Bentuk-bentuk geometris ini mengelilingi kita di mana-mana. Poligon cembung bisa alami, seperti sarang lebah, atau buatan (buatan manusia). Angka-angka ini digunakan dalam produksi berbagai jenis pelapis, dalam lukisan, arsitektur, dekorasi, dll. Poligon cembung mempunyai sifat semua titiknya terletak pada salah satu sisi garis yang melalui sepasang simpul yang berdekatan. sosok geometris. Ada definisi lain. Poligon cembung adalah poligon yang terletak pada setengah bidang relatif terhadap garis lurus yang salah satu sisinya.
Dalam mata pelajaran geometri dasar, hanya poligon sederhana yang selalu dipertimbangkan. Untuk memahami semua sifat-sifat tersebut, perlu dipahami sifatnya. Pertama, Anda harus memahami bahwa setiap garis yang ujung-ujungnya berhimpitan disebut tertutup. Apalagi sosok yang dibentuknya bisa memiliki konfigurasi yang beragam. Poligon adalah garis putus-putus tertutup sederhana yang tautan tetangga tidak terletak pada satu garis lurus yang sama. Tautan dan simpulnya masing-masing adalah sisi dan simpul dari bangun geometris ini. Polyline sederhana tidak boleh memiliki perpotongan sendiri.
Titik-titik sudut suatu poligon disebut bertetangga jika simpul-simpul tersebut mewakili ujung-ujung salah satu sisinya. Sosok geometris yang memiliki nomor ke-n puncak, dan karena itu kuantitas ke-n sisinya disebut n-gon. Garis putus-putus itu sendiri disebut dengan batas atau kontur bangun datar tersebut. Bidang poligonal atau poligon datar adalah bagian berhingga dari setiap bidang yang dibatasi oleh bidang tersebut. Sisi-sisi yang berdekatan pada bangun geometri ini merupakan ruas-ruas garis putus-putus yang berasal dari satu titik sudut. Mereka tidak akan bertetangga jika berasal dari simpul poligon yang berbeda.
Definisi lain dari poligon cembung
Dalam geometri dasar, terdapat beberapa definisi lagi yang setara maknanya, yang menunjukkan poligon mana yang disebut cembung. Apalagi semua formulasi ini masuk pada tingkat yang sama benar. Sebuah poligon dianggap cembung jika:
Setiap segmen yang menghubungkan dua titik di dalamnya terletak seluruhnya di dalamnya;
Semua diagonalnya terletak di dalamnya;
Sudut dalam apa pun tidak melebihi 180°.
Poligon selalu membagi bidang menjadi 2 bagian. Salah satunya terbatas (dapat dilingkari dalam lingkaran), dan yang lainnya tidak terbatas. Yang pertama disebut daerah dalam, dan yang kedua disebut daerah luar bangun geometri tersebut. Poligon ini adalah perpotongan (dengan kata lain, komponen persekutuan) dari beberapa setengah bidang. Selain itu, setiap segmen yang berakhir pada titik-titik yang termasuk dalam poligon sepenuhnya menjadi miliknya.
Varietas poligon cembung
Pengertian poligon cembung tidak menunjukkan adanya banyak jenis. Apalagi masing-masing punya kriteria tertentu. Jadi, poligon cembung yang memiliki sudut dalam sama dengan 180° disebut cembung lemah. Sosok geometris cembung yang memiliki tiga simpul disebut segitiga, empat - segi empat, lima - segi lima, dll. Masing-masing n-gon cembung memenuhi persyaratan terpenting berikut: n harus sama dengan atau lebih besar dari 3. Masing-masing segitiganya cembung. Sosok geometris dari jenis ini, yang semua titik sudutnya terletak pada lingkaran yang sama disebut tertulis dalam lingkaran. Poligon cembung disebut berbatas jika semua sisinya yang berada di dekat lingkaran menyentuhnya. Dua poligon dikatakan kongruen hanya jika keduanya dapat disatukan melalui superposisi. Poligon bidang adalah bidang poligonal (bagian dari bidang) yang dibatasi oleh bangun geometri tersebut.
Poligon cembung beraturan
Poligon beraturan adalah bangun datar dengan sudut yang sama dan para pihak. Di dalamnya terdapat titik 0 yang terletak pada jarak yang sama dari setiap simpulnya. Ini disebut pusat dari bangun geometris ini. Ruas-ruas yang menghubungkan pusat dengan titik-titik sudut suatu bangun geometri disebut apotema, dan ruas-ruas yang menghubungkan titik 0 dengan sisi-sisinya disebut jari-jari.
Segi empat beraturan adalah persegi. Segitiga beraturan disebut sama sisi. Untuk gambar seperti itu, ada aturan berikut: setiap sudut poligon cembung sama dengan 180° * (n-2)/ n,
dimana n adalah jumlah simpul pada bangun geometri cembung tersebut.
Area mana pun poligon beraturan ditentukan dengan rumus:
dimana p sama dengan setengah jumlah semua sisi poligon tertentu, dan h sama dengan panjang apotema.
Sifat-sifat poligon cembung
Poligon cembung memiliki properti tertentu. Jadi, suatu segmen yang menghubungkan 2 titik pada bangun geometri tersebut harus terletak di dalamnya. Bukti:
Mari kita asumsikan bahwa P adalah poligon cembung tertentu. Ambil 2 poin sewenang-wenang, misalnya A, B milik R. Po definisi yang ada dari suatu poligon cembung, titik-titik tersebut terletak pada salah satu sisi garis yang memuat salah satu sisi P. Oleh karena itu, AB juga mempunyai sifat ini dan terdapat dalam P. Sebuah poligon cembung selalu dapat dibagi menjadi beberapa segitiga dengan semua diagonalnya diambil dari salah satu simpulnya.
Sudut bentuk geometris cembung
Sudut-sudut poligon cembung adalah sudut-sudut yang dibentuk oleh sisi-sisinya. Sudut dalam terletak di daerah dalam suatu bangun geometri tertentu. Sudut yang dibentuk oleh sisi-sisinya yang bertemu pada satu titik sudut disebut sudut poligon cembung. dengan sudut dalam suatu bangun geometri tertentu disebut sudut luar. Setiap sudut poligon cembung yang terletak di dalamnya sama dengan:
dimana x adalah besar sudut luar. Rumus sederhana ini berlaku untuk semua bentuk geometris jenis ini.
Secara umum, untuk sudut luar ada aturan berikut: setiap sudut poligon cembung sama dengan perbedaannya antara 180° dan sudut dalam. Ini dapat memiliki nilai mulai dari -180° hingga 180°. Jadi, jika sudut dalam 120°, sudut luarnya menjadi 60°.
Jumlah sudut poligon cembung
Jumlah sudut dalam poligon cembung ditentukan dengan rumus:
dimana n adalah jumlah simpul dari n-gon.
Jumlah sudut poligon cembung dihitung dengan cukup sederhana. Perhatikan bangun geometri apa saja. Untuk menentukan jumlah sudut dalam poligon cembung, Anda perlu menghubungkan salah satu simpulnya ke simpul lainnya. Sebagai hasil dari tindakan ini, diperoleh (n-2) segitiga. Diketahui bahwa jumlah sudut suatu segitiga selalu sama dengan 180°. Karena jumlahnya dalam poligon apa pun adalah (n-2), jumlah sudut dalam dari bangun tersebut sama dengan 180° x (n-2).
Jumlah sudut poligon cembung, yaitu dua sudut dalam dan sudut luar yang berdekatan, untuk suatu bangun geometri cembung akan selalu sama dengan 180°. Berdasarkan hal ini, kita dapat menentukan jumlah semua sudutnya:
Jumlah sudut dalam adalah 180° * (n-2). Berdasarkan hal ini, jumlah semua sudut luar suatu bangun ditentukan dengan rumus:
180° * n-180°-(n-2)= 360°.
Jumlah sudut luar poligon cembung akan selalu 360° (berapa pun jumlah sisinya).
Sudut luar poligon cembung umumnya dinyatakan dengan selisih antara 180° dan nilai sudut dalam.
Sifat-sifat lain dari poligon cembung
Di samping itu sifat dasar mengingat bentuk geometris, mereka juga memiliki bentuk lain yang muncul saat memanipulasinya. Jadi, salah satu poligon dapat dibagi menjadi beberapa n-gon cembung. Untuk melakukan ini, Anda perlu melanjutkan setiap sisinya dan memotong bentuk geometris ini di sepanjang garis lurus ini. Dimungkinkan juga untuk membagi poligon apa pun menjadi beberapa bagian cembung sedemikian rupa sehingga simpul dari setiap bagian bertepatan dengan semua simpulnya. Dari bangun geometris seperti itu, Anda dapat dengan mudah membuat segitiga dengan menggambar semua diagonal dari satu titik sudut. Jadi, poligon apa pun pada akhirnya dapat dibagi menjadi sejumlah segitiga tertentu, yang ternyata sangat berguna dalam penyelesaiannya berbagai tugas terkait dengan figur geometris tersebut.
Keliling poligon cembung
Segmen garis putus-putus, yang disebut sisi-sisi poligon, paling sering ditandai dalam surat-surat berikut: ab, bc, cd, de, ea. Ini adalah sisi-sisi bangun geometri dengan simpul a, b, c, d, e. Jumlah panjang semua sisi poligon cembung ini disebut kelilingnya.
Lingkaran poligon
Poligon cembung dapat ditulisi atau dibatasi. Lingkaran yang menyentuh semua sisi bangun geometri ini disebut tertulis di dalamnya. Poligon seperti itu disebut dibatasi. Pusat lingkaran yang terdapat dalam poligon adalah titik potong garis bagi semua sudut dalam suatu bangun geometri tertentu. Luas poligon tersebut sama dengan:
di mana r adalah jari-jari lingkaran bertulisan, dan p adalah setengah keliling poligon tertentu.
Lingkaran yang memuat titik-titik sudut suatu poligon disebut dibatasi di sekelilingnya. Dalam hal ini, bangun geometri cembung ini disebut tertulis. Pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar poligon tersebut adalah titik potong dari apa yang disebut garis bagi tegak lurus semua sisinya.
Diagonal bentuk geometris cembung
Diagonal poligon cembung adalah segmen yang menghubungkan simpul-simpul yang tidak berdekatan. Masing-masing terletak di dalam sosok geometris ini. Banyaknya diagonal n-gon ditentukan dengan rumus:
N = n (n - 3)/ 2.
Jumlah diagonal poligon cembung berperan peran penting dalam geometri dasar. Banyaknya segitiga (K) yang dapat dibagi setiap poligon cembung dihitung dengan menggunakan rumus berikut:
Banyaknya diagonal poligon cembung selalu bergantung pada jumlah simpulnya.
Mempartisi poligon cembung
Dalam beberapa kasus, untuk menyelesaikannya masalah geometri poligon cembung perlu dibagi menjadi beberapa segitiga dengan diagonal-diagonalnya yang saling lepas. Masalah ini dapat diselesaikan dengan menurunkan rumus tertentu.
Definisi masalah: mari kita koreksi suatu partisi tertentu dari n-gon cembung menjadi beberapa segitiga dengan diagonal-diagonalnya hanya berpotongan pada titik-titik sudut bangun geometri tersebut.
Penyelesaian: Misalkan P1, P2, P3..., Pn adalah simpul dari n-gon ini. Angka Xn adalah jumlah partisinya. Mari kita perhatikan dengan cermat diagonal yang dihasilkan dari bangun geometri Pi Pn. Di salah satu partisi beraturan, P1 Pn termasuk dalam segitiga tertentu P1 Pi Pn, yang memiliki 1 Misalkan i = 2 adalah satu kelompok partisi beraturan, yang selalu memuat diagonal P2 Pn. Jumlah partisi yang tercakup di dalamnya sama dengan jumlah partisi (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn. Dengan kata lain sama dengan Xn-1. Jika i = 3, maka kelompok partisi lainnya ini akan selalu memuat diagonal P3 P1 dan P3 Pn. Dalam hal ini, jumlah partisi reguler yang terdapat dalam grup ini akan bertepatan dengan jumlah partisi dari (n-2)-gon P3 P4... Pn. Dengan kata lain akan sama dengan Xn-2. Misalkan i = 4, maka di antara segitiga-segitiga tersebut pasti ada sekat yang benar terdapat segitiga P1 P4 Pn, yang berbatasan dengan segi empat P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5... Pn. Banyaknya partisi beraturan pada segiempat tersebut adalah X4, dan banyak partisi suatu (n-3)-gon adalah Xn-3. Berdasarkan semua hal di atas, kita dapat mengatakan bahwa jumlah total partisi reguler yang terdapat dalam grup ini sama dengan Xn-3 X4. Grup lain dengan i = 4, 5, 6, 7... akan berisi Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... partisi reguler. Misalkan i = n-2, maka banyaknya partisi yang benar pada grup ini akan sama dengan banyaknya partisi pada grup yang i=2 (dengan kata lain sama dengan Xn-1). Karena X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2..., maka banyaknya seluruh partisi poligon cembung adalah: Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1. X5 = X4 + X3 + X4 = 5 X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14 X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42 X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132 Saat memeriksa kasus-kasus tertentu, kita dapat berasumsi bahwa jumlah diagonal n-gon cembung sama dengan hasil kali semua partisi gambar ini dengan (n-3). Bukti asumsi ini: bayangkan P1n = Xn * (n-3), maka n-gon apa pun dapat dibagi menjadi (n-2)-segitiga. Selain itu, segi empat (n-3) dapat dibentuk darinya. Selain itu, setiap segi empat akan memiliki diagonal. Karena dua diagonal dapat digambar pada bangun geometri cembung ini, ini berarti bahwa diagonal tambahan (n-3) dapat digambar pada setiap segi empat (n-3). Berdasarkan hal ini, kita dapat menyimpulkan bahwa dalam setiap partisi beraturan dimungkinkan untuk menggambar (n-3)-diagonal yang memenuhi kondisi masalah ini. Seringkali, ketika memecahkan berbagai masalah geometri dasar, perlu untuk menentukan luas poligon cembung. Misalkan (Xi.Yi), i = 1,2,3... n adalah barisan koordinat semua simpul tetangga suatu poligon yang tidak mempunyai perpotongan sendiri. Dalam hal ini, luasnya dihitung menggunakan rumus berikut: S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)), dimana (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1). Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan. Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu. Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami. Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut. Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan: Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda: Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga. Pengecualian: Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin. Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat. Pada kelas 8, pada pelajaran geometri di sekolah, siswa pertama kali diperkenalkan dengan konsep poligon cembung. Segera mereka akan mengetahui bahwa angka ini memiliki sifat yang sangat menarik. Betapapun rumitnya, jumlah semua sudut dalam dan luar poligon cembung memiliki nilai yang ditentukan secara ketat. Pada artikel ini, seorang tutor matematika dan fisika akan membahas tentang berapa jumlah sudut poligon cembung. Bagaimana cara membuktikan rumus tersebut? Sebelum melanjutkan ke pembuktian pernyataan ini, mari kita ingat poligon mana yang disebut cembung. Poligon cembung adalah poligon yang seluruhnya terletak pada salah satu sisi garis yang memuat salah satu sisinya. Misalnya, yang ditunjukkan pada gambar ini: Jika poligon tidak memenuhi syarat yang ditentukan, maka disebut non-cembung. Misalnya seperti ini: Jumlah sudut dalam poligon cembung sama dengan , dimana adalah jumlah sisi poligon. Pembuktian fakta ini didasarkan pada teorema jumlah sudut dalam segitiga yang diketahui semua anak sekolah. Saya yakin teorema ini juga familiar bagi Anda. Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah . Idenya adalah untuk membagi poligon cembung menjadi beberapa segitiga. Hal ini dapat dilakukan dengan berbagai cara. Tergantung pada metode mana yang kita pilih, buktinya akan sedikit berbeda. 1. Bagilah poligon cembung menjadi segitiga-segitiga menggunakan semua kemungkinan diagonal yang ditarik dari suatu titik sudut. Sangat mudah untuk memahami bahwa n-gon kita akan dibagi menjadi segitiga: Selain itu, jumlah semua sudut dari semua segitiga yang dihasilkan sama dengan jumlah sudut n-gon kita. Lagi pula, setiap sudut pada segitiga yang dihasilkan adalah sudut parsial pada poligon cembung kita. Artinya, jumlah yang dibutuhkan sama dengan . 2. Anda juga dapat memilih sebuah titik di dalam poligon cembung dan menghubungkannya ke semua simpul. Kemudian n-gon kita akan dibagi menjadi segitiga: Selain itu, jumlah sudut poligon kita dalam hal ini akan sama dengan jumlah semua sudut semua segitiga tersebut dikurangi sudut pusat, yaitu sama dengan . Artinya, jumlah yang dibutuhkan lagi-lagi sama dengan . Sekarang mari kita ajukan pertanyaan: “Berapa jumlah sudut luar poligon cembung?” Pertanyaan ini dapat dijawab sebagai berikut. Setiap sudut luar berbatasan dengan sudut dalam yang sesuai. Oleh karena itu sama dengan: Maka jumlah semua sudut luar sama dengan . Artinya, itu setara. Artinya, hasil yang sangat lucu didapat. Jika kita memplot semua sudut luar suatu n-gon cembung secara berurutan satu demi satu, maka hasilnya akan sama persis dengan seluruh bidang. Fakta menarik tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut. Mari kita kurangi semua sisi poligon cembung secara proporsional hingga menyatu menjadi satu titik. Setelah ini terjadi, semua sudut luar akan dikesampingkan satu sama lain dan dengan demikian memenuhi seluruh bidang. Fakta yang menarik bukan? Dan ada banyak fakta seperti itu dalam geometri. Jadi belajarlah geometri, anak-anak sekolah yang terkasih! Materi tentang jumlah sudut poligon cembung disiapkan oleh Sergey Valerievich Teks karya diposting tanpa gambar dan rumus. Perkenalan Topik ini relevan, karena setiap hari orang memecahkan berbagai masalah yang menggunakan metode penyelesaian yang berbeda, tetapi ada tugas yang tidak dapat dilakukan tanpa metode. induksi matematika, dan dalam hal ini pengetahuan di bidang ini akan sangat berguna. Saya memilih topik ini untuk penelitian karena sedikit waktu yang dicurahkan untuk metode induksi matematika dalam kurikulum sekolah; siswa mempelajari informasi dangkal yang akan membantunya hanya mendapatkan gambaran umum tentang metode ini, tetapi untuk mempelajari teori ini mendalam, pengembangan diri akan dibutuhkan. Akan sangat berguna untuk mempelajari lebih lanjut tentang topik ini, karena dapat memperluas wawasan seseorang dan membantu dalam memecahkan masalah yang kompleks. Tujuan pekerjaan:
Mengenal metode induksi matematika, mensistematisasikan pengetahuan tentang topik ini dan menerapkannya dalam memecahkan masalah matematika dan membuktikan teorema, membenarkan dan menunjukkan dengan jelas signifikansi praktis metode induksi matematika sebagai faktor penting untuk memecahkan masalah. Tujuan pekerjaan:
Analisis literatur dan rangkum pengetahuan tentang topik ini. Memahami prinsip metode induksi matematika. Jelajahi penerapan metode induksi matematika untuk pemecahan masalah. Merumuskan kesimpulan dan kesimpulan atas pekerjaan yang dilakukan. Bagian utama dari penelitian Sejarah:
Baru menjelang akhir abad ke-19 muncul standar persyaratan ketelitian logis, yang hingga saat ini tetap dominan dalam kerja praktek para ahli matematika dalam pengembangan teori matematika individu. Induksi adalah suatu prosedur kognitif yang melaluinya suatu pernyataan yang menggeneralisasikannya diturunkan dari perbandingan fakta-fakta yang ada. Dalam matematika, peran induksi sebagian besar terletak pada mendasari aksiomatik yang dipilih. Setelah praktik jangka panjang menunjukkan bahwa jalur lurus selalu lebih pendek daripada jalur melengkung atau putus-putus, maka wajar untuk merumuskan aksioma: untuk tiga titik A, B, dan C, terjadi pertidaksamaan. Kesadaran akan metode induksi matematika sebagai metode penting yang terpisah kembali ke Blaise Pascal dan Gersonides, meskipun beberapa kasus penerapannya ditemukan di zaman kuno di Proclus dan Euclid. Nama modern untuk metode ini diperkenalkan oleh De Morgan pada tahun 1838. Metode induksi matematika dapat diibaratkan dengan kemajuan: kita memulai dari yang terendah, dan sebagai hasil dari pemikiran logis kita mencapai yang tertinggi. Manusia selalu mengupayakan kemajuan, kemampuan mengembangkan pemikirannya secara logis, artinya alam sendiri yang menakdirkannya untuk berpikir induktif. Induksi dan deduksi
Diketahui bahwa ada pernyataan khusus dan umum, dan kedua istilah ini didasarkan pada peralihan dari satu istilah ke istilah lainnya. Deduksi (dari bahasa Latin deductio - deduction) - transisi dalam proses kognisi dari umum pengetahuan untuk pribadi Dan lajang. Dalam deduksi, pengetahuan umum berfungsi sebagai titik awal penalaran, dan pengetahuan umum ini diasumsikan “sudah jadi”, sudah ada. Kekhasan deduksi adalah kebenaran premis-premisnya menjamin kebenaran kesimpulannya. Oleh karena itu, deduksi memiliki kekuatan persuasif yang sangat besar dan digunakan secara luas tidak hanya untuk membuktikan teorema dalam matematika, tetapi juga dimanapun diperlukan pengetahuan yang dapat diandalkan. Induksi (dari bahasa Latin inductio - bimbingan) adalah transisi dalam proses kognisi dari pribadi pengetahuan untuk umum Dengan kata lain, ini adalah metode penelitian dan kognisi yang terkait dengan generalisasi hasil observasi dan eksperimen. Ciri induksi adalah sifat probabilistiknya, yaitu. Jika premis-premis awal benar, maka kesimpulan induksi hanya mungkin benar, dan pada hasil akhir dapat berubah menjadi benar atau salah. Induksi lengkap dan tidak lengkap
Inferensi induktif adalah suatu bentuk berpikir abstrak di mana pemikiran berkembang dari pengetahuan pada tingkat yang lebih rendah generalitas ke pengetahuan yang tingkat keumumannya lebih besar, dan kesimpulan yang muncul dari premis-premis tersebut sebagian besar bersifat probabilistik. Selama penelitian saya menemukan bahwa induksi dibagi menjadi dua jenis: lengkap dan tidak lengkap. Induksi lengkap adalah suatu inferensi di mana kesimpulan umum tentang suatu kelas objek dibuat berdasarkan kajian terhadap semua objek kelas tersebut. Misalnya, biarlah perlu untuk menetapkan bahwa segala sesuatunya alami bilangan genap n dalam 6≤ n≤ 18 dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari dua bilangan prima. Untuk melakukan ini, ambil semua angka tersebut dan tuliskan ekspansi yang sesuai: 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; Persamaan ini menunjukkan bahwa setiap bilangan yang kita minati memang direpresentasikan sebagai jumlah dari dua suku sederhana. Perhatikan contoh berikut: barisan yn= n 2 +n+17; Mari kita tuliskan empat suku pertama: y 1 =19; kamu 2 =23; kamu 3 =29; kamu 4 =37; Maka kita dapat berasumsi bahwa seluruh barisan tersebut terdiri dari bilangan prima. Namun tidak demikian, misalkan y 16 = 16 2 +16+17=16(16+1)+17=17*17. Ini adalah bilangan komposit, yang berarti asumsi kita salah, sehingga induksi yang tidak lengkap tidak menghasilkan kesimpulan yang sepenuhnya dapat diandalkan, tetapi memungkinkan kita untuk merumuskan hipotesis, yang selanjutnya memerlukan pembuktian atau sanggahan matematis. Metode induksi matematika
Induksi lengkap hanya memiliki penerapan terbatas dalam matematika. Banyak pernyataan matematika menarik yang mencakup kasus-kasus khusus yang jumlahnya tak terhingga, dan kita tidak dapat melakukan verifikasi untuk semua situasi ini. Namun bagaimana kita dapat memverifikasi hal ini? nomor terbatas kasus? Metode ini dikemukakan oleh B. Pascal dan J. Bernoulli, ini adalah metode induksi matematika yang didasarkan pada prinsip induksi matematika. Jika kalimat A(n), bergantung pada bilangan asli n, benar untuk n=1 dan fakta bahwa kalimat tersebut benar untuk n=k (dimana k adalah sembarang bilangan asli), maka asumsi A(n) benar untuk sembarang bilangan asli n. Dalam beberapa kasus, validitas suatu pernyataan tertentu mungkin perlu dibuktikan bukan untuk semua bilangan asli, tetapi hanya untuk n>p, di mana p adalah bilangan asli tetap. Dalam hal ini prinsip induksi matematika dirumuskan sebagai berikut: Jika proposisi A(n) benar untuk n=p dan jika A(k)
A(k+1) untuk sembarang k>p, maka proposisi A(n) benar untuk sembarang n>p. Algoritma (terdiri dari empat tahap):
1.basis(kami menunjukkan bahwa pernyataan yang dibuktikan benar untuk beberapa kasus khusus yang paling sederhana ( N
= 1)); 2.asumsi(kami berasumsi bahwa pernyataan tersebut telah terbukti untuk yang pertama Ke
kasus); 3
.melangkah(dengan asumsi ini kami membuktikan pernyataan untuk kasus tersebut N
=
Ke
+ 1); 4. keluaran (pada pernyataan itu benar untuk semua kasus, yaitu untuk semua P)
. Perlu diketahui bahwa metode induksi matematika tidak dapat menyelesaikan semua permasalahan, melainkan hanya permasalahan yang diparameterisasi oleh variabel tertentu. Variabel ini disebut variabel induksi. Penerapan metode induksi matematika
Mari kita terapkan seluruh teori ini dalam praktik dan cari tahu masalah apa yang digunakan metode ini. Masalah untuk membuktikan kesenjangan.
Contoh 1. Buktikan pertidaksamaan Bernoulli(1+x)n≥1+n x, x>-1, n € N. 1) Untuk n=1 pertidaksamaan tersebut benar, karena 1+x≥1+x 2) Misalkan pertidaksamaan tersebut benar untuk suatu n=k, yaitu. (1+x) k ≥1+kx. Mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan angka positif 1+x, kita dapatkan (1+x) k+1 ≥(1+kx)(1+ x) =1+(k+1) x + kx 2 Mengingat kx 2 ≥0, kita sampai pada pertidaksamaan (1+x) k+1 ≥1+(k+1) x. Jadi, dari asumsi pertidaksamaan Bernoulli benar untuk n=k, maka pertidaksamaan Bernoulli juga benar untuk n=k+1. Berdasarkan metode induksi matematika, dapat dikatakan bahwa pertidaksamaan Bernoulli berlaku untuk sembarang n € N. Contoh 2. Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan asli n>1, . Mari kita buktikan dengan menggunakan metode induksi matematika. Mari kita nyatakan ruas kiri pertidaksamaan dengan. 1), oleh karena itu, untuk n=2 pertidaksamaan tersebut valid. 2) Biarkan untuk beberapa k. Mari kita buktikan itu dan. Kami punya, . Membandingkan dan, kita punya, mis. . Untuk sembarang bilangan bulat positif k, ruas kanan persamaan terakhir adalah positif. Itu sebabnya. Namun itu berarti dan. Kita telah membuktikan validitas pertidaksamaan untuk n=k+1, oleh karena itu, berdasarkan metode induksi matematika, pertidaksamaan tersebut berlaku untuk sembarang bilangan asli n>1. Masalah untuk membuktikan identitas.
Contoh 1. Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan asli n persamaannya benar: 1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4. Misalkan n=1, maka X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1. Kita melihat bahwa untuk n=1 pernyataan tersebut benar. 2) Misalkan persamaan tersebut benar untuk n=kX k =k 2 (k+1) 2 /4. 3) Mari kita buktikan kebenaran pernyataan ini untuk n=k+1, yaitu X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k+1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4. Dari pembuktian di atas jelas bahwa pernyataan tersebut benar untuk n=k+1, oleh karena itu persamaan juga berlaku untuk sembarang bilangan asli n. Contoh 2. Buktikan bahwa untuk sembarang n persamaan tersebut benar 1) Mari kita periksa apakah identitas ini benar untuk n = 1.; - Kanan. 2) Misalkan identitasnya benar untuk n = k, yaitu. 3) Mari kita buktikan bahwa identitas ini juga berlaku untuk n = k + 1, yaitu; Karena Jika persamaan tersebut benar untuk n=k dan n=k+1, maka persamaan tersebut juga berlaku untuk sembarang bilangan asli n. Masalah penjumlahan.
Contoh 1. Buktikan bahwa 1+3+5+…+(2n-1)=n 2. Solusi: 1) Kita punya n=1=1 2 . Oleh karena itu, pernyataan tersebut benar untuk n=1, yaitu. J(1) benar. 2) Mari kita buktikan bahwa A(k) A(k+1). Misalkan k adalah sembarang bilangan asli dan pernyataan tersebut benar untuk n=k, yaitu 1+3+5+…+(2k-1)=k 2 . Mari kita buktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk bilangan asli berikutnya n=k+1, yaitu. Apa 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 . Faktanya, 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 . Jadi, A(k) A(k+1). Berdasarkan prinsip induksi matematika, kita menyimpulkan bahwa asumsi A(n) benar untuk sembarang n N. Contoh 2. Buktikan rumusnya, n adalah bilangan asli. Penyelesaian: Jika n=1, kedua ruas persamaan menjadi satu sehingga syarat pertama prinsip induksi matematika terpenuhi. Anggaplah rumusnya benar untuk n=k, yaitu. . Mari tambahkan kedua sisi persamaan ini dan transformasikan sisi kanan. Lalu kita dapatkan Jadi, dari fakta bahwa rumus tersebut benar untuk n=k, maka rumus tersebut juga benar untuk n=k+1, maka pernyataan ini juga benar untuk sembarang bilangan asli n. Masalah keterbagian.
Contoh 1. Buktikan bahwa (11 n+2 +12 2n+1) habis dibagi 133 tanpa sisa. Larutan:
1) Misalkan n=1, maka 11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23×133. (23×133) habis dibagi 133 tanpa sisa, artinya untuk n=1 pernyataan tersebut benar; 2) Misalkan (11 k+2 +12 2k+1) habis dibagi 133 tanpa sisa. 3) Mari kita buktikan dalam kasus ini (11 k+3 +12 2k+3) habis dibagi 133 tanpa sisa. Memang, 11 k+3 +12 2l+3 =11×11 k+2 + 12 2 ×12 2k+1 =11× 11 k+2 +(11+133)× 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133× 12 2k+1 . Jumlah yang dihasilkan dibagi 133 tanpa sisa, karena suku pertamanya habis dibagi 133 tanpa sisa dengan asumsi, dan suku kedua salah satu faktornya adalah 133. Jadi, A(k)→ A(k+1), maka berdasarkan metode induksi matematika, pernyataan tersebut benar untuk sembarang n natural. Contoh 2. Buktikan bahwa 3 3n-1 +2 4n-3 untuk bilangan asli sembarang n habis dibagi 11. Penyelesaian: 1) Misalkan n=1, maka X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 habis dibagi 11 tanpa sisa. Artinya untuk n=1 pernyataan tersebut benar. 2) Misalkan untuk n=k X k =3 3k-1 +2 4k-3 habis dibagi 11 tanpa sisa. 3) Mari kita buktikan pernyataan tersebut benar untuk n=k+1. X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 *3 3k-1 +2 4 *2 4k-3 = 27 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =(16+11)* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16* 3 3k-1 + 11* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11* 3 3k-1 . Suku pertama habis dibagi 11 tanpa sisa, karena 3 3k-1 +2 4k-3 habis dibagi 11, asumsi suku kedua habis dibagi 11, karena salah satu faktornya adalah bilangan 11. Artinya jumlah habis dibagi 11 tanpa sisa untuk sembarang bilangan asli n. Masalah dari kehidupan nyata.
Contoh 1. Buktikan bahwa jumlah Sn sudut dalam suatu poligon cembung adalah ( N- 2)π, dimana N— jumlah sisi poligon ini: Sn = ( N- 2)π (1). Pernyataan ini tidak masuk akal bagi semua orang yang alami N, tapi hanya untuk N >
3, karena jumlah sudut minimum dalam suatu segitiga adalah 3. 1) Kapan N= 3 pernyataan kita berbentuk: S 3 = π. Tetapi jumlah sudut dalam suatu segitiga memang π. Oleh karena itu, kapan N= 3 rumus (1) benar. 2) Misalkan rumus ini benar untuk n =k, itu S k
= (k- 2)π, dimana k >
3. Mari kita buktikan bahwa dalam hal ini rumusnya berlaku: S k+
1 = (k- 1)π. Misal A 1 A 2 ... A k
A k+
1—cembung sewenang-wenang ( k+ 1) -gon (Gbr. 338). Menghubungkan titik A 1 dan A k
, kita menjadi cembung k-gon SEBUAH 1 SEBUAH 2 ... SEBUAH k
— 1A k
. Jelasnya, jumlah sudut ( k+ 1) -gon SEBUAH 1 SEBUAH 2 ... SEBUAH k
A k+
1 sama dengan jumlah sudut k-gon SEBUAH 1 SEBUAH 2 ... SEBUAH k
ditambah jumlah sudut segitiga A 1 A k
A k+
1. Tapi jumlah sudutnya k-gon SEBUAH 1 SEBUAH 2 ... SEBUAH k
dengan asumsi sama dengan ( k- 2)π, dan jumlah sudut segitiga A 1 A k
A k+
1 sama dengan π. Itu sebabnya S k+
1 = S k
+ π = ( k- 2)π + π = ( k- 1)π. Jadi, kedua syarat prinsip induksi matematika terpenuhi, dan oleh karena itu rumus (1) berlaku untuk semua benda alam N >
3. Contoh 2. Ada sebuah tangga, semua anak tangganya sama. Diperlukan untuk menunjukkan jumlah minimum posisi yang akan menjamin kemampuan untuk "naik" ke langkah mana pun berdasarkan angka. Semua orang sepakat bahwa pasti ada syaratnya. Kita harus bisa menaiki anak tangga pertama. Selanjutnya mereka harus bisa menaiki anak tangga 1 ke anak tangga kedua. Lalu ke yang kedua - ke yang ketiga, dst. ke langkah ke-n. Tentu saja, secara total, pernyataan “n” menjamin bahwa kita akan mampu mencapai langkah ke-n. Sekarang mari kita lihat posisi 2, 3,...,n dan bandingkan satu sama lain. Sangat mudah untuk melihat bahwa semuanya memiliki struktur yang sama: jika kita telah mencapai langkah k, maka kita dapat naik ke langkah (k+1). Oleh karena itu, aksioma berikut menjadi wajar untuk validitas pernyataan yang bergantung pada “n”: jika kalimat A(n), di mana n adalah bilangan asli, berlaku untuk n=1 dan fakta bahwa kalimat tersebut berlaku untuk n=k (dimana k adalah sembarang bilangan asli), maka berlaku untuk n=k+1, maka asumsi A(n) berlaku untuk sembarang bilangan asli n. Aplikasi Permasalahan penggunaan metode induksi matematika saat masuk perguruan tinggi.
Perhatikan bahwa setelah masuk ke pendidikan tinggi lembaga pendidikan Ada juga masalah yang bisa diselesaikan dengan metode ini. Mari kita lihat menggunakan contoh spesifik. Contoh 1. Buktikan bahwa itu alami N kesetaraan adalah benar 1) Kapan n=1 kita mendapatkan persamaan yang benar Sin. 2) Setelah membuat asumsi induksi bahwa ketika n= k persamaannya benar, pertimbangkan jumlah di ruas kiri persamaan untuk n =k+1; 3) Dengan menggunakan rumus reduksi, kita ubah ekspresi: Kemudian, berdasarkan metode induksi matematika, persamaan tersebut berlaku untuk sembarang bilangan asli n. Contoh 2. Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan asli n nilai ekspresi 4n +15n-1 adalah kelipatan 9. 1) Dengan n=1: 2 2 +15-1=18 - kelipatan 9 (karena 18:9=2) 2) Biarkan kesetaraan dipertahankan n=k: 4k +15k-1 kelipatan 9. 3) Mari kita buktikan bahwa persamaan berlaku untuk bilangan berikutnya n=k+1 4 k+1 +15(k+1)-1=4 k+1 +15k+15-1=4,4 k +60k-4-45k+18=4(4 k +15k-1)-9(5k- 2) 4(4k +15k-1) - kelipatan 9; 9(5k-2) - kelipatan 9; Akibatnya, seluruh ekspresi 4(4 k +15k-1)-9(5k-2) adalah kelipatan 9, yang perlu dibuktikan. Contoh 3. Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan asli N syaratnya terpenuhi: 1∙2∙3+2∙3∙4+…+ p(p+1)(p+2)=. 1) Mari kita periksa itu rumus ini benar kapan n=1: Sisi kiri = 1∙2∙3=6.
Sisi kanan = .
6 = 6; benar kapan n=1. 2) Misalkan rumus ini benar untuk n =k: 1∙2∙3+2∙3∙4+…+k(k+1)(k+2)=. S k =.
3) Mari kita buktikan bahwa rumus ini benar untuk n =k+1: 1∙2∙3+2∙3∙4+…+(k+1)(k+2)(k+3)=. S k+1 =.
Bukti: Jadi, kondisi ini benar dalam dua kasus dan terbukti benar untuk n =k+1, oleh karena itu berlaku untuk sembarang bilangan asli P. Kesimpulan Ringkasnya, dalam proses penelitian saya mengetahui apa itu induksi, bisa lengkap atau tidak lengkap, mengenal metode induksi matematika berdasarkan prinsip induksi matematika, dan mempertimbangkan banyak masalah dengan menggunakan metode ini. Saya juga belajar banyak informasi baru, berbeda dengan yang termasuk dalam kurikulum sekolah. Saat mempelajari metode induksi matematika, saya menggunakan berbagai literatur, Sumber daya internet, dan juga berkonsultasi dengan guru. Kesimpulan:
Memiliki pengetahuan yang menggeneralisasi dan mensistematisasikan tentang induksi matematika, saya menjadi yakin akan perlunya pengetahuan tentang topik ini dalam kenyataan. Kualitas positif Metode induksi matematika banyak diterapkan dalam pemecahan masalah: di bidang aljabar, geometri dan matematika nyata. Pengetahuan ini juga meningkatkan minat terhadap matematika sebagai ilmu. Saya yakin bahwa keterampilan yang saya peroleh selama bekerja akan membantu saya di masa depan.
Referensi Sominsky I.S. Metode induksi matematika. Kuliah populer matematika, edisi 3-M.: Sains, 1974. L.I.Golovina, I.M.Yaglom. Induksi dalam geometri. - Fizmatgiz, 1961. - T. 21. - 100 hal. — (Kuliah populer tentang matematika). Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. Panduan matematika untuk pelamar ke universitas (Pertanyaan pilihan matematika dasar) - Edisi ke-5, direvisi, 1976 - 638 hal. A.Shen. Induksi matematika. - MCNMO, 2004. - 36 hal. M.L. Galitsky, A.M. Goldman, L.I. Zvavich Kumpulan soal aljabar: buku teks untuk kelas 8-9. dengan kedalaman belajar matematika edisi ke-7— M.: Prosveshchenie, 2001.—271 hal. Ma-ka-ry-chev Yu.N., Min-dyuk N.G Bab tambahan untuk buku teks sekolah al-geb-ry kelas 9. - M.: Pro-sve-shche-nie, 2002. Wikipedia adalah ensiklopedia gratis. Lyceum Kota Bryansk No.1 Pekerjaan penelitian dengan topik: Metode Induksi Matematika Selesai
M hampir tidak KE Konstantinus siswa 10 fisika dan matematika Lyceum Kota Bryansk No.1 Diperiksa
T Yukacheva TENTANG berbohong DAN vanna Pendahuluan_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 Bagian utama Induksi lengkap dan tidak lengkap_ _ _ _ _ _ _ _ _ _3-4 Prinsip induksi matematika_ _ _ _ _4-5 Metode induksi matematika_ _ _ _ _ _ 6 Solusi dengan Induksi Matematika Untuk menjumlahkan soal_ _ _ _ _ _ _ _ _ 7 Untuk masalah pembuktian pertidaksamaan_ _8 Untuk masalah pembagian _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _11 Untuk masalah pembuktian identitas _ _ _12 Untuk tugas lain _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 13 Kesimpulan_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 16 Daftar literatur bekas _ _ _ _17 Perkenalan
Kata induksi dalam bahasa Rusia berarti bimbingan, dan induktif sebut kesimpulan yang dibuat berdasarkan pengamatan, eksperimen, yaitu. diperoleh melalui inferensi dari yang khusus ke yang umum. Peran inferensi induktif dalam ilmu-ilmu eksperimental sangat besar. Mereka memberikan ketentuan-ketentuan yang kemudian ditarik kesimpulan lebih lanjut melalui deduksi. Dan meskipun mekanika teoritis didasarkan pada tiga hukum gerak Newton; hukum-hukum ini sendiri merupakan hasil pemikiran mendalam melalui data eksperimen, khususnya hukum gerak planet Kepler, yang diperolehnya dari pengolahan pengamatan bertahun-tahun oleh astronom Denmark Tycho Brahe. Observasi dan induksi ternyata berguna di kemudian hari untuk memperjelas asumsi yang dibuat. Setelah percobaan Michelson dalam mengukur kecepatan cahaya dalam medium bergerak, ternyata perlu untuk memperjelas hukum fisika dan menciptakan teori relativitas. Dalam matematika, peran induksi sebagian besar terletak pada mendasari aksiomatik yang dipilih. Setelah praktik jangka panjang menunjukkan bahwa jalur lurus selalu lebih pendek daripada jalur melengkung atau putus-putus, maka wajar untuk merumuskan aksioma: untuk tiga titik A, B, dan C, pertidaksamaan Konsep “mengikuti” yang menjadi dasar aritmatika juga muncul dari pengamatan pembentukan prajurit, kapal, dan himpunan terurut lainnya. Namun, kita tidak boleh berpikir bahwa hal ini menghilangkan peran induksi dalam matematika. Tentu saja, kita tidak boleh secara eksperimental memverifikasi teorema yang disimpulkan secara logis dari aksioma: jika derivasi tidak menghasilkan kesalahan logis, maka aksioma tersebut benar sejauh aksioma yang kita terima adalah benar. Namun banyak pernyataan yang dapat disimpulkan dari sistem aksioma ini. Dan pemilihan pernyataan-pernyataan yang perlu dibuktikan kembali disarankan dengan induksi. Inilah yang memungkinkan Anda untuk berpisah teorema yang berguna dari teorema yang tidak berguna, menunjukkan teorema mana yang mungkin benar, dan bahkan membantu menguraikan jalur pembuktian. Intisari Induksi Matematika Mari kita tunjukkan contoh penggunaan M metode M tanpa tema DAN induksi dan pada akhirnya kita akan membuat kesimpulan yang menggeneralisasi. 4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7. Kesembilan persamaan ini menunjukkan bahwa setiap bilangan yang kita minati memang direpresentasikan sebagai jumlah dari dua suku sederhana. Jadi, induksi lengkap terdiri dari pembuktian pernyataan umum secara terpisah dalam setiap kasus yang mungkin berjumlah terbatas. Kadang-kadang hasil keseluruhan adalah mungkin untuk memprediksi setelah mempertimbangkan tidak semua, tapi cukup jumlah besar kasus khusus (disebut induksi tidak lengkap). Namun, hasil yang diperoleh dengan induksi tidak lengkap hanya berupa hipotesis sampai dibuktikan dengan penalaran matematis yang tepat, yang mencakup semua kasus khusus. Dengan kata lain, induksi tidak lengkap dalam matematika tidak dianggap sebagai metode pembuktian yang sah, tetapi dianggap sebagai metode pembuktian yang sah metode yang ampuh penemuan kebenaran baru. Misalkan, Anda ingin mencari jumlah n n bilangan pertama berturut-turut angka ganjil. Mari kita pertimbangkan kasus-kasus khusus: 1+3+5+7+9=25=5 2 Setelah mempertimbangkan beberapa kasus khusus ini, kesimpulan umum berikut ini muncul: 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 itu. jumlah n bilangan ganjil pertama berturut-turut adalah n2 Tentu saja observasi yang dilakukan belum bisa menjadi bukti keabsahan perintah tersebut. rumus yang diberikan. Induksi lengkap hanya memiliki penerapan terbatas dalam matematika. Banyak pernyataan matematika menarik yang mencakup kasus-kasus khusus yang jumlahnya tak terhingga, dan pengujiannya jumlah yang tak terbatas kasus yang tidak dapat kami lakukan. Induksi yang tidak lengkap sering kali menimbulkan hasil yang salah. Dalam banyak kasus, jalan keluar dari kesulitan semacam ini adalah dengan menggunakan metode penalaran khusus, yang disebut metode induksi matematika. Ini adalah sebagai berikut. Misalkan Anda perlu membuktikan validitas suatu pernyataan untuk sembarang bilangan asli n (misalnya, Anda perlu membuktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama sama dengan n 2). Verifikasi langsung pernyataan ini untuk setiap nilai n tidak mungkin dilakukan, karena himpunan bilangan asli tidak terhingga. Untuk membuktikan pernyataan ini, periksa dulu validitasnya untuk n=1. Kemudian mereka membuktikannya untuk siapa pun nilai alami k dari validitas pernyataan yang dipertimbangkan untuk n=k maka valid juga untuk n=k+1. Maka pernyataan tersebut dianggap terbukti untuk semua n. Faktanya, pernyataan tersebut benar untuk n=1. Namun hal ini juga berlaku untuk bilangan berikutnya n=1+1=2. Validitas pernyataan untuk n=2 menyiratkan validitasnya untuk n=2+ 1=3. Ini menyiratkan validitas pernyataan untuk n=4, dst. Jelas bahwa, pada akhirnya, kita akan mencapai bilangan asli n. Artinya pernyataan tersebut benar untuk sembarang n. Meringkas apa yang telah dikatakan, kami merumuskan prinsip umum berikut. Prinsip induksi matematika. Jika usulan A(
N
), bergantung pada bilangan asli
N
, benar untuk
N
=1 dan dari fakta bahwa itu benar
N
=
k
(Di mana
k
-bilangan asli apa pun), maka bilangan berikutnya juga benar
N
=
k
+1, maka asumsi A(
N
) benar untuk sembarang bilangan asli
N
.
Dalam beberapa kasus, validitas suatu pernyataan tertentu mungkin perlu dibuktikan bukan untuk semua bilangan asli, tetapi hanya untuk n> p, di mana p adalah bilangan asli tetap. Dalam hal ini prinsip induksi matematika dirumuskan sebagai berikut. Pembuktian dengan metode induksi matematika dilakukan sebagai berikut. Pertama, pernyataan yang ingin dibuktikan diperiksa n=1, yaitu. kebenaran pernyataan A(1) ditetapkan. Bagian pembuktian ini disebut basis induksi. Kemudian sampai pada bagian pembuktian yang disebut langkah induksi. Pada bagian ini, mereka membuktikan validitas pernyataan untuk n=k+1 dengan asumsi validitas pernyataan untuk n=k (asumsi induksi), yaitu. buktikan bahwa A(k)ÞA(k+1). Penerapan metode induksi matematika dalam permasalahan penjumlahan
Penerapan metode induksi matematika dalam permasalahan penjumlahanJumlah partisi beraturan yang memotong satu diagonal di dalamnya
Luas poligon cembung
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Perlindungan informasi pribadi
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Jumlah sudut dalam poligon cembung
Jumlah sudut luar poligon cembung
Versi lengkap dari karya ini tersedia di tab "File Kerja" dalam format PDF
