Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi kapan saja Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda e-mail dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari lembaga pemerintah di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk tujuan keamanan, penegakan hukum, atau kesehatan masyarakat lainnya. kasus-kasus penting.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.
Apa itu logaritma?
Perhatian!
Ada tambahan
bahan di Bagian khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Apa itu logaritma? Bagaimana cara menyelesaikan logaritma? Pertanyaan-pertanyaan ini membingungkan banyak lulusan. Secara tradisional, topik logaritma dianggap rumit, tidak dapat dipahami, dan menakutkan. Khususnya - persamaan dengan logaritma.
Hal ini sama sekali tidak benar. Sangat! Tidak percaya padaku? Bagus. Sekarang, hanya dalam 10 - 20 menit Anda:
1. Anda akan mengerti apa itu logaritma.
2. Belajar menyelesaikan seluruh kelas persamaan eksponensial. Meskipun Anda belum pernah mendengar apa pun tentang mereka.
3. Belajar menghitung logaritma sederhana.
Selain itu, untuk ini Anda hanya perlu mengetahui tabel perkalian dan cara menaikkan suatu bilangan ke pangkat...
Saya merasa Anda memiliki keraguan... Baiklah, tandai waktunya! Ayo pergi!
Pertama, selesaikan persamaan ini di kepala Anda:
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.
Ketika masyarakat berkembang dan produksi menjadi lebih kompleks, matematika juga berkembang. Gerakan dari yang sederhana ke yang kompleks. Dari akuntansi biasa yang menggunakan metode penjumlahan dan pengurangan, dengan pengulangan yang berulang-ulang, kita sampai pada konsep perkalian dan pembagian. Mengurangi operasi perkalian berulang menjadi konsep eksponensial. Tabel pertama ketergantungan bilangan pada basis dan bilangan eksponensial disusun pada abad ke-8 oleh ahli matematika India Varasena. Dari jumlah tersebut Anda dapat menghitung waktu terjadinya logaritma.
Sketsa sejarah
Kebangkitan Eropa pada abad ke-16 juga mendorong perkembangan mekanika. T memerlukan perhitungan dalam jumlah besar berhubungan dengan perkalian dan pembagian angka multi-digit. Meja-meja kuno sangat bermanfaat. Mereka memungkinkan untuk mengganti operasi kompleks dengan operasi yang lebih sederhana - penjumlahan dan pengurangan. Langkah besar Karya ahli matematika Michael Stiefel, yang diterbitkan pada tahun 1544, memimpin, di mana ia mewujudkan gagasan banyak ahli matematika. Hal ini memungkinkan penggunaan tabel tidak hanya untuk pangkat dalam bentuk bilangan prima, tetapi juga untuk bilangan rasional sembarang.
Pada tahun 1614, orang Skotlandia John Napier, yang mengembangkan ide-ide ini, pertama kali memperkenalkannya istilah baru"logaritma suatu bilangan." Baru tabel yang kompleks untuk menghitung logaritma sinus dan cosinus, serta garis singgung. Hal ini sangat mengurangi pekerjaan para astronom.
Tabel baru mulai bermunculan, yang berhasil digunakan oleh para ilmuwan selama ini tiga abad. Banyak waktu berlalu sebelumnya operasi baru dalam aljabar ia memperoleh bentuk akhirnya. Definisi logaritma diberikan dan sifat-sifatnya dipelajari.
Baru pada abad ke-20, dengan munculnya kalkulator dan komputer, umat manusia meninggalkan tabel kuno yang telah berhasil digunakan sepanjang abad ke-13.
Hari ini kita menyebut logaritma b dengan basis a sebagai bilangan x yang merupakan pangkat dari a untuk menghasilkan b. Ini ditulis sebagai rumus: x = log a(b).
Misalnya, log 3(9) akan sama dengan 2. Hal ini jelas jika Anda mengikuti definisinya. Jika kita menaikkan 3 ke pangkat 2, kita mendapatkan 9.
Jadi, definisi yang dirumuskan hanya menetapkan satu batasan: bilangan a dan b harus real.
Jenis logaritma
Definisi klasiknya disebut logaritma real dan sebenarnya merupakan solusi persamaan a x = b. Opsi a = 1 berada pada batas dan tidak menarik. Perhatian: 1 pangkat apa pun sama dengan 1.
Nilai riil logaritma didefinisikan hanya jika basis dan argumennya lebih besar dari 0, dan basisnya tidak boleh sama dengan 1.
Tempat khusus di bidang matematika mainkan logaritma, yang akan diberi nama tergantung pada ukuran basisnya:
Aturan dan batasan
Sifat dasar logaritma adalah aturannya: logaritma suatu produk sama dengan jumlah logaritma. log abp = log a(b) + log a(p).
Varian dari pernyataan ini adalah: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), hasil bagi fungsi sama dengan selisih fungsi-fungsi tersebut.
Dari dua aturan sebelumnya mudah terlihat bahwa: log a(bp) = p * log a(b).
Properti lainnya termasuk:
Komentar. Jangan membuat kesalahan umum - logaritma penjumlahannya bukan sama dengan jumlahnya logaritma.
Selama berabad-abad, pencarian logaritma merupakan tugas yang memakan waktu. Matematikawan menggunakan rumus terkenal dari teori logaritma ekspansi polinomial:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), di mana n - bilangan asli lebih besar dari 1, yang menentukan keakuratan perhitungan.
Logaritma dengan basis lain dihitung menggunakan teorema transisi dari satu basis ke basis lainnya dan properti logaritma produk.
Karena metode ini sangat padat karya dan ketika memutuskan masalah praktis sulit untuk diterapkan, kami menggunakan tabel logaritma yang telah dikompilasi sebelumnya, yang secara signifikan mempercepat semua pekerjaan.
Dalam beberapa kasus, grafik logaritma yang dirancang khusus digunakan, yang memberikan akurasi lebih rendah, namun secara signifikan mempercepat pencarian nilai yang diinginkan. Kurva fungsi y = log a(x), yang dibangun pada beberapa titik, memungkinkan Anda menggunakan penggaris biasa untuk mencari nilai fungsi di titik lainnya. Insinyur waktu yang lama Untuk tujuan ini, kertas grafik disebut digunakan.
Pada abad ke-17, kondisi komputasi analog tambahan pertama muncul, yaitu abad ke-19 memperoleh tampilan akhir. Perangkat yang paling sukses disebut mistar hitung. Meskipun perangkatnya sederhana, penampilannya secara signifikan mempercepat proses semua perhitungan teknik, dan ini sulit untuk ditaksir terlalu tinggi. Saat ini, hanya sedikit orang yang mengenal perangkat ini.
Munculnya kalkulator dan komputer membuat penggunaan perangkat lain menjadi sia-sia.
Persamaan dan pertidaksamaan
Untuk memecahkan persamaan yang berbeda dan pertidaksamaan menggunakan logaritma, digunakan rumus sebagai berikut:
- Perpindahan dari satu basis ke basis lainnya: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Sebagai konsekuensi dari pilihan sebelumnya: log a(b) = 1 / log b(a).
Untuk mengatasi kesenjangan, perlu diketahui:
- Nilai logaritma akan positif hanya jika basis dan argumennya lebih besar dari atau kurang dari satu; jika setidaknya satu kondisi dilanggar, nilai logaritma akan menjadi negatif.
- Jika fungsi logaritma diterapkan pada ruas kanan dan kiri suatu pertidaksamaan, dan basis logaritma lebih dari satu, maka tanda pertidaksamaan dipertahankan; jika tidak maka akan berubah.
Contoh masalah
Mari pertimbangkan beberapa opsi untuk menggunakan logaritma dan propertinya. Contoh penyelesaian persamaan:
Pertimbangkan opsi untuk menempatkan logaritma dalam pangkat:
- Soal 3. Hitung 25^log 5(3). Solusi: dalam kondisi soal, entrinya mirip dengan berikut (5^2)^log5(3) atau 5^(2 * log 5(3)). Mari kita tulis secara berbeda: 5^log 5(3*2), atau kuadrat suatu bilangan sebagai argumen fungsi dapat ditulis sebagai kuadrat dari fungsi itu sendiri (5^log 5(3))^2. Menggunakan properti logaritma, ekspresi ini sama dengan 3^2. Jawab: dari hasil perhitungan didapat 9.
Penerapan Praktis
Menjadi alat yang murni matematis, tampaknya masih jauh dari sempurna kehidupan nyata bahwa logaritma tiba-tiba diperoleh nilai yang besar untuk mendeskripsikan objek dunia nyata. Sulit menemukan ilmu yang tidak digunakan. Hal ini sepenuhnya berlaku tidak hanya pada bidang ilmu alam, tetapi juga pada bidang ilmu kemanusiaan.
Ketergantungan logaritmik
Berikut adalah beberapa contoh ketergantungan numerik:
Mekanika dan fisika
Secara historis, mekanika dan fisika selalu berkembang menggunakan metode matematika penelitian dan sekaligus menjadi insentif bagi perkembangan matematika, termasuk logaritma. Teori sebagian besar hukum fisika ditulis dalam bahasa matematika. Mari kita berikan dua contoh deskripsi saja hukum fisika menggunakan logaritma.
Masalah menghitung besaran kompleks seperti kecepatan roket dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus Tsiolkovsky, yang meletakkan dasar bagi teori eksplorasi ruang angkasa:
V = I * ln (M1/M2), dimana
- V – kecepatan akhir pesawat terbang.
- I – impuls spesifik mesin.
- M 1 – massa awal roket.
- M 2 – massa akhir.
Lain contoh penting - ini digunakan dalam rumus ilmuwan besar lainnya Max Planck, yang berfungsi untuk mengevaluasi keadaan setimbang dalam termodinamika.
S = k * ln (Ω), dimana
- S – properti termodinamika.
- k – Konstanta Boltzmann.
- Ω adalah bobot statistik dari berbagai negara bagian.
Kimia
Yang kurang jelas adalah penggunaan rumus kimia yang mengandung perbandingan logaritma. Mari kita berikan dua contoh saja:
- Persamaan Nernst, kondisi potensial redoks medium terhadap aktivitas zat dan konstanta kesetimbangan.
- Perhitungan konstanta seperti indeks autolisis dan keasaman larutan juga tidak dapat dilakukan tanpa fungsi kita.
Psikologi dan biologi
Dan sama sekali tidak jelas apa hubungannya psikologi dengan hal itu. Ternyata kekuatan sensasi digambarkan dengan baik oleh fungsi ini sebagai rasio kebalikan dari nilai intensitas stimulus terhadap nilai intensitas yang lebih rendah.
Setelah contoh di atas, tidak mengherankan lagi jika topik logaritma banyak digunakan dalam biologi. Seluruh volume dapat ditulis tentang bentuk biologis yang berhubungan dengan spiral logaritmik.
Daerah lain
Tampaknya keberadaan dunia tidak mungkin terjadi tanpa kaitan dengan fungsi ini, dan ia mengatur semua hukum. Apalagi jika dikaitkan dengan hukum alam perkembangan geometri. Sebaiknya kunjungi situs web MatProfi, dan ada banyak contoh serupa di bidang aktivitas berikut:
Daftarnya tidak ada habisnya. Setelah menguasai prinsip dasar fungsi ini, Anda dapat terjun ke dunia kebijaksanaan tanpa batas.
Logaritma bilangan b (b > 0) ke basis a (a > 0, a ≠ 1)– eksponen yang bilangan a harus dipangkatkan untuk memperoleh b.
Logaritma basis 10 dari b dapat ditulis sebagai catatan(b), dan logaritma ke basis e (logaritma natural) adalah dalam(b).
Sering digunakan saat menyelesaikan masalah dengan logaritma:
Sifat-sifat logaritma
Ada empat yang utama sifat-sifat logaritma.
Misalkan a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0.
Properti 1. Logaritma produk
Logaritma produk sama dengan jumlah logaritma:
log a (x ⋅ y) = log a x + log a y
Sifat 2. Logaritma hasil bagi
Logaritma hasil bagi sama dengan perbedaannya logaritma:
log a (x / y) = log ax – log ay
Sifat 3. Logaritma pangkat
Logaritma derajat sama dengan produknya pangkat per logaritma:
Jika basis logaritma adalah derajat, maka berlaku rumus lain:
Sifat 4. Logaritma akar
Sifat ini dapat diperoleh dari sifat logaritma suatu pangkat, karena akar pangkat ke-n setara dengan kekuatan 1/n:
Rumus untuk mengubah logaritma pada satu basis ke logaritma pada basis lain
Rumus ini juga sering digunakan untuk menyelesaikannya berbagai tugas ke logaritma:
Kasus khusus:
Membandingkan logaritma (pertidaksamaan)
Mari kita memiliki 2 fungsi f(x) dan g(x) pada logaritma dengan basis yang sama dan di antara keduanya ada tanda pertidaksamaan:
Untuk membandingkannya, pertama-tama Anda perlu melihat basis logaritma a:
- Jika a > 0, maka f(x) > g(x) > 0
- Jika 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
Cara menyelesaikan soal logaritma: contoh
Masalah dengan logaritma termasuk dalam komposisi Ujian Negara Bersatu dalam matematika untuk kelas 11 pada tugas 5 dan tugas 7, Anda dapat menemukan tugas dengan solusi di situs web kami di bagian yang sesuai. Selain itu, tugas dengan logaritma dapat ditemukan di bank tugas matematika. Anda dapat menemukan semua contoh dengan mencari di situs.
Apa itu logaritma
Logaritma selalu dipertimbangkan topik yang kompleks V kursus sekolah matematika. ada banyak definisi yang berbeda logaritma, tetapi untuk beberapa alasan sebagian besar buku teks menggunakan yang paling rumit dan tidak berhasil.
Kami akan mendefinisikan logaritma secara sederhana dan jelas. Untuk melakukan ini, mari buat tabel:
Jadi, kita punya kekuatan dua.
Logaritma - properti, rumus, cara penyelesaian
Jika Anda mengambil angka dari garis bawah, Anda dapat dengan mudah menemukan pangkat yang harus Anda naikkan dua untuk mendapatkan angka ini. Misalnya, untuk mendapatkan 16, Anda perlu menaikkan dua pangkat empat. Dan untuk mendapatkan 64, Anda perlu menaikkan dua pangkat enam. Hal ini dapat dilihat dari tabel.
Dan sekarang - sebenarnya, definisi logaritma:
basis a dari argumen x adalah pangkat dari bilangan a yang harus dipangkatkan untuk memperoleh bilangan x.
Sebutan: log a x = b, dengan a adalah basis, x adalah argumen, b adalah logaritma sebenarnya.
Misalnya, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (logaritma basis 2 dari 8 adalah tiga karena 2 3 = 8). Dengan keberhasilan yang sama, log 2 64 = 6, karena 2 6 = 64.
Operasi mencari logaritma suatu bilangan dengan basis tertentu disebut. Jadi, mari tambahkan baris baru ke tabel kita:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| catatan 2 2 = 1 | catatan 2 4 = 2 | catatan 2 8 = 3 | catatan 2 16 = 4 | catatan 2 32 = 5 | catatan 2 64 = 6 |
Sayangnya, tidak semua logaritma dapat dihitung dengan mudah. Misalnya, coba cari log 2 5. Angka 5 tidak ada dalam tabel, tetapi logika menyatakan bahwa logaritma akan terletak di suatu tempat pada interval tersebut. Karena 2 2< 5 < 2 3 , а чем lebih banyak gelar berpasangan, semakin besar jumlahnya.
Bilangan seperti itu disebut irasional: bilangan setelah koma dapat ditulis ad infinitum dan tidak pernah terulang. Jika logaritmanya ternyata irasional, lebih baik dibiarkan seperti ini: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Penting untuk dipahami bahwa logaritma adalah ekspresi dengan dua variabel (basis dan argumen). Pada awalnya banyak orang bingung mana dasarnya dan mana argumentasinya. Untuk menghindari kesalahpahaman yang mengganggu, lihat saja gambarnya:
Di hadapan kita tidak lebih dari definisi logaritma. Ingat: logaritma adalah kekuatan, di mana basis harus dibangun untuk mendapatkan argumen. Ini adalah basis yang dinaikkan ke pangkat - itu disorot dengan warna merah pada gambar. Ternyata alasnya selalu di bawah! Saya memberi tahu siswa saya aturan luar biasa ini pada pelajaran pertama - dan tidak ada kebingungan yang timbul.
Cara menghitung logaritma
Kami telah menemukan definisinya - yang tersisa hanyalah mempelajari cara menghitung logaritma, mis. hilangkan tanda "log". Untuk memulainya, kami mencatat bahwa dua fakta penting mengikuti definisi tersebut:
- Argumen dan basisnya harus selalu lebih besar dari nol. Ini mengikuti dari definisi derajat indikator rasional, yang menjadi dasar definisi logaritma.
- Basisnya harus berbeda dari yang satu, karena yang satu tetaplah satu sampai tingkat apa pun. Oleh karena itu, pertanyaan “kepada kekuatan apa seseorang harus dinaikkan untuk mendapatkan dua” tidak ada artinya. Tidak ada gelar seperti itu!
Pembatasan seperti ini disebut wilayah nilai-nilai yang dapat diterima (ODZ). Ternyata ODZ logaritmanya seperti ini: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Perhatikan bahwa tidak ada batasan pada angka b (nilai logaritma). Misalnya, logaritmanya mungkin negatif: log 2 0,5 = −1, karena 0,5 = 2 −1.
Namun, sekarang kami hanya mempertimbangkan ekspresi numerik yang tidak perlu mengetahui VA logaritmanya. Semua batasan telah diperhitungkan oleh penulis masalah. Namun ketika persamaan dan pertidaksamaan logaritmik mulai berlaku, persyaratan DL akan menjadi wajib. Bagaimanapun juga, dasar dan argumennya mungkin mengandung konstruksi yang sangat kuat yang belum tentu sesuai dengan batasan di atas.
Sekarang mari kita pertimbangkan skema umum menghitung logaritma. Ini terdiri dari tiga langkah:
- Nyatakan basis a dan argumen x sebagai pangkat dengan basis minimum yang mungkin lebih besar dari satu. Dalam prosesnya, lebih baik menghilangkan desimal;
- Selesaikan persamaan variabel b: x = a b ;
- Angka b yang dihasilkan akan menjadi jawabannya.
Itu saja! Jika logaritmanya ternyata irasional, hal ini sudah terlihat pada langkah pertama. Persyaratan bahwa basis lebih besar dari satu sangatlah penting: ini mengurangi kemungkinan kesalahan dan sangat menyederhanakan perhitungan. Sama dengan desimal: jika Anda segera mengonversinya ke yang biasa, kesalahannya akan jauh lebih sedikit.
Mari kita lihat cara kerja skema ini menggunakan contoh spesifik:
Tugas. Hitung logaritmanya: log 5 25
- Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat lima: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- Kami menerima jawabannya: 2.
Mari buat dan selesaikan persamaannya:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Tugas. Hitung logaritmanya:
Tugas. Hitung logaritmanya: log 4 64
- Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Mari buat dan selesaikan persamaannya:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3; - Kami menerima jawabannya: 3.
Tugas. Hitung logaritmanya: log 16 1
- Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- Mari buat dan selesaikan persamaannya:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0; - Kami menerima jawabannya: 0.
Tugas. Hitung logaritmanya: log 7 14
- Mari kita bayangkan basis dan argumennya sebagai pangkat tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak dapat direpresentasikan sebagai pangkat tujuh, karena 7 1< 14 < 7 2 ;
- Dari paragraf sebelumnya dapat disimpulkan bahwa logaritma tidak dihitung;
- Jawabannya tidak ada perubahan: log 7 14.
Sebuah catatan kecil untuk contoh terakhir. Bagaimana Anda bisa yakin bahwa suatu bilangan bukanlah pangkat eksak dari bilangan lain? Ini sangat sederhana - cukup bagi menjadi faktor prima. Jika pemuaian mempunyai paling sedikit dua faktor yang berbeda, maka bilangan tersebut bukanlah pangkat pasti.
Tugas. Cari tahu apakah angka-angka tersebut merupakan pangkat eksak: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - derajat eksak, karena hanya ada satu pengganda;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - bukan pangkat eksak, karena ada dua faktor: 3 dan 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - derajat eksak;
35 = 7 · 5 - sekali lagi bukan pangkat pasti;
14 = 7 · 2 - sekali lagi bukan derajat pasti;
Kami juga mencatat bahwa kami sendiri bilangan prima selalu merupakan derajat yang tepat dari diri mereka sendiri.
Logaritma desimal
Beberapa logaritma sangat umum sehingga mempunyai nama dan simbol khusus.
argumen x adalah logaritma ke basis 10, yaitu Pangkat bilangan 10 yang harus dipangkatkan untuk memperoleh bilangan x. Sebutan: lg x.
Misalnya log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - dst.
Mulai sekarang, ketika frasa seperti “Temukan lg 0,01” muncul di buku teks, ketahuilah bahwa ini bukan salah ketik. Ini adalah logaritma desimal. Namun, jika Anda belum terbiasa dengan notasi ini, Anda selalu dapat menulis ulang:
catatan x = catatan 10 x
Segala sesuatu yang benar untuk logaritma biasa juga berlaku untuk logaritma desimal.
Logaritma natural
Ada logaritma lain yang memiliki sebutan tersendiri. Dalam beberapa hal, ini bahkan lebih penting daripada desimal. Ini tentang tentang logaritma natural.
argumen x adalah logaritma ke basis e, yaitu pangkat berapa bilangan e harus dipangkatkan untuk memperoleh bilangan x. Sebutan: ln x.
Banyak orang akan bertanya: berapakah angka e? Ini bilangan irasional, miliknya nilai yang tepat mustahil untuk ditemukan dan dicatat. Saya hanya akan memberikan angka pertama:
e = 2,718281828459…
Kami tidak akan merinci apa nomor ini dan mengapa diperlukan. Ingatlah bahwa e adalah basis logaritma natural:
ln x = log e x
Jadi ln e = 1; dalam e 2 = 2; dalam e 16 = 16 - dst. Sebaliknya, ln 2 adalah bilangan irasional. Secara umum, logaritma natural apa pun bilangan rasional irasional. Kecuali, tentu saja, untuk kesatuan: ln 1 = 0.
Untuk logaritma natural semua aturan yang berlaku untuk logaritma biasa adalah valid.
Lihat juga:
Logaritma. Sifat-sifat logaritma (pangkat logaritma).
Bagaimana cara merepresentasikan bilangan sebagai logaritma?
Kami menggunakan definisi logaritma.
Logaritma adalah eksponen yang harus dipangkatkan basisnya untuk mendapatkan bilangan di bawah tanda logaritma.
Jadi, untuk menyatakan bilangan c tertentu sebagai logaritma dengan basis a, Anda perlu meletakkan pangkat dengan basis yang sama dengan basis logaritma di bawah tanda logaritma, dan menuliskan bilangan c ini sebagai eksponennya:
Benar-benar bilangan apa pun dapat direpresentasikan sebagai logaritma - positif, negatif, bilangan bulat, pecahan, rasional, irasional:
Agar tidak membingungkan a dan c dalam kondisi ujian atau ujian yang penuh tekanan, Anda dapat menggunakan aturan menghafal berikut:
yang di bawah turun, yang di atas naik.
Misalnya, Anda perlu merepresentasikan angka 2 sebagai logaritma ke basis 3.
Kami memiliki dua angka - 2 dan 3. Angka-angka ini adalah basis dan eksponen, yang akan kami tulis di bawah tanda logaritma. Tinggal menentukan angka mana yang harus dituliskan ke pangkat, dan angka mana yang harus dipangkatkan.
Basis 3 dalam notasi logaritma ada di bagian bawah, artinya ketika kita menyatakan dua sebagai logaritma ke basis 3, kita juga akan menuliskan 3 ke basis.
2 lebih tinggi dari tiga. Dan dalam notasi derajat dua kita tulis di atas tiga, yaitu sebagai eksponen:
Logaritma. Tingkat masuk.
Logaritma
Logaritma angka positif B berdasarkan A, Di mana a > 0, a ≠ 1, disebut eksponen yang bilangannya harus dipangkatkan A untuk mendapatkan B.
Definisi logaritma dapat ditulis secara singkat seperti ini:
Kesetaraan ini berlaku untuk b > 0, a > 0, a ≠ 1. Biasanya disebut identitas logaritmik.
Tindakan mencari logaritma suatu bilangan disebut dengan logaritma.
Sifat-sifat logaritma:
Logaritma produk:
Logaritma hasil bagi:
Mengganti basis logaritma:
Logaritma derajat:
Logaritma akar:
Logaritma dengan basis pangkat:
Logaritma desimal dan natural.
Logaritma desimal angka panggil logaritma angka ini ke basis 10 dan tulis lg B
Logaritma natural bilangan disebut logaritma bilangan tersebut ke basis e, Di mana e- bilangan irasional kira-kira sama dengan 2,7. Pada saat yang sama mereka menulis ln B.
Catatan lain tentang aljabar dan geometri
Sifat dasar logaritma
Sifat dasar logaritma
Logaritma, seperti bilangan lainnya, dapat dijumlahkan, dikurangi, dan diubah dengan segala cara. Tapi karena logaritma tidak persis nomor biasa, ada aturan di sini, yang disebut properti utama.
Anda pasti perlu mengetahui aturan-aturan ini - tanpa aturan tersebut, tidak ada satu pun masalah logaritma serius yang dapat diselesaikan. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - Anda dapat mempelajari semuanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.
Penjumlahan dan pengurangan logaritma
Perhatikan dua logaritma dengan basis yang sama: log a x dan log a y. Kemudian mereka dapat dijumlahkan dan dikurangkan, dan:
- log a x + log a y = log a (x y);
- log a x − log a y = log a (x: y).
Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya sama dengan logaritma hasil bagi. Harap diperhatikan: poin kunci Di Sini - alasan yang identik. Jika alasannya berbeda, aturan ini tidak berlaku!
Rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritma bahkan ketika bagian-bagiannya tidak dihitung (lihat pelajaran “Apa itu logaritma”). Lihatlah contohnya dan lihat:
Catatan 6 4 + catatan 6 9.
Karena logaritma mempunyai basis yang sama, kita menggunakan rumus penjumlahan:
catatan 6 4 + catatan 6 9 = catatan 6 (4 9) = catatan 6 36 = 2.
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 2 48 − log 2 3.
Basisnya sama, kita gunakan rumus selisihnya:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48:3) = log 2 16 = 4.
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 3 135 − log 3 5.
Sekali lagi basisnya sama, jadi kita punya:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135:5) = log 3 27 = 3.
Seperti yang Anda lihat, ekspresi aslinya terdiri dari logaritma “buruk”, yang tidak dihitung secara terpisah. Tapi setelah transformasi, hasilnya cukup bagus angka biasa. Banyak yang dibangun berdasarkan fakta ini tes. Bagaimana dengan kontrolnya? ekspresi serupa dengan sangat serius (terkadang hampir tidak ada perubahan) ditawarkan pada Ujian Negara Terpadu.
Mengekstraksi eksponen dari logaritma
Sekarang mari kita mempersulit tugas ini sedikit. Bagaimana jika basis atau argumen suatu logaritma adalah suatu pangkat? Maka eksponen derajat tersebut dapat dikeluarkan dari tanda logaritma dengan aturan sebagai berikut:
Sangat mudah untuk menyadarinya aturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Namun lebih baik mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan mengurangi jumlah perhitungan secara signifikan.
Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya , yaitu Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri.
Cara menyelesaikan logaritma
Inilah yang paling sering dibutuhkan.
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 7 49 6 .
Mari kita hilangkan derajat argumen menggunakan rumus pertama:
catatan 7 49 6 = 6 catatan 7 49 = 6 2 = 12
Tugas. Temukan arti dari ungkapan:
Perhatikan bahwa penyebutnya berisi logaritma, yang basis dan argumennya merupakan pangkat eksak: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Kami memiliki:
Saya pikir contoh terakhir memerlukan beberapa klarifikasi. Kemana perginya logaritma? Sampai saat itu juga saat terakhir kami hanya bekerja dengan penyebutnya. Kami menyajikan basis dan argumen logaritma dalam bentuk pangkat dan mengeluarkan eksponennya - kami mendapatkan pecahan "tiga lantai".
Sekarang mari kita lihat pecahan utamanya. Pembilang dan penyebutnya mengandung angka yang sama: log 2 7. Karena log 2 7 ≠ 0, kita dapat mengurangi pecahan tersebut - 2/4 akan tetap berada di penyebutnya. Menurut aturan aritmatika, empat dapat dipindahkan ke pembilang, itulah yang telah dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.
Transisi ke yayasan baru
Berbicara tentang aturan penjumlahan dan pengurangan logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa aturan tersebut hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika alasannya berbeda? Bagaimana jika keduanya bukan pangkat eksak dari bilangan yang sama?
Formula untuk transisi ke yayasan baru datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorema:
Biarkan itu diberikan catatan logaritma kapak. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c ≠ 1, persamaannya benar:
Secara khusus, jika kita menetapkan c = x, kita mendapatkan:
Dari rumus kedua dapat disimpulkan bahwa basis dan argumen logaritma dapat ditukar, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi “dibalik”, yaitu. logaritma muncul di penyebut.
Rumus-rumus ini jarang ditemukan secara konvensional ekspresi numerik. Anda dapat menilai seberapa nyamannya mereka hanya dengan memutuskan persamaan logaritma dan kesenjangan.
Namun ada permasalahan yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita lihat beberapa di antaranya:
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 5 16 log 2 25.
Perhatikan bahwa argumen kedua logaritma mengandung pangkat yang pasti. Mari kita ambil indikatornya: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; catatan 2 25 = catatan 2 5 2 = 2 catatan 2 5;
Sekarang mari kita “membalikkan” logaritma kedua:
Karena hasil kali tidak berubah ketika mengatur ulang faktornya, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, lalu menangani logaritma.
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 9 100 lg 3.
Basis dan argumen logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan ini dan hilangkan indikatornya:
Sekarang mari kita singkirkan logaritma desimal, pindah ke basis baru:
Identitas logaritma dasar
Seringkali dalam proses penyelesaian, suatu bilangan perlu direpresentasikan sebagai logaritma terhadap basis tertentu.
Dalam hal ini, rumus berikut akan membantu kita:
Dalam kasus pertama, bilangan n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena hanya berupa nilai logaritma.
Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Itulah sebutannya: .
Faktanya, apa yang terjadi jika bilangan b dipangkatkan sedemikian rupa sehingga bilangan b yang dipangkatkan tersebut menghasilkan bilangan a? Betul sekali: hasilnya sama dengan bilangan a. Baca kembali paragraf ini dengan cermat - banyak orang terjebak di dalamnya.
Seperti rumus untuk berpindah ke basis baru, identitas logaritma dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.
Tugas. Temukan arti dari ungkapan:
Perhatikan bahwa log 25 64 = log 5 8 - kita cukup mengambil kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Mengingat aturan penggandaan kekuasaan dengan dasar yang sama, kita mendapatkan:
Kalau ada yang belum tahu, ini tugas nyata dari Unified State Examination :)
Satuan logaritma dan logaritma nol
Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang hampir tidak dapat disebut properti - melainkan merupakan konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus muncul dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan bagi siswa “mahir”.
- log a a = 1 adalah. Ingat sekali dan untuk selamanya: logaritma untuk setiap basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
- log a 1 = 0 adalah. Basis a bisa berupa apa saja, tetapi jika argumennya mengandung satu - logaritma sama dengan nol! Karena 0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi.
Itu semua propertinya. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak, dan selesaikan soal.
