Evgeniy Shiryaev, guru dan kepala Laboratorium Matematika Museum Politeknik, memberi tahu AiF.ru tentang pembagian dengan nol:
1. Yurisdiksi masalah ini
Setuju, yang membuat aturan ini sangat provokatif adalah larangannya. Bagaimana ini tidak dilakukan? Siapa yang melarang? Bagaimana dengan hak-hak sipil kita?
Baik Konstitusi Federasi Rusia, KUHP, maupun piagam sekolah Anda tidak keberatan dengan tindakan intelektual yang menarik minat kami. Artinya larangan tersebut tidak mempunyai kekuatan hukum, dan tidak ada yang menghalangi Anda untuk mencoba membagi sesuatu dengan nol di sini, di halaman AiF.ru. Misalnya seribu.
2. Mari kita membagi seperti yang diajarkan
Ingat, saat Anda pertama kali mempelajari cara membagi, contoh pertama diselesaikan dengan memeriksa perkalian: hasil kali pembagi harus sama dengan hasil pembagian. Jika tidak cocok, mereka tidak memutuskan.
Contoh 1. 1000: 0 =...
Mari kita lupakan sejenak aturan terlarang dan lakukan beberapa upaya untuk menebak jawabannya.
Yang salah akan terpotong oleh cek. Coba opsi berikut: 100, 1, −23, 17, 0, 10,000, hasil ceknya akan sama:
100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10.000 0 = 0
Dengan mengalikan nol, segala sesuatu berubah menjadi dirinya sendiri dan tidak pernah menjadi seribu. Kesimpulannya mudah dirumuskan: tidak ada angka akan diuji. Artinya, tidak ada bilangan yang merupakan hasil pembagian bilangan bukan nol dengan nol. Pembagian seperti itu tidak dilarang, tetapi tidak membuahkan hasil.
3. Nuansa
Kami hampir melewatkan satu kesempatan untuk membantah larangan tersebut. Ya, kita akui bahwa bilangan bukan nol tidak bisa dibagi 0. Tapi mungkinkah 0 sendiri bisa?
Contoh 2. 0: 0 = ...
Apa saran Anda untuk pribadi? 100? Tolong: hasil bagi 100 dikalikan pembagi 0 sama dengan pembagian 0.
Lebih banyak pilihan! 1? Cocok juga. Dan −23, dan 17, dan itu saja. Dalam contoh ini, hasil pengecekan akan positif untuk angka berapa pun. Dan sejujurnya, solusi dalam contoh ini seharusnya disebut bukan bilangan, melainkan himpunan bilangan. Setiap orang. Dan tidak butuh waktu lama untuk menyetujui bahwa Alice bukanlah Alice, melainkan Mary Ann, dan keduanya adalah impian kelinci.
4. Bagaimana dengan matematika tingkat tinggi?
Masalahnya telah terpecahkan, nuansa telah diperhitungkan, titik-titik telah ditempatkan, semuanya menjadi jelas - jawaban dari contoh pembagian dengan nol tidak dapat berupa satu angka. Pemecahan masalah seperti ini tidak ada harapan dan mustahil. Artinya... menarik! Ambil dua.
Contoh 3. Cari tahu cara membagi 1000 dengan 0.
Tapi tidak mungkin. Tapi 1000 bisa dengan mudah dibagi dengan angka lain. Baiklah, setidaknya lakukan apa yang kita bisa, meskipun kita mengubah tugas yang ada. Dan kemudian, Anda tahu, kita terbawa suasana, dan jawabannya akan muncul dengan sendirinya. Mari kita lupakan sejenak angka nol dan membaginya dengan seratus:
Seratus jauh dari nol. Mari kita mengambil langkah ke arah itu dengan mengurangi pembaginya:
1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.
Dinamikanya jelas: semakin dekat pembaginya ke nol, semakin besar hasil bagi. Trennya dapat diamati lebih lanjut dengan beralih ke pecahan dan terus mengurangi pembilangnya:
Perlu dicatat bahwa kita bisa mendekati nol sesuka kita, membuat hasil bagi menjadi sebesar yang kita suka.
Dalam proses ini tidak ada angka nol dan tidak ada hasil bagi terakhir. Kami menunjukkan pergerakan ke arah mereka dengan mengganti nomor tersebut dengan barisan yang konvergen ke nomor yang kami minati:
Ini menyiratkan penggantian dividen yang serupa:
1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }
Bukan tanpa alasan bahwa panahnya memiliki dua sisi: beberapa barisan dapat menyatu menjadi angka. Kemudian kita dapat mengasosiasikan barisan tersebut dengan limit numeriknya.
Mari kita lihat urutan hasil bagi:
Ia tumbuh tanpa batas, tidak berjuang untuk jumlah berapa pun dan melampaui jumlah apa pun. Matematikawan menambahkan simbol ke angka ∞ untuk dapat menempatkan panah dua sisi di sebelah urutan seperti ini:
Perbandingan dengan banyaknya barisan yang mempunyai limit memungkinkan kita mengusulkan solusi pada contoh ketiga:
Saat membagi barisan yang konvergen hingga 1000 secara elemen dengan barisan bilangan positif yang konvergen ke 0, kita memperoleh barisan yang konvergen ke ∞.
5. Dan inilah nuansa dengan dua angka nol
Berapakah hasil pembagian dua barisan bilangan positif yang konvergen dengan nol? Jika sama, maka satuannya identik. Jika barisan dividen lebih cepat konvergen ke nol, maka pada hasil bagi barisan tersebut mempunyai batas nol. Dan ketika elemen-elemen pembagi berkurang jauh lebih cepat daripada elemen-elemen pembagi, barisan hasil bagi akan bertambah banyak:
Situasi yang tidak pasti. Dan itulah yang disebut: ketidakpastian jenis 0/0 . Ketika matematikawan melihat barisan yang sesuai dengan ketidakpastian tersebut, mereka tidak terburu-buru membagi keduanya nomor yang identik satu sama lain, tetapi cari tahu urutan mana yang berjalan lebih cepat ke nol dan bagaimana tepatnya. Dan setiap contoh akan memiliki jawaban spesifiknya masing-masing!
6. Dalam hidup
Hukum Ohm menghubungkan arus, tegangan dan hambatan dalam suatu rangkaian. Seringkali ditulis dalam bentuk ini:
Mari kita membiarkan diri kita mengabaikan pemahaman fisik yang cermat dan melihat secara formal sisi kanan sebagai hasil bagi dua bilangan. Bayangkan kita sedang memecahkan masalah sekolah tentang listrik. Kondisi tersebut memberikan tegangan dalam volt dan hambatan dalam ohm. Pertanyaannya jelas, solusinya ada dalam satu tindakan.
Sekarang mari kita lihat definisi superkonduktivitas: ini adalah sifat beberapa logam yang memiliki hambatan listrik nol.
Baiklah, mari kita selesaikan masalah rangkaian superkonduktor? Atur saja R= 0 itu tidak akan berhasil, fisika muntah tugas yang menarik, yang jelas berdiri di belakang penemuan ilmiah. Dan orang-orang yang berhasil membagi dengan nol dalam situasi ini menerimanya Penghargaan Nobel. Sangat berguna untuk bisa melewati larangan apa pun!
Seringkali banyak orang bertanya-tanya mengapa pembagian dengan nol tidak bisa digunakan? Pada artikel ini kita akan membahas secara detail tentang dari mana aturan ini berasal, serta tindakan apa yang dapat dilakukan dengan nol.
Dalam kontak dengan
Nol bisa disebut salah satu yang paling banyak angka yang menarik. Angka ini tidak ada artinya, itu berarti kekosongan di dalam secara harfiah kata-kata. Namun, jika angka nol ditempatkan di sebelah angka apa pun, maka nilai angka tersebut akan menjadi beberapa kali lebih besar.
Nomornya sendiri sangat misterius. Saya menggunakannya lagi orang kuno Maya. Bagi suku Maya, nol berarti “permulaan” dan terus bertambah hari-hari kalender juga dimulai dari awal.
Sangat fakta yang menarik adalah tanda nol dan tanda ketidakpastian itu serupa. Dengan ini, bangsa Maya ingin menunjukkan bahwa nol adalah tanda yang identik dengan ketidakpastian. Di Eropa, sebutan nol muncul relatif baru.
Banyak juga orang yang mengetahui larangan terkait dengan nol. Siapa pun akan mengatakan itu Anda tidak dapat membaginya dengan nol. Guru di sekolah mengatakan hal ini, dan anak-anak biasanya percaya begitu saja. Biasanya, anak-anak tidak tertarik untuk mengetahui hal ini, atau mereka tahu apa yang akan terjadi jika, setelah mendengar larangan penting, mereka langsung bertanya, “Mengapa kamu tidak bisa membaginya dengan nol?” Namun seiring bertambahnya usia, minat Anda muncul, dan Anda ingin tahu lebih banyak tentang alasan larangan ini. Namun, ada bukti yang masuk akal.
Tindakan dengan nol
Pertama, Anda perlu menentukan tindakan apa yang dapat dilakukan dengan nol. Ada beberapa jenis tindakan:
- Tambahan;
- Perkalian;
- Pengurangan;
- Pembagian (nol demi angka);
- Eksponensial.
Penting! Jika Anda menambahkan nol ke suatu bilangan selama penjumlahan, maka bilangan tersebut akan tetap sama dan tidak akan berubah nilai numerik. Hal yang sama terjadi jika Anda mengurangkan nol dari bilangan apa pun.
Saat mengalikan dan membagi semuanya sedikit berbeda. Jika kalikan angka apa pun dengan nol, maka hasil kali juga akan menjadi nol.
Mari kita lihat sebuah contoh:
Mari kita tulis ini sebagai tambahan:
Totalnya ada lima angka nol, jadi ternyata begitu
Mari kita coba mengalikan satu dengan nol. Hasilnya juga akan menjadi nol.
Nol juga dapat dibagi dengan bilangan lain yang tidak sama dengannya. Dalam hal ini, hasilnya adalah , yang nilainya juga nol. Aturan yang sama berlaku untuk bilangan negatif. Jika nol dibagi angka negatif, maka akan menjadi nol.
Anda juga dapat membuat angka apa pun ke nol derajat. Dalam hal ini, hasilnya akan menjadi 1. Penting untuk diingat bahwa ungkapan “nol pangkat nol” sama sekali tidak ada artinya. Jika Anda mencoba menaikkan nol ke pangkat apa pun, Anda mendapatkan nol. Contoh:
Kami menggunakan aturan perkalian dan mendapatkan 0.
Jadi apakah mungkin membaginya dengan nol?
Jadi, di sinilah kita sampai pada pertanyaan utama. Apakah mungkin membaginya dengan nol? sama sekali? Dan mengapa tidak mungkin membagi suatu bilangan dengan nol, mengingat semua tindakan lain dengan nol ada dan diterapkan? Untuk menjawab pertanyaan ini perlu beralih ke matematika yang lebih tinggi.
Mari kita mulai dengan definisi konsepnya, apa itu nol? Guru sekolah Mereka bilang nol bukanlah apa-apa. Kekosongan. Artinya, ketika Anda mengatakan bahwa Anda memiliki 0 pegangan, itu berarti Anda tidak memiliki pegangan sama sekali.
Dalam matematika tingkat tinggi, konsep “nol” lebih luas. Ini tidak berarti kekosongan sama sekali. Di sini angka nol disebut ketidakpastian karena kalau kita sedikit riset, ternyata ketika kita membagi angka nol dengan nol, kita bisa mendapatkan angka lain apa pun, yang belum tentu nol.
Tahukah Anda bahwa itu sederhana operasi aritmatika yang kamu pelajari di sekolah tidak begitu setara satu sama lain? Tindakan paling mendasar adalah penjumlahan dan perkalian.
Bagi ahli matematika, konsep “” dan “pengurangan” tidak ada. Katakanlah: jika Anda mengurangi tiga dari lima, Anda akan mendapatkan dua. Seperti inilah bentuk pengurangannya. Namun, ahli matematika akan menuliskannya seperti ini:
Jadi, ternyata selisih yang tidak diketahui itu adalah suatu bilangan tertentu yang perlu dijumlahkan dengan 3 untuk mendapatkan 5. Artinya, tidak perlu mengurangkan apa pun, Anda hanya perlu mencari bilangan yang sesuai. Aturan ini berlaku untuk penjumlahan.
Segalanya sedikit berbeda dengan aturan perkalian dan pembagian. Diketahui bahwa perkalian dengan nol menghasilkan hasil nol. Misalnya, jika 3:0=x, maka jika Anda membalik entri tersebut, Anda mendapatkan 3*x=0. Dan bilangan yang dikalikan 0 akan menghasilkan nol pada hasil perkaliannya. Ternyata tidak ada bilangan yang memberikan nilai selain nol pada hasil kali nol. Artinya pembagian dengan nol tidak ada artinya, artinya sesuai dengan aturan kita.
Namun apa jadinya jika Anda mencoba membagi angka nol dengan dirinya sendiri? Mari kita ambil bilangan tak tentu sebagai x. Persamaan yang dihasilkan adalah 0*x=0. Itu bisa diselesaikan.
Jika kita mencoba mengambil nol dan bukan x, kita akan mendapatkan 0:0=0. Tampaknya logis? Namun jika kita mencoba mengambil bilangan lain, misalnya 1, selain x, kita akan mendapatkan 0:0=1. Situasi yang sama akan terjadi jika kita mengambil nomor lain dan masukkan ke dalam persamaan.
Dalam hal ini, ternyata bilangan lain dapat kita ambil sebagai faktornya. Hasilnya adalah himpunan tak terbatas nomor yang berbeda. Terkadang pembagian dengan 0 dalam matematika tingkat tinggi masih masuk akal, tetapi biasanya muncul kondisi tertentu, sehingga kita masih dapat memilih satu bilangan yang sesuai. Tindakan ini disebut “pengungkapan ketidakpastian”. Dalam aritmatika biasa, pembagian dengan nol akan kehilangan maknanya lagi, karena kita tidak akan dapat memilih satu angka pun dari himpunan.
Penting! Anda tidak dapat membagi nol dengan nol.
Nol dan tak terhingga
Tak terhingga sangat sering ditemukan dalam matematika tingkat tinggi. Karena tidak penting bagi anak sekolah untuk mengetahui bahwa ada juga operasi matematika dengan tak terhingga, guru tidak dapat menjelaskan dengan baik kepada anak-anak mengapa tidak mungkin membagi dengan nol.
Siswa mulai mempelajari rahasia matematika dasar hanya pada tahun pertama institut. Matematika yang lebih tinggi memberikan serangkaian besar masalah yang tidak memiliki solusi. Masalah yang paling terkenal adalah masalah ketidakterbatasan. Mereka dapat diselesaikan dengan menggunakan analisis matematis.
Bisa juga diterapkan hingga tak terbatas operasi matematika dasar: penjumlahan, perkalian dengan angka. Biasanya mereka juga menggunakan pengurangan dan pembagian, namun pada akhirnya tetap menggunakan dua operasi sederhana.
Larangan ketat pembagian dengan nol diberlakukan bahkan di kelas sekolah dasar. Anak-anak biasanya tidak memikirkan alasannya, namun sebenarnya mengetahui mengapa sesuatu itu dilarang adalah hal yang menarik dan bermanfaat.
Operasi aritmatika
Operasi aritmatika yang dipelajari di sekolah tidak setara dari sudut pandang ahli matematika. Mereka hanya mengakui dua operasi ini sebagai valid - penjumlahan dan perkalian. Mereka termasuk dalam konsep bilangan, dan semua tindakan lain dengan bilangan dalam satu atau lain cara dibangun berdasarkan keduanya. Artinya, tidak hanya pembagian dengan nol yang tidak mungkin, tetapi pembagian secara umum juga tidak mungkin.
Pengurangan dan pembagian
Apa yang hilang dari tindakan lainnya? Sekali lagi, kita tahu dari sekolah bahwa, misalnya, mengurangkan empat dari tujuh berarti mengambil tujuh permen, memakan empat permen, dan menghitung sisanya. Tetapi para ahli matematika, ketika mereka makan yang manis-manis dan secara umum, memandangnya dengan cara yang sangat berbeda. Bagi mereka yang ada hanyalah penjumlahan, yaitu notasi 7 - 4 berarti suatu bilangan yang jika dijumlahkan dengan bilangan 4 akan sama dengan 7. Artinya, bagi ahli matematika 7 - 4 adalah catatan pendek persamaan: x + 4 = 7. Ini bukan pengurangan, tetapi tugasnya adalah mencari bilangan yang perlu menggantikan x.
Hal yang sama berlaku untuk pembagian dan perkalian. Membagi sepuluh dengan dua, seorang siswa junior menaruh sepuluh permen ke dalam dua tumpukan yang identik. Ahli matematika juga melihat persamaan di sini: 2 x = 10.
Ini menjelaskan mengapa pembagian dengan nol dilarang: itu tidak mungkin. Entri 6: 0 harus berubah menjadi persamaan 0 · x = 6. Artinya, Anda perlu mencari bilangan yang dapat dikalikan dengan nol dan mendapatkan 6. Namun diketahui bahwa perkalian dengan nol selalu menghasilkan nol. Ini adalah properti penting dari nol.
Jadi, tidak ada bilangan yang jika dikalikan dengan nol akan menghasilkan bilangan selain nol. Artinya persamaan ini tidak ada penyelesaiannya, tidak ada bilangan yang berkorelasi dengan notasi 6:0, artinya tidak masuk akal. Mereka berbicara tentang ketidakberartiannya ketika pembagian dengan nol dilarang.
Apakah nol habis dibagi nol?
Apakah mungkin membagi nol dengan nol? Persamaan 0 · x = 0 tidak menimbulkan kesulitan apa pun, dan Anda dapat mengambil nol ini untuk x dan mendapatkan 0 · 0 = 0. Lalu 0: 0 = 0? Namun, jika, misalnya, kita menganggap x sebagai satu, kita juga mendapatkan 0 1 = 0. Anda dapat menganggap x sebagai bilangan apa pun dan membaginya dengan nol, dan hasilnya akan tetap sama: 0: 0 = 9 , 0:0 = 51, dan seterusnya.
Jadi, bilangan apa pun dapat dimasukkan ke dalam persamaan ini, dan tidak mungkin memilih bilangan tertentu, tidak mungkin menentukan bilangan mana yang dilambangkan dengan notasi 0: 0. Artinya, notasi ini juga tidak masuk akal, dan pembagian dengan nol masih mustahil: bahkan tidak bisa dibagi dengan sendirinya.
Ini fitur penting operasi pembagian, yaitu perkalian dan bilangan nol yang terkait.
Pertanyaannya tetap: apakah mungkin untuk menguranginya? Kita dapat mengatakan bahwa matematika sebenarnya dimulai dengan ini pertanyaan yang menarik. Untuk menemukan jawabannya, Anda perlu mengetahui definisi matematika formal kumpulan angka dan berkenalan dengan operasi pada mereka. Misalnya tidak hanya yang sederhana saja, tetapi pembagiannya juga berbeda dengan pembagian yang biasa. Ini tidak termasuk di dalamnya kurikulum sekolah, tetapi kuliah matematika di universitas dimulai dengan ini.
Buku pelajaran:“Matematika” oleh M.I
Tujuan pelajaran: menciptakan kondisi untuk mengembangkan kemampuan membagi 0 dengan angka.
Tujuan pelajaran:
- mengungkap makna pembagian 0 dengan suatu bilangan melalui hubungan antara perkalian dan pembagian;
- mengembangkan kemandirian, perhatian, berpikir;
- mengembangkan keterampilan dalam memecahkan contoh tabel perkalian dan pembagian.
Untuk mencapai tujuan tersebut, pembelajaran dirancang dengan memperhatikan pendekatan aktivitas.
Struktur pelajarannya meliputi:
- Organisasi. momen, yang tujuannya adalah untuk memotivasi anak secara positif untuk belajar.
- Motivasi memungkinkan kami untuk memperbarui pengetahuan dan merumuskan maksud dan tujuan pembelajaran. Untuk tujuan ini, tugas diusulkan menemukan nomor tambahan, mengelompokkan contoh ke dalam kelompok, menambahkan nomor yang hilang. Saat menyelesaikan tugas-tugas ini, anak-anak dihadapkan pada masalah: sebuah contoh ditemukan dimana pengetahuan yang ada tidak cukup untuk menyelesaikannya. Dalam hal ini, anak-anak merumuskan tujuan secara mandiri dan menetapkan sendiri tujuan pembelajaran dari pelajaran tersebut.
- Pencarian dan penemuan pengetahuan baru memberi anak-anak kesempatan menawarkan berbagai pilihan solusi tugas. Berdasarkan materi yang telah dipelajari sebelumnya, mereka dapat menemukannya keputusan yang tepat dan datang ke kesimpulan, di mana aturan baru dirumuskan.
- Selama konsolidasi primer siswa berkomentar tindakanmu, bekerja sesuai aturan, juga dipilih contoh Anda pada aturan ini.
- Untuk otomatisasi tindakan Dan kemampuan untuk menggunakan aturan secara non-standar Dalam tugas tersebut, anak-anak menyelesaikan persamaan dan ekspresi dalam beberapa langkah.
- Pekerjaan mandiri dan dilaksanakan verifikasi bersama menunjukkan bahwa sebagian besar anak memahami topik tersebut.
- Selama refleksi Anak-anak menyimpulkan bahwa tujuan pembelajaran telah tercapai dan menilai diri mereka sendiri dengan menggunakan kartu.
Pelajaran itu didasarkan pada tindakan independen siswa di setiap tahap, selami sepenuhnya tugas belajar. Hal ini difasilitasi oleh teknik-teknik seperti bekerja dalam kelompok, pengujian diri dan timbal balik, menciptakan situasi sukses, tugas yang berbeda, dan refleksi diri.
Selama kelas
| Tujuan panggung | Isi panggung | Aktivitas siswa | ||||||||||||
| 1.Org. momen | ||||||||||||||
| Mempersiapkan siswa untuk bekerja, sikap positif untuk kegiatan pendidikan. | Insentif untuk kegiatan pendidikan. Periksa kesiapan Anda untuk pelajaran, duduk tegak, bersandar pada sandaran kursi. Gosok telinga agar darah mengalir lebih aktif ke otak. Hari ini kamu akan mendapat banyak hal pekerjaan yang menarik, yang saya yakin Anda akan melakukannya dengan baik. |
Organisasi tempat kerja, memeriksa kecocokan. | ||||||||||||
| 2. Motivasi. | ||||||||||||||
| Stimulasi kognitif aktivitas, pengaktifan proses berpikir |
Memperbarui pengetahuan yang cukup untuk memperoleh pengetahuan baru. Penghitungan verbal. Menguji pengetahuan Anda tentang perkalian tabel: |
Menyelesaikan masalah berdasarkan pengetahuan tentang perkalian tabel. | ||||||||||||
| A) temukan nomor tambahan: 2 4 6 7 10 12 14 6 18 24 29 36 42 Jelaskan mengapa mubazir dan nomor berapa yang harus digunakan untuk menggantikannya. |
Menemukan nomor tambahan. | |||||||||||||
| B) masukkan nomor yang hilang: … 16 24 32 … 48 … |
Menambahkan nomor yang hilang. | |||||||||||||
| Menciptakan situasi masalah Tugas berpasangan: C) menyusun contoh menjadi 2 kelompok: Mengapa disebarkan seperti ini? (dengan jawaban 4 dan 5). |
Klasifikasi contoh ke dalam kelompok. | |||||||||||||
| Kartu-kartu: 8·7-6+30:6= 28:(16:4) 6= 30-(20-10:2):5= 30-(20-10 2):5= |
Siswa yang kuat mengerjakan kartu individu. | |||||||||||||
| Apa yang kamu perhatikan? Apakah ada contoh lain di sini? Apakah Anda mampu menyelesaikan semua contoh? Siapa yang kesulitan? Apa perbedaan contoh ini dengan contoh lainnya? Jika seseorang telah memutuskan, maka baguslah. Namun mengapa tidak semua orang dapat menerima contoh ini? |
Menemukan masalahnya. Mengidentifikasi pengetahuan yang hilang dan penyebab kesulitan. |
|||||||||||||
| Menetapkan tugas belajar. Berikut ini contoh dengan 0. Dan dari 0 Anda dapat mengharapkan trik yang berbeda. Ini merupakan angka yang tidak biasa. Ingat apa yang Anda ketahui tentang 0? (Sebuah 0=0, 0 Sebuah=0, 0+Sebuah=Sebuah) Berikan contoh. Lihat betapa berbahayanya: jika dijumlahkan tidak mengubah angkanya, tetapi jika dikalikan menjadi 0. Apakah aturan ini berlaku pada contoh kita? Bagaimana dia akan bersikap saat makan? |
Pengamatan selesai teknik yang diketahui tindakan dengan 0 dan hubungannya dengan contoh asli. | |||||||||||||
| Jadi apa tujuan kita? Selesaikan contoh ini dengan benar. Meja di papan. Apa yang dibutuhkan untuk itu? Pelajari aturan membagi 0 dengan angka. |
Mengajukan hipotesis | |||||||||||||
| Bagaimana menemukan solusi yang tepat? Tindakan apa yang termasuk dalam perkalian? (dengan pembagian) Berikan contoh 2 3 = 6 6: 2 = 3 Bisakah kita sekarang 0:5? Artinya, Anda perlu mencari bilangan yang jika dikalikan 5 sama dengan 0. x 5=0 Angka ini adalah 0. Jadi 0:5=0. Berikan contoh Anda sendiri. |
mencari solusi berdasarkan apa yang telah dipelajari sebelumnya, | |||||||||||||
| Perumusan aturan. Aturan apa yang sekarang bisa dirumuskan? Saat Anda membagi 0 dengan angka, Anda mendapatkan 0. 0: a = 0. |
Larutan tugas-tugas khas dengan komentar. Bekerja sesuai skema (0:a=0) |
|||||||||||||
| 5. Latihan fisik. | ||||||||||||||
| Pencegahan postur tubuh yang buruk, menghilangkan kelelahan mata dan kelelahan umum. | ||||||||||||||
| 6. Otomatisasi pengetahuan. | ||||||||||||||
| Mengidentifikasi batas penerapan pengetahuan baru. | Tugas lain apa yang mungkin memerlukan pengetahuan tentang aturan ini? (dalam memecahkan contoh, persamaan) |
Menggunakan pengetahuan yang diperoleh dalam berbagai tugas. Bekerja dalam kelompok. |
||||||||||||
| Apa yang tidak diketahui dalam persamaan ini? Ingat cara mengetahui pengganda yang tidak diketahui. Selesaikan persamaannya. Apa solusi persamaan 1? (0) Pukul 2? (tidak ada solusi, tidak dapat membagi dengan 0) |
Mengingat keterampilan yang telah dipelajari sebelumnya. | |||||||||||||
| ** Buat persamaan dengan solusi x=0 (x 5=0) | Untuk siswa yang kuat, tugas kreatif | |||||||||||||
| 7. Kerja mandiri. | ||||||||||||||
| Perkembangan kemandirian, kemampuan kognitif | Kerja mandiri dilanjutkan dengan saling verifikasi. №6 |
Aktif tindakan mental siswa terkait dengan pencarian solusi berdasarkan pengetahuannya. Pengendalian diri dan pengendalian bersama. Siswa yang kuat memeriksa dan membantu siswa yang lebih lemah. |
||||||||||||
| 8. Mengerjakan materi yang telah dibahas sebelumnya. Mempraktikkan keterampilan pemecahan masalah. | ||||||||||||||
| Pembentukan keterampilan pemecahan masalah. | Apakah menurut Anda angka 0 sering digunakan dalam soal? (Tidak, tidak sering, karena 0 bukanlah apa-apa, dan tugas harus berisi sejumlah sesuatu.) Kemudian kita akan menyelesaikan soal yang terdapat bilangan lain. Baca masalahnya. Apa yang akan membantu memecahkan masalah tersebut? (meja) Kolom tabel apa yang harus ditulis? Isi meja. Buatlah rencana solusi: apa yang perlu dipelajari pada langkah 1 dan 2? |
Mengerjakan masalah menggunakan tabel. Berencana untuk memecahkan suatu masalah. Rekaman diri solusi. Pengendalian diri sesuai model. |
||||||||||||
| 9. Refleksi. Ringkasan pelajaran. | ||||||||||||||
| Organisasi penilaian diri terhadap kegiatan. Meningkatkan motivasi anak. |
Topik apa yang Anda kerjakan hari ini? Apa yang tidak kamu ketahui di awal pelajaran? Tujuan apa yang Anda tetapkan untuk diri Anda sendiri? Sudahkah Anda mencapainya? Aturan apa yang Anda temukan? Nilai pekerjaan Anda dengan mencentang ikon yang sesuai:
| Kesadaran akan aktivitas Anda, analisis diri terhadap pekerjaan Anda. Mencatat kesesuaian hasil kinerja dan tujuan yang telah ditetapkan. | ||||||||||||
| 10. Pekerjaan rumah. | ||||||||||||||
Pembagian dengan nol dalam matematika - pembagian di mana pembaginya sama dengan nol. Pembagian seperti itu dapat ditulis secara formal ⁄ 0, dimana adalah dividennya.
Dalam aritmatika biasa (dengan bilangan real) ekspresi ini tidak masuk akal karena:
- untuk ≠ 0 tidak ada bilangan yang jika dikalikan dengan 0 menghasilkan, oleh karena itu tidak ada bilangan yang dapat dijadikan hasil bagi ⁄ 0 ;
- pada = 0, pembagian dengan nol juga tidak terdefinisi, karena bilangan apa pun jika dikalikan dengan 0 menghasilkan 0 dan dapat dianggap sebagai hasil bagi 0 ⁄ 0.
Secara historis, salah satu referensi pertama tentang ketidakmungkinan matematis untuk menetapkan nilai ⁄ 0 terkandung dalam kritik George Berkeley terhadap kalkulus yang sangat kecil.
Kesalahan logis
Karena ketika kita mengalikan bilangan apa pun dengan nol, hasilnya selalu nol, ketika kita membagi kedua bagian persamaan × 0 = × 0, yang benar berapa pun nilai dan, dengan 0 kita mendapatkan hasil yang salah dalam persamaan tersebut. kasus diberikan secara sewenang-wenang ekspresi variabel= . Karena nol dapat ditentukan tidak secara eksplisit, tetapi dalam bentuk yang agak rumit ekspresi matematika, misalnya berupa selisih dua nilai yang direduksi satu sama lain sebesar transformasi aljabar, pembagian seperti itu bisa menjadi kesalahan yang tidak terlihat jelas. Pengenalan yang tidak terlihat dari pembagian seperti itu ke dalam proses pembuktian untuk menunjukkan identitas besaran-besaran yang jelas-jelas berbeda, sehingga membuktikan pernyataan yang tidak masuk akal, adalah salah satu jenis sofisme matematika.
Dalam ilmu komputer
Dalam pemrograman, bergantung pada bahasa pemrograman, tipe data, dan nilai dividen, upaya membagi dengan nol dapat mengakibatkan berbagai konsekuensi. Konsekuensi pembagian dengan nol dalam bilangan bulat dan aritmatika riil pada dasarnya berbeda:
- Percobaan bilangan bulat pembagian dengan nol selalu merupakan kesalahan kritis yang membuat eksekusi program lebih lanjut menjadi tidak mungkin. Ini mengarah pada pembuatan pengecualian (yang dapat ditangani sendiri oleh program, sehingga menghindari penghentian darurat), atau penghentian langsung program dengan pesan tentang kesalahan fatal dan mungkin isi tumpukan panggilan. Dalam beberapa bahasa pemrograman, seperti Go, pembagian bilangan bulat dengan konstanta nol dipertimbangkan kesalahan sintaks dan menyebabkan penghentian kompilasi program secara tidak normal.
- DI DALAM nyata konsekuensi aritmatika bisa berbeda dalam berbagai bahasa:
- melempar pengecualian atau menghentikan program, seperti pembagian bilangan bulat;
- memperoleh nilai non-numerik khusus sebagai hasil dari suatu operasi. Dalam hal ini, perhitungan tidak terganggu, dan hasilnya selanjutnya dapat ditafsirkan oleh program itu sendiri atau pengguna sebagai nilai yang berarti atau sebagai bukti kesalahan perhitungan. Prinsip yang banyak digunakan adalah ketika membagi seperti ⁄ 0, dimana ≠ 0 adalah bilangan floating point, hasilnya sama dengan positif atau negatif (tergantung tanda pembagiannya) tak terhingga - atau, dan bila = 0 hasilnya adalah a nilai khusus NaN (singkatan dari bahasa Inggris “not a number”). Pendekatan ini diadopsi dalam standar IEEE 754, yang didukung oleh banyak orang bahasa modern pemrograman.
Pembagian acak dengan nol program komputer terkadang menyebabkan kegagalan fungsi yang mahal atau berbahaya pada peralatan yang dikendalikan program. Misalnya, pada tanggal 21 September 1997, akibat pembagian dengan nol pada sistem kendali komputerisasi kapal penjelajah USS Yorktown (CG-48) Angkatan laut Amerika Serikat mengalami pemadaman seluruh peralatan elektronik di sistemnya, akibatnya sistem propulsi kapal berhenti beroperasi.
Lihat juga
Catatan
Fungsi = 1 ⁄ . Bila ia cenderung nol dari kanan, ia cenderung tak terhingga; ketika cenderung nol dari kiri, cenderung minus tak terhingga
Jika Anda membagi angka apa pun dengan nol pada kalkulator biasa, Anda akan mendapatkan huruf E atau kata Error, yaitu, “kesalahan”.
Dalam kasus serupa, kalkulator komputer menulis (di Windows XP): “Dilarang membagi dengan nol.”
Semuanya sesuai dengan aturan yang diketahui dari sekolah bahwa Anda tidak boleh membagi dengan nol.
Mari kita cari tahu alasannya.
Divisi adalah operasi matematika, kebalikan dari perkalian. Pembagian ditentukan melalui perkalian.
Bagilah sebuah angka A(dapat dibagi, misalnya 8) dengan angka B(pembagi, misalnya angka 2) - artinya mencari angka tersebut X(hasil bagi), bila dikalikan dengan pembagi B ternyata dividennya A(4 2 = 8), yaitu A dibagi dengan B berarti menyelesaikan persamaan x · b = a.
Persamaan a: b = x ekuivalen dengan persamaan x · b = a.
Kita ganti pembagian dengan perkalian: alih-alih 8: 2 = x kita tulis x · 2 = 8.
8: 2 = 4 setara dengan 4 2 = 8
18: 3 = 6 setara dengan 6 3 = 18
20: 2 = 10 setara dengan 10 2 = 20
Hasil pembagian selalu dapat diperiksa dengan perkalian. Hasil perkalian suatu pembagi dengan hasil bagi adalah pembagiannya.
Mari kita coba membagi dengan nol dengan cara yang sama.
Misalnya, 6: 0 = ... Kita perlu mencari suatu bilangan yang jika dikalikan dengan 0 akan menghasilkan 6. Namun kita tahu bahwa jika dikalikan dengan nol, kita selalu mendapatkan nol. Tidak ada bilangan yang jika dikalikan dengan nol akan menghasilkan bilangan selain nol.
Kalau dikatakan membagi dengan nol itu tidak mungkin atau dilarang, maksudnya tidak ada bilangan yang sesuai dengan hasil pembagian tersebut (membagi dengan nol boleh, tapi membagi tidak :)).
Mengapa di sekolah dikatakan bahwa Anda tidak bisa membagi dengan nol?
Oleh karena itu di definisi operasi membagi a dengan b langsung menekankan bahwa b ≠ 0.
Jika semua yang tertulis di atas tampak terlalu rumit bagi Anda, cobalah saja: Membagi 8 dengan 2 berarti mencari tahu berapa angka dua yang perlu Anda ambil untuk mendapatkan 8 (jawaban: 4). Membagi 18 dengan 3 berarti mencari tahu berapa angka tiga yang harus diambil untuk mendapatkan 18 (jawaban: 6).
Membagi 6 dengan nol berarti mencari tahu berapa banyak angka nol yang perlu Anda ambil untuk mendapatkan 6. Tidak peduli berapa banyak angka nol yang Anda ambil, Anda tetap akan mendapatkan nol, tetapi Anda tidak akan pernah mendapatkan 6, yaitu pembagian dengan nol tidak terdefinisi.
Hasil menarik didapat jika Anda mencoba membagi suatu angka dengan nol di kalkulator Android. Layar akan menampilkan ∞ (tak terhingga) (atau - ∞ jika dibagi dengan angka negatif). Hasil ini salah karena bilangan ∞ tidak ada. Rupanya, pemrogram mengacaukan operasi yang sangat berbeda - membagi angka dan menemukan batasnya urutan nomor n/x, dimana x → 0. Saat membagi nol dengan nol, akan ditulis NaN (Bukan Angka).
“Kamu tidak bisa membaginya dengan nol!” - Kebanyakan anak sekolah menghafal aturan ini tanpa bertanya. Semua anak tahu apa itu “kamu tidak bisa” dan apa yang akan terjadi jika Anda bertanya sebagai tanggapannya: “Mengapa?” Namun nyatanya, sangat menarik dan penting untuk mengetahui mengapa hal tersebut tidak mungkin dilakukan.
Masalahnya adalah empat operasi aritmatika - penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian - sebenarnya tidak sama. Matematikawan hanya mengakui dua di antaranya yang valid: penjumlahan dan perkalian. Operasi-operasi ini dan sifat-sifatnya termasuk dalam definisi konsep bilangan. Semua tindakan lain dibangun dengan satu atau lain cara dari keduanya.
Misalnya saja pengurangan. Apa artinya 5 - 3 ? Siswa akan menjawabnya dengan sederhana: Anda perlu mengambil lima benda, mengambil (menghilangkan) tiga benda dan melihat berapa banyak yang tersisa. Namun ahli matematika melihat masalah ini dengan cara yang berbeda. Tidak ada pengurangan, yang ada hanyalah penambahan. Oleh karena itu entri 5 - 3 berarti angka itu, bila ditambahkan ke suatu angka 3 akan memberikan nomor 5 . Itu adalah 5 - 3 hanyalah versi singkat dari persamaan: x + 3 = 5. Tidak ada pengurangan dalam persamaan ini.
Pembagian dengan nol
Hanya ada tugas - untuk menemukan nomor yang cocok.
Hal yang sama juga berlaku pada perkalian dan pembagian. Catatan 8: 4 dapat dipahami sebagai hasil pembagian delapan benda menjadi empat tumpukan yang sama besar. Namun kenyataannya, ini hanyalah bentuk persamaan yang disingkat 4x = 8.
Di sinilah menjadi jelas mengapa tidak mungkin (atau lebih tepatnya tidak mungkin) membagi dengan nol. Catatan 5: 0 adalah singkatan dari 0x = 5. Artinya, tugasnya adalah mencari bilangan yang jika dikalikan 0 akan memberi 5 . Tapi kita tahu itu jika dikalikan dengan 0 itu selalu berhasil 0 . Ini adalah properti yang melekat pada nol, sebenarnya, bagian dari definisinya.
Suatu bilangan yang jika dikalikan dengan 0 akan memberikan sesuatu selain nol, itu tidak ada. Artinya, masalah kita tidak ada solusinya. (Ya, ini terjadi; tidak semua masalah punya solusinya.) Artinya catatan 5: 0 tidak sesuai dengan angka tertentu, dan tidak berarti apa-apa sehingga tidak ada artinya. Ketidakbermaknaan entri ini diungkapkan secara singkat dengan mengatakan bahwa Anda tidak dapat membagi dengan nol.
Pembaca yang paling perhatian di tempat ini pasti akan bertanya: apakah mungkin membagi nol dengan nol?
Memang persamaannya 0 x = 0 berhasil diselesaikan. Misalnya, Anda dapat mengambil x = 0, dan kemudian kita dapatkan 0 0 = 0. Ternyata 0: 0=0 ? Tapi jangan terburu-buru. Mari kita coba ambil x = 1. Kita mendapatkan 0 1 = 0. Benar? Cara, 0: 0 = 1 ? Tapi Anda dapat mengambil nomor apa saja dan mendapatkannya 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 dll.
Namun jika ada nomor yang cocok, maka kita tidak punya alasan untuk memilih salah satu di antaranya. Artinya, kita tidak bisa mengatakan nomor mana yang sesuai dengan entri tersebut 0: 0 . Dan jika demikian, maka kita terpaksa mengakui bahwa entri ini juga tidak masuk akal. Ternyata nol pun tidak bisa dibagi nol. (DI DALAM analisis matematis Ada kalanya, karena kondisi tambahan dari masalah, seseorang dapat memberikan preferensi pada salah satu dari tersebut pilihan yang memungkinkan solusi persamaan tersebut 0 x = 0; Dalam kasus seperti ini, ahli matematika berbicara tentang “ketidakpastian yang sedang berlangsung”, namun kasus seperti itu tidak terjadi dalam aritmatika.)
Inilah kekhasan operasi pembagian. Lebih tepatnya, operasi perkalian dan bilangan yang terkait dengannya memiliki nol.
Nah, orang yang paling teliti, setelah membaca sejauh ini, mungkin bertanya: mengapa Anda tidak bisa membagi dengan nol, tetapi Anda bisa mengurangi nol? Dalam arti tertentu, di sinilah matematika sebenarnya dimulai. Anda dapat menjawabnya hanya dengan mengenal formal definisi matematika kumpulan angka dan operasinya. Tidak terlalu sulit, tapi entah kenapa tidak diajarkan di sekolah. Namun dalam perkuliahan matematika di universitas, hal inilah yang akan diajarkan pertama-tama kepada Anda.
Fungsi pembagian tidak ditentukan untuk rentang yang pembaginya nol. Bisa dibagi, tapi hasilnya belum pasti
Anda tidak dapat membaginya dengan nol. Matematika kelas 2 sekolah menengah.
Jika ingatan saya benar, maka nol dapat direpresentasikan sebagai nilai yang sangat kecil, sehingga akan ada ketidakterbatasan. Dan sekolah “zero - none” hanyalah penyederhanaan, ada seperti itu matematika sekolah wow berapa banyak). Tapi tidak mungkin tanpa mereka, semuanya akan terjadi pada waktunya.
Masuk untuk menulis balasan
Pembagian dengan nol
Hasil bagi dari pembagian dengan nol tidak ada angka selain nol.
Alasannya di sini adalah sebagai berikut: karena dalam hal ini tidak ada bilangan yang dapat memenuhi definisi hasil bagi.
Mari kita menulis, misalnya,
Berapapun angka yang Anda coba (katakanlah, 2, 3, 7), itu tidak cocok karena:
\[ 2 0 = 0 \]
\[ 3 0 = 0 \]
\[ 7 0 = 0 \]
Apa yang terjadi jika Anda membaginya dengan 0?
dll., tetapi Anda perlu mendapatkan 2,3,7 pada produknya.
Kita dapat mengatakan bahwa masalah pembagian bilangan bukan nol dengan nol tidak ada penyelesaiannya. Namun, suatu bilangan selain nol dapat dibagi dengan bilangan yang mendekati nol sesuai keinginan, dan semakin dekat pembaginya dengan nol, semakin besar hasil bagi. Jadi, jika kita membagi 7 dengan
\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]
lalu kita mendapatkan hasil bagi 70, 700, 7000, 70.000, dst, yang bertambah tanpa batas.
Oleh karena itu, mereka sering mengatakan bahwa hasil bagi 7 dibagi 0 adalah “besar tak terhingga”, atau “sama dengan tak terhingga”, dan tuliskan
\[ 7: 0 = \hingga \]
Arti dari ungkapan ini adalah jika pembaginya mendekati nol dan pembagiannya tetap sama dengan 7 (atau mendekati 7), maka hasil bagi bertambah tanpa batas.
