Bahkan angka Fibonacci. Angka Fibonacci: mencari rahasia alam semesta. Angka Fibonacci di alam

Tujuan pelajaran:

Pembentukan kemampuan menganalisis materi yang dipelajari dan keterampilan menerapkannya untuk memecahkan masalah;
Tunjukkan pentingnya konsep yang dipelajari;
Perkembangan aktivitas kognitif dan kemandirian dalam memperoleh ilmu pengetahuan;
Menumbuhkan minat pada subjek dan rasa keindahan.

Tujuan pelajaran:

Mengembangkan keterampilan dalam membangun sudut yang sama dengan sudut tertentu dengan menggunakan penggaris skala, kompas, busur derajat, dan menggambar segitiga.
Uji keterampilan pemecahan masalah siswa.

Rencana belajar:

Pengulangan.
Membangun sudut yang sama dengan sudut tertentu.
Analisis.
Contoh konstruksi terlebih dahulu.
Contoh konstruksi dua.

Pengulangan.

Sudut.

Sudut datar- bangun geometri tak terbatas yang dibentuk oleh dua sinar (sisi suatu sudut) yang muncul dari satu titik (titik sudut).

Sudut disebut juga bangun datar yang dibentuk oleh semua titik pada bidang yang berada di antara sinar-sinar ini (Secara umum, dua sinar tersebut bersesuaian dengan dua sudut, karena keduanya membagi bidang menjadi dua bagian. Salah satu sudut ini secara konvensional disebut internal, dan sudut tersebut disebut internal. lainnya - eksternal.
Kadang-kadang, untuk singkatnya, sudut disebut ukuran sudut.

Ada simbol yang diterima secara umum untuk menunjukkan sudut: , diusulkan pada tahun 1634 Matematikawan Perancis Pierre Erigon.

Sudut adalah bangun datar (Gbr. 1), dibentuk oleh dua sinar OA dan OB (sisi-sisi sudut), yang memancar dari satu titik O (titik sudut).

Sudut dilambangkan dengan lambang dan tiga huruf yang menunjukkan ujung-ujung sinar dan titik sudut: AOB (dan huruf titik sudutnya adalah yang di tengah). Sudut diukur dengan besarnya putaran sinar OA mengelilingi titik sudut O hingga sinar OA berpindah ke posisi OB. Ada dua satuan yang banyak digunakan untuk mengukur sudut: radian dan derajat. Untuk pengukuran radian sudut, lihat di bawah pada paragraf “Panjang Busur”, serta dalam bab “Trigonometri”.

Sistem derajat untuk mengukur sudut.

Di sini satuan pengukurannya adalah derajat (sebutannya adalah °) - ini adalah rotasi balok sebanyak 1/360 putaran penuh. Jadi, satu putaran penuh balok adalah 360o. Satu derajat dibagi menjadi 60 menit (simbol ‘); satu menit – masing-masing selama 60 detik (sebutan “). Sudut 90° (Gbr. 2) disebut siku-siku; sudut yang kurang dari 90° (Gbr. 3) disebut lancip; sudut yang lebih besar dari 90° (Gbr. 4) disebut tumpul.

Garis lurus yang membentuk sudut siku-siku disebut saling tegak lurus. Jika garis AB dan MK tegak lurus, maka dilambangkan dengan: AB MK.

Membangun sudut yang sama dengan sudut tertentu.

Sebelum memulai konstruksi atau memecahkan masalah apa pun, apa pun subjeknya, Anda perlu menyelesaikannya analisis. Pahami isi tugas, bacalah dengan serius dan perlahan. Jika setelah pertama kali Anda ragu atau ada yang kurang jelas atau jelas tetapi belum sepenuhnya, disarankan untuk membacanya kembali. Jika Anda sedang mengerjakan tugas di kelas, Anda bisa bertanya kepada guru. Jika tidak, tugas Anda, yang Anda salah pahami, mungkin tidak dapat diselesaikan dengan benar, atau Anda mungkin menemukan sesuatu yang tidak diminta dari Anda, dan itu akan dianggap salah dan Anda harus mengulanginya. Adapun saya - Lebih baik meluangkan lebih banyak waktu untuk mempelajari tugas tersebut daripada mengulangi tugas itu lagi.

Analisis.

Misalkan a adalah sinar tertentu dengan titik sudut A, dan sudut (ab) adalah sudut yang diinginkan. Mari kita pilih titik B dan C masing-masing pada sinar a dan b. Menghubungkan titik B dan C, kita peroleh segitiga ABC. DI DALAM segitiga sama kaki sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, dan karenanya metode konstruksinya mengikuti. Jika di samping sudut tertentu pilih titik C dan B dengan cara yang mudah, buatlah segitiga AB 1 C 1 dari sinar tertentu menjadi setengah bidang tertentu, sama dengan ABC(dan ini bisa dilakukan jika Anda mengetahui semua sisi segitiga), maka masalahnya akan terpecahkan.

Saat melakukan apa pun konstruksi Berhati-hatilah dan cobalah untuk melaksanakan semua konstruksi dengan hati-hati. Karena setiap ketidakkonsistenan dapat mengakibatkan beberapa kesalahan, penyimpangan, yang dapat menyebabkan jawaban yang salah. Dan jika tugasnya dari jenis ini Jika dilakukan pertama kali, kesalahan akan sangat sulit ditemukan dan diperbaiki.

Contoh konstruksi terlebih dahulu.

Mari kita menggambar sebuah lingkaran dengan pusatnya di titik sudut ini. Misalkan B dan C adalah titik potong lingkaran dengan sisi-sisi sudutnya. Dengan jari-jari AB kita menggambar sebuah lingkaran yang berpusat di titik A 1 – titik awal sinar ini. Mari kita nyatakan titik potong lingkaran ini dengan sinar ini sebagai B 1 . Mari kita gambarkan sebuah lingkaran yang berpusat di B 1 dan berjari-jari BC. Titik potong C 1 dari lingkaran yang dibangun pada setengah bidang yang ditunjukkan terletak pada sisi sudut yang diinginkan.

Segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1 sama panjang pada ketiga sisinya. Sudut A dan A 1 adalah sudut-sudut yang bersesuaian pada segitiga-segitiga tersebut. Oleh karena itu, ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Untuk kejelasan yang lebih besar, Anda dapat mempertimbangkan konstruksi yang sama secara lebih rinci.

Contoh konstruksi dua.

Tugasnya tetap juga menyisihkan sudut yang sama dengan sudut tertentu dari setengah garis tertentu menjadi setengah bidang tertentu.

Konstruksi.

Langkah 1. Mari kita menggambar sebuah lingkaran dengan jari-jari sembarang dan berpusat di titik sudut A dengan sudut tertentu. Misalkan B dan C adalah titik potong lingkaran dengan sisi-sisi sudutnya. Dan mari kita menggambar segmen SM.

Langkah 2. Mari kita menggambar lingkaran berjari-jari AB dengan pusat di titik O - titik awal setengah garis ini. Mari kita nyatakan titik potong lingkaran dengan sinar sebagai B 1 .

Langkah 3. Sekarang kita gambarkan sebuah lingkaran dengan pusat B 1 dan jari-jari BC. Misalkan titik C 1 adalah perpotongan lingkaran yang dibangun pada setengah bidang yang ditunjukkan.

Langkah 4. Mari kita menggambar sinar dari titik O sampai titik C 1. Sudut C 1 OB 1 akan menjadi yang diinginkan.

Bukti.

Segitiga ABC dan OB 1 C 1 adalah segitiga yang kongruen dengan sisi-sisi yang bersesuaian. Jadi sudut CAB dan C 1 OB 1 adalah sama besar.

Fakta yang menarik:

Dalam angka.

Pada objek-objek di dunia sekitar, pertama-tama Anda memperhatikannya properti individu yang membedakan satu objek dengan objek lainnya.

Kelimpahan pribadi properti individu mengaburkan sifat-sifat umum yang melekat pada semua objek, dan oleh karena itu selalu lebih sulit untuk mendeteksi sifat-sifat tersebut.

Salah satu sifat umum benda yang terpenting adalah semua benda dapat dihitung dan diukur. Kami mencerminkan hal ini milik umum benda dalam konsep bilangan.

Manusia menguasai proses berhitung, yaitu konsep bilangan, dengan sangat lambat, selama berabad-abad, dalam perjuangan yang gigih untuk eksistensinya.

Untuk berhitung, seseorang tidak hanya harus memiliki benda-benda yang dapat dihitung, tetapi juga sudah mempunyai kemampuan untuk mengabstraksikan ketika melihat benda-benda tersebut dari segala sifat-sifatnya yang lain kecuali bilangan, dan kemampuan ini merupakan hasil perkembangan sejarah yang panjang berdasarkan pada bilangan. pengalaman.

Setiap orang sekarang belajar berhitung dengan bantuan angka tanpa terasa di masa kanak-kanak, hampir bersamaan dengan saat ia mulai berbicara, namun berhitung yang kita kenal ini telah melalui jalur perkembangan yang panjang dan mengambil bentuk yang berbeda-beda.

Ada suatu masa ketika hanya dua angka yang digunakan untuk menghitung benda: satu dan dua. Dalam proses perluasan lebih lanjut dari sistem bilangan, bagian-bagiannya terlibat tubuh manusia dan pertama-tama jari, dan jika “angka” semacam ini tidak cukup, maka juga tongkat, batu, dan benda lainnya.

N.N.Miklouho-Maclay dalam bukunya "Perjalanan" berbicara tentang metode berhitung lucu yang digunakan oleh penduduk asli New Guinea:

Pertanyaan:

Tentukan sudut?
Jenis sudut apa yang ada?
Apa perbedaan antara diameter dan jari-jari?

Daftar sumber yang digunakan:

Mazur K. I. “Memecahkan masalah kompetisi utama dalam matematika dari koleksi yang diedit oleh M. I. Skanavi”
Kecerdasan matematika. B.A. Kordemsky. Moskow.
L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “Geometri, 7 – 9: buku teks untuk lembaga pendidikan”

Bekerja pada pelajaran:

Levchenko V.S.

Poturnak S.A.

Ajukan pertanyaan tentang pendidikan modern, mengungkapkan ide atau memecahkan masalah yang mendesak, Anda bisa forum pendidikan, di mana tingkat internasional sebuah dewan pendidikan yang berisi pemikiran dan tindakan segar sedang berkumpul. Setelah dibuat blog, Anda tidak hanya akan meningkatkan status Anda sebagai guru yang kompeten, tetapi juga memberikan kontribusi yang signifikan bagi perkembangan sekolah di masa depan. Persatuan Pemimpin Pendidikan membuka pintu bagi para spesialis peringkat atas dan mengundang mereka untuk bekerja sama dalam menciptakan sekolah terbaik di dunia.

Mata Pelajaran > Matematika > Matematika kelas 7

Pernahkah Anda mendengar bahwa matematika disebut sebagai “ratu segala ilmu”? Apakah Anda setuju dengan pernyataan ini? Selama matematika tetap menjadi kumpulan soal membosankan di buku teks bagi Anda, Anda hampir tidak dapat merasakan keindahan, keserbagunaan, dan bahkan humor dari ilmu ini.

Namun ada topik dalam matematika yang membantu melakukan observasi menarik tentang hal-hal dan fenomena yang umum bagi kita. Dan bahkan mencoba menembus tabir misteri penciptaan Alam Semesta kita. Ada pola menarik di dunia yang dapat dijelaskan dengan menggunakan matematika.

Memperkenalkan angka Fibonacci

Angka Fibonacci sebutkan unsur-unsur barisan bilangan. Di dalamnya, setiap angka berikutnya dalam suatu rangkaian diperoleh dengan menjumlahkan dua angka sebelumnya.

Contoh barisan: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Anda dapat menulisnya seperti ini:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Anda dapat memulai rangkaian angka Fibonacci dengan nilai-nilai negatif N. Selain itu, barisan dalam kasus ini adalah dua sisi (yaitu mencakup negatif dan angka positif) dan cenderung tak terhingga di kedua arah.

Contoh barisan tersebut: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Rumusnya dalam hal ini terlihat seperti ini:

F n = F n+1 - F n+2 atau Anda dapat melakukan ini: F -n = (-1) n+1 Fn.

Apa yang sekarang kita kenal sebagai “bilangan Fibonacci” telah dikenal oleh ahli matematika India kuno jauh sebelum angka tersebut mulai digunakan di Eropa. Dan dengan nama ini umumnya ada satu yang berkesinambungan anekdot sejarah. Mari kita mulai dengan fakta bahwa Fibonacci sendiri tidak pernah menyebut dirinya Fibonacci selama hidupnya - nama ini mulai diterapkan pada Leonardo dari Pisa hanya beberapa abad setelah kematiannya. Tapi mari kita bicarakan semuanya secara berurutan.

Leonardo dari Pisa alias Fibonacci

Putra seorang saudagar yang menjadi ahli matematika, dan kemudian mendapat pengakuan dari anak cucu sebagai ahli matematika besar pertama di Eropa pada Abad Pertengahan. Paling tidak berkat angka Fibonacci (yang, mari kita ingat, belum disebut demikian). di mana dia berada awal XIII abad yang dijelaskan dalam karyanya “Liber abaci” (“Book of Abacus”, 1202).

Saya bepergian dengan ayah saya ke Timur, Leonardo belajar matematika dengan guru-guru Arab (dan pada masa itu mereka berkecimpung di bidang ini, dan di banyak ilmu lainnya, salah satunya spesialis terbaik). Karya matematikawan zaman dahulu dan India Kuno dia membaca dalam terjemahan bahasa Arab.

Setelah benar-benar memahami semua yang telah dibacanya dan menggunakan pikiran ingin tahunya, Fibonacci menulis beberapa risalah ilmiah tentang matematika, termasuk “Kitab Sempoa” yang disebutkan di atas. Selain itu saya membuat:

"Practica geometriae" ("Praktik Geometri", 1220);
"Flos" ("Bunga", 1225 - studi tentang persamaan kubik);
“Liber quadratorum” (“Book of Squares”, 1225 – soal persamaan kuadrat tak tentu).

Ia adalah penggemar berat turnamen matematika, sehingga dalam risalahnya ia menaruh banyak perhatian pada analisis berbagai masalah matematika.

Sangat sedikit yang tersisa mengenai kehidupan Leonardo informasi biografi. Adapun nama Fibonacci, di mana ia memasuki sejarah matematika, baru diberikan kepadanya pada abad ke-19.

Fibonacci dan permasalahannya

Setelah Fibonacci tetap ada jumlah yang besar masalah yang sangat populer di kalangan matematikawan pada abad-abad berikutnya. Kita akan melihat soal kelinci, yang diselesaikan dengan menggunakan bilangan Fibonacci.

Kelinci bukan hanya bulunya yang berharga

Fibonacci menetapkan kondisi sebagai berikut: terdapat sepasang kelinci yang baru lahir (jantan dan betina) tersebut ras yang menarik bahwa mereka secara teratur (mulai bulan kedua) menghasilkan keturunan - selalu sepasang kelinci baru. Juga, seperti yang Anda duga, laki-laki dan perempuan.

Kelinci bersyarat ini ditempatkan di ruang terbatas dan berkembang biak dengan antusias. Ditetapkan juga bahwa tidak ada satu pun kelinci yang mati karena penyakit kelinci yang misterius.

Kita perlu menghitung berapa banyak kelinci yang akan kita dapatkan dalam setahun.

Awal 1 bulan kita mempunyai 1 pasang kelinci. Di akhir bulan mereka kawin.
Bulan kedua - kita sudah mempunyai 2 pasang kelinci (sepasang mempunyai induk + 1 pasang adalah keturunannya).
Bulan ketiga: Pasangan pertama melahirkan pasangan baru, pasangan kedua kawin. Total - 3 pasang kelinci.
Bulan keempat : Pasangan pertama melahirkan pasangan baru, pasangan kedua tidak menyia-nyiakan waktu dan juga melahirkan pasangan baru, pasangan ketiga tinggal kawin. Total - 5 pasang kelinci.

Jumlah kelinci yang masuk N bulan ke- = banyaknya pasang kelinci bulan sebelumnya + banyaknya pasang kelinci yang baru lahir (jumlah pasang kelinci sama dengan jumlah pasang kelinci 2 bulan sebelumnya). Dan semua itu dijelaskan dengan rumus yang telah kami berikan di atas: F n = F n-1 + F n-2.

Dengan demikian, kita memperoleh penjelasan berulang (tentang pengulangan- di bawah) urutan nomor. Di mana setiap angka berikutnya sama dengan jumlah dua angka sebelumnya:

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>

Anda dapat melanjutkan urutannya untuk waktu yang lama: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Namun karena kami telah menetapkan jangka waktu tertentu - satu tahun, kami tertarik dengan hasil yang diperoleh pada "langkah" ke-12. Itu. Anggota urutan ke-13: 377.

Jawaban dari soal: Akan didapat 377 ekor kelinci jika semua syarat terpenuhi.

Salah satu sifat barisan bilangan Fibonacci yang sangat menarik. Jika kita mengambil dua pasangan berurutan dari satu baris dan membaginya jumlah yang lebih besar menjadi lebih sedikit, hasilnya secara bertahap akan mendekat rasio emas(Anda dapat membaca lebih lanjut tentangnya nanti di artikel).

Dalam istilah matematika, "batas hubungan sebuah n+1 Ke sebuah sama dengan rasio emas".

Lebih banyak masalah teori bilangan

Carilah bilangan yang habis dibagi 7. Selain itu, jika dibagi dengan 2, 3, 4, 5, 6, maka sisanya adalah satu.
Menemukan nomor persegi. Diketahui bahwa jika Anda menambahkan 5 atau mengurangi 5, Anda kembali mendapatkan bilangan kuadrat.

Kami menyarankan Anda mencari sendiri jawaban atas masalah ini. Anda dapat meninggalkan kami pilihan Anda di komentar artikel ini. Dan kemudian kami akan memberi tahu Anda apakah perhitungan Anda benar.

Penjelasan tentang rekursi

Pengulangan– definisi, deskripsi, gambaran suatu objek atau proses yang memuat objek atau proses itu sendiri. Artinya, suatu objek atau proses pada hakikatnya adalah bagian dari dirinya sendiri.

Rekursi banyak digunakan dalam matematika dan ilmu komputer, dan bahkan dalam seni dan budaya populer.

Angka Fibonacci ditentukan menggunakan relasi perulangan. Untuk nomor n>2 n- nomor e sama (n – 1) + (n – 2).

Penjelasan tentang rasio emas

Rasio emas- membagi keseluruhan (misalnya, segmen) menjadi bagian-bagian yang terkait menurut prinsip berikut: bagian yang lebih besar berhubungan dengan yang lebih kecil dengan cara yang sama seperti nilai keseluruhan (misalnya, jumlah dua segmen) adalah ke bagian yang lebih besar.

Penyebutan pertama tentang rasio emas dapat ditemukan di Euclid dalam risalahnya “Elements” (sekitar 300 SM). Dalam konteks membuat persegi panjang beraturan.

Istilah yang kita kenal mulai beredar pada tahun 1835 oleh ahli matematika Jerman Martin Ohm.

Jika kita mendeskripsikan rasio emas secara kasar, maka itu mewakili pembagian proporsional menjadi dua bagian yang tidak sama: sekitar 62% dan 38%. DI DALAM secara numerik Rasio emas melambangkan suatu angka 1,6180339887 .

Rasio emas ditemukan penggunaan praktis V seni rupa(lukisan karya Leonardo da Vinci dan pelukis Renaisans lainnya), arsitektur, sinema (“Battleship Potemkin” oleh S. Esenstein) dan bidang lainnya. Untuk waktu yang lama Rasio emas diyakini sebagai proporsi paling estetis. Pendapat ini masih populer hingga saat ini. Meskipun menurut hasil penelitian, secara visual kebanyakan orang tidak menganggap proporsi ini sebagai pilihan yang paling berhasil dan menganggapnya terlalu memanjang (tidak proporsional).

Panjang bagian Dengan = 1, A = 0,618, B = 0,382.
Sikap Dengan Ke A = 1, 618.
Sikap Dengan Ke B = 2,618

Sekarang mari kita kembali ke angka Fibonacci. Mari kita ambil dua suku berurutan dari barisannya. Bagilah angka yang lebih besar dengan angka yang lebih kecil dan dapatkan kira-kira 1,618. Dan sekarang kita menggunakan bilangan yang sama lebih besar dan anggota deret berikutnya (yaitu bilangan yang lebih besar) - rasionya awal 0,618.

Berikut contohnya: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 dan 233/377 = 0,618

Omong-omong, jika Anda mencoba melakukan eksperimen yang sama dengan angka-angka dari awal barisan (misalnya, 2, 3, 5), tidak ada yang akan berhasil. Hampir. Aturan rasio emas hampir tidak diikuti untuk awal rangkaian. Namun saat Anda menelusuri seri dan jumlahnya bertambah, ini berfungsi dengan baik.

Dan untuk menghitung seluruh rangkaian bilangan Fibonacci, cukup mengetahui tiga suku barisan tersebut, yang muncul satu demi satu. Anda dapat melihatnya sendiri!

Persegi Panjang Emas dan Spiral Fibonacci

Paralel menarik lainnya antara angka Fibonacci dan rasio emas adalah apa yang disebut “persegi panjang emas”: sisi-sisinya memiliki perbandingan 1,618 banding 1. Tapi kita sudah tahu apa itu angka 1,618 bukan?

Misalnya, ambil dua suku berurutan dari deret Fibonacci - 8 dan 13 - dan buatlah sebuah persegi panjang dengan parameter berikut: lebar = 8, panjang = 13.

Dan kemudian kita akan membagi persegi panjang besar menjadi yang lebih kecil. Kondisi yang diperlukan: Panjang sisi persegi panjang harus sesuai dengan bilangan Fibonacci. Itu. Panjang sisi persegi panjang yang lebih besar harus sama dengan jumlahnya sisi dua persegi panjang yang lebih kecil.

Caranya dilakukan pada gambar ini (untuk memudahkan, gambar ditandatangani dengan huruf latin).

Omong-omong, Anda bisa membuat persegi panjang urutan terbalik. Itu. mulai membangun dengan kotak dengan sisi 1. Yang mana, dengan berpedoman pada prinsip di atas, gambar dengan sisi telah selesai, angka yang sama Fibonacci. Secara teoritis, hal ini dapat dilanjutkan tanpa batas waktu - lagipula, deret Fibonacci secara formal tidak terbatas.

Jika kita menghubungkan sudut-sudut persegi panjang yang diperoleh pada gambar dengan garis halus, kita mendapatkan spiral logaritmik. Atau lebih tepatnya, dia kasus spesial– Spiral Fibonacci. Hal ini ditandai dengan, khususnya, oleh kenyataan bahwa ia tidak memiliki batas dan tidak berubah bentuk.

Spiral serupa sering ditemukan di alam. Cangkang moluska adalah salah satu yang paling banyak contoh cemerlang. Apalagi beberapa galaksi yang terlihat dari Bumi berbentuk spiral. Jika Anda memperhatikan ramalan cuaca di TV, Anda mungkin memperhatikan bahwa siklon memiliki bentuk spiral yang serupa jika difoto dari satelit.

Sangat mengherankan bahwa heliks DNA juga mematuhi aturan bagian emas - pola yang sesuai dapat dilihat pada interval tikungannya.

“Kebetulan” yang menakjubkan seperti itu pasti menggairahkan pikiran dan menimbulkan perbincangan tentang seseorang sebuah algoritma tunggal, yang menjadi subjek semua fenomena dalam kehidupan Alam Semesta. Sekarang apakah Anda mengerti mengapa artikel ini disebut demikian? Dan pintu apa dunia yang menakjubkan Matematika dapat membuka banyak hal untuk Anda?

Angka Fibonacci di alam

Hubungan antara angka Fibonacci dan rasio emas menunjukkan pola yang menarik. Saking penasarannya sehingga tergoda untuk mencoba mencari barisan yang mirip dengan bilangan Fibonacci di alam dan bahkan selama kejadian bersejarah. Dan alam memang memunculkan asumsi seperti itu. Namun bisakah segala sesuatu dalam hidup kita dijelaskan dan dideskripsikan menggunakan matematika?

Contoh makhluk hidup yang dapat dijelaskan dengan menggunakan deret Fibonacci:

susunan daun (dan cabang) pada tumbuhan - jarak antara keduanya berkorelasi dengan bilangan Fibonacci (phyllotaxis);

susunan biji bunga matahari (bijinya tersusun dalam dua baris spiral yang dipilin ke dalam arah yang berbeda: satu baris searah jarum jam, baris lainnya berlawanan arah jarum jam);

susunan sisik kerucut pinus;
kelopak bunga;
sel nanas;
rasio panjang falang jari dengan tangan manusia(kurang-lebih) dll.

Masalah kombinatorik

Bilangan Fibonacci banyak digunakan dalam menyelesaikan masalah kombinatorik.

Kombinatorik adalah cabang matematika yang mempelajari tentang sampel seseorang nomor yang diberikan elemen dari himpunan yang ditentukan, enumerasi, dll.

Mari kita lihat contoh soal kombinatorik yang dirancang untuk level tersebut sekolah menengah atas(sumber - http://www.problems.ru/).

Tugas 1:

Lesha menaiki tangga 10 langkah. Pada suatu waktu dia melompat satu atau dua langkah. Berapa banyak cara Lesha menaiki tangga tersebut?

Banyaknya cara Lesha menaiki tangga N langkah-langkah, mari kita tunjukkan dan N. Oleh karena itu sebuah 1 = 1, sebuah 2= 2 (lagipula, Lesha melompat satu atau dua langkah).

Disepakati juga bahwa Lesha melompati tangga n> 2 Langkah. Katakanlah dia melompat dua langkah untuk pertama kalinya. Artinya, sesuai dengan kondisi soal, ia perlu melompati soal lain n – 2 Langkah. Maka banyaknya cara untuk menyelesaikan pendakian dijelaskan sebagai sebuah n–2. Dan jika kita asumsikan pertama kali Lesha melompat hanya satu langkah, maka kita uraikan banyak cara untuk menyelesaikan pendakian sebagai sebuah n–1.

Dari sini kita mendapatkan persamaan berikut: an = an–1 + an–2(terlihat familier, bukan?).

Sejak kita tahu sebuah 1 Dan sebuah 2 dan ingat sesuai kondisi soal ada 10 langkah, hitung semua urut dan N: sebuah 3 = 3, sebuah 4 = 5, sebuah 5 = 8, sebuah 6 = 13, sebuah 7 = 21, sebuah 8 = 34, sebuah 9 = 55, sebuah 10 = 89.

Jawaban: 89 cara.

Tugas #2:

Anda perlu mencari banyaknya kata yang panjangnya 10 huruf yang hanya terdiri dari huruf “a” dan “b” dan tidak boleh mengandung dua huruf “b” berturut-turut.

Mari kita nyatakan dengan sebuah panjang jumlah kata N huruf yang hanya terdiri dari huruf “a” dan “b” serta tidak memuat dua huruf “b” yang berurutan. Cara, sebuah 1= 2, sebuah 2= 3.

Berurutan sebuah 1, sebuah 2, <…>, sebuah kami akan mengekspresikan setiap anggota berikutnya melalui yang sebelumnya. Oleh karena itu, banyaknya kata yang panjangnya adalah N huruf yang juga tidak mengandung huruf ganda “b” dan diawali dengan huruf “a” adalah sebuah n–1. Dan jika kata-katanya panjang N huruf diawali dengan huruf "b", wajar saja surat berikutnya dalam kata seperti itu ada “a” (bagaimanapun juga, tidak mungkin ada dua “b” sesuai dengan kondisi soal). Oleh karena itu, banyaknya kata yang panjangnya adalah N dalam hal ini kami menyatakan huruf sebagai sebuah n–2. Dalam kasus pertama dan kedua, kata apa pun (panjangnya n – 1 Dan n – 2 huruf masing-masing) tanpa ganda “b”.

Kami dapat menjelaskan alasannya an = an–1 + an–2.

Sekarang mari kita hitung sebuah 3= sebuah 2+ sebuah 1= 3 + 2 = 5, sebuah 4= sebuah 3+ sebuah 2= 5 + 3 = 8, <…>, sebuah 10= sebuah 9+ sebuah 8= 144. Dan kita mendapatkan deret Fibonacci yang familiar.

Jawaban: 144.

Tugas #3:

Bayangkan ada pita yang dibagi menjadi beberapa sel. Itu mengarah ke kanan dan berlangsung tanpa batas waktu. Tempatkan belalang di kotak pertama rekaman itu. Di sel mana pun dia berada, dia hanya bisa bergerak ke kanan: satu sel, atau dua. Berapa banyak cara yang dapat dilakukan belalang untuk melompat dari awal rekaman ke N-sel ke-?

Mari kita nyatakan banyak cara memindahkan belalang di sepanjang sabuk ke N-sel seperti sebuah. Pada kasus ini sebuah 1 = sebuah 2= 1. Juga masuk n+1 Belalang dapat masuk ke sel ke - dari mana saja N-sel, atau dengan melompati sel tersebut. Dari sini sebuah n + 1 = sebuah – 1 + sebuah. Di mana sebuah = Fn – 1.

Menjawab: Fn – 1.

Anda dapat menyusunnya sendiri tugas serupa dan cobalah menyelesaikannya dalam pelajaran matematika bersama teman sekelasmu.

Angka Fibonacci dalam budaya populer

Tentu saja fenomena yang tidak biasa, seperti angka Fibonacci, pasti menarik perhatian. Masih ada sesuatu yang menarik dan bahkan misterius dalam pola yang diverifikasi secara ketat ini. Tidaklah mengherankan jika deret Fibonacci entah bagaimana “menyala” di banyak karya modern budaya populer berbagai genre.

Kami akan memberi tahu Anda tentang beberapa di antaranya. Dan Anda mencoba mencari diri Anda lagi. Jika Anda menemukannya, bagikan kepada kami di komentar – kami juga penasaran!

Angka Fibonacci disebutkan dalam buku terlaris Dan Brown The Da Vinci Code: deret Fibonacci berfungsi sebagai kode yang digunakan oleh karakter utama buku untuk membuka brankas.
Dalam film Amerika tahun 2009 Mr. Nothing, di salah satu episode alamat sebuah rumah merupakan bagian dari deret Fibonacci - 12358. Selain itu, di episode lain karakter utama harus memanggil nomor telepon, yang pada dasarnya sama, tetapi sedikit terdistorsi (digit tambahan setelah 5) urutannya: 123-581-1321.
Dalam serial “Connection” tahun 2012, tokoh utama, seorang anak laki-laki penderita autisme, mampu melihat pola peristiwa yang terjadi di dunia. Termasuk melalui angka Fibonacci. Dan kelola peristiwa ini juga melalui angka.
Pengembang game Java untuk ponsel RPG Doom ditempatkan di salah satu level pintu rahasia. Kode yang membukanya adalah deret Fibonacci.
Pada tahun 2012, band rock Rusia Splin merilis album konsep “Optical Deception.” Jalur kedelapan disebut “Fibonacci”. Syair pemimpin kelompok Alexander Vasiliev dimainkan pada deret angka Fibonacci. Untuk masing-masing sembilan suku berurutan terdapat jumlah baris yang bersesuaian (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Kereta berangkat

1 Salah satu sendi patah

1 Satu lengannya bergetar

2 Itu dia, ambil barangnya

Itu dia, ambil barangnya

3 Permintaan air mendidih

Kereta pergi ke sungai

Kereta melewati taiga<…>.

Limerick (puisi pendek dengan bentuk tertentu - biasanya lima baris, dengan skema rima tertentu, isinya lucu, di mana baris pertama dan terakhir diulang atau sebagian saling menduplikasi) oleh James Lyndon juga menggunakan referensi ke Fibonacci urutan sebagai motif lucu:

Makanan padat istri Fibonacci

Itu hanya untuk kepentingan mereka, tidak ada yang lain.

Para istri menimbang, menurut rumor,

Masing-masing seperti dua sebelumnya.

Mari kita simpulkan

Kami berharap hari ini kami dapat memberi tahu Anda banyak hal menarik dan bermanfaat. Misalnya, kini Anda bisa mencari spiral Fibonacci di alam sekitar Anda. Mungkin Andalah yang mampu mengungkap “rahasia kehidupan, alam semesta, dan secara umum”.

Gunakan rumus bilangan Fibonacci saat menyelesaikan soal kombinatorik. Anda dapat mengandalkan contoh yang dijelaskan dalam artikel ini.

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Angka Fibonacci dan rasio emas menjadi dasar untuk mengungkap dunia sekitar, mengkonstruksi bentuknya dan optimal persepsi visual seseorang yang dengannya dia dapat merasakan keindahan dan harmoni.

Prinsip penentuan besaran rasio emas mendasari kesempurnaan seluruh dunia dan bagian-bagiannya dalam struktur dan fungsinya, perwujudannya dapat dilihat pada alam, seni dan teknologi. Doktrin proporsi emas didirikan sebagai hasil penelitian para ilmuwan kuno terhadap sifat bilangan.

Bukti penggunaan rasio emas oleh para pemikir kuno diberikan dalam buku Euclid “Elements”, yang ditulis pada abad ke-3. SM, yang menerapkan aturan ini untuk membuat segi lima beraturan. Di kalangan Pythagoras, sosok ini dianggap suci karena simetris dan asimetris. Pentagram melambangkan kehidupan dan kesehatan.

Angka Fibonacci

Buku terkenal Liber abaci karya matematikawan Italia Leonardo dari Pisa, yang kemudian dikenal sebagai Fibonacci, diterbitkan pada tahun 1202. Di dalamnya, ilmuwan untuk pertama kalinya mengutip pola bilangan, yang rangkaiannya setiap bilangan merupakan jumlah dari 2 digit sebelumnya. Urutan angka Fibonacci adalah sebagai berikut:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, dst.

Ilmuwan juga mengutip sejumlah pola:

Bilangan apa pun dari deret tersebut dibagi deret berikutnya akan sama dengan nilai yang cenderung 0,618. Selain itu, angka Fibonacci pertama tidak memberikan angka seperti itu, tetapi seiring kita berpindah dari awal deret, rasio ini akan menjadi semakin akurat.

Jika angka dari deret tersebut dibagi dengan deret sebelumnya, hasilnya akan melonjak menjadi 1,618.

Satu angka dibagi satu berikutnya akan menunjukkan nilai yang cenderung 0,382.

Penerapan hubungan dan pola bagian emas, bilangan Fibonacci (0,618) tidak hanya dapat ditemukan dalam matematika, tetapi juga dalam alam, sejarah, arsitektur dan konstruksi, dan dalam banyak ilmu pengetahuan lainnya.

Untuk tujuan praktis, mereka dibatasi pada nilai perkiraan Φ = 1,618 atau Φ = 1,62. Dalam nilai persentase yang dibulatkan, rasio emas adalah pembagian nilai apa pun dengan perbandingan 62% dan 38%.

Menurut sejarahnya, bagian emas pada mulanya disebut pembagian ruas AB oleh titik C menjadi dua bagian (ruas kecil AC dan ruas besar BC), sehingga untuk panjang ruas AC/BC = BC/AB adalah benar. Berbicara dengan kata-kata sederhana, dengan rasio emas, suatu ruas dipotong menjadi dua bagian yang tidak sama sehingga bagian yang lebih kecil berhubungan dengan bagian yang lebih besar, dan bagian yang lebih besar berhubungan dengan keseluruhan ruas. Kemudian konsep ini diperluas ke besaran sewenang-wenang.

Bilangan Φ disebut juga angka emas.

Rasio emas memiliki banyak sifat luar biasa, tetapi selain itu, banyak sifat fiktif yang dikaitkan dengannya.

Sekarang detailnya:

Pengertian GS adalah pembagian suatu ruas menjadi dua bagian sedemikian rupa sehingga bagian yang lebih besar berhubungan dengan bagian yang lebih kecil, karena jumlahnya (seluruh segmen) berhubungan dengan bagian yang lebih besar.

Artinya, jika seluruh ruas c diambil sebagai 1, maka ruas a sama dengan 0,618, ruas b - 0,382. Jadi, jika kita mengambil sebuah bangunan, misalnya candi yang dibangun menurut prinsip 3S, maka dengan tingginya, katakanlah 10 meter, tinggi gendang dengan kubahnya adalah 3,82 cm, dan tinggi gendang. alas struktur akan menjadi 6,18 cm (jelas bahwa angka-angka tersebut diambil datar untuk kejelasan)

Apa hubungan antara angka ZS dan Fibonacci?

Bilangan deret Fibonacci adalah:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Pola bilangannya adalah setiap bilangan berikutnya sama dengan jumlah dua bilangan sebelumnya.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21, dst.,

dan perbandingan bilangan-bilangan yang berdekatan mendekati perbandingan ZS.
Jadi, 21:34 = 0,617, dan 34:55 = 0,618.

Artinya, GS didasarkan pada angka-angka deret Fibonacci.

Istilah "Rasio Emas" diyakini diperkenalkan oleh Leonardo Da Vinci, yang berkata, "janganlah seorang pun yang bukan ahli matematika berani membaca karya saya" dan menunjukkan proporsi tubuh manusia dalam gambarnya yang terkenal "Manusia Vitruvian". ”. “Jika kita mengikat sesosok manusia – ciptaan alam semesta yang paling sempurna – dengan ikat pinggang lalu mengukur jarak dari ikat pinggang ke kaki, maka nilai ini akan berhubungan dengan jarak dari sabuk yang sama ke puncak kepala, sama seperti seluruh tinggi badan seseorang berhubungan dengan panjang dari pinggang hingga kaki.”

Deret bilangan Fibonacci dimodelkan secara visual (terwujud) dalam bentuk spiral.

Dan di alam, spiral GS terlihat seperti ini:

Pada saat yang sama, spiral diamati di mana-mana (di alam dan tidak hanya):

Benih pada sebagian besar tumbuhan tersusun dalam bentuk spiral
- Laba-laba menjalin jaring dalam bentuk spiral
- Badai berputar seperti spiral
- Kawanan rusa kutub yang ketakutan bertebaran dalam bentuk spiral.
- Molekul DNA dipelintir dalam heliks ganda. Molekul DNA terdiri dari dua heliks yang terjalin secara vertikal, panjang 34 angstrom dan lebar 21 angstrom. Angka 21 dan 34 saling mengikuti dalam deret Fibonacci.
- Embrio berkembang dalam bentuk spiral
- Spiral koklea di telinga bagian dalam
- Air mengalir ke saluran pembuangan secara spiral
- Dinamika spiral menunjukkan perkembangan kepribadian seseorang dan nilai-nilainya secara spiral.
- Dan tentu saja Galaksi itu sendiri berbentuk spiral

Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa alam itu sendiri dibangun berdasarkan prinsip Bagian Emas, itulah sebabnya proporsi ini lebih harmonis dilihat oleh mata manusia. Itu tidak memerlukan “koreksi” atau penambahan pada gambaran dunia yang dihasilkan.

Film. nomor Tuhan. Bukti Tuhan yang tak terbantahkan; Jumlah Tuhan. Bukti Tuhan yang tak terbantahkan.

Proporsi emas dalam struktur molekul DNA

Semua informasi tentang karakteristik fisiologis makhluk hidup tersimpan dalam molekul DNA mikroskopis, yang strukturnya juga mengandung hukum proporsi emas. Molekul DNA terdiri dari dua heliks yang terjalin secara vertikal. Panjang masing-masing spiral tersebut adalah 34 angstrom dan lebarnya 21 angstrom. (1 angstrom sama dengan seperseratus juta sentimeter).

21 dan 34 merupakan bilangan yang saling mengikuti pada barisan bilangan Fibonacci, yaitu perbandingan panjang dan lebar spiral logaritmik molekul DNA mempunyai rumus rasio emas 1:1.618

Rasio emas dalam struktur mikrokosmos

Bentuk geometris tidak terbatas pada segitiga, persegi, segi lima, atau segi enam saja. Jika kita menghubungkan angka-angka ini dengan cara yang berbeda satu sama lain, kita mendapatkan tiga dimensi baru angka geometris. Contohnya adalah bangun ruang seperti kubus atau limas. Namun selain mereka, ada juga sosok tiga dimensi lainnya yang belum kita temui Kehidupan sehari-hari, dan namanya mungkin baru pertama kali kita dengar. Di antara bangun tiga dimensi tersebut adalah tetrahedron (gambar empat sisi biasa), oktahedron, dodecahedron, ikosahedron, dll. Dodecahedron terdiri dari 13 segi lima, ikosahedron terdiri dari 20 segitiga. Matematikawan mencatat bahwa angka-angka ini secara matematis sangat mudah diubah, dan transformasinya terjadi sesuai dengan rumus spiral logaritmik rasio emas.

Dalam mikrokosmos, bentuk logaritmik tiga dimensi yang dibangun menurut proporsi emas ada di mana-mana. Misalnya, banyak virus yang berbentuk tiga dimensi bentuk geometris ikosahedron. Mungkin virus yang paling terkenal adalah virus Adeno. Cangkang protein virus Adeno terbentuk dari 252 unit sel protein yang tersusun dalam urutan tertentu. Pada setiap sudut ikosahedron terdapat 12 unit sel protein berbentuk prisma segi lima dan struktur mirip paku memanjang dari sudut tersebut.

Rasio emas dalam struktur virus pertama kali ditemukan pada tahun 1950an. ilmuwan dari Birkbeck College London A. Klug dan D. Kaspar. 13 Virus Polyo adalah yang pertama menampilkan bentuk logaritmik. Bentuk virus ini ternyata mirip dengan virus Rhino 14.

Timbul pertanyaan, bagaimana virus membentuk bentuk tiga dimensi yang begitu kompleks, yang strukturnya mengandung rasio emas, yang cukup sulit untuk dibangun bahkan dengan pikiran manusia? Penemu bentuk virus ini, ahli virologi A. Klug, memberikan komentar sebagai berikut:

“Saya dan Dr. Kaspar menunjukkan bahwa untuk cangkang virus yang berbentuk bola, bentuk yang paling optimal adalah simetri seperti bentuk ikosahedron. Urutan ini meminimalkan jumlah elemen penghubung... Kebanyakan Kubus hemisfer geodesik Buckminster Fuller dibangun berdasarkan prinsip geometri serupa. 14 Pemasangan kubus semacam itu memerlukan diagram penjelasan yang sangat akurat dan terperinci. Sedangkan virus yang tidak disadari sendiri membangun cangkang kompleks dari unit sel protein yang elastis dan fleksibel.”

Matematikawan Italia Leonardo Fibonacci hidup pada abad ke-13 dan merupakan salah satu orang pertama di Eropa yang menggunakan angka Arab (India). Dia mengemukakan masalah yang dibuat-buat tentang kelinci yang dipelihara di sebuah peternakan, yang semuanya dianggap betina dan kelinci jantan diabaikan. Kelinci mulai berkembang biak setelah berumur dua bulan dan kemudian melahirkan seekor kelinci setiap bulan. Kelinci tidak pernah mati.

Kita perlu menentukan berapa banyak kelinci yang akan dipelihara di peternakan N bulan, jika pada awalnya hanya ada satu kelinci yang baru lahir.

Jelasnya, peternak mempunyai seekor kelinci di bulan pertama dan satu kelinci di bulan kedua. Pada bulan ketiga akan ada dua ekor kelinci, pada bulan keempat akan ada tiga ekor kelinci, dan seterusnya. Mari kita nyatakan jumlah kelinci di dalamnya N bulan seperti. Dengan demikian,
,
,
,
,
, …

Dimungkinkan untuk membuat algoritma untuk menemukannya apapun N.

Sesuai rumusan masalah, jumlah kelinci seluruhnya
V N+1 bulan dibagi menjadi tiga komponen:

kelinci berumur satu bulan tidak mampu bereproduksi, dalam jumlah

;

Jadi, kita dapatkan

. (8.1)

Rumus (8.1) memungkinkan Anda menghitung rangkaian angka: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..

Angka-angka dalam barisan ini disebut Angka Fibonacci .

Jika kita menerima
Dan
, lalu dengan menggunakan rumus (8.1) Anda dapat menentukan semua bilangan Fibonacci lainnya. Rumus (8.1) disebut berulang rumus ( kambuh – “kembali” dalam bahasa Latin).

Contoh 8.1. Misalkan ada tangga di dalamnya N Langkah. Kita bisa menaikinya dalam satu langkah, atau dalam dua langkah. Ada berapa kombinasi? dalam berbagai cara bangkit?

Jika N= 1, hanya ada satu solusi untuk masalah tersebut. Untuk N= 2 ada 2 pilihan: dua langkah tunggal atau satu langkah ganda. Untuk N= 3 ada 3 pilihan: tiga langkah tunggal, atau satu langkah tunggal dan satu langkah ganda, atau satu langkah ganda dan satu langkah tunggal.

Dalam kasus berikut N= 4, kita punya 5 kemungkinan (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

Untuk menjawab pertanyaan yang diajukan secara acak N, mari kita nyatakan jumlah opsi sebagai , dan mari kita coba menentukannya
menurut diketahui Dan
. Jika kita memulai dengan satu langkah, maka kita sudah berhasil kombinasi untuk sisanya N Langkah. Jika kita memulai dengan langkah ganda, maka kita sudah berhasil
kombinasi untuk sisanya N–1 langkah. Total pilihan untuk N+1 langkah sama dengan

. (8.2)

Rumus yang dihasilkan menyerupai rumus (8.1) yang kembar. Namun, hal ini tidak memungkinkan kami mengidentifikasi jumlah kombinasi dengan angka Fibonacci . Kita melihat, misalnya, hal itu
, Tetapi
. Namun, ketergantungan berikut terjadi:

Hal ini berlaku untuk N= 1, 2, dan juga berlaku untuk semua orang N. Angka Fibonacci dan jumlah kombinasinya dihitung menggunakan rumus yang sama, tetapi nilai awalnya
,
Dan
,
mereka berbeda.

Contoh 8.2. Contoh ini sangat penting secara praktis untuk masalah pengkodean koreksi kesalahan. Temukan jumlah semua kata biner yang panjangnya N, tidak mengandung beberapa angka nol berturut-turut. Mari kita nyatakan angka ini dengan . Jelas sekali,
, dan kata-kata dengan panjang 2 yang memenuhi batasan kita adalah: 10, 01, 11, yaitu.
. Membiarkan
- kata seperti itu dari N karakter. Jika simbolnya
, Itu
bisa sewenang-wenang (
)-kata literal yang tidak mengandung beberapa angka nol berturut-turut. Artinya jumlah kata yang berakhiran satu adalah
.

Jika simbolnya
, maka pasti
, dan yang pertama
simbol
mungkin sewenang-wenang, tergantung pada batasan yang dipertimbangkan. Oleh karena itu, ada
panjang kata N dengan nol di akhir. Jadi, jumlah kata yang kita minati adalah sama

Mengingat bahwa
Dan
, barisan angka yang dihasilkan adalah angka Fibonacci.

Contoh 8.3. Dalam Contoh 7.6 kita menemukan bahwa jumlah kata biner berbobot konstan T(dan panjangnya k) sama dengan . Sekarang mari kita cari jumlah kata biner yang bobotnya konstan T, tidak mengandung beberapa angka nol berturut-turut.

Anda bisa berpikir seperti ini. Membiarkan
jumlah angka nol pada kata yang bersangkutan. Setiap kata punya
spasi di antara angka nol terdekat, yang masing-masing berisi satu atau lebih angka nol. Ini diasumsikan bahwa
. Jika tidak, tidak ada satu kata pun tanpa angka nol yang berdekatan.

Jika kita menghilangkan tepat satu satuan dari setiap interval, kita mendapatkan sebuah kata yang panjangnya
mengandung angka nol. Kata seperti itu dapat diperoleh dengan cara yang ditunjukkan dari beberapa (dan hanya satu) k-kata literal yang mengandung nol, tidak ada dua yang berdekatan. Artinya jumlah yang dibutuhkan sama dengan jumlah semua kata yang panjangnya
, berisi persis nol, yaitu sama
.

Contoh 8.4. Mari kita buktikan jumlah tersebut
sama dengan angka Fibonacci untuk bilangan bulat apa pun . Simbol
berdiri untuk bilangan bulat terkecil lebih besar dari atau sama dengan . Misalnya jika
, Itu
; dan jika
, Itu
langit-langit("langit-langit"). Ada juga simbolnya
, yang menunjukkan bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan . Dalam bahasa Inggris operasi ini disebut lantai ("lantai").

Jika
, Itu
. Jika
, Itu
. Jika
, Itu
.

Jadi, untuk kasus yang dipertimbangkan, jumlahnya memang sama dengan angka Fibonacci. Sekarang kami menyajikan bukti untuk kasus umum. Karena bilangan Fibonacci dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan perulangan (8.1), persamaan harus dipenuhi:

Dan itu benar-benar berfungsi:

Di sini kami menggunakan rumus yang diperoleh sebelumnya (4.4):
.

Jumlah angka Fibonacci

Mari kita tentukan jumlah bilangan yang pertama N Angka Fibonacci.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Sangat mudah untuk melihat bahwa dengan menambahkan satu ke ruas kanan setiap persamaan, kita kembali memperoleh bilangan Fibonacci. Rumus umum untuk menentukan jumlah yang pertama N Bilangan Fibonacci berbentuk:

Mari kita buktikan dengan menggunakan metode induksi matematika. Untuk melakukan ini, mari kita tulis:

Jumlah ini harus sama
.

Mengurangi ruas kiri dan kanan persamaan sebesar –1, kita memperoleh persamaan (6.1).

Rumus angka Fibonacci

Teorema 8.1. Angka Fibonacci dapat dihitung dengan menggunakan rumus

Bukti. Mari kita verifikasi validitas rumus ini N= 0, 1, dan kemudian kita akan membuktikan validitas rumus ini untuk sembarang N dengan induksi. Mari kita hitung perbandingan dua bilangan Fibonacci terdekat:

Kita melihat bahwa rasio angka-angka ini berfluktuasi sekitar 1,618 (jika kita mengabaikan beberapa nilai pertama). Sifat bilangan Fibonacci ini menyerupai suku-suku barisan geometri. Mari kita terima
, (
). Lalu ekspresinya

dikonversi ke

yang setelah disederhanakan tampak seperti ini

Kita punya persamaan kuadrat, yang akar-akarnya sama:

Sekarang kita dapat menulis:

(Di mana C adalah sebuah konstanta). Kedua anggota Dan jangan berikan angka Fibonacci, misalnya
, ketika
. Namun perbedaannya
memenuhi persamaan perulangan:

Untuk N=0 perbedaan ini memberi , itu adalah:
. Namun, kapan N=1 yang kita punya
. Untuk memperoleh
, Anda harus menerima:
.

Sekarang kita memiliki dua urutan: Dan
, yang dimulai dengan dua angka yang sama dan memenuhi rumus perulangan yang sama. Mereka harus setara:
. Teorema tersebut telah terbukti.

Ketika meningkat N anggota menjadi sangat besar sementara
, dan peran anggota perbedaannya berkurang. Oleh karena itu, secara luas N kira-kira kita bisa menulis

Kita mengabaikan 1/2 (karena bilangan Fibonacci bertambah hingga tak terhingga N hingga tak terbatas).

Sikap
ditelepon rasio emas, digunakan di luar matematika (misalnya, dalam seni pahat dan arsitektur). Rasio emas adalah perbandingan antara diagonal dan sisinya segi lima beraturan(Gbr. 8.1).

Beras. 8.1. segi lima biasa dan diagonalnya

Untuk menunjukkan bagian emas, biasanya menggunakan huruf
untuk menghormati pematung terkenal Athena Phidias.

bilangan prima

Semua bilangan asli unit besar, terbagi menjadi dua kelas. Yang pertama mencakup bilangan-bilangan yang memiliki tepat dua pembagi alami, satu dan dirinya sendiri, yang kedua mencakup sisanya. Nomor kelas satu dipanggil sederhana, dan yang kedua – gabungan. Bilangan prima dalam tiga puluhan pertama: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Sifat-sifat bilangan prima dan hubungannya dengan semua bilangan asli dipelajari oleh Euclid (abad ke-3 SM). Jika Anda menuliskan bilangan prima secara berurutan, Anda akan melihat bahwa kepadatan relatifnya berkurang. Untuk sepuluh pertama ada 4 yaitu 40%, untuk seratus – 25 yaitu 25%, per seribu – 168, mis. kurang dari 17%, per juta – 78498, mis. kurang dari 8%, dan seterusnya. Namun, jumlah totalnya tidak terbatas.

Di antara bilangan prima terdapat pasangan bilangan yang selisihnya sama dengan dua (yang disebut kembar sederhana), namun, keterbatasan atau ketidakterbatasan pasangan tersebut belum terbukti.

Euclid menganggapnya jelas dengan bantuan perkalian saja bilangan prima semua bilangan asli dapat diperoleh, dan setiap bilangan asli dapat direpresentasikan sebagai hasil kali bilangan prima dengan cara yang unik (hingga urutan faktornya). Jadi, bilangan prima membentuk basis perkalian deret natural.

Studi tentang distribusi bilangan prima mengarah pada terciptanya suatu algoritma yang memungkinkan seseorang memperoleh tabel bilangan prima. Algoritma seperti itu adalah saringan Eratosthenes(abad ke-3 SM). Metode ini terdiri dari menghilangkan (misalnya, dengan mencoret) bilangan bulat dari barisan tertentu
, yang habis dibagi paling sedikit salah satu bilangan prima yang lebih kecil
.

Dalil 8 . 2 . (Teorema Euclidean). Jumlah bilangan prima tidak terbatas.

Bukti. Kita akan membuktikan teorema Euclid tentang tak terhingga banyaknya bilangan prima menggunakan metode yang dikemukakan oleh Leonhard Euler (1707–1783). Euler menganggap hasil kali semua bilangan prima P:

pada
. Produk ini menyatu, dan jika kita mengembangkannya, maka karena keunikan penguraiannya bilangan asli menjadi faktor sederhana ternyata sama dengan jumlah deretnya , yang darinya identitas Euler berikut:

sejak kapan
deret di sebelah kanan divergen (deret harmonik), maka teorema Euclid mengikuti identitas Euler.

Matematikawan Rusia P.L. Chebyshev (1821–1894) memperoleh rumus yang menentukan batas bilangan prima
, tidak melebihi X:

Di mana
,
.

Masih banyak hal di alam semesta misteri yang belum terpecahkan, beberapa di antaranya telah dapat diidentifikasi dan dijelaskan oleh para ilmuwan. Angka-angka Fibonacci dan rasio emas menjadi dasar untuk mengungkap dunia di sekitar kita, membangun bentuk dan persepsi visual optimal seseorang, yang dengannya ia dapat merasakan keindahan dan harmoni.

Rasio emas

Hal ini didasarkan pada teori proporsi dan rasio pembagian segmen, yang dikemukakan oleh filsuf dan matematikawan kuno Pythagoras. Ia membuktikan bahwa ketika suatu segmen dibagi menjadi dua bagian: X (lebih kecil) dan Y (lebih besar), perbandingan yang lebih besar dan yang lebih kecil akan sama dengan perbandingan jumlah keduanya (seluruh segmen):

Hasilnya adalah persamaan: x 2 - x - 1=0, yang diselesaikan sebagai x=(1±√5)/2.

Jika kita perhatikan perbandingannya 1/x, maka sama dengan 1,618…

Angka Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, dst.

Ilmuwan juga mengutip sejumlah pola:

Bilangan apa pun dari deret tersebut dibagi deret berikutnya akan sama dengan nilai yang cenderung 0,618. Selain itu, angka Fibonacci pertama tidak memberikan angka seperti itu, tetapi seiring kita berpindah dari awal deret, rasio ini akan menjadi semakin akurat.
Jika angka dari deret tersebut dibagi dengan deret sebelumnya, hasilnya akan melonjak menjadi 1,618.
Satu angka dibagi satu berikutnya akan menunjukkan nilai yang cenderung 0,382.

Spiral Archimedes dan persegi panjang emas

Spiral, yang sangat umum di alam, dipelajari oleh Archimedes, yang bahkan menurunkan persamaannya. Bentuk spiral didasarkan pada hukum rasio emas. Saat melepasnya, diperoleh panjang yang proporsi dan angka Fibonacci dapat diterapkan, langkahnya bertambah secara merata;

Kesejajaran antara bilangan Fibonacci dan rasio emas dapat dilihat dengan membuat “persegi panjang emas” yang sisi-sisinya sebanding dengan 1,618:1. Dibangun dengan berpindah dari persegi panjang yang lebih besar ke persegi panjang yang lebih kecil sehingga panjang sisi-sisinya sama dengan bilangan-bilangan pada deret tersebut. Itu juga dapat dibuat dalam urutan terbalik, dimulai dengan kotak “1”. Jika sudut-sudut persegi panjang ini dihubungkan dengan garis-garis di tengah perpotongannya, diperoleh spiral Fibonacci atau logaritmik.

Sejarah penggunaan proporsi emas

Banyak monumen arsitektur kuno Mesir dibangun menggunakan proporsi emas: piramida Cheops yang terkenal dan lainnya Yunani kuno Mereka banyak digunakan dalam pembangunan objek arsitektur seperti kuil, amfiteater, dan stadion. Misalnya, proporsi seperti itu digunakan dalam pembangunan kuil kuno Parthenon, (Athena) dan benda-benda lain yang menjadi mahakarya arsitektur kuno, menunjukkan keselarasan berdasarkan pola matematika.

Pada abad-abad berikutnya, minat terhadap rasio emas mereda, dan polanya dilupakan, tetapi minat tersebut muncul kembali pada zaman Renaisans dengan buku "The Divine Proportion" (1509) karya biksu Fransiskan L. Pacioli di Borgo. Isinya ilustrasi oleh Leonardo da Vinci, yang menetapkan nama baru “rasio emas”. 12 sifat rasio emas juga terbukti secara ilmiah, dan penulis berbicara tentang bagaimana hal itu memanifestasikan dirinya di alam, dalam seni dan menyebutnya “prinsip membangun dunia dan alam.”

Manusia Vitruvian Leonardo

Gambar yang digunakan Leonardo da Vinci untuk mengilustrasikan buku Vitruvius tahun 1492 ini menggambarkan sosok manusia dalam 2 posisi dengan tangan terentang ke samping. Gambar tersebut tertulis dalam lingkaran dan persegi. Gambar ini dianggap sebagai proporsi kanonik tubuh manusia (laki-laki), yang dijelaskan oleh Leonardo berdasarkan studinya dalam risalah arsitek Romawi Vitruvius.

Titik tengah badan yang berjarak sama dari ujung lengan dan tungkai adalah pusar, panjang lengan sama dengan tinggi badan orang tersebut, lebar bahu maksimal = 1/8 dari tinggi badan, the jarak dada bagian atas ke rambut = 1/7, dari dada bagian atas ke bagian atas kepala = 1/6 dst.

Sejak itu, gambar tersebut digunakan sebagai simbol yang menunjukkan simetri internal tubuh manusia.

Leonardo menggunakan istilah "Rasio Emas" untuk mengartikannya hubungan proporsional dalam sosok manusia. Misalnya, jarak pinggang ke kaki berhubungan dengan jarak yang sama dari pusar ke puncak kepala, sama seperti tinggi badan terhadap panjang pertama (dari pinggang ke bawah). Perhitungan ini dilakukan serupa dengan rasio segmen ketika menghitung proporsi emas dan cenderung 1,618.

Semua proporsi yang serasi ini sering dimanfaatkan para seniman untuk menciptakan karya yang indah dan mengesankan.

Penelitian tentang rasio emas pada abad 16 hingga 19

Dengan menggunakan rasio emas dan angka Fibonacci, pekerjaan penelitian diskusi tentang masalah proporsi telah berlangsung selama lebih dari satu abad. Sejalan dengan Leonardo da Vinci, seniman Jerman Albrecht Durer juga berupaya mengembangkan teori proporsi tubuh manusia yang benar. Untuk tujuan ini, ia bahkan menciptakan kompas khusus.

Pada abad ke-16 Pertanyaan tentang hubungan antara bilangan Fibonacci dan rasio emas dikhususkan untuk karya astronom I. Kepler, yang pertama kali menerapkan aturan ini pada botani.

Sebuah “penemuan” baru menunggu rasio emas di abad ke-19. dengan diterbitkannya “Investigasi Estetika” oleh ilmuwan Jerman Profesor Zeisig. Dia menaikkan proporsi ini ke tingkat absolut dan menyatakan bahwa proporsi tersebut bersifat universal untuk semua fenomena alam. Dia melakukan penelitian terhadap sejumlah besar orang, atau lebih tepatnya proporsi tubuh mereka (sekitar 2 ribu), berdasarkan hasil kesimpulan yang ditarik tentang pola rasio yang dikonfirmasi secara statistik. berbagai bagian tubuh: panjang bahu, lengan bawah, tangan, jari, dll.

Benda seni (vas, struktur arsitektur), nada musik, meteran saat menulis puisi - Zeisig menampilkan semua ini melalui panjang segmen dan angka, dan ia juga memperkenalkan istilah "estetika matematika". Setelah mendapat hasilnya ternyata diperoleh deret Fibonacci.

Angka Fibonacci dan rasio emas di alam

Pada dunia tumbuhan dan hewan terdapat kecenderungan morfologi berupa simetri yang diamati pada arah tumbuh dan gerak. Pembagian menjadi bagian-bagian simetris di mana proporsi emas diamati - pola ini melekat pada banyak tumbuhan dan hewan.

Alam sekitar kita dapat digambarkan dengan menggunakan bilangan Fibonacci, misalnya:

susunan daun atau cabang suatu tumbuhan, serta jaraknya, sesuai dengan rangkaian bilangan tertentu 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 dan seterusnya;
biji bunga matahari (sisik pada kerucut, sel nanas), disusun dalam dua baris sepanjang spiral bengkok ke arah yang berbeda;
perbandingan panjang ekor dan seluruh tubuh cicak;
bentuk telur, jika garis ditarik secara kondisional melalui bagian lebarnya;
perbandingan ukuran jari pada tangan seseorang.

Dan, tentu saja, bentuk yang paling menarik antara lain cangkang siput yang berputar, pola jaring laba-laba, pergerakan angin di dalam badai, heliks ganda dalam DNA, dan struktur galaksi - yang semuanya melibatkan deret Fibonacci.

Penggunaan rasio emas dalam seni

Peneliti mencari contoh penggunaan rasio emas dalam seni rupa mengkaji secara detail berbagai objek arsitektur dan karya seni lukis. Ada karya pahatan terkenal, yang penciptanya menganut proporsi emas - patung Olympian Zeus, Apollo Belvedere dan

Salah satu karya Leonardo da Vinci, “Potret Mona Lisa,” telah menjadi subjek penelitian para ilmuwan selama bertahun-tahun. Mereka menemukan bahwa komposisi karya tersebut seluruhnya terdiri dari “segitiga emas” yang disatukan menjadi bintang segi lima beraturan. Semua karya da Vinci adalah bukti betapa dalamnya pengetahuannya tentang struktur dan proporsi tubuh manusia, sehingga ia mampu menangkap senyuman misterius Mona Lisa.

Rasio emas dalam arsitektur

Sebagai contoh, para ilmuwan meneliti mahakarya arsitektur yang dibuat berdasarkan aturan “rasio emas”: Piramida Mesir, Pantheon, Parthenon, Katedral Notre Dame de Paris, Katedral St. Basil, dll.

Parthenon - salah satu bangunan terindah di Yunani Kuno (abad ke-5 SM) - memiliki 8 kolom dan 17 ke berbagai pihak, perbandingan tinggi dan panjang sisinya adalah 0,618. Tonjolan pada fasadnya dibuat sesuai dengan “rasio emas” (foto di bawah).

Salah satu ilmuwan yang menemukan dan berhasil menerapkan perbaikan sistem proporsi modular untuk objek arsitektur (yang disebut "modulor") adalah arsitek Perancis Le Corbusier. Modulator didasarkan pada sistem pengukuran, terkait dengan pembagian bersyarat menjadi bagian-bagian tubuh manusia.

Arsitek Rusia M. Kazakov, yang membangun beberapa bangunan tempat tinggal di Moskow, serta gedung Senat di Kremlin dan Rumah Sakit Golitsyn (sekarang Klinik ke-1 dinamai N. I. Pirogov), adalah salah satu arsitek yang menggunakan hukum dalam desain dan konstruksi tentang rasio emas.

Menerapkan proporsi dalam desain

Dalam desain pakaian, semua perancang busana membuat gambar dan model baru dengan memperhatikan proporsi tubuh manusia dan aturan rasio emas, meskipun pada dasarnya tidak semua orang memiliki proporsi yang ideal.

Saat merencanakan desain lansekap dan membuat komposisi taman tiga dimensi dengan bantuan tanaman (pohon dan semak), air mancur, dan objek arsitektur kecil, hukum “proporsi ilahi” juga dapat diterapkan. Bagaimanapun, komposisi taman harus difokuskan untuk menciptakan kesan pada pengunjung, sehingga dapat leluasa menavigasi dan menemukan pusat komposisi.

Seluruh elemen taman dibuat dalam proporsi sedemikian rupa sehingga menciptakan kesan harmoni dan kesempurnaan dengan bantuan struktur geometris, posisi relatif, pencahayaan dan cahaya.

Penerapan rasio emas dalam sibernetika dan teknologi

Hukum bagian emas dan bilangan Fibonacci juga muncul dalam transisi energi, dalam proses yang terjadi dengan partikel elementer, komponen senyawa kimia, V sistem ruang angkasa, dalam struktur gen DNA.

Proses serupa terjadi dalam tubuh manusia, yang memanifestasikan dirinya dalam bioritme kehidupannya, dalam kerja organ, misalnya otak atau penglihatan.

Algoritma dan pola proporsi emas banyak digunakan dalam sibernetika modern dan ilmu komputer. Salah satu tugas sederhana yang harus diselesaikan oleh programmer pemula adalah menulis rumus dan menentukan jumlah bilangan Fibonacci hingga sejumlah tertentu menggunakan bahasa pemrograman.

Penelitian modern tentang teori rasio emas

Sejak pertengahan abad ke-20, minat terhadap masalah dan pengaruh hukum proporsi emas terhadap kehidupan manusia telah meningkat tajam, dan di antara banyak ilmuwan dari berbagai profesi: matematikawan, peneliti etnis, ahli biologi, filsuf, pekerja medis, ekonom, musisi, dll.

Di AS, sejak tahun 1970-an, majalah The Fibonacci Quarterly mulai diterbitkan, tempat karya-karya tentang topik ini diterbitkan. Karya-karya muncul di media yang menggunakan aturan umum rasio emas dan deret Fibonacci di berbagai bidang pengetahuan. Misalnya untuk pengkodean informasi, penelitian kimia, penelitian biologi, dll.

Semua ini menegaskan kesimpulan para ilmuwan kuno dan modern itu rasio emas terhubung secara multilateral dengan isu-isu mendasar ilmu pengetahuan dan diwujudkan dalam simetri banyak ciptaan dan fenomena dunia sekitar kita.

KGB dan UFO - informasi yang dideklasifikasi dokumen rahasia KGB dan UFO

Persamaan garis dalam ruang adalah persamaan dua bidang yang berpotongan