Tugas 1. Membangun sebuah segitiga dengan mengetahui dua sudut dan kelilingnya.
Larutan. Mengetahui sudut-sudut suatu segitiga sudah menentukannya hingga transformasi keserupaan. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan soal tersebut, kita membangun segitiga sembarang LS, dengan sudut-sudut tertentu (Gbr. 277). Tetap mengubah segitiga dengan cara yang sama sehingga kelilingnya menjadi sama dengan nilai ini.
Untuk melakukan ini, mari kita sisihkan sisi-sisinya pada perpanjangan sisi-sisinya, segmennya akan menjadi sama dengan keliling di segitiga. Mari kita ambil sembarang ruas KL, sejajar dengan ruas tersebut tetapi sama dengan keliling yang diberikan. Mari kita hubungkan ujung keduanya segmen paralel dan ambil titik O pada perpotongan garis tersebut sebagai pusat persamaan. Konstruksi simpul A dan C dari segitiga yang diinginkan dapat dilihat pada Gambar. 277, sisi-sisinya AB dan CB sejajar dengan sisi-sisi yang bersesuaian pada segitiga.
Dalam hal ini, segitiga sudah menjadi yang diinginkan.
Soal 2. Diketahui sudut yang dibentuk oleh sinar OA dan OB, dan sebuah titik N di dalam sudut tersebut. Buatlah lingkaran yang bersinggungan dengan sisi-sisi sudut dan melewatinya titik ini N (Gbr. 278).
Larutan. Lingkaran yang menyentuh sisi-sisi suatu sudut harus mempunyai pusat pada garis-bagi sudut tersebut. Mari kita ambil garis bagi ini titik sewenang-wenang dan buatlah sebuah lingkaran dengan pusat bersinggungan dengan sisi-sisi sudut (jari-jarinya sederhana sama dengan jarak titik dari sisi sudut). Jika sekarang kita mentransformasikan lingkaran ini secara serupa dengan pusat kesebangunan di titik sudut O, maka kita akan memperoleh kembali sebuah lingkaran yang berpusat pada garis bagi; lingkaran seperti itu akan kembali menyentuh sisi-sisi sudut, karena jari-jarinya yang menuju ke titik kontak akan berubah, karena kekekalan sudut, menjadi jari-jari yang tegak lurus sisi sudut. Tetap memastikan bahwa kondisi kedua terpenuhi: lingkaran yang ditransformasikan harus melewati titik N. Ini menyiratkan solusi dari masalah tersebut. Mari kita menggambar sinar ON sampai memotong lingkaran di titik-titik dan membangun jari-jarinya yang mengarah ke titik-titik tersebut. Melalui suatu titik N kita menggambar garis NC dan NC sejajar dengan jari-jari ini; titik potongnya C, C dengan garis bagi memberikan kemungkinan posisi pusat lingkaran yang diinginkan. Masalahnya memiliki dua solusi. Bagaimana penyelesaiannya berubah jika titik N terletak pada garis bagi sudut?
Latihan
1. Keliling suatu segitiga adalah 10 cm, dan luasnya. Berapakah keliling segitiga sebangun jika luasnya ?
2. Buktikan itu segitiga sama kaki mempunyai sudut-sudut titik yang sama adalah sebangun.
3. Buatlah sebuah segitiga yang sebangun dengan segitiga ini dan terdapat dalam lingkaran dengan jari-jari tertentu.
4.B segitiga yang diberikan ABC menuliskan sebuah persegi sehingga salah satu sisinya terletak pada sisi BC segitiga, dan dua titik sudut berada pada dua sisi segitiga lainnya.
BAB VIII.
PROPORSIONALITAS UKURAN. KESAMAAN GAMBAR.
§ 93. KONSTRUKSI GAMBAR SERUPA.
1. Konstruksi segitiga sebangun.
Kita telah mengetahui bahwa untuk membuat segitiga serupa dengan ini, cukup menggambar garis lurus yang sejajar dengan sisi segitiga dari suatu titik yang diambil pada sisi segitiga tersebut. Kami mendapatkan segitiga yang mirip dengan ini (Gbr. 382):
/\ ASV /\ A"C"B"
2. Konstruksi poligon serupa.
Untuk membuat poligon yang mirip dengan ini, kita dapat melakukan ini: kita membagi poligon ini dengan diagonal-diagonal yang ditarik dari salah satu simpulnya menjadi segitiga (Gbr. 383). Pada suatu sisi suatu poligon ABCDE, misalnya pada sisi AE, ambil suatu titik E" dan tariklah garis lurus yang sejajar dengan sisi ED hingga berpotongan dengan diagonal AD, misalnya pada titik D".
Dari titik D" kita tarik garis lurus sejajar sisi DC sampai berpotongan dengan diagonal AC di titik C". Dari titik C" kita tarik garis lurus sejajar sisi CB sampai berpotongan dengan sisi AB di titik B". Poligon AB"C"D"E" yang dihasilkan serupa dengan poligon ABCDE yang diberikan.
Anda harus membuktikan sendiri keabsahan pernyataan ini.
Jika perlu membuat poligon yang serupa dengan ini, dengan koefisien kemiripan tertentu, maka titik awal E" diambil masing-masing pada sisi AE atau perpanjangannya. koefisien ini kesamaan
3. Menembak rencana sebidang tanah.
a) Denah difoto dengan menggunakan alat khusus yang disebut mensula(gambar 384).
Mensula adalah papan persegi yang diletakkan di atas tripod. Saat menggambar rencana, papan dimasukkan ke dalam posisi horisontal, yang diperiksa menggunakan level. Untuk menggambar garis lurus ke arah yang diinginkan digunakan alidade yang dilengkapi dioptri. Setiap diopter memiliki celah di mana rambut diregangkan, yang memungkinkan Anda menyelaraskan alidade secara akurat ke arah yang benar. Selembar kertas putih ditempelkan pada mensula dengan kancing, di mana denahnya digambar.
Untuk menghapus denah dari sebidang tanah ABCDE, pilih beberapa titik O di dalam plot sehingga semua simpul dari sebidang tanah terlihat dari titik tersebut (Gbr. 385).
Dengan menggunakan garpu dengan garis tegak lurus (Gbr. 386), atur skala sehingga titik O, yang ditandai pada selembar kertas, terletak di seberang titik O yang dipilih di lokasi.
Kemudian dari titik O pada selembar kertas yang ditempelkan pada skala, digambar sinar-sinar dengan menggunakan alidade searah ke titik A, B, C, D dan E; mengukur jarak
OA, OB, OS, OD dan OE dan letakkan segmen pada sinar ini pada skala yang diterima
OA", OB", OS, OD" dan OE".
Titik A", B", C, D" dan E" dihubungkan. Hasilnya adalah poligon A"B"C"D"E", yang mewakili denah sebidang tanah tertentu pada skala yang diterima.
Metode fotografi mensular yang kami jelaskan disebut polar.
Ada cara lain untuk memotret denah menggunakan skala, yang dapat Anda baca di panduan khusus mengenai pemotretan skala.
Setiap rencana biasanya diberi skala yang dapat digunakan untuk menetapkannya dimensi sebenarnya dari plot yang dihapus, serta luasnya.
Rencana tersebut juga menunjukkan arah titik mata angin.
Kerja praktek.
a) Membuatnya di bengkel sekolah model paling sederhana mensula dan menggunakannya untuk membuat denah sebidang tanah kecil.
b) Denah plot dapat diambil dengan menggunakan astrolabe.
Biarkan rencana plot ABCDE perlu dihapus. Mari kita ambil salah satu simpul pada bagian tersebut, misalnya A, sebagai simpul awal dan, dengan menggunakan astrolabe, ukur sudut pada simpul A, yaitu.
/
1, /
2, /
3 (gambar 387).
Kemudian dengan menggunakan rantai ukur kita mengukur jarak AE, AD, AC dan AB. Tergantung pada ukuran area dan ukuran lembaran kertas tempat gambar denah dibuat, skala untuk menggambar denah dipilih.
Di titik A, yang kita ambil sebagai titik sudut poligon, kita buat tiga sudut yang masing-masing sama besar / 1, / 2 dan / 3; kemudian, pada skala yang dipilih, pada sisi-sisi sudut ini dari titik A" kita letakkan ruas-ruas A"E", A"D", A"C" dan A"B". Menghubungkan titik A" dan E", E" dan D", D dengan segmen "dan C, C" dan B, B" dan A", kita mendapatkan poligon A"B"C"D"E", mirip dengan poligon ABCDE. Ini akan menjadi denah dari sebidang tanah ini, ditarik ke skala yang dipilih.
252. Konsep kesebangunan segitiga juga berlaku untuk poligon. Misalkan poligon ABCDE diberikan (gambar 245); Mari kita lakukan konstruksi yang mirip dengan langkah 206. Bangunlah diagonal AC dan AD dan, pilih sembarang titik K pada sisi AB antara titik A dan B atau di luar ruas AB, buatlah KL || BC sampai perpotongan dengan diagonal AC, lalu LM || CD sampai perpotongan dengan AD dan terakhir MN || DE sampai persimpangan dengan AE. Kemudian Anda mendapatkan poligon AKLMN, yang terhubung ke ABCD dengan dependensi berikut:
1) Sudut-sudut suatu poligon sama besar berpasangan dengan sudut-sudut poligon lainnya: keduanya mempunyai sudut yang sama A, ∠K = ∠B (sesuai), ∠KLM = ∠BCD, karena ∠KLA = ∠BCA dan ∠ALM = ∠ACD, dll.
2) Sisi-sisi yang sebangun pada poligon-poligon tersebut sebanding, yaitu perbandingan sepasang sisi yang sebangun sama dengan perbandingan pasangan lainnya, sama dengan perbandingan pasangan ketiga, dan seterusnya.
Sisi-sisi yang “sebangun” di sini harus dipahami agak berbeda dengan segitiga: di sini kita menganggap sisi-sisi yang sebangun adalah sisi-sisi yang terdapat di antara keduanya. sudut yang sama misalnya BC dan KL.
Kewajaran proporsionalitas tersebut terlihat sebagai berikut:
∆AKL ~ ∆ABC, maka AK/AB = KL/BC = AL/AC
∆ALM ~ ∆ACD, maka AL/AC = LM/CD = AM/AD
∆AMN ~ ∆ADE, maka AM/AD = MN/DE = AN/AE
Kita melihat bahwa di antara tiga relasi sederajat pertama dan di antara tiga relasi sederajat kedua terdapat satu AL/AC yang identik; juga tiga relasi terakhir dikaitkan dengan relasi AM/AD sebelumnya. Oleh karena itu, dengan melewatkan rasio diagonalnya, kita memperoleh:
AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = AN/AE
Semua ini, seperti yang mudah dilihat, tetap berlaku untuk poligon yang memiliki jumlah sisi lebih banyak daripada poligon kita.
Jika poligon AKLMN kita pindahkan ke tempat lain pada bidang tersebut, maka 2 hubungan poligon tersebut dengan ABCDE di atas akan tetap berlaku; poligon seperti itu disebut serupa. Jadi, Dua buah poligon dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang satu sama besar berpasangan dengan sudut-sudut yang lain dan jika sisi-sisi yang sebangun sebanding.
Oleh karena itu, kita tahu cara membuat poligon yang mirip dengan ini. Kami membangun AKLMN ~ ABCDE.
Kita juga melihat bahwa dalam poligon ABCDE dan AKLMN diagonal dibangun dari simpul-simpul yang bersesuaian, dan diperoleh dua baris segitiga sebangun: ∆AKL ~ ∆ABC, ∆ALM ~ ∆ACD dan ∆AMN ~ ∆ADE - segitiga-segitiga ini letaknya identik di kedua poligon.
Timbul pertanyaan apakah properti terakhir akan tetap berlaku jika kita membuat poligon yang mirip dengan poligon ini dengan cara lain selain yang kita gunakan di sini.
253. Misalkan suatu poligon A"B"C"D"E" yang mirip dengan poligon ABCDE (gambar 246) dibuat, yaitu, sehingga
∠A" = ∠A, ∠B" = ∠B, ∠C" = ∠C, ∠D" = ∠D, ∠E" = ∠E (1)
A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"E"/DE = E"A"/EA (2)
Pertanyaan di akhir paragraf sebelumnya setara dengan pertanyaan lain: apakah mungkin untuk menempatkan kedua poligon ini pada posisi sedemikian rupa sehingga, misalnya, titik A" berimpit dengan A, dan simpul-simpul yang tersisa terletak berpasangan pada garis lurus yang datang. dari ini poin umum, dan agar sisi-sisinya yang sebangun sejajar, atau sisi salah satu poligon terletak di sisi poligon lainnya.
Mari kita selesaikan masalah ini. Untuk melakukannya, gambarkan segmen AK = A"B" pada sisi AB dari titik A dan, dengan menggunakan langkah sebelumnya, buatlah poligon AKLMN ~ ABCDE.
Masih harus dilihat apakah poligon A"B"C"D"E" dapat berhimpitan jika ditumpangkan dengan AKLMN.
Kita punya: AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = NA/EA.
Membandingkan persamaan ini dengan persamaan (2) dan dengan memperhatikan bahwa AK = A"B", kita dengan mudah memperoleh KL = B"C", LM = C"D", dst., yaitu semua sisi poligon A "B"C "D"E" dan AKLMN berpasangan sama besar. Mari kita letakkan poligon A"B"C"D"E" pada AKLMN sehingga A" jatuh ke A dan sisi A"B" berimpit dengan AK (kita buat AK = A "B"); maka karena persamaan sudut B" dan K, sisi B"C" akan sepanjang KL, karena persamaan sisi KL dan B"C", titik C" akan berakhir di L, dll.
Jadi, A"B"C"D"E" berimpit dengan AKLMN, maka jika kita buat diagonal A"C" dan A"D", kita peroleh deretan segitiga sebangun dan letaknya identik dengan ∆ABC, ∆ACD , dll. .
Oleh karena itu kami menyimpulkan: Jika kita membuat diagonal-diagonal dari titik-titik yang bersesuaian dalam poligon-poligon sebangun, kita akan mendapatkan 2 baris segitiga sebangun dan letaknya identik.
Sangat mudah untuk melihat validitas kesimpulan sebaliknya: jika ∆A"B"C" ~ ABC, ∆A"C"D" ~ ∆ACD dan ∆A"D"E" ~ ∆ADE, maka poligon A" B"C"D "E" ~ poligon ABCDE. Maka ∆A"B"C" = ∆AKL, ∆A"C"D" = ∆ALM dan ∆A"D"E" = ∆AMN, yang berarti persamaan poligon A"B"C"D"E " dan AKLMN dan, oleh karena itu, kesamaan A"B"C"D"E" dan ABCDE.
254. Posisi itu (dua simpul yang bersesuaian bergabung pada satu titik, simpul-simpul yang tersisa terletak berpasangan pada garis lurus yang melalui titik ini, dan sisi-sisi yang sebangun sejajar), di mana kita berhasil membawa dua poligon yang serupa, adalah kasus khusus dari yang lain lagi posisi umum dua poligon serupa.
Mari kita punya KLMN ~ ABCD (gambar 247). Mari kita ambil titik S dan menghubungkannya ke semua simpul A, B, C dan D pada poligon pertama. Mari kita coba membuat poligon, sama dengan poligon KLMN, sehingga titik sudutnya terletak pada garis SA, SB, SC dan SD serta sisi-sisinya sejajar dengan sisi poligon ABCD.
Untuk melakukan ini, mari kita plot segmen AP = KL pada sisi AB (kita asumsikan KL dan AB adalah sisi yang sebangun) dan buatlah PB" || AS (titik P dan garis lurus PB" tidak diberikan dalam gambar). Melalui titik B", dimana SB berpotongan dengan PB", kita buat B"A" || AB. Maka A"B" = AP = KL, lalu buatlah B"C" || BC, melalui titik C", dimana B"C" berpotongan dengan SC, tarik C"D" || CD dan titik D", dimana C"D" berpotongan dengan SD, sambungkan ke A". Kita peroleh poligon A"B "C"D", yang seperti akan kita lihat sekarang, mirip dengan poligon ABCD.
Sejak A"B" || AB, lalu ∆SA"B" ~ ∆SAB, dari situ
SA"/SA = A"B"/AB = SB"/SB (1)
Sejak B"C" || BC, lalu ∆SB"C" ~ ∆SBC, dari mana
SB"/SB = B"C"/BC = SC"/SC (2)
Sejak C"D" || CD, lalu ∆SC"D" ~ ∆SCD, dari situ
SC"/SC = C"D"/CD = SD"/SD (3)
Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa SA"/SA = SD"/SD, dan oleh karena itu ∆SA"D" ~ ∆SAD, karena kedua sisi yang satu sebanding dengan dua sisi yang lain dan sudut di antara keduanya sama besar ( ∠S umum), - A"D " || IKLAN dan
SD"/SD = D"A"/DA = SA"/SA (4)
Dari persamaan relasi (1), (2), (3) dan (4) dengan mudah kita peroleh:
A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"A"/DA (5)
Selain itu, ∠A" = ∠A, ∠B" = ∠B, dst., sebagai sudut dengan sisi sejajar. Oleh karena itu, A"B"C"D" ~ ABCD.
Selanjutnya mudah untuk melihat bahwa KLMN = A"B"C"D". Memang, ∠K = ∠A, tetapi ∠A = ∠A", oleh karena itu, ∠K = ∠A"; juga ∠L = ∠B", dst. - sudut-sudut poligon kita sama besar. Selain itu, dari persamaan KLMN ~ ABCD kita peroleh:
KL/AB = LM/BC = MN/CD = NK/DA.
Membandingkan ini hubungan yang setara dengan persamaan (5) dan dengan mengingat bahwa A"B" = KL, kita peroleh: B"C" = LM, C"D" = MN, D"A" = NK. Sekarang mudah, seperti yang dilakukan di atas, untuk melihat bahwa KLMN, jika ditumpangkan, akan sejajar dengan A"B"C"D". Akibatnya, kami dapat menempatkan poligon-poligon serupa ini sedemikian rupa sehingga simpul-simpulnya terletak berpasangan pada garis lurus yang melalui titik S dan sisi-sisi serupa sejajar, itulah yang kami tuju.
Perhatikan juga bahwa simpul-simpul yang bersesuaian dalam poligon kita mengikuti satu sama lain dalam arah yang sama (lihat panah di dekat poligon ABCD, KLMN dan A"B"C"D") - searah jarum jam.
Jika simpul-simpul suatu poligon, yang bersesuaian dengan simpul-simpul lain yang berurutan, mengikuti satu sama lain dalam arah yang berlawanan dengan lokasinya di poligon lainnya, maka poligon kita dapat ditempatkan sedemikian rupa sehingga simpul-simpul yang bersesuaian terletak di sepanjang sisi yang berbeda dari titik S (lihat gambar 248).
Titik S di mana garis-garis yang menghubungkan pasangan titik sudut poligon yang bersesuaian bertemu disebut pusat kesamaan; dalam kasus pertama (gambar 247), ketika kedua simpul yang bersesuaian (misalnya, A dan A") terletak di sisi S yang sama, pusat kemiripan disebut eksternal, dan dalam kasus kedua (gambar 248), ketika simpul-simpul yang bersesuaian terletak pada sisi yang berbeda dari titik S, pusat kesebangunan disebut dalam. Jika poligon-segitiga yang sebangun disusun sedemikian rupa sehingga mempunyai pusat keserupaan, maka disebut poligon-simpul yang bersesuaian terletak serupa.
255. Jika kita diberi poligon ABCD (gambar 247 atau 248), - kita akan menyebut poligon ini asli, - kita dapat, dengan memilih titik sembarang S, mendapatkan gambarnya yang serupa pada skala apa pun - nama ini digunakan untuk jelaskan hubungan setiap segmen gambar dengan segmen yang sesuai di aslinya (dalam poligon ini). Hubungan ini disebut juga koefisien kesamaan- mari kita nyatakan dengan k. Untuk saat ini, bagi kami, koefisien kemiripan adalah perbandingan sisi gambar dengan sisi aslinya, yaitu.
A"B/AB = B"C/BC = … = k.
Di masa depan, kami akan memperluas konsep ini ke hubungan antara dua segmen gambar dan gambar asli yang mirip satu sama lain.
Dari persamaan (1), (2), (3) dan (4) paragraf sebelumnya, kita mendapatkan:
SA"/SA = SB"/SB = SC"/SC = SD"/SD = A"B"/AB = k,
yaitu rasio jarak dari pusat kemiripan dari simpul-simpul bayangan yang bersesuaian dan koefisien kesamaan = asal.
Yang kami maksud dengan nama bangun (datar) adalah himpunan titik dan garis bidang. Poligon ABCD - ada gambarnya. Mari kita tambahkan titik lain (dipilih secara acak) E - kita akan mendapatkan gambar baru yang terdiri dari poligon ABCD dan titik E - kita akan menemukan gambar titik E. Untuk melakukan ini, kita akan membuat garis lurus SE dan plotkan segmen SE di atasnya sehingga SE"/SE = k (segmen tersebut mudah dibuat menggunakan paragraf 214); kita dapat memplot segmen ini ke arah SE (gambar 247 atau dalam); arah sebaliknya(Bab 248). Titik E" yang dihasilkan adalah bayangan titik E - dengan kata lain, titik E" dan E adalah titik-titik yang bersesuaian pada dua gambar kita yang serupa dan letaknya serupa.
Dengan menghubungkan titik E, misalnya dengan B dan titik E" dengan B" (B dan B" juga merupakan titik-titik yang bersesuaian), kita memperoleh dua segmen BE dan B"E yang bersesuaian satu sama lain.
Sangat mudah untuk melihat bahwa ∆SBE ~ ∆SB"E" (karena ∠BSE = ∠B"SE dan sisi-sisi yang membentuk sudut-sudut ini sebanding: SB"/SB = k dan SE"/SE = k, - oleh karena itu, SB" /SB = SE"/SE), ini berarti:
1) menjadi"E" || MENJADI dan 2) B"E"/BE = SB"/SB = k
yaitu segmen-segmen yang bersesuaian satu sama lain pada gambar dan aslinya adalah 1) sejajar satu sama lain dan 2) rasionya sama dengan koefisien kemiripan .
Hal ini menyiratkan kemungkinan konstruksi berikut untuk menemukan suatu titik yang berkorespondensi dengan suatu titik yang diberikan dalam aslinya, jika kita telah mempunyai sepasang titik yang bersesuaian dan pusat kemiripannya diketahui: mari kita mempunyai sepasang titik yang bersesuaian B dan B" dan kita perlu mencari titik yang bersesuaian dengan titik E - kita buat garis lurus SE dan BE dan melalui B" kita buat garis lurus yang sejajar BE, titik potongnya E" dengan SE akan menghasilkan titik yang diinginkan.
256. Mari kita buat gambar apa pun, yang salah satu titiknya adalah A (gambar 249), gambarnya, dengan mengambil dua titik sembarang S 1 dan S 2 sebagai pusat kemiripan eksternal dan bilangan k 1 dan k 2 sebagai koefisien kemiripan. Misalkan titik A pada gambar pertama berhubungan dengan titik A" dan pada gambar kedua titik A" berhubungan dengan titik yang sama.
Mari kita tambahkan juga pada gambar ini beberapa titik B yang terletak pada garis lurus S 1 S 2 ; maka titik B ini pada gambar pertama bersesuaian dengan titik B" dan gambar kedua dengan titik B"", dan titik B" dan B"" harus terletak pada garis lurus yang sama S 1 S 2 dan garis lurus AB, A"B " dan A""B "" harus sejajar dan searah.
Lalu kita punya:
A"B"/AB = k 1 dan A""B""/AB = k 2.
Dari sini kita menemukan:
A"B"/A""B"" = k 1 /k 2.
Mari kita hubungkan titik A" dan A"", dan temukan titik potong S 3 dari garis A""A" dan S 2 S 1. Kemudian dari persamaan segitiga S 3 A"B" dan S 2 A""B"" kita peroleh:
Dengan menghubungkan titik A" dan A"", kita mencari titik potong S 3 dari garis A""A" dan S 2 S 1. Kemudian dari persamaan segitiga S 3 A"B" dan S 2 A""B"" kita peroleh:
S 3 B"/S 3 B"" = A"B"/A""B"" = k 1 /k 2,
yaitu titik S 2 harus membagi segmen B"B"" secara eksternal dalam rasio yang sama dengan nomor yang diberikan k 1 /k 2 . Kita tahu (hal. 217) bahwa hanya ada satu titik yang membagi segmen tertentu B"B"" dalam suatu relasi tertentu secara eksternal. Jika kita mengambil titik C lain dari gambar ini dan membuat bayangannya C" dan C"" , kemudian dengan menghubungkan titik C" dan C"" dan mengambil titik potongnya, sebut saja lagi S 3, garis lurus C"C"" dengan garis lurus S 1 S 2, kita peroleh bahwa ∆S 3 B" C" ~ ∆S 3 B ""C"" (B""C"" || BC dan B"C" || BC, oleh karena itu, B""C"" || B"C"), dari mana kita temukan lagi bahwa S 3 B"/ S 3 B"" = k 1 /k 2, yaitu titik baru S 3 bertepatan dengan yang sebelumnya. Akibatnya, S 3 adalah pusat kesamaan angka (A"B"C"...) dan (A""B""C""...) dan, terlebih lagi, eksternal, karena arah di mana titik-titik yang bersesuaian saling mengikuti pada kedua gambar adalah identik. Dari sini kita menyimpulkan bahwa gambar-gambar (A"B"C"...) dan (A""B""C""...) juga mempunyai pusat eksternal. kesamaan dan terletak pada garis lurus yang sama dengan pusat.
Jika salah satu pusat kemiripan S1 diambil di luar, dan S2 lainnya diambil di dalam (gambar 250), maka arah ruas-ruas yang bersesuaian adalah sebagai berikut: A"B" sama dengan arah AB, tetapi A""B "" berlawanan dengan arah AB, - oleh karena itu, arah A ""B"" adalah kebalikan dari A"B" dan S3 adalah pusat keserupaan bagian dalam dari bangun-bangun tersebut (A"B"...) dan ( A""B""...).
Jika kita mengambil kedua pusat kesamaan sebagai internal (misalnya, S 2 dan S 3 pada Gambar 250), maka mudah untuk melihat bahwa pusat kesamaan ketiga adalah eksternal. Jadi, secara umum:
Jika tiga bangun datar disusun berpasangan serupa, maka tiga pusat kemiripan terletak pada satu garis lurus, dan ketiganya berada di luar, atau dua di antaranya berada di dalam, dan satu di luar.
257. .
Mari kita punya dua poligon serupa ABCDEF dan A"B"C"D"E"F" (gambar 251). Sebut saja koefisien kesamaan k.
A"B"/AB = k, B"C"/BC = k, dst.,
A"B" = k · AB, B"C" = k · BC, C"D" = k · CD, …
Menambahkan persamaan ini di beberapa bagian dan mengeluarkan faktor k di bagian kedua dari tanda kurung, kita mendapatkan:
A"B" + B"C" + C"D" + … = k(AB + BC + CD + …),
(A"B" + B"C" + C"D" …) / (AB + BC + CD + …) = k = A"B"/AB,
yaitu perbandingan keliling segitiga-segitiga sebangun sama dengan perbandingan sisi-sisi yang sebangun (atau sama dengan koefisien kesebangunan).
Mari kita pilih dua simpul yang bersesuaian, misalnya A dan A", dan buatlah diagonal-diagonal yang melewati keduanya. Maka kita mengetahui: 1) (dari paragraf 253) ∆ABC ~ ∆A"B"C", ∆ACD ~ ∆A"C “D”, dst. 2) (dari paragraf 212). Perbandingan luas segitiga-segitiga sebangun sama dengan kuadrat perbandingan sisi-sisinya yang sebangun, oleh karena itu,
hal. ∆A"B"C" / luas ∆ABC = (A"B"/AB) 2 = k 2; luas ∆A"C"D" / luas ∆ACD = (C"D"/CD) 2 = k 2 dst.,
hal. ∆A"B"C" = k 2 · jamak ∆ABC; jamak ∆A"C"D" = k 2 · jamak. ∆ACD;
hal. ∆A"D"E" = k 2 persegi ∆ADE ...
Menambahkan persamaan ini sebagian dan menghilangkannya pengganda umum k 2 di bagian kedua di luar tanda kurung kita peroleh:
hal. ∆A"B"C" + jamak ∆A"C"D" + ∆A"D"E" + … = k 2 (jamak ∆ABC + jamak ∆ACD + jamak ∆ADE + …),
hal. A"B"C"D"E"F" / persegi ABCDEF = k 2 = (A"B"/AB) 2 ,
yaitu, perbandingan luas poligon-poligon yang sebangun sama dengan kuadrat perbandingan sisi-sisi yang sebangun (atau sama dengan kuadrat koefisien kemiripan).
258. Dua poligon beraturan dengan nama yang sama selalu serupa. Faktanya, sudut-sudut poligon dengan nama yang sama adalah sama (butir 248), dan karena semua sisi dari masing-masing poligon sama besar, maka, jelas, perbandingan sisi mana pun dari satu sisi ke sisi mana pun adalah angka yang konstan.
Jika kita menulis apapun poligon beraturan(gambar 252) dan melalui titik tengah busur yang terletak di sisi-sisinya, kita membuat garis singgung lingkaran, kemudian kita memperoleh poligon beraturan dengan nama yang sama, dibatasi di sekitar lingkaran ini. Tidak sulit untuk mengetahui (kita serahkan kepada mereka yang menginginkannya) bahwa dua poligon beraturan yang dihasilkan letaknya sama, dan pusat lingkaran berfungsi sebagai pusat kemiripan luarnya - luar karena setiap pasangan titik yang bersesuaian (misalnya , A dan A") terletak pada arah yang sama dari pusat (jika poligon memilikinya bilangan genap sisi, maka pusat lingkaran dapat dianggap sebagai pusat kesamaan internal; kita hanya perlu berasumsi bahwa, misalnya, titik A berhubungan dengan titik A"").
259. Latihan.
1. Sisi-sisi suatu segi lima berturut-turut adalah 12, 14, 10, 8 dan 16 dm. Hitunglah sisi-sisi segi lima lain yang sebangun dengan segi lima pertama jika kelilingnya = 80 dm.
2. Jumlah luas dua poligon sebangun adalah 250 meter persegi. dm., dan perbandingan dua sisi yang sebangun = ¾. Hitung luas masing-masingnya.
3. Tunjukkan bahwa jika sebuah poligon beraturan dengan jumlah sisi ganjil dimasukkan ke dalam sebuah lingkaran dan garis singgung lingkaran dibuat pada titik-titik sudutnya, maka akan diperoleh poligon terbatas, yang letaknya mirip dengan poligon tertulis - pusat lingkaran berfungsi sebagai pusat kesamaan internal mereka.
4. Diberikan sebuah segitiga; buatlah segitiga lain yang letaknya sama dengan segitiga pertama sehingga pusat gravitasi segitiga pertama berfungsi sebagai pusat keserupaan bagian dalam dan koefisien keserupaan = ½. Dengan menggunakan ini, cari tahu letak titik ketinggian, pusat gravitasi, dan pusat keliling segitiga tertentu.
5. Sebuah persegi terdapat pada segitiga ini.
Misalkan ABC adalah segitiga tertentu (gambar 253) dan DEFK adalah persegi yang diinginkan. Mari kita buat persegi lain MNPQ sehingga salah satu sisi MQ terletak pada sisi AC segitiga dan titik N pada sisi AB. Sangat mudah untuk melihat bahwa persegi MNPQ terletak serupa dengan persegi DEFK yang diinginkan dan pusat kemiripan luarnya adalah titik A; jadi titik F terletak pada garis AP. Setelah menemukan titik F, persegi yang dibutuhkan mudah dibuat.
6. Diberikan sebuah sudut dan sebuah titik di dalamnya. Temukan titik di salah satu sisi sudut yang berjarak sama dari titik tertentu dan dari sisi lainnya.
Masalahnya diselesaikan dengan menggunakan teknik yang sama.
7. Buatlah sebuah segitiga berdasarkan ketinggiannya.
Caranya mudah untuk memperoleh, dengan menyebut sisi-sisi segitiga melalui a, b dan c serta tinggi-tinggi yang bersesuaian melalui ha, h b dan h c, hubungan berikut:
ah a = bh b = ch c, maka a: b = h b: ha dan b: c = h c: h b = ha: (h b ha)/h c
Sangat mudah untuk membuat ruas x = (h b ha a)/h c (x/ha a = h b /h c - konstruksi proporsional ke-4), setelah itu kita membuat segitiga dengan sisi h b, ha dan x. Segitiga ini sebangun dengan segitiga yang disyaratkan, karena a: h: c = h b: ha: x; Yang tersisa hanyalah membuat segitiga serupa dengan yang baru saja dibuat sehingga salah satu tingginya sama dengan yang diberikan.
Dalam menyelesaikan banyak masalah konstruksi, digunakan metode kesamaan, yang intinya adalah sebagai berikut: pertama, gambar yang mirip dengan yang diberikan dibuat, kemudian angka tersebut ditambah (dikurangi) sebesar sikap yang benar(yaitu, gambar serupa dibuat) yang memenuhi kondisi masalah.
Disarankan untuk membagi proses pembelajaran menggunakan kesamaan untuk memecahkan masalah konstruksi menjadi empat tahap: persiapan, pengenalan, pengembangan keterampilan, dan peningkatan keterampilan. Setiap tahap memiliki tujuan didaktiknya sendiri, yang dicapai ketika siswa menyelesaikan tugas-tugas yang dirancang khusus.
Tujuan didaktik tahap persiapan- mengembangkan kemampuan siswa untuk: mengidentifikasi data yang menentukan bentuk suatu bangun, banyak pasang bangun yang sejenis; membangun sebuah gambar menggunakan data yang menentukan bentuk; berpindah dari gambar yang dibangun ke gambar yang diinginkan.
Setelah mempelajari tanda pertama kesebangunan segitiga, kita dapat menawarkan himpunan berikut tugas:
Buatlah segitiga menggunakan dua sudut. Berapa banyak solusi yang dimiliki masalah tersebut? Unsur apa yang menentukan bentuk segitiga yang dibangun?
Sebutkan segitiga-segitiga sebangun pada Gambar 35.
Diketahui elemen berikut segitiga: a) sudut 75 dan 25; b) tinggi 1,5 cm; c) sudut 75 dan 25, tinggi 1,5 cm. Manakah dari data berikut yang menentukan satu-satunya gambar pada Gambar 35?
Sudut manakah yang menentukan bentuk segitiga pada Gambar 35?
Apakah mungkin untuk menentukan dimensi salah satu segitiga pada Gambar 35 jika diketahui data berikut: a) sudut pada alas segitiga; b) tinggi segitiga; c) sisi dan sudut pada alasnya?
Apakah segitiga ABC dan ABC sebangun pada Gambar 36 jika ACAC? jika keduanya serupa, berapakah koefisien kemiripannya?
Kumpulan tugas yang diberikan kepada siswa setelah mempelajari 2 dan 3 tanda kesebangunan segitiga disusun dengan cara yang serupa. Namun, saat berpindah dari dari karakteristik ini Soal-soal selanjutnya menjadi agak rumit, yaitu: susunan segitiga pada gambar berubah, menjauh dari standar, himpunan elemen yang menentukan suatu bangun berubah. Tugas, misalnya, bisa seperti ini:
1. Apakah segitiga ABC dan ABC sebangun jika:
a) AB=5cm, BC=7cm, B=30є, AB=10cm, BC=14cm, B=60є;
b) AB=5cm, BC=7cm, B=30є, AB=10cm, BC=14cm, B=30є;
c) AB=3cm, BC=5cm, CA=7cm, AB=4,5cm, BC=7,5cm, CA=10,5cm;
d) AB=1,7cm, BC=3cm, CA=4,2cm, AB=34dm, BC=60dm, CA=84dm.
2.B segitiga ABC Dengan sudut lancip Ketinggian AE dan BD diambil dari C (Gbr. 37). Buktikan bahwa ABC mirip dengan EDC.
3. Buktikan bahwa keliling segitiga-segitiga sebangun mempunyai sisi-sisi yang bersesuaian.
Tujuan didaktik tahap perkenalan adalah menjelaskan kepada siswa struktur proses konstruksi dengan menggunakan metode kesamaan.
Penjelasannya dimulai dari permasalahan.
Tugas. Buatlah sebuah segitiga dari dua sudut tertentu dan dan sebuah garis bagi dengan panjang d yang ditarik dari titik sudut ketiga.
Menganalisis masalah kepada siswa, guru menawarkan tugas – pertanyaan, yang jawabannya dicatat secara singkat di papan tulis. Pertanyaannya bisa berupa:
1. Data apa yang menentukan bentuk segitiga yang diinginkan?
2. Data apa yang menentukan ukuran segitiga yang dibutuhkan?
3. Berapa banyak segitiga yang dapat dibuat untuk dua sudut? Apa bentuk konstruksi dari semua segitiga yang dibangun?
4. Ruas manakah yang harus digambar dalam segitiga yang serupa dengan yang Anda cari?
5. Bagaimana cara membuat segitiga yang diinginkan?
Jawaban atas pertanyaan disertai dengan gambar yang digambar tangan di papan tulis (Gbr. 38).
a) ABC: SEBUAH=, B=;
b) buatlah garis bagi sudut C pada segitiga ABC,
c) membangun CN=d, NCD;
d) menggambar garis lurus melalui titik N, AB;
e) AC=A, BC=B;
f) ABC - yang diinginkan: A =, B = (karena ABC adalah ABC menurut 1 atribut) dan CN = d berdasarkan konstruksi. Tujuan didaktik tahap yang mengembangkan kemampuan memecahkan masalah jenis yang sedang dipertimbangkan jelas dari namanya. Bentuk kegiatan utama pada tahap ini adalah pencarian individu. Itu diakhiri dengan percakapan ringkasan.
Berikut beberapa contoh tugas yang dapat diusulkan pada tahap ini.
Tugas. Sebuah titik F terletak di dalam sudut AOB. Buatlah sebuah titik M di sisi OA yang berjarak sama dari F dan dari sisi OB
Larutan.
1. Analisis. Perhatikan Gambar 39. Misalkan dibuat titik M, maka MF=MP. Artinya titik M yang diinginkan adalah pusat lingkaran berjari-jari MF dengan pusat M bersinggungan dengan sisi OB di titik P.
Jika kita mengambil titik sembarang M pada OA dan menurunkan MR ke SV dan mencari F perpotongan lingkaran dengan pusat M berjari-jari MR dengan garis lurus ОF, maka MFP akan serupa dengan MFP. Konstruksi yang diperlukan mengikuti dari ini.
2. Konstruksi. Kita jalankan OF, ambil sembarang titik M di SA dan turunkan MR ke NE. Kita menggambar sebuah lingkaran berjari-jari MP yang berpusat di titik M. Misalkan F adalah titik potong lingkaran ini dengan ОF. Kita gambar FM lalu tarik garis lurus melalui titik FFM. Titik M perpotongan garis ini dengan OA adalah titik yang diinginkan.
3. Bukti. Jelas dari analisis yang dilakukan.
4. Penelitian. Masalahnya memiliki 2 solusi. Hal ini mengikuti fakta bahwa lingkaran berpotongan dengan ОF di 2 titik.
Tugas. Buatlah segitiga dengan menggunakan 2 sudut dan keliling.
Larutan.
1. Analisis. Misalkan dan adalah sudut-sudut tertentu dan P adalah keliling segitiga yang diinginkan (Gbr. 40). Misalkan segitiga yang diinginkan telah dibangun, maka jika kita menganggap ABC sebangun dengan segitiga yang diinginkan, perbandingan keliling P ABC dengan keliling P ABC sama dengan perbandingan sisi AC dan AC.
2. Konstruksi. Mari kita buat ABC serupa dengan yang diperlukan. Pada sinar AB, gambarkan ruas AD=P dan AD=P, kemudian hubungkan titik D dan C, dan tarik garis lurus DC melalui titik D. Misalkan C adalah titik potong garis lurus dengan sinar AC. Melalui titik C kita tarik garis CB dan tentukan B sebagai titik potong garis tersebut dengan AD, maka ABC yang diinginkan.
3. Bukti. Jelas sekali, ACD mirip dengan ACD. Perbandingan aspek sama dengan perbandingan keliling ABC dan ABC yang sebangun, maka keliling ABC = P, maka ABC yang diinginkan.
4. Penelitian. Karena jumlah dua sudut suatu segitiga<180, то условие +<180 является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый АВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.
Tugas. Diketahui AOB dan titik M terletak di daerah dalam sudut ini. Buatlah lingkaran yang melalui titik A dan bersinggungan dengan sisi-sisi sudut AOB.
Larutan.
1. Analisis. Misalkan AOB diberikan dan titik M terletak di daerah sudut dalam (Gbr. 41).
Mari menggambar lingkaran lain yang menyentuh sisi AOB. Mari kita nyatakan M sebagai titik potong lingkaran dengan garis lurus OM dan perhatikan OMN dan OMN (N dan N pusat lingkaran dan).
Segitiga-segitiga ini sebangun pada dua sudutnya, sehingga lingkaran yang diperlukan dapat dibuat sebagai berikut:
2. Konstruksi. Karena pusat lingkaran yang diinginkan terletak pada garis bagi AOB, maka kita menggambar garis bagi sudut tersebut. Selanjutnya ambil titik N disini dan buatlah lingkaran dengan pusat N bersinggungan dengan AOB. Kemudian kita menggambar garis SM dan dilambangkan dengan M titik potong garis dengan lingkaran (ada dua titik seperti itu - M dan M - kita ambil salah satunya). Kita tarik garis MN dan garisnya melalui titik M. Maka N, perpotongan garis dengan garis bagi sudut, adalah pusat lingkaran yang diinginkan, dan jari-jarinya sama dengan MN. Mari kita lihat dia selesai.
3. Bukti. Secara konstruksi, lingkarannya sebangun, O adalah pusat kemiripan. Hal ini berdasarkan persamaan segitiga OMN dan OMN, oleh karena itu, karena lingkaran menyentuh sisi-sisi sudut, maka lingkaran tersebut akan menyentuh sisi-sisi sudut.
4. Penelitian. Masalahnya mempunyai dua solusi, karena OM berpotongan dengan lingkaran di dua titik M dan M yang masing-masing mempunyai lingkaran tersendiri yang melalui titik M dan menyentuh sisi AOB.
Tujuan didaktik dari tahap meningkatkan kemampuan memecahkan masalah seperti yang disebutkan di atas adalah untuk mentransfer keterampilan yang terbentuk ke masalah yang lebih kompleks, khususnya pada situasi berikut: sosok yang diinginkan menempati posisi tertentu dalam kaitannya dengan titik atau garis tertentu. , sedangkan penghapusan salah satu kondisi masalah menghasilkan sistem angka yang serupa atau homotetis. Mari kita beri contoh tugas seperti itu.
Tugas. Tulislah sebuah persegi pada segitiga ini sehingga kedua titik sudutnya terletak pada salah satu sisi segitiga, dan dua titik lainnya pada dua sisi lainnya.
Tugas yang sesuai dengan tujuan tahap ini dikeluarkan dari daftar tugas di tingkat wajib. Oleh karena itu, mereka hanya ditawarkan kepada siswa yang berprestasi. Perhatian utama pada tahap ini diberikan pada aktivitas pencarian individu siswa.
