Penjumlahan akar dengan basa yang sama. Aturan penjumlahan akar kuadrat. Aturan Dasar Perkalian

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat “tidak terlalu. »
Dan bagi mereka yang “sangat menginginkannya. ")

Pada pelajaran sebelumnya kita telah mengetahui apa itu akar kuadrat. Saatnya mencari tahu mana yang ada rumus untuk akar apa yang sifat-sifat akar, dan apa yang bisa dilakukan dengan semua ini.

Rumus akar, sifat-sifat akar, dan aturan bekerja dengan akar- ini pada dasarnya adalah hal yang sama. Rumus untuk akar kuadrat sangat sedikit. Yang tentu saja membuatku bahagia! Atau lebih tepatnya, Anda dapat menulis banyak rumus berbeda, tetapi untuk pekerjaan yang praktis dan percaya diri dengan akar, hanya tiga rumus yang cukup. Segala sesuatu yang lain mengalir dari ketiganya. Meski banyak orang yang bingung dengan ketiga rumus akar tersebut, ya.

Mari kita mulai dengan yang paling sederhana. Ini dia:

Izinkan saya mengingatkan Anda (dari pelajaran sebelumnya): a dan b adalah bilangan non-negatif! Kalau tidak, rumusnya tidak masuk akal.

Ini properti akar , seperti yang Anda lihat, sederhana, singkat, dan tidak berbahaya. Namun ada banyak hal hebat yang dapat Anda lakukan dengan formula akar ini! Mari lihat contoh semua hal berguna ini.

Hal yang berguna Pertama. Rumus ini memungkinkan kita memperbanyak akar.

Bagaimana cara memperbanyak akar?

Ya, sangat sederhana. Langsung ke rumusnya. Misalnya:

Tampaknya mereka melipatgandakannya, lalu kenapa? Apakah ada banyak kegembiraan?! Saya setuju, sedikit. Bagaimana kamu menyukai ini contoh?

Akarnya tidak sepenuhnya diekstraksi dari faktor-faktornya. Dan hasilnya luar biasa! Itu lebih baik, bukan? Untuk berjaga-jaga, izinkan saya memberi tahu Anda bahwa pengganda bisa sebanyak yang Anda suka. Rumus perkalian akar masih bisa digunakan. Misalnya:

Jadi, dengan perkalian semuanya jelas, mengapa ini perlu? properti akar- juga bisa dimengerti.

Hal bermanfaat kedua. Memasukkan nomor di bawah tanda root.

Bagaimana cara memasukkan nomor di bawah root?

Anggaplah kita mempunyai ungkapan ini:

Apakah mungkin menyembunyikan deuce di dalam root? Mudah! Jika Anda membuat akar dari dua, rumus mengalikan akar akan berhasil. Bagaimana cara membuat root dari dua? Ya, tidak ada pertanyaan juga! Dua adalah akar kuadrat dari empat!

Omong-omong, akar dapat dibuat dari bilangan non-negatif apa pun! Ini akan menjadi akar kuadrat dari kuadrat angka tersebut. 3 adalah akar dari 9. 8 adalah akar dari 64. 11 adalah akar dari 121. Nah, dan seterusnya.

Tentu saja tidak perlu dijelaskan sedetail itu. Sebagai permulaan. Cukuplah untuk menyadari hal itu angka negatif, dikalikan dengan root, dapat dimasukkan di bawah root. Tapi - jangan lupa! - di bawah root nomor ini akan menjadi persegi dirimu sendiri. Tindakan ini - memasukkan angka di bawah akar - juga bisa disebut mengalikan angka dengan akar. Secara umum kita dapat menulis:

Prosedurnya sederhana, seperti yang Anda lihat. Mengapa itu diperlukan?

Seperti transformasi apa pun, prosedur ini memperluas kemampuan kami. Peluang untuk mengubah ekspresi yang kejam dan tidak nyaman menjadi ekspresi yang lembut dan halus). Ini yang sederhana untuk Anda contoh:

Seperti yang Anda lihat, properti akar, yang memungkinkan Anda memasukkan pengali di bawah tanda root, cukup cocok untuk penyederhanaan.

Selain itu, menambahkan pengali ke akar memudahkan dan menyederhanakan perbandingan nilai akar yang berbeda. Tanpa perhitungan atau kalkulator apa pun! Hal ketiga yang bermanfaat.

Bagaimana cara membandingkan akar?

Keterampilan ini sangat penting dalam tugas-tugas serius, ketika mengungkapkan modul dan hal-hal keren lainnya.

Bandingkan ekspresi ini. Mana yang lebih besar? Tanpa kalkulator! Masing-masing dengan kalkulator. uh-uh. Singkatnya, semua orang bisa melakukannya!)

Anda tidak bisa langsung mengatakannya. Bagaimana jika Anda memasukkan angka di bawah tanda akar?

Mari kita ingat (bagaimana jika Anda tidak mengetahuinya?): jika bilangan di bawah tanda akar lebih besar, maka akar itu sendiri juga lebih besar! Oleh karena itu jawaban yang benar segera, tanpa apapun perhitungan yang rumit dan perhitungan:

Hebat, bukan? Tapi bukan itu saja! Ingatlah bahwa semua rumus berfungsi baik dari kiri ke kanan maupun dari kanan ke kiri. Sejauh ini kita telah menggunakan rumus mengalikan akar dari kiri ke kanan. Mari kita jalankan properti akar ini secara terbalik, dari kanan ke kiri. Seperti ini:

Dan apa bedanya? Apakah ini memberikan sesuatu? Tentu! Sekarang Anda akan melihatnya sendiri.

Misalkan kita perlu mengekstrak (tanpa kalkulator!) akar kuadrat dari angka 6561. Beberapa orang pada tahap ini akan mengalami kesulitan yang tidak seimbang dalam mengerjakan tugas tersebut. Tapi kami gigih, kami tidak menyerah! Hal bermanfaat keempat.

Bagaimana cara mengekstrak akar dari sejumlah besar?

Mari kita mengingat kembali rumus untuk mengekstraksi akar dari suatu produk. Yang saya tulis tepat di atas. Tapi dimana pekerjaan kita!? Kami memiliki angka yang sangat besar 6561 dan hanya itu. Ya, pekerjaannya tidak ada di sini. Namun jika kami membutuhkannya, kami akan melakukannya Ayo lakukan! Mari kita faktorkan angka ini. Kami punya hak.

Pertama, mari kita cari tahu sebenarnya bilangan ini habis dibagi apa? Apa, kamu tidak tahu!? Apakah kamu lupa tanda-tanda keterbagian!? Sia-sia. Pergi ke Bagian khusus 555, topik “Pecahan”, semuanya ada di sana. Bilangan ini habis dibagi 3 dan 9. Karena jumlah bilangan (6+5+6+1=18) dibagi dengan bilangan tersebut. Ini adalah salah satu tanda perpecahan. Kita tidak perlu membaginya dengan tiga (sekarang Anda akan mengerti alasannya), tapi kita akan membaginya dengan 9. Setidaknya di sudut. Kita mendapatkan 729. Jadi kita menemukan dua faktor! Yang pertama adalah sembilan (kami memilihnya sendiri), dan yang kedua adalah 729 (ternyata begitu). Anda sudah dapat menulis:

Apakah Anda mengerti? Kami akan melakukan hal yang sama dengan nomor 729. Bilangan tersebut juga habis dibagi 3 dan 9. Kita tidak membaginya dengan 3 lagi, kita membaginya dengan 9. Kita mendapatkan 81. Dan kita mengetahui bilangan ini! Kami menuliskan:

Semuanya menjadi mudah dan elegan! Akarnya harus diekstraksi sepotong demi sepotong, tapi oh baiklah. Anda dapat melakukan ini dengan siapa saja angka besar. Lipat gandakan dan lanjutkan!

Ngomong-ngomong, kenapa kamu tidak membaginya dengan 3? Ya, karena akar ketiganya tidak bisa diekstraksi dengan tepat! Masuk akal untuk memfaktorkannya ke dalam faktor-faktor sedemikian rupa sehingga akarnya dapat diekstraksi dengan baik dari setidaknya satu faktor. Ini adalah 4, 9, 16 sumur, dan seterusnya. Bagilah jumlah besar Anda dengan angka-angka ini satu per satu, dan Anda akan beruntung!

Tapi belum tentu. Anda mungkin tidak beruntung. Katakanlah bilangan 432, jika difaktorkan dan menggunakan rumus akar hasil perkaliannya, akan memberikan hasil sebagai berikut:

Baiklah. Bagaimanapun, kami menyederhanakan ekspresinya. Dalam matematika, merupakan kebiasaan untuk meninggalkan yang terbanyak nomor kecil dari kemungkinan. Dalam proses penyelesaiannya semuanya tergantung contoh (mungkin semuanya bisa dipersingkat tanpa penyederhanaan), namun dalam jawabannya perlu memberikan hasil yang tidak bisa disederhanakan lagi.

Ngomong-ngomong, tahukah Anda apa yang kami lakukan dengan root 432?

Kami mengambil faktor-faktornya dari bawah tanda akar ! Inilah sebutan untuk operasi ini. Jika tidak, Anda akan mendapat tugas - “ hilangkan faktor tersebut dari bawah tanda akar"Tetapi laki-laki bahkan tidak mengetahuinya.) Ini aplikasi lain untuk Anda sifat-sifat akar. Hal yang bermanfaat kelima.

Bagaimana cara menghapus pengganda dari bawah root?

Dengan mudah. Faktorkan ekspresi radikal dan ekstrak akar yang diekstraksi. Mari lihat:

Tidak ada yang supernatural. Penting untuk memilih pengganda yang tepat. Di sini kami telah memperluas 72 menjadi 36·2. Dan semuanya berjalan baik. Atau mereka dapat memperluasnya secara berbeda: 72 = 6·12. Dan apa!? Root tidak dapat diekstraksi dari 6 atau 12. Apa yang harus dilakukan?!

Tidak apa-apa. Cari opsi dekomposisi lain, atau terus dekomposisi semuanya hingga berhenti! Seperti ini:

Seperti yang Anda lihat, semuanya berhasil. Omong-omong, ini bukan cara tercepat, tapi cara paling andal. Bagilah angka tersebut menjadi faktor-faktor terkecil, lalu kumpulkan angka-angka yang sama menjadi beberapa tumpukan. Metode ini juga berhasil digunakan ketika mengalikan akar yang tidak nyaman. Misalnya, Anda perlu menghitung:

Lipat gandakan semuanya - Anda mendapatkan angka gila! Lalu bagaimana cara mengekstrak root darinya?! Memfaktorkannya lagi? Tidak, kami tidak memerlukan kerja ekstra. Kami segera memfaktorkannya menjadi faktor-faktor dan mengumpulkan faktor-faktor yang sama ke dalam kelompok:

Itu saja. Tentu saja, tidak perlu memperluasnya sepenuhnya. Semuanya ditentukan oleh kemampuan pribadi Anda. Kami membawa contoh ke titik di mana semuanya jelas bagi Anda Artinya kita sudah bisa menghitungnya. Hal utama adalah jangan membuat kesalahan. Bukan manusia untuk matematika, tapi matematika untuk manusia!)

Mari terapkan ilmu dalam praktik? Mari kita mulai dengan sesuatu yang sederhana:

Aturan penjumlahan akar kuadrat

Sifat-sifat akar kuadrat

Sejauh ini kita telah melakukan lima operasi aritmatika pada bilangan: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan eksponensial, dan secara aktif digunakan dalam perhitungan berbagai properti operasi ini, misalnya a + b = b + a, a n -b n = (ab) n, dst.

Bab ini diperkenalkan operasi baru- mengekstraksi akar kuadrat dari bilangan non-negatif. Agar berhasil menggunakannya, Anda perlu memahami properti operasi ini, yang akan kita lakukan di bagian ini.

Bukti. Mari kita perkenalkan notasi berikut:
Kita perlu membuktikan bahwa untuk bilangan non-negatif x, y, z persamaan x = yz berlaku.

Jadi, x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Maka x 2 = y 2 z 2, yaitu x 2 = (yz) 2.

Jika kotak dua bilangan tak negatif adalah sama, maka bilangan-bilangan itu sendiri juga sama, artinya dari persamaan x 2 = (yz) 2 maka x = yz, dan inilah yang perlu dibuktikan.

Mari kita memberi catatan pendek bukti teorema:

Catatan 1. Teorema ini tetap berlaku untuk kasus ketika ekspresi radikal merupakan hasil kali lebih dari dua faktor non-negatif.

Catatan 2. Dalil 1 dapat ditulis menggunakan konstruksi “jika”. , lalu” (seperti yang biasa digunakan pada teorema matematika). Mari kita berikan rumusan yang sesuai: jika a dan b adalah bilangan non-negatif, maka persamaannya .

Inilah tepatnya bagaimana kita akan merumuskan teorema berikutnya.

(Rumusan singkat yang lebih mudah digunakan dalam praktik: akar pecahan sama dengan pecahan dari akar atau akar hasil bagi sama dengan hasil bagi akar.)

Kali ini kami hanya akan memberikan rangkuman singkat pembuktiannya, dan cobalah memberikan komentar yang sesuai dengan inti pembuktian Teorema 1.

Contoh 1. Menghitung .
Larutan. Menggunakan properti pertama akar kuadrat(Teorema 1), kita dapatkan

Catatan 3. Tentu saja, contoh ini dapat diselesaikan secara berbeda, terutama jika Anda memiliki mikrokalkulator: kalikan angka 36, ​​64, 9, lalu ambil akar kuadrat dari hasil perkaliannya. Namun, Anda akan setuju bahwa solusi yang diusulkan di atas terlihat lebih bersifat budaya.

Catatan 4. Pada metode pertama, kami melakukan perhitungan “langsung”. Cara kedua lebih elegan:
kami melamar rumus a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) dan menggunakan sifat akar kuadrat.

Catatan 5. Beberapa orang yang “panas” terkadang menawarkan “solusi” ini untuk Contoh 3:

Ini tentu saja tidak benar: Anda lihat - hasilnya tidak sama dengan contoh 3. Faktanya adalah tidak ada properti , karena tidak ada properti Yang ada hanyalah sifat-sifat yang berkaitan dengan perkalian dan pembagian akar kuadrat. Hati-hati dan hati-hati, jangan ambil angan-angan saja.

Contoh 4. Hitung: a)
Larutan. Rumus apa pun dalam aljabar digunakan tidak hanya “dari kanan ke kiri”, tetapi juga “dari kiri ke kanan”. Jadi, sifat pertama dari akar kuadrat berarti, jika perlu, dapat direpresentasikan dalam bentuk , dan sebaliknya, yang dapat diganti dengan ekspresi. Hal yang sama berlaku untuk sifat kedua dari akar kuadrat. Dengan mempertimbangkan hal ini, mari kita selesaikan contoh yang diusulkan.

Sebagai penutup paragraf ini, mari kita perhatikan satu hal lagi yang cukup sederhana dan sekaligus properti penting:
jika a > 0 dan n - bilangan asli , Itu

Contoh 5. Menghitung tanpa menggunakan tabel kuadrat angka dan mikrokalkulator.

Larutan. Mari kita dekomposisi bilangan radikal menjadi faktor utama:

Catatan 6. Contoh ini dapat diselesaikan dengan cara yang sama seperti contoh serupa di § 15. Mudah ditebak bahwa jawabannya adalah “80 berekor”, karena 80 2 2 . Mari kita temukan "ekornya", mis. angka terakhir nomor yang diinginkan. Selama ini kita tahu kalau diambil akarnya, maka jawabannya bisa 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 atau 89. Kita hanya perlu mengecek dua angka saja: 84 dan 86, karena hanya mereka, ketika dikuadratkan, akan memberikan hasilnya empat digit angka yang diakhiri dengan 6, mis. digit yang sama yang diakhiri dengan angka 7056. Kita mempunyai 84 2 = 7056 - inilah yang kita butuhkan. Cara,

Mordkovich A.G., Aljabar. kelas 8: Buku teks. untuk pendidikan umum institusi. - Edisi ke-3, direvisi. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 hal.: sakit.

Buku, unduhan buku teks matematika, catatan untuk membantu guru dan siswa, belajar online

Jika anda mempunyai koreksi atau saran untuk pelajaran ini, tulislah kepada kami.

Jika Anda ingin melihat penyesuaian dan saran pelajaran lainnya, lihat di sini - Forum Pendidikan.

Cara menjumlahkan akar kuadrat

Akar kuadrat suatu bilangan X nomor yang dipanggil A, yang sedang dalam proses perkalian dengan dirinya sendiri ( A A) dapat memberikan nomor X.
Itu. A * A = A 2 = X, Dan √X = SEBUAH.

Di atas akar kuadrat ( √x), seperti halnya nomor lainnya, Anda dapat melakukan hal berikut operasi aritmatika seperti pengurangan dan penjumlahan. Untuk mengurangi dan menjumlahkan akar, akar-akar tersebut harus dihubungkan menggunakan tanda-tanda yang sesuai dengan tindakan ini (misalnya √x — √y ).
Dan kemudian bawa akarnya ke sana bentuk paling sederhana- jika ada yang serupa di antara mereka, maka perlu dilakukan pengurangan. Ini terdiri dari mengambil koefisien suku-suku yang serupa dengan tanda-tanda suku-suku yang bersesuaian, kemudian memasukkannya ke dalam tanda kurung dan menyimpulkan akar yang sama di luar tanda kurung pengali. Koefisien yang kami peroleh disederhanakan menurut aturan biasa.

Langkah 1: Mengekstraksi Akar Kuadrat

Pertama, untuk menjumlahkan akar kuadrat, Anda perlu mengekstrak akar-akar tersebut terlebih dahulu. Hal ini dapat dilakukan jika bilangan-bilangan di bawah tanda akar adalah bilangan kuadrat sempurna. Misalnya, ambil ekspresi yang diberikan √4 + √9 . Nomor pertama 4 adalah kuadrat dari bilangan tersebut 2 . Nomor kedua 9 adalah kuadrat dari bilangan tersebut 3 . Dengan demikian, kita dapat memperoleh persamaan berikut: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Itu saja, contohnya terpecahkan. Namun hal itu tidak selalu terjadi semudah itu.

Langkah 2. Mengekstraksi pengali angka dari bawah akar

Jika kotak penuh tidak di bawah tanda akar, Anda dapat mencoba menghilangkan pengali angka dari bawah tanda akar. Sebagai contoh, mari kita ambil ungkapannya √24 + √54 .

Faktorkan angkanya:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Di antara 24 kami memiliki pengganda 4 , dapat diambil dari bawah tanda akar kuadrat. Di antara 54 kami memiliki pengganda 9 .

Kami mendapatkan kesetaraan:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Mempertimbangkan contoh ini, kita mengambil faktornya dari bawah tanda akar, sehingga menyederhanakan ekspresi yang diberikan.

Langkah 3: Mengurangi Penyebutnya

Perhatikan situasi berikut: jumlah dua akar kuadrat adalah penyebut pecahan, misalnya, SEBUAH/(√a + √b).
Sekarang kita dihadapkan pada tugas “menghilangkan irasionalitas dalam penyebutnya.”
Mari kita gunakan cara berikut: kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan ekspresi √a - √b.

Sekarang kita mendapatkan rumus perkalian yang disingkat pada penyebutnya:
(√a + √b) * (√a – √b) = a – b.

Demikian pula jika penyebutnya mempunyai selisih akar: √a - √b, pembilang dan penyebut pecahan dikalikan dengan ekspresi √a + √b.

Mari kita ambil pecahan sebagai contoh:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Contoh pengurangan penyebut kompleks

Sekarang mari kita pertimbangkan secukupnya contoh yang kompleks menghilangkan irasionalitas dalam penyebutnya.

Sebagai contoh, mari kita ambil pecahan: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Anda perlu mengambil pembilang dan penyebutnya dan mengalikannya dengan ekspresi √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Langkah 4. Hitung nilai perkiraan pada kalkulator

Jika Anda hanya membutuhkan nilai perkiraan, hal ini dapat dilakukan pada kalkulator dengan menghitung nilai akar kuadrat. Nilai dihitung secara terpisah untuk setiap angka dan dicatat dengan akurasi yang diperlukan, yang ditentukan oleh jumlah tempat desimal. Selanjutnya, semua operasi yang diperlukan dilakukan, seperti halnya angka biasa.

Contoh penghitungan nilai perkiraan

Penting untuk menghitung nilai perkiraan ekspresi yang diberikan √7 + √5 .

Hasilnya kita mendapatkan:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Harap diperhatikan: dalam situasi apa pun Anda tidak boleh menambahkan akar kuadrat seperti bilangan prima, ini sama sekali tidak bisa diterima. Artinya, jika kita menjumlahkan akar kuadrat dari lima dan akar kuadrat dari tiga, kita tidak bisa mendapatkan akar kuadrat dari delapan.

Saran yang berguna: jika Anda memutuskan untuk memfaktorkan suatu bilangan, untuk mendapatkan kuadrat dari bawah tanda akar, Anda perlu melakukan pemeriksaan terbalik, yaitu mengalikan semua faktor yang dihasilkan dari perhitungan, dan hasil akhir Perhitungan matematis ini seharusnya menghasilkan angka yang semula diberikan kepada kita.

Operasi dengan akar: penjumlahan dan pengurangan

Mengekstraksi akar kuadran suatu bilangan bukanlah satu-satunya operasi yang dapat dilakukan dengan fenomena matematika ini. Sama seperti bilangan biasa, akar kuadrat melakukan penjumlahan dan pengurangan.

Aturan penjumlahan dan pengurangan akar kuadrat

Operasi seperti penjumlahan dan pengurangan akar kuadrat hanya dapat dilakukan jika ekspresi radikalnya sama.

Anda dapat menambah atau mengurangi ekspresi 2 3 dan 6 3, tapi bukan 5 6 Dan 9 4. Jika memungkinkan untuk menyederhanakan ekspresi dan mereduksinya menjadi akar-akar dengan akar yang sama, sederhanakan lalu tambahkan atau kurangi.

Tindakan dengan akar: dasar-dasar

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Sederhanakan ekspresi radikal. Untuk melakukan ini, ekspresi akar perlu didekomposisi menjadi 2 faktor, salah satunya adalah bilangan kuadrat (bilangan dari mana seluruh akar kuadrat diekstraksi, misalnya 25 atau 9).
2. Maka Anda perlu mengekstrak root dari nomor persegi dan tulis nilai yang dihasilkan sebelum tanda root. Harap dicatat bahwa faktor kedua dimasukkan di bawah tanda akar.
3. Setelah proses penyederhanaan, perlu untuk menekankan akar-akarnya dengan ekspresi radikal yang sama - hanya akar-akar tersebut yang dapat ditambahkan dan dikurangi.
4. Untuk akar-akar yang ekspresi akarnya sama, perlu dilakukan penjumlahan atau pengurangan faktor-faktor yang muncul sebelum tanda akar. Ekspresi radikal tetap tidak berubah. Anda tidak dapat menambah atau mengurangi bilangan radikal!

Jika Anda memiliki contoh dengan jumlah besar identik ekspresi radikal, lalu garis bawahi ekspresi tersebut dengan garis tunggal, ganda, dan rangkap tiga untuk memudahkan proses penghitungan.

Mari kita coba selesaikan contoh ini:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Pertama, Anda perlu menguraikan 50 menjadi 2 faktor 25 dan 2, lalu ambil akar dari 25, yang sama dengan 5, dan keluarkan 5 dari bawah akar. Setelah ini, Anda perlu mengalikan 5 dengan 6 (faktor di akar) dan mendapatkan 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Pertama, Anda perlu menguraikan 8 menjadi 2 faktor: 4 dan 2. Kemudian, dari 4, ekstrak akarnya, yang sama dengan 2, dan hapus 2 dari bawah akar. Setelah ini, Anda perlu mengalikan 2 dengan 2 (pengganda pada akar) dan mendapatkan 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Pertama, Anda perlu menguraikan 12 menjadi 2 faktor: 4 dan 3. Kemudian ekstrak akar 4, yang sama dengan 2, dan keluarkan dari bawah akar. Setelah ini, Anda perlu mengalikan 2 dengan 5 (faktor di akar) dan mendapatkan 10 3.

Hasil penyederhanaan: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Hasilnya, kita melihat betapa banyak ekspresi radikal identik yang terkandung dalam contoh ini. Sekarang mari kita berlatih dengan contoh lainnya.

• Mari kita sederhanakan (45). Faktor 45: (45) = (9 × 5) ;
• Kita ambil 3 dari bawah root (9 = 3): 45 = 3 5;
• Tambahkan faktor-faktor pada akar-akarnya: 3 5 + 4 5 = 7 5.
• Mari kita sederhanakan 6 40. Kita faktorkan 40: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• Kita ambil 2 dari bawah akar (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• Kita kalikan faktor-faktor yang muncul di depan akar: 12 10 ;
• Kami menulis ekspresi dalam bentuk yang disederhanakan: 12 10 - 3 10 + 5 ;
• Karena dua suku pertama mempunyai bilangan radikal yang sama, kita dapat mengurangkannya: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Seperti yang bisa kita lihat, tidak mungkin menyederhanakan bilangan radikal, jadi kita mencari suku-suku dengan bilangan radikal yang sama pada contoh, lakukan operasi matematika(tambah, kurang, dll.) dan tuliskan hasilnya:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Saran:

• Sebelum melakukan penjumlahan atau pengurangan, perlu untuk menyederhanakan (jika mungkin) ekspresi radikal.
• Menambah dan mengurangi akar dengan ekspresi radikal yang berbeda sangat dilarang.
• Anda tidak boleh menjumlahkan atau mengurangi bilangan bulat atau akar: 3 + (2 x) 1 / 2 .
• Saat melakukan operasi dengan pecahan, Anda perlu mencari bilangan yang habis dibagi setiap penyebutnya, lalu mengurangi pecahan tersebut menjadi faktor persekutuan, lalu tambahkan pembilangnya dan biarkan penyebutnya tidak berubah.

Sifat-sifat akar kuadrat aritmatika. Kekuatan akar kuadrat aritmatika

Mengonversi akar kuadrat aritmatika. Pembalikan akar kuadrat aritmatika

Untuk mengekstrak akar kuadrat dari suatu polinomial, Anda perlu menghitung polinomial dan mengekstrak akar dari bilangan yang dihasilkan.

Perhatian! Anda tidak dapat mengekstrak akar kata dari setiap suku (dikurangi dan dikurangi) secara terpisah.

Shchob vityagti akar kuadrat dari suatu polinomial, Anda perlu menghitung suku kaya dan mengambil akar dari bilangan yang dihilangkan.

Menghormati! Tidak mungkin mengekstrak akar dari pelengkap kulit (diubah atau dihilangkan) okremo.

Untuk mengambil akar kuadrat suatu produk (hasil bagi), Anda dapat menghitung akar kuadrat dari setiap faktor (dividen dan pembagi), dan mengambil nilai yang dihasilkan sebagai produk (hasil bagi).

Untuk mengurangi akar kuadrat dari bagian tambahan (bagian), Anda dapat menghitung akar kuadrat dari pengali kulit (dibagi dan dibagi), dan mengambil nilai yang dikurangi sebagai bagian tambahan (bagian).

Untuk mengekstrak akar kuadrat dari suatu pecahan, Anda perlu mengekstrak akar kuadrat dari pembilang dan penyebut secara terpisah, dan membiarkan nilai yang dihasilkan sebagai pecahan atau menghitungnya sebagai hasil bagi (jika memungkinkan dengan syarat).

Untuk mengurangkan akar kuadrat dari pecahan, Anda perlu mengekstrak akar kuadrat dari bilangan dan tanda, dan menghapus nilai dari pecahan atau menghitungnya sebagai bagian (sebagaimana mungkin untuk otak).

Anda dapat mengambil pengali dari bawah tanda akar dan Anda dapat meletakkan pengali di bawah tanda akar. Ketika suatu faktor dihilangkan, akarnya diambil dari faktor tersebut, dan ketika dijumlahkan, faktor tersebut dipangkatkan.

Anda dapat memasukkan pengali di belakang tanda akar, dan Anda dapat memasukkan pengali di bawah tanda akar. Ketika pengali ditambahkan, akarnya diambil darinya, dan ketika ditambahkan, akarnya diambil darinya.

Contoh. Terapkan itu

Untuk mengonversi jumlah (selisih) akar kuadrat, Anda perlu mereduksi ekspresi radikal ke basis derajat yang sama, jika memungkinkan, ekstrak akar dari pangkat dan tuliskan di depan tanda akar, dan sisanya akar kuadrat dengan ekspresi radikal yang sama dapat ditambahkan, yang koefisien di depan tandanya ditambahkan akar dan akar kuadrat yang sama dijumlahkan.

Untuk mentransformasikan jumlah (hasil) akar-akar kuadrat, ekspresi radikalnya perlu dibawa ke satu langkah dasar, yang dapat dilakukan dengan mengurangkan akar-akar dari langkah-langkah tersebut dan menuliskannya di depan tanda-tanda akar, dan akar kuadrat dengan yang sama Ekspresi akar dapat digunakan untuk menjumlahkan, yang koefisiennya ditambahkan sebelum tanda akar Dan akar kuadrat yang sama ditambahkan.

Mari kita kurangi semua ekspresi radikal ke basis 2.

Dari pangkat genap, akar dihilangkan seluruhnya; dari pangkat ganjil, akar pangkat 1 dibiarkan di bawah tanda akar.

Kami menyajikan bilangan bulat serupa dan menambahkan koefisien dengan akar yang identik. Mari kita tuliskan binomial sebagai hasil kali suatu bilangan dan jumlah binomial.

Mari kita turunkan semua akar ke basis 2.

Dari langkah berpasangan, akar ditarik ke luar; dari langkah tidak berpasangan, akar alas pada langkah 1 dihilangkan di bawah tanda akar.

Bilangan dan koefisien yang serupa dijumlahkan pada akar-akar yang sama. Mari kita tuliskan binomial sebagai penjumlahan bilangan dan jumlah binomial.

Kami mereduksi ekspresi radikal menjadi basis terkecil atau hasil kali pangkat dengan basis terkecil. Dari pangkat genap ekspresi radikal kita mengekstrak akarnya; sisanya berupa basis derajat dengan eksponen 1 atau hasil kali dari basis tersebut dibiarkan di bawah tanda akar. Kami menyajikan suku-suku serupa (tambahkan koefisien dari akar-akar identik).

Kami melakukan rooting ekspresi ke basis terkecil atau membuat langkah-langkah dari basis terkecil. Akar diambil dari dua tahap varietas subroot, kelebihannya berupa pangkal anak tangga dengan indikator 1 atau penambahan basa tersebut dihilangkan di bawah tanda akar. Kami memperkenalkan anggota serupa (koefisien akar baru dijumlahkan).

Mari kita ganti pembagian pecahan dengan perkalian (dengan mengganti pecahan kedua dengan kebalikannya). Mari kita kalikan pembilang dan penyebut pecahan secara terpisah. Di bawah setiap tanda akar kami menyorot derajatnya. Mari kita kurangi faktor yang sama pada pembilang dan penyebutnya. Mari kita mengakarkan kekuatan yang seimbang.

Ganti pembagian pecahan dengan perkalian (dengan mengganti pecahan lain dengan pecahan). Mari kita mengalikan angka dan penanda pecahan. Langkah-langkahnya terlihat di bawah tanda kulit akar. Namun, dengan cepat, ada pengganda baru di buku angka dan buku tanda. Akar Vinesemo dari langkah-langkah kawan.

Untuk membandingkan dua akar kuadrat, ekspresi radikalnya harus dipangkatkan dengan basis yang sama, maka semakin banyak pangkat dari ekspresi radikal yang ditampilkan, semakin besar nilai akar kuadratnya.

Dalam contoh ini, tidak mungkin untuk mereduksi ekspresi radikal menjadi satu basis, karena basis pertama adalah 3, dan basis kedua adalah 3 dan 7.

Cara perbandingan yang kedua adalah dengan memasukkan koefisien akar ke dalam ekspresi radikal dan membandingkannya nilai numerik ekspresi radikal. Untuk akar kuadrat, semakin besar ekspresi radikalnya, semakin besar pula nilai akarnya.

Untuk menyamakan dua akar kuadrat, ekspresi akarnya harus diratakan dengan basis yang sama, sehingga semakin besar derajat ekspresi akarnya, semakin besar nilai akar kuadratnya.

Dalam satu kasus, tidak mungkin untuk menurunkan akar ekspresi ke satu basis, karena pada basis pertama adalah 3, dan pada kasus lain - 3 dan 7.

Cara lain untuk menyamakan kedudukan adalah dengan memasukkan koefisien akar ke dalam ekspresi akar dan menyamakan nilai numerik dari ekspresi akar. Pada akar kuadrat, semakin besar titik sub-akarnya, semakin besar pula nilai akarnya.

Dengan menggunakan hukum perkalian distributif dan aturan mengalikan akar dengan eksponen yang sama (dalam kasus kita, akar kuadrat), kami memperoleh jumlah dua akar kuadrat dengan hasil kali di bawah tanda akar. Mari kita uraikan 91 menjadi faktor prima dan keluarkan akar dari tanda kurung dengan faktor radikal persekutuan (13*5).

Kami telah memperoleh produk dari akar dan binomial, yang salah satu monomialnya adalah bilangan bulat (1).

Hukum perkalian Vikorist yang terpisah dan aturan mengalikan akar dengan indikator yang sama (dalam kasus kami - akar kuadrat), mengurangi jumlah dua akar kuadrat dengan penjumlahan di bawah tanda akar. Kami meletakkan 91 pada pengganda sederhana dan memindahkan akar dari pengali di bawah akar (13*5).

Kami mengambil penjumlahan akar dan binomial, yang salah satu monomialnya memiliki bilangan bulat (1).

pantat 9:

Dalam ekspresi radikal, kita memilih berdasarkan faktor angka-angka yang dapat digunakan untuk mengekstrak seluruh akar kuadrat. Mari kita ekstrak akar kuadrat dari pangkat dan berikan angka-angka tersebut ke koefisien akar kuadrat.

Anggota polinomial ini mempunyai pengganda umum√3, yang dapat dikeluarkan dari tanda kurung. Mari kita sajikan istilah serupa.

Dalam ekspresi akar, bilangan dipandang sebagai pengali, yang darinya seluruh akar kuadrat dapat dikurangkan. Kami mengambil akar kuadrat dari langkah-langkahnya dan menempatkan angka-angka tersebut sebagai koefisien dari akar kuadrat.

Suku-suku polinomial ini mempunyai pengali ganda √3 yang dapat dibawa dengan tangan. Kami membuat tambahan serupa.

Hasil kali jumlah dan selisih dua bilangan pokok yang identik (3 dan √5) dengan menggunakan rumus perkalian yang disingkat dapat ditulis sebagai selisih kuadrat bilangan pokoknya.

Akar kuadrat kuadrat selalu sama dengan ekspresi radikal, jadi kita akan menghilangkan radikal (tanda akar) dalam ekspresi tersebut.

Penjumlahan jumlah dan selisih dua bilangan pokok baru (3 dan √5) dengan menggunakan rumus perkalian singkat dapat ditulis sebagai selisih kuadrat bilangan pokok tersebut.

Akar kuadrat selalu lebih tua dari akar virus, jadi kita akan mengingat radikal (tanda akar) virus.

Kembali ke sekolah. Penambahan akar

Di zaman elektronik modern kita komputer perhitungan akar suatu bilangan tidak mungkin dilakukan tugas yang menantang. Misalnya, √2704=52, kalkulator mana pun akan menghitungnya untuk Anda. Untungnya, kalkulator ini tersedia tidak hanya di Windows, tetapi juga di ponsel biasa, bahkan yang paling sederhana sekalipun. Benar, jika tiba-tiba (dengan tingkat probabilitas rendah, yang perhitungannya termasuk menambahkan akar) Anda mendapati diri Anda tidak memiliki dana yang tersedia, maka, sayangnya, Anda hanya perlu mengandalkan otak Anda.

Pelatihan pikiran tidak pernah gagal. Terutama bagi mereka yang tidak terlalu sering bekerja dengan angka, apalagi dengan akar. Menambah dan mengurangi akar adalah latihan yang bagus untuk pikiran yang bosan. Saya juga akan menunjukkan cara menambahkan akar langkah demi langkah. Contoh ekspresi mungkin sebagai berikut.

Persamaan untuk disederhanakan:

Ini adalah Ir ekspresi rasional. Untuk menyederhanakannya, Anda perlu mereduksi semua ekspresi radikal menjadi penampilan umum. Kami melakukannya langkah demi langkah:

Bilangan pertama sudah tidak dapat disederhanakan lagi. Mari kita beralih ke periode kedua.

3√48 kita faktorkan 48: 48=2×24 atau 48=3×16. Akar kuadrat dari 24 bukanlah bilangan bulat, mis. mempunyai sisa pecahan. Karena kita membutuhkan nilai yang tepat, maka perkiraan akar tidak cocok untuk kita. Akar kuadrat dari 16 adalah 4, keluarkan dari bawah tanda akar. Kita peroleh: 3×4×√3=12×√3

Ekspresi kita selanjutnya adalah negatif, yaitu. ditulis dengan tanda minus -4×√(27.) Kita faktorkan 27. Kita mendapatkan 27=3×9. Kami tidak menggunakan faktor pecahan karena lebih sulit menghitung akar kuadrat dari pecahan. Kami mengambil 9 dari bawah tanda, mis. menghitung akar kuadrat. Kita mendapatkan persamaan berikut: -4×3×√3 = -12×√3

Suku selanjutnya √128 menghitung bagian yang dapat diambil dari bawah akar. 128=64×2, dimana √64=8. Jika lebih mudah, Anda dapat membayangkan ungkapan ini seperti ini: √128=√(8^2×2)

Kami menulis ulang ekspresi dengan istilah yang disederhanakan:

Sekarang kita menjumlahkan angka-angkanya menggunakan ekspresi akar yang sama. Anda tidak dapat menambah atau mengurangi ekspresi dengan ekspresi radikal yang berbeda. Menambahkan akar memerlukan kepatuhan terhadap aturan ini.

Kami mendapatkan jawaban berikut:

√2=1×√2 - Saya harap fakta bahwa dalam aljabar merupakan kebiasaan untuk menghilangkan elemen seperti itu tidak akan menjadi berita baru bagi Anda.

Ekspresi dapat direpresentasikan tidak hanya dengan akar kuadrat, tetapi juga dengan akar pangkat tiga atau ke-n.

Penjumlahan dan pengurangan akar-akar dengan eksponen berbeda, tetapi dengan ekspresi radikal yang setara, terjadi sebagai berikut:

Jika kita mempunyai ekspresi dalam bentuk √a+∛b+∜b, maka kita dapat menyederhanakan ekspresi ini sebagai berikut:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Kami membawa dua anggota serupa indikator keseluruhan akar Di sini digunakan sifat akar, yang menyatakan: jika bilangan pangkat dari ekspresi akar dan bilangan eksponen akar dikalikan dengan bilangan yang sama, maka perhitungannya tidak akan berubah.

Catatan: eksponen hanya dijumlahkan saat mengalikan.

Mari kita lihat contoh ekspresi yang mengandung pecahan.

Kami akan memutuskan secara bertahap:

5√8=5*2√2 - kami mengambil bagian yang diekstraksi dari bawah root.

Jika badan akar diwakili oleh pecahan, seringkali pecahan tersebut tidak akan berubah jika Anda mengambil akar kuadrat dari pembagi dan pembaginya. Hasilnya, kami mendapatkan kesetaraan yang dijelaskan di atas.

Inilah jawabannya.

Hal utama yang harus diingat adalah bahwa akar dengan eksponen genap tidak dapat diekstraksi dari bilangan negatif. Jika ekspresi radikal derajat genap negatif, maka ekspresi tersebut tidak dapat diselesaikan.

Penambahan akar hanya dimungkinkan jika ekspresi akarnya bertepatan, karena memang demikian istilah serupa. Hal yang sama berlaku untuk perbedaannya.

Penjumlahan akar-akar yang pangkatnya berbeda dilakukan dengan mereduksi kedua suku tersebut menjadi pangkat akar yang sama. Hukum ini bekerja dengan cara yang sama seperti pengurangan ke penyebut yang sama ketika menjumlahkan atau mengurangkan pecahan.

Jika suatu ekspresi radikal berisi bilangan yang dipangkatkan, maka ekspresi ini dapat disederhanakan asalkan ada penyebut yang sama antara eksponen akar dan pangkatnya.

Akar kuadrat suatu hasil kali dan pecahan

Akar kuadrat suatu bilangan adalah bilangan yang kuadratnya sama dengan a. Misalnya, bilangan -5 dan 5 adalah akar kuadrat dari bilangan 25. Artinya, akar-akar persamaan x^2=25 adalah akar kuadrat dari bilangan 25. Sekarang Anda perlu mempelajari cara mengerjakan akar kuadrat operasi: pelajari sifat dasarnya.

Akar kuadrat dari produk

√(a*b) =√a*√b

Akar kuadrat hasil kali dua bilangan non-negatif, sama dengan produknya akar kuadrat dari angka-angka ini. Misalnya, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Penting untuk dipahami bahwa sifat ini juga berlaku ketika ekspresi radikal adalah hasil kali tiga, empat, dst. faktor non-negatif.

Terkadang ada rumusan lain dari sifat ini. Jika a dan b adalah bilangan non-negatif, maka persamaan berikut ini benar: √(a*b) =√a*√b. Sama sekali tidak ada perbedaan di antara keduanya; Anda dapat menggunakan satu atau formulasi lainnya (yang lebih mudah Anda ingat).

Akar kuadrat dari pecahan

Jika a>=0 dan b>0, maka persamaan berikut ini benar:

√(a/b) =√a/√b.

Misalnya, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Sifat ini juga memiliki rumusan berbeda yang menurut saya lebih nyaman untuk dihafal.
Akar kuadrat dari hasil bagi sama dengan hasil bagi akar-akarnya.

Perlu dicatat bahwa rumus ini berfungsi dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri. Artinya, jika perlu, kita dapat merepresentasikan hasil kali akar sebagai akar suatu hasil kali. Hal yang sama berlaku untuk properti kedua.

Seperti yang mungkin Anda perhatikan, properti ini sangat mudah digunakan, dan saya ingin memiliki properti yang sama untuk penjumlahan dan pengurangan:

√(a+b) =√a+√b;

√(a-b) =√a-√b;

Namun sayangnya properti tersebut berbentuk persegi tidak memiliki akar, dan itulah mengapa demikian tidak dapat dilakukan dalam perhitungan.

• 13. Mengemudi melalui persimpangan peraturan lalu lintas 2018 dengan komentar online 13.1. Saat berbelok ke kanan atau ke kiri, pengemudi harus memberi jalan kepada pejalan kaki dan pengendara sepeda yang melintasi jalan yang ia belok. Instruksi ini berlaku untuk semua [...]
• Pertemuan orang tua“Hak, kewajiban dan tanggung jawab orang tua” Presentasi untuk pelajaran Unduh presentasi (536.6 kB) Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili seluruh…
• Daerah modal ibu V wilayah Oryol Ibu kota bersalin daerah (MK) di Orel dan wilayah Oryol didirikan pada tahun 2011. Sekarang ini merupakan tindakan tambahan dukungan sosial keluarga besar dalam bentuk uang satu kali […]
• Jumlah manfaat satu kali pada saat pendaftaran di tanggal awal pada tahun 2018 Halaman yang Anda minta tidak ditemukan. Anda mungkin memasukkan alamat yang salah, atau halaman telah dihapus. Untuk menavigasi, gunakan [...]
• Pengacara untuk kasus ekonomi Kejahatan di bidang ekonomi– konsep yang agak luas. Tindakan tersebut antara lain penipuan, kewirausahaan ilegal, legalisasi Uang, diperoleh secara ilegal, perbankan ilegal […]
• Layanan pers Bank Sentral Federasi Rusia(Bank Rusia) Layanan pers 107016, Moskow, st. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Tentang penunjukan Departemen Administrasi Sementara Eksternal dan hubungan Masyarakat Bank Rusia melaporkan bahwa sesuai dengan paragraf 2 […]
• karakteristik umum Dan ulasan singkat saluran air Klasifikasi cekungan air Klasifikasi cekungan air untuk navigasi kapal pesiar (kecil) yang diawasi oleh GIMS Rusia dilakukan tergantung pada kondisi yang berlaku […]
• Kucherena = pengacara Viktor Tsoi Dan ini eksklusif: surat hari ini dari Anatoly Kucherena. Melanjutkan topik. Belum ada yang menerbitkan surat ini. Dan itu perlu, menurut saya. Bagian 1 untuk saat ini. Saya akan segera menerbitkan bagian kedua, ditandatangani oleh pengacara terkenal. Mengapa ini penting? […]

Penjumlahan dan pengurangan akar- salah satu “batu sandungan” paling umum bagi mereka yang mengikuti kursus matematika (aljabar) di sekolah menengah. Namun mempelajari penjumlahan dan pengurangan dengan benar sangatlah penting, karena contoh penjumlahan atau selisih akar sudah termasuk dalam program dasar Unified. Ujian Negara dalam disiplin "matematika".

Untuk menguasai penyelesaian contoh-contoh seperti itu, Anda memerlukan dua hal - untuk memahami aturannya, dan juga untuk mendapatkan latihan. Setelah memecahkan satu atau dua lusin contoh umum, siswa akan membawa keterampilan ini ke otomatisme, dan kemudian dia tidak perlu lagi takut pada Ujian Negara Bersatu. Mulailah menguasai operasi aritmatika penambahan disarankan karena menambahkan sedikit lebih mudah daripada mengurangi.

Cara termudah untuk menjelaskan hal ini adalah dengan menggunakan akar kuadrat sebagai contoh. Dalam matematika ada istilah “kuadrat” yang sudah mapan. “Mengkuadratkan” berarti mengalikan suatu bilangan tertentu dengan bilangan itu sendiri satu kali.. Misalnya, jika Anda mengkuadratkan 2, Anda mendapatkan 4. Jika Anda mengkuadratkan 7, Anda mendapatkan 49. Kuadrat dari 9 adalah 81. Jadi akar kuadrat dari 4 adalah 2, dari 49 adalah 7, dan dari 81 adalah 9.

Biasanya, pengajaran topik matematika ini dimulai dengan akar kuadrat. Untuk segera menentukannya, siswa sekolah menengah atas harus hafal tabel perkalian. Mereka yang tidak mengetahui tabel ini dengan pasti harus menggunakan petunjuk. Biasanya proses mengekstraksi akar kuadrat dari suatu bilangan diberikan dalam bentuk tabel di sampul banyak buku catatan sekolah matematika.

Akar adalah dari jenis berikut:

• persegi;
• kubik (atau biasa disebut derajat ketiga);
• derajat keempat;
• derajat kelima.

Aturan tambahan

Agar berhasil menyelesaikannya contoh tipikal, perlu diingat bahwa tidak semua bilangan akar dapat ditumpuk satu sama lain. Agar dapat disatukan, mereka harus dijadikan satu pola. Jika hal ini tidak memungkinkan, maka masalahnya tidak ada solusinya. Permasalahan seperti ini juga sering dijumpai pada buku pelajaran matematika sebagai semacam jebakan bagi siswa.

Penambahan tidak diperbolehkan dalam tugas ketika ekspresi radikal berbeda satu sama lain. Hal ini dapat diilustrasikan dengan contoh yang jelas:

• Siswa dihadapkan pada tugas: menjumlahkan akar kuadrat dari 4 dan 9;
• siswa yang tidak berpengalaman berpengetahuan tentang peraturan, biasanya ditulis: “akar 4 + akar 9 = akar 13.”
• Sangat mudah untuk membuktikan bahwa solusi ini salah. Untuk melakukan ini, Anda perlu mencari akar kuadrat dari 13 dan memeriksa apakah contoh diselesaikan dengan benar;
• menggunakan mikrokalkulator Anda dapat menentukan bahwa hasilnya kira-kira 3,6. Sekarang tinggal memeriksa solusinya;
• akar dari 4=2, dan akar dari 9=3;
• Jumlah angka “dua” dan “tiga” sama dengan lima. Dengan demikian, algoritma ini keputusan dapat dianggap salah.

Jika akarnya punya gelar yang sama, tapi berbeda ekspresi numerik, dikeluarkan dari tanda kurung, dan dimasukkan ke dalam tanda kurung jumlah dari dua ekspresi radikal. Jadi, sudah diekstraksi dari jumlah ini.

Algoritma penjumlahan

Untuk memutuskan dengan benar tugas paling sederhana, diperlukan:

1. Tentukan apa yang sebenarnya membutuhkan penambahan.
2. Cari tahu apakah mungkin untuk menambahkan nilai satu sama lain, berpedoman pada aturan yang ada dalam matematika.
3. Jika tidak bisa dilipat, Anda perlu mengubahnya agar bisa dilipat.
4. Setelah melakukan semua transformasi yang diperlukan, Anda perlu melakukan penambahan dan menuliskan jawaban yang sudah jadi. Anda dapat melakukan penjumlahan di kepala Anda atau menggunakan mikrokalkulator, tergantung pada kerumitan contohnya.

Apa persamaan akarnya

Untuk menyelesaikan contoh penjumlahan dengan benar, pertama-tama Anda harus memikirkan cara menyederhanakannya. Untuk melakukan ini, Anda perlu memiliki pengetahuan dasar tentang kesamaan.

Kemampuan untuk mengidentifikasi yang serupa membantu menyelesaikan contoh penjumlahan serupa dengan cepat, menjadikannya bentuk yang disederhanakan. Untuk menyederhanakan contoh penjumlahan biasa, Anda perlu:

1. Temukan yang serupa dan pisahkan menjadi satu kelompok (atau beberapa kelompok).
2. Tulis ulang contoh yang ada sedemikian rupa sehingga akar-akar yang memiliki indikator yang sama saling mengikuti dengan jelas (ini disebut “pengelompokan”).
3. Selanjutnya, Anda harus menulis kembali ekspresi tersebut, kali ini sedemikian rupa sehingga ekspresi serupa (yang memiliki indikator dan angka radikal yang sama) juga mengikuti satu sama lain.

Setelah ini selesai, contoh yang disederhanakan biasanya mudah diselesaikan.

Untuk menyelesaikan contoh penjumlahan dengan benar, Anda perlu memahami dengan jelas aturan dasar penjumlahan, serta mengetahui apa itu akar dan apa itu akar.

Terkadang masalah seperti itu terlihat sangat sulit pada pandangan pertama, tetapi biasanya masalah tersebut mudah diselesaikan dengan mengelompokkan masalah serupa. Hal yang paling penting adalah latihan, dan kemudian siswa akan mulai “memecahkan masalah seperti orang gila.” Menambah akar adalah salah satu bagian terpenting dalam matematika, sehingga guru harus meluangkan cukup waktu untuk mempelajarinya.

Video

Video ini akan membantu Anda memahami persamaan dengan akar kuadrat.

Akar kuadrat suatu bilangan x adalah bilangan a, yang jika dikalikan dengan bilangan itu sendiri akan menghasilkan bilangan x: a * a = a^2 = x, √x = a. Seperti halnya bilangan apa pun, Anda dapat melakukan operasi aritmatika penjumlahan dan pengurangan dengan akar kuadrat.

instruksi

• Pertama, saat menjumlahkan akar kuadrat, coba ekstrak akar tersebut. Hal ini dapat terjadi jika bilangan-bilangan di bawah tanda akar adalah bilangan kuadrat sempurna. Misalnya, ekspresi √4 + √9 diberikan. Angka pertama 4 adalah kuadrat dari angka 2. Angka kedua 9 adalah kuadrat dari angka 3. Jadi ternyata: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• Jika tidak ada kuadrat lengkap di bawah tanda akar, coba hilangkan pengali bilangan tersebut dari bawah tanda akar. Misalnya, ekspresi √24 + √54 diberikan. Faktorkan bilangan-bilangan tersebut: 24 = 2*2*2*3, 54 = 2*3*3*3. Bilangan 24 mempunyai faktor 4, yang dapat diambil di bawah tanda akar kuadrat. Bilangan 54 mempunyai faktor 9. Jadi, ternyata: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . Dalam contoh ini, sebagai hasil dari menghilangkan pengali dari bawah tanda akar, ekspresi yang diberikan dapat disederhanakan.
• Misalkan jumlah dua akar kuadrat menjadi penyebut suatu pecahan, misalnya A / (√a + √b). Dan biarlah tugas Anda adalah “menghilangkan irasionalitas dalam penyebutnya.” Kemudian Anda bisa menggunakan cara berikut ini. Kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan persamaan √a - √b. Jadi, pada penyebutnya kita mendapatkan rumus perkalian yang disingkat: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. Analoginya, jika penyebutnya mengandung selisih akar-akarnya: √a - √b, maka pembilang dan penyebut pecahan tersebut harus dikalikan dengan persamaan √a + √b. Misalnya, pecahan 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• Perhatikan contoh yang lebih kompleks tentang menghilangkan irasionalitas pada penyebut. Misalkan pecahan 12 / (√2 + √3 + √5) diberikan. Pembilang dan penyebut pecahan perlu dikalikan dengan ekspresi √2 + √3 - √5:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Terakhir, jika Anda hanya membutuhkan nilai perkiraan, Anda dapat menggunakan kalkulator untuk menghitung akar kuadrat. Hitung nilai secara terpisah untuk setiap angka dan tuliskan hingga ketelitian yang diperlukan (misalnya, dua tempat desimal). Dan kemudian lakukan operasi aritmatika yang diperlukan, seperti halnya bilangan biasa. Misalnya, Anda perlu mencari nilai perkiraan dari ekspresi √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

Akar kuadrat suatu bilangan X nomor yang dipanggil A, yang sedang dalam proses perkalian dengan dirinya sendiri ( A A) dapat memberikan nomor X.
Itu. A * A = A 2 = X, Dan √X = SEBUAH.

Di atas akar kuadrat ( √x), seperti bilangan lainnya, Anda dapat melakukan operasi aritmatika seperti pengurangan dan penjumlahan. Untuk mengurangi dan menjumlahkan akar, akar-akar tersebut harus dihubungkan menggunakan tanda-tanda yang sesuai dengan tindakan ini (misalnya √x — √y ).
Dan kemudian membawa akar-akarnya ke bentuk yang paling sederhana - jika ada akar-akar yang serupa di antara mereka, maka perlu dilakukan pengurangan. Ini terdiri dari mengambil koefisien suku-suku yang serupa dengan tanda-tanda suku-suku yang bersesuaian, kemudian memasukkannya ke dalam tanda kurung dan menyimpulkan akar persekutuan di luar tanda kurung faktornya. Koefisien yang kami peroleh disederhanakan menurut aturan biasa.

Langkah 1: Mengekstraksi Akar Kuadrat

Pertama, untuk menjumlahkan akar kuadrat, Anda perlu mengekstrak akar-akar tersebut terlebih dahulu. Hal ini dapat dilakukan jika bilangan-bilangan di bawah tanda akar adalah bilangan kuadrat sempurna. Misalnya, ambil ekspresi yang diberikan √4 + √9 . Nomor pertama 4 adalah kuadrat dari bilangan tersebut 2 . Nomor kedua 9 adalah kuadrat dari bilangan tersebut 3 . Dengan demikian, kita dapat memperoleh persamaan berikut: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Itu saja, contohnya terpecahkan. Namun hal itu tidak selalu terjadi semudah itu.

Langkah 2. Mengekstraksi pengali angka dari bawah akar

Jika tidak ada kuadrat sempurna di bawah tanda akar, Anda dapat mencoba menghilangkan pengali bilangan tersebut dari bawah tanda akar. Sebagai contoh, mari kita ambil ungkapannya √24 + √54 .

Faktorkan angkanya:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Di antara 24 kami memiliki pengganda 4 , dapat diambil dari bawah tanda akar kuadrat. Di antara 54 kami memiliki pengganda 9 .

Kami mendapatkan kesetaraan:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Dengan mempertimbangkan contoh ini, kita memperoleh penghapusan pengali dari bawah tanda akar, sehingga menyederhanakan ekspresi yang diberikan.

Langkah 3: Mengurangi Penyebutnya

Perhatikan situasi berikut: jumlah dua akar kuadrat adalah penyebut pecahan, misalnya, SEBUAH/(√a + √b).
Sekarang kita dihadapkan pada tugas “menghilangkan irasionalitas dalam penyebutnya.”
Mari kita gunakan cara berikut: kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan ekspresi √a - √b.

Sekarang kita mendapatkan rumus perkalian yang disingkat pada penyebutnya:
(√a + √b) * (√a – √b) = a – b.

Demikian pula jika penyebutnya mempunyai selisih akar: √a - √b, pembilang dan penyebut pecahan dikalikan dengan ekspresi √a + √b.

Mari kita ambil pecahan sebagai contoh:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Contoh pengurangan penyebut kompleks

Sekarang kita akan melihat contoh yang agak rumit untuk menghilangkan irasionalitas pada penyebut.

Sebagai contoh, mari kita ambil pecahan: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Anda perlu mengambil pembilang dan penyebutnya dan mengalikannya dengan ekspresi √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Langkah 4. Hitung nilai perkiraan pada kalkulator

Jika Anda hanya membutuhkan nilai perkiraan, hal ini dapat dilakukan pada kalkulator dengan menghitung nilai akar kuadrat. Nilai dihitung secara terpisah untuk setiap angka dan dicatat dengan akurasi yang diperlukan, yang ditentukan oleh jumlah tempat desimal. Selanjutnya, semua operasi yang diperlukan dilakukan, seperti halnya bilangan biasa.

Contoh penghitungan nilai perkiraan

Penting untuk menghitung perkiraan nilai ekspresi ini √7 + √5 .

Hasilnya kita mendapatkan:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Harap dicatat: dalam situasi apa pun Anda tidak boleh menambahkan akar kuadrat sebagai bilangan prima; ini sama sekali tidak dapat diterima. Artinya, jika kita menjumlahkan akar kuadrat dari lima dan akar kuadrat dari tiga, kita tidak bisa mendapatkan akar kuadrat dari delapan.

Saran yang berguna: jika Anda memutuskan untuk memfaktorkan suatu bilangan, untuk mendapatkan kuadrat dari bawah tanda akar, Anda perlu melakukan pengecekan terbalik, yaitu mengalikan semua faktor yang dihasilkan dari perhitungan tersebut, dan hasil akhirnya. perhitungan matematis haruslah angka yang semula diberikan kepada kita.

Aturan pengurangan akar

1. Akar suatu derajat dari suatu perkalian bilangan-bilangan non-negatif sama dengan perkalian dari akar-akar yang pangkatnya sama dari faktor-faktornya: di mana (aturan untuk mengekstrak akar dari suatu perkalian).

2. Jika , maka y (aturan mengekstraksi akar pecahan).

3. Jika maka (aturan mengekstraksi akar dari akar).

4. Jika maka aturan untuk menaikkan akar menjadi suatu pangkat).

5. Jika kemudian dimana, yaitu eksponen akar dan eksponen ekspresi akar dapat dikalikan dengan bilangan yang sama.

6. Jika maka 0, yaitu sesuai dengan ekspresi radikal positif yang lebih besar dan nilai yang lebih tinggi akar

7. Semua rumus di atas sering digunakan dalam urutan terbalik(yaitu dari kanan ke kiri). Misalnya,

(aturan perkalian akar);

(aturan pembagian akar);

8. Aturan menghilangkan pengali dari bawah tanda akar. Pada

9. Soal kebalikannya adalah memasukkan pengali di bawah tanda akar. Misalnya,

10. Menghilangkan irasionalitas penyebut pecahan.

Mari kita lihat beberapa kasus umum.

• Arti Kata Jelaskan arti kata: hukum, rentenir, budak-debitur. Jelaskan arti kata: hukum, rentenir, budak-debitur. STRAWBERRY LEZAT (Tamu) Sekolah Soal topik 1. Apa 3 jenis yang bisa dibagi […]
• Apakah Anda memerlukan izin untuk menggunakan radio di dalam mobil? dimana saya bisa membacanya? Bagaimanapun, Anda harus mendaftarkan stasiun radio Anda. Walkie-talkie yang beroperasi pada frekuensi 462MHz, apabila Anda bukan perwakilan Kementerian Dalam Negeri, tidak […]
• Tarif pajak tunggal - 2018 Tarif pajak tunggal - 2018 bagi pengusaha-perorangan golongan pertama dan kedua dihitung sebagai persentase dari biaya hidup dan upah minimum yang ditetapkan pada tanggal 1 Januari […]
• JAMINAN LEGALITAS asuransi Avto. Sudahkah Anda memutuskan untuk membuat alamat email OSAGO sendiri, tetapi tidak ada hasil? !!Saya akan memasukkan semua data yang diperlukan ke dalam aplikasi elektronik asuransi untuk Anda […]
• Tata cara penghitungan dan pembayaran pajak cukai Cukai merupakan salah satu pajak tidak langsung atas barang dan jasa yang termasuk dalam biayanya. Pajak cukai berbeda dengan PPN karena pajak ini dikenakan pada […]
• Aplikasi. Aturan penggunaan lahan dan pengembangan kota Rostov-on-Don Lampiran keputusan Duma Kota tanggal 17 Juni 2008 N 405 Aturan penggunaan lahan dan pengembangan kota Rostov-on-Don Sebagaimana telah diubah dan [… ]

Misalnya,

11. Penerapan identitas perkalian yang disingkat pada operasi dengan akar aritmatika:

12. Faktor yang berada di depan akar disebut koefisiennya. Misalnya, Di Sini 3 adalah koefisiennya.

13. Akar-akar (radikal) disebut sejenis jika mempunyai indeks akar yang sama dan ekspresi radikal yang sama, serta hanya berbeda pada koefisiennya. Untuk menilai apakah akar-akar ini (radikal) serupa atau tidak, Anda perlu mereduksinya ke bentuk yang paling sederhana.

Misalnya, dan serupa, karena

LATIHAN DENGAN SOLUSI

1. Sederhanakan ekspresi:

Larutan. 1) Tidak ada gunanya mengalikan ekspresi radikal, karena masing-masing faktor mewakili kuadrat bilangan bulat. Mari kita gunakan aturan untuk mengekstrak akar suatu produk:

Kedepannya, kami akan melakukan tindakan tersebut secara lisan.

2) Mari kita coba, jika mungkin, untuk menyatakan ekspresi radikal sebagai produk dari faktor-faktor, yang masing-masing merupakan pangkat tiga dari suatu bilangan bulat, dan menerapkan aturan tentang akar dari produk tersebut:

2. Temukan nilai ekspresi:

Larutan. 1) Menurut aturan untuk mengekstrak akar pecahan, kita mendapatkan:

3) Ubah ekspresi radikal dan ekstrak akarnya:

3. Sederhanakan kapan

Larutan. Saat mengekstraksi akar dari suatu akar, indikator akar dikalikan, tetapi ekspresi akarnya tetap tidak berubah

Jika terdapat koefisien di depan akar yang terletak di bawah akar, maka sebelum melakukan operasi ekstraksi akar, masukkan koefisien tersebut di bawah tanda radikal di depan akar tersebut.

Berdasarkan aturan di atas, kami mengekstrak dua akar terakhir:

4. Meningkatkan kekuatan:

Larutan. Saat menaikkan akar ke suatu pangkat, eksponen akar tetap tidak berubah, dan eksponen ekspresi radikal dikalikan dengan eksponen.

(sejak didefinisikan, maka );

Jika akar yang diberikan mempunyai koefisien, kemudian koefisien tersebut dipangkatkan secara terpisah dan hasilnya ditulis sebagai koefisien akar.

Di sini kami menggunakan aturan bahwa indikator akar dan indikator ekspresi radikal dapat dikalikan dengan angka yang sama (kami mengalikannya dengan, yaitu dibagi 2).

Misalnya, atau

4) Ekspresi dalam tanda kurung, yang mewakili jumlah dua radikal berbeda, dipotong dadu dan disederhanakan:

Karena kami memiliki:

5. Hilangkan irasionalitas pada penyebut:

Larutan. Untuk menghilangkan (menghancurkan) irasionalitas penyebut suatu pecahan, Anda perlu mencari ekspresi yang paling sederhana, yang dalam hasil kali dengan penyebut memberikan ekspresi rasional, dan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan faktor yang ditemukan.

Misalnya, jika penyebut suatu pecahan mengandung binomial, maka pembilang dan penyebut pecahan tersebut harus dikalikan dengan ekspresi konjugat ke penyebutnya, yaitu jumlahnya harus dikalikan dengan selisih yang sesuai dan sebaliknya.

Lebih lanjut kasus-kasus sulit Mereka tidak menghancurkan irasionalitas secara langsung, tetapi dalam beberapa tahap.

1) Ekspresi harus mengandung

Mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan kita peroleh:

2) Mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan kuadrat parsial dari jumlah tersebut, kita memperoleh:

3) Mari kita bawa pecahan ke penyebut yang sama:

Saat menyelesaikan contoh ini, kita harus ingat bahwa setiap pecahan mempunyai arti, yaitu penyebut setiap pecahan bukan nol. Di samping itu,

Saat mengonversi ekspresi yang mengandung radikal, sering terjadi kesalahan. Hal tersebut disebabkan oleh ketidakmampuan menerapkan konsep (definisi) dengan benar akar aritmatika dan nilai absolut.

Aturan pengurangan akar

Hitung nilai suatu ekspresi

Larutan.

Penjelasan.
Untuk menciutkan ekspresi radikal, bayangkan angka 31 pada faktor kedua dalam ekspresi radikalnya sebagai jumlah dari 15+16. (baris 2)

Setelah transformasi, jelas bahwa jumlah pada ekspresi radikal kedua dapat direpresentasikan sebagai kuadrat dari jumlah tersebut menggunakan rumus perkalian yang disingkat. (baris 3)

Sekarang bayangkan setiap akar dari dari pekerjaan ini seperti gelar. (baris 4)

Mari kita sederhanakan ekspresi (baris 5)

Karena derajat hasil kali sama dengan hasil kali derajat masing-masing faktor, maka kita nyatakan sesuai (baris 6)

Seperti yang Anda lihat, dengan menggunakan rumus perkalian yang disingkat, kita mendapatkan selisih antara kuadrat dua bilangan. Dari sana kami menghitung nilai ekspresi (baris 7)

Hitung nilai ekspresi.

Larutan.

Penjelasan.

Kita menggunakan sifat-sifat akar bahwa akar pangkat sembarang dari suatu hasil bagi suatu bilangan sama dengan hasil bagi dari akar-akar bilangan tersebut (baris 2)

Akar pangkat sembarang dari suatu bilangan yang berpangkat sama sama dengan bilangan ini (baris 3)

Mari kita keluarkan nilai minus dari faktor pertama. Dalam hal ini, semua tanda di dalam tanda kurung akan berubah menjadi sebaliknya (baris 4)

Mari kita lakukan pengurangan pecahan (baris 5)

Bayangkan bilangan 729 sebagai kuadrat dari bilangan 27, dan bilangan 27 sebagai pangkat tiga dari bilangan 3. Dari situ kita memperoleh nilai ekspresi akarnya.

Akar pangkat dua. Tingkat pertama.

Apakah Anda ingin menguji kekuatan Anda dan mengetahui hasil seberapa siap Anda menghadapi Ujian Negara Bersatu atau Unified State Exam?

1. Pengenalan konsep akar kuadrat aritmatika

Akar kuadrat (akar kuadrat aritmatika) suatu bilangan non-negatif adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan.
.

Angka atau ekspresi di bawah tanda akar harus bernilai non-negatif

2. Tabel persegi

3. Sifat-sifat akar kuadrat aritmatika

Pengantar konsep akar kuadrat aritmatika

Mari kita coba mencari tahu apa konsep "akar" ini dan "dengan apa ia dimakan". Untuk melakukan ini, mari kita lihat contoh-contoh yang pernah Anda temui di kelas (baik, atau Anda baru saja akan menemuinya).

Misalnya, kita mempunyai persamaan. apa solusinya persamaan yang diberikan? Angka apa saja yang dapat dikuadratkan dan diperoleh? Mengingat tabel perkalian, Anda dapat dengan mudah memberikan jawabannya: dan (toh, ketika dua bilangan negatif dikalikan, diperoleh bilangan positif)! Untuk menyederhanakan, ahli matematika memperkenalkan konsep khusus akar kuadrat dan memberinya simbol khusus.

Mari kita definisikan akar kuadrat aritmatika.

Mengapa angkanya harus non-negatif? Misalnya, sama dengan apa? Baiklah, mari kita coba pilih salah satu. Mungkin tiga? Mari kita periksa: , tidak. Mungkin, ? Sekali lagi, kami memeriksa: . Ya, itu tidak cocok? Hal ini sudah diduga - karena tidak ada bilangan yang, jika dikuadratkan, menghasilkan bilangan negatif!

Namun, Anda mungkin sudah memperhatikan bahwa definisi tersebut mengatakan bahwa solusi dari akar kuadrat dari “suatu bilangan adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan ”. Dan pada awalnya kita menganalisis contoh, bilangan terpilih yang dapat dikuadratkan dan diperoleh, jawabannya adalah dan, tetapi di sini kita berbicara tentang semacam “bilangan non-negatif”! Pernyataan ini cukup tepat. Di sini Anda hanya perlu membedakan antara konsep persamaan kuadrat dan akar kuadrat aritmatika suatu bilangan. Misalnya, tidak setara dengan ekspresi.

Dan setelah itu.

Tentu saja hal ini sangat membingungkan, namun perlu diingat bahwa tanda-tanda tersebut merupakan hasil penyelesaian persamaan tersebut, karena dalam menyelesaikan persamaan tersebut kita harus menuliskan semua X yang jika disubstitusikan ke persamaan awal akan menghasilkan persamaan. hasil yang benar. Keduanya dan cocok dengan persamaan kuadrat kita.

Namun, jika Anda hanya mengambil akar kuadrat dari sesuatu, Anda selalu mendapatkan satu hasil non-negatif.

Sekarang coba selesaikan persamaan ini. Semuanya tidak lagi sesederhana dan semulus itu, bukan? Coba lihat angka-angkanya, mungkin ada yang berhasil?

Mari kita mulai dari awal - dari awal: - tidak cocok, lanjutkan; – kurang dari tiga, kita tolak juga, tapi bagaimana kalau? Coba kita cek : – juga tidak cocok, soalnya itu lebih dari tiga. Ini cerita yang sama dengan angka negatif. Jadi apa yang harus kita lakukan sekarang? Apakah pencarian itu benar-benar tidak menghasilkan apa-apa? Tidak sama sekali, sekarang kita tahu pasti bahwa jawabannya adalah suatu bilangan antara dan, juga antara dan. Juga, jelas solusinya tidak berupa bilangan bulat. Terlebih lagi, mereka tidak rasional. Jadi, apa selanjutnya? Mari kita buat grafik fungsinya dan tandai solusinya.

Ayo coba menipu sistem dan dapatkan jawabannya menggunakan kalkulator! Mari kita cari akarnya! Oh-oh-oh, ternyata angka ini tidak pernah ada habisnya. Bagaimana kamu bisa mengingat ini, karena tidak akan ada kalkulator pada ujian!? Semuanya sangat sederhana, Anda tidak perlu mengingatnya, Anda hanya perlu mengingat (atau bisa memperkirakan dengan cepat) nilai perkiraannya. dan sudah menjawabnya sendiri. Bilangan-bilangan seperti itu disebut irasional; untuk menyederhanakan penulisan bilangan-bilangan itulah konsep akar kuadrat diperkenalkan.
Mari kita lihat contoh lain untuk memperkuat hal ini. Mari kita lihat soal berikut: Anda harus melintasi lapangan persegi dengan sisi km secara diagonal, berapa km yang harus Anda tempuh?

Hal yang paling jelas di sini adalah mempertimbangkan segitiga secara terpisah dan menggunakan teorema Pythagoras: . Dengan demikian, . Jadi berapa jarak yang dibutuhkan di sini? Jelas, jarak tidak boleh negatif, kita mengerti. Akar dua kira-kira sama, tetapi, seperti yang kami sebutkan sebelumnya, itu sudah merupakan jawaban yang lengkap.

Ekstraksi Akar

Untuk menyelesaikan contoh dengan akar tanpa menimbulkan masalah, Anda perlu melihat dan mengenalinya. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengetahui setidaknya kuadrat angka dari sampai, dan juga dapat mengenalinya.

Artinya, Anda perlu mengetahui apa yang sama dengan persegi, dan juga sebaliknya, apa yang sama dengan persegi. Pada awalnya, tabel ini akan membantu Anda dalam mengekstraksi root.

Segera setelah Anda memecahkan sejumlah contoh yang cukup, kebutuhan akan contoh tersebut secara otomatis akan hilang.
Cobalah mencari sendiri akar kuadrat dari ekspresi berikut:

Nah, bagaimana hasilnya? Sekarang mari kita lihat contoh-contoh ini:

Sifat-sifat akar kuadrat aritmatika

Sekarang Anda sudah tahu cara mengekstrak akar, sekarang saatnya mempelajari sifat-sifat akar kuadrat aritmatika. Hanya ada 3 di antaranya:

• perkalian;
• divisi;
• eksponen.

Mereka sangat mudah diingat dengan bantuan tabel ini dan, tentu saja, pelatihan:

Bagaimana cara memutuskan
persamaan kuadrat

Pada pelajaran sebelumnya kita telah membahas “Cara menyelesaikan persamaan linier”, yaitu persamaan derajat pertama. Dalam pelajaran ini kita akan melihat apa yang disebut persamaan kuadrat dan bagaimana cara mengatasinya.

Apa itu persamaan kuadrat?

Derajat persamaan ditentukan oleh semaksimal mungkin, yang berisi hal yang tidak diketahui.

Jika derajat maksimum, yang tidak diketahui adalah “2”, yang berarti Anda memiliki persamaan kuadrat.

Contoh persamaan kuadrat

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

Untuk mencari “a”, “b”, dan “c” Anda perlu membandingkan persamaan Anda dengan bentuk umum persamaan kuadrat “ax 2 + bx + c = 0”.

Mari kita berlatih mengidentifikasi koefisien “a”, “b” dan “c” dalam persamaan kuadrat.

• sebuah = 5
• b = −14
• c = 17

• Sebuah = −7
• b = −13
• c = 8

• Sebuah = −1
• b = 1

• sebuah = 1
• b = 0,25
• c = 0

• sebuah = 1
• b = 0
• c = −8

Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Berbeda dengan persamaan linear untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yang khusus rumus mencari akar.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang Anda butuhkan:

• turunkan persamaan kuadrat tersebut ke bentuk umum “ax 2 + bx + c = 0”. Artinya, hanya “0” yang harus tetap berada di sisi kanan;
• gunakan rumus untuk akar:

Mari kita lihat contoh cara menggunakan rumus untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Mari kita selesaikan persamaan kuadrat.

Persamaan “x 2 − 3x − 4 = 0” telah direduksi menjadi bentuk umum “ax 2 + bx + c = 0” dan tidak memerlukan penyederhanaan tambahan. Untuk mengatasinya, kita hanya perlu menerapkannya rumus mencari akar-akar persamaan kuadrat.

Mari kita tentukan koefisien "a", "b" dan "c" untuk persamaan ini.

• sebuah = 1
• b = −3
• c = −4

Mari kita substitusikan ke dalam rumus dan temukan akarnya.

Pastikan untuk menghafal rumus mencari akar.

Ini dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun.

Mari kita lihat contoh persamaan kuadrat lainnya.

Dalam bentuk ini cukup sulit untuk menentukan koefisien “a”, “b” dan “c”. Mari kita turunkan dulu persamaan tersebut ke bentuk umum “ax 2 + bx + c = 0”.

Sekarang Anda bisa menggunakan rumus untuk akarnya.

Ada kalanya persamaan kuadrat tidak mempunyai akar. Situasi ini terjadi ketika rumus mengandung bilangan negatif di bawah akar.

Kita ingat dari definisi akar kuadrat bahwa tidak mungkin mengambil akar kuadrat dari suatu bilangan negatif.

Perhatikan contoh persamaan kuadrat yang tidak memiliki akar.

Jadi, kita mempunyai situasi di mana akarnya mempunyai bilangan negatif. Artinya persamaan tersebut tidak mempunyai akar. Oleh karena itu, sebagai tanggapan, kami menulis “Tidak ada akar yang nyata.”

Apa arti kata “tidak ada akar yang nyata”? Mengapa Anda tidak bisa menulis "tanpa akar" saja?

Faktanya, kasus-kasus seperti itu ada akarnya, tetapi dalam kerangka tersebut kurikulum sekolah mereka tidak lulus, jadi sebagai tanggapan kami menuliskannya di antara bilangan real tidak ada akar. Dengan kata lain, "Tidak ada akar yang nyata".

Persamaan kuadrat tidak lengkap

Terkadang ada persamaan kuadrat yang koefisien “b” dan/atau “c” tidak ada secara eksplisit. Misalnya, dalam persamaan ini:

Persamaan seperti ini disebut tidak lengkap persamaan kuadrat. Cara menyelesaikannya dibahas dalam pelajaran “Persamaan kuadrat tidak lengkap”.

Isi:

Anda dapat menjumlahkan dan mengurangi akar kuadrat hanya jika akar kuadratnya memiliki ekspresi akar yang sama, yaitu, Anda dapat menjumlahkan atau mengurangi 2√3 dan 4√3, tetapi tidak dapat menjumlahkan 2√3 dan 2√5. Anda dapat menyederhanakan ekspresi radikal untuk menguranginya menjadi akar-akar dengan ekspresi radikal yang sama (lalu menambahkan atau menguranginya).

Langkah

Bagian 1 Memahami Dasar-dasarnya

1. 1 (ekspresi di bawah tanda root). Caranya, faktorkan bilangan radikal menjadi dua faktor, salah satunya adalah bilangan kuadrat (bilangan yang dapat Anda ekstrak akar utuh, misalnya, 25 atau 9). Setelah itu, ekstrak akar bilangan kuadrat dan tuliskan nilai yang ditemukan di depan tanda akar (faktor kedua akan tetap berada di bawah tanda akar). Misalnya, 6√50 - 2√8 + 5√12. Angka-angka di depan tanda akar adalah faktor dari akar-akar yang bersesuaian, dan angka-angka di bawah tanda akar adalah bilangan radikal (ekspresi). Berikut cara mengatasi masalah ini:
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Di sini Anda memfaktorkan 50 menjadi faktor 25 dan 2; kemudian dari 25 Anda mengekstrak root sama dengan 5, dan mengambil 5 dari bawah root. Kemudian kalikan 5 dengan 6 (pengganda di akar) dan dapatkan 30√2.
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Di sini Anda memfaktorkan 8 menjadi faktor 4 dan 2; lalu dari 4 ambil akarnya sama dengan 2, dan ambil 2 dari bawah akar. Kemudian kalikan 2 dengan 2 (pengganda pada akar) dan dapatkan 4√2.
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Di sini Anda memfaktorkan 12 menjadi faktor 4 dan 3; lalu dari 4 ambil akarnya sama dengan 2, dan ambil 2 dari bawah akar. Kemudian kalikan 2 dengan 5 (pengganda di akar) dan dapatkan 10√3.
2. 2 Garis bawahi akar-akar yang ekspresi radikalnya sama. Dalam contoh kita, ekspresi yang disederhanakan terlihat seperti: 30√2 - 4√2 + 10√3. Di dalamnya Anda harus menggarisbawahi istilah pertama dan kedua ( 30√2 Dan 4√2 ), karena keduanya memiliki bilangan akar yang sama 2. Hanya akar-akar tersebut yang dapat dijumlahkan dan dikurangi.
3. 3 Jika Anda diberi ekspresi dengan banyak suku, banyak di antaranya memiliki ekspresi akar yang sama, gunakan garis bawah tunggal, ganda, atau tiga kali lipat untuk menunjukkan suku-suku tersebut agar penyelesaian ekspresi menjadi lebih mudah.
4. 4 Untuk akar-akar yang persamaan akarnya sama, tambahkan atau kurangi faktor-faktor di depan tanda akar, dan biarkan persamaan akarnya tetap sama (jangan menambah atau mengurangi bilangan radikal!). Idenya adalah untuk menunjukkan berapa banyak akar dengan ekspresi radikal tertentu yang terkandung dalam ekspresi tertentu.
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

Bagian 2 Mari berlatih dengan contoh

1. 1 Contoh 1: √(45) + 4√5.
   • Sederhanakan √(45). Faktorkan 45: √(45) = √(9 x 5).
   • Ambil 3 dari bawah akar (√9 = 3): √(45) = 3√5.
   • Sekarang jumlahkan faktor-faktor pada akar-akarnya: 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 Contoh 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • Sederhanakan 6√(40). Faktorkan 40: 6√(40) = 6√(4 x 10).
   • Ambil 2 dari bawah akar (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
   • Kalikan faktornya sebelum akar dan dapatkan 12√10.
   • Sekarang ekspresi tersebut dapat ditulis sebagai 12√10 - 3√(10) + √5. Karena dua suku pertama mempunyai akar yang sama, Anda dapat mengurangkan suku kedua dari suku pertama dan membiarkan suku pertama tidak berubah.
   • Anda akan mendapatkan: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
3. 3 Contoh 3. 9√5 -2√3 - 4√5. Di sini, tidak ada ekspresi radikal yang dapat difaktorkan, sehingga ekspresi ini tidak dapat disederhanakan. Anda dapat mengurangkan suku ketiga dari suku pertama (karena keduanya memiliki akar yang sama) dan membiarkan suku kedua tidak berubah. Didapatkan: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
4. 4 Contoh 4. √9 + √4 - 3√2.
   • √9 = √(3 x 3) = 3.
   • √4 = √(2 x 2) = 2.
   • Sekarang Anda cukup menambahkan 3 + 2 untuk mendapatkan 5.
   • Jawaban akhir: 5 - 3√2.
5. 5 Contoh 5. Selesaikan persamaan yang mengandung akar dan pecahan. Anda hanya dapat menjumlahkan dan menghitung pecahan yang memiliki penyebut yang sama (sama). Ekspresi yang diberikan (√2)/4 + (√2)/2.
   • Temukan penyebut terkecil dari pecahan-pecahan ini. Ini adalah bilangan yang habis dibagi setiap penyebutnya. Dalam contoh kita, bilangan 4 habis dibagi 4 dan 2.
   • Sekarang kalikan pecahan kedua dengan 2/2 (untuk menjadikannya penyebut yang sama; pecahan pertama sudah direduksi menjadi pecahan tersebut): (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4.
   • Tambahkan pembilang pecahan dan biarkan penyebutnya tetap sama: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• Sebelum menjumlahkan atau mengurangkan akar-akarnya, pastikan untuk menyederhanakan (jika mungkin) ekspresi akarnya.

Peringatan

• Jangan pernah menambah atau mengurangi akar dengan ekspresi radikal yang berbeda.
• Jangan pernah menjumlahkan atau mengurangi bilangan bulat dan akar, mis. 3 + (2x) 1/2 .
  • Catatan: "x" pangkat dua dan akar kuadrat dari "x" adalah sama (yaitu, x 1/2 = √x).