Misalnya, pertidaksamaan adalah ekspresi \(x>5\).
Jenis-jenis ketidaksetaraan:
Jika \(a\) dan \(b\) adalah bilangan atau , maka disebut pertidaksamaan numerik. Ini sebenarnya hanya membandingkan dua angka. Ketimpangan tersebut terbagi menjadi setia Dan tidak setia.
Misalnya:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);
\(17+3\geq 115\) adalah pertidaksamaan numerik yang salah, karena \(17+3=20\), dan \(20\) kurang dari \(115\) (dan tidak lebih besar atau sama dengan) .
Jika \(a\) dan \(b\) adalah ekspresi yang mengandung variabel, maka kita punya ketimpangan dengan variabel. Ketimpangan tersebut dibagi menjadi beberapa jenis tergantung pada isinya:
|
\(2x+1\geq4(5-x)\) |
Variabel hanya sampai pangkat satu |
|||
|
\(3x^2-x+5>0\) |
Ada variabel yang berpangkat kedua (kuadrat), tetapi tidak ada pangkat yang lebih tinggi (ketiga, keempat, dst.) |
|||
|
\(\log_(4)((x+1))<3\) |
||||
|
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\) |
Apa solusi untuk mengatasi ketimpangan?
Jika suatu bilangan disubstitusikan ke dalam suatu pertidaksamaan, bukan suatu variabel, maka bilangan tersebut akan berubah menjadi suatu bilangan.
Jika nilai x tertentu mengubah pertidaksamaan awal menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya, maka pertidaksamaan tersebut disebut solusi atas ketimpangan. Jika tidak, maka nilai tersebut bukanlah solusi. Dan begitulah menyelesaikan ketimpangan– Anda perlu menemukan semua solusinya (atau menunjukkan bahwa tidak ada solusi sama sekali).
Misalnya, jika kita mensubstitusi bilangan \(7\) ke dalam pertidaksamaan linier \(x+6>10\), kita mendapatkan pertidaksamaan numerik yang benar: \(13>10\). Dan jika kita substitusikan \(2\), akan terdapat pertidaksamaan numerik yang salah \(8>10\). Artinya, \(7\) merupakan solusi terhadap pertidaksamaan awal, namun \(2\) bukan.
Namun, pertidaksamaan \(x+6>10\) mempunyai solusi lain. Memang, kita akan mendapatkan pertidaksamaan numerik yang benar ketika mensubstitusi \(5\), dan \(12\), dan \(138\)... Dan bagaimana kita bisa menemukan semuanya solusi yang mungkin? Untuk ini mereka menggunakan Untuk kasus kami, kami memiliki:
\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)
Artinya, angka apa pun yang lebih besar dari empat akan cocok untuk kita. Sekarang Anda perlu menuliskan jawabannya. Penyelesaian pertidaksamaan biasanya ditulis secara numerik dan juga ditandai pada sumbu bilangan dengan arsiran. Untuk kasus kami, kami memiliki:
Menjawab:
\(x\in(4;+\infty)\)
Kapan tanda pertidaksamaan berubah?
Ada satu jebakan besar dalam kesenjangan yang sangat “disukai” oleh siswa:
Saat mengalikan (atau membagi) suatu pertidaksamaan dengan bilangan negatif, pertidaksamaan tersebut dibalik (“lebih” dengan “kurang”, “lebih atau sama dengan” dengan “kurang dari atau sama dengan”, dan seterusnya)
Mengapa ini terjadi? Untuk memahami hal ini, mari kita lihat transformasinya ketimpangan numerik\(3>1\). Memang benar, ada tiga lebih dari satu. Pertama, mari kita coba mengalikannya dengan apa pun angka positif, misalnya, dua:
\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)
Seperti yang bisa kita lihat, setelah perkalian, pertidaksamaan tersebut tetap benar. Dan berapapun bilangan positif yang kita kalikan, kita akan selalu mendapatkan pertidaksamaan yang benar. Sekarang mari kita coba mengalikannya dengan bilangan negatif, misalnya dikurangi tiga:
\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)
Hasilnya adalah pertidaksamaan yang salah, karena minus sembilan lebih kecil dari minus tiga! Artinya, agar pertidaksamaan menjadi benar (dan oleh karena itu, transformasi perkalian dengan negatif adalah “sah”), Anda perlu membalik tanda perbandingannya, seperti ini: \(−9<− 3\).
Dengan pembagian, hasilnya akan sama, Anda dapat memeriksanya sendiri.
Aturan yang tertulis di atas berlaku untuk semua jenis pertidaksamaan, tidak hanya pertidaksamaan numerik.
Contoh: Selesaikan pertidaksamaan \(2(x+1)-1<7+8x\)Larutan:
|
\(2x+2-1<7+8x\) |
Mari kita pindahkan \(8x\) ke kiri, lalu \(2\) dan \(-1\) ke kanan, jangan lupa ganti tandanya |
|
\(2x-8x<7-2+1\) |
|
|
\(-6x<6\) \(|:(-6)\) |
Mari kita bagi kedua ruas pertidaksamaan dengan \(-6\), jangan lupa mengubah dari “kurang” menjadi “lebih” |
|
Mari tandai interval numerik pada sumbu. Ketimpangan, oleh karena itu kita “menusuk” nilai \(-1\) itu sendiri dan tidak menganggapnya sebagai jawaban |
|
|
Mari kita tulis jawabannya sebagai interval |
Menjawab: \(x\in(-1;\infty)\)
Ketimpangan dan disabilitas
Pertidaksamaan, seperti halnya persamaan, dapat mempunyai batasan pada , yaitu pada nilai x. Oleh karena itu, nilai-nilai yang tidak dapat diterima menurut DZ harus dikeluarkan dari kisaran solusi.
Contoh: Selesaikan pertidaksamaan \(\sqrt(x+1)<3\)
Larutan: Jelas bahwa agar ruas kiri lebih kecil dari \(3\), ekspresi akarnya harus lebih kecil dari \(9\) (lagipula, dari \(9\) hanya \(3\)). Kami mendapatkan:
\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)
Semua? Adakah nilai x yang lebih kecil dari \(8\) yang cocok untuk kita? TIDAK! Karena jika kita mengambil, misalnya, nilai \(-5\) yang tampaknya memenuhi syarat, maka nilai tersebut tidak akan menjadi penyelesaian pertidaksamaan awal, karena akan mengarahkan kita pada perhitungan akar suatu bilangan negatif.
\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)
Oleh karena itu, kita juga harus memperhitungkan batasan nilai X - tidak boleh ada bilangan negatif di bawah akar. Jadi, kita memiliki persyaratan kedua untuk x:
\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)
Dan agar x menjadi solusi akhir, ia harus memenuhi kedua persyaratan sekaligus: x harus lebih kecil dari \(8\) (untuk menjadi solusi) dan lebih besar dari \(-1\) (secara prinsip dapat diterima). Merencanakannya pada garis bilangan, kita mendapatkan jawaban akhir:
Menjawab: \(\kiri[-1;8\kanan)\)
Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan permintaan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda e-mail dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan pemerintah di Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.
Banyak orang beranggapan bahwa kesenjangan eksponensial adalah sesuatu yang rumit dan tidak dapat dipahami. Dan belajar memecahkannya hampir merupakan seni yang hebat, yang hanya dapat dipahami oleh Yang Terpilih...
Benar-benar omong kosong! Ketimpangan eksponensial itu mudah. Dan masalah tersebut selalu diselesaikan dengan sederhana. Yah, hampir selalu. :)
Hari ini kita akan melihat topik ini luar dan dalam. Pelajaran ini akan sangat berguna bagi mereka yang baru mulai memahami bagian matematika sekolah ini. Mari kita mulai dengan masalah sederhana dan beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tidak akan ada kerja keras hari ini, tapi apa yang Anda baca sekarang akan cukup untuk menyelesaikan sebagian besar kesenjangan dalam semua jenis tes dan kerja mandiri. Dan pada ujianmu ini juga.
Seperti biasa, mari kita mulai dengan definisinya. Pertidaksamaan eksponensial adalah setiap pertidaksamaan yang mengandung fungsi eksponensial. Dengan kata lain, hal ini selalu dapat direduksi menjadi ketidaksetaraan bentuk
\[((a)^(x)) \gt b\]
Dimana peran $b$ bisa berupa angka biasa, atau mungkin yang lebih keras. Contohnya? Ya, silakan:
\[\begin(sejajarkan) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ segi empat ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\end(sejajarkan)\]
Menurut saya maknanya jelas: ada fungsi eksponensial $((a)^(x))$, dibandingkan dengan sesuatu, lalu diminta mencari $x$. Dalam kasus-kasus klinis tertentu, alih-alih variabel $x$, mereka dapat menempatkan beberapa fungsi $f\left(x \right)$ dan dengan demikian sedikit memperumit ketidaksetaraan :)
Tentu saja, dalam beberapa kasus, kesenjangan tersebut mungkin tampak lebih parah. Di sini, misalnya:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Atau bahkan ini:
Secara umum, kompleksitas dari ketidaksetaraan tersebut bisa sangat berbeda, namun pada akhirnya tetap direduksi menjadi konstruksi sederhana $((a)^(x)) \gt b$. Dan entah bagaimana kita akan memahami konstruksi seperti itu (terutama dalam kasus klinis, ketika tidak ada yang terlintas dalam pikiran, logaritma akan membantu kita). Oleh karena itu, sekarang kami akan mengajari Anda cara menyelesaikan konstruksi sederhana tersebut.
Memecahkan pertidaksamaan eksponensial sederhana
Mari kita pertimbangkan sesuatu yang sangat sederhana. Misalnya, ini:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Jelasnya, angka di sebelah kanan dapat ditulis ulang sebagai pangkat dua: $4=((2)^(2))$. Jadi, pertidaksamaan awal dapat ditulis ulang dalam bentuk yang sangat mudah:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
Dan sekarang tanganku gatal untuk “mencoret” keduanya di dasar pangkat untuk mendapatkan jawaban $x \gt 2$. Namun sebelum mencoret apa pun, mari kita ingat kekuatan dua hal:
\[((2)^(1))=2;\kuad ((2)^(2))=4;\kuad ((2)^(3))=8;\kuad ((2)^( 4))=16;...\]
Seperti yang Anda lihat, semakin besar angka eksponennya, semakin besar angka keluarannya. “Terima kasih, Kapten!” - salah satu siswa akan berseru. Apakah ada bedanya? Sayangnya, hal itu terjadi. Misalnya:
\[((\kiri(\frac(1)(2) \kanan))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\kiri(\frac(1)(2) \ kanan))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\kiri(\frac(1)(2) \kanan))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Di sini juga, semuanya logis: semakin besar derajatnya, semakin sering angka 0,5 dikalikan dengan dirinya sendiri (yaitu, dibagi dua). Dengan demikian, barisan bilangan yang dihasilkan semakin mengecil, dan selisih barisan pertama dan kedua hanya pada basisnya:
- Jika alas derajat $a \gt 1$, maka seiring bertambahnya eksponen $n$, bilangan $((a)^(n))$ juga akan bertambah;
- Dan sebaliknya, jika $0 \lt a \lt 1$, maka seiring bertambahnya eksponen $n$, bilangan $((a)^(n))$ akan berkurang.
Meringkas fakta-fakta ini, kita memperoleh pernyataan paling penting yang menjadi dasar seluruh solusi pertidaksamaan eksponensial:
Jika $a \gt 1$, maka pertidaksamaan $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekuivalen dengan pertidaksamaan $x \gt n$. Jika $0 \lt a \lt 1$, maka pertidaksamaan $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekuivalen dengan pertidaksamaan $x \lt n$.
Dengan kata lain, jika basisnya lebih besar dari satu, Anda cukup menghilangkannya - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Dan jika alasnya kurang dari satu, maka alasnya juga bisa dihilangkan, tetapi pada saat yang sama Anda harus mengubah tanda pertidaksamaan.
Harap dicatat bahwa kami belum mempertimbangkan opsi $a=1$ dan $a\le 0$. Karena dalam kasus ini timbul ketidakpastian. Katakanlah bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan berbentuk $((1)^(x)) \gt 3$? Seseorang akan memberikan satu lagi kepada kekuatan mana pun - kita tidak akan pernah mendapatkan tiga atau lebih. Itu. tidak ada solusi.
Dengan alasan negatif, segalanya menjadi lebih menarik. Misalnya, pertimbangkan ketidaksetaraan ini:
\[((\kiri(-2 \kanan))^(x)) \gt 4\]
Sekilas, semuanya sederhana:
Benar? Tapi tidak! Cukup dengan mengganti $x$ beberapa bilangan genap dan beberapa bilangan ganjil untuk memastikan bahwa penyelesaiannya salah. Lihatlah:
\[\begin(align) & x=4\Panah Kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Panah Kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Panah Kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Panah Kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, tanda-tandanya bergantian. Tapi ada juga kekuatan pecahan dan omong kosong lainnya. Misalnya, bagaimana cara Anda menghitung $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (dikurang dua pangkat tujuh)? Mustahil!
Oleh karena itu, agar lebih pasti, kita berasumsi bahwa dalam semua pertidaksamaan eksponensial (dan juga persamaannya) $1\ne a \gt 0$. Dan kemudian semuanya diselesaikan dengan sangat sederhana:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Panah Kanan \kiri[ \begin(align) & x \gt n\quad \kiri(a \gt 1 \kanan), \\ & x \lt n\quad \kiri(0 \lt a \lt 1 \kanan). \\\end(sejajarkan) \kanan.\]
Secara umum, ingat aturan utama sekali lagi: jika basis dalam persamaan eksponensial lebih besar dari satu, Anda cukup menghilangkannya; dan jika basisnya kurang dari satu, dapat juga dihilangkan, tetapi tanda pertidaksamaannya berubah.
Contoh solusi
Jadi, mari kita lihat beberapa pertidaksamaan eksponensial sederhana:
\[\begin(sejajarkan) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(sejajarkan)\]
Tugas utama dalam semua kasus adalah sama: mengurangi pertidaksamaan ke bentuk paling sederhana $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Inilah yang sekarang akan kita lakukan dengan setiap pertidaksamaan, dan pada saat yang sama kita akan mengulangi sifat-sifat derajat dan fungsi eksponensial. Jadi, ayo pergi!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Apa yang bisa kamu lakukan di sini? Nah, di sebelah kiri kita sudah memiliki ekspresi indikatif - tidak ada yang perlu diubah. Tapi di sebelah kanan ada semacam omong kosong: pecahan, dan bahkan akar penyebutnya!
Namun, mari kita ingat aturan untuk menangani pecahan dan pangkat:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(sejajarkan)\]
Apa maksudnya? Pertama, kita dapat dengan mudah menghilangkan pecahan dengan mengubahnya menjadi pangkat dengan eksponen negatif. Dan kedua, karena penyebutnya memiliki akar, alangkah baiknya jika dipangkatkan - kali ini dengan eksponen pecahan.
Mari kita terapkan tindakan ini secara berurutan ke sisi kanan pertidaksamaan dan lihat apa yang terjadi:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\kiri(\sqrt(2) \kanan))^(-1))=((\kiri(((2)^(\frac( 1)(3))) \kanan))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \kiri(-1 \kanan)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Jangan lupa bahwa saat menaikkan suatu derajat, eksponen derajat tersebut dijumlahkan. Dan secara umum, ketika bekerja dengan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial, sangat penting untuk mengetahui setidaknya aturan paling sederhana untuk bekerja dengan pangkat:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\kiri(((a)^(x)) \kanan))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(sejajarkan)\]
Sebenarnya kami baru menerapkan aturan terakhir. Oleh karena itu, pertidaksamaan awal kita akan ditulis ulang sebagai berikut:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Panah Kanan ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frak(1)(3)))\]
Sekarang kita singkirkan keduanya di pangkalan. Karena 2 > 1, tanda pertidaksamaan akan tetap sama:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Panah Kanan x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \kiri(-\infty ;\frac(2)(3) \kanan]. \\\end(align)\]
Itulah solusinya! Kesulitan utama sama sekali bukan pada fungsi eksponensial, tetapi pada transformasi kompeten dari ekspresi aslinya: Anda perlu dengan hati-hati dan cepat membawanya ke bentuk yang paling sederhana.
Perhatikan pertidaksamaan kedua:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
Ya ya. Pecahan desimal menunggu kita di sini. Seperti yang telah saya katakan berkali-kali, dalam ekspresi apa pun dengan pangkat Anda harus menghilangkan desimal - ini sering kali merupakan satu-satunya cara untuk melihat solusi yang cepat dan sederhana. Di sini kita akan menyingkirkan:
\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ kanan))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Panah Kanan ((\left(\frac(1)(10) \kanan))^(1-x)) \lt ( (\kiri(\frac(1)(10) \kanan))^(2)). \\\end(sejajarkan)\]
Di sini sekali lagi kita mempunyai pertidaksamaan yang paling sederhana, dan bahkan dengan basis 1/10, yaitu. kurang dari satu. Nah, kita hapus basisnya, sekaligus mengubah tanda dari "lebih sedikit" menjadi "lebih banyak", dan kita mendapatkan:
\[\begin(sejajarkan) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(sejajarkan)\]
Kami menerima jawaban akhir: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Harap diperhatikan: jawabannya adalah himpunan, dan bukan merupakan konstruksi bentuk $x \lt -1$. Karena secara formal, konstruksi seperti itu bukanlah himpunan sama sekali, melainkan pertidaksamaan terhadap variabel $x$. Ya, ini sangat sederhana, tapi itu bukanlah jawabannya!
Catatan Penting. Ketimpangan ini dapat diselesaikan dengan cara lain - dengan mereduksi kedua belah pihak menjadi kekuatan yang basisnya lebih besar dari satu. Lihatlah:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Panah Kanan ((\kiri(((10)^(-1)) \kanan))^(1-x)) \ lt ((\kiri(((10)^(-1)) \kanan))^(2))\Panah Kanan ((10)^(-1\cdot \kiri(1-x \kanan))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Setelah transformasi seperti itu, kita akan kembali memperoleh pertidaksamaan eksponensial, tetapi dengan basis 10 > 1. Artinya, kita cukup mencoret sepuluh - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Kami mendapatkan:
\[\begin(sejajarkan) & -1\cdot \kiri(1-x \kanan) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, jawabannya persis sama. Pada saat yang sama, kami menyelamatkan diri dari keharusan mengubah tanda dan secara umum mengingat aturan apa pun :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Namun, jangan biarkan hal ini membuat Anda takut. Apapun indikatornya, teknologi untuk mengatasi kesenjangan tetap sama. Oleh karena itu, mari kita perhatikan terlebih dahulu bahwa 16 = 2 4. Mari kita tulis ulang pertidaksamaan awal dengan mempertimbangkan fakta ini:
\[\begin(sejajarkan) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Hore! Kami mendapatkan pertidaksamaan kuadrat seperti biasa! Tandanya tidak berubah dimanapun, karena alasnya adalah dua - angka yang lebih besar dari satu.
Nol suatu fungsi pada garis bilangan
Kita susun tanda-tanda fungsi $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - jelas grafiknya akan berbentuk parabola dengan cabang ke atas, sehingga akan ada “plus” ” di samping. Kami tertarik pada wilayah yang fungsinya kurang dari nol, yaitu. $x\in \left(2;5 \right)$ adalah jawaban untuk masalah awal.
Terakhir, pertimbangkan ketimpangan lainnya:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Sekali lagi kita melihat fungsi eksponensial dengan pecahan desimal di dasarnya. Mari kita ubah pecahan ini menjadi pecahan biasa:
\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Panah Kanan \\ & \Panah Kanan ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\kiri(((5)^(-1)) \kanan))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \kiri(1+((x)^(2)) \kanan)))\end(sejajarkan)\]
DI DALAM dalam hal ini Kami menggunakan pernyataan sebelumnya - kami mengurangi basis menjadi angka 5 > 1 untuk menyederhanakan solusi selanjutnya. Mari kita lakukan hal yang sama dengan sisi kanan:
\[\frac(1)(25)=((\kiri(\frac(1)(5) \kanan))^(2))=((\kiri(((5)^(-1)) \ kanan))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Mari kita tulis ulang pertidaksamaan awal dengan mempertimbangkan kedua transformasi:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Panah Kanan ((5)^(-1\cdot \kiri(1+ ((x)^(2)) \kanan)))\ge ((5)^(-2))\]
Basis di kedua sisinya sama dan melebihi satu. Tidak ada suku lain di kanan dan kiri, jadi kita cukup “mencoret” angka limanya dan mendapatkan ekspresi yang sangat sederhana:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(sejajarkan)\]
Di sinilah Anda perlu lebih berhati-hati. Banyak siswa yang suka mengambil akar kuadrat dari kedua ruas pertidaksamaan dan menulis sesuatu seperti $x\le 1\Panah Kanan x\in \kiri(-\infty ;-1 \kanan]$. Hal ini tidak boleh dilakukan dalam kondisi apa pun , karena akar kuadrat eksak adalah modulus, dan bukan merupakan variabel asli:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\kiri| x\kanan|\]
Namun, bekerja dengan modul bukanlah pengalaman yang paling menyenangkan, bukan? Jadi kami tidak akan bekerja. Sebagai gantinya, kita cukup memindahkan semua suku ke kiri dan menyelesaikan pertidaksamaan biasa menggunakan metode interval:
$\begin(sejajarkan) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \kiri(x-1 \kanan)\kiri(x+1 \kanan)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(sejajarkan)$
Kita tandai kembali titik-titik yang diperoleh pada garis bilangan dan lihat tanda-tandanya:
Harap dicatat: titik-titiknya diarsir Karena kita sedang menyelesaikan pertidaksamaan tidak tegas, semua titik pada grafik diarsir. Oleh karena itu, jawabannya adalah: $x\in \left[ -1;1 \right]$ bukanlah sebuah interval, melainkan sebuah segmen.
Secara umum, saya ingin mencatat bahwa tidak ada yang rumit dalam ketidaksetaraan eksponensial. Arti dari semua transformasi yang kami lakukan hari ini direduksi menjadi algoritma sederhana:
- Temukan dasar di mana kita akan mengurangi semua derajat;
- Lakukan transformasi dengan hati-hati untuk mendapatkan pertidaksamaan berbentuk $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Tentu saja, selain variabel $x$ dan $n$, mungkin terdapat fungsi yang jauh lebih kompleks, tetapi maknanya tidak akan berubah;
- Coretlah dasar derajatnya. Dalam hal ini, tanda pertidaksamaan dapat berubah jika basis $a \lt 1$.
Faktanya, ini adalah algoritma universal untuk menyelesaikan semua ketidaksetaraan tersebut. Dan semua hal lain yang akan mereka sampaikan kepada Anda tentang topik ini hanyalah teknik dan trik khusus yang akan menyederhanakan dan mempercepat transformasi. Kita akan membicarakan salah satu teknik ini sekarang :)
Metode rasionalisasi
Mari kita pertimbangkan serangkaian ketidaksetaraan lainnya:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\kiri(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\kiri(\frac(1)(3) \kanan))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\kiri(\frac(1)(9) \kanan))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Jadi apa istimewanya mereka? Itu ringan. Meskipun begitu, berhentilah! Apakah bilangan π dipangkatkan? Omong kosong apa?
Bagaimana cara menaikkan angka $2\sqrt(3)-3$ menjadi pangkat? Atau $3-2\sqrt(2)$? Penulis masalah jelas meminum terlalu banyak Hawthorn sebelum mulai bekerja :)
Sebenarnya, tidak ada yang salah dengan tugas-tugas ini. Izinkan saya mengingatkan Anda: fungsi eksponensial adalah ekspresi bentuk $((a)^(x))$, dengan basis $a$ adalah bilangan positif apa pun kecuali satu. Angka π positif - kita sudah mengetahuinya. Angka $2\sqrt(3)-3$ dan $3-2\sqrt(2)$ juga positif - ini mudah dilihat jika Anda membandingkannya dengan nol.
Ternyata semua kesenjangan yang “menakutkan” ini diselesaikan dengan cara yang sederhana seperti yang dibahas di atas? Dan apakah keduanya diselesaikan dengan cara yang sama? Ya, itu benar sekali. Namun, dengan menggunakan contoh mereka, saya ingin mempertimbangkan salah satu teknik yang sangat menghemat waktu dalam pekerjaan mandiri dan ujian. Kita akan berbicara tentang metode rasionalisasi. Jadi, perhatian:
Setiap pertidaksamaan eksponensial berbentuk $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekuivalen dengan pertidaksamaan $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ kanan) \gt 0 $.
Itulah keseluruhan metodenya. :) Apakah menurut Anda akan ada permainan lain? Tidak ada yang seperti itu! Namun fakta sederhana ini, yang ditulis secara harfiah dalam satu baris, akan sangat menyederhanakan pekerjaan kita. Lihatlah:
\[\begin(matriks) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\teks( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Panah Bawah \\ \kiri(x+7-\kiri(((x)^(2)) -3x+2 \kanan) \kanan)\cdot \kiri(\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( )-1 \kanan) \gt 0 \\\end(matriks)\]
Jadi tidak ada lagi fungsi eksponensial! Dan Anda tidak perlu mengingat apakah tandanya berubah atau tidak. Namun masalah baru muncul: apa yang harus dilakukan dengan pengali sialan itu \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Kita tidak tahu berapa nilai pasti dari bilangan π tersebut. Namun, sang kapten sepertinya mengisyaratkan hal yang sudah jelas:
\[\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( )\kira-kira 3,14... \gt 3\Panah Kanan \teks( )\!\!\pi\!\!\teks( )- 1\gt 3-1=2\]
Secara umum, nilai pasti dari π tidak terlalu menjadi perhatian kita - yang penting bagi kita untuk memahami bahwa bagaimanapun juga $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. ini adalah konstanta positif, dan kita dapat membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan konstanta tersebut:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \kanan) \kanan)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \kanan) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \kanan) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \kiri(x-5 \kanan)\kiri(x+1 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, pada saat tertentu kita harus membaginya dengan minus satu - dan tanda pertidaksamaan berubah. Pada akhirnya, saya memperluas trinomial kuadrat menggunakan teorema Vieta - jelas bahwa akar-akarnya sama dengan $((x)_(1))=5$ dan $((x)_(2))=-1$ . Kemudian semuanya diselesaikan dengan menggunakan metode interval klasik:
Menyelesaikan pertidaksamaan dengan metode interval Semua poin dihilangkan karena pertidaksamaan aslinya sangat ketat. Kami tertarik pada wilayah dengan nilai negatif, jadi jawabannya adalah $x\in \left(-1;5 \right)$. Itulah solusinya. :)
Mari beralih ke tugas berikutnya:
\[((\kiri(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Semuanya disini umumnya sederhana, karena ada unit di sebelah kanan. Dan kita ingat bahwa satu adalah bilangan apa pun yang dipangkatkan nol. Sekalipun bilangan ini merupakan ekspresi irasional di dasar sebelah kiri:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \kanan))^(0)); \\ & ((\kiri(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\kiri(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(0)); \\\end(sejajarkan)\]
Baiklah, mari kita rasionalkan:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \kiri(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot \kiri(2\sqrt(3)-4 \kanan) \lt 0; \\ & \kiri(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot 2\kiri(\sqrt(3)-2 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\ ]
Yang tersisa hanyalah mencari tahu tanda-tandanya. Faktor $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ tidak mengandung variabel $x$ - ini hanya sebuah konstanta, dan kita perlu mencari tandanya. Untuk melakukannya, perhatikan hal berikut:
\[\begin(matriks) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \kanan)=0 \\\end(matriks)\]
Ternyata faktor kedua bukan sekadar konstanta, melainkan konstanta negatif! Dan bila dibagi, tanda pertidaksamaan awal berubah menjadi kebalikannya:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \kanan) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\kiri(x-2 \kanan) \gt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Sekarang semuanya menjadi jelas. Akar trinomial persegi di sebelah kanan adalah: $((x)_(1))=0$ dan $((x)_(2))=2$. Kita menandainya pada garis bilangan dan melihat tanda-tanda fungsi $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
Kasus ketika kita tertarik pada interval sisi Kami tertarik pada interval yang ditandai dengan tanda tambah. Yang tersisa hanyalah menuliskan jawabannya:
Mari kita beralih ke contoh berikutnya:
\[((\kiri(\frac(1)(3) \kanan))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\kiri(\frac(1)(9) \ kanan))^(16-x))\]
Nah, semuanya sudah jelas di sini: basisnya berisi pangkat dengan nomor yang sama. Oleh karena itu, saya akan menulis semuanya secara singkat:
\[\begin(matriks) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Panah Bawah \\ ((\kiri(((3)^(-1)) \kanan))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\kiri(((3)^(-2)) \kanan))^(16-x)) \\\end(matriks)\]
\[\begin(sejajarkan) & ((3)^(-1\cdot \kiri(((x)^(2))+2x \kanan))) \gt ((3)^(-2\cdot \ kiri(16-x \kanan))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \kiri(-((x)^(2))-2x-\kiri(-32+2x \kanan) \kanan)\cdot \kiri(3-1 \kanan) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \kiri(x+8 \kanan)\kiri(x-4 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, selama proses transformasi kita harus mengalikannya dengan bilangan negatif, sehingga tanda pertidaksamaannya berubah. Pada bagian akhir, saya kembali menerapkan teorema Vieta untuk memfaktorkan trinomial kuadrat. Hasilnya, jawabannya adalah sebagai berikut: $x\in \left(-8;4 \right)$ - siapa pun dapat memverifikasi ini dengan menggambar garis bilangan, menandai titik-titik dan menghitung tanda-tandanya. Sementara itu, kita akan beralih ke ketimpangan terakhir dari “kumpulan” kita:
\[((\kiri(3-2\sqrt(2) \kanan))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Seperti yang Anda lihat, di pangkalan ada lagi bilangan irasional, dan di sebelah kanan ada lagi satuan. Oleh karena itu, kami menulis ulang pertidaksamaan eksponensial kami sebagai berikut:
\[((\kiri(3-2\sqrt(2) \kanan))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\kiri(3-2\sqrt(2) \ kanan))^(0))\]
Kami menerapkan rasionalisasi:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \kiri(3x-((x)^(2))-0 \kanan)\cdot \kiri(2-2\sqrt(2) \kanan) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Namun, cukup jelas bahwa $1-\sqrt(2) \lt 0$, karena $\sqrt(2)\kira-kira 1,4... \gt 1$. Oleh karena itu, faktor kedua juga merupakan konstanta negatif yang dapat membagi kedua ruas pertidaksamaan:
\[\begin(matriks) \kiri(3x-((x)^(2))-0 \kanan)\cdot 2\kiri(1-\sqrt(2) \kanan) \lt 0 \\ \Panah Bawah \ \\akhir(matriks)\]
\[\begin(sejajarkan) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\kiri(x-3 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Pindah ke markas lain
Masalah tersendiri dalam menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial adalah pencarian basis yang “benar”. Sayangnya, pada pandangan pertama, tidak selalu jelas apa yang harus dijadikan dasar, dan apa yang harus dilakukan sesuai dengan tingkat dasar tersebut.
Namun jangan khawatir: tidak ada keajaiban atau teknologi “rahasia” di sini. Dalam matematika, keterampilan apa pun yang tidak dapat dialgoritmakan dapat dengan mudah dikembangkan melalui latihan. Tetapi untuk ini, Anda harus memecahkan masalah dengan tingkat kerumitan yang berbeda-beda. Misalnya seperti ini:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\kiri(\frac(1)(3) \kanan))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\kiri(0,16 \kanan))^(1+2x))\cdot ((\kiri(6,25 \kanan))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \kanan))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ akhir(sejajarkan)\]
Sulit? Menakutkan? Ini lebih mudah daripada menabrak ayam di aspal! Mari kita mencobanya. Ketimpangan pertama:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Menurut saya, semuanya sudah jelas di sini:
Kami menulis ulang pertidaksamaan awal, mereduksi semuanya menjadi basis dua:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Panah Kanan \kiri(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \kanan)\cdot \kiri(2-1 \kanan) \lt 0\]
Ya, ya, Anda tidak salah dengar: Saya baru saja menerapkan metode rasionalisasi yang dijelaskan di atas. Sekarang kita perlu bekerja dengan hati-hati: kita memiliki pertidaksamaan pecahan-rasional (ini adalah pertidaksamaan yang memiliki variabel dalam penyebutnya), jadi sebelum menyamakan apa pun dengan nol, kita perlu membawa semuanya ke penyebut yang sama dan menghilangkan faktor konstanta .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \kiri(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \kanan)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Sekarang kita menggunakan metode interval standar. Pembilang nol: $x=\pm 4$. Penyebutnya menjadi nol hanya jika $x=0$. Total ada tiga titik yang perlu ditandai pada garis bilangan (semua titik diberi pin karena tanda pertidaksamaannya tegas). Kami mendapatkan:
Kasus yang lebih kompleks: tiga akar Seperti yang Anda duga, arsiran menandai interval di mana ekspresi di sebelah kiri bernilai negatif. Oleh karena itu, jawaban akhir akan mencakup dua interval sekaligus:
Ujung-ujung interval tidak disertakan dalam jawaban karena pertidaksamaan aslinya sangat ketat. Tidak diperlukan verifikasi lebih lanjut atas jawaban ini. Dalam hal ini, pertidaksamaan eksponensial jauh lebih sederhana daripada pertidaksamaan logaritmik: tidak ada ODZ, tidak ada batasan, dll.
Mari beralih ke tugas berikutnya:
\[((\kiri(\frac(1)(3) \kanan))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Tidak ada masalah di sini juga, karena kita sudah mengetahui bahwa $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, sehingga seluruh pertidaksamaan dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(sejajarkan) & ((\kiri(((3)^(-1)) \kanan))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Panah Kanan ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \kiri(-\frac(3)(x)-\kiri(2+x \kanan) \kanan)\cdot \kiri(3-1 \kanan)\ge 0; \\ & \kiri(-\frac(3)(x)-2-x \kanan)\cdot 2\ge 0;\quad \kiri| :\kiri(-2 \kanan) \kanan. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Harap diperhatikan: di baris ketiga saya memutuskan untuk tidak membuang waktu untuk hal-hal sepele dan segera membagi semuanya dengan (−2). Minul masuk ke braket pertama (sekarang ada plus di mana-mana), dan dua dikurangi dengan faktor konstan. Inilah yang harus Anda lakukan ketika menyiapkan perhitungan nyata untuk pekerjaan independen dan pengujian - Anda tidak perlu menjelaskan setiap tindakan dan transformasi.
Selanjutnya, metode interval yang lazim digunakan. Pembilangnya nol: tapi tidak ada. Karena diskriminannya akan negatif. Pada gilirannya, penyebutnya direset hanya ketika $x=0$ - sama seperti terakhir kali. Jelas bahwa di sebelah kanan $x=0$ pecahan akan bernilai positif, dan di sebelah kiri - negatif. Karena kita tertarik pada nilai negatif, jawaban akhirnya adalah: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\kiri(0,16 \kanan))^(1+2x))\cdot ((\kiri(6,25 \kanan))^(x))\ge 1\]
Apa yang harus Anda lakukan dengan pecahan desimal dalam pertidaksamaan eksponensial? Benar: singkirkan, ubah menjadi biasa. Di sini kami akan menerjemahkan:
\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Panah Kanan ((\kiri(0,16 \kanan))^(1+2x)) =((\ kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Panah Kanan ((\kiri(6.25 \kanan))^(x))=((\kiri(\ frac(25) (4)\kanan))^(x)). \\\end(sejajarkan)\]
Jadi, apa yang kita dapatkan dari dasar-dasar fungsi eksponensial? Dan kami mendapat dua angka yang saling terbalik:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(-1))\Panah Kanan ((\left(\frac(25)(4) \ kanan))^(x))=((\kiri(((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(-1)) \kanan))^(x))=((\ kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(-x))\]
Jadi, pertidaksamaan aslinya dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(sejajarkan) & ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(1+2x))\cdot ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(1+2x+\kiri(-x \kanan)))\ge ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(0)); \\ & ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(x+1))\ge ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(0) ). \\\end(sejajarkan)\]
Tentu saja, ketika mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dijumlahkan, seperti yang terjadi pada baris kedua. Selain itu, kami mewakili unit di sebelah kanan, juga sebagai kekuatan di basis 4/25. Yang tersisa hanyalah merasionalisasi:
\[((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(x+1))\ge ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(0)) \Panah kanan \kiri(x+1-0 \kanan)\cdot \kiri(\frac(4)(25)-1 \kanan)\ge 0\]
Perhatikan bahwa $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, yaitu faktor kedua adalah konstanta negatif, dan bila dibagi dengan faktor tersebut, tanda pertidaksamaan akan berubah:
\[\begin(sejajarkan) & x+1-0\le 0\Panah Kanan x\le -1; \\ & x\in \kiri(-\infty ;-1 \kanan]. \\\end(align)\]
Terakhir, pertidaksamaan terakhir dari “himpunan” saat ini:
\[((\kiri(\frac(27)(\sqrt(3)) \kanan))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
Pada prinsipnya, gagasan penyelesaian di sini juga jelas: semua fungsi eksponensial yang termasuk dalam pertidaksamaan harus direduksi menjadi basis “3”. Tetapi untuk ini Anda harus sedikit mengotak-atik akar dan kekuatannya:
\[\begin(sejajarkan) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\kuad 81=((3)^(4)). \\\end(sejajarkan)\]
Dengan mempertimbangkan fakta-fakta ini, pertidaksamaan awal dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\kanan))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(sejajarkan)\]
Perhatikan baris perhitungan ke-2 dan ke-3: sebelum melakukan apa pun dengan pertidaksamaan, pastikan untuk membawanya ke bentuk yang kita bicarakan sejak awal pelajaran: $((a)^(x)) \ itu ((a)^(n))$. Selama Anda memiliki beberapa faktor kidal, konstanta tambahan, dll. di kiri atau kanan, tidak ada rasionalisasi atau “pencoretan” alasan yang dapat dilakukan! Banyak sekali tugas yang diselesaikan secara tidak benar karena kegagalan memahami fakta sederhana ini. Saya sendiri terus-menerus mengamati masalah ini pada siswa saya ketika kami baru mulai menganalisis pertidaksamaan eksponensial dan logaritma.
Tapi mari kita kembali ke tugas kita. Mari kita coba melakukannya tanpa rasionalisasi kali ini. Mari kita ingat: alas derajatnya lebih besar dari satu, sehingga rangkap tiganya cukup dicoret - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Kami mendapatkan:
\[\begin(sejajarkan) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(sejajarkan)\]
Itu saja. Jawaban akhir: $x\in \kiri(-\infty ;3 \kanan)$.
Mengisolasi ekspresi stabil dan mengganti variabel
Sebagai kesimpulan, saya mengusulkan untuk menyelesaikan empat pertidaksamaan eksponensial lagi, yang sudah cukup sulit bagi siswa yang tidak siap. Untuk mengatasinya, Anda perlu mengingat aturan untuk bekerja dengan derajat. Khususnya, menghilangkan faktor persekutuan.
Namun yang terpenting adalah belajar memahami apa sebenarnya yang bisa dikeluarkan dari tanda kurung. Ekspresi seperti itu disebut stabil - ekspresi ini dapat dilambangkan dengan variabel baru dan dengan demikian menghilangkan fungsi eksponensial. Jadi, mari kita lihat tugasnya:
\[\begin(sejajarkan) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\kiri(0,5 \kanan))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(sejajarkan)\]
Mari kita mulai dari baris pertama. Mari kita tuliskan pertidaksamaan ini secara terpisah:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Perhatikan bahwa $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, jadi sebelah kanan sisi dapat ditulis ulang:
Perhatikan bahwa tidak ada fungsi eksponensial lain kecuali $((5)^(x+1))$ dalam pertidaksamaan. Dan secara umum, variabel $x$ tidak muncul di tempat lain, jadi mari kita perkenalkan variabel baru: $((5)^(x+1))=t$. Kami mendapatkan konstruksi berikut:
\[\begin(sejajarkan) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(sejajarkan)\]
Kita kembali ke variabel asli ($t=((5)^(x+1))$), dan pada saat yang sama mengingat bahwa 1=5 0 . Kami memiliki:
\[\begin(sejajarkan) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(sejajarkan)\]
Itulah solusinya! Jawaban: $x\in \kiri[ -1;+\infty \kanan)$. Mari kita beralih ke pertidaksamaan kedua:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Semuanya sama di sini. Perhatikan bahwa $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Kemudian sisi kiri dapat ditulis ulang:
\[\begin(sejajarkan) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \kiri| ((3)^(x))=t \benar. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Panah Kanan ((3)^(x))\ge 9\Panah Kanan ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Panah kanan x\in \kiri[ 2;+\infty \kanan). \\\end(sejajarkan)\]
Kira-kira beginilah cara Anda perlu menyusun solusi untuk ujian nyata dan kerja mandiri.
Baiklah, mari kita coba sesuatu yang lebih rumit. Misalnya, berikut ketimpangannya:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Apa masalahnya disini? Pertama-tama, basis fungsi eksponensial di sebelah kiri berbeda: 5 dan 25. Namun, 25 = 5 2, sehingga suku pertama dapat diubah:
\[\begin(sejajarkan) & ((25)^(x+1.5))=((\kiri(((5)^(2)) \kanan))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(sejajarkan )\]
Seperti yang Anda lihat, pertama-tama kami membawa semuanya ke basis yang sama, dan kemudian kami memperhatikan bahwa suku pertama dapat dengan mudah direduksi menjadi suku kedua - Anda hanya perlu memperluas eksponennya. Sekarang Anda dapat dengan aman memasukkan variabel baru: $((5)^(2x+2))=t$, dan seluruh pertidaksamaan akan ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(sejajarkan) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(sejajarkan)\]
Dan sekali lagi, tidak ada kesulitan! Jawaban akhir: $x\in \kiri[ 1;+\infty \kanan)$. Mari beralih ke pertidaksamaan terakhir dalam pelajaran hari ini:
\[((\kiri(0,5 \kanan))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
Hal pertama yang harus Anda perhatikan tentu saja adalah pecahan desimal pangkat satu. Penting untuk menghilangkannya, dan pada saat yang sama membawa semua fungsi eksponensial ke basis yang sama - angka "2":
\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Panah Kanan ((\kiri(0,5 \kanan))^(-4x- 8))= ((\kiri(((2)^(-1)) \kanan))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Panah Kanan ((16)^(x+1,5))=((\kiri(((2)^(4)) \kanan))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(sejajarkan)\]
Hebat, kita telah mengambil langkah pertama—semuanya mengarah pada landasan yang sama. Sekarang Anda perlu memilih ekspresi stabil. Perhatikan bahwa $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Jika kita memasukkan variabel baru $((2)^(4x+6))=t$, maka pertidaksamaan awal dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(sejajarkan) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(sejajarkan)\]
Tentu saja, pertanyaan yang mungkin timbul: bagaimana kita mengetahui bahwa 256 = 2 8? Sayangnya, di sini Anda hanya perlu mengetahui pangkat dua (dan sekaligus pangkat tiga dan lima). Nah, atau bagi 256 dengan 2 (bisa dibagi, karena 256 bilangan genap) sampai kita mendapatkan hasilnya. Ini akan terlihat seperti ini:
\[\begin(sejajarkan) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(sejajarkan )\]
Hal yang sama berlaku untuk tiga (angka 9, 27, 81 dan 243 adalah derajatnya), dan dengan tujuh (angka 49 dan 343 juga bagus untuk diingat). Nah, kelimanya juga punya derajat “indah” yang perlu Anda ketahui:
\[\begin(sejajarkan) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(sejajarkan)\]
Tentu saja, jika Anda mau, semua angka ini dapat diingat kembali hanya dengan mengalikannya secara berurutan. Namun, jika Anda harus menyelesaikan beberapa pertidaksamaan eksponensial, dan pertidaksamaan berikutnya lebih sulit daripada pertidaksamaan sebelumnya, hal terakhir yang ingin Anda pikirkan adalah pangkat beberapa bilangan. Dan dalam hal ini, permasalahan ini lebih kompleks daripada kesenjangan “klasik” yang diselesaikan dengan metode interval.
Jenis-jenis ketidaksetaraan utama disajikan, termasuk ketidaksetaraan Bernoulli, Cauchy-Bunyakovsky, Minkowski, Chebyshev. Sifat-sifat ketidaksetaraan dan tindakan terhadapnya dipertimbangkan. Metode dasar untuk menyelesaikan kesenjangan diberikan.
Rumus ketidaksetaraan dasar
Rumus kesenjangan universal
Ketimpangan universal dipenuhi untuk setiap nilai besaran yang termasuk di dalamnya. Jenis-jenis utama kesenjangan universal tercantum di bawah ini.
1) | ab | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |dan |
2) |sebuah| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |sebuah| - |b| |
3)
Kesetaraan hanya terjadi jika a 1 = a 2 = ... = a n.
4)
Ketimpangan Cauchy-Bunyakovsky
Kesetaraan berlaku jika dan hanya jika α a k = β b k untuk semua k = 1, 2, ..., n dan beberapa α, β, |α| + |β| > 0 .
5)
ketidaksetaraan Minkowski, untuk p ≥ 1
Rumus ketidaksetaraan yang dapat dipenuhi
Pertidaksamaan yang dapat dipenuhi dipenuhi untuk nilai-nilai tertentu dari besaran-besaran yang termasuk di dalamnya.
1)
Ketimpangan Bernoulli:
.
Secara lebih umum:
,
dimana , bilangan yang bertanda sama dan lebih besar dari -1
:
.
Lemma Bernoulli:
.
Lihat "Bukti ketidaksetaraan dan lemma Bernoulli".
2)
untuk saya ≥ 0 (saya = 1, 2, ..., n) .
3)
Ketimpangan Chebyshev
pada 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Dan 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Pada 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Dan b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ bn > 0
.
4)
Ketimpangan Chebyshev yang digeneralisasi
pada 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Dan 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
dan k alami
.
Pada 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Dan b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ bn > 0
.
Sifat-sifat ketidaksetaraan
Sifat-sifat pertidaksamaan adalah seperangkat aturan yang dipenuhi ketika mereka diubah. Di bawah ini adalah sifat-sifat pertidaksamaan. Dapat dipahami bahwa pertidaksamaan awal dipenuhi untuk nilai x i (i = 1, 2, 3, 4) yang termasuk dalam interval tertentu.
1) Jika urutan sisi-sisinya berubah, tanda pertidaksamaan berubah menjadi kebalikannya.
Jika x 1< x 2
,
то x 2 >x 1 .
Jika x 1 ≤ x 2, maka x 2 ≥ x 1.
Jika x 1 ≥ x 2, maka x 2 ≤ x 1.
Jika x 1 > x 2 maka x 2< x 1
.
2) Satu persamaan setara dengan dua pertidaksamaan tidak tegas yang tandanya berbeda.
Jika x 1 = x 2, maka x 1 ≤ x 2 dan x 1 ≥ x 2.
Jika x 1 ≤ x 2 dan x 1 ≥ x 2, maka x 1 = x 2.
3) Sifat transitivitas
Jika x 1< x 2
и x 2 < x 3
,
то x 1 < x 3
.
Jika x 1< x 2
и x 2 ≤ x 3
,
то x 1 < x 3
.
Jika x 1 ≤ x 2 dan x 2< x 3
,
то x 1 < x 3
.
Jika x 1 ≤ x 2 dan x 2 ≤ x 3, maka x 1 ≤ x 3.
4) Bilangan yang sama dapat dijumlahkan (dikurangi) pada kedua ruas pertidaksamaan.
Jika x 1< x 2
,
то x 1 + A < x 2 + A
.
Jika x 1 ≤ x 2, maka x 1 + A ≤ x 2 + A.
Jika x 1 ≥ x 2, maka x 1 + A ≥ x 2 + A.
Jika x 1 > x 2, maka x 1 + A > x 2 + A.
5) Apabila terdapat dua atau lebih pertidaksamaan yang tandanya searah, maka ruas kiri dan ruas kanannya dapat dijumlahkan.
Jika x 1< x 2
,
x 3 < x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Jika x 1< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Jika x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Jika x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, maka x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Ekspresi serupa berlaku untuk tanda ≥, >.
Jika pada pertidaksamaan asal terdapat tanda-tanda pertidaksamaan tidak tegas dan paling sedikit satu pertidaksamaan tegas (tetapi semua tanda mempunyai arah yang sama), maka penjumlahan tersebut menghasilkan pertidaksamaan tegas.
6) Kedua ruas pertidaksamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan bilangan positif.
Jika x 1< x 2
и A >0, lalu A x 1< A · x 2
.
Jika x 1 ≤ x 2 dan A > 0, maka A x 1 ≤ A x 2.
Jika x 1 ≥ x 2 dan A > 0, maka A x 1 ≥ A x 2.
Jika x 1 > x 2 dan A > 0, maka A · x 1 > A · x 2.
7) Kedua ruas pertidaksamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan bilangan negatif. Dalam hal ini tanda pertidaksamaan akan berubah menjadi sebaliknya.
Jika x 1< x 2
и A < 0
,
то A · x 1 >Sebuah x 2.
Jika x 1 ≤ x 2 dan A< 0
,
то A · x 1 ≥ A · x 2
.
Jika x 1 ≥ x 2 dan A< 0
,
то A · x 1 ≤ A · x 2
.
Jika x 1 > x 2 dan A< 0
,
то A · x 1 < A · x 2
.
8) Jika terdapat dua atau lebih pertidaksamaan yang suku-sukunya positif, bertanda searah, maka ruas kiri dan kanannya dapat dikalikan.
Jika x 1< x 2
,
x 3 < x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 lalu x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Jika x 1< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 lalu x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Jika x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 lalu x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Jika x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 maka x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Ekspresi serupa berlaku untuk tanda ≥, >.
Jika pertidaksamaan asal mengandung tanda-tanda pertidaksamaan tidak tegas dan paling sedikit satu pertidaksamaan tegas (tetapi semua tanda mempunyai arah yang sama), maka perkalian menghasilkan pertidaksamaan tegas.
9) Misalkan f(x) adalah fungsi yang meningkat secara monoton. Artinya, untuk sembarang x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2).
Jika x 1< x 2
,
то f(x 1) < f(x 2)
.
Kemudian fungsi ini dapat diterapkan pada kedua sisi pertidaksamaan, yang tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan tersebut.
Jika x 1 ≤ x 2 maka f(x 1) ≤ f(x 2) .
Jika x 1 ≥ x 2 maka f(x 1) ≥ f(x 2) .
Jika x 1 > x 2, maka f(x 1) > f(x 2).< f(x 2)
.
Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Jika x 1< x 2
,
то f(x 1) >10) Misalkan f(x) merupakan fungsi menurun monotonik, yaitu untuk sembarang x 1 > x 2, f(x 1)
f(x 2) .
Jika x 1 ≤ x 2 maka f(x 1) ≥ f(x 2) .
Jika x 1 ≥ x 2 maka f(x 1) ≤ f(x 2) .< f(x 2)
.
Jika x 1 > x 2 maka f(x 1)
Metode untuk mengatasi kesenjangan
Menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan metode interval
Metode interval dapat diterapkan jika pertidaksamaan mencakup satu variabel, yang kita nyatakan sebagai x, dan berbentuk:
f(x) > 0 di mana f(x) - fungsi berkelanjutan , memiliki nomor akhir<, ≤
.
titik istirahat. Tanda pertidaksamaan dapat berupa apa saja: >, ≥,
Metode intervalnya adalah sebagai berikut.
1) Temukan domain definisi fungsi f(x) dan tandai dengan interval pada sumbu bilangan.
2) Temukan titik diskontinuitas fungsi f(x).
Misalnya, jika ini adalah pecahan, maka kita mencari titik di mana penyebutnya menjadi nol. Kami menandai titik-titik ini pada sumbu bilangan.
3) Selesaikan persamaannya
f(x) = 0 .
Kami menandai akar persamaan ini pada sumbu bilangan.
4) Akibatnya, sumbu bilangan akan terbagi menjadi interval (segmen) berdasarkan titik. Dalam setiap interval yang termasuk dalam domain definisi, kami memilih titik mana pun dan pada titik ini kami menghitung nilai fungsinya. Jika nilai ini lebih besar dari nol, maka kita beri tanda “+” di atas ruas (interval).
Jika nilainya kurang dari nol, maka kita beri tanda “-” di atas ruas (interval).< 0
,
то выбираем интервалы с знаком „-“
.
Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
5) Jika pertidaksamaan berbentuk: f(x) > 0, maka pilih interval yang bertanda “+”.
Penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah dengan menggabungkan interval-interval tersebut, tanpa batas-batasnya.
Jika pertidaksamaan berbentuk: f(x) ≥ 0, maka pada penyelesaiannya kita tambahkan titik-titik di mana f(x) = 0. Artinya, beberapa interval mungkin memiliki batas tertutup (batas tersebut termasuk dalam interval). bagian lainnya mungkin memiliki batas terbuka (batas tersebut tidak termasuk dalam interval). Demikian pula jika pertidaksamaan berbentuk: f(x) Jika pertidaksamaan berbentuk: f(x) ≤ 0, maka pada penyelesaiannya kita tambahkan titik-titik di mana f(x) = 0. Memecahkan pertidaksamaan menggunakan propertinya
Sastra bekas:
DI DALAM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.
Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Sistem pertidaksamaan. Contoh penyelesaian"
Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.
Alat peraga dan simulator pendidikan di toko online Integral untuk kelas 9
Buku teks interaktif untuk kelas 9 "Aturan dan latihan geometri"
Buku teks elektronik "Geometri yang Dapat Dimengerti" untuk kelas 7-9
Sistem ketidaksetaraan
Teman-teman, sudahkah kamu mempelajari linear dan pertidaksamaan kuadrat, belajar memecahkan masalah pada topik ini. Sekarang mari kita beralih ke konsep baru dalam matematika - sistem pertidaksamaan. Sistem pertidaksamaan mirip dengan sistem persamaan. Apakah Anda ingat sistem persamaan? Anda mempelajari sistem persamaan di kelas tujuh, coba ingat bagaimana Anda menyelesaikannya.Mari kita perkenalkan definisi sistem ketidaksetaraan.
Beberapa pertidaksamaan dengan suatu variabel x membentuk sistem pertidaksamaan jika Anda perlu mencari semua nilai x yang masing-masing pertidaksamaannya membentuk sistem pertidaksamaan yang benar. ekspresi numerik.
Setiap nilai x yang setiap pertidaksamaannya mempunyai ekspresi numerik yang benar adalah solusi pertidaksamaan tersebut. Bisa juga disebut solusi pribadi.
Apa solusi pribadinya? Misalnya, dalam jawaban kami menerima ekspresi x>7. Maka x=8, atau x=123, atau bilangan lain yang lebih besar dari tujuh adalah solusi tertentu, dan ekspresi x>7 adalah solusi umum. Solusi umum dibentuk oleh banyak solusi privat.
Bagaimana kita menggabungkan sistem persamaan? Itu benar, kurung kurawal, jadi mereka melakukan hal yang sama dengan pertidaksamaan. Mari kita lihat contoh sistem pertidaksamaan: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Jika sistem pertidaksamaan terdiri dari ekspresi yang identik, misalnya, $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Jadi, apa maksudnya: mencari solusi terhadap sistem kesenjangan?
Penyelesaian suatu pertidaksamaan adalah himpunan penyelesaian parsial suatu pertidaksamaan yang memenuhi kedua pertidaksamaan sistem sekaligus.
Kita menulis bentuk umum sistem pertidaksamaan sebagai $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$
Mari kita nyatakan $Х_1$ sebagai solusi umum pertidaksamaan f(x)>0.
$X_2$ adalah solusi umum pertidaksamaan g(x)>0.
$X_1$ dan $X_2$ adalah serangkaian solusi tertentu.
Penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah bilangan-bilangan yang dimiliki oleh $X_1$ dan $X_2$.
Mari kita ingat operasi pada himpunan. Bagaimana cara mencari elemen suatu himpunan yang dimiliki kedua himpunan sekaligus? Benar, ada operasi persimpangan untuk ini. Jadi, penyelesaian pertidaksamaan kita adalah himpunan $A= X_1∩ X_2$.
Contoh penyelesaian sistem ketidaksetaraan
Mari kita lihat contoh penyelesaian sistem pertidaksamaan.Memecahkan sistem kesenjangan.
a) $\begin(kasus)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(kasus)2x-4≤6\\-x-4
Larutan.
a) Selesaikan setiap pertidaksamaan secara terpisah.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
$5x-10
Mari tandai interval kita pada satu garis koordinat.
Solusi dari sistem ini adalah ruas perpotongan interval kita. Ketimpangannya ketat, maka segmennya akan terbuka.
Jawaban: (1;3).
B) Kami juga akan menyelesaikan setiap pertidaksamaan secara terpisah.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ $5.
$-x-4 -5$. 
Solusi dari sistem ini adalah ruas perpotongan interval kita. Pertidaksamaan kedua sangat ketat, maka ruasnya akan terbuka di sebelah kiri.
Jawaban: (-5; 5].
Mari kita rangkum apa yang telah kita pelajari.
Katakanlah kita perlu menyelesaikan sistem pertidaksamaan: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Maka, interval ($x_1; x_2$) adalah solusi pertidaksamaan pertama.
Interval ($y_1; y_2$) adalah solusi pertidaksamaan kedua.
Penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah perpotongan penyelesaian setiap pertidaksamaan. 
Sistem ketimpangan tidak hanya terdiri dari ketimpangan tingkat pertama, namun juga jenis ketimpangan lainnya.
Aturan penting untuk menyelesaikan sistem ketidaksetaraan.
Jika salah satu pertidaksamaan suatu sistem tidak mempunyai solusi, maka keseluruhan sistem tidak mempunyai solusi.
Jika salah satu pertidaksamaan terpenuhi untuk sembarang nilai variabel, maka penyelesaian sistem tersebut akan menjadi penyelesaian pertidaksamaan lainnya.
Contoh.
Selesaikan sistem pertidaksamaan:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Larutan.
Mari kita selesaikan setiap pertidaksamaan secara terpisah.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.
Mari kita selesaikan pertidaksamaan kedua.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.
Penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah interval. 
Mari kita menggambar kedua interval pada garis yang sama dan menemukan titik potongnya. 
Perpotongan intervalnya adalah ruas (4; 6].
Jawaban: (4;6].
Memecahkan sistem kesenjangan.
a) $\begin(kasus)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(kasus)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(kasus )$.
Larutan.
a) Pertidaksamaan pertama mempunyai solusi x>1.
Mari kita cari diskriminan untuk pertidaksamaan kedua.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Mari kita ingat aturannya: jika salah satu pertidaksamaan tidak memiliki solusi, maka keseluruhan sistem tidak memiliki solusi.
Jawaban: Tidak ada solusi.
B) Pertidaksamaan pertama mempunyai solusi x>1.
Pertidaksamaan kedua lebih besar dari nol untuk semua x. Kemudian penyelesaian sistem tersebut bertepatan dengan penyelesaian pertidaksamaan pertama.
Jawaban: x>1.
Masalah pada sistem ketidaksetaraan untuk solusi independen
Memecahkan sistem ketidaksetaraan:a) $\begin(kasus)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(kasus)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(kasus)x^2-25 d) $\begin(kasus)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(kasus)$
e) $\begin(kasus)x^2+36
