Pertidaksamaan dengan akar kuadrat. Ketimpangan yang tidak rasional. Panduan Komprehensif (2019). Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

TD Ivanova

METODE PENYELESAIAN KETIMPANGAN irasional

CDO dan NIT SRPTL

UDC 511 (O75.3)

BBK 22.1Y72

Disusun oleh T.D. Ivanova

Pengulas: Baisheva M.I.– Kandidat Ilmu Pedagogis, Associate Professor Departemen

analisis matematis Fakultas Matematika

Institut Matematika dan Informatika Yakutsk

Universitas Negeri

Metode untuk mengatasi ketidaksetaraan irasional: Panduan metodologis

M 34 untuk siswa kelas 9-11 / comp. Ivanova T.D. dari ulus Suntar Suntarsky

RS (Y): CDO NIT SRPTL, 2007, – 56 hal.

Manual ini ditujukan kepada siswa sekolah menengah atas, serta mereka yang memasuki universitas sebagai panduan metodologis untuk memecahkan kesenjangan yang tidak rasional. Manual ini membahas secara rinci metode utama untuk menyelesaikan pertidaksamaan irasional, memberikan contoh penyelesaian pertidaksamaan irasional dengan parameter, dan juga menawarkan contoh untuk menyelesaikannya sendiri. Guru dapat menggunakan panduan ini sebagai materi didaktik untuk pekerjaan mandiri, dengan review review dengan topik “Ketimpangan Irasional”.

Manual ini mencerminkan pengalaman guru dalam mempelajari topik “ Ketimpangan yang tidak rasional».

Soal diambil dari materi tes masuk, surat kabar dan majalah metodologis, alat bantu pengajaran, daftarnya diberikan di akhir manual

UDC 511 (O75.3)

BBK 22.1Y72

 T.D. Ivanova, kompilasi, 2006.

 CDO NIT SRPTL, 2007.

Kata Pengantar 5

Pendahuluan 6

Bagian I. Contoh penyelesaian pertidaksamaan irasional paling sederhana 7

Bagian II
>g(x), g(x), g(x) 9

Bagian III. Ketimpangan bentuk
;
;

;
13

Bagian IV. Pertidaksamaan yang mengandung beberapa akar derajat genap 16

Bagian V. Metode penggantian (pengenalan variabel baru) 20

Bagian VI. Pertidaksamaan bentuk f(x)
0; f(x)0;

Bagian VII. Ketimpangan bentuk
25

Bagian VIII. Menggunakan transformasi ekspresi radikal

dalam ketidaksetaraan irasional 26

Bagian IX. Solusi grafis dari ketidaksetaraan irasional 27

Bagian X. Ketimpangan tipe campuran 31

Bagian XI. Menggunakan sifat monotonisitas suatu fungsi 41

Bagian XII. Metode Penggantian Fungsi 43

Bagian XIII. Contoh penyelesaian pertidaksamaan secara langsung

metode interval 45

Bagian XIV. Contoh penyelesaian pertidaksamaan irasional dengan parameter 46

Sastra 56

TINJAUAN

Alat peraga ini ditujukan untuk siswa kelas 10-11. Seperti yang diperlihatkan oleh praktik, siswa sekolah dan pelamar mengalami kesulitan khusus dalam menyelesaikan kesenjangan yang tidak rasional. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa di matematika sekolah Bagian ini tidak dianggap cukup; berbagai metode untuk mengatasi kesenjangan tersebut tidak dibahas secara lebih rinci. Selain itu, guru sekolah juga merasakan kurangnya literatur metodologis, yang diwujudkan dalam terbatasnya jumlah materi masalah yang menunjukkan berbagai pendekatan dan metode penyelesaian.

Manual ini membahas metode untuk menyelesaikan ketidaksetaraan yang irasional. Ivanova T.D. di awal setiap bagian, memperkenalkan siswa pada gagasan pokok metode, kemudian menunjukkan contoh-contoh beserta penjelasannya, dan juga menawarkan masalah-masalah untuk penyelesaian mandiri.

Penyusunnya menggunakan metode paling “spektakuler” untuk menyelesaikan kesenjangan irasional yang terjadi saat memasuki pendidikan tinggi lembaga pendidikan dengan meningkatnya tuntutan terhadap pengetahuan siswa.

Siswa, setelah membaca manual ini, dapat memperoleh pengalaman dan keterampilan yang sangat berharga dalam menyelesaikan pertidaksamaan irasional yang kompleks. Saya percaya bahwa manual ini juga akan berguna bagi guru matematika yang bekerja di kelas khusus, serta pengembang mata kuliah pilihan.

Kandidat Ilmu Pedagogi, Associate Professor Departemen Analisis Matematika, Fakultas Matematika, Institut Matematika dan Informatika, Universitas Negeri Yakut

Baisheva M.I.

KATA PENGANTAR

Manual ini ditujukan kepada siswa sekolah menengah atas, serta mereka yang memasuki universitas sebagai panduan metodologis untuk memecahkan kesenjangan yang tidak rasional. Manual ini membahas secara rinci metode utama untuk menyelesaikan pertidaksamaan irasional, memberikan contoh perkiraan tentang cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional, memberikan contoh penyelesaian pertidaksamaan irasional dengan parameter, dan juga menawarkan contoh untuk menyelesaikannya sendiri untuk beberapa di antaranya, jawaban singkat dan instruksi diberikan.

Ketika menganalisis contoh dan menyelesaikan pertidaksamaan secara mandiri, diasumsikan bahwa siswa mengetahui cara menyelesaikan pertidaksamaan linier, kuadrat, dan lainnya, serta mengetahui berbagai metode penyelesaian pertidaksamaan, khususnya metode interval. Diusulkan untuk mengatasi ketimpangan dengan beberapa cara.

Guru dapat menggunakan manual ini sebagai bahan didaktik untuk kerja mandiri sambil meninjau topik “Ketidaksetaraan irasional.”

Manual ini mencerminkan pengalaman guru dalam mempelajari topik “Ketidaksetaraan irasional” dengan siswa.

Soal-soal dipilih dari materi ujian masuk ke lembaga pendidikan tinggi, surat kabar metodologis dan majalah matematika "Pertama September", "Matematika di Sekolah", "Quantum", buku teks, daftarnya diberikan di akhir manual .

PERKENALAN

Pertidaksamaan irasional adalah pertidaksamaan yang variabel atau fungsi suatu variabel berada di bawah tanda akar.

Metode standar utama untuk menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah dengan menaikkan kedua sisi pertidaksamaan secara berturut-turut untuk menghilangkan akarnya. Namun operasi ini sering kali menyebabkan munculnya akar asing atau bahkan hilangnya akar, mis. menyebabkan ketimpangan yang tidak sama dengan aslinya. Oleh karena itu, kita harus memantau dengan cermat kesetaraan transformasi dan hanya mempertimbangkan nilai-nilai variabel yang pertidaksamaannya masuk akal:

jika akarnya berpangkat genap, maka ekspresi akarnya harus non-negatif dan nilai akarnya juga harus berupa bilangan non-negatif.

jika akar derajatnya adalah angka ganjil, maka ekspresi radikal dapat mengambil bilangan real apa pun dan tanda akarnya bertepatan dengan tanda tersebut ekspresi radikal.

adalah mungkin untuk menaikkan kedua sisi ketidaksetaraan menjadi pangkat genap hanya setelah terlebih dahulu memastikan bahwa keduanya non-negatif;

Menaikkan kedua ruas pertidaksamaan ke pangkat ganjil yang sama selalu merupakan transformasi ekuivalen.

BabSAYA. Contoh penyelesaian pertidaksamaan irasional sederhana

Contoh 1- 6:

Larutan:

1.a)
.

B)
.

2.a)

3.a)
.

B)
.

4.a)

5.a)
.

6.a)
.

B)
.

8.a)
.

9.a)
.

11.

12. Temukan bilangan bulat terkecil nilai positif x memenuhi pertidaksamaan

13. a) Temukan titik tengah interval penyelesaian pertidaksamaan

b) Temukan mean aritmatika dari semua nilai integer x yang pertidaksamaannya mempunyai solusi 4

14. Temukan solusi negatif terkecil dari pertidaksamaan tersebut

15.a)
;

Bagian II. Pertidaksamaan bentuk >g(x), g(x),g(x)

Dengan cara yang sama seperti saat menyelesaikan contoh 1-4, kita bernalar saat menyelesaikan pertidaksamaan jenis yang ditunjukkan.

Contoh 7 : Selesaikan ketimpangan
> X + 1

Larutan: Ketimpangan DZ: X-3. Untuk sisi kanan ada dua kemungkinan kasus:

A) X+ 10 (sisi kanan non-negatif) atau b) X + 1

Pertimbangkan a) Jika X+10, yaitu X- 1, maka kedua ruas pertidaksamaan tersebut non-negatif. Kami mengkuadratkan kedua sisi: X + 3 >X+ 2X+ 1. Kami mengerti pertidaksamaan kuadrat X+ X – 2 X x - 1, kita mendapatkan -1

Pertimbangkan b) Jika X+1xx -3

Menggabungkan solusi untuk kasus a) -1 dan b) X-3, ayo tuliskan jawabannya: X
.

Semua argumen saat menyelesaikan Contoh 7 akan lebih mudah ditulis sebagai berikut:

Ketimpangan asal setara dengan serangkaian sistem ketimpangan
.

Menjawab: .

Alasan untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk

1.> G(X); 2. G(X); 3. G(X); 4. G(X) secara singkat dapat ditulis dalam bentuk diagram berikut:

SAYA. > G(X)

2. G(X)

3. G(X)

4. G(X)
.

Contoh 8 :
X.

Larutan: Pertidaksamaan asal ekuivalen dengan sistem

x>0

Menjawab: X
.

Tugas untuk solusi mandiri:

B)
.

20.a)
X

21.a)

DI DALAM pelajaran ini kami akan mempertimbangkan solusi ketidaksetaraan irasional, kami akan memberikannya berbagai contoh.

Topik: Persamaan dan pertidaksamaan. Sistem persamaan dan pertidaksamaan

Pelajaran:Ketimpangan yang tidak rasional

Saat menyelesaikan pertidaksamaan yang tidak rasional, seringkali kedua sisi pertidaksamaan perlu dinaikkan ke tingkat tertentu; ini adalah operasi yang cukup bertanggung jawab. Mari kita mengingat kembali fitur-fiturnya.

Kedua ruas pertidaksamaan dapat dikuadratkan jika keduanya tidak negatif, barulah kita memperoleh pertidaksamaan sejati dari pertidaksamaan sejati.

Bagaimanapun juga, kedua ruas pertidaksamaan dapat dipangkatkan; jika pertidaksamaan aslinya benar, maka ketika dikubuskan kita akan mendapatkan pertidaksamaan yang sebenarnya.

Perhatikan pertidaksamaan bentuk:

Ekspresi radikal haruslah non-negatif. Fungsi ini dapat mengambil nilai apa pun; ada dua kasus yang perlu dipertimbangkan.

Dalam kasus pertama, kedua sisi pertidaksamaan adalah non-negatif, kita berhak mengkuadratkannya. Dalam kasus kedua, ruas kanannya negatif, dan kita tidak berhak mengkuadratkannya. Dalam hal ini perlu dilihat arti dari pertidaksamaan: di sini ekspresi positif (akar kuadrat) lebih besar dari ekspresi negatif, yang berarti pertidaksamaan selalu terpenuhi.

Jadi, kami memiliki skema solusi berikut:

Dalam sistem pertama, kita tidak melindungi ekspresi radikal secara terpisah, karena jika pertidaksamaan kedua dari sistem terpenuhi, ekspresi radikal secara otomatis harus positif.

Contoh 1 - selesaikan pertidaksamaan:

Berdasarkan diagram, kita beralih ke himpunan ekuivalen dari dua sistem pertidaksamaan:

Mari kita ilustrasikan:

Beras. 1 - ilustrasi solusi pada contoh 1

Seperti yang kita lihat, ketika kita menghilangkan irasionalitas, misalnya ketika mengkuadratkan, kita mendapatkan seperangkat sistem. Terkadang ini desain yang kompleks dapat disederhanakan. Pada himpunan hasil, kita berhak menyederhanakan sistem pertama dan memperoleh himpunan ekuivalen:

Sebagai latihan independen, perlu dibuktikan kesetaraan himpunan ini.

Perhatikan pertidaksamaan bentuk:

Mirip dengan ketimpangan sebelumnya, kami mempertimbangkan dua kasus:

Dalam kasus pertama, kedua sisi pertidaksamaan adalah non-negatif, kita berhak mengkuadratkannya. Dalam kasus kedua, ruas kanannya negatif, dan kita tidak berhak mengkuadratkannya. Dalam hal ini perlu dicermati arti pertidaksamaan: di sini ekspresi positif (akar kuadrat) lebih kecil dari ekspresi negatif, artinya pertidaksamaan tersebut kontradiktif. Tidak perlu mempertimbangkan sistem kedua.

Kita punya sistem yang setara:

Terkadang kesenjangan yang tidak rasional dapat diselesaikan metode grafis. Metode ini berlaku jika grafik-grafik yang bersesuaian dapat dibuat dengan mudah dan titik potongnya dapat ditemukan.

Contoh 2 - selesaikan pertidaksamaan secara grafis:

Kita telah menyelesaikan pertidaksamaan pertama dan mengetahui jawabannya.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan secara grafis, Anda perlu membuat grafik fungsi di sisi kiri dan grafik fungsi di sisi kanan.

Beras. 2. Grafik fungsi dan

Untuk memplot grafik suatu fungsi, Anda perlu mengubah parabola menjadi parabola (mencerminkannya relatif terhadap sumbu y), dan menggeser kurva yang dihasilkan sebanyak 7 satuan ke kanan. Grafik menegaskan hal itu fungsi ini menurun secara monoton dalam domain definisinya.

Grafik suatu fungsi adalah garis lurus dan mudah dibuat. Titik potongnya dengan sumbu y adalah (0;-1).

Fungsi pertama berkurang secara monoton, fungsi kedua meningkat secara monoton. Jika persamaan tersebut memiliki akar, maka persamaan tersebut adalah satu-satunya; mudah ditebak dari grafik: .

Ketika nilai argumen akar yang lebih sedikit, parabola berada di atas garis lurus. Jika nilai argumennya antara tiga dan tujuh, garis lurus melewati parabola.

Kami punya jawabannya:

Metode yang efektif Metode interval digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan irasional.

Contoh 3 - selesaikan pertidaksamaan menggunakan metode interval:

Menurut metode interval, ketimpangan perlu dijauhkan untuk sementara waktu. Untuk melakukan ini, pindahkan semua pertidaksamaan yang diberikan ke ruas kiri (dapatkan nol di sebelah kanan) dan masukkan fungsi yang sama dengan ruas kiri:

Sekarang kita perlu mempelajari fungsi yang dihasilkan.

ODZ:

Kami telah menyelesaikan persamaan ini secara grafis, jadi kami tidak memikirkan penentuan akarnya.

Sekarang kita perlu memilih interval tanda konstan dan menentukan tanda fungsi pada setiap interval:

Beras. 3. Interval keteguhan tanda misalnya 3

Mari kita ingat kembali bahwa untuk menentukan tanda-tanda pada suatu interval, perlu untuk mengambil titik percobaan dan mensubstitusikannya ke dalam fungsi tersebut akan mempertahankan tanda yang dihasilkan sepanjang seluruh interval;

Mari kita periksa nilai pada titik batas:

Jawabannya jelas:

Perhatikan jenis ketidaksetaraan berikut:

Pertama, mari kita tulis ODZ-nya:

Akarnya ada, tidak negatif, kita bisa mengkuadratkan kedua sisinya. Kita mendapatkan:

Kami mendapat sistem yang setara:

Sistem yang dihasilkan dapat disederhanakan. Jika pertidaksamaan kedua dan ketiga terpenuhi, pertidaksamaan pertama otomatis menjadi benar. Kita punya::

Contoh 4 - selesaikan pertidaksamaan:

Kami bertindak sesuai skema - kami mendapatkan sistem yang setara.

Setiap pertidaksamaan yang memuat suatu fungsi di bawah akar disebut irasional. Ada dua jenis ketidaksetaraan tersebut:

Dalam kasus pertama, root fungsi yang lebih sedikit g (x), yang kedua - lebih banyak. Jika g(x) - konstan, ketimpangan menjadi sangat disederhanakan. Harap dicatat: secara lahiriah kesenjangan ini sangat mirip, tetapi skema penyelesaiannya berbeda secara mendasar.

Hari ini kita akan belajar bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan irasional tipe pertama - ini adalah yang paling sederhana dan paling mudah dipahami. Tanda pertidaksamaan bisa tegas atau tidak tegas. Pernyataan berikut ini benar bagi mereka:

Dalil. Bentuk ketidaksetaraan yang tidak rasional

Setara dengan sistem pertidaksamaan:

Tidak lemah? Mari kita lihat dari mana sistem ini berasal:

f (x) ≤ g 2 (x) - semuanya jelas di sini. Ini adalah pertidaksamaan awal yang dikuadratkan;
f (x) ≥ 0 adalah ODZ dari akar. Izinkan saya mengingatkan Anda: akar kuadrat aritmatika hanya ada dari non-negatif angka;
g(x) ≥ 0 adalah jangkauan akar. Dengan mengkuadratkan ketimpangan, kita menghilangkan hal-hal negatif. Akibatnya, mungkin ada akar tambahan. Pertidaksamaan g(x) ≥ 0 memotongnya.

Banyak siswa “terpaku” pada pertidaksamaan pertama sistem: f (x) ≤ g 2 (x) - dan melupakan dua lainnya. Hasilnya bisa ditebak: keputusan salah, kehilangan poin.

Karena kesenjangan yang tidak rasional saja sudah cukup topik yang kompleks, mari kita lihat 4 contoh sekaligus. Dari yang mendasar hingga yang sangat rumit. Semua soal diambil dari ujian masuk Universitas Negeri Moskow. M.V.Lomonosov.

Contoh pemecahan masalah

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

Di depan kita ada yang klasik ketimpangan yang tidak rasional: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - konstan. Kita punya:

Dari ketiga ketimpangan tersebut, hanya dua yang tersisa di akhir penyelesaian. Karena pertidaksamaan 2 ≥ 0 selalu berlaku. Mari kita selesaikan kesenjangan yang tersisa: