Apa yang disebut derajat dengan eksponen bilangan bulat. Pelajaran video “Apa yang dimaksud dengan derajat dengan eksponen natural. Kekuatan dengan eksponen rasional

Video tutorial 2: Derajat dengan indikator alami dan sifat-sifatnya

Kuliah:


Gelar dengan indikator alami


Di bawah derajat beberapa nomor "A" dengan beberapa indikator "N" memahami hasil kali suatu bilangan "A" dengan dirinya sendiri "N" sekali.

Jika kita berbicara tentang derajat dengan eksponen natural, yang dimaksud adalah bilangan "N" harus bilangan bulat dan tidak negatif.

A- dasar derajat, yang menunjukkan angka mana yang harus dikalikan dengan dirinya sendiri,

N- eksponen - memberitahukan berapa kali basis perlu dikalikan dengan dirinya sendiri.


Misalnya:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

Dalam hal ini, pangkal derajat dipahami sebagai angka “8”, pangkatnya adalah angka “4”, dan nilai derajatnya adalah angka “4096”.

Kesalahan terbesar dan paling umum saat menghitung derajat adalah mengalikan eksponen dengan basis - INI TIDAK BENAR!


Jika kita berbicara tentang derajat dengan eksponen natural, yang kita maksud hanyalah eksponennya saja (N) harus berupa bilangan asli.


Anda dapat mengambil bilangan apa pun pada garis bilangan sebagai basis.


Misalnya,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Operasi matematika yang dilakukan pada basis dan eksponen disebut eksponensial.

Penjumlahan\pengurangan adalah operasi matematika tahap pertama, perkalian\pembagian adalah tindakan tahap kedua, menaikkan pangkat adalah tindakan matematika tahap ketiga, yaitu salah satu yang tertinggi.

Hierarki operasi matematika ini menentukan urutan dalam perhitungan. Jika tindakan ini terjadi pada tugas di antara dua tugas sebelumnya, maka tindakan ini dilakukan terlebih dahulu.


Misalnya:

15 + 6 *2 2 = 39

Dalam contoh ini, Anda harus menaikkan 2 terlebih dahulu, yaitu,

lalu kalikan hasilnya dengan 6, yaitu

Pangkat dengan eksponen natural digunakan tidak hanya untuk perhitungan tertentu, tetapi juga untuk kemudahan penulisan bilangan besar. Dalam hal ini konsep tersebut juga digunakan "bentuk bilangan standar". Notasi ini berarti mengalikan suatu bilangan tertentu dari 1 sampai 9 dengan pangkat 10 dengan eksponen tertentu.


Misalnya, untuk mencatat jari-jari bumi dalam bentuk standar, gunakan notasi berikut:

6400000 m = 6,4 * 10 6 m,

dan massa Bumi, misalnya, ditulis sebagai berikut:

Sifat derajat

Untuk kenyamanan menyelesaikan contoh dengan derajat, Anda perlu mengetahui sifat dasarnya:


1. Jika Anda perlu mengalikan dua pangkat yang memiliki basis yang sama, maka dalam hal ini basisnya harus dibiarkan tidak berubah dan eksponennya ditambahkan.

sebuah * am = sebuah n+m

Misalnya:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Jika perlu membagi dua derajat yang mempunyai basis yang sama, maka dalam hal ini basis harus dibiarkan tidak berubah dan eksponennya dikurangi. Harap dicatat bahwa untuk operasi dengan pangkat dengan eksponen natural, eksponen dividen harus lebih besar dari eksponen pembagi. Jika tidak, hasil bagi tindakan ini akan berupa bilangan dengan eksponen negatif.

a n / am = a n-m

Misalnya,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Jika perlu menaikkan satu pangkat ke pangkat lain, angka yang sama tetap menjadi basis hasilnya, dan eksponennya dikalikan.

(an) m = a tidak ada

Misalnya,

4. Jika perlu untuk menaikkan produk bilangan sembarang ke pangkat tertentu, maka Anda dapat menggunakan hukum distributif tertentu, yang dengannya kita memperoleh produk dari basis yang berbeda dengan pangkat yang sama.

(a * b) m = am * b m

Misalnya,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .


5. Properti serupa dapat digunakan untuk membagi pangkat, dengan kata lain, untuk menaikkan pangkat ganda biasa.

(a/b)m = am/b M

6. Bilangan apa pun yang dipangkatkan sama dengan satu sama dengan bilangan aslinya.

sebuah 1 = sebuah

Misalnya,

7. Saat menaikkan bilangan apa pun ke pangkat dengan eksponen nol, hasil perhitungan ini akan selalu satu.

dan 0 = 1

Misalnya,

SAYA. Bekerja N faktor yang masing-masing sama A ditelepon N-pangkat nomor tersebut A dan ditunjuk AN.

Contoh. Tulis produk sebagai gelar.

1) mmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 ccc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Larutan.

1) mmmm=m 4, karena, menurut definisi derajat, hasil kali empat faktor, yang masing-masing sama M, akan pangkat keempat m.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3.

II. Tindakan yang menghasilkan produk dari beberapa faktor yang sama disebut eksponensial. Bilangan yang dipangkatkan disebut bilangan pokok pangkat. Bilangan yang menunjukkan pangkat apa yang dipangkatkan disebut eksponen. Jadi, AN- derajat, A– dasar gelar, N– eksponen. Misalnya:

2 3 — itu gelar. Nomor 2 adalah basis derajat, eksponennya sama dengan 3 . Nilai gelar 2 3 sama 8, Karena 2 3 =2·2·2=8.

Contoh. Tuliskan ekspresi berikut tanpa eksponen.

5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3 ; 7) sebuah 3 -b 3 ; 8) 2a 4 +3b 2 .

Larutan.

5) 4 3 = 4·4·4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

AKU AKU AKU. dan 0 =1 Bilangan apa pun (kecuali nol) yang dipangkatkan nol sama dengan satu. Misalnya, 25 0 =1.
IV. sebuah 1 =sebuahBilangan apa pun yang dipangkatkan pertama sama dengan bilangan itu sendiri.

V. saya∙ sebuah= saya + N Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, basis dan eksponennya dibiarkan sama dilipat

Contoh. Menyederhanakan:

9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 +b 2 b 3 ; 11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 .

Larutan.

9) a·a 3 ·a 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 =c 2+1+4 =c 7 .

VI. saya: sebuah= saya - NSaat membagi pangkat dengan basis yang sama, basisnya dibiarkan sama, dan eksponen pembagi dikurangi dari eksponen pembagi.

Contoh. Menyederhanakan:

12) sebuah 8:sebuah 3 ; 13) m 11: m 4 ; 14) 5 6:5 4 .

12)a 8:a 3=a 8-3 =a 5 ; 13)m 11:m 4=m 11-4 =m 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.

VII. (saya) N= satu hal Saat menaikkan pangkat menjadi pangkat, basisnya dibiarkan sama, dan eksponennya dikalikan.

Contoh. Menyederhanakan:

15) (sebuah 3) 4 ; 16) (c 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3·4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10.

catatan, yang, karena produknya tidak berubah karena penataan ulang faktor-faktornya, Itu:

15) (sebuah 3) 4 = (sebuah 4) 3 ; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .

VSAYA II. (a∙b) n =an n ∙b n Saat menaikkan suatu produk ke suatu pangkat, masing-masing faktor dipangkatkan.

Contoh. Menyederhanakan:

17) (2a 2) 5 ; 18) 0,2 6 ·5 6 ; 19) 0,25 2 40 2.

Larutan.

17) (2a 2) 5=2 5 ·a 2·5 =32a 10 ; 18) 0,2 6 5 6=(0,2·5) 6 =1 6 =1;

19) 0,25 2 40 2=(0,25·40) 2 =10 2 =100.


IX. Saat menaikkan pecahan, pembilang dan penyebut pecahan dipangkatkan.

Contoh. Menyederhanakan:

Larutan.

Halaman 1 dari 1 1

>>Matematika: Apa yang dimaksud dengan gelar dengan eksponen natural

Apa yang dimaksud dengan gelar dengan eksponen natural?

A. V. Pogorelov, Geometri untuk kelas 7-11, Buku teks untuk lembaga pendidikan

Isi pelajaran catatan pelajaran bingkai pendukung presentasi pelajaran metode akselerasi teknologi interaktif Praktik tugas dan latihan lokakarya tes mandiri, pelatihan, kasus, pencarian pekerjaan rumah, pertanyaan diskusi, pertanyaan retoris dari siswa Ilustrasi audio, klip video dan multimedia foto, gambar, grafik, tabel, diagram, humor, anekdot, lelucon, komik, perumpamaan, ucapan, teka-teki silang, kutipan Pengaya abstrak artikel trik untuk boks penasaran, buku teks dasar dan kamus tambahan istilah lainnya Menyempurnakan buku teks dan pelajaranmemperbaiki kesalahan pada buku teks pemutakhiran suatu penggalan dalam buku teks, unsur inovasi dalam pembelajaran, penggantian pengetahuan yang sudah ketinggalan zaman dengan yang baru Hanya untuk guru pelajaran yang sempurna rencana kalender untuk tahun ini; rekomendasi metodologis; Pelajaran Terintegrasi

Pada artikel ini kita akan mencari tahu apa itu derajat. Di sini kami akan memberikan definisi pangkat suatu bilangan, sementara kami akan mempertimbangkan secara rinci semua eksponen yang mungkin, dimulai dengan eksponen natural dan diakhiri dengan eksponen irasional. Dalam materi Anda akan menemukan banyak contoh derajat yang mencakup semua seluk-beluk yang muncul.

Navigasi halaman.

Pangkat dengan eksponen alami, kuadrat suatu bilangan, pangkat tiga suatu bilangan

Mari kita mulai dengan. Ke depan, katakanlah definisi pangkat suatu bilangan a dengan eksponen natural n diberikan untuk a, yang kita sebut dasar gelar, dan n, yang akan kita panggil eksponen. Perlu kita ketahui juga bahwa suatu pangkat dengan eksponen natural ditentukan melalui suatu perkalian, sehingga untuk memahami materi di bawah ini anda perlu mempunyai pemahaman tentang perkalian bilangan.

Definisi.

Pangkat suatu bilangan dengan eksponen alami n adalah ekspresi bentuk a n, yang nilainya sama dengan hasil kali n faktor, yang masing-masing sama dengan a, yaitu .
Secara khusus, pangkat suatu bilangan a dengan eksponen 1 adalah bilangan a itu sendiri, yaitu a 1 =a.

Perlu segera disebutkan tentang aturan membaca gelar. Cara universal membaca notasi a n adalah: “a pangkat n”. Dalam beberapa kasus, opsi berikut juga dapat diterima: “a pangkat ke-n” dan “pangkat ke-n dari a”. Misalnya, mari kita pangkat 8 12, ini adalah "delapan pangkat dua belas", atau "delapan pangkat dua belas", atau "pangkat dua belas dari delapan".

Pangkat kedua suatu bilangan, serta pangkat ketiga suatu bilangan, memiliki namanya sendiri-sendiri. Pangkat kedua suatu bilangan disebut kuadratkan angkanya, misalnya, 7 2 dibaca sebagai “tujuh kuadrat” atau “kuadrat dari angka tujuh”. Pangkat ketiga suatu bilangan disebut angka-angka yang dipotong dadu, misalnya, 5 3 dapat dibaca sebagai “lima pangkat tiga” atau Anda dapat mengucapkan “kubus angka 5”.

Saatnya untuk membawa contoh derajat dengan eksponen natural. Mari kita mulai dengan derajat 5 7, di sini 5 adalah basis derajat, dan 7 adalah eksponen. Mari kita beri contoh lain: 4.32 adalah bilangan pokok, dan bilangan asli 9 adalah eksponennya (4.32) 9 .

Perlu diketahui bahwa pada contoh terakhir, basis pangkat 4,32 ditulis dalam tanda kurung: untuk menghindari perbedaan, kami akan memasukkan semua basis pangkat yang berbeda dari bilangan asli ke dalam tanda kurung. Sebagai contoh, kami memberikan derajat berikut dengan eksponen natural , basisnya bukan bilangan asli, sehingga ditulis dalam tanda kurung. Nah, agar lebih jelas, pada kali ini kami akan menunjukkan perbedaan yang terdapat pada rekaman bentuk (−2) 3 dan −2 3. Ekspresi (−2) 3 adalah pangkat −2 dengan eksponen natural 3, dan ekspresi −2 3 (dapat ditulis sebagai −(2 3) ) sesuai dengan bilangan tersebut, nilai pangkat 2 3 .

Perhatikan bahwa ada notasi pangkat suatu bilangan a dengan eksponen n berbentuk a^n. Apalagi jika n adalah bilangan asli multinilai, maka eksponennya diambil dalam tanda kurung. Misalnya, 4^9 adalah notasi lain untuk pangkat 4 9 . Dan berikut beberapa contoh penulisan derajat lagi dengan menggunakan simbol “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Berikut ini, kita terutama akan menggunakan notasi derajat dalam bentuk a n .

Salah satu soal kebalikan dari menaikkan pangkat yang eksponennya natural adalah soal mencari basis suatu pangkat dari nilai pangkat yang diketahui dan pangkat yang diketahui. Tugas ini mengarah ke.

Diketahui himpunan bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat dan pecahan, dan setiap pecahan dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa positif atau negatif. Derajat dengan eksponen bilangan bulat telah kita definisikan pada paragraf sebelumnya, oleh karena itu, untuk melengkapi definisi derajat dengan eksponen rasional, kita perlu memberi arti pangkat bilangan a dengan eksponen pecahan m/n, dimana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Ayo lakukan.

Mari kita perhatikan derajat dengan bentuk eksponen pecahan. Agar properti kekuasaan-ke-kuasaan tetap sah, kesetaraan harus dipertahankan . Jika kita memperhitungkan persamaan yang dihasilkan dan cara kita menentukan , maka logis untuk menerimanya asalkan untuk m, n dan a ekspresi yang diberikan masuk akal.

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat adalah valid (ini dilakukan di bagian properti derajat dengan eksponen rasional).

Alasan di atas memungkinkan kita untuk melakukan hal berikut kesimpulan: jika diberikan m, n dan a ekspresi tersebut masuk akal, maka pangkat a dengan eksponen pecahan m/n disebut akar ke-n dari a pangkat m.

Pernyataan ini mendekatkan kita pada definisi derajat dengan eksponen pecahan. Yang tersisa hanyalah menjelaskan pada m, n dan a ekspresi mana yang masuk akal. Bergantung pada batasan yang diterapkan pada m, n dan a, ada dua pendekatan utama.

    Cara termudah adalah dengan memberikan batasan pada a dengan mengambil a≥0 untuk m positif dan a>0 untuk m negatif (karena untuk m≤0 derajat 0 dari m tidak ditentukan). Kemudian kita mendapatkan definisi derajat dengan eksponen pecahan berikut ini.

    Definisi.

    Pangkat bilangan positif a dengan eksponen pecahan m/n, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli, disebut akar ke-n dari bilangan a pangkat m, yaitu .

    Pangkat pecahan dari nol juga ditentukan dengan satu-satunya peringatan bahwa indikatornya harus positif.

    Definisi.

    Pangkat nol dengan eksponen positif pecahan m/n, dimana m adalah bilangan bulat positif dan n adalah bilangan asli, didefinisikan sebagai .
    Jika derajatnya tidak ditentukan, maka derajat bilangan nol dengan eksponen pecahan negatif tidak masuk akal.

    Perlu dicatat bahwa dengan definisi derajat dengan eksponen pecahan ini, ada satu peringatan: untuk beberapa a negatif dan beberapa m dan n, ekspresi tersebut masuk akal, dan kami membuang kasus ini dengan memperkenalkan kondisi a≥0. Misalnya, entri-entrinya masuk akal atau , dan definisi yang diberikan di atas memaksa kita untuk mengatakan bahwa pangkat dengan bentuk eksponen pecahan tidak masuk akal, karena basisnya tidak boleh negatif.

    Pendekatan lain untuk menentukan derajat dengan eksponen pecahan m/n adalah dengan mempertimbangkan eksponen akar genap dan ganjil secara terpisah. Pendekatan ini memerlukan kondisi tambahan: pangkat dari bilangan a, yang eksponennya adalah , dianggap sebagai pangkat dari bilangan a, yang eksponennya adalah pecahan tak tersederhanakan (kami akan menjelaskan pentingnya kondisi ini di bawah ). Artinya, jika m/n adalah pecahan tak tereduksi, maka untuk sembarang bilangan asli k derajatnya diganti terlebih dahulu dengan .

    Untuk n genap dan m positif, ekspresi tersebut masuk akal untuk sembarang a non-negatif (akar genap dari bilangan negatif tidak masuk akal); untuk m negatif, bilangan a harus tetap berbeda dari nol (jika tidak maka akan terjadi pembagian dengan nol). Dan untuk n ganjil dan m positif, bilangan a dapat berupa apa saja (akar derajat ganjil ditentukan untuk sembarang bilangan real), dan untuk m negatif, bilangan a harus bukan nol (agar tidak ada pembagian dengan nol).

    Alasan di atas membawa kita pada definisi derajat dengan eksponen pecahan.

    Definisi.

    Misalkan m/n adalah pecahan tak tersederhanakan, m adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli. Untuk setiap pecahan yang dapat direduksi, derajatnya diganti dengan . Pangkat suatu bilangan dengan eksponen pecahan tak tersederhanakan m/n adalah untuk

    Mari kita jelaskan mengapa derajat dengan eksponen pecahan tereduksi terlebih dahulu diganti dengan derajat dengan eksponen tak tereduksi. Jika kita hanya mendefinisikan derajatnya sebagai , dan tidak membuat reservasi tentang tak tereduksinya pecahan m/n, maka kita akan dihadapkan pada situasi seperti berikut: karena 6/10 = 3/5, maka persamaannya harus berlaku , Tetapi , A .


Setelah pangkat suatu bilangan ditentukan, maka masuk akal untuk membicarakannya sifat derajat. Pada artikel ini kami akan memberikan sifat dasar pangkat suatu bilangan, sambil menyentuh semua kemungkinan eksponen. Di sini kami akan memberikan bukti semua sifat derajat, dan juga menunjukkan bagaimana sifat-sifat ini digunakan saat menyelesaikan contoh.

Navigasi halaman.

Sifat-sifat derajat dengan eksponen natural

Menurut definisi pangkat dengan eksponen natural, pangkat a n adalah hasil kali n faktor, yang masing-masing sama dengan a. Berdasarkan definisi ini, dan juga menggunakan sifat-sifat perkalian bilangan real, kita dapat memperoleh dan membenarkan hal berikut sifat derajat dengan eksponen alami:

  1. sifat utama derajat am ·a n =am+n, generalisasinya;
  2. sifat hasil bagi dengan basis identik a m:an =a m−n ;
  3. properti kekuatan produk (a·b) n =a n ·b n , perpanjangannya;
  4. sifat hasil bagi pangkat alami (a:b) n =a n:b n ;
  5. menaikkan derajat ke pangkat (am) n =a m·n, generalisasinya (((an 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
  6. perbandingan derajat dengan nol:
    • jika a>0, maka n>0 untuk sembarang bilangan asli n;
    • jika a=0, maka an =0;
    • jika sebuah<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 jika sebuah<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
  7. jika a dan b bilangan positif dan a
  8. jika m dan n adalah bilangan asli sehingga m>n , maka pada 0 0 pertidaksamaan am >an benar.

Mari kita segera perhatikan bahwa semua persamaan tertulis adalah identik sesuai dengan kondisi yang ditentukan, bagian kanan dan kirinya dapat ditukar. Misalnya, sifat utama pecahan a m ·a n =am+n dengan menyederhanakan ekspresi sering digunakan dalam bentuk a m+n =am ·a n .

Sekarang mari kita lihat masing-masing secara detail.

    Mari kita mulai dengan sifat hasil kali dua pangkat dengan basis yang sama, yang disebut properti utama dari gelar tersebut: untuk sembarang bilangan real a dan sembarang bilangan asli m dan n, persamaan am ·a n =am+n benar.

    Mari kita buktikan sifat utama derajat tersebut. Berdasarkan definisi pangkat dengan eksponen natural, hasil kali pangkat dengan basis yang sama berbentuk a m ​​·a n dapat ditulis sebagai hasil kali. Karena sifat perkalian, ekspresi yang dihasilkan dapat ditulis sebagai , dan hasil kali ini adalah pangkat dari bilangan a dengan eksponen natural m+n, yaitu a m+n. Ini melengkapi buktinya.

    Mari kita beri contoh yang menegaskan sifat utama derajat. Mari kita ambil derajat dengan basis yang sama 2 dan pangkat alami 2 dan 3, dengan menggunakan sifat dasar derajat kita dapat menulis persamaan 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Mari kita periksa validitasnya dengan menghitung nilai ekspresi 2 2 · 2 3 dan 2 5 . Melakukan eksponensial, kita punya 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 dan 2 5 =2·2·2·2·2=32, karena diperoleh nilai yang sama, maka persamaan 2 2 ·2 3 =2 5 benar, dan ini menegaskan sifat utama derajat.

    Sifat dasar suatu derajat, berdasarkan sifat perkalian, dapat digeneralisasikan menjadi hasil kali tiga pangkat atau lebih dengan basis dan eksponen natural yang sama. Jadi untuk sembarang bilangan k dari bilangan asli n 1, n 2, …, n k persamaan berikut ini benar: a n 1 ·an 2 ·…·an k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    Misalnya, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    Kita dapat beralih ke sifat pangkat berikutnya dengan eksponen natural – sifat hasil bagi dengan basis yang sama: untuk sembarang bilangan real bukan nol a dan bilangan asli sembarang m dan n yang memenuhi syarat m>n, persamaan a m:an =a m−n benar.

    Sebelum memaparkan pembuktian sifat ini, mari kita bahas pengertian syarat tambahan dalam rumusan tersebut. Kondisi a≠0 diperlukan untuk menghindari pembagian dengan nol, karena 0 n =0, dan ketika kita mengenal pembagian, kita sepakat bahwa kita tidak dapat membagi dengan nol. Kondisi m>n diperkenalkan agar kita tidak melampaui eksponen natural. Memang benar, untuk m>n eksponen a m−n adalah bilangan asli, jika tidak maka eksponennya akan menjadi nol (yang berlaku untuk m−n) atau bilangan negatif (yang berlaku untuk m

    Bukti. Sifat utama pecahan memungkinkan kita menulis persamaan a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Dari persamaan yang dihasilkan a m−n ·a n =am dan dapat disimpulkan bahwa a m−n adalah hasil bagi pangkat a m dan a n . Ini membuktikan sifat hasil bagi dengan basis yang identik.

    Mari kita beri contoh. Mari kita ambil dua derajat dengan basis yang sama π dan eksponen natural 5 dan 2, persamaan π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 sesuai dengan sifat derajat yang dipertimbangkan.

    Sekarang mari kita pertimbangkan properti kekuatan produk: pangkat alami n hasil kali dua bilangan real a dan b sama dengan hasil kali pangkat a n dan b n , yaitu (a·b) n =an ·b n .

    Memang, menurut definisi derajat dengan eksponen natural, kita punya . Berdasarkan sifat-sifat perkalian, hasil perkalian terakhir dapat ditulis ulang menjadi , yang sama dengan a n · b n .

    Berikut ini contohnya: .

    Sifat ini mencakup perkalian tiga faktor atau lebih. Artinya, sifat derajat alami n hasil kali k faktor ditulis sebagai (a 1 ·a 2 ·…·ak) n =a 1 n ·a 2 n ·…·ak n.

    Untuk kejelasan, kami akan menunjukkan properti ini dengan sebuah contoh. Untuk hasil kali tiga faktor pangkat 7 kita punya.

    Properti berikut adalah properti hasil bagi dalam bentuk barang: hasil bagi bilangan real a dan b, b≠0 pangkat n sama dengan hasil bagi pangkat a n dan b n, yaitu (a:b) n =a n:b n.

    Pembuktiannya dapat dilakukan dengan menggunakan sifat sebelumnya. Jadi (a:b) n b n =((a:b) b) n =an, dan dari persamaan (a:b) n ·b n =an =an maka (a:b) n adalah hasil bagi dari a n dibagi b n .

    Mari tulis properti ini menggunakan angka tertentu sebagai contoh: .

    Sekarang mari kita menyuarakannya properti untuk meningkatkan suatu kekuatan menjadi suatu kekuatan: untuk sembarang bilangan real a dan sembarang bilangan asli m dan n, pangkat m pangkat n sama dengan pangkat bilangan a dengan eksponen m·n, yaitu (am) n =am·n.

    Misalnya, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

    Bukti dari sifat pangkat-ke-derajat adalah rantai persamaan berikut: .

    Properti yang dipertimbangkan dapat diperluas ke derajat ke derajat, dll. Misalnya, untuk sembarang bilangan asli p, q, r dan s, persamaannya . Untuk lebih jelasnya, berikut adalah contoh dengan angka tertentu: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    Masih memikirkan sifat-sifat membandingkan derajat dengan eksponen alami.

    Mari kita mulai dengan membuktikan sifat membandingkan nol dan pangkat dengan eksponen natural.

    Pertama, mari kita buktikan bahwa a n >0 untuk sembarang a>0.

    Hasil kali dua bilangan positif adalah bilangan positif, berikut pengertian perkaliannya. Fakta ini dan sifat-sifat perkalian menunjukkan bahwa hasil perkalian sejumlah bilangan positif juga akan berupa bilangan positif. Dan pangkat suatu bilangan a dengan eksponen natural n, menurut definisi, adalah hasil kali n faktor, yang masing-masing sama dengan a. Argumen-argumen ini memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa untuk sembarang basis positif a, derajat a n adalah bilangan positif. Karena sifat terbukti 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 dan .

    Jelas sekali bahwa untuk sembarang bilangan asli n dengan a=0 derajat a n adalah nol. Memang, 0 n =0·0·…·0=0 . Misalnya, 0 3 =0 dan 0 762 =0.

    Mari beralih ke basis derajat negatif.

    Mari kita mulai dengan kasus ketika eksponennya adalah bilangan genap, mari kita nyatakan sebagai 2·m, dengan m adalah bilangan asli. Kemudian . Untuk setiap hasil kali bentuk a·a sama dengan hasil kali modulus bilangan a dan a, yang berarti bilangan positif. Oleh karena itu, produknya juga akan positif dan derajat a 2·m. Mari kita beri contoh: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 dan .

    Terakhir, jika basis a adalah bilangan negatif dan eksponennya adalah bilangan ganjil 2 m−1, maka . Semua hasil kali a·a adalah bilangan positif, hasil kali bilangan positif ini juga positif, dan perkaliannya dengan sisa bilangan negatif a menghasilkan bilangan negatif. Karena sifat ini (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    Mari kita beralih ke sifat membandingkan pangkat dengan eksponen alami yang sama, yang memiliki rumusan sebagai berikut: dari dua pangkat dengan eksponen alami yang sama, n lebih kecil dari yang basisnya lebih kecil, dan lebih besar adalah yang basisnya lebih besar . Mari kita buktikan.

    Ketimpangan dan n sifat-sifat ketidaksetaraan pertidaksamaan bentuk an yang dapat dibuktikan juga benar .

    Yang terakhir dari sifat-sifat pangkat yang terdaftar masih harus dibuktikan dengan eksponen alami. Mari kita rumuskan. Dari dua pangkat yang eksponen alami dan basis positifnya kurang dari satu, pangkat yang pangkatnya lebih kecil adalah yang lebih besar; dan dari dua pangkat yang eksponen alami dan basisnya sama lebih besar dari satu, pangkat yang lebih besar adalah yang lebih besar. Mari kita lanjutkan ke pembuktian properti ini.

    Mari kita buktikan untuk m>n dan 0 0 karena kondisi awal m>n yang berarti pada 0

    Masih membuktikan bagian kedua dari properti. Mari kita buktikan bahwa untuk m>n dan a>1 am >an n benar. Selisih a m −a n setelah mengeluarkan n dari tanda kurung berbentuk a n ·(a m−n −1) . Hasil kali ini positif, karena untuk a>1 derajat a n adalah bilangan positif, dan selisih a m−n −1 adalah bilangan positif, karena m−n>0 disebabkan oleh kondisi awal, dan untuk a>1 derajat a m−n lebih besar dari satu . Akibatnya, a m −a n >0 dan a m >an n , itulah yang perlu dibuktikan. Sifat ini diilustrasikan dengan pertidaksamaan 3 7 >3 2.

Sifat-sifat pangkat dengan eksponen bilangan bulat

Karena bilangan bulat positif adalah bilangan asli, maka semua sifat pangkat dengan eksponen bilangan bulat positif sama persis dengan sifat pangkat dengan pangkat asli yang tercantum dan dibuktikan pada paragraf sebelumnya.

Kami mendefinisikan derajat dengan eksponen bilangan bulat negatif, serta derajat dengan eksponen nol, sedemikian rupa sehingga semua sifat derajat dengan eksponen alami, yang dinyatakan dengan persamaan, tetap valid. Oleh karena itu, semua sifat ini berlaku untuk eksponen nol dan eksponen negatif, sedangkan, tentu saja, basis pangkatnya berbeda dari nol.

Jadi, untuk bilangan real dan bukan nol a dan b, serta bilangan bulat m dan n, pernyataan berikut ini benar: sifat-sifat pangkat dengan eksponen bilangan bulat:

  1. am ·a n =am+n ;
  2. aku:an =aku−n ​​;
  3. (a·b) n =a n ·b n ;
  4. (a:b) n =a n:b n ;
  5. (saya) n = saya·n ;
  6. jika n bilangan bulat positif, a dan b bilangan positif, dan a b−n ;
  7. jika m dan n bilangan bulat, dan m>n , maka pada 0 1 pertidaksamaan yang dimiliki am >an.

Ketika a=0, pangkat a m dan a n hanya masuk akal jika m dan n keduanya adalah bilangan bulat positif, yaitu bilangan asli. Jadi, sifat-sifat yang baru saja ditulis juga berlaku untuk kasus ketika a=0 dan bilangan m dan n adalah bilangan bulat positif.

Membuktikan masing-masing sifat tersebut tidaklah sulit; untuk melakukannya, cukup menggunakan definisi derajat dengan eksponen natural dan bilangan bulat, serta sifat-sifat operasi dengan bilangan real. Sebagai contoh, mari kita buktikan bahwa sifat pangkat-pangkat berlaku untuk bilangan bulat positif dan bilangan bulat non-positif. Untuk melakukannya, Anda perlu menunjukkan bahwa jika p adalah nol atau bilangan asli dan q adalah nol atau bilangan asli, maka persamaannya (ap) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (ap ) −q =ap·(−q) dan (a −p) −q =a (−p)·(−q). Ayo lakukan.

Untuk p dan q positif, persamaan (ap) q =a p·q telah dibuktikan pada paragraf sebelumnya. Jika p=0, maka kita mempunyai (a 0) q =1 q =1 dan a 0·q =a 0 =1, sehingga (a 0) q =a 0·q. Demikian pula, jika q=0, maka (ap) 0 =1 dan a p·0 =a 0 =1, maka (ap) 0 =a p·0. Jika p=0 dan q=0, maka (a 0) 0 =1 0 =1 dan a 0·0 =a 0 =1, maka (a 0) 0 =a 0·0.

Sekarang kita buktikan bahwa (a −p) q =a (−p)·q . Menurut definisi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif, maka . Berdasarkan sifat hasil bagi dengan pangkat yang kita miliki . Karena 1 p =1·1·…·1=1 dan , maka . Ekspresi terakhir, menurut definisi, adalah pangkat dalam bentuk a −(p·q), yang, karena aturan perkalian, dapat ditulis sebagai a (−p)·q.

Juga .

DAN .

Dengan menggunakan prinsip yang sama, Anda dapat membuktikan semua sifat derajat lainnya dengan eksponen bilangan bulat, yang ditulis dalam bentuk persamaan.

Di bagian kedua dari belakang dari sifat-sifat yang tercatat, ada baiknya memikirkan bukti pertidaksamaan a −n >b −n, yang berlaku untuk bilangan bulat negatif −n dan bilangan positif a dan b yang kondisinya terpenuhi . Karena dengan syarat a 0 . Hasil kali a n · b n juga positif sebagai hasil kali bilangan positif a n dan b n . Maka pecahan yang dihasilkan adalah positif sebagai hasil bagi bilangan positif b n −an dan a n ·b n . Oleh karena itu, dari mana a −n >b −n , itulah yang perlu dibuktikan.

Sifat terakhir dari pangkat dengan eksponen bilangan bulat dibuktikan dengan cara yang sama seperti sifat serupa dari pangkat dengan eksponen alami.

Sifat-sifat pangkat dengan eksponen rasional

Kita mendefinisikan derajat dengan eksponen pecahan dengan memperluas sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat. Dengan kata lain, pangkat dengan eksponen pecahan mempunyai sifat yang sama dengan pangkat dengan pangkat bilangan bulat. Yaitu:

Pembuktian sifat-sifat derajat dengan eksponen pecahan didasarkan pada definisi derajat dengan eksponen pecahan, dan pada sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat. Mari kita berikan bukti.

Menurut definisi pangkat dengan eksponen pecahan dan , maka . Sifat-sifat akar aritmatika memungkinkan kita menulis persamaan berikut. Selanjutnya, dengan menggunakan sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat, kita peroleh , dari mana, menurut definisi derajat dengan eksponen pecahan, kita peroleh , dan indikator derajat yang diperoleh dapat ditransformasikan sebagai berikut: . Ini melengkapi buktinya.

Sifat kedua pangkat dengan eksponen pecahan dibuktikan dengan cara yang sangat mirip:

Persamaan lainnya dibuktikan dengan menggunakan prinsip serupa:

Mari kita lanjutkan ke pembuktian properti berikutnya. Mari kita buktikan bahwa untuk sembarang a dan b positif, a b hal. Mari kita tulis bilangan rasional p sebagai m/n, dengan m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Ketentuan hal<0 и p>0 dalam hal ini kondisi m<0 и m>0 sesuai. Untuk m>0 dan a

Demikian pula untuk m<0 имеем a m >b m , dari mana, yaitu, dan a p >bp p .

Masih membuktikan properti terakhir yang terdaftar. Mari kita buktikan bahwa untuk bilangan rasional p dan q, p>q di 0 0 – pertidaksamaan a p >a q . Kita selalu dapat mereduksi bilangan rasional p dan q menjadi penyebut yang sama, meskipun kita mendapatkan pecahan biasa dan , di mana m 1 dan m 2 adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli. Dalam hal ini, kondisi p>q akan sesuai dengan kondisi m 1 >m 2, sebagai berikut. Kemudian, dengan sifat membandingkan pangkat dengan basis dan eksponen natural yang sama di 0 1 – pertidaksamaan saya 1 >saya 2 . Pertidaksamaan sifat-sifat akar ini dapat ditulis ulang sebagai berikut Dan . Dan definisi derajat dengan eksponen rasional memungkinkan kita beralih ke ketidaksetaraan dan, karenanya. Dari sini kita menarik kesimpulan akhir: untuk p>q dan 0 0 – pertidaksamaan a p >a q .

Sifat-sifat pangkat dengan eksponen irasional

Dari cara mendefinisikan derajat dengan eksponen irasional, kita dapat menyimpulkan bahwa ia memiliki semua sifat derajat dengan eksponen rasional. Jadi untuk bilangan a>0, b>0 dan bilangan irasional p dan q, berikut ini yang benar sifat-sifat pangkat dengan eksponen irasional:

  1. a p ·a q =a p+q ;
  2. ap:a q =a p−q ;
  3. (a·b) p =a p ·b p ;
  4. (a:b) p =a p:b p ;
  5. (ap) q =a p·q ;
  6. untuk sembarang bilangan positif a dan b, a 0 pertidaksamaan a hal b p ;
  7. untuk bilangan irasional p dan q, p>q di 0 0 – pertidaksamaan a p >a q .

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa pangkat dengan eksponen nyata p dan q untuk a>0 mempunyai sifat yang sama.

Bibliografi.

  • Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Buku teks matematika untuk kelas 5. lembaga pendidikan.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 7. lembaga pendidikan.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 8. lembaga pendidikan.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 9. lembaga pendidikan.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain.Aljabar dan permulaan analisis: Buku ajar untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan umum.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik).