ABCD Segi Empat adalah bangun datar yang terdiri dari empat titik A, B, C, D, masing-masing tiga titik tidak terletak pada satu garis lurus, dan empat ruas AB, BC, CD dan AD yang menghubungkan titik-titik tersebut.

Gambar menunjukkan segi empat.

Titik A, B, C dan D disebut titik sudut segiempat, dan segmen AB, BC, CD dan AD - Para Pihak. Titik A dan C, B dan D disebut simpul yang berlawanan. Sisi AB dan CD, BC dan AD disebut pihak lawan.

Ada segi empat cembung(dalam gambar - kiri) dan tidak cembung(dalam gambar - kanan).

Setiap diagonalnya segi empat cembung membaginya menjadi dua segitiga(diagonal AC membagi ABCD menjadi dua segitiga ABC dan ACD; diagonal BD menjadi BCD dan BAD). kamu segi empat tidak cembung hanya satu diagonal yang membaginya menjadi dua segitiga(diagonal AC membagi ABCD menjadi dua segitiga ABC dan ACD; diagonal BD tidak).

Mari kita pertimbangkan jenis utama segiempat, sifat-sifatnya, rumus luas:

Genjang

Genjang Segi empat yang sisi-sisinya yang berhadapan sejajar berpasangan disebut.

Properti:

Tanda-tanda jajaran genjang:

1. Jika dua sisi suatu segi empat sama panjang dan sejajar, maka segiempat tersebut adalah jajar genjang.
2. Jika pada suatu segiempat sisi-sisi yang berhadapan sama besar berpasangan, maka segi empat tersebut merupakan jajar genjang.
3. Jika pada suatu segi empat diagonal-diagonalnya berpotongan dan dibagi dua oleh titik potongnya, maka segi empat tersebut merupakan jajar genjang.

Luas jajar genjang:

Trapesium

Rekstok gantung Segi empat disebut segi empat yang dua sisinya sejajar dan dua sisi lainnya tidak sejajar.

Alasan disebut sisi sejajar, dan dua sisi lainnya disebut sisi.

Garis tengah Trapesium adalah segmen yang menghubungkan titik tengah sisi-sisinya.

DALIL.

Garis tengah trapesium sejajar dengan alasnya dan sama dengan setengah jumlah trapesium tersebut.

Daerah trapesium:

Belah ketupat

berlian disebut jajar genjang yang semua sisinya sama panjang.

Properti:

Daerah belah ketupat:

Persegi panjang

Persegi panjang disebut jajar genjang yang semua sudutnya sama besar.

Properti:

Tanda persegi panjang:

Jika diagonal-diagonal jajar genjang sama besar, maka jajar genjang tersebut adalah persegi panjang.

Luas persegi panjang:

Persegi

Persegi disebut persegi panjang yang semua sisinya sama panjang.

Properti:

Persegi mempunyai semua sifat-sifat persegi panjang dan belah ketupat (persegi panjang adalah jajar genjang, oleh karena itu persegi adalah jajar genjang yang semua sisinya sama besar, yaitu belah ketupat).

Luas persegi:

Salah satu ciri jajar genjang adalah jika dua sisi suatu segiempat sama panjang dan sejajar, maka segiempat tersebut adalah jajar genjang. Artinya, jika suatu segi empat mempunyai dua sisi yang sama besar dan sejajar, maka kedua sisi lainnya juga sama dan sejajar satu sama lain, karena fakta ini merupakan definisi dan sifat jajar genjang.

Jadi, jajar genjang hanya dapat didefinisikan oleh dua sisi yang sama panjang dan sejajar satu sama lain.

Ciri-ciri jajar genjang ini dapat dirumuskan sebagai teorema dan dibuktikan. Dalam hal ini, kita diberikan sebuah segiempat yang kedua sisinya sama panjang dan sejajar satu sama lain. Perlu dibuktikan bahwa segiempat tersebut adalah jajar genjang (yaitu, dua sisi lainnya sama besar dan sejajar satu sama lain).

Misalkan segi empat tersebut adalah ABCD dan sisi-sisinya AB || CD dan AB = CD.

Dengan syarat, kita diberikan segi empat. Tidak ada yang disebutkan apakah itu cembung atau tidak (walaupun hanya segi empat cembung yang bisa menjadi jajar genjang). Namun, bahkan pada segiempat tidak cembung selalu ada satu diagonal yang membaginya menjadi dua segitiga. Jika diagonalnya AC, maka diperoleh dua segitiga ABC dan ADC. Jika diagonalnya BD, maka terdapat ∆ABD dan ∆BCD.

Misalkan kita mempunyai segitiga ABC dan ADC. Mereka mempunyai satu sisi yang sama (diagonal AC), sisi AB dari satu segitiga sama dengan sisi CD yang lain (dengan syarat), sudut BAC sama dengan sudut ACD (terletak melintang antara garis transversal dan sejajar). Artinya ∆ABC = ∆ADC pada dua sisi dan sudut di antara keduanya.

Dari persamaan segitiga dapat disimpulkan bahwa sisi-sisi dan sudut-sudut lainnya masing-masing sama besar. Tetapi sisi BC dari segitiga ABC sama dengan sisi AD dari segitiga ADC, yang berarti BC = AD. Sudut B sama dengan sudut D, yang berarti ∠B = ∠D. Sudut-sudut tersebut bisa sama besar jika BC || AD (karena AB || CD, garis-garis ini dapat digabungkan dengan translasi paralel, maka B akan menjadi ∠D bersilangan, dan persamaannya hanya dapat terjadi pada BC || AD).

Secara definisi, jajar genjang adalah segiempat yang sisi-sisinya berhadapan sama panjang dan sejajar satu sama lain.

Jadi, terbukti bahwa jika suatu segi empat ABCD mempunyai sisi-sisi AB dan CD sama panjang dan sejajar, dan diagonal AC membaginya menjadi dua segitiga, maka pasangan sisinya yang lain sama besar dan sejajar.

Jika segiempat ABCD dibagi menjadi dua segitiga oleh diagonal lainnya (BD), maka segitiga ABD dan BCD dianggap. Kesetaraan mereka akan dibuktikan serupa dengan yang sebelumnya. Ternyata BC = AD dan ∠A = ∠C, yang berarti BC || IKLAN.

Level rata-rata

Jajargenjang, persegi panjang, belah ketupat, persegi (2019)

1. Jajar Genjang

Kata majemuk "jajar genjang"? Dan di baliknya terdapat sosok yang sangat sederhana.

Artinya, kami mengambil dua garis paralel:

Dilintasi dua lagi:

Dan di dalamnya ada jajaran genjang!

Properti apa yang dimiliki jajaran genjang?

Sifat-sifat jajar genjang.

Artinya, apa yang bisa digunakan jika soal tersebut diberi jajar genjang?

Teorema berikut menjawab pertanyaan ini:

Mari kita gambarkan semuanya secara detail.

Apa artinya poin pertama dari teorema? Dan faktanya adalah jika Anda MEMILIKI jajar genjang, maka Anda pasti akan memilikinya

Poin kedua berarti jika ADA jajar genjang, sekali lagi, pasti:

Nah, dan yang terakhir, poin ketiga artinya jika Anda MEMILIKI jajar genjang, maka pastikan untuk:

Apakah Anda melihat betapa banyaknya pilihan yang ada? Apa yang harus digunakan dalam masalah tersebut? Cobalah untuk fokus pada pertanyaan tugas, atau coba semuanya satu per satu - beberapa "kunci" bisa digunakan.

Sekarang mari kita bertanya pada diri sendiri pertanyaan lain: bagaimana kita bisa mengenali jajaran genjang “dengan melihat”? Apa yang harus terjadi pada segi empat agar kita berhak memberinya “judul” jajar genjang?

Beberapa tanda jajaran genjang menjawab pertanyaan ini.

Tanda-tanda jajaran genjang.

Perhatian! Mulai.

Genjang.

Harap dicatat: jika Anda menemukan setidaknya satu tanda dalam masalah Anda, maka Anda pasti memiliki jajar genjang, dan Anda dapat menggunakan semua properti jajar genjang.

2. Persegi Panjang

Saya pikir itu sama sekali bukan berita baru bagi Anda

Pertanyaan pertama: apakah persegi panjang merupakan jajar genjang?

Tentu saja! Lagi pula, dia punya - ingat, tanda kita 3?

Dan dari sini, tentu saja, dalam sebuah persegi panjang, seperti halnya jajaran genjang lainnya, diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik potongnya.

Namun persegi panjang juga memiliki satu ciri khas.

Properti persegi panjang

Mengapa properti ini istimewa? Karena tidak ada jajar genjang lain yang diagonalnya sama. Mari kita rumuskan lebih jelas.

Harap diperhatikan: untuk menjadi persegi panjang, segi empat harus terlebih dahulu menjadi jajar genjang, lalu menunjukkan persamaan diagonalnya.

3. Berlian

Dan lagi pertanyaannya: apakah belah ketupat itu jajar genjang atau bukan?

Di sebelah kanan adalah jajaran genjang, karena memiliki dan (ingat fitur kami 2).

Dan lagi, karena belah ketupat adalah jajar genjang, maka ia harus memiliki semua sifat jajar genjang. Artinya, pada belah ketupat, sudut-sudut yang berhadapan sama besar, sisi-sisi yang berhadapan sejajar, dan diagonal-diagonalnya berpotongan dua di titik potong.

Sifat-sifat belah ketupat

Lihatlah gambar:

Seperti halnya persegi panjang, sifat-sifat ini berbeda, yaitu, untuk masing-masing sifat ini kita dapat menyimpulkan bahwa ini bukan hanya jajar genjang, tetapi belah ketupat.

Tanda-tanda berlian

Dan sekali lagi, perhatikan: tidak boleh hanya ada segiempat yang diagonal-diagonalnya tegak lurus, tetapi juga jajar genjang. Memastikan:

Tidak, tentu saja, meskipun diagonal-diagonalnya tegak lurus, dan diagonalnya adalah garis bagi sudut dan. Tapi... diagonal-diagonalnya tidak terbagi dua oleh titik potongnya, oleh karena itu - BUKAN jajar genjang, dan karenanya BUKAN belah ketupat.

Artinya, persegi adalah persegi panjang dan belah ketupat sekaligus. Mari lihat apa yang terjadi.

Apakah sudah jelas alasannya? - belah ketupat adalah garis bagi sudut A yang sama dengan. Artinya, ia terbagi (dan juga) menjadi dua sudut.

Cukup jelas: diagonal-diagonal sebuah persegi panjang adalah sama; Diagonal-diagonal belah ketupat tegak lurus, dan pada umumnya jajar genjang diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik potongnya.

LEVEL RATA-RATA

Sifat-sifat segi empat. Genjang

Sifat-sifat jajar genjang

Perhatian! Kata-kata " sifat-sifat jajar genjang"berarti kalau dalam tugasmu Ada jajaran genjang, maka semua hal berikut dapat digunakan.

Teorema tentang sifat-sifat jajar genjang.

Dalam jajaran genjang apa pun:

Dengan kata lain, mari kita pahami mengapa semua ini benar KAMI AKAN BUKTIKAN dalil.

Jadi mengapa 1) benar?

Jika merupakan jajar genjang, maka:

• berbaring bersilangan
• berbohong seperti salib.

Artinya (menurut kriteria II: dan - umum.)

Ya, itu dia, itu dia! - terbukti.

Tapi omong-omong! Kami juga membuktikan 2)!

Mengapa? Tapi (lihat gambarnya), justru karena itu.

Tinggal sisa 3).

Untuk melakukan ini, Anda masih harus menggambar diagonal kedua.

Dan sekarang kita melihatnya - menurut karakteristik II (sudut dan sisi “di antara”).

Khasiatnya terbukti! Mari kita beralih ke tanda-tandanya.

Tanda-tanda jajaran genjang

Ingatlah bahwa tanda jajar genjang menjawab pertanyaan “bagaimana Anda tahu?”

Dalam ikonnya seperti ini:

Mengapa? Akan menyenangkan untuk memahami alasannya - itu sudah cukup. Tapi lihatlah:

Nah, kami menemukan mengapa tanda 1 itu benar.

Ya, itu lebih mudah! Mari menggambar diagonal lagi.

Yang berarti:

DAN Ini juga mudah. Tapi...berbeda!

Cara, . Wow! Tetapi juga - internal satu sisi dengan garis potong!

Oleh karena itu faktanya berarti demikian.

Dan jika Anda melihat dari sisi lain, maka - bagian dalam satu sisi dengan garis potong! Dan maka dari itu.

Apakah Anda melihat betapa hebatnya itu?!

Dan sekali lagi sederhana:

Sama persis, dan.

Perhatian: jika kamu menemukannya setidaknya salah satu tanda jajaran genjang dalam masalah Anda, maka Anda punya tepat jajaran genjang dan dapat Anda gunakan setiap orang sifat-sifat jajar genjang.

Untuk lebih jelasnya, lihat diagram:

Sifat-sifat segi empat. Persegi panjang.

Properti persegi panjang:

Poin 1) cukup jelas - lagipula, tanda 3 () terpenuhi begitu saja

Dan poin 2) - sangat penting. Jadi, mari kita buktikan

Artinya di dua sisi (dan - umum).

Nah, karena segitiga-segitiga itu sama besar, maka sisi miringnya juga sama.

Buktikan itu!

Dan bayangkan, persamaan diagonal merupakan ciri khas persegi panjang di antara semua jajaran genjang. Artinya, pernyataan ini benar^

Mari kita pahami alasannya?

Artinya (artinya sudut-sudut jajar genjang). Tapi mari kita ingat sekali lagi bahwa itu adalah jajar genjang, dan karena itu.

Cara, . Ya, tentu saja, masing-masing dari mereka! Bagaimanapun, mereka harus memberi secara total!

Jadi mereka membuktikan bahwa jika genjang tiba-tiba (!) diagonalnya menjadi sama, lalu ini persis persegi panjang.

Tetapi! Perhatian! Ini tentang jajaran genjang! Bukan sembarang orang segi empat yang diagonal-diagonalnya sama adalah persegi panjang, dan hanya genjang!

Sifat-sifat segi empat. Belah ketupat

Dan lagi pertanyaannya: apakah belah ketupat itu jajar genjang atau bukan?

Dengan hak penuh - jajaran genjang, karena memiliki (Ingat fitur kami 2).

Dan lagi, karena belah ketupat adalah jajar genjang, ia harus memiliki semua sifat jajar genjang. Artinya, pada belah ketupat, sudut-sudut yang berhadapan sama besar, sisi-sisi yang berhadapan sejajar, dan diagonal-diagonalnya berpotongan dua di titik potong.

Namun ada juga sifat khusus. Mari kita rumuskan.

Sifat-sifat belah ketupat

Mengapa? Nah, karena belah ketupat adalah jajar genjang, maka diagonal-diagonalnya terbagi dua.

Mengapa? Ya, itu sebabnya!

Dengan kata lain, diagonal-diagonalnya ternyata merupakan garis bagi sudut-sudut belah ketupat.

Seperti halnya persegi panjang, sifat-sifat ini adalah berbeda, masing-masing juga merupakan tanda belah ketupat.

Tanda-tanda berlian.

Kenapa ini? Dan lihat,

Itu berarti keduanya Segitiga-segitiga ini adalah segitiga sama kaki.

Untuk menjadi belah ketupat, suatu segi empat harus “menjadi” jajar genjang terlebih dahulu, lalu memperlihatkan ciri 1 atau ciri 2.

Sifat-sifat segi empat. Persegi

Artinya, persegi adalah persegi panjang dan belah ketupat sekaligus. Mari lihat apa yang terjadi.

Apakah sudah jelas alasannya? Persegi - belah ketupat - adalah garis bagi suatu sudut yang sama besarnya. Artinya, ia terbagi (dan juga) menjadi dua sudut.

Cukup jelas: diagonal-diagonal sebuah persegi panjang adalah sama; Diagonal-diagonal belah ketupat tegak lurus, dan pada umumnya jajar genjang diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik potongnya.

Mengapa? Nah, terapkan saja teorema Pythagoras pada...

RINGKASAN DAN FORMULA DASAR

Sifat-sifat jajar genjang:

1. Sisi-sisi yang berhadapan sama besar: , .
2. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar: , .
3. Jumlah sudut pada salah satu sisinya adalah: , .
4. Diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik potongnya: .

Properti persegi panjang:

1. Diagonal-diagonal persegi panjang tersebut sama besar: .
2. Persegi panjang adalah jajar genjang (untuk persegi panjang semua sifat jajar genjang terpenuhi).

Sifat-sifat belah ketupat:

1. Diagonal-diagonal belah ketupat tegak lurus: .
2. Diagonal belah ketupat adalah garis bagi sudut-sudutnya: ; ; ; .
3. Belah ketupat adalah jajar genjang (untuk belah ketupat semua sifat jajar genjang terpenuhi).

Sifat-sifat persegi:

Persegi adalah belah ketupat dan persegi panjang sekaligus, oleh karena itu, untuk persegi semua sifat persegi panjang dan belah ketupat terpenuhi. Dan:

Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...

Untuk apa?

Untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...

Orang yang mendapat pendidikan yang baik memperoleh penghasilan lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukanlah hal yang utama.

Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.

Anda akan perlu memecahkan masalah melawan waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.

Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua pilihan:

1. Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini - 299 gosok.
2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - 999 gosok.

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Dalam kasus kedua kami akan memberikannya padamu simulator “6000 masalah dengan solusi dan jawaban, untuk setiap topik, di semua tingkat kompleksitas.” Ini pasti akan cukup untuk memecahkan masalah pada topik apa pun.

Faktanya, ini lebih dari sekedar simulator - keseluruhan program pelatihan. Jika perlu, Anda juga dapat menggunakannya secara GRATIS.

Akses ke semua teks dan program disediakan selama SELURUH periode keberadaan situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.

“Dipahami” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Hari ini kita akan mempertimbangkan sosok geometris - segi empat. Dari namanya gambar ini sudah jelas bahwa gambar ini mempunyai empat sudut. Namun karakteristik dan properti lainnya dari gambar ini akan kami pertimbangkan di bawah ini.

Apa itu segi empat

Segiempat adalah poligon yang terdiri dari empat titik (simpul) dan empat ruas (sisi) yang menghubungkan titik-titik tersebut secara berpasangan. Luas suatu segi empat sama dengan setengah hasil kali diagonal-diagonalnya dan sudut di antara keduanya.

Segiempat adalah poligon yang mempunyai empat titik sudut, tiga di antaranya tidak terletak pada satu garis lurus.

Jenis-jenis segi empat

• Segiempat yang sisi-sisinya berhadapan sejajar berpasangan disebut jajar genjang.
• Segi empat yang dua sisi berhadapannya sejajar dan dua sisi lainnya tidak sejajar disebut trapesium.
• Segi empat yang semua sudutnya siku-siku adalah persegi panjang.
• Segi empat yang semua sisinya sama panjang adalah belah ketupat.
• Segi empat yang semua sisinya sama besar dan semua sudutnya siku-siku disebut persegi.

Segi empat dapat berupa:

Berpotongan sendiri

Non-cembung

Cembung

Segi empat yang berpotongan sendiri adalah segiempat yang salah satu sisinya mempunyai titik potong (berwarna biru pada gambar).

Segi empat tidak cembung adalah segi empat yang salah satu sudut dalamnya lebih dari 180 derajat (ditunjukkan dengan warna oranye pada gambar).

Jumlah sudut segiempat apa pun yang tidak berpotongan sendiri selalu sama dengan 360 derajat.

Jenis segi empat khusus

Segiempat dapat memiliki sifat tambahan, membentuk jenis bentuk geometris khusus:

• Genjang
• Persegi panjang
• Persegi
• Trapesium
• Berbentuk delta
• Kontra-jajar genjang

Segi empat dan lingkaran

Segiempat yang dibatasi pada suatu lingkaran (lingkaran pada segi empat).

Properti utama dari segi empat yang dijelaskan:

Suatu segi empat dapat dibatasi mengelilingi lingkaran jika dan hanya jika jumlah panjang sisi-sisi yang berhadapan sama.

Segiempat tertulis dalam lingkaran (lingkaran dibatasi mengelilingi segiempat)

Properti utama dari segi empat tertulis:

Suatu segi empat dapat dimasukkan ke dalam lingkaran jika dan hanya jika jumlah sudut-sudut yang berhadapan sama dengan 180 derajat.

Sifat-sifat panjang sisi segiempat

Modulus selisih dua sisi suatu segiempat tidak melebihi jumlah kedua sisi lainnya.

|a - b| ≤ c+d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a+d

|b - d| ≤ a+b

|c - d| ≤ a+b

Penting. Pertidaksamaan tersebut berlaku untuk semua kombinasi sisi-sisi segi empat. Gambar disediakan semata-mata untuk kemudahan persepsi.

Di segi empat mana pun jumlah panjang ketiga sisinya tidak kurang dari panjang sisi keempatnya.

Penting. Saat memecahkan masalah dalam kurikulum sekolah, Anda dapat menggunakan ketidaksetaraan yang ketat (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Javascript dinonaktifkan di browser Anda.
Untuk melakukan penghitungan, Anda harus mengaktifkan kontrol ActiveX!

Dalil: Suatu segi empat disebut jajar genjang jika:

1. sudut-sudut yang berhadapan sama besar;
2. sisi-sisi yang berhadapan sama besar berpasangan;
3. diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik perpotongan;
4. dua sisi berhadapannya sejajar dan sama besar.

Bukti:

A. Misalkan sudut K dan M pada segiempat KLMN sama besar dan sama dengan a, misalkan sudut L dan N juga sama besar dan sama dengan r (gambar). Mengingat jumlah sudut suatu segi empat adalah 360°, maka diperoleh 2α + 2β = 360°, atau α + β = 180°. Mengingat sudut K dan L yang masing-masing sama besar dengan udara merupakan sudut satu sisi dalam dengan garis lurus KN dan LM berpotongan dengan garis lurus KL, maka kita simpulkan bahwa sisi KN dan LM sejajar. Selain itu, berdasarkan sudut K dan N, kita simpulkan bahwa sisi KL dan NM sejajar. Sekarang, berdasarkan definisi jajar genjang, kita menyatakan bahwa KLMN segi empat adalah jajar genjang.

B. Misalkan sisi CD dan FE, serta CF dan DE, berpasangan sama besar pada segi empat CDEF (gambar). Mari kita menggambar salah satu diagonal segiempat, misalnya CE. Segitiga CDE dan EFC sama panjang pada ketiga sisinya. Jadi sudut DEC dan FCE sama besar. Karena sudut-sudut tersebut merupakan sudut dalam yang terletak bersilangan dengan garis DE dan CF yang dipotong oleh garis CE, maka sisi DE dan CF sejajar. Selain itu, dari persamaan sudut DCE dan FEC diperoleh sisi CD dan FE sejajar. Sekarang, berdasarkan definisi jajar genjang, kita nyatakan bahwa CDEF segi empat adalah jajar genjang.

C. Misalkan titik B pada perpotongan diagonal IL dan KM segi empat IKLM membagi diagonal-diagonal tersebut menjadi dua: IB = BL dan KB = BM (gambar). Maka segitiga KBL dan MBI sama panjang pada dua sisi dan sudut diantara keduanya. Hal ini memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa sudut 1MB dan LKB sama besar, artinya sisi IM dan KL sejajar. Demikian pula dari persamaan segitiga KBI dan MBL kita simpulkan bahwa sisi IK dan LM sejajar. Nah, dari pengertian jajar genjang kita dapat mengatakan bahwa segi empat IKLM adalah jajar genjang. Seringkali Anda perlu mengetahui hal ini ketika memecahkan masalah olimpiade di kompetisi sekolah.

D. Misalkan sisi-sisi berhadapan OP dan RQ pada segi empat OPQR sejajar dan sama besar (gambar). Mari kita menggambar OQ diagonal. Sudut-sudut yang dihasilkan POQ dan RQO adalah sama besar, karena keduanya terletak bersilang dalam dengan garis sejajar OP dan RQ berpotongan dengan garis lurus OQ. Jadi, segitiga OPQ dan RQO sama besar pada dua sisi dan sudut di antara keduanya. Artinya sudut-sudut yang bersesuaian PQO dan ROQ sama besar.

Dan karena keduanya merupakan sudut dalam yang bersilangan dengan garis PQ dan OR yang berpotongan dengan garis OQ, maka sisi PQ dan OR sejajar. Mengingat kesejajaran sisi OP dan RQ, maka berdasarkan definisi jajar genjang kita menyatakan bahwa segi empat OPQR adalah jajar genjang.