfaktorkan penyebut pecahan di ruas kanan persamaan
Kami mendapatkan persamaannya
Mari kita cari penyebut yang sama untuk penyebut (x - 5), x, x(x - 5).
Ini akan menjadi ekspresi x(x - 5).
Sekarang mari kita cari kisaran nilai persamaan yang dapat diterima
Untuk melakukan ini, kita menyamakan penyebutnya dengan nol x(x - 5) = 0.
Kita memperoleh persamaan, penyelesaiannya kita temukan bahwa pada x = 0 atau pada x = 5 penyebutnya menjadi nol.
Artinya x = 0 atau x = 5 tidak bisa menjadi akar-akar persamaan kita.
Pengganda tambahan sekarang dapat ditemukan.
Faktor tambahan untuk pecahan rasional
faktor tambahan untuk pecahan tersebut
akan menjadi (x - 5),
dan faktor tambahan pecahan
Kami mengalikan pembilangnya dengan faktor tambahan yang sesuai.
Kita mendapatkan persamaan x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).
Mari kita buka tanda kurung di kiri dan kanan, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
Mari kita pindahkan suku dari kanan ke kiri, mengubah tanda suku yang ditransfer:
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
Dan setelah membawa suku-suku serupa, kita memperoleh persamaan kuadrat x2 - 3x - 10 = 0. Setelah menyelesaikannya, kita mencari akar-akar x1 = -2; x2 = 5.
Namun kita telah mengetahui bahwa pada x = 5 penyebutnya x(x - 5) menjadi nol. Oleh karena itu, akar persamaan kita
akan menjadi x = -2.
§ 4 Ringkasan singkat pelajaran
Penting untuk diingat:
Saat menyelesaikan persamaan rasional pecahan, lakukan sebagai berikut:
1. Temukan penyebut pecahan yang termasuk dalam persamaan tersebut. Selain itu, jika penyebut pecahan dapat difaktorkan, faktorkanlah pecahan tersebut lalu cari penyebutnya.
2. Kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama: cari faktor tambahan, kalikan pembilangnya dengan faktor tambahan.
3. Selesaikan seluruh persamaan yang dihasilkan.
4. Hilangkan dari akarnya hal-hal yang membuat penyebut yang sama hilang.
Daftar literatur bekas:
- Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Diedit oleh Telyakovsky S.A. Aljabar: buku teks. untuk kelas 8. pendidikan umum institusi. - M.: Pendidikan, 2013.
- Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8: Dalam dua bagian. Bagian 1: Buku Teks. untuk pendidikan umum institusi. - M.: Mnemosin.
- Rurukin A.N. Perkembangan pembelajaran aljabar: kelas 8. - M.: VAKO, 2010.
- Aljabar kelas 8: rencana pelajaran menurut buku teks oleh Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Guru, 2005.
Tujuan pelajaran:
Pendidikan:
- pembentukan konsep persamaan rasional pecahan;
- pertimbangkan berbagai cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan;
- pertimbangkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, termasuk syarat pecahan sama dengan nol;
- mengajarkan penyelesaian persamaan rasional pecahan dengan menggunakan algoritma;
- memeriksa tingkat penguasaan topik dengan melakukan tes.
Pembangunan:
- mengembangkan kemampuan untuk mengoperasikan dengan benar pengetahuan yang diperoleh dan berpikir logis;
- pengembangan keterampilan intelektual dan operasi mental- analisis, sintesis, perbandingan dan sintesis;
- pengembangan inisiatif, kemampuan mengambil keputusan, dan tidak berhenti di situ;
- perkembangan berpikir kritis;
- pengembangan keterampilan penelitian.
Mendidik:
- asuhan minat kognitif ke subjek;
- menumbuhkan kemandirian dalam pengambilan keputusan tugas pendidikan;
- memupuk kemauan dan ketekunan untuk mencapai hasil akhir.
Jenis pelajaran: pelajaran - penjelasan materi baru.
Kemajuan pelajaran
1. Momen organisasi.
Halo teman-teman! Ada persamaan yang tertulis di papan tulis, perhatikan baik-baik. Bisakah kamu menyelesaikan semua persamaan ini? Mana yang tidak dan mengapa?
Persamaan yang ruas kiri dan kanannya merupakan ekspresi rasional pecahan disebut persamaan rasional pecahan. Menurut Anda apa yang akan kita pelajari di kelas hari ini? Merumuskan topik pelajaran. Jadi, bukalah buku catatanmu dan tuliskan topik pelajaran “Menyelesaikan persamaan rasional pecahan”.
2. Memperbarui pengetahuan. Survei depan, pekerjaan lisan dengan kelas.
Dan sekarang kita akan mengulangi materi teori utama yang perlu kita pelajari topik baru. Silakan jawab pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Apa itu persamaan? ( Kesetaraan dengan suatu variabel atau variabel.)
- Apa nama persamaan nomor 1? ( Linier.) Solusi persamaan linier. (Pindahkan semua bilangan yang tidak diketahui ke ruas kiri persamaan, semua bilangan ke kanan. Memimpin istilah serupa. Temukan faktor yang tidak diketahui).
- Apa nama persamaan nomor 3? ( Persegi.) Metode penyelesaian persamaan kuadrat. ( Pilihan persegi penuh, dengan rumus, menggunakan teorema Vieta dan konsekuensinya.)
- Apa itu proporsi? ( Kesetaraan dua rasio.) Sifat utama proporsi. ( Jika proporsinya benar, maka hasil kali suku ekstrimnya sama dengan hasil kali suku tengahnya.)
- Properti apa yang digunakan saat menyelesaikan persamaan? ( 1. Jika Anda memindahkan suatu suku dalam suatu persamaan dari satu bagian ke bagian lain, mengubah tandanya, Anda akan mendapatkan persamaan yang setara dengan persamaan yang diberikan. 2. Jika kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, maka diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan bilangan yang diberikan.)
- Kapan pecahan sama dengan nol? ( Pecahan sama dengan nol bila pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol..)
3. Penjelasan materi baru.
Selesaikan persamaan No. 2 di buku catatan Anda dan di papan tulis.
Menjawab: 10.
Yang persamaan rasional pecahan Dapatkah Anda mencoba menyelesaikannya menggunakan sifat dasar proporsi? (No.5).
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6
x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8
Selesaikan persamaan No. 4 di buku catatan Anda dan di papan tulis.
Menjawab: 1,5.
Persamaan rasional pecahan apa yang dapat kamu selesaikan dengan mengalikan kedua ruas persamaan tersebut dengan penyebutnya? (No.6).
x 2 -7x+12 = 0
D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.
Menjawab: 3;4.
Sekarang coba selesaikan persamaan nomor 7 dengan menggunakan salah satu cara berikut.
(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5) |
|
||
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0 |
x 2 -2x-5=x+5 |
||
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0 |
x 2 -2x-5-x-5=0 |
||
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0 |
|||
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0 |
|||
x 1 =0 x 2 =5 D=49 |
|||
x 3 =5 x 4 =-2 |
x 3 =5 x 4 =-2 |
||
Menjawab: 0;5;-2. |
Menjawab: 5;-2. |
Jelaskan mengapa ini terjadi? Mengapa ada tiga akar dalam satu kasus dan dua akar dalam kasus lainnya? Berapakah akar-akar persamaan rasional pecahan tersebut?
Sampai saat ini siswa belum menemukan konsep akar asing; memang sangat sulit bagi mereka untuk memahami mengapa hal tersebut terjadi. Jika tidak ada seorang pun di kelas yang dapat memberikan penjelasan yang jelas tentang situasi ini, maka guru akan mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang mengarahkan.
- Apa perbedaan persamaan no 2 dan 4 dengan persamaan no 5,6,7? ( Pada persamaan no 2 dan 4 ada bilangan penyebutnya, no 5-7 adalah ekspresi dengan variabel.)
- Apa akar persamaan? ( Nilai variabel yang membuat persamaan menjadi benar.)
- Bagaimana cara mengetahui apakah suatu bilangan merupakan akar persamaan? ( Lakukan pemeriksaan.)
Saat pengujian, beberapa siswa memperhatikan bahwa mereka harus membagi dengan nol. Mereka menyimpulkan bahwa angka 0 dan 5 bukanlah akar persamaan yang diberikan. Timbul pertanyaan: apakah ada cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang memungkinkan kita menghilangkannya kesalahan ini? Ya, cara ini didasarkan pada syarat pecahan sama dengan nol.
x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.
Jika x=5, maka x(x-5)=0, artinya 5 adalah akar asing.
Jika x=-2, maka x(x-5)≠0.
Menjawab: -2.
Mari kita coba merumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dengan cara ini. Anak-anak merumuskan sendiri algoritmanya.
Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:
- Pindahkan semuanya ke sisi kiri.
- Kurangi pecahan menjadi penyebut yang sama.
- Buatlah sistem: pecahan sama dengan nol jika pembilangnya sama dengan nol dan penyebutnya tidak sama dengan nol.
- Selesaikan persamaannya.
- Periksa pertidaksamaan untuk mengecualikan akar-akar asing.
- Tuliskan jawabannya.
Pembahasan: bagaimana memformalkan penyelesaian jika menggunakan sifat dasar proporsi dan perkalian kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama. (Tambahkan ke solusinya: kecualikan dari akar-akarnya hal-hal yang membuat penyebut yang sama hilang).
4. Pemahaman awal materi baru.
Bekerja berpasangan. Siswa memilih sendiri cara menyelesaikan persamaan tergantung pada jenis persamaannya. Tugas dari buku teks “Aljabar 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: No.600(b,c,i); No.601(a,e,g). Guru memantau penyelesaian tugas, menjawab setiap pertanyaan yang muncul, dan memberikan bantuan kepada siswa yang berprestasi rendah. Tes mandiri: jawaban ditulis di papan tulis.
b) 2 – akar asing. Jawaban: 3.
c) 2 – akar asing. Jawaban: 1.5.
a) Jawaban: -12.5.
g) Jawaban: 1;1.5.
5. Menetapkan pekerjaan rumah.
- Baca paragraf 25 dari buku teks, analisis contoh 1-3.
- Pelajari algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.
- Selesaikan dalam buku catatan No. 600 (a, d, e); No.601(g,h).
- Cobalah untuk menyelesaikan No. 696(a) (opsional).
6. Menyelesaikan tugas kontrol pada topik yang dipelajari.
Pekerjaan dilakukan pada selembar kertas.
Contoh tugas:
A) Persamaan manakah yang rasional pecahan?
B) Suatu pecahan sama dengan nol jika pembilangnya __________ dan penyebutnya ___________.
Q) Apakah angka -3 merupakan akar persamaan nomor 6?
D) Selesaikan persamaan no.7.
Kriteria penilaian tugas:
- “5” diberikan jika siswa menyelesaikan lebih dari 90% tugas dengan benar.
- "4" - 75%-89%
- "3" - 50%-74%
- “2” diberikan kepada siswa yang menyelesaikan kurang dari 50% tugas.
- Peringkat 2 tidak diberikan dalam jurnal, 3 bersifat opsional.
7. Refleksi.
Pada lembar kerja mandiri, tulislah:
- 1 – jika pelajarannya menarik dan dapat Anda pahami;
- 2 – menarik, tetapi tidak jelas;
- 3 – tidak menarik, tapi bisa dimengerti;
- 4 – tidak menarik, tidak jelas.
8. Menyimpulkan pelajaran.
Jadi, hari ini dalam pelajaran kita berkenalan dengan persamaan rasional pecahan, belajar bagaimana menyelesaikan persamaan tersebut dalam berbagai cara, menguji pengetahuan mereka dengan bantuan pelatihan pekerjaan mandiri. Anda akan mempelajari hasil kerja mandiri di pelajaran berikutnya, di rumah Anda akan memiliki kesempatan untuk mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh.
Menurut Anda, metode penyelesaian persamaan rasional pecahan manakah yang lebih mudah, mudah diakses, dan rasional? Terlepas dari metode penyelesaian persamaan rasional pecahan, apa yang harus Anda ingat? Apa yang dimaksud dengan “liciknya” persamaan rasional pecahan?
Terima kasih semuanya, pelajaran sudah selesai.
