Dalam proyeksi sentral, tepi objek yang ditampilkan, sejajar dengan bidang gambar, digambarkan tanpa distorsi bentuk, tetapi dengan distorsi ukuran.
Gambar 24 Proyeksi pusat sebuah kubus: a) satu titik, b) dua titik, c) tiga titik.
Proyeksi sentral dari himpunan garis sejajar yang tidak sejajar dengan bidang gambar akan bertemu di titik hilang. Titik hilang garis yang sejajar dengan salah satu sumbu koordinat disebut titik hilang utama. Karena Ada tiga sumbu koordinat, maka titik hilang utama tidak boleh lebih dari tiga.
Tergantung pada lokasi sumbu koordinat dan bidang gambar, proyeksi pusat satu, dua, dan tiga titik dibedakan.
Satu poin proyeksi diperoleh bila bidang gambar berimpit dengan (atau sejajar) salah satu bidang koordinat. Artinya, hanya satu sumbu koordinat yang tidak sejajar dengan bidang gambar dan mempunyai titik hilang utama.
Poin ke poin proyeksi diperoleh jika hanya salah satu sumbu koordinat yang sejajar dengan bidang gambar. Dua sumbu koordinat lainnya tidak sejajar dengan bidang gambar dan mempunyai dua titik hilang utama. Saat menggambarkan objek yang terletak di permukaan bumi, proyeksi dua titik paling sering digunakan, di mana sumbu koordinat vertikal sejajar dengan bidang gambar. Kedua titik hilang utama terletak pada garis horizontal yang sama - garis horizon (Gbr. 6.5). Pada tiga poin proyeksi, ketiga sumbu koordinat tidak sejajar dengan bidang gambar dan oleh karena itu, terdapat tiga titik hilang utama.
Mari kita perhatikan lebih detail kasus proyeksi satu titik suatu titik R ke pesawat z= 0 dengan pusat proyeksi DENGAN, berbaring di poros z(Gbr. 25).
Dot A diproyeksikan ke layar sebagai A¢. Jarak pengamat ke bidang proyeksi adalah k. Penting untuk menentukan koordinat titik A¢ di layar. Mari kita nyatakan mereka X e dan kamu e. Dari persamaan segitiga A y A z N Dan kamu AKTIF kami menemukan itu
(x.9)
demikian pula untuk x:
Beras. 25. Penurunan rumus proyeksi pusat.
Beras. 26. Cara lain untuk menghitung koordinat titik pada proyeksi perspektif pusat.
Ingatlah bahwa k adalah jarak, dan pengamat berada di suatu titik N = (0,0,-k). Jika titik pengamatan ditempatkan pada titik asal koordinat dan bidang proyeksi pada jarak tertentu A, seperti terlihat pada Gambar 26, lalu rumusnya x e dan y akan berbentuk:
Rumus (x.10) lebih mudah digunakan bila diperlukan untuk memindahkan pengamat lebih dekat atau lebih jauh dari bidang proyeksi. Rumus (x.11) memerlukan waktu perhitungan yang lebih sedikit karena tidak adanya operasi penjumlahan.
Perhatikan sebuah titik dalam ruang tiga dimensi ( a,b,c). Jika kita membayangkan titik ini sebagai representasi homogen dari suatu titik dalam ruang dua dimensi, maka koordinatnya adalah ( a/c,b/c). Membandingkan koordinat ini dengan rumus jenis kedua yang diturunkan untuk proyeksi perspektif pusat, mudah untuk melihat bahwa representasi dua dimensi dari suatu titik dengan koordinat ( a,b,c) tampak seperti proyeksinya ke bidang z= 1, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 27.
Beras. 27. Proyeksi suatu titik ( a,b,c) ke bidang z = 1.
Demikian pula, dengan mempertimbangkan penggunaan koordinat homogen untuk vektor dalam ruang tiga dimensi, ruang tiga dimensi dapat direpresentasikan sebagai proyeksi ruang empat dimensi ke bidang hiper. w= 1 jika ( x,y,z)®( wx,wy,wz,w) = (x,y,z, 1). .
Dalam koordinat homogen, transformasi perspektif pusat dapat ditentukan dengan operasi matriks. Matriks ini ditulis sebagai:
Mari kita tunjukkan bahwa matriks ini menentukan transformasi suatu titik objek yang ditentukan dalam koordinat homogen menjadi proyeksi titik perspektif (juga dalam koordinat homogen). Membiarkan P = (x,y,z) – sebuah titik dalam ruang tiga dimensi. Penyajiannya homogen ay = (wx,wy,wz,w). Kalikan v dengan P:
ini persis mengulangi rumus (x.10) yang diturunkan untuk perspektif pusat.
Karena kekhasan penglihatan manusia, lebih baik menerapkan proyeksi perspektif pada objek yang jauh dari pengamat, ortografik atau aksonometri pada objek yang cukup dekat (sepanjang lengan), dan proyeksi perspektif terbalik pada objek yang lebih dekat.
Untuk membuat gambar stereo dua proyeksi pusat digunakan, yang pusatnya bertepatan dengan lokasi mata pengamat hipotetis, yaitu. mereka terletak agak jauh satu sama lain pada garis lurus yang sejajar dengan bidang gambar. Setelah proyeksi selesai, diperoleh dua gambar objek - untuk mata kiri dan kanan. Perangkat keluaran harus menyediakan gambar-gambar ini ke setiap mata pengguna secara terpisah. Untuk tujuan ini, sistem filter warna atau polarisasi dapat digunakan. Perangkat keluaran yang lebih kompleks (seperti helm) menampilkan setiap gambar ke layar terpisah untuk setiap mata.
Semua proyeksi yang dibahas di atas termasuk dalam golongan proyeksi geometri datar, karena proyeksi dilakukan pada bidang (bukan pada permukaan melengkung) dan menggunakan sekumpulan garis lurus (bukan kurva). Kelas proyeksi ini paling sering digunakan dalam grafik komputer. Sebaliknya, kartografi sering kali menggunakan proyeksi nonplanar atau nongeometris.
Saat ini, perangkat tampilan yang paling umum adalah perangkat yang mensintesis gambar pada bidang - layar tampilan atau kertas. Perangkat yang benar-benar menghasilkan gambar tiga dimensi masih cukup langka. Namun informasi tentang perkembangan tersebut semakin banyak bermunculan, misalnya tentang tampilan volumetrik atau bahkan tentang printer tiga dimensi.
Saat menggunakan perangkat grafis apa pun, proyeksi biasanya digunakan. Proyeksi menentukan cara objek ditampilkan pada perangkat grafis. Kami hanya akan mempertimbangkan proyeksi ke pesawat.
Koordinat dunia dan layar
Saat menampilkan objek spasial pada layar atau pada selembar kertas menggunakan printer, Anda perlu mengetahui koordinat objek tersebut. Kami akan mempertimbangkan dua sistem koordinat. Pertama - koordinat dunia, yang menggambarkan posisi sebenarnya suatu benda dalam ruang dengan akurasi tertentu. Yang lainnya adalah sistem koordinat perangkat gambar, di mana gambar objek ditampilkan dalam proyeksi tertentu.
Biarkan koordinat dunia menjadi koordinat Cartesian 3D. Di mana letak pusat koordinat, dan berapa satuan pengukuran di sepanjang setiap sumbu, belum terlalu penting bagi kami. Yang penting itu untuk gambar, kita akan mengetahui beberapa nilai numerik dari koordinat objek yang ditampilkan.
Untuk memperoleh gambar dalam proyeksi tertentu, perlu dihitung koordinat proyeksinya. Dari mereka Anda bisa mendapatkan koordinat untuk perangkat grafis - sebut saja koordinat layar. Untuk mensintesis bayangan pada suatu bidang, sistem koordinat dua dimensi sudah cukup. Namun, beberapa algoritma rendering menggunakan koordinat layar 3D, seperti algoritma Z-buffer.
Jenis proyeksi utama
Yang paling umum dalam grafik komputer paralel Dan pusat proyeksi (Gbr. 2.15).
Untuk proyeksi sentral (disebut juga menjanjikan) sinar proyeksi berasal dari satu titik yang ditempatkan pada jarak tertentu dari benda dan bidang proyeksi. Untuk proyeksi paralel, sinar proyeksinya sejajar.
Proyeksi aksonometri
Proyeksi aksonometri merupakan salah satu jenis proyeksi paralel. Baginya, semua sinar proyeksi terletak tegak lurus terhadap bidang proyeksi (Gbr. 2.16).
[Mari kita atur posisi bidang proyeksi menggunakan dua sudut - α dan β , Mari posisikan kamera sedemikian rupa sehingga proyeksi sumbunya z pada bidang proyeksi X0Y akan menjadi garis vertikal (sejajar dengan sumbu op-amp).
Beras. 2.16. Proyeksi aksonometri
Untuk mengetahui hubungan antar koordinat (x, kamu,z) Dan (X, Y, Z) untuk setiap titik dalam ruang tiga dimensi, pertimbangkan transformasi sistem koordinat ( X, kamu,z) ke dalam sistem (X, Y, Z). Mari kita definisikan transformasi tersebut dalam dua langkah.
1 melangkah. Memutar sistem koordinat terhadap suatu sumbu z dengan sudut α. Rotasi sumbu ini dijelaskan oleh matriks
ke-2 melangkah. Memutar sistem koordinat (X′ , kamu",z") relatif terhadap sumbu X" dengan sudut β - dapatkan koordinatnya (X, Y, Z). Matriks rotasi
Kami menyatakan transformasi koordinat dengan produk matriks B*A:
Mari kita tuliskan 
transformasi koordinat proyeksi dalam bentuk rumus:
Menurut Anda apakah proyeksi yang sama akan diperoleh jika transformasi koordinat dijelaskan dalam dua langkah yang sama, tetapi dalam urutan yang berbeda - pertama, memutar sistem koordinat relatif terhadap sumbu x sebesar sudutβ , dan kemudian memutar sistem koordinat relatif terhadap sumbu z" menurut sudut α? Dan akankah ada garis vertikal pada sistem koordinat (X, kamu, z) digambar juga oleh garis vertikal dalam sistem koordinat (X, kamu, Z)? Dengan kata lain, ya A*B - B*A?Transformasi koordinat terbalik proyeksi aksonometri. Agar koordinat proyeksinya (X, Y, Z) ubah ke koordinat dunia (x, kamu,z), Anda perlu melakukan urutan putaran terbalik. Pertama putar melalui sudut -β dan kemudian putar melalui sudut - α . Mari kita tulis transformasi inversnya dalam bentuk matriks
Matriks rotasi:
Mengalikan matriks A -1 dan B -1, kita memperoleh matriks transformasi invers:
Mari kita tuliskan juga transformasi inversnya dalam bentuk rumus
Proyeksi perspektif
Pertama-tama kita akan membahas proyeksi perspektif (Gbr. 2.17) dengan posisi kamera vertikal, kapan Sebuah=β= 0. Proyeksi tersebut dapat dibayangkan sebagai bayangan pada kaca yang melaluinya pengamat yang berada di atas titik tersebut melihat (x, kamu,z) = (0, 0, zk). Di sini bidang proyeksi sejajar dengan bidang tersebut (xOy).
Berdasarkan persamaan segitiga, kita tuliskan perbandingan sebagai berikut:
Pertimbangkan juga koordinat Z:
Dalam bentuk matriks, transformasi koordinatnya dapat dituliskan sebagai berikut:
Beras. 2.17. Proyeksi perspektif
Harap dicatat bahwa di sini koefisien matriks bergantung pada koordinat z (dalam penyebut pecahan). Artinya transformasi koordinatnya nonlinier (atau lebih tepatnya linier pecahan), termasuk dalam kelas proyektif transformasi.
Sekarang mari kita pertimbangkan kasus umum - untuk sudut kemiringan kamera yang berubah-ubah (A Dan R) sama dengan proyeksi aksonometri paralel. Membiarkan (x", kamu",z 1 ) - koordinat untuk sistem koordinat yang diputar relatif terhadap sistem awal (x, kamu,z) ke sudut α dan β .
Mari kita tuliskan transformasi koordinat proyeksi perspektif dalam bentuk:
Urutan transformasi koordinat dapat digambarkan sebagai berikut:
Transformasi umumnya nonlinier. Hal ini tidak dapat dijelaskan dengan satu matriks koefisien konstan untuk semua objek dalam pemandangan (walaupun bentuk matriks dapat digunakan untuk mengubah koordinat).
Untuk proyeksi perspektif seperti itu, bidang proyeksi tegak lurus terhadap sinar yang datang dari pusat (x, kamu,z)= (0, 0, 0) dan miring pada sudut α , β . Jika kamera dijauhkan dari pusat koordinat, proyeksi pusat berubah. Ketika kamera berada pada jarak tak terhingga, proyeksi pusat berubah menjadi proyeksi paralel.
Mari kita tunjukkan sifat-sifat utama transformasi perspektif. Di tengah
proyeksi:
□ rasio panjang dan luas tidak dipertahankan;
□ garis lurus digambarkan sebagai garis lurus;
□ Garis sejajar digambarkan konvergen pada satu titik.
Properti terakhir banyak digunakan di geometri deskriptif untuk gambar tangan di atas kertas. Mari kita ilustrasikan hal ini dengan menggunakan contoh rangka rumah (Gbr. 2.18).
Terdapat proyeksi perspektif lain yang berbeda pada posisi bidang proyeksi dan letak titik konvergensi sinar proyeksi. Selain itu, proyeksi dapat dilakukan bukan pada bidang, tetapi misalnya pada permukaan bola atau silinder.
Perhatikan proyeksi miring yang sinar proyeksinya tidak tegak lurus terhadap bidang proyeksi. Ide utama dari proyeksi semacam itu adalah kamera dinaikkan ke ketinggian H sambil mempertahankan posisi vertikal bidang desain (Gbr. 2.19).
Beras. 2.18. Garis sejajar digambarkan pada proyeksi pusat yang menyatu pada satu titik
Beras. 2.19. Proyeksi miring
Anda bisa mendapatkan proyeksi tersebut dengan cara berikut:
1. Putar pada suatu sumbu z pada suatu sudut A.
2. Kami mengganti z" pada -y", au" sampai z".
3. Geser sistem koordinat hingga ketinggian kamera H
4. Di pesawat (x", kamu", 0) kita membuat proyeksi perspektif menggunakan metode yang telah dibahas di atas (titik hilang sinar pada sumbu z).
Transformasi koordinat dapat digambarkan sebagai berikut. Tentukan terlebih dahulu (x", kamu",z′ ).
Dan kemudian transformasi perspektif dilakukan
Proyeksi ini memiliki keuntungan dalam mempertahankan garis vertikal paralel, yang terkadang berguna saat menggambarkan rumah dalam sistem komputer arsitektur.
Contoh gambar dalam berbagai proyeksi. Mari kita berikan contoh gambar objek identik dalam proyeksi berbeda. Benda-benda tersebut akan berbentuk kubus dengan ukuran yang sama. Posisi kamera ditentukan oleh sudut kemiringan α = 27°, β = 70°.
Contoh proyeksi aksonometri ditunjukkan pada Gambar. 2.20.
Beras. 2.20.Proyeksi aksonometri
Sekarang mari kita lihat contoh proyeksi perspektif. Berbeda dengan proyeksi paralel, gambar dalam proyeksi perspektif sangat bergantung pada posisi bidang proyeksi dan jarak dari kamera.
Dalam sistem optik konsep ini dikenal Focal length. Semakin panjang fokus lensa, semakin kecil persepsi perspektifnya (Gbr. 2.21" dan sebaliknya, untuk lensa fokus pendek, perspektifnya paling besar (Gbr. 2.22). Anda mungkin sudah memperhatikan efek ini jika memotret dengan kamera video atau kamera. Dalam contoh kami, Anda dapat mengamati beberapa korespondensi antara jarak dari kamera ke bidang proyeksi { z k – z hal ) dan panjang fokus lensa. Namun korespondensi ini bersifat kondisional; analogi dengan sistem optik tidak lengkap.
Untuk contoh di bawah ini (Gbr. 2.21, 2.22) z hal = 700. Sudut kemiringan kamera α = 27°, β = 70°.
Beras. 2.21.Proyeksi perspektif untuk kamera fokus panjang( z K = 2000)
Beras. 2.22.Proyeksi perspektif untuk kamera jarak pendek( z K = 1200)
Dalam kasus kamera jarak pendek (z K = 1200) persepsi perspektif paling terlihat pada kubus yang paling dekat dengan kamera. Garis vertikal benda tidak vertikal pada proyeksi (benda berantakan").
Mari kita lihat contoh proyeksi miring (Gbr. 2.23, 2.24). Baginya, garis vertikal objek mempertahankan lokasi vertikal pada proyeksi. Posisi kamera (titik konvergensi sinar proyeksi) dijelaskan sudut rotasi α = 27° dan tinggi angkat H = 500. Bidang proyeksi sejajar dengan bidang tersebut (x"Oh") dan letaknya agak jauh z hal = 700.
Beras.2.23. Proyeksi perspektif miring untuk kamera fokus panjang( z K = 2000)
Beras. 2.24.Proyeksi perspektif miring untuk kamera jarak pendek( z K = 1200)
Mari kita lihat contoh lain dari gambar proyeksi pusat - tag bergaya film Star Wars:
Tampilan di jendela
Seperti yang telah kita bahas di atas, pemetaan pada bidang proyeksi berhubungan dengan beberapa transformasi koordinat. Transformasi koordinat ini berbeda untuk berbagai jenis proyeksi, tetapi, dengan satu atau lain cara, transisi dilakukan ke sistem koordinat baru - koordinat proyeksi. Koordinat proyeksi dapat digunakan untuk menghasilkan gambar menggunakan perangkat output grafis. Namun, hal ini mungkin memerlukan transformasi tambahan karena sistem koordinat pada bidang proyeksi mungkin tidak sesuai dengan sistem koordinat perangkat tampilan. Misalnya, objek yang diukur dalam kilometer harus ditampilkan, tetapi dalam tampilan raster, satuan ukurannya adalah piksel. Bagaimana cara menyatakan kilometer dalam piksel?
Selain itu, Anda mungkin pernah melihat bahwa di layar komputer Anda dapat menampilkan gambar objek yang diperbesar dan diperkecil, serta memindahkannya. Bagaimana cara melakukannya?
Mari kita perkenalkan beberapa notasi. Membiarkan (Dia, Ue,Ze) adalah koordinat layar objek dalam perangkat tampilan grafis. Perhatikan bahwa kita tidak boleh menganggap kata "layar" seolah-olah kita hanya berbicara tentang tampilan - semua hal berikut dapat diterapkan pada perangkat lain yang menggunakan sistem koordinat Cartesian. Kami menyatakan koordinat proyeksi di sini sebagai (X, Y, Z).
Mari kita menelepon jendela area keluaran persegi panjang dengan koordinat layar
XehmenitUetp) - (Hetah Uetah) - Biasanya Anda Harus Menampilkan DI Jendela ATAU SEMUA
adegan, atau bagiannya yang terpisah (Gbr. 2.25).
Beras. 2.25. Tampilan proyeksi pemandangan
a - batas pemandangan dalam koordinat proyeksi;B - sebagian adegan ada di jendela, c - seluruh adegan tertulis di jendela dengan tetap menjaga proporsi
Konversi koordinat proyeksi ke koordinat layar dapat ditentukan sebagai regangan/penyusutan dan geser:
X E = KX+dx, ; Y E = KY+ mati; Ze =KZ.
Transformasi ini mempertahankan proporsi objek karena rasio regangan/penyusutan yang sama (KE) untuk semua koordinat. Perhatikan bahwa untuk pemetaan datar Anda dapat membuang koordinat Z. Mari kita lihat cara menghitungnya KE,dxDanmati. Misalnya, seluruh gambar pemandangan perlu dimasukkan ke dalam jendela dengan dimensi tertentu. Kondisi fit dapat didefinisikan sebagai berikut:
Jika kita menambahkan (1) ke (3), kita mendapatkan:
Dari pertidaksamaan (2) dan (4) sebagai berikut:
Solusi sistem (1)-(4) untuk K adalah: KE≤ menit (Kx, Ku) = K menit .
Jika nilainya KE X atau makna K Y sama dengan tak terhingga, maka harus dibuang. Jika keduanya - maka nilainya KE menit dapat diatur sama dengan satu. Dg| Agar gambar di jendela memiliki ukuran terbesar, kita pilih KE= KE menit Sekarang Anda dapat menemukannya dx. Dari pertidaksamaan (1):
Dari pertidaksamaan (3): I
Karena dx1 < dx2, lalu nilainya dx dapat dipilih dari interval I dx1 ≤dx≤ dx2. Mari kita pilih lokasi sentral di jendela: I
Kita juga dapat menemukannya mati:
Dengan nilai-nilai seperti itu dxDanmati pusat pemandangan akan berada di tengah jendela.
Dalam kasus lain, ketika diperlukan untuk menampilkan hanya sebagian pemandangan di jendela dengan skala yang sesuai, Anda dapat langsung mengatur nilai skala numerik (KE) dan pergeseran koordinat (dx, mati). Pada Saat merancang antarmuka sistem grafis, disarankan untuk membatasi pilihan KE,dx, mati rentang nilai yang dapat diterima.
Sistem grafis menggunakan berbagai metode untuk menentukan format tampilan dan menentukan batas pemandangan untuk ditampilkan di jendela tampilan. Misalnya, penggeser gulir sering digunakan untuk berpindah. Juga, arahkan kursor ke selatan pada suatu titik pada pemandangan, dan kemudian titik ini menjadi titik pusat jendela. Atau Anda dapat membuat garis persegi panjang, menyorot batas-batas sebuah fragmen pemandangan - maka fragmen ini akan dimasukkan ke dalamnya jendela. Dan seterusnya. Semua metode tampilan ini didasarkan pada peregangan dan kompresi (penskalaan), serta pergeseran, dan dijelaskan oleh transformasi koordinat affine.
Untuk menjelaskan secara rinci metode pelacakan fitur titik, kalibrasi kamera, dan rekonstruksi objek 3D, perlu diperkenalkan model desain perspektif dan mendeskripsikan sifat geometris transformasi ini. Titik-titik pada beberapa gambar yang diperoleh dengan menggunakan proyeksi perspektif mempunyai hubungan khusus satu sama lain, yang digambarkan oleh geometri epipolar. Model hubungan ini harus dikaji secara detail, karena Hampir semua metode rekonstruksi tiga dimensi memerlukan evaluasi model yang sesuai dan mengandalkan propertinya.
Perlu diperhatikan secara terpisah asumsi bahwa semua gambar sumber menangkap pemandangan yang sama, yaitu. setiap gambar adalah pemandangan pemandangan dari kamera tertentu. Oleh karena itu, untuk kemudahan deskripsi, konsep tampilan diperkenalkan, sebagai gambar dengan model kamera terkait dari mana gambar tersebut diperoleh.
Proyeksi perspektif
Model proyeksi perspektif sesuai dengan kamera lubang jarum yang ideal. Model ini sangat mirip dengan proses konstruksi gambar di sebagian besar kamera foto dan video modern. Namun karena keterbatasan optik modern, proses sebenarnya agak berbeda dengan model kamera obscura. Perbedaan antara proses nyata dan model disebut distorsi dan dimodelkan secara terpisah.
Model kamera lubang jarum yang paling sederhana nyaman karena dijelaskan secara lengkap oleh pusat proyeksi dan posisi bidang gambar. Oleh karena itu, proyeksi setiap titik pemandangan pada gambar dapat ditemukan sebagai perpotongan sinar yang menghubungkan pusat proyeksi dan titik pemandangan dengan bidang gambar.
Model proyeksi perspektif yang paling sederhana
Mari kita perhatikan kasus paling sederhana ketika pusat proyeksi kamera (fokus) ditempatkan pada titik asal sistem koordinat, dan bidang gambar berimpit dengan bidang Z=1. Misalkan (X,Y,Z) adalah koordinat suatu titik dalam ruang 3 dimensi, dan (x,y) adalah proyeksi titik tersebut pada gambar I. Proyeksi perspektif dalam hal ini dijelaskan dengan persamaan berikut:
Dalam bentuk matriks dengan menggunakan koordinat homogen, persamaan tersebut ditulis ulang sebagai berikut:
(2.2)
Bidang yang terletak pada jarak 1 dari pusat proyeksi dan tegak lurus sumbu optik disebut bidang bayangan ideal. Sumbu optik memotong bidang bayangan ideal di titik c yang disebut titik utama. Ilustrasi kasus proyeksi perspektif yang paling sederhana ditunjukkan pada Gambar. 1.
Kalibrasi kamera internal
Kasus proyeksi perspektif yang paling sederhana hampir selalu tidak sesuai dengan kamera sebenarnya. Jarak dari pusat proyeksi ke bidang bayangan, mis. panjang fokus, dilambangkan dengan f, biasanya tidak sama dengan 1. Selain itu, koordinat suatu titik pada bidang bayangan mungkin tidak sesuai dengan koordinat absolut. Saat menggunakan kamera digital, hubungan antara koordinat suatu titik pada gambar dan koordinat absolut suatu titik pada bidang ideal ditentukan oleh bentuk dan ukuran piksel matriks.
Mari kita nyatakan dimensi piksel matriks kamera digital sebagai p x , p y , sudut kemiringan piksel sebagai α , dan titik utama sebagai , Gambar 2. Maka koordinat titik (x,y) pada bayangan yang bersesuaian dengan titik (x R , y R) pada bidang ideal ditentukan dengan persamaan:
(2.3)
Jika f x ,f y adalah panjang fokus f, diukur dalam lebar dan tinggi piksel, dan tan(α)*f/p y dilambangkan dengan s, maka rumus 2.3 diubah menjadi:
(2.4)
Matriks K disebut matriks kalibrasi internal kamera. Dalam kebanyakan kasus, pada kamera digital nyata, sudut piksel mendekati garis lurus, mis. parameter s=0, dan lebar serta tinggi pikselnya sama. Titik prinsip biasanya terletak di tengah-tengah gambar. Oleh karena itu, matriks K dapat ditulis sebagai:
(2.5)
Asumsi tentang bentuk matriks K ini banyak digunakan untuk menyederhanakan algoritma penentuan kalibrasi internal kamera, serta dalam pemodelan gambar sintetik yang diperlukan untuk mengevaluasi kualitas dan efisiensi metode rekonstruksi 3D.
Kalibrasi kamera eksternal
Misalkan M adalah titik pemandangan dalam ruang 3 dimensi. Setiap gerak merupakan transformasi ruang Euclidean, oleh karena itu dalam koordinat homogen dinyatakan sebagai:
(2.6)
dimana R adalah matriks rotasi, T= T adalah vektor translasi.
Pergerakan kamera relatif terhadap pemandangan sama dengan pergerakan terbalik titik-titik pemandangan relatif terhadap kamera, oleh karena itu sama dengan:
(2.7)
dimana R, T adalah matriks rotasi dan vektor pergerakan kamera relatif terhadap pemandangan. Matriks C disebut matriks kalibrasi eksternal kamera. Matriks C -1 disebut matriks pergerakan kamera. Dengan demikian, matriks kalibrasi kamera eksternal menerjemahkan koordinat titik pemandangan dari sistem koordinat pemandangan ke sistem koordinat yang terkait dengan kamera.
Model Proyeksi Perspektif Lengkap
Dari ekspresi 2.1, 2.4, 2.7, kita dapat memperoleh ekspresi untuk proyeksi perspektif sembarang untuk kamera apa pun dengan orientasi dan posisi sembarang dalam ruang:
Dalam bentuk yang lebih ringkas, dengan memperhatikan notasi sebelumnya, rumus ini dapat dituliskan sebagai:
Matriks P disebut matriks proyeksi kamera.
Dengan analogi transformasi perspektif umum, pertama-tama mari kita perhatikan kasus paling sederhana dari transformasi perspektif sebuah bidang. Misalkan bidang p berimpit dengan bidang Z=0, maka koordinat tiga dimensi homogen dari setiap titiknya adalah M=. Untuk kamera apa pun dengan matriks proyeksi P, transformasi perspektif bidang dijelaskan oleh matriks 3*3:
Karena setiap bidang dalam ruang 3 dimensi dapat dipindahkan ke bidang Z = 0 melalui transformasi rotasi dan translasi Euclidean, yang setara dengan mengalikan matriks kamera P dengan matriks transformasi L, maka tampilan perspektif bidang sembarang di ruang digambarkan dengan transformasi linier dengan matriks 3 * 3.
Transformasi bidang perspektif disebut juga homografi. Dalam bentuk matriks, transformasi perspektif bidang ditulis sebagai m=HM.
Geometri dua gambar
Pemandangan yang ditangkap pada semua gambar sumber dianggap tidak bergerak, oleh karena itu posisi relatif proyeksi titik pemandangan pada bingkai berbeda tidak dapat diubah secara sembarangan. Pembatasan yang dikenakan pada lokasi proyeksi titik jelas bergantung pada parameter kamera dan posisinya relatif satu sama lain. Oleh karena itu, menentukan model pembatasan tersebut memberikan beberapa informasi tentang posisi relatif kamera tempat gambar diperoleh.
Transformasi bidang perspektif
Jika pusat kedua kamera bertepatan, maka titik-titik pada bidang gambar kedua kamera diterjemahkan satu sama lain melalui transformasi perspektif bidang tersebut. Dalam hal ini transformasi titik antar bayangan tidak bergantung pada bentuk pemandangan 3 dimensi, melainkan hanya bergantung pada posisi relatif bidang bayangan.
Jika seluruh pemandangan atau sebagiannya adalah sebuah bidang, maka gambarnya dalam tampilan berbeda dengan pusat kamera berbeda dapat dikonversi satu sama lain menggunakan transformasi homografi. Misalkan p adalah bidang pengamatan, H 1 adalah transformasi homografi antara bidang p dan bayangan saya 1, H 2 - transformasi homografi antara bidang p dan gambar saya 2. Kemudian dilakukan transformasi homografi H 12 antar gambar saya 1 Dan saya 2 dapat dihasilkan output sebagai berikut:
H 12 tidak bergantung pada parameterisasi bidang p, dan oleh karena itu tidak bergantung pada sistem koordinat dalam ruang
Kebanyakan metode untuk menentukan koordinat titik 3D dari proyeksinya dan metode untuk merekonstruksi pemandangan 3D didasarkan pada asumsi bahwa pusat kamera berpindah antar tampilan. Oleh karena itu, jika pusat beberapa jenis kamera bertepatan, metode ini akan memberikan hasil yang salah. Konfigurasi kamera seperti itu harus dideteksi dan ditangani dengan cara khusus.
Karena transformasi homografi ditulis dalam koordinat homogen, matriks H didefinisikan hingga skalanya. Ia memiliki 8 derajat kebebasan, dan diparameterisasi oleh 8 variabel. Setiap pasangan titik yang bersesuaian diketahui m 1 Dan m 2 pada gambar pertama dan kedua berturut-turut memberikan 2 persamaan linier dari elemen matriks H. Oleh karena itu, 4 pasang titik bersesuaian yang diketahui cukup untuk menyusun sistem persamaan linier dari 8 persamaan dengan 8 titik yang tidak diketahui. Menurut sistem ini, homografi H dapat ditentukan secara unik jika tidak ada tiga titik yang terletak pada garis yang sama.
Matriks Dasar
Mari kita pertimbangkan kasus ketika pusat kedua jenis kamera tidak bertepatan. Membiarkan C 1 Dan dari 2- pusat dua kamera, M - titik pemandangan 3 dimensi, m 1 Dan m 2- proyeksi titik M masing-masing pada gambar pertama dan kedua. Misalkan P adalah sebuah bidang yang melalui titik M dan pusat kamera C 1 Dan dari 2. Bidang P memotong bidang bayangan pandangan pertama dan kedua sepanjang garis lurus aku 1 Dan aku 2. Sejak sinar dari 1 m Dan dari 2 m terletak pada bidang P, maka terlihat jelas titik-titiknya m 1 Dan m 2 berbaring pada garis lurus aku 1 Dan aku 2 masing-masing. Kita dapat memberikan pernyataan yang lebih umum bahwa proyeksi suatu titik M" yang terletak pada bidang Π pada kedua bayangan harus terletak pada garis lurus aku 1 Dan aku 2. Garis-garis ini disebut garis epipolar. Bidang P disebut bidang epipolar.
Dua tampilan dari adegan yang sama disebut pasangan stereo, dan segmen C 1 C 2, menghubungkan pusat-pusat kamera disebut basis pasangan stereo (baseline) atau basis stereo. Setiap bidang epipolar melewati segmen tersebut C 1 C 2. Membiarkan C 1 C 2 memotong bayangan pertama dan kedua pada titik-titik e 1 Dan e 2 masing-masing. Poin e 1 Dan e 2 disebut titik epipolar atau epipol. Semua garis epipolar berpotongan di titik-titik e 1 Dan e 2 masing-masing pada gambar pertama dan kedua. Himpunan bidang epipolar adalah berkas yang berpotongan sepanjang basis stereo C 1 C 2. Banyaknya garis epipolar pada kedua gambar juga mewakili kumpulan garis lurus yang berpotongan di e 1 Dan e 2 .
Poin m 1 Dan m 2 disebut bersesuaian jika merupakan proyeksi dari titik pemandangan yang sama M. Garis epipolar aku 1 Dan aku 2 disebut bersesuaian jika terletak pada bidang epipolar P yang sama. Jika bidang epipolar P melalui suatu titik m 1, lalu garis epipolar aku 1 Dan aku 2, terletak di dalamnya disebut titik yang sesuai m 1.
Pembatasan posisi titik-titik yang bersangkutan m 1 Dan m 2, yang mengikuti geometri epipolar, dapat dirumuskan sebagai berikut: titik m 2, sesuai m 1, harus terletak pada garis epipolar aku 2, sesuai m 1. Kondisi ini disebut kendala epipolar. Dalam koordinat homogen, syaratnya suatu titik M terletak di telepon aku ditulis sebagai aku Tm=0. Garis epipolar juga melewati titik epipolar. Persamaan garis yang melalui titik m 1 Dan e 1 dapat ditulis sebagai:
aku 1 ∼ x m 1,
Di mana X- matriks antisimetris berdimensi 3*3 sedemikian rupa sehingga, x m 1- produk vektor m 1 Dan e 1.
Untuk garis epipolar yang sesuai aku 1 Dan aku 2 Kanan:
Di mana P+- pseudoinversi matriks P.
Matriks F disebut matriks fundamental. Ini adalah operator linier yang menghubungkan setiap titik m 1 garis epipolar yang sesuai aku 2. Untuk setiap pasangan titik yang bersesuaian m 1 Dan m 2 Kanan
m T 2 Fm 1 =0
Ini adalah rumusan batasan epipolar melalui matriks fundamental.
Matriks fundamental mempunyai 7 derajat kebebasan. Setiap pasangan titik yang bersesuaian m 1 Dan m 2 mendefinisikan satu persamaan linier untuk elemen-elemen matriks, sehingga dapat dihitung dari 7 pasang titik-titik bersesuaian yang diketahui.
Batasan epipolar berlaku untuk setiap pasangan titik bersesuaian yang terletak pada dua jenis bidang ideal. Jika matriks kalibrasi internal diketahui K 1 Dan K2 kamera dari kedua jenis tersebut, maka batasan epipolar untuk titik-titik yang bersesuaian pada bidang ideal ditulis sebagai:
Matriks E disebut penting matriks. Dapat ditunjukkan bahwa matriks penting juga dapat diperoleh dari posisi relatif kamera.
Membiarkan P 1 =(Saya|0) Dan P 2 =(R|-RT)- dua matriks desain dengan kalibrasi K = I. Kemudian persamaan desain bidang ideal kedua kamera ditulis dalam bentuk:
Mari kita cari garis epipolar pada tampilan kedua yang sesuai dengan titik tersebut m" 1 pada yang pertama. Untuk melakukan ini, cukup memproyeksikan dua titik yang terletak pada sinar pada pandangan kedua (C 1 ,m" 1) ke tampilan kedua, misalnya bagian tengah kamera pertama (0,0,0,1)T dan sebuah titik pada bidang tak terhingga (x" 1 ,y" 1 ,z" 1 ,0) T. Proyeksi titik-titik ini adalah -RT, dan R(x" 1 ,kamu" 1 ,z" 1 ,0)T. Persamaan Garis Epipolar aku 2, melewati kedua titik ini diberikan sebagai produk vektor:
l 2 =RT×R(x" 1 ,y" 1 ,z" 1) T =R(T×(x" 1 ,y" 1 ,z" 1) T)
Dalam bentuk matriks, vektor bukanlah hasil kali T×(x" 1 ,y" 1 ,z" 1) T dapat ditulis dengan menggunakan matriks S:
Maka batasan epipolar pada titik-titik pada bidang ideal ditulis sebagai:
Menyatakan matriks penting dalam parameter kalibrasi eksternal kedua kamera digunakan untuk menghitung posisi relatif kamera.
Sifat geometris dari tiga gambar atau lebih
Membiarkan C 1,dari 2 Dan dari 3- pusat dari tiga tampilan dari pemandangan tiga dimensi yang sama. Dalam hal ini, batasan epipolar diterapkan pada titik-titik yang bersesuaian dari pasangan spesies mana pun. Jika proyeksi dua titik diketahui m 1 Dan m 2 pada pandangan pertama dan kedua, maka posisi proyeksi pada gambar ketiga dapat dicari sebagai perpotongan dua pandangan epipolar yang bersesuaian dengan titik-titik tersebut. m 1 Dan m 2.
Menurut dua proyeksi yang diketahui m 1 Dan m 2 Dengan menggunakan dua gambar yang kalibrasinya diketahui, posisi titik M dalam ruang dapat ditentukan. Oleh karena itu, jika kalibrasi gambar ketiga diketahui, maka proyeksi titik M pada pandangan ketiga dapat ditentukan dengan proyeksi sederhana.
Batasan yang dikenakan pada posisi titik-titik yang bersesuaian di lebih dari dua gambar juga dapat ditulis dalam bentuk linier. Untuk tiga jenis, batasan tersebut ditulis dalam bentuk tensor trifokal, untuk empat jenis - dalam bentuk tensor empat fokus. Namun, menghitung batasan ini setara dengan menghitung ukuran ketiga atau empat tampilan dalam ruang proyektif. Pembatasan seperti ini tidak digunakan dalam makalah ini dan oleh karena itu tidak dibahas secara lebih rinci.
Karya selama bertahun-tahun. Voloshin Maximilian. KEBERANIAN SEORANG PENYAIR. 1. Edit puisi seperti teks kiriman ke luar negeri: Kekeringan, kejelasan, tekanan - setiap kata waspada.
Untuk memotong huruf demi huruf di atas batu yang keras dan sempit: Semakin sedikit kata, semakin kuat kekuatannya. Muatan kehendak dalam pikiran sama dengan bait-bait diam.
Hapus kata "Keindahan", "Inspirasi" dari kamus - jargon keji para rima. Penyair memahami: Kebenaran, desain, rencana, kesetaraan, keringkasan, dan akurasi. Dalam kerajinan yang sadar dan sulit terdapat inspirasi dan kehormatan seorang penyair: Dalam perkara bisu-tuli, untuk mempertajam kewaspadaan transendental. Voloshin M.A. Perpustakaan: Perpustakaan Umum Ilmiah Universal Regional Oryol dinamai demikian. I.A. bunina. - M., ; Karya terpilih: Dalam 2 volume.
M., ; Asap Merah: Cerita. - M., ; Gladyshev dari perusahaan pengintai: Cerita. - M., ; Eselon; Keniscayaan: Novel. Dia melakukan banyak terjemahan penyair Mari dan Udmurt. Dari waktu ke waktu saya juga mencoba membuat prosa. Op. Maximilian Aleksandrovich Voloshin () adalah salah satu penyair terhebat di sepertiga pertama abad ke-20. Dia adalah seniman berbakat, penulis lirik multifaset, yang telah menempuh perjalanan dari puisi simbolis, esoteris ke puisi sipil-jurnalistik dan ilmiah-filosofis, melalui kecenderungan antroposofis - ke “cita-cita Kota Tuhan.”
Publikasi yang diusulkan memberikan kesempatan kepada pembaca untuk mengenal tidak hanya karya puisi terbaik Voloshin, tetapi juga karya-karyanya yang paling menarik tentang estetika, prosa memoar, jurnalisme, dan surat-surat yang berkaitan dengan peristiwa dramatis dalam kehidupan bernegara. Pengarang. Voloshin Maximilian. Semua puisi oleh penulis. Bekerja. Keberanian penyair. 2. Bintang. Buat koleksi penulis dan puisi favorit!
Ngobrol dengan orang yang berpikiran sama! Tulis ulasan, ikut serta dalam duel dan kompetisi puisi! Bergabunglah dengan yang terbaik! Terima kasih telah bergabung dengan Buku Puisi! Surat dengan data akses akun telah dikirim ke email Anda!
Anda harus masuk dalam waktu 24 jam. Jika tidak, akun tersebut akan dihapus! Pengguna terdaftar menerima banyak manfaat: Publikasikan puisi - wujudkan bakat Anda! Buat koleksi penulis dan puisi favorit! Ngobrol dengan orang yang berpikiran sama! Tulis review, ikut serta dalam duel dan kompetisi puisi!. Maximilian Voloshin. Keterangan. Maximilian Aleksandrovich Voloshin adalah salah satu penyair terhebat di sepertiga pertama abad ke-20.
Dia adalah seniman berbakat, penulis lirik yang memiliki banyak segi, yang telah beralih dari puisi simbolis, esoteris ke puisi jurnalistik sipil dan puisi ilmiah-filosofis, melalui kecenderungan antroposofis - ke “cita-cita Kota Tuhan.” Publikasi yang diusulkan memberikan kesempatan kepada pembaca untuk mengenal tidak hanya karya puisi terbaik Voloshin, tetapi juga karya-karyanya yang paling menarik tentang estetika, prosa memoar, jurnalisme, dan surat-surat yang berkaitan dengan drama.
Karya dan surat terpilih. M.A.Voloshin. Harga. menggosok. Maximilian Aleksandrovich Voloshin adalah salah satu penyair terhebat di sepertiga pertama abad ke-20. Dia adalah seniman berbakat, penulis lirik multifaset, yang telah beralih dari puisi simbolis, esoteris ke puisi sipil-jurnalistik dan ilmiah-filosofis, melalui kecenderungan antroposofis - ke “cita-cita Kota Tuhan.”
Voloshin M.A., Keberanian Penyair: Karya dan Surat Pilihan. seri: Perpustakaan Klasik Rusia Baru: salinan yang diperlukan Parade, kota, halaman, Deskripsi buku. Maximilian Aleksandrovich Voloshin () adalah salah satu penyair terhebat di sepertiga pertama abad ke-20. Dia adalah seniman berbakat, penulis lirik multifaset, yang telah menempuh perjalanan dari puisi simbolis, esoterik ke puisi jurnalistik sipil dan puisi ilmiah-filosofis, melalui kecenderungan antroposofis - ke “Kota Tuhan yang ideal.”
Kategori Navigasi pos
