Persamaan logaritma. Dari yang sederhana hingga yang kompleks.
Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Apa itu persamaan logaritma?
Ini adalah persamaan dengan logaritma. Saya kaget ya?) Nanti saya klarifikasi. Ini adalah persamaan di mana variabel yang tidak diketahui (x) dan ekspresi yang menyertainya ditemukan di dalam logaritma. Dan hanya di sana! Itu penting.
Berikut beberapa contohnya persamaan logaritma :
catatan 3 x = catatan 3 9
catatan 3 (x 2 -3) = catatan 3 (2x)
catatan x+1 (x 2 +3x-7) = 2
lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)
Nah, Anda mengerti... )
Catatan! Ekspresi paling beragam dengan X berada secara eksklusif dalam logaritma. Jika, tiba-tiba, tanda X muncul di suatu tempat dalam persamaan di luar, Misalnya:
catatan 2 x = 3+x,
ini akan menjadi persamaan tipe campuran. Persamaan seperti itu tidak ada aturan yang jelas solusi. Kami tidak akan mempertimbangkannya untuk saat ini. Omong-omong, ada persamaan di dalam logaritma hanya angka. Misalnya:
Apa yang bisa kukatakan? Anda beruntung jika menemukan ini! Logaritma dengan angka adalah beberapa nomor. Itu saja. Mengetahui sifat-sifat logaritma saja sudah cukup untuk menyelesaikan persamaan seperti itu. Pengetahuan tentang aturan khusus, teknik yang disesuaikan secara khusus untuk penyelesaian persamaan logaritma, tidak diperlukan di sini.
Jadi, apa itu persamaan logaritma- kami menemukan jawabannya.
Bagaimana cara menyelesaikan persamaan logaritma?
Larutan persamaan logaritma- masalahnya sebenarnya tidak terlalu sederhana. Jadi bagian kita adalah empat... Anda memerlukan pengetahuan yang cukup dalam segala hal topik-topik terkait. Selain itu, terdapat keistimewaan dalam persamaan tersebut. Dan fitur ini sangat penting sehingga dapat dengan aman disebut sebagai masalah utama dalam menyelesaikan persamaan logaritma. Kami menghadapi masalah ini pelajaran berikutnya Mari kita lihat secara detail.
Untuk saat ini, jangan khawatir. Kami akan mengambil jalan yang benar dari yang sederhana hingga yang rumit. Pada contoh spesifik. Hal utama adalah mempelajari hal-hal sederhana dan jangan malas untuk mengikuti tautannya, saya meletakkannya di sana karena suatu alasan... Dan semuanya akan berhasil untuk Anda. Perlu.
Mari kita mulai dengan persamaan paling dasar dan paling sederhana. Untuk menyelesaikannya, disarankan untuk memiliki gambaran tentang logaritma, tetapi tidak lebih. Tidak tahu logaritma, mengambil keputusan logaritma persamaan - entah bagaimana bahkan canggung... Sangat berani, menurut saya).
Persamaan logaritma paling sederhana.
Ini adalah persamaan bentuk:
1. catatan 3 x = catatan 3 9
2. catatan 7 (2x-3) = catatan 7x
3.log 7 (50x-1) = 2
Proses solusi persamaan logaritmik apa pun terdiri dari transisi dari persamaan dengan logaritma ke persamaan tanpa logaritma. Dalam persamaan paling sederhana, transisi ini dilakukan dalam satu langkah. Itu sebabnya mereka adalah yang paling sederhana.)
Dan ternyata persamaan logaritma seperti itu mudah diselesaikan. Lihat diri mu sendiri.
Mari kita selesaikan contoh pertama:
catatan 3 x = catatan 3 9
Untuk menyelesaikan contoh ini, Anda tidak perlu mengetahui hampir semua hal, ya... Murni intuisi!) Yang kita perlukan khususnya tidak suka contoh ini? A-apa... Aku tidak suka logaritma! Benar. Jadi mari kita singkirkan mereka. Kita mencermati contohnya, dan kita berhasil keinginan alami... Benar-benar menarik! Ambil dan buang logaritma sama sekali. Dan yang bagus adalah itu Bisa Mengerjakan! Matematika memungkinkan. Logaritma hilang jawabannya adalah:
Hebat, bukan? Hal ini dapat (dan harus) selalu dilakukan. Menghilangkan logaritma dengan cara ini adalah salah satu cara utama untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Dalam matematika, operasi ini disebut potensiasi. Tentu saja, ada aturan untuk likuidasi seperti itu, tapi jumlahnya sedikit. Ingat:
Anda dapat menghilangkan logaritma tanpa rasa takut jika logaritma tersebut memiliki:
a) basis numerik yang sama
c) logaritma dari kiri ke kanan adalah murni (tanpa koefisien apa pun) dan berada dalam isolasi yang sangat baik.
Izinkan saya menjelaskan poin terakhir. Katakanlah dalam persamaan
catatan 3 x = 2 catatan 3 (3x-1)
Logaritma tidak dapat dihilangkan. Dua orang di sebelah kanan tidak mengizinkannya. Koefisiennya lho... Dalam contoh
log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)
Juga tidak mungkin untuk mempotensiasi persamaan tersebut. Tidak ada logaritma tunggal di sisi kiri. Ada dua di antaranya.
Singkatnya, Anda dapat menghilangkan logaritma jika persamaannya terlihat seperti ini dan hanya seperti ini:
log a (.....) = log a (.....)
Dalam tanda kurung, jika ada elipsis, mungkin ada ekspresi apa pun. Sederhana, super kompleks, segala macam. Apa pun. Yang penting adalah setelah menghilangkan logaritma, kita hanya punya sisa persamaan yang lebih sederhana. Tentu saja diasumsikan Anda sudah mengetahui cara menyelesaikan persamaan linier, kuadrat, pecahan, eksponensial, dan persamaan lainnya tanpa logaritma.)
Sekarang Anda dapat dengan mudah menyelesaikan contoh kedua:
catatan 7 (2x-3) = catatan 7x
Sebenarnya, itu sudah diputuskan dalam pikiran. Kami mempotensiasi, kami mendapatkan:
Nah, apakah ini sangat sulit?) Seperti yang Anda lihat, logaritma bagian dari solusi persamaan tersebut adalah hanya dalam menghilangkan logaritma... Dan kemudian muncul solusi untuk persamaan yang tersisa tanpa mereka. Masalah sepele.
Mari selesaikan contoh ketiga:
log 7 (50x-1) = 2
Kita melihat ada logaritma di sebelah kiri:
Ingatlah bahwa logaritma ini adalah bilangan yang basisnya harus dipangkatkan (yaitu tujuh) untuk mendapatkan ekspresi sublogaritma, yaitu. (50x-1).
Tapi angka ini dua! Menurut Persamaan. Itu adalah:
Pada dasarnya itu saja. Logaritma lenyap, Yang tersisa hanyalah persamaan yang tidak berbahaya:
Kami memecahkan persamaan logaritma ini hanya berdasarkan arti logaritmanya. Apakah masih lebih mudah menghilangkan logaritma?) Saya setuju. Omong-omong, jika Anda membuat logaritma dari dua, Anda dapat menyelesaikan contoh ini melalui eliminasi. Bilangan apa pun dapat dibuat menjadi logaritma. Apalagi cara kita membutuhkannya. Teknik yang sangat berguna dalam menyelesaikan persamaan logaritma dan (terutama!) Pertidaksamaan.
Tidak tahu cara membuat logaritma dari suatu bilangan!? Tidak apa-apa. Bagian 555 menjelaskan teknik ini secara rinci. Anda bisa menguasainya dan menggunakannya secara maksimal! Ini sangat mengurangi jumlah kesalahan.
Persamaan keempat diselesaikan dengan cara yang sangat mirip (menurut definisi):
Itu dia.
Mari kita rangkum pelajaran ini. Kami melihat solusi persamaan logaritma paling sederhana menggunakan contoh. Ini sangat penting. Dan bukan hanya karena persamaan seperti itu muncul dalam ujian dan ujian. Faktanya adalah persamaan yang paling jahat dan rumit sekalipun harus direduksi menjadi persamaan yang paling sederhana!
Sebenarnya persamaan yang paling sederhana adalah bagian akhir dari penyelesaiannya setiap persamaan. Dan bagian terakhir ini harus dipahami dengan ketat! Dan selanjutnya. Pastikan untuk membaca halaman ini sampai akhir. Ada kejutan di sana...)
Sekarang kami memutuskan sendiri. Mari kita menjadi lebih baik, boleh dikatakan...)
Temukan akar (atau jumlah akar, jika ada beberapa) persamaan:
ln(7x+2) = ln(5x+20)
catatan 2 (x 2 +32) = catatan 2 (12x)
log 16 (0,5x-1,5) = 0,25
log 0,2 (3x-1) = -3
ln(e 2 +2x-3) = 2
catatan 2 (14x) = catatan 2 7 + 2
Jawaban (tentu saja berantakan): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.
Apa, tidak semuanya berhasil? Terjadi. Jangan khawatir! Bagian 555 menjelaskan solusi untuk semua contoh ini dengan jelas dan rinci. Anda pasti akan mengetahuinya di luar sana. Anda juga akan mempelajari teknik-teknik praktis yang berguna.
Semuanya berhasil!? Semua contoh “satu tersisa”?) Selamat!
Saatnya mengungkapkan kebenaran pahit kepada Anda. Keberhasilan menyelesaikan contoh-contoh ini tidak menjamin keberhasilan dalam menyelesaikan semua persamaan logaritma lainnya. Bahkan yang paling sederhana pun seperti ini. Sayang.
Faktanya adalah bahwa solusi persamaan logaritma apa pun (bahkan yang paling dasar sekalipun!) terdiri dari dua bagian yang sama. Memecahkan persamaan dan bekerja dengan ODZ. Kami telah menguasai satu bagian - menyelesaikan persamaan itu sendiri. Tidak sesulit itu Kanan?
Untuk pelajaran ini, saya secara khusus memilih contoh di mana DL tidak mempengaruhi jawaban dengan cara apapun. Tapi tidak semua orang sebaik saya, kan?...)
Oleh karena itu, sangat penting untuk menguasai bagian lainnya. ODZ. Ini adalah masalah utama dalam menyelesaikan persamaan logaritma. Dan bukan karena sulit - bagian ini bahkan lebih mudah daripada bagian pertama. Tapi karena mereka melupakan ODZ begitu saja. Atau mereka tidak tahu. Atau keduanya). Dan mereka jatuh tiba-tiba...
Dalam pelajaran berikutnya kita akan membahas masalah ini. Kemudian Anda dapat memutuskan dengan yakin setiap persamaan logaritma sederhana dan pendekatan tugas yang cukup solid.
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.
Perkenalan
Logaritma diciptakan untuk mempercepat dan menyederhanakan perhitungan. Gagasan tentang logaritma, yaitu gagasan untuk menyatakan bilangan sebagai pangkat dari basis yang sama, adalah milik Mikhail Stiefel. Namun pada masa Stiefel, matematika belum begitu berkembang dan gagasan tentang logaritma belum berkembang. Logaritma kemudian ditemukan secara bersamaan dan independen satu sama lain oleh ilmuwan Skotlandia John Napier (1550-1617) dan Jobst Burgi dari Swiss (1552-1632) adalah orang pertama yang menerbitkan karyanya pada tahun 1614. berjudul "Deskripsi tabel logaritma yang menakjubkan", teori logaritma Napier diberikan dengan cukup rinci sepenuhnya, metode penghitungan logaritma diberikan yang paling sederhana, oleh karena itu manfaat Napier dalam penemuan logaritma lebih besar daripada manfaat Bürgi. Bürgi bekerja di meja pada waktu yang sama dengan Napier, tapi untuk waktu yang lama merahasiakannya dan baru menerbitkannya pada tahun 1620. Napier menguasai gagasan logaritma sekitar tahun 1594. meskipun tabel tersebut diterbitkan 20 tahun kemudian. Mula-mula ia menyebut logaritmanya sebagai “bilangan buatan” dan baru kemudian mengusulkan untuk menyebut “bilangan buatan” tersebut dalam satu kata “logaritma”, yang diterjemahkan dari bahasa Yunani berarti “bilangan berkorelasi”, diambil satu dari perkembangan aritmatika, dan yang lainnya dari a kemajuan geometris yang dipilih khusus untuk itu. Tabel pertama dalam bahasa Rusia diterbitkan pada tahun 1703. dengan partisipasi seorang guru luar biasa abad ke-18. L.F.Magnitsky. Dalam perkembangan teori logaritma sangat penting memiliki karya akademisi St. Petersburg Leonhard Euler. Dia adalah orang pertama yang menganggap logaritma sebagai kebalikan dari pangkat; dia memperkenalkan istilah "basis logaritma" dan "mantissa". Briggs menyusun tabel logaritma dengan basis 10. Tabel desimal lebih nyaman untuk penggunaan praktis, begitulah teorinya lebih sederhana dari logaritma Napier. Itu sebabnya logaritma desimal kadang-kadang disebut brig. Istilah "karakterisasi" diperkenalkan oleh Briggs.
Di masa lalu, ketika orang bijak pertama kali mulai berpikir tentang persamaan yang mengandung jumlah yang tidak diketahui, mungkin tidak ada koin atau dompet. Tapi ada tumpukan, serta pot dan keranjang, yang sempurna untuk peran tempat penyimpanan yang dapat menampung barang dalam jumlah yang tidak diketahui. Di zaman dahulu masalah matematika Mesopotamia, India, Cina, Yunani, jumlah yang tidak diketahui menyatakan jumlah burung merak di taman, jumlah sapi jantan dalam kawanan, totalitas hal-hal yang diperhitungkan saat membagi properti. Para juru tulis, pejabat, dan pendeta yang diinisiasi ke dalam pengetahuan rahasia, terlatih dengan baik dalam ilmu akuntansi, berhasil mengatasi tugas-tugas tersebut.
Sumber-sumber yang sampai kepada kita menunjukkan bahwa para ilmuwan kuno memiliki beberapa teknik umum memecahkan masalah dengan besaran yang tidak diketahui. Namun, tidak ada satu pun papirus atau tablet tanah liat yang memuat penjelasan tentang teknik ini. Para penulis hanya sesekali memberikan perhitungan numerik mereka dengan komentar yang minim seperti: “Lihat!”, “Lakukan ini!”, “Anda menemukan yang tepat.” Dalam pengertian ini, pengecualiannya adalah "Aritmatika" dari matematikawan Yunani Diophantus dari Alexandria (abad III) - kumpulan masalah untuk menyusun persamaan dengan presentasi sistematis dari solusinya.
Namun, panduan pemecahan masalah pertama yang dikenal luas adalah karya ilmuwan Bagdad abad ke-9. Muhammad bin Musa al-Khawarizmi. Kata "al-jabr" dari judul bahasa Arab risalah ini - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Kitab restorasi dan oposisi") - seiring berjalannya waktu berubah menjadi kata terkenal "aljabar", dan komposisi oleh al-Khawarizmi menjadi titik tolak perkembangan ilmu pemecahan persamaan.
Persamaan dan pertidaksamaan logaritma
1. Persamaan logaritma
Persamaan yang memuat suatu hal yang tidak diketahui di bawah tanda logaritma atau pada basisnya disebut persamaan logaritma.
Persamaan logaritma yang paling sederhana adalah persamaan bentuk
catatan A X = B . (1)
Pernyataan 1. Jika A > 0, A≠ 1, persamaan (1) untuk sembarang real B Memiliki satu-satunya keputusan X = sebuah b .
Contoh 1. Selesaikan persamaan:
a)catatan 2 X= 3, b) catatan 3 X= -1,c)
Larutan. Dengan menggunakan Pernyataan 1, kita peroleh a) X= 2 3 atau X= 8; B) X= 3 -1 atau X= 1/3 ; C)
atau X = 1.Mari kita memberi sifat dasar logaritma
P1. Identitas logaritma dasar:
Di mana A > 0, A≠ 1 dan B > 0.
hal2. Logaritma produk faktor positif sama dengan jumlahnya logaritma faktor-faktor ini:
catatan A N 1 · N 2 = catatan A N 1 + catatan A N 2 (A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).
Komentar. Jika N 1 · N 2 > 0, maka properti P2 berbentuk
catatan A N 1 · N 2 = catatan A |N 1 | + catatan A |N 2 | (A > 0, A ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).
hal3. Logaritma hasil bagi dua bilangan positif sama dengan perbedaannya logaritma dividen dan pembagi
(A
> 0, A
≠ 1, N
1
> 0, N
2
> 0).
Komentar. Jika
, (yang setara N 1 N 2 > 0) maka properti P3 berbentuk
(A
> 0, A
≠ 1, N
1
N
2
> 0).
hal4. Logaritma derajat nomor positif sama dengan produknya eksponen per logaritma angka ini:
catatan A N k = k catatan A N (A > 0, A ≠ 1, N > 0).
Komentar. Jika k - bilangan genap (k = 2S), Itu
catatan A N 2S = 2S catatan A |N | (A > 0, A ≠ 1, N ≠ 0).
hal5. Rumus untuk berpindah ke base lain:
(A
> 0, A
≠ 1, B
> 0, B
≠ 1, N
> 0),
khususnya jika N = B, kita mendapatkan
(A > 0, A ≠ 1, B > 0, B ≠ 1). (2)Dengan menggunakan properti P4 dan P5, mudah untuk mendapatkan properti berikut
(A
> 0, A
≠ 1, B
> 0, C
≠ 0), (3)
(A
> 0, A
≠ 1, B
> 0, C
≠ 0), (4)
(A
> 0, A
≠ 1, B
> 0, C
≠ 0), (5)
dan, jika dalam (5) C- bilangan genap ( C = 2N), terjadi
(B
> 0, A
≠ 0, |A
| ≠ 1). (6)
Kami mencantumkan properti utama fungsi logaritma F (X) = catatan A X :
1. Daerah definisi fungsi logaritma adalah himpunan bilangan positif.
2. Rentang nilai fungsi logaritma adalah himpunan bilangan real.
3. Kapan A> 1 fungsi logaritma meningkat secara ketat (0< X 1 < X 2log A X 1 < logA X 2), dan pada 0< A < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2log A X 1 > catatan A X 2).
4.log A 1 = 0 dan catat A A = 1 (A > 0, A ≠ 1).
5. Jika A> 1, maka fungsi logaritmanya negatif ketika X(0;1) dan positif pada X(1;+∞), dan jika 0< A < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) dan negatif pada X (1;+∞).
6. Jika A> 1, maka fungsi logaritmanya cembung ke atas, dan jika A(0;1) - cembung ke bawah.
Pernyataan berikut (lihat, misalnya,) digunakan saat menyelesaikan persamaan logaritma.
Persamaan logaritma adalah persamaan yang tidak diketahui (x) dan ekspresi yang menyertainya berada di bawah tanda fungsi logaritma. Menyelesaikan persamaan logaritma mengasumsikan bahwa Anda sudah familiar dengan dan .
Bagaimana cara menyelesaikan persamaan logaritma?
Persamaan paling sederhana adalah log a x = b, dimana a dan b adalah suatu bilangan, x adalah suatu bilangan yang tidak diketahui.
Memecahkan persamaan logaritma adalah x = a b dengan ketentuan: a > 0, a 1.
Perlu diperhatikan bahwa jika x berada di luar logaritma, misalnya log 2 x = x-2, maka persamaan tersebut disebut campuran dan diperlukan pendekatan khusus untuk menyelesaikannya.
Kasus yang ideal adalah ketika Anda menemukan persamaan yang hanya bilangan-bilangannya yang berada di bawah tanda logaritma, misalnya x+2 = log 2 2. Di sini cukup mengetahui sifat-sifat logaritma untuk menyelesaikannya. Namun keberuntungan seperti itu tidak sering terjadi, jadi bersiaplah untuk hal-hal yang lebih sulit.
Tapi pertama-tama, mari kita mulai persamaan sederhana. Untuk mengatasinya, diinginkan untuk memiliki yang maksimal Ide umum tentang logaritma.
Memecahkan persamaan logaritma sederhana
Ini termasuk persamaan tipe log 2 x = log 2 16. Dapat dilihat dengan mata telanjang bahwa dengan menghilangkan tanda logaritma kita mendapatkan x = 16.
Untuk menyelesaikan persamaan logaritma yang lebih kompleks, biasanya direduksi menjadi penyelesaian persamaan biasa persamaan aljabar atau ke penyelesaian persamaan logaritma paling sederhana log a x = b. Dalam persamaan paling sederhana, hal ini terjadi dalam satu gerakan, oleh karena itu disebut persamaan paling sederhana.
Metode menghilangkan logaritma di atas adalah salah satu cara utama untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Dalam matematika, operasi ini disebut potensiasi. Ada aturan tertentu atau batasan untuk operasi semacam ini:
- logaritma mempunyai basis numerik yang sama
- Logaritma di kedua ruas persamaan bebas, yaitu. tanpa koefisien dan lainnya berbagai jenis ekspresi.
Katakanlah dalam persamaan log 2 x = 2log 2 (1 - x) potensiasi tidak berlaku - koefisien 2 di sebelah kanan tidak mengizinkannya. DI DALAM contoh berikut log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) salah satu batasan juga tidak terpenuhi - ada dua logaritma di sebelah kiri. Jika hanya ada satu, masalahnya akan sangat berbeda!
Secara umum, logaritma hanya dapat dihilangkan jika persamaannya berbentuk:
log a (...) = log a (...)
Benar-benar semua ekspresi dapat ditempatkan dalam tanda kurung; ini sama sekali tidak berpengaruh pada operasi potensiasi. Dan setelah menghilangkan logaritma, persamaan yang lebih sederhana akan tetap ada - linier, kuadrat, eksponensial, dll., yang saya harap Anda sudah tahu cara menyelesaikannya.
Mari kita ambil contoh lain:
catatan 3 (2x-5) = catatan 3x
Kami menerapkan potensiasi, kami mendapatkan:
log 3 (2x-1) = 2
Berdasarkan pengertian logaritma yaitu bahwa logaritma adalah suatu bilangan yang harus dipangkatkan basisnya agar diperoleh ekspresi yang berada di bawah tanda logaritma, yaitu. (4x-1), kita peroleh:
Sekali lagi kami menerima jawaban yang indah. Di sini kita melakukannya tanpa menghilangkan logaritma, tetapi potensiasi juga berlaku di sini, karena logaritma dapat dibuat dari bilangan berapa pun, dan persis dengan bilangan yang kita butuhkan. Metode ini sangat membantu dalam menyelesaikan persamaan logaritma dan khususnya pertidaksamaan.
Mari kita selesaikan persamaan logaritma log 3 (2x-1) = 2 menggunakan potensiasi:
Bayangkan bilangan 2 sebagai logaritma, misalnya log 3 9 ini, karena 3 2 =9.
Kemudian log 3 (2x-1) = log 3 9 dan sekali lagi kita mendapatkan persamaan yang sama 2x-1 = 9. Saya harap semuanya jelas.
Jadi kita melihat bagaimana menyelesaikan persamaan logaritma paling sederhana, yang sebenarnya sangat penting karena menyelesaikan persamaan logaritma, bahkan yang paling buruk dan memutarbalikkan, pada akhirnya selalu berujung pada penyelesaian persamaan yang paling sederhana.
Dalam segala hal yang kami lakukan di atas, kami sangat melewatkan satu hal poin penting, yang akan memainkan peran penting di masa depan. Faktanya adalah bahwa solusi persamaan logaritma apa pun, bahkan persamaan paling dasar sekalipun, terdiri dari dua bagian yang sama. Yang pertama adalah penyelesaian persamaan itu sendiri, yang kedua adalah mengerjakan luas nilai-nilai yang dapat diterima(ODZ). Inilah bagian pertama yang telah kita kuasai. Di atas contoh DL tidak mempengaruhi jawaban dengan cara apapun, jadi kami tidak mempertimbangkannya.
Mari kita ambil contoh lain:
catatan 3 (x 2 -3) = catatan 3 (2x)
Secara lahiriah, persamaan ini tidak berbeda dengan persamaan dasar, yang dapat diselesaikan dengan sangat sukses. Namun tidak demikian. Tidak, tentu saja kami akan menyelesaikannya, tetapi kemungkinan besar salah, karena berisi penyergapan kecil di mana siswa kelas C dan siswa berprestasi langsung terjerumus ke dalamnya. Mari kita lihat lebih dekat.
Katakanlah Anda perlu mencari akar persamaan atau jumlah akar-akarnya, jika ada beberapa:
catatan 3 (x 2 -3) = catatan 3 (2x)
Kami menggunakan potensiasi, ini dapat diterima di sini. Hasilnya, kita memperoleh persamaan kuadrat biasa.
Menemukan akar persamaan:
Ternyata dua akar.
Jawaban: 3 dan -1
Sekilas semuanya benar. Tapi mari kita periksa hasilnya dan substitusikan ke persamaan aslinya.
Mari kita mulai dengan x 1 = 3:
catatan 3 6 = catatan 3 6
Pengecekan berhasil, sekarang antriannya x 2 = -1:
catatan 3 (-2) = catatan 3 (-2)
Oke, berhenti! Di luar semuanya sempurna. Satu hal - tidak ada logaritma dari bilangan negatif! Artinya akar x = -1 tidak cocok untuk menyelesaikan persamaan kita. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah 3, bukan 2, seperti yang kami tulis.
Di sinilah ODZ memainkan peran fatalnya yang selama ini kita lupakan.
Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa rentang nilai yang dapat diterima mencakup nilai x yang diperbolehkan atau masuk akal untuk contoh aslinya.
Tanpa ODZ, solusi apa pun, bahkan solusi yang sepenuhnya benar, dari persamaan apa pun berubah menjadi lotere - 50/50.
Bagaimana kami bisa terjebak ketika memutuskan apa yang tampaknya terjadi contoh dasar? Namun justru pada momen potensiasi. Logaritma menghilang, dan dengan itu semua batasan.
Apa yang harus dilakukan dalam kasus ini? Menolak untuk menghilangkan logaritma? Dan sepenuhnya menolak menyelesaikan persamaan ini?
Tidak, kami hanya, seperti pahlawan sejati dari satu lagu terkenal, akan mengambil jalan memutar!
Sebelum kita mulai menyelesaikan persamaan logaritma apa pun, kita akan menuliskan ODZ-nya. Namun setelah itu, Anda dapat melakukan apa pun yang diinginkan hati Anda dengan persamaan kami. Setelah mendapat jawabannya, kami cukup membuang akar-akar yang tidak termasuk dalam ODZ kami dan menuliskan versi finalnya.
Sekarang mari kita putuskan bagaimana cara merekam ODZ. Untuk melakukan ini, kita hati-hati memeriksa persamaan asli dan mencari tempat yang mencurigakan di dalamnya, seperti pembagian dengan x, akar genap, dll. Sampai kita menyelesaikan persamaan tersebut, kita tidak tahu apa yang sama dengan x, tetapi kita tahu pasti bahwa x yang, jika disubstitusikan, menghasilkan pembagian dengan 0 atau akar kuadrat dari suatu bilangan negatif, jelas tidak cocok sebagai jawaban. . Oleh karena itu, x tersebut tidak dapat diterima, sedangkan sisanya merupakan ODZ.
Mari kita gunakan persamaan yang sama lagi:
catatan 3 (x 2 -3) = catatan 3 (2x)
catatan 3 (x 2 -3) = catatan 3 (2x)
Seperti yang Anda lihat, tidak ada pembagian dengan 0, akar kuadrat juga tidak, tetapi ada ekspresi dengan x di badan logaritma. Mari kita segera mengingat bahwa ekspresi di dalam logaritma harus selalu >0. Kondisi ini kami tuliskan dalam bentuk ODZ:
Itu. Kami belum menyelesaikan apa pun, tetapi kami telah menuliskan kondisi wajib untuk seluruh ekspresi sublogaritma. Kurung kurawal berarti kondisi ini harus terpenuhi secara bersamaan.
ODZ sudah dituliskan, tetapi sistem ketidaksetaraan yang dihasilkan juga perlu diselesaikan, itulah yang akan kami lakukan. Kami mendapatkan jawabannya x > v3. Sekarang kita tahu pasti x mana yang tidak cocok untuk kita. Dan kemudian kita mulai menyelesaikan persamaan logaritma itu sendiri, seperti yang kita lakukan di atas.
Setelah mendapat jawaban x 1 = 3 dan x 2 = -1, mudah untuk melihat bahwa hanya x1 = 3 yang cocok untuk kita, dan kita menuliskannya sebagai jawaban akhir.
Untuk masa depan, sangat penting untuk mengingat hal berikut: kita menyelesaikan persamaan logaritma apa pun dalam 2 tahap. Yang pertama adalah menyelesaikan persamaan itu sendiri, yang kedua adalah menyelesaikan kondisi ODZ. Kedua tahapan tersebut dilakukan secara independen satu sama lain dan dibandingkan hanya pada saat penulisan jawabannya, yaitu. buang semua yang tidak perlu dan tuliskan jawaban yang benar.
Untuk memperkuat materi, kami sangat menyarankan menonton video:
Video ini menunjukkan contoh lain penyelesaian log. persamaan dan mempraktekkan metode interval dalam praktek.
Untuk pertanyaan ini, cara menyelesaikan persamaan logaritma Itu saja untuk saat ini. Jika sesuatu diputuskan oleh log. persamaannya masih belum jelas atau tidak bisa dipahami, tulis pertanyaan Anda di komentar.
Catatan: Academy of Social Education (ASE) siap menerima mahasiswa baru.
Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan permintaan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk tujuan keamanan, penegakan hukum, atau kesehatan masyarakat lainnya. kasus-kasus penting.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.
Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan pangkat, eksponennya selalu dijumlahkan (a b *a c = a b+c). Ini hukum matematika diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematika Virasen membuat tabel eksponen bilangan bulat. Merekalah yang mengabdi pembukaan lebih lanjut logaritma. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di semua tempat yang memerlukan penyederhanaan perkalian rumit dengan penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana cara menggunakannya. Dalam bahasa yang sederhana dan mudah diakses.
Definisi dalam matematika
Logaritma adalah ekspresi dalam bentuk berikut: log a b=c, yaitu, logaritma bilangan non-negatif (yaitu, bilangan positif apa pun) “b” dengan basis “a” dianggap sebagai pangkat “c ” dimana basis “a” harus dipangkatkan untuk mendapatkan nilai “b”. Mari kita lihat logaritmanya dengan contoh, misalkan ada ekspresi log 2 8. Bagaimana cara menemukan jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu mencari pangkat sedemikian rupa sehingga dari 2 hingga pangkat yang dibutuhkan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan di kepala Anda, kita mendapatkan angka 3! Dan itu benar, karena 2 pangkat 3 memberikan jawaban 8.
Jenis logaritma
Bagi banyak siswa dan pelajar, topik ini tampaknya rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi sebenarnya logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami arti umum dan mengingat sifat-sifatnya serta beberapa aturannya. Ada tiga spesies individu ekspresi logaritma:
- Logaritma natural ln a, dengan basis bilangan Euler (e = 2,7).
- Desimal a yang basisnya 10.
- Logaritma bilangan b apa pun dengan basis a>1.
Masing-masing diselesaikan dengan cara standar, termasuk penyederhanaan, reduksi, dan selanjutnya reduksi menjadi logaritma tunggal menggunakan teorema logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang benar, Anda harus mengingat propertinya dan urutan tindakan saat menyelesaikannya.
Aturan dan beberapa batasan
Dalam matematika, ada beberapa aturan-batasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu tidak perlu dibicarakan dan merupakan kebenaran. Misalnya, tidak mungkin membagi bilangan dengan nol, dan juga tidak mungkin mengekstrak akar genap dari bilangan negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, berikut ini Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:
- Basis “a” harus selalu lebih besar dari nol, dan tidak sama dengan 1, jika tidak, ungkapan tersebut akan kehilangan maknanya, karena “1” dan “0” pada derajat apa pun selalu sama dengan nilainya;
- jika a > 0, maka a b >0, ternyata “c” juga harus lebih besar dari nol.
Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?
Misalnya diberikan tugas untuk mencari jawaban persamaan 10 x = 100. Caranya sangat mudah, Anda perlu memilih suatu pangkat dengan menaikkan angka sepuluh sehingga kita mendapatkan 100. Tentu saja, ini adalah 10 2 = 100.
Sekarang mari kita bayangkan ekspresi ini dalam bentuk logaritma. Kita mendapatkan log 10 100 = 2. Saat menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktis menyatu untuk mencari pangkat yang diperlukan untuk memasukkan basis logaritma untuk mendapatkan bilangan tertentu.
Untuk menentukan nilainya secara akurat derajat yang tidak diketahui Anda perlu mempelajari cara bekerja dengan tabel derajat. Ini terlihat seperti ini:
Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pemikiran teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun untuk nilai-nilai besar Anda memerlukan tabel derajat. Ini dapat digunakan bahkan oleh mereka yang tidak tahu apa pun tentang kompleks topik matematika. Kolom kiri berisi bilangan (basis a), baris bilangan paling atas adalah nilai pangkat c yang dipangkatkan bilangan a. Pada titik potongnya, sel-sel tersebut berisi nilai bilangan yang menjadi jawabannya (ac =b). Mari kita ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan mengkuadratkannya, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan pada perpotongan kedua sel kita. Semuanya begitu sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis paling sejati sekalipun akan memahaminya!
Persamaan dan pertidaksamaan
Ternyata kapan kondisi tertentu eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, ekspresi numerik matematika apa pun dapat ditulis sebagai persamaan logaritma. Misalnya, 3 4 =81 dapat ditulis sebagai logaritma basis 3 dari 81 sama dengan empat (log 3 81 = 4). Untuk kekuatan negatif aturannya sama: 2 -5 = 1/32 kita tulis sebagai logaritma, kita dapatkan log 2 (1/32) = -5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik “logaritma”. Kita akan melihat contoh dan solusi persamaan di bawah ini, segera setelah mempelajari sifat-sifatnya. Sekarang mari kita lihat seperti apa pertidaksamaan dan bagaimana membedakannya dari persamaan.
Diberikan ekspresi dalam bentuk berikut: log 2 (x-1) > 3 - ya pertidaksamaan logaritmik, karena nilai "x" yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ekspresi dua besaran dibandingkan: logaritma bilangan yang diinginkan ke basis dua lebih besar dari bilangan tiga.
Perbedaan terpenting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah persamaan dengan logaritma (misalnya logaritma 2 x = √9) menyiratkan satu atau lebih jawaban spesifik. nilai numerik, sedangkan ketika menyelesaikan pertidaksamaan, kisaran nilai yang diizinkan dan titik putus fungsi ini ditentukan. Konsekuensinya, jawabannya bukanlah himpunan bilangan tunggal yang sederhana, seperti pada jawaban suatu persamaan, melainkan rangkaian atau himpunan bilangan yang berkesinambungan.
Teorema dasar tentang logaritma
Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, propertinya mungkin tidak diketahui. Namun, jika menyangkut persamaan atau pertidaksamaan logaritma, pertama-tama, kita perlu memahami dengan jelas dan menerapkan semua sifat dasar logaritma dalam praktik. Kita akan melihat contoh persamaannya nanti; pertama-tama mari kita lihat masing-masing properti secara lebih rinci.
- Identitas utama terlihat seperti ini: a logaB =B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
- Logaritma produk dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam hal ini prasyarat adalah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti rumus logaritma ini, beserta contoh dan solusinya. Misalkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2, maka a f1 = s 1, a f2 = s 2. Kita peroleh bahwa s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat-sifat dari derajat ), dan kemudian menurut definisi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang perlu dibuktikan.
- Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorema dalam bentuk rumus mengambil alih tampilan selanjutnya: log a q b n = n/q log a b.
Rumus ini disebut “properti derajat logaritma”. Ini menyerupai sifat-sifat derajat biasa, dan ini tidak mengherankan, karena semua matematika didasarkan pada postulat alam. Mari kita lihat buktinya.
Misalkan log a b = t, ternyata at =b. Jika kita menaikkan kedua bagian ke pangkat m: a tn = b n ;
tetapi karena a tn = (a q) nt/q = b n, maka log a q b n = (n*t)/t, maka log a q b n = n/q log a b. Teorema tersebut telah terbukti.
Contoh masalah dan kesenjangan
Jenis soal logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku soal, dan juga merupakan bagian wajib dalam ujian matematika. Untuk masuk ke universitas atau lulus ujian masuk dalam matematika Anda perlu mengetahui cara menyelesaikan masalah seperti itu dengan benar.
Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, namun aturan tertentu dapat diterapkan pada setiap pertidaksamaan matematika atau persamaan logaritma. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi tersebut dapat disederhanakan atau digiring penampilan umum. Sederhanakan yang panjang ekspresi logaritmik mungkin jika Anda menggunakan propertinya dengan benar. Mari kita mengenal mereka dengan cepat.
Saat menyelesaikan persamaan logaritma, kita harus menentukan jenis logaritma yang kita miliki: contoh ekspresi mungkin berisi logaritma natural atau desimal.
Berikut contoh ln100, ln1026. Solusi mereka bermuara pada fakta bahwa mereka perlu menentukan pangkat yang mana basis 10 masing-masing akan sama dengan 100 dan 1026. Untuk solusi logaritma natural perlu melamar identitas logaritma atau propertinya. Mari kita lihat contoh penyelesaian berbagai jenis masalah logaritma.
Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Beserta Contoh dan Solusinya
Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema dasar tentang logaritma.
- Properti logaritma suatu produk dapat digunakan dalam tugas-tugas di mana perlu untuk menguraikan nilai besar dari bilangan b menjadi faktor-faktor yang lebih sederhana. Misalnya log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawabannya adalah 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - seperti yang Anda lihat, dengan menggunakan properti keempat dari pangkat logaritma, kami berhasil menyelesaikan ekspresi yang tampaknya rumit dan tidak dapat dipecahkan. Anda hanya perlu memfaktorkan basisnya lalu mengeluarkan nilai eksponennya dari tanda logaritma.
Tugas dari Ujian Negara Bersatu
Logaritma sering ditemukan di tes masuk, terutama banyak sekali soal logaritma pada UN Unified State ( Ujian negara untuk semua lulusan sekolah). Biasanya tugas-tugas ini hadir tidak hanya di bagian A (yang paling mudah bagian tes ujian), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling rumit dan banyak). Ujian ini membutuhkan pengetahuan yang akurat dan sempurna tentang topik “Logaritma natural”.
Contoh dan solusi masalah diambil dari pejabat Opsi Ujian Negara Bersatu. Mari kita lihat bagaimana tugas-tugas tersebut diselesaikan.
Diketahui log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
mari kita tulis ulang ekspresinya, sederhanakan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, berdasarkan definisi logaritma kita mendapatkan bahwa 2x-1 = 2 4, oleh karena itu 2x = 17; x = 8,5.
- Yang terbaik adalah mereduksi semua logaritma ke basis yang sama agar penyelesaiannya tidak rumit dan membingungkan.
- Semua ekspresi di bawah tanda logaritma dinyatakan positif, oleh karena itu, jika eksponen dari ekspresi di bawah tanda logaritma dan basisnya diambil sebagai pengali, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.
