Gunakan ekspresi faktorisasi. Faktorisasi. Metode memperluas polinomial dengan mengisolasi faktor persekutuan

Apa yang terjadi faktorisasi? Ini adalah cara mengubah contoh yang tidak nyaman dan rumit menjadi sederhana dan lucu.) Teknik yang sangat ampuh! Hal ini ditemukan di setiap langkah dalam matematika dasar dan tinggi.

Transformasi seperti itu dalam bahasa matematika disebut transformasi ekspresi identik. Bagi yang belum tahu, silakan lihat tautannya. Sangat sedikit yang ada di sana, sederhana dan bermanfaat.) Arti dari setiap transformasi identitas adalah rekaman ekspresi dalam bentuk lain dengan tetap menjaga esensinya.

Arti faktorisasi sangat sederhana dan jelas. Sesuai dengan namanya sendiri. Anda mungkin lupa (atau tidak tahu) apa itu pengganda, tapi Anda tahu kalau kata ini berasal dari kata “kalikan”?) Arti dari anjak piutang adalah: mewakili ekspresi dalam bentuk mengalikan sesuatu dengan sesuatu. Semoga matematika dan bahasa Rusia memaafkan saya...) Itu saja.

Misalnya, Anda perlu memperluas angka 12. Anda dapat menulis dengan aman:

Jadi kami menyajikan angka 12 sebagai perkalian 3 dengan 4. Perlu diketahui bahwa angka di sebelah kanan (3 dan 4) sama sekali berbeda dengan angka di sebelah kiri (1 dan 2). Tapi kami memahami betul bahwa 12 dan 3 4 satu dan sama. Intisari angka 12 dari transformasi belum berubah.

Apakah mungkin untuk menguraikan 12 secara berbeda? Mudah!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

Pilihan dekomposisi tidak terbatas.

Memfaktorkan bilangan adalah hal yang berguna. Ini sangat membantu, misalnya saat bekerja dengan root. Namun memfaktorkan ekspresi aljabar tidak hanya berguna diperlukan! Misalnya saja:

Menyederhanakan:

Mereka yang tidak tahu bagaimana memfaktorkan suatu ekspresi akan berada di pinggir lapangan. Mereka yang tahu caranya - sederhanakan dan dapatkan:

Efeknya luar biasa kan?) Omong-omong, solusinya cukup sederhana. Anda akan melihatnya sendiri di bawah. Atau, misalnya, tugas ini:

Selesaikan persamaan:

x 5 - x 4 = 0

Ngomong-ngomong, itu sudah diputuskan dalam pikiran. Menggunakan faktorisasi. Kami akan menyelesaikan contoh ini di bawah. Menjawab: x 1 = 0; x 2 = 1.

Atau, hal yang sama, tetapi untuk yang lebih tua):

Selesaikan persamaan:

Dalam contoh-contoh ini saya tunjukkan tujuan utama faktorisasi: menyederhanakan ekspresi pecahan dan menyelesaikan beberapa jenis persamaan. Berikut aturan praktis yang perlu diingat:

Jika kita mempunyai ekspresi pecahan yang menakutkan di depan kita, kita dapat mencoba memfaktorkan pembilang dan penyebutnya. Seringkali pecahan direduksi dan disederhanakan.

Jika kita memiliki persamaan di depan kita, yang di sebelah kanan ada nol, dan di sebelah kiri - saya tidak mengerti apa, kita bisa mencoba memfaktorkan ruas kiri. Terkadang itu membantu).

Metode dasar faktorisasi.

Ini dia, metode paling populer:

4. Perluasan trinomial kuadrat.

Cara-cara ini harus diingat. Tepat dalam urutan itu. Contoh kompleks diperiksa untuk semua kemungkinan metode dekomposisi. Dan lebih baik dicek secara urut agar tidak bingung... Jadi mari kita mulai secara urut.)

1. Mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Cara yang sederhana dan dapat diandalkan. Tidak ada hal buruk yang datang darinya! Entah itu bagus atau tidak sama sekali.) Itu sebabnya dia didahulukan. Mari kita cari tahu.

Semua orang tahu (saya percaya!) aturannya:

a(b+c) = ab+ac

Atau, secara lebih umum:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+iklan+....

Semua persamaan berlaku baik dari kiri ke kanan maupun sebaliknya, dari kanan ke kiri. Anda dapat menulis:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+iklan+.... = a(b+c+d+.....)

Itulah inti dari menghilangkan faktor persekutuan.

Di sisi kiri A - pengganda umum untuk semua persyaratan. Dikalikan dengan segala sesuatu yang ada). Di sebelah kanan adalah yang paling banyak A sudah berada di luar tanda kurung.

Kami akan mempertimbangkan penerapan praktis metode ini dengan menggunakan contoh. Pada awalnya pilihannya sederhana, bahkan primitif.) Namun dalam pilihan ini saya akan menandai (dengan warna hijau) poin-poin yang sangat penting untuk setiap faktorisasi.

Menguraikan pd pengali:

ah+9x

Yang umum apakah pengganda muncul di kedua suku? X, tentu saja! Kami akan mengeluarkannya dari kurung. Ayo lakukan ini. Kita langsung menulis X di luar tanda kurung:

kapak+9x=x(

Dan di dalam tanda kurung kita tuliskan hasil pembagiannya setiap istilah pada X ini. Secara berurutan:

Itu saja. Tentu tidak perlu dijelaskan sedetail itu, ini dilakukan dalam pikiran. Tetapi disarankan untuk memahami apa itu). Kami mencatat dalam memori:

Kami menulis faktor persekutuan di luar tanda kurung. Dalam tanda kurung kita tuliskan hasil pembagian semua suku dengan faktor persekutuan tersebut. Secara berurutan.

Jadi kami telah memperluas ekspresinya ah+9x oleh pengganda. Mengubahnya menjadi mengalikan x dengan (a+9). Saya perhatikan bahwa dalam ekspresi aslinya juga ada perkalian, bahkan dua: a·x dan 9·x. Tapi itu tidak difaktorkan! Karena selain perkalian, ungkapan ini juga mengandung penjumlahan, yaitu tanda “+”! Dan dalam berekspresi x(a+9) Tidak ada yang lain selain perkalian!

Bagaimana bisa!? - Saya mendengar suara marah orang-orang - Dan dalam tanda kurung!?)

Ya, ada tambahan di dalam tanda kurung. Tapi triknya, sementara tanda kurung tidak dibuka, kami pertimbangkan seperti satu huruf. Dan kami melakukan semua tindakan dengan tanda kurung seluruhnya, seperti satu huruf. Dalam pengertian ini, dalam ekspresi x(a+9) Tidak ada yang lain selain perkalian. Inilah inti dari faktorisasi.

Ngomong-ngomong, apakah mungkin untuk memeriksa apakah kita melakukan semuanya dengan benar? Mudah! Cukup dengan mengalikan kembali apa yang Anda keluarkan (x) dengan tanda kurung dan lihat apakah berhasil asli ekspresi? Jika berhasil, semuanya baik-baik saja!)

x(a+9)=kapak+9x

Itu berhasil.)

Tidak ada masalah dalam contoh primitif ini. Tetapi jika ada beberapa suku, dan bahkan dengan tanda yang berbeda... Singkatnya, setiap siswa ketiga membuat kesalahan). Karena itu:

Jika perlu, periksa faktorisasi dengan perkalian terbalik.

Menguraikan pd pengali:

3ax+9x

Kami mencari faktor yang sama. Nah, semuanya jelas dengan X, bisa dikeluarkan. Apakah masih ada lagi umum faktor? Ya! Ini adalah tiga. Anda dapat menulis ekspresi seperti ini:

3kapak+3 3x

Di sini jelas sekali bahwa faktor persekutuannya adalah 3x. Di sini kita mengeluarkannya:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Menyebar.

Apa yang terjadi jika Anda mengeluarkannya hanya x? Tidak ada yang istimewa:

3ax+9x=x(3a+9)

Ini juga akan menjadi faktorisasi. Namun dalam proses yang menakjubkan ini, merupakan kebiasaan untuk mengerahkan segalanya hingga batasnya selagi ada kesempatan. Di sini, di dalam tanda kurung, ada peluang untuk mengeluarkan angka tiga. Ternyata:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Hal yang sama, hanya dengan satu tindakan tambahan.) Ingat:

Saat mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung, kami mencoba mengeluarkannya maksimum faktor umum.

Bisakah kita melanjutkan kesenangannya?)

Faktorkan ekspresi:

3akh+9х-8а-24

Apa yang akan kita ambil? Tiga, X? Tidak... Anda tidak bisa. Saya mengingatkan Anda bahwa Anda hanya bisa mengeluarkannya umum pengganda itu dalam semua istilah ekspresi. Itu sebabnya dia umum. Tidak ada pengganda seperti itu di sini... Apa, Anda tidak perlu mengembangkannya!? Ya, kami sangat senang... Bertemu:

2. Pengelompokan.

Sebenarnya, pengelompokan hampir tidak bisa disebut sebagai metode faktorisasi yang independen. Ini lebih merupakan cara untuk keluar dari contoh yang rumit.) Anda perlu mengelompokkan istilah-istilahnya agar semuanya berhasil. Hal ini hanya dapat ditunjukkan melalui contoh. Jadi, kita mempunyai ekspresi:

3akh+9х-8а-24

Terlihat ada beberapa huruf dan angka yang umum. Tetapi... Umum tidak ada pengganda dalam semua syarat. Jangan berkecil hati dan pecahkan ekspresi menjadi beberapa bagian. Pengelompokan. Agar setiap bagian memiliki faktor yang sama, ada sesuatu yang perlu diambil. Bagaimana kita memecahkannya? Ya, kami hanya memberi tanda kurung.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa tanda kurung dapat ditempatkan di mana saja dan sesuka Anda. Inti dari contoh saja belum berubah. Misalnya, Anda dapat melakukan ini:

3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)

Harap perhatikan tanda kurung kedua! Mereka didahului dengan tanda minus, dan 8a Dan 24 berubah menjadi positif! Jika untuk mengeceknya kita buka kembali tanda kurungnya, tandanya akan berubah, dan kita dapatkan asli ekspresi. Itu. inti ungkapan dalam tanda kurung tidak berubah.

Namun jika hanya menyisipkan tanda kurung saja tanpa memperhitungkan perubahan tandanya, contohnya seperti ini:

3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )

itu akan menjadi sebuah kesalahan. Di sebelah kanan - sudah lainnya ekspresi. Buka tanda kurung dan semuanya akan terlihat. Anda tidak perlu memutuskan lebih lanjut, ya...)

Tapi mari kita kembali ke faktorisasi. Mari kita lihat tanda kurung pertama (3ax+9x) dan kami berpikir, adakah yang bisa kami ambil? Nah, contoh di atas sudah kita pecahkan, kita bisa mengambilnya 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Mari kita pelajari tanda kurung kedua, kita bisa menambahkan angka delapan di sana:

(8a+24)=8(a+3)

Keseluruhan ekspresi kita adalah:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Difaktorkan? TIDAK. Hasil penguraian seharusnya hanya perkalian tapi bagi kami tanda minus merusak segalanya. Tapi... Kedua istilah tersebut memiliki faktor yang sama! Ini (a+3). Bukan tanpa alasan saya mengatakan bahwa seluruh tanda kurung itu seolah-olah satu huruf. Artinya tanda kurung tersebut dapat dikeluarkan dari tanda kurung. Ya, memang seperti itulah kedengarannya.)

Kami melakukan seperti yang dijelaskan di atas. Kami menulis faktor persekutuan (a+3), dalam tanda kurung kedua kita tuliskan hasil pembagian suku-suku tersebut dengan (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Semua! Tidak ada apa pun di sebelah kanan kecuali perkalian! Artinya faktorisasi telah berhasil diselesaikan!) Ini dia:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Mari kita ulangi secara singkat inti dari kelompok ini.

Jika ekspresi tidak umum pengganda untuk setiap orang istilahnya, kita pecahkan ekspresi ke dalam tanda kurung sehingga di dalam tanda kurung terdapat faktor persekutuan adalah. Kami mengeluarkannya dan melihat apa yang terjadi. Jika Anda beruntung dan masih ada ekspresi yang sama persis di dalam tanda kurung, kami akan mengeluarkan tanda kurung ini dari tanda kurung.

Saya akan menambahkan bahwa pengelompokan adalah proses kreatif). Itu tidak selalu berhasil pada kali pertama. Tidak apa-apa. Terkadang Anda harus bertukar istilah dan mempertimbangkan opsi pengelompokan yang berbeda hingga Anda menemukan yang berhasil. Hal utama di sini adalah jangan berkecil hati!)

Contoh.

Sekarang, setelah memperkaya diri Anda dengan pengetahuan, Anda dapat memecahkan contoh-contoh rumit.) Di awal pelajaran ada tiga hal berikut...

Menyederhanakan:

Intinya, kita telah memecahkan contoh ini. Tanpa kita sadari.) Saya ingatkan Anda: jika kita diberi pecahan jelek, kita coba memfaktorkan pembilang dan penyebutnya. Opsi penyederhanaan lainnya tidak.

Nah, penyebutnya di sini tidak diperluas, tetapi pembilangnya... Kita sudah memperluas pembilangnya selama pelajaran! Seperti ini:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Hasil pemuaian kita tuliskan ke dalam pembilang pecahan:

Menurut aturan pengurangan pecahan (sifat utama pecahan), kita dapat membagi (pada saat yang sama!) pembilang dan penyebutnya dengan angka atau ekspresi yang sama. Pecahan dari ini tidak berubah. Jadi kita membagi pembilang dan penyebutnya dengan ekspresi (3x-8). Dan di sana-sini kita akan mendapatkannya. Hasil akhir penyederhanaan:

Saya ingin menekankan secara khusus: pengurangan pecahan dimungkinkan jika dan hanya jika pembilang dan penyebutnya, selain mengalikan ekspresi tidak ada apa-apa. Oleh karena itu dilakukan transformasi jumlah (selisih) menjadi perkalian sangat penting untuk penyederhanaan. Tentu saja jika ekspresi berbeda, maka tidak ada yang akan berkurang. Itu akan terjadi. Tapi faktorisasi memberi kesempatan. Peluang tanpa pembusukan ini tidak ada.

Contoh dengan persamaan:

Selesaikan persamaan:

x 5 - x 4 = 0

Kami menghilangkan faktor persekutuannya x 4 di luar tanda kurung. Kami mendapatkan:

x 4 (x-1)=0

Kita menyadari bahwa hasil kali faktor sama dengan nol saat itu dan hanya saat itu, ketika salah satu dari mereka adalah nol. Jika ragu, carikan saya beberapa bilangan bukan nol yang jika dikalikan akan menghasilkan nol.) Jadi kita tuliskan faktor pertama terlebih dahulu:

Dengan kesetaraan seperti itu, faktor kedua tidak menjadi perhatian kita. Siapapun bisa, tapi pada akhirnya tetap nol. Berapakah bilangan pangkat empat yang diberikan nol? Hanya nol! Dan tidak ada yang lain... Oleh karena itu:

Kami menemukan faktor pertama dan menemukan satu akar. Mari kita lihat faktor kedua. Sekarang kita tidak peduli dengan pengganda pertama.):

Di sini kami menemukan solusinya: x 1 = 0; x 2 = 1. Salah satu dari akar-akar ini cocok dengan persamaan kita.

Catatan yang sangat penting. Harap dicatat bahwa kami memecahkan persamaan tersebut sepotong demi sepotong! Setiap faktor sama dengan nol, terlepas dari faktor lainnya. Omong-omong, jika dalam persamaan seperti itu tidak ada dua faktor, seperti milik kita, tetapi tiga, lima, sebanyak yang Anda suka, kita akan menyelesaikannya persis sama. Sepotong demi sepotong. Misalnya:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Siapapun yang membuka tanda kurung dan mengalikan semuanya akan terjebak pada persamaan ini selamanya.) Siswa yang benar akan segera melihat bahwa tidak ada apa pun di sebelah kiri kecuali perkalian, dan nol di sebelah kanan. Dan dia akan mulai (dalam pikirannya!) menyamakan semua tanda kurung ke nol. Dan dia akan mendapatkan (dalam 10 detik!) solusi yang tepat: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

Keren kan?) Solusi elegan seperti itu mungkin terjadi jika ruas kiri persamaannya difaktorkan. Mengerti petunjuknya?)

Nah, satu contoh terakhir, untuk yang lebih tua):

Selesaikan persamaan:

Ini agak mirip dengan yang sebelumnya, bukan?) Tentu saja. Saatnya untuk mengingat bahwa dalam aljabar kelas tujuh, sinus, logaritma, dan apa pun dapat disembunyikan di bawah huruf! Anjak piutang bekerja di seluruh matematika.

Kami menghilangkan faktor persekutuannya lg 4x di luar tanda kurung. Kami mendapatkan:

catatan 4 x=0

Ini adalah satu akar. Mari kita lihat faktor kedua.

Inilah jawaban akhirnya: x 1 = 1; x 2 = 10.

Saya harap Anda telah menyadari manfaat pemfaktoran dalam menyederhanakan pecahan dan menyelesaikan persamaan.)

Pada pelajaran ini kita belajar tentang pemfaktoran persekutuan dan pengelompokan. Masih memahami rumus perkalian disingkat dan trinomial kuadrat.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Memfaktorkan suatu persamaan adalah proses mencari suku atau ekspresi yang jika dikalikan akan menghasilkan persamaan awal. Pemfaktoran adalah keterampilan yang berguna untuk memecahkan masalah aljabar dasar, dan menjadi sangat penting ketika mengerjakan persamaan kuadrat dan polinomial lainnya. Pemfaktoran digunakan untuk menyederhanakan persamaan aljabar agar lebih mudah diselesaikan. Pemfaktoran dapat membantu Anda menghilangkan kemungkinan jawaban tertentu lebih cepat dibandingkan menyelesaikan persamaan secara manual.

Tangga

Memfaktorkan bilangan dan ekspresi aljabar dasar

Memfaktorkan bilangan. Konsep pemfaktoran sederhana, namun dalam praktiknya, pemfaktoran dapat menjadi tantangan (jika diberikan persamaan yang rumit). Jadi pertama-tama mari kita lihat konsep pemfaktoran dengan menggunakan contoh bilangan, lanjutkan dengan persamaan sederhana, lalu lanjutkan ke persamaan kompleks. Faktor suatu bilangan adalah bilangan-bilangan yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan aslinya. Misalnya faktor bilangan 12 adalah bilangan: 1, 12, 2, 6, 3, 4, karena 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.
- Demikian pula, Anda dapat menganggap faktor-faktor suatu bilangan sebagai pembaginya, yaitu bilangan-bilangan yang habis dibagi.
- Temukan semua faktor dari angka 60. Kita sering menggunakan angka 60 (misalnya 60 menit dalam satu jam, 60 detik dalam satu menit, dll) dan angka ini memiliki jumlah faktor yang cukup banyak.
  - 60 pengganda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 dan 60.
Ingat: suku-suku ekspresi yang mengandung koefisien (angka) dan variabel juga dapat difaktorkan. Untuk melakukan ini, carilah faktor koefisien untuk variabel tersebut. Mengetahui cara memfaktorkan suku-suku persamaan, Anda dapat dengan mudah menyederhanakan persamaan ini.
- Misalnya, suku 12x dapat ditulis sebagai hasil kali 12 dan x. Anda juga dapat menulis 12x sebagai 3(4x), 2(6x), dst., dengan mengelompokkan 12 menjadi faktor-faktor yang paling sesuai untuk Anda.
  - Anda dapat bertransaksi 12x beberapa kali berturut-turut. Dengan kata lain, Anda tidak boleh berhenti di 3(4x) atau 2(6x); lanjutkan perluasan: 3(2(2x)) atau 2(3(2x)) (tentu saja 3(4x)=3(2(2x)), dst.)
Terapkan sifat distributif perkalian pada persamaan aljabar faktor. Mengetahui cara memfaktorkan bilangan dan suku ekspresi (koefisien dengan variabel), Anda dapat menyederhanakan persamaan aljabar sederhana dengan mencari faktor persekutuan suatu bilangan dan suku ekspresi. Biasanya, untuk menyederhanakan persamaan, Anda perlu mencari faktor persekutuan terbesar (PBB). Penyederhanaan ini dimungkinkan karena sifat distributif perkalian: untuk sembarang bilangan a, b, c, persamaan a(b+c) = ab+ac benar.
- Contoh. Faktorkan persamaan 12x + 6. Pertama, carilah gcd dari 12x dan 6. 6 adalah bilangan terbesar yang membagi 12x dan 6, sehingga persamaan ini dapat difaktorkan dengan: 6(2x+1).
- Proses ini juga berlaku untuk persamaan yang mempunyai suku negatif dan pecahan. Misalnya, x/2+4 dapat difaktorkan menjadi 1/2(x+8); misalnya -7x+(-21) dapat difaktorkan menjadi -7(x+3).
Memfaktorkan Persamaan Kuadrat
1. Pastikan persamaan diberikan dalam bentuk kuadrat (ax 2 + bx + c = 0). Persamaan kuadrat berbentuk: ax 2 + bx + c = 0, dimana a, b, c adalah koefisien numerik selain 0. Jika diberikan persamaan dengan satu variabel (x) dan dalam persamaan tersebut terdapat satu atau lebih suku dengan variabel orde kedua , Anda dapat memindahkan semua suku persamaan ke salah satu sisi persamaan dan menyetelnya sama dengan nol.
  - Misalnya persamaan: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Persamaan ini dapat diubah menjadi persamaan x 2 + 6x + 9 = 0, yang merupakan persamaan kuadrat.
  - Persamaan dengan variabel x orde besar, misalnya x 3, x 4, dst. bukan persamaan kuadrat. Ini adalah persamaan kubik, persamaan orde keempat, dan seterusnya (kecuali persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi persamaan kuadrat dengan variabel x dipangkatkan 2).
2. Persamaan kuadrat, dimana a = 1, diperluas menjadi (x+d)(x+e), dimana d*e=c dan d+e=b. Jika persamaan kuadrat yang diberikan kepada Anda berbentuk: x 2 + bx + c = 0 (yaitu koefisien x 2 adalah 1), maka persamaan tersebut dapat (tetapi tidak dijamin) diperluas ke faktor-faktor di atas. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan dua bilangan yang, jika dikalikan, menghasilkan “c”, dan jika dijumlahkan, “b”. Setelah Anda menemukan dua angka ini (d dan e), substitusikan keduanya ke dalam persamaan berikut: (x+d)(x+e), yang jika tanda kurung dibuka, akan menghasilkan persamaan awal.
  - Misalnya, diberikan persamaan kuadrat x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 dan 3+2=5, maka persamaan tersebut dapat difaktorkan menjadi (x+3)(x+2).
  - Untuk suku negatif, lakukan perubahan kecil berikut pada proses faktorisasi:
    - Jika suatu persamaan kuadrat berbentuk x 2 -bx+c, maka persamaan tersebut diekspansi menjadi: (x-_)(x-_).
    - Jika suatu persamaan kuadrat berbentuk x 2 -bx-c, maka persamaan tersebut diperluas menjadi: (x+_)(x-_).
  - Catatan: Spasi dapat diganti dengan pecahan atau desimal. Misalnya persamaan x 2 + (21/2)x + 5 = 0 diperluas menjadi (x+10)(x+1/2).
3. Faktorisasi dengan cara coba-coba. Persamaan kuadrat sederhana dapat difaktorkan hanya dengan mensubstitusikan bilangan-bilangan ke dalam penyelesaian yang mungkin sampai Anda menemukan penyelesaian yang tepat. Jika persamaan berbentuk ax 2 +bx+c, dengan a>1, penyelesaian yang mungkin ditulis dalam bentuk (dx +/- _)(ex +/- _), dengan d dan e adalah koefisien numerik bukan nol , yang bila dikalikan menghasilkan a. D atau e (atau kedua koefisien) bisa sama dengan 1. Jika kedua koefisien sama dengan 1, maka gunakan metode yang dijelaskan di atas.
  - Misalnya diberikan persamaan 3x 2 - 8x + 4. Di sini 3 hanya memiliki dua faktor (3 dan 1), sehingga penyelesaian yang mungkin ditulis sebagai (3x +/- _)(x +/- _). Dalam hal ini, dengan mengganti spasi -2, Anda akan menemukan jawaban yang benar: -2*3x=-6x dan -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x dan -2*-2=4, artinya pemuaian seperti itu saat membuka tanda kurung akan menghasilkan suku-suku persamaan aslinya.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari otoritas pemerintah di wilayah Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Secara umum, tugas ini memerlukan pendekatan kreatif, karena tidak ada metode universal untuk menyelesaikannya. Namun mari kita coba memberikan beberapa tips.

Dalam sebagian besar kasus, faktorisasi polinomial didasarkan pada akibat wajar dari teorema Bezout, yaitu akar ditemukan atau dipilih dan derajat polinomial dikurangi satu dengan membaginya dengan . Akar polinomial yang dihasilkan dicari dan proses diulangi hingga pemuaian sempurna.

Jika akarnya tidak dapat ditemukan, maka metode perluasan khusus digunakan: dari pengelompokan hingga pengenalan istilah tambahan yang saling eksklusif.

Pemaparan selanjutnya didasarkan pada keterampilan menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi dengan koefisien bilangan bulat.

Mengurung faktor persekutuan.

Mari kita mulai dengan kasus paling sederhana, ketika suku bebasnya sama dengan nol, yaitu polinomialnya berbentuk .

Jelasnya, akar dari polinomial tersebut adalah , yaitu, kita dapat menyatakan polinomial tersebut dalam bentuk .

Metode ini tidak lebih dari itu mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Contoh.

Faktorkan polinomial derajat ketiga.

Larutan.

Jelas sekali, apa itu akar polinomial X dapat dikeluarkan dari tanda kurung:

Mari kita cari akar-akar trinomial kuadrat

Dengan demikian,

Bagian atas halaman

Memfaktorkan polinomial dengan akar rasional.

Pertama, mari kita pertimbangkan metode memperluas polinomial dengan koefisien bilangan bulat berbentuk , koefisien derajat tertinggi sama dengan satu.

Dalam hal ini, jika suatu polinomial mempunyai akar-akar bilangan bulat, maka akar-akar tersebut adalah pembagi suku bebasnya.

Contoh.

Larutan.

Mari kita periksa apakah ada akar yang utuh. Untuk melakukan ini, tuliskan pembagi bilangan tersebut -18 : . Artinya, jika suatu polinomial memiliki akar bilangan bulat, maka polinomial tersebut termasuk bilangan yang tertulis. Mari kita periksa angka-angka ini secara berurutan menggunakan skema Horner. Kenyamanannya juga terletak pada kenyataan bahwa pada akhirnya kita memperoleh koefisien muai polinomial:

Yaitu, x=2 Dan x=-3 adalah akar dari polinomial asli dan kita dapat menyatakannya sebagai produk:

Masih memperluas trinomial kuadrat.

Diskriminan trinomial ini negatif, sehingga tidak mempunyai akar real.

Menjawab:

Komentar:

Alih-alih skema Horner, seseorang dapat menggunakan pemilihan akar dan pembagian polinomial selanjutnya dengan polinomial.

Sekarang perhatikan perluasan polinomial dengan koefisien bilangan bulat berbentuk , dan koefisien derajat tertinggi tidak sama dengan satu.

Dalam hal ini, polinomial dapat memiliki akar-akar rasional pecahan.

Contoh.

Faktorkan ekspresi tersebut.

Larutan.

Dengan melakukan perubahan variabel kamu=2x, mari kita beralih ke polinomial dengan koefisien sama dengan satu pada derajat tertinggi. Untuk melakukan ini, kalikan dulu ekspresi tersebut dengan 4 .