Pesannya adalah kisah penemuan segitiga Pascal. Definisi segitiga Pascal. Beberapa tugas menarik

Segitiga menakjubkan dari orang Prancis yang hebat

Saya ingat betul seorang profesor yang pernah melakukannya
visi dan mengira dia menjadi gila.
Dia mendatangi saya dalam keadaan panik total.
Sebagai tanggapan, saya hanya mengambil buku dari rak yang ditulis oleh
sekitar empat ratus tahun yang lalu, dan menunjukkan kepada pasien
ukiran kayu yang menggambarkan dengan tepat
apa yang dia bayangkan.
Carl Gustav Jung. Manusia dan simbol-simbolnya.

Ketika saya membaca Pascal, menurut saya
yang saya baca sendiri.
Stendhal

Ungkapan peyoratif “tidak ada orang yang tak tergantikan”, yang sangat disukai oleh para manajer yang tidak kompeten, mungkin cocok jika kita berbicara tentang menggali parit atau membersihkan sampah. Sebaliknya, segala jenis kegiatan yang berkaitan dengan kreativitas akan menunjukkan betapa pentingnya dan keunikan setiap orang. Dan jika menyangkut orang-orang jenius, kita semua harus berterima kasih kepada takdir atas kesempatan untuk menikmati hasil dari aktivitas mereka, atas cahaya yang terpancar dari mereka, yang menerangi jalur perkembangan manusia. Di situs web majalah "Pengetahuan adalah Kekuatan" terdapat pemungutan suara mengenai siapa yang Anda anggap sebagai ilmuwan paling signifikan dalam 2000 tahun terakhir. (http://www.znanie-sila.ru/vote/?id=2 - omong-omong, menarik untuk membandingkan preferensi Anda dengan pilihan mayoritas.) Dan, tentu saja, di antara ilmuwan paling populer kami berhak melihat nama Blaise Pascal (1623 -1662).

Pascal meninggal ketika dia berusia 39 tahun, tetapi meskipun hidupnya singkat, dia tercatat dalam sejarah sebagai ahli matematika, fisikawan, filsuf, dan penulis yang luar biasa. Satuan tekanan (pascal) dan bahasa pemrograman yang sangat luas dinamai menurut namanya oleh keturunannya yang bersyukur. Yang paling populer adalah Turbo Pascal 5.5 untuk DOS, sekarang Borland Pascal 7.0 dan pengembangan lebih lanjut di Delphi. Karya Pascal mencakup berbagai bidang. Dia adalah salah satu pencipta analisis matematis, geometri proyektif, teori probabilitas, hidrostatika (hukum Pascal dikenal luas, yang menurutnya perubahan tekanan dalam fluida diam diteruskan ke titik lain tanpa perubahan), pencipta a alat penghitung mekanis - "roda Pascal" - seperti yang dikatakan orang-orang sezamannya. Pascal mendemonstrasikan bahwa udara memiliki elastisitas, membuktikan bahwa ia memiliki berat, dan menemukan bahwa pembacaan barometer bergantung pada kelembapan dan suhu udara sehingga dapat digunakan untuk memprediksi cuaca.

Beberapa pencapaian praktis Pascal dianugerahi penghargaan tertinggi - saat ini hanya sedikit orang yang mengetahui nama penulisnya. Misalnya, sekarang hanya sedikit orang yang mengatakan bahwa mobil paling biasa adalah penemuan Blaise Pascal. Dia juga mengemukakan ide omnibus - kereta kuda multi-kursi dengan rute tetap - jenis angkutan umum perkotaan reguler pertama. Pada usia enam belas tahun, Pascal merumuskan teorema tentang segi enam yang tertulis di bagian berbentuk kerucut (teorema Pascal). (Diketahui bahwa ia kemudian memperoleh sekitar 400 akibat wajar dari teoremanya.) Beberapa tahun kemudian, Blaise Pascal menciptakan perangkat komputasi mekanis - mesin penjumlahan yang memungkinkan penjumlahan angka dalam sistem bilangan desimal. Di mesin ini, angka-angka ditentukan oleh putaran disk (roda) yang sesuai dengan pembagian digital, dan hasil operasi dapat dibaca di windows - satu untuk setiap digit.

Blaise Pascal dan orang Prancis hebat lainnya, Pierre Fermat, menjadi pendiri teori probabilitas, dan tahun kelahirannya sering disebut 1654, ketika Pascal dan Fermat secara independen memberikan penjelasan yang benar tentang apa yang disebut paradoks pembagian bilangan bulat. bertaruh. Dua pemain memainkan permainan yang "tidak berbahaya" (yaitu, keduanya memiliki peluang menang yang sama), sepakat bahwa pemain pertama yang memenangkan enam permainan akan menerima seluruh hadiah. Anggaplah permainan berhenti sebelum salah satu dari mereka memenangkan hadiah (misalnya, pemain pertama memenangkan lima pertandingan, dan pemain kedua memenangkan tiga pertandingan). Bagaimana cara membagi hadiah secara adil? Meskipun, secara umum, masalah ini bukanlah sebuah paradoks, kegagalan upaya beberapa ilmuwan terkemuka untuk menyelesaikannya, serta jawaban yang salah, telah menciptakan legenda paradoks tersebut. Jadi, menurut satu keputusan, hadiah seharusnya dibagi dengan perbandingan 5:3, yaitu. sebanding dengan permainan yang dimenangkan, menurut yang lain - dalam rasio 2: 1 (di sini alasannya tampaknya dilakukan sebagai berikut: karena pemain pertama memenangkan dua pertandingan lagi, yang merupakan sepertiga dari enam pertandingan yang diperlukan untuk menang, dia harus menerima sepertiga dari hadiah, dan sisanya harus dibagi dua).

Sementara itu, Anda perlu membaginya dengan perbandingan 7:1. Baik Pascal dan Fermat memperlakukan paradoks pembagian taruhan sebagai masalah probabilitas, menetapkan bahwa pembagian yang adil sebanding dengan peluang pemain pertama untuk memenangkan hadiah. Misalkan pemain pertama hanya memiliki satu permainan tersisa untuk dimenangkan, dan pemain kedua perlu memenangkan tiga permainan lagi untuk menang, dan para pemain melanjutkan permainan dan memainkan ketiga permainan tersebut, meskipun beberapa di antaranya ternyata tidak diperlukan untuk menentukan pemenang. . Untuk kelanjutan seperti ini, semua kemungkinan hasil 2 3 = 8 akan memiliki peluang yang sama. Karena pemain kedua menerima hadiah hanya dalam satu hasil (jika dia memenangkan ketiga pertandingan), dan dalam kasus lain pemain pertama menang, rasionya adalah 7:1. (Pascal dan Fermat juga menemukan solusi umum untuk kasus ketika satu pemain untuk menerima Hadiah harus memenangkan n permainan lagi, dan pemain lain harus memenangkan m permainan.)

Tapi mungkin karya matematika Blaise Pascal yang paling terkenal adalah risalahnya tentang "segitiga aritmatika" yang dibentuk oleh koefisien binomial (segitiga Pascal), yang dapat diterapkan dalam teori probabilitas dan memiliki sifat yang mengejutkan dan menghibur. Kami akan mempertimbangkan segitiga ajaib ini; mereka yang ingin memperdalam pengetahuan mereka tentang ilmuwan brilian akan menemukan daftar literatur tentang dia di http://inf.1september.ru/2002/1/france.htm, dan di “Submarine ” http://schools.techno.ru/sch444/MUSEUM/PRES/PL-4-98.htm sebuah kisah menarik tentang Pascal, ayahnya, saudara perempuannya, dan Kardinal Richelieu sendiri.

Segitiga itu akan diminum
Anda memberikannya dengan keras!
Bahkan jika dia adalah seorang parallelepiped,
Jika dia sebuah kubus, dia akan menjadi kutu
V.Vysotsky

Padahal, segitiga Pascal sudah dikenal jauh sebelum tahun 1653, tanggal terbitnya Risalah Segitiga Aritmatika. Jadi, segitiga ini direproduksi pada halaman judul buku teks aritmatika yang ditulis pada awal abad ke-16 oleh Peter Apian, astronom dari Universitas Ingoltstadt. Segitiga juga digambarkan dalam ilustrasi di buku karya ahli matematika Tiongkok terbitan tahun 1303. Omar Khayyam, yang tidak hanya seorang filsuf dan penyair, tetapi juga seorang ahli matematika, mengetahui keberadaan segitiga sekitar tahun 1100, kemudian meminjamnya dari sumber-sumber Cina atau India sebelumnya.

Martin Gardner menulis dalam buku “Mathematical Novels” (M., Mir, 1974): “Segitiga Pascal sangat sederhana sehingga bahkan anak berusia sepuluh tahun pun dapat menuliskannya menggabungkan berbagai aspek matematika yang pada pandangan pertama tidak memiliki kesamaan satu sama lain. Sifat-sifat yang tidak biasa tersebut memungkinkan kita untuk menganggap segitiga Pascal sebagai salah satu skema paling elegan dalam semua matematika."

Misalkan Anda memasuki kota seperti yang ditunjukkan pada diagram dengan panah biru, dan Anda hanya dapat bergerak maju, atau lebih tepatnya, terus-menerus memilih, maju ke kiri, atau maju ke kanan. Node yang hanya dapat dijangkau dengan satu cara ditandai dengan wajah smiley berwarna hijau, titik yang dapat dicapai dengan dua cara ditandai dengan smiley merah, dan tiga titik masing-masing ditandai dengan smiley merah muda. Ini adalah salah satu opsi untuk membangun segitiga, yang diusulkan oleh Hugo Steinhaus dalam "Kaleidoskop Matematika" klasiknya.

Dan struktur segitiga Pascal dijelaskan lebih sederhana lagi dengan kata-kata berikut: setiap bilangan sama dengan jumlah dua bilangan yang terletak di atasnya. Semuanya dasar, tapi banyak keajaiban yang tersembunyi di dalamnya.

Titik sudut segitiga adalah 1. Segitiga tersebut dapat dilanjutkan tanpa batas. Bentuknya simetris terhadap sumbu vertikal yang melewati puncaknya. Sepanjang diagonal (sejauh mana sebuah segitiga dapat memiliki diagonal, tapi jangan berdalih, terminologi seperti itu ditemukan dalam publikasi), sejajar dengan sisi-sisi segitiga (ditandai dengan garis hijau pada gambar), bilangan segitiga dan generalisasinya ke kasus ruang dari semua dimensi dibangun.

Bilangan segitiga dalam bentuk yang paling umum dan familiar menunjukkan berapa banyak lingkaran bersentuhan yang dapat disusun dalam bentuk segitiga - sebagai contoh klasik, susunan awal bola dalam bilyar. Anda dapat melampirkan dua lagi ke satu koin - dengan total tiga - ke dua Anda dapat melampirkan tiga lagi - dengan total enam. Terus menambah baris sambil mempertahankan bentuk segitiga, kita mendapatkan baris 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., yang ditunjukkan oleh garis hijau kedua. Deret menakjubkan ini, yang masing-masing anggotanya sama dengan jumlah deret bilangan asli (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), juga berisi banyak deret familiar yang terkenal di kalangan pecinta matematika: 6 dan 28 adalah bilangan sempurna, 36 adalah bilangan kuadrat, 8 dan 21 adalah bilangan Fibonacci.

Garis hijau berikutnya akan menunjukkan kepada kita angka tetrahedral - kita dapat menempatkan satu bola pada tiga - total empat, di bawah tiga kita dapat menempatkan enam (saring dan bayangkan!) - total sepuluh, dan seterusnya. Anda dapat membaca lebih lanjut tentang bilangan segitiga di Hard"n"Soft No. 4 2002 di artikel "Kelinci Kanibal, Quatrain dan Cadangan Barisan" juga tersedia di Semangka.

Dan garis hijau berikutnya (1, 5, 15, 35,...) akan menunjukkan upaya untuk meletakkan hipertetrahedron dalam ruang empat dimensi - satu bola menyentuh empat, dan mereka, pada gilirannya, menyentuh sepuluh... Di dunia kita ini tidak mungkin, hanya dalam empat dimensi, virtual. Terlebih lagi, tetrahedron lima dimensi, yang dibuktikan dengan garis hijau berikutnya, hanya bisa ada dalam penalaran para ahli topologi.

Tapi apa yang ditunjukkan oleh garis hijau atas, tempat bilangan-bilangan deret natural berada? Ini juga merupakan bilangan segitiga, tetapi satu dimensi, menunjukkan berapa banyak bola yang dapat diletakkan di sepanjang garis - sebanyak yang ada, letakkan sebanyak-banyaknya. Jika kita sampai ke akhir, maka baris paling atas juga merupakan bilangan segitiga dalam ruang berdimensi nol - tidak peduli berapa banyak bola yang kita ambil, kita tidak akan dapat menempatkan lebih dari satu, karena tidak ada tempat - tidak ada tidak ada panjang, tidak ada lebar, tidak ada tinggi.

Sekilas melihat segitiga Pascal saja sudah cukup untuk melihat fakta menarik berikut ini: 10 inti dapat dilipat baik dalam bentuk tetrahedron maupun dalam bentuk segitiga datar. Dan 56 hipernuklei yang membentuk tetrahedron dalam ruang lima dimensi dapat disusun dalam tetrahedron tiga dimensi yang biasa kita kenal, namun, jika kita mencoba membuat segitiga dari 56 inti, maka satu inti akan tetap tersisa.

Bagaimana kita menggambar segitiga Pascal untuk dimainkan dengannya? Yang terbaik adalah menggunakan ide yang kami pertimbangkan ketika memprogram kehidupan heksagonal di Hard"n"Soft No. 5 2002 (di Arbuz), yaitu, array dua dimensi biasa diambil, tetapi ketika ditampilkan di layar, baris-barisnya adalah digeser setelah satu - baris genap ke kanan sebanyak seperempat langkah, baris ganjil ke kiri sebanyak seperempat langkah, dan kemudian baris-baris tersebut digeser setengah langkah, yang menghasilkan struktur bidang heksagonal dengan larik persegi panjang. Dan array dua dimensi membuatnya sangat mudah untuk dikerjakan, menentukan tindakan pada sel dalam satu lingkaran dalam baris dan baris.

Redupkan a(100, 100) Sebagai Radius Redup Ganda Sebagai Byte, i Sebagai Byte, kol Sebagai Byte Dim sdvig Sebagai Integer, X Sebagai Integer, Y Sebagai Integer, X1 Sebagai Integer, Y1 Sebagai Integer Private Sub Form_Load() Untuk Y = 1 To kol For X = 1 To kol a(X, Y) = 0 Next X Next Y radius= 5" radius sel dalam piksel kol = 20 " Jumlah baris a(Int(kol / 2), 0) = 1 " pertama unit , dari mana segitiga tumbuh DrawWidth = 1 "Ketebalan garis Untuk Y = 0 Ke kol Untuk X = 1 Ke kol sdvig = radius / 2 * (-1) ^ Y " Geser setiap baris ke kiri, lalu ke kanan Jika Y > 0 Maka Jika sdvig > 0 Maka a(X, Y) = a(X + 1, Y - 1) + a(X - 0, Y - 1) Lain a(X, Y) = a(X + 0 , Y - 1 ) + a(X - 1, Y - 1) Berakhir Jika Berakhir Jika X1 = 60 + X * radius * 2 + sdvig Y1 = 10 + Y * radius * 1,7 Jika a(X, Y) > 0 Maka ForeColor = RGB( 0,0,0) PSet (X1, Y1), RGB(255.255.255) Print a(X, Y) End If Next X Next Y " Keluar dari program Private Sub Exit_Click() End End Sub

Setelah bermain-main selama beberapa menit, Anda akan diberi hadiah berupa segitiga yang muncul di layar dan, oleh karena itu, Anda siap untuk eksperimen tidak biasa yang akan datang. (Anda tidak boleh menentukan terlalu banyak baris, karena dari baris 13-14 angka empat dan lima digit mulai muncul di tengah, menyatu dengan baris yang berdekatan dan gambar menjadi buram. Tentu saja Anda dapat menambah sel radius dan perkecil fontnya, tapi tetap saja, angka di tengah segitiga bertambah dengan cepat dan akan menyatu, meskipun beberapa baris lebih rendah.)

Tapi pertama-tama, beberapa sifat menarik dari segitiga Pascal. Untuk mencari jumlah bilangan pada diagonal mana pun dari awal sampai tempat yang kita minati, lihat saja bilangan yang terletak di bawah dan di sebelah kiri suku terakhir. (di sebelah kiri untuk diagonal kanan, untuk diagonal kiri di sebelah kanan, dan secara umum - lebih dekat ke tengah segitiga). Misalkan kita ingin menghitung jumlah bilangan pada deret natural dari 1 sampai 9. “Turun” secara diagonal ke bilangan 9, kita akan melihat bilangan 45 di kiri bawahnya jumlah yang diperlukan. Berapa jumlah delapan bilangan segitiga pertama? Kami menemukan angka kedelapan pada diagonal kedua dan bergerak ke bawah dan ke kiri. Jawaban: 120. Tapi omong-omong, 120 adalah bilangan tetrahedral. Oleh karena itu, dengan mengambil semua bola yang menyusun 8 segitiga pertama, kita dapat membentuk tetrahedron. Cobalah dengan ceri atau apel dengan ukuran yang sama, tapi jangan mencoba masuk ke dimensi keempat bersamanya, mereka mungkin hilang.

Jumlah angka-angka di sepanjang diagonal yang turun tidak terlalu tajam (ditandai dengan garis merah pada gambar) membentuk deret Fibonacci, yang dikenal oleh pembaca biasa. Lihat, misalnya, artikel “Kelinci Kanibal, Quatrains…” yang disebutkan di atas atau berbagai materi tentang Semangka.

Namun pada publikasi sebelumnya kami tidak membicarakan fakta bahwa bilangan Fibonacci sering muncul dalam soal kombinatorial. Perhatikan deretan n kursi. Dalam berapa cara laki-laki dan perempuan dapat duduk di atasnya sehingga tidak ada dua perempuan yang duduk bersebelahan? Jika n=1, 2, 3, 4, ... banyaknya cara berturut-turut adalah 2, 3, 5, 8, ..., artinya bertepatan dengan bilangan Fibonacci. Pascal rupanya tidak mengetahui bahwa angka Fibonacci tersembunyi di dalam segitiganya. Keadaan ini baru ditemukan pada abad ke-19. Angka-angka pada garis mendatar segitiga Pascal merupakan koefisien binomial, yaitu koefisien muai (x+y) n pangkat x dan y. Misalnya, (x+y) 2 =x 2 +2xy+y 2 dan (x+y) 3 =x 3 +3x 2 y+3xy2+y 3. Koefisien muai 1, 2, 2 berada pada baris kedua, dan 1, 3, 3, 1 berada pada baris ketiga segitiga. Untuk mencari koefisien muai (x+y) n, lihat saja baris ke-n segitiga tersebut. Sifat dasar segitiga Pascal inilah yang menghubungkannya dengan kombinatorik dan teori probabilitas, menjadikannya sarana yang mudah untuk melakukan perhitungan.

Misalkan (contoh dari Martin Gardner) seorang syekh tertentu, dengan mengikuti hukum keramahtamahan, memutuskan untuk memberikan Anda tiga dari tujuh istrinya. Berapa banyak pilihan berbeda yang dapat Anda buat di antara penghuni harem cantik? Untuk menjawab pertanyaan menarik ini, Anda hanya perlu mencari bilangan di perpotongan diagonal 3 dan garis 7: ternyata sama dengan 35. Jika, karena kegirangan, Anda bingung antara diagonal dan bilangan garis lalu mencari bilangan tersebut berada pada perpotongan diagonal 7 dengan garis 3, maka didapati keduanya tidak berpotongan. Artinya, metode itu sendiri tidak memungkinkan Anda melakukan kesalahan!

Secara umum, bilangan yang menunjukkan banyaknya cara n elemen dapat dipilih dari himpunan yang berisi r elemen berbeda terletak pada perpotongan diagonal ke-n dan baris ke-r. Dan sekali lagi, bagi mereka yang setidaknya memahami sesuatu. Banyaknya kemungkinan kombinasi n elemen dengan m ditentukan oleh rumus

Dimana n!=1*2*3*4*....*n disebut faktorial dari bilangan n. Dan tiga istri yang sama dari tujuh dapat dipilih dengan berbagai cara: C 3 7 =7!/3!/4!=1*2*3*4*5*6*7/1*2*3/1 *2*3 *4=5040/6/24=35, yang kita dapatkan sebelumnya. Dan nilai koefisien binomial ditentukan oleh rumus dan, seperti yang telah kita ketahui, nilai tersebut adalah baris-baris segitiga Pascal, yang secara tidak dapat dipahami menghubungkan segitiga ini dengan kombinatorik dan perluasan binomial dalam pangkat.

Omong-omong, dari rumus kombinasi dapat disimpulkan bahwa banyaknya pilihan untuk memilih tiga dari tujuh sama dengan banyaknya pilihan untuk memilih empat dari tujuh, atau, banyaknya pilihan untuk mengisi kartu Sportloto 5 dari 36 sama dengan jumlah pilihan 31 dari 36, pikirkan tentang subjek yang menyenangkan ini.

Hubungan antara kombinatorik dan teori probabilitas menjadi jelas jika kita mempertimbangkan delapan kemungkinan hasil pelemparan tiga koin: GGG, GGR, GRG, RGG, RGR, RRG, RRR. Tidak sulit untuk melihat bahwa tiga lambang muncul hanya dalam satu kasus, dua lambang dalam tiga kasus, satu lambang dalam tiga kasus, dan tidak ada lambang dalam satu kasus. Banyaknya ujian yang disukai untuk mendapat 3, 2, 1 dan 0 lambang adalah 1, 3, 3, 1. Ini adalah bilangan-bilangan yang muncul pada baris ketiga segitiga Pascal. Sekarang misalkan kita ingin mengetahui probabilitas terambilnya tepat 5 lambang ketika melempar 10 koin secara bersamaan. Pertama-tama, kita perlu menghitung berapa banyak cara berbeda untuk memilih 5 koin dari 10. Kita mendapatkan jawabannya dengan mencari angka pada perpotongan diagonal ke-5 dan garis ke-10. Jumlahnya sama dengan 252. Dengan menjumlahkan semua angka pada baris ke-10, kita mendapatkan jumlah kemungkinan hasil; perhitungan dapat dikurangi jika kita menggunakan properti koefisien binomial berikut: jumlah koefisien binomial (x+y) ) n, dan merekalah yang berdiri di n Baris ke-th segitiga Pascal sama dengan 2 n. Memang, jumlah angka-angka pada setiap baris segitiga adalah dua kali lebih besar dari jumlah angka-angka pada baris sebelumnya, karena ketika membuat setiap baris, angka-angka pada baris sebelumnya dihilangkan dua kali. Jumlah bilangan pada baris pertama (paling atas) sama dengan 1. Jadi, jumlah bilangan pada baris-baris segitiga Pascal membentuk barisan geometri dengan suku pertama sama dengan 1 dan penyebut 2: 1, 2, 4, 8, .... Pangkat kesepuluh dari 2 adalah 1024. Jadi, peluang terambilnya lima emblem ketika melempar 10 koin adalah 252/1024= 63/256. Mereka yang ingin mempelajari lebih lanjut tentang hubungan antara segitiga Pascal dan kombinatorika dapat mengunjungi halaman http://combinatorica.narod.ru/third.html.

Segitiga Pascal berbentuk dua dimensi dan terletak pada suatu bidang. Sabun muncul tanpa disengaja - tetapi apakah mungkin untuk memperluas polanya ke analog tiga dimensi (dan empat...)? Ternyata itu mungkin! Artikel oleh O. V. Kuzmin (http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/1006.html) membahas analog tiga dimensi dari sebuah segitiga - piramida Pascal, hubungannya dengan koefisien trinomial dan memberikan contoh proses yang seperti itu model dapat mencerminkan.

Sekarang, akhirnya, kita beralih ke sifat segitiga Pascal yang paling menarik dan mengejutkan. Mari kita ganti setiap angka dalam segitiga Pascal dengan sebuah titik. Selain itu, kami akan menampilkan titik ganjil dengan warna kontras, dan titik genap dengan warna transparan atau latar belakang. Hasilnya akan sangat mengejutkan: Segitiga Pascal akan pecah menjadi segitiga-segitiga yang lebih kecil, membentuk pola yang elegan. Pola-pola ini penuh dengan banyak kejutan. Saat kita menjauh dari titik puncak, kita akan menemukan segitiga-segitiga yang ukurannya semakin besar, tidak mengandung satu titik tebal pun, yaitu, “terdiri” hanya dari bilangan genap. Pada titik sudut segitiga Pascal terdapat segitiga “tersembunyi” yang terdiri dari satu titik tunggal, kemudian terdapat segitiga yang memuat 6, 28, 120, 496,… titik. Tiga dari angka-angka ini - 6, 28 dan 496 - diketahui sempurna karena masing-masing angka tersebut sama dengan jumlah semua pembaginya selain angka itu sendiri. Misalnya, 6=1+2+3. Tidak diketahui apakah ada bilangan sempurna yang jumlahnya tak terhingga, atau apakah ada satu bilangan sempurna ganjil. Anda dapat membaca lebih lanjut tentang angka sempurna di Semangka.

Mari kita sajikan sebuah program yang mengimplementasikan pewarnaan suatu segitiga sesuai dengan paritas setiap bilangan segitiga tersebut. Alih-alih nilai suatu bilangan, sebagai gantinya digambar sebuah lingkaran, diisi dengan warna hitam untuk nilai ganjil dan putih untuk nilai genap.

Redupkan a(100, 100) Sebagai Radius Redup Ganda Sebagai Byte, i Sebagai Byte, kol Sebagai Byte Dim sdvig Sebagai Integer, X Sebagai Integer, Y Sebagai Integer, X1 Sebagai Integer, Y1 Sebagai Integer Private Sub Form_Load() Untuk Y = 1 To kol For X = 1 To kol a(X, Y) = 0 Next X Next Y radius = 5 " radius sel dalam piksel kol = 20 " Jumlah baris a(Int(kol / 2), 0) = 1 " pertama unit , dari mana segitiga tumbuh DrawWidth = 1 "Ketebalan garis Untuk Y = 0 Ke kol Untuk X = 1 Ke kol sdvig = radius / 2 * (-1) ^ Y " Geser setiap baris ke kiri, lalu ke kanan Jika Y > 0 Maka Jika sdvig > 0 Maka a(X, Y) = a(X + 1, Y - 1) + a(X - 0, Y - 1) Lain a(X, Y) = a(X + 0 , Y - 1 ) + a(X - 1, Y - 1) Berakhir Jika Berakhir Jika X1 = 60 + X * radius * 2 + sdvig Y1 = 10 + Y * radius * 1,7 FillStyle = 0 FillColor = RGB(255,255,255) " Isi warna Jika a (X, Y) > 0 Maka Jika a(X, Y) Mod 2 = 1 Maka FillColor = RGB(0,0,0) Lingkaran (X1, Y1), radius, RGB(90, 90, 90 ) Akhir Jika Akhir Jika Berikutnya X Berikutnya Y Akhir Sub " Keluar dari program Private Sub Exit_Click() End End Sub

Paritas suatu bilangan dapat dengan mudah ditentukan dengan membandingkan sisa pembagian dua dengan nol; untuk bilangan genap sisanya adalah nol, untuk bilangan ganjil sisanya adalah satu. Dan untuk menentukan sisanya, Anda dapat menggunakan fungsi Mod yang tersedia di hampir semua bahasa pemrograman. Jika Anda terlalu malas untuk memprogram, tetapi pasti ingin melihat keajaiban ini, kunjungi http://www.informika.ru/text/inftech/edu/edujava/mathematics/Pascal/Pascal.html dan Anda akan menemukannya di sana applet yang menggambar segitiga Pascal dengan titik-titik dengan mempertimbangkan paritas.

Ada juga link ke kode sumber di Java, Anda dapat memahami dan memperbaikinya sesuai kebijaksanaan Anda sendiri. Pecinta matematika akan langsung terpesona oleh “fraktalitas” objek yang dihasilkan, atau lebih tepatnya, kita hanya melihat “Segitiga Sierpinski”, analog dari “Karpet Sierpinski” yang terkenal. Model-model ini, bersama dengan “Koch Snowflake” dan set Mandelbrot dan Julie, menjadi sangat populer dalam beberapa tahun terakhir karena kegemaran terhadap fraktal dan sinergis. Mari kami jelaskan secara singkat untuk pemula.

Dari master matematika populer Martin Gardner kita menemukan bahwa pada tahun 1905, pada Olimpiade Matematika tahunan di Hongaria, masalah berikut diajukan: “Sebuah persegi dibagi menjadi 9 bagian (seperti untuk permainan tic-tac-toe) dan persegi pusat dihilangkan. Kemudian masing-masing dari 8 persegi yang tersisa dibagi menjadi 9 bagian, persegi pusat dihilangkan dan prosedur ini diulangi berkali-kali. Carilah batas luas bangun yang dihasilkan.” Jadi - gambar yang dihasilkan adalah karpet Sierpinski - persegi tersebut penuh dengan lubang sehingga sudah mendekati garis. Segitiga yang kita lihat dapat diperoleh dengan cara yang sama - awalnya, titik tengah sisi-sisi segitiga dihubungkan dan segitiga yang dihasilkan dihilangkan.

Pada tahap kedua, operasi yang sama dilakukan dengan tiga segitiga yang tersisa, kemudian dengan sembilan segitiga yang tersisa, dan seterusnya. Dapatkah kamu menemukan batas kecenderungan luas yang tersisa? Dan bagaimana menjelaskan kebetulan kedua model tersebut?

Penulis halaman http://chaos.h1.ru/ChaosAndFractals/1/ mengusulkan untuk segera membangun segitiga Pascal dengan mengisinya bukan dengan angka, tetapi dengan nol atau satu sesuai aturan: jumlah dua nol atau dua satu menghasilkan nol (yaitu, jumlah dua bilangan genap atau dua bilangan ganjil selalu genap), dan jumlah nol dan satu menghasilkan satu (seperti jumlah bilangan genap dengan bilangan ganjil). Teknik ini akan memungkinkan kita untuk membangun segitiga besar yang sewenang-wenang, dan ketika mengisinya dengan bilangan “nyata”, kita mungkin menghadapi batasan pada representasi mesin dari bilangan, dan fakta bahwa fungsi Mod mulai gagal pada batas bilangan yang dinyatakan. sebagai Ganda. Penulis halaman yang disebutkan juga mengusulkan untuk mengatur segitiga sebagai array dua dimensi (seperti yang kami lakukan) dan menggunakan bidangnya untuk memodelkan Cellular Automata, seperti yang kami lakukan di artikel tentang game Life (di Semangka) , meskipun tanpa membatasi bidang menjadi segitiga.

Kami melanjutkan - kami mencoba memeriksa bukan paritasnya, tetapi sisa pembagian dengan angka lain, dan setiap kali kami terkejut dengan kemunculan segitiga. Setelah bermain sebentar, kita akan melihat bahwa ketika Anda mengatur angka yang kami periksa untuk dibagi menjadi sederhana, Anda mendapatkan ornamen indah dengan pola yang jelas (coba atur 3, 5, 7, 11, 13, 17.. .), dan ketika dibagi dengan bilangan komposit, ornamen tersebut berantakan, namun tetap menjaga simetri dan keteraturan dalam pergantian pola. Selain itu, semakin banyak pembagi yang dimiliki bilangan yang diuji (misalnya, 12 habis dibagi 2, 3, 4, dan 6), maka polanya akan semakin “kabur”.

Perhatikan sebuah segitiga yang dibangun “relatif” terhadap bilangan 7, yaitu bilangan yang tidak habis dibagi 7 tanpa sisa digambar dengan warna hitam, bilangan yang habis dibagi digambar dengan warna putih, dan coba lihat polanya.

Bagi mereka yang ingin mempelajari lebih dalam hubungan antara kombinatorik, teori probabilitas, dan segitiga Pascal, kami merekomendasikan artikel Gregory J. Chaitin "Randomness in Arithmetic" dari jurnal IN THE WORLD OF SCIENCE. (Ilmiah Amerika. Edisi dalam bahasa Rusia). 9 1988, terletak di http://grokhovs2.chat.ru/arith/arith.html, tapi untuk saat ini kita akan melakukan sesuatu yang baru - mari kita coba mewarnai segitiga Pascal. Untuk melakukan ini, kami akan menetapkan tiga variabel (r,g,b), masing-masing bertanggung jawab, untuk komponen merah, hijau dan biru dari pewarnaan sel dan mengikat nilainya (maksimumnya bisa sama dengan 255) untuk memeriksa pembagiannya dengan nomor yang berbeda. Pada daftar program di atas, warna merah masih bergantung pada paritas bilangan, warna hijau bergantung pada habis dibagi 9, dan warna biru bergantung pada habis dibagi 11. Berbagai varian eksperimen ditandai dengan apostrof sebagai komentar, Anda dapat "menghidupkannya kembali" atau membuat " nomor kontrol" Anda sendiri dan corak warnanya.

Redupkan a(100, 100) Sebagai Radius Redup Ganda Sebagai Byte, i Sebagai Byte, kol Sebagai Byte Dim sdvig Sebagai Integer, X Sebagai Integer, Y Sebagai Integer, X1 Sebagai Integer, Y1 Sebagai Integer Private Sub Form_Load() Untuk Y = 1 To kol For X = 1 To kol a(X, Y) = 0 Next X Next Y radius = 5 " radius sel dalam piksel kol = 20 " Jumlah baris a(Int(kol / 2), 0) = 1 " pertama unit , dari mana segitiga tumbuh DrawWidth = 1 "Ketebalan garis Untuk Y = 0 Ke kol Untuk X = 1 Ke kol sdvig = radius / 2 * (-1) ^ Y " Geser setiap baris ke kiri, lalu ke kanan Jika Y > 0 Maka Jika sdvig > 0 Maka a(X, Y) = a(X + 1, Y - 1) + a(X - 0, Y - 1) Lain a(X, Y) = a(X + 0 , Y - 1 ) + a(X - 1, Y - 1) Berakhir Jika Berakhir Jika X1 = 60 + X * radius * 2 + sdvig Y1 = 10 + Y * radius * 1.7 FillStyle = 0 r = 0: g = 0 : b = 0 Jika a(X, Y) > 0 Maka Jika (a(X, Y) - Int(a(X, Y) / 2) * 2) = 0 Maka r = 250 "Jika (a(X, Y) / 4 ) - Int(a(X, Y) / 4) = 0 Maka r = 120 "Jika (a(X, Y) / 8) - Int(a(X, Y) / 8) = 0 Maka r = 180 " Jika (a(X, Y) / 16) - Int(a(X, Y) / 16) = 0 Maka r = 250 "Jika (a(X, Y) / 3) - Int(a( X, Y) / 3) = 0 Maka g = 60 Jika (a(X, Y) / 9) - Int(a(X, Y) / 9) = 0 Maka g = 250 "Jika (a(X, Y ) / 7) - Int(a(X, Y) / 7) = 0 Maka g = 180 "Jika (a(X, Y) / 5) - Int(a(X, Y) / 5) = 0 Maka g = 250 Jika ( a(X, Y) / 11) - Int(a(X, Y) / 11) = 0 Maka b = 250 "Jika (a(X, Y) / 13) - Int(a(X, Y) / 13 ) = 0 Maka b = 120 "Jika (a(X, Y) / 17) - Int(a(X, Y) / 17) = 0 Maka b = 180 "Jika (a(X, Y) / 19) - Int(a(X, Y) / 19) = 0 Maka b = 250 ForeColor = RGB(r, g, b) FillColor = RGB(r, g, b) " Isi warna Lingkaran (X1, Y1) , radius, RGB (90, 90, 90) Berakhir Jika Berikutnya X Berikutnya Y " Keluar dari program Private Sub Exit_Click() End End Sub

Dan inilah hasil dari program tersebut. Bukankah itu indah? "Zona Sierpinski" segitiga merah terlihat, yang, ditumpangkan pada jendela hijau dari sembilan, menghasilkan zona kuning, dan dengan area biru dari pembagian 11 menghasilkan area ungu. Belum jelas apakah keindahan ini memiliki arti praktis selain pola untuk kertas dinding, namun keajaiban dapat diharapkan dari segitiga Pascal, terutama segitiga berwarna, mungkin dalam waktu dekat. Dan ini pilihan pewarnaan lainnya, dibuat sesuai algoritma

R = a(x, y) / 3 Mod 255 g = a(x, y) / 2 Mod 255 b = a(x, y) / 4 Mod 255

Lihat gambarnya, coba kaitkan dengan algoritmanya, atau lebih baik lagi, coba versi Anda sendiri. Artikel http://www.webbyawards.ru/pcworld/2001/07/130_print.htm menyarankan penggunaan rekursi untuk membuat segitiga Pascal. Apa itu rekursi dan seberapa optimalnya untuk pemrograman dapat ditemukan di http://arbuz.ferghana.ru/z_vetki.htm. Di halaman http://hcinsu.chat.ru/algoritm/mathem/binom.html dan http://dkws.narod.ru/math/tpas.html Anda akan menemukan program untuk membuat segitiga Pascal, dan di halaman http ://galibin.chat.ru/Java/Pascal/index.html ada juga applet yang menggambarnya di layar, namun Anda sekarang sudah bersenjata lengkap, tetapi halaman ini dapat memberi Anda ide-ide baru.

Ada juga artikel bagus tentang segitiga Pascal oleh A. Kolesnikov, pemimpin kolom pemrograman menghibur di Computer News, di http://www.kv.by/index2002151201.htm. Kami memulai pertimbangan kami tentang segitiga Pascal dengan opsi pergerakan, dan kami akan menyelesaikannya. Ada sebuah buku di halaman yang didedikasikan untuk teka-teki Evgenia Gika "Catur dan Matematika". Dalam bab yang membahas tentang geometri papan catur (http://golovolomka.hobby.ru/books/gik/05.shtml), penulis memberikan contoh luar biasa di mana pengetahuan tentang opsi rute raja memungkinkan para master untuk mempertahankan posisi yang benar-benar hilang. (Studi terkenal yang dilakukan oleh Reti diperlihatkan, di mana raja secara ajaib berhasil bertarung di dua bagian papan yang berlawanan.) Dan hubungannya dengan topik kita adalah bahwa jumlah pilihan rute raja untuk mencapai setiap kotak mematuhi hukum segitiga Pascal! Lihat diagramnya, seperti yang mereka katakan di buku teks catur. Dan gunakan itu di permainan akhir Anda.

Dan pertanyaan terakhir, berkaitan dengan segitiga Pascal dan catur. Berapa jumlah semua bilangan di atas baris mana pun? Pertimbangkan sendiri jumlah ini, mulai dari atas, dan Anda akan melihat nilai 1, 3, 7, 15, 31,... Anda tidak perlu banyak imajinasi untuk melihat pola sederhana: jumlah dari semua bilangan untuk n baris adalah 2 n -1. Dan apa hubungannya catur dengan itu? Menurut legenda terkenal, Raja menjanjikan kepada pencipta catur imbalan apa pun yang dimintanya. Ketika pecatur pertama meminta untuk menaruh satu butir gandum di kotak pertama papan, dua butir di kotak kedua, empat di kotak ketiga, dan seterusnya, terus digandakan, hingga kotak ke-64, sang Raja malah tersinggung. pertama karena sedikitnya imbalan yang diminta. Ketika pemilik toko memperkirakan jumlah yang diminta, ternyata biji-bijian ini dapat menutupi seluruh bumi setinggi lutut; ini jauh lebih banyak daripada yang telah dan akan dikumpulkan dalam seluruh hasil panen umat manusia. (Omong-omong, Anda bisa memperkirakan tinggi lapisan butiran, mengingat volume butiran, misalnya 1 mm 3, dikalikan 2 64, tentu dikurangi 1 dan dibagi dengan luas permukaan bumi.) Jadi - pada setiap kotak di papan akan ada sejumlah butir yang sama dengan jumlah angka-angka pada baris segitiga Pascal yang bersesuaian, dan jumlah semua butir pada n sel pertama akan sama dengan jumlah dari angka pada n baris segitiga ajaib ini. Dengan fantasi yang melimpah ini kita akan menyimpulkan pertimbangan kita.

numerik segitiga Pascal

Ada satu unit di garis atas segitiga. Di baris yang tersisa, setiap angka adalah jumlah dari dua tetangganya di lantai atas - ke kiri dan ke kanan. Jika ada tetangga yang hilang maka dianggap nol. Segitiga itu memanjang ke bawah tanpa batas; kami hanya menyajikan delapan baris teratas: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 ...

Mari kita nyatakan dengan huruf n nomor garis segitiga, dan dengan huruf k jumlah nomor pada garis tersebut (penomoran dimulai dalam kedua kasus dari nol). Paling sering, angka di baris ke-n dan di tempat ke-k pada baris ini dilambangkan dengan C n k , lebih jarang - n k .

Sebutkan beberapa fakta terkait segitiga Pascal.

Bilangan pada baris ke-n segitiga tersebut adalah koefisien binomial, yaitu koefisien pada pemuaian derajat ke-n binomial Newton: a + b n = ∑ k = 0 n C n k ⁢ a k ⁢ b n − k .

Jumlah semua bilangan pada baris ke-n sama dengan pangkat dua ke-n: ∑ k = 0 n C n k = 2 n . Rumus ini didapat dari rumus binomial jika kita masukkan a = b = 1.

Rumus eksplisit untuk menghitung koefisien binomial dapat dibuktikan: C n k = n ! oke! ⁢ n − k ! .

Jika baris-baris dalam segitiga Pascal sejajar ke kiri, maka jumlah bilangan-bilangan yang terletak sepanjang diagonal dari kiri ke kanan dan dari bawah ke atas adalah sama. Angka Fibonacci- 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 … (setiap bilangan pada barisan ini sama dengan jumlah dua bilangan sebelumnya, dan dua bilangan mengawali barisan): 1 ⬃ 1 2 1 ⬃ ⬃ 3 5 1 1 ⬃ ⬃ 8 13 1 2 1 ⬃ ⬃ 21 34 1 3 3 1 ⬃ ⬃ 55 89 1 4 6 4 1 ⬃ ⬃ 144 233 1 5 10 10 5 1 ⬃ ⬃ 377 610 1 6 15 20 15 6 1 ⬃ ⬃ 987 1597 1 7 21 35 35 21 7 1 ⬃ ⬃ 2584 4181 … ⬃ ⬃

Jika bilangan ganjil pada segitiga Pascal diwarnai dengan satu warna, dan bilangan genap dengan warna lain, maka diperoleh gambar berikut (pada Gambar 10.1. “Segitiga Pascal-Sierpinski” bilangan pada 128 baris pertama diwarnai dengan cara ini) :

Gambar serupa dapat dibuat sebagai berikut. Pada segitiga yang diarsir, cat ulang segitiga tengahnya (dibentuk oleh titik tengah sisi segitiga aslinya) dengan warna berbeda. Tiga segitiga kecil yang terletak di sudut segitiga besar akan tetap dicat dengan warna yang sama. Mari kita lakukan masing-masing dengan cara yang persis sama seperti yang kita lakukan dengan yang besar, yaitu mewarnai ulang segitiga tengah di masing-masingnya. Kami akan melakukan hal yang sama dengan sisa segitiga warna lama. Jika prosedur ini diulangi tanpa batas waktu, gambar dua warna akan tetap berada di tempat segitiga aslinya. Bagian yang tidak dicat ulang disebut Segitiga Sierpinski. Beberapa tahap pertama pembuatan segitiga Sierpinski ditunjukkan pada gambar 10.2. "Pembangunan segitiga Sierpinski".

Properti penting dari segitiga Sierpinski adalah miliknya kesamaan diri- lagipula, ia terdiri dari tiga salinan dirinya sendiri, dikurangi setengahnya (ini adalah bagian dari segitiga Sierpinski, terdapat dalam segitiga kecil yang berdekatan dengan sudut). Kesamaan diri merupakan salah satu sifat yang khas fraktal , yang akan kita bicarakan di bab ini 44. " L-sistem". Segitiga Sierpinski juga akan disebutkan dalam bab ini.

Kita membaca tentang hubungan misterius antara segitiga Pascal dan bilangan prima dalam catatan singkat karya Yu Matiyasevich. Mari kita ganti angka-angka pada segitiga Pascal dengan sisa pembagiannya dengan nomor baris. Mari kita susun garis-garis pada segitiga yang dihasilkan sehingga baris berikutnya dimulai dua kolom di sebelah kanan awal kolom sebelumnya (lihat Gambar 10.3. “Hubungan segitiga Pascal dengan bilangan prima”). Maka kolom dengan bilangan prima hanya akan terdiri dari nol, dan kolom dengan bilangan komposit akan berisi bilangan bukan nol.

Koefisien binomial adalah koefisien perluasan (1 + x)n pangkat x (yang disebut binomial Newton): Dengan kata lain, (1 + x)n adalah fungsi pembangkit koefisien binomial. Nilai koefisien binomial ditentukan untuk semua bilangan bulat... ... Wikipedia

Segitiga (arti)- Wiktionary memiliki artikel “segitiga” Segitiga dalam arti luas adalah suatu benda yang berbentuk segitiga, atau tiga benda yang dihubungkan berpasangan... Wikipedia

SEGITIGA PASCAL- tabel angka yang merupakan koefisien binomial. Pada tabel ini, terdapat bilangan-bilangan yang terletak pada sisi-sisi segitiga sama kaki, dan masing-masing bilangan yang tersisa sama dengan jumlah dua bilangan di atasnya di kiri dan kanan: Pada garis bernomor n+1... .. . Ensiklopedia Matematika

Segitiga Sierpinski- Fraktal segitiga Sierpinski, salah satu analog dua dimensi dari himpunan Cantor, diusulkan oleh ahli matematika Polandia Sierpinski ... Wikipedia

Segitiga Reuleaux- Konstruksi segitiga Reuleaux Segitiga Reuleaux [* 1] diwakili oleh ... Wikipedia

segitiga Pascal- tabel numerik segitiga untuk menyusun koefisien binomial (lihat binomial Newton). P. t. diusulkan oleh B. Pascal (Lihat Pascal). Lihat Segitiga aritmatika...

Segitiga aritmatika- Segitiga Pascal, tabel numerik segitiga untuk menyusun koefisien binomial (lihat binomial Newton). Di sisi A. t. ada satuan, di dalam jumlah dua angka teratas. Pada baris ke (n + 1) dari koefisien binomial A.T. Ensiklopedia Besar Soviet

SEGITIGA ARITMATIK- sama dengan segitiga Pascal... Ensiklopedia Matematika

Koefisien binomial- Dalam matematika, koefisien binomial adalah koefisien pemuaian binomial Newton pangkat x. Koefisien untuk dilambangkan atau dan dibaca “koefisien binomial dari n ke k” (atau “ze dari n ke k”): Dalam ... Wikipedia

Koefisien binomial- koefisien ekspansi (1 + x)n pangkat x (yang disebut binomial Newton): Dengan kata lain, (1 + x)n adalah fungsi pembangkit koefisien binomial. Nilai koefisien binomial ditentukan untuk semua bilangan bulat n dan k. Rumus eksplisit... Wikipedia

Buku

• segitiga Pascal. Buku 102, V.A.Uspensky. Kuliah ini membahas salah satu tabel numerik penting (yang disebut segitiga Pascal), berguna dalam menyelesaikan sejumlah masalah komputasi. Seiring dengan penyelesaian masalah seperti itu... Beli seharga 211 UAH (khusus Ukraina)
• segitiga Pascal. Buku No. 102, V.A. Uspensky. Kuliah ini membahas salah satu tabel numerik penting (yang disebut segitiga Pascal), berguna dalam menyelesaikan sejumlah masalah komputasi. Seiring dengan pemecahan masalah seperti itu...

Kemajuan umat manusia sebagian besar terkait dengan penemuan-penemuan yang dilakukan oleh para genius. Salah satunya adalah Blaise Pascal. Biografi kreatifnya sekali lagi menegaskan kebenaran ungkapan Lion Feuchtwanger, “Orang yang berbakat, berbakat dalam segala hal.” Semua pencapaian ilmiah ilmuwan besar ini sulit dihitung. Ini termasuk salah satu penemuan paling elegan di dunia matematika – segitiga Pascal.

Beberapa kata tentang kejeniusan

Blaise Pascal meninggal lebih awal menurut standar modern, pada usia 39 tahun. Namun, selama hidupnya yang singkat ia membedakan dirinya sebagai fisikawan, matematikawan, filsuf dan penulis yang luar biasa. Keturunan yang bersyukur menamai unit tekanan dan bahasa pemrograman populer Pascal untuk menghormatinya. Telah digunakan selama hampir 60 tahun untuk mengajarkan cara menulis berbagai kode. Misalnya dengan bantuannya, setiap anak sekolah dapat menulis program menghitung luas segitiga dalam Pascal, serta mendalami sifat-sifat rangkaian yang akan dibahas di bawah ini.

Aktivitas ilmuwan dengan pemikiran luar biasa ini mencakup berbagai bidang ilmu pengetahuan. Secara khusus, Blaise Pascal adalah salah satu pendiri hidrostatika, analisis matematika, beberapa bidang geometri dan teori probabilitas. Selain itu, dia:

• menciptakan kalkulator mekanis yang dikenal sebagai roda Pascal;
• menyajikan bukti eksperimental bahwa udara bersifat elastis dan mempunyai berat;
• menemukan bahwa barometer dapat digunakan untuk memprediksi cuaca;
• menemukan gerobak dorong;
• menemukan omnibus - kereta kuda dengan rute tetap, yang kemudian menjadi jenis angkutan umum reguler pertama, dll.

Segitiga aritmatika Pascal

Seperti telah disebutkan, ilmuwan besar Perancis ini memberikan kontribusi yang sangat besar terhadap ilmu matematika. Salah satu karya ilmiahnya yang tak terbantahkan adalah “Risalah tentang Segitiga Aritmatika”, yang terdiri dari koefisien binomial yang disusun dalam urutan tertentu. Sifat-sifat skema ini sangat mencolok dalam keragamannya, dan skema ini sendiri menegaskan pepatah “Segala sesuatu yang cerdik itu sederhana!”

Sedikit sejarah

Agar adil, harus dikatakan bahwa sebenarnya segitiga Pascal sudah dikenal di Eropa pada awal abad ke-16. Secara khusus, gambarnya dapat dilihat di sampul buku teks aritmatika astronom terkenal Peter Apian dari Universitas Ingoltstadt. Segitiga serupa juga disajikan sebagai ilustrasi dalam buku matematikawan Tiongkok Yang Hui, terbitan 1303. Penyair dan filsuf Persia yang luar biasa Omar Khayyam juga menyadari sifat-sifatnya pada awal abad ke-12. Selain itu, diyakini bahwa ia mengetahuinya dari risalah para ilmuwan Arab dan India yang ditulis sebelumnya.

Keterangan

Sebelum menjelajahi sifat-sifat paling menarik dari segitiga Pascal, yang indah dalam kesempurnaan dan kesederhanaannya, ada baiknya mencari tahu apa itu segitiga Pascal.

Dalam istilah ilmiah, skema numerik ini merupakan tabel tak terhingga berbentuk segitiga yang dibentuk dari koefisien binomial yang disusun dalam urutan tertentu. Di bagian atas dan sampingnya terdapat angka 1. Posisi selebihnya ditempati oleh angka-angka yang sama dengan jumlah dua angka yang terletak di sebelahnya. Selain itu, semua baris segitiga Pascal simetris terhadap sumbu vertikalnya.

Properti dasar

Segitiga Pascal mencolok dalam kesempurnaannya. Untuk setiap baris bernomor n (n = 0, 1, 2...) pernyataan berikut ini benar:

• angka pertama dan terakhir adalah 1;
• kedua dan kedua dari belakang - n;
• bilangan ketiga sama dengan bilangan segitiga (banyaknya lingkaran yang dapat disusun bentuknya yaitu 1, 3, 6, 10): T n -1 = n (n - 1) / 2.
• bilangan keempat adalah tetrahedral, yaitu limas yang alasnya berbentuk segitiga.

Selain itu, baru-baru ini, pada tahun 1972, properti lain dari segitiga Pascal ditemukan. Untuk mendeteksinya, Anda perlu menuliskan elemen skema ini dalam bentuk tabel dengan baris-barisnya digeser 2 posisi. Kemudian tandai angka-angka yang habis dibagi nomor baris tersebut. Ternyata kolom bilangan yang semua bilangannya ditonjolkan adalah bilangan prima.

Trik yang sama bisa dilakukan dengan cara lain. Untuk melakukan ini, dalam segitiga Pascal, angka-angka diganti dengan sisa pembagiannya dengan nomor baris dalam tabel. Kemudian garis-garis tersebut disusun dalam segitiga yang dihasilkan sehingga segitiga berikutnya dimulai 2 kolom di sebelah kanan elemen pertama elemen sebelumnya. Maka kolom-kolom yang berisi bilangan prima hanya akan terdiri dari nol, dan kolom-kolom yang berisi bilangan komposit akan memiliki paling sedikit satu nol.

Kaitannya dengan binomial Newton

Seperti yang Anda ketahui, ini adalah nama rumus untuk menguraikan jumlah dua variabel menjadi pangkat bilangan bulat non-negatif, yang berbentuk:

Koefisien yang ada di dalamnya sama dengan C n m = n! / (m! (n - m)!), dimana m adalah bilangan urut dari bilangan pada baris n segitiga Pascal. Dengan kata lain, dengan memiliki tabel ini, Anda dapat dengan mudah menaikkan bilangan apa pun menjadi pangkat, setelah terlebih dahulu menguraikannya menjadi dua suku.

Jadi, segitiga Pascal dan binomial Newton berkerabat dekat.

Keajaiban matematika

Sebuah studi yang cermat terhadap segitiga Pascal mengungkapkan bahwa:

• jumlah semua bilangan pada satu baris dengan nomor urut n (dihitung dari 0) sama dengan 2 n;
• jika garis-garisnya sejajar ke kiri, maka jumlah bilangan-bilangan yang terletak di sepanjang diagonal-diagonal segitiga Pascal, dari bawah ke atas dan dari kiri ke kanan, sama dengan bilangan Fibonacci;
• “diagonal” pertama terdiri dari bilangan asli, berurutan;
• setiap unsur segitiga Pascal dikurangi satu sama dengan jumlah semua bilangan yang terletak di dalam jajar genjang, yang dibatasi oleh diagonal kiri dan kanan yang berpotongan pada bilangan tersebut;
• pada setiap baris diagram, jumlah bilangan-bilangan di tempat genap sama dengan jumlah unsur-unsur di tempat ganjil.

Segitiga Sierpinski

Skema matematika yang menarik, cukup menjanjikan dari sudut pandang penyelesaian masalah yang kompleks, diperoleh dengan mewarnai bilangan genap gambar Pascal dalam satu warna, dan bilangan ganjil dalam warna lain.

Segitiga Sierpinski dapat dibuat dengan cara lain:

• dalam skema Pascal yang diarsir, segitiga tengah, yang dibentuk dengan menghubungkan titik tengah sisi-sisi segitiga aslinya, dicat ulang dengan warna berbeda;
• lakukan hal yang sama dengan tiga yang tidak dicat yang terletak di sudut;
• jika prosedur dilanjutkan tanpa batas waktu, maka hasilnya akan berupa gambar dua warna.

Sifat yang paling menarik dari segitiga Sierpinski adalah kemiripan dirinya, karena ia terdiri dari 3 salinan dirinya sendiri, yang dikurangi 2 kali lipat. Hal ini memungkinkan kita untuk mengklasifikasikan skema ini sebagai kurva fraktal, dan seperti yang ditunjukkan oleh penelitian terbaru, skema ini paling cocok untuk pemodelan matematika awan, tumbuhan, delta sungai, dan Alam Semesta itu sendiri.

Beberapa tugas menarik

Dimana segitiga Pascal digunakan? Contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan bantuannya cukup beragam dan berhubungan dengan berbagai bidang ilmu pengetahuan. Mari kita lihat beberapa yang paling menarik.

Soal 1. Suatu kota besar yang dikelilingi tembok benteng hanya mempunyai satu gerbang masuk. Di persimpangan pertama, jalan utama terbelah menjadi dua. Hal yang sama terjadi pada orang lain. 210 orang memasuki kota. Di setiap persimpangan yang mereka temui, mereka terbagi dua. Berapa banyak orang yang akan ada di setiap persimpangan ketika berbagi tidak lagi dapat dilakukan? Jawabannya adalah baris ke-10 segitiga Pascal (rumus koefisien disajikan di atas), dimana angka 210 terletak di kedua sisi sumbu vertikal.

Tugas 2. Ada 7 nama warna. Anda perlu membuat buket 3 bunga. Kita perlu mencari tahu berapa banyak cara berbeda yang dapat dilakukan. Masalah ini berasal dari bidang kombinatorik. Untuk menyelesaikannya, kita kembali menggunakan segitiga Pascal dan mendapatkan angka 35 pada baris ke-7 di posisi ketiga (penomoran dalam kedua kasus dari 0).

Sekarang Anda tahu apa yang diciptakan oleh filsuf dan ilmuwan besar Perancis Blaise Pascal. Segitiga terkenalnya, bila digunakan dengan benar, dapat menjadi penyelamat nyata dalam memecahkan banyak masalah, terutama di bidang kombinatorik. Selain itu, dapat digunakan untuk memecahkan berbagai teka-teki yang berkaitan dengan fraktal.

Untuk menerima segitiga Pascal, kami menulis ulang Tabel 1 dari bagian “Rumus perkalian yang disingkat: derajat penjumlahan dan derajat selisih” dalam bentuk berikut (Tabel P.):

Tabel P. – Pangkat alami binomial x + y

Sekarang, dengan menggunakan kolom ketiga Tabel P., kita akan membuat Tabel berikut - segitiga Pascal:

Sekarang, dengan hanya menuliskan koefisien muai pangkat binomial ke dalam jumlah monomial, kita memperoleh Tabel berikut - segitiga Pascal:

Tabel - Segitiga Pascal

Untuk berjaga-jaga, mari kita ingat bahwa Blaise Pascal adalah seorang fisikawan dan matematikawan terkenal yang tinggal di Perancis lebih dari tiga abad yang lalu.

Dalam segitiga Pascal, setiap baris berhubungan dengan garis dengan nomor yang sama pada Tabel P. Namun, pada setiap baris segitiga Pascal, tidak seperti Tabel P, hanya koefisien ekspansi menjadi jumlah monomial dengan derajat binomial yang sesuai x + y.

Setelah terlebih dahulu mengisi garis segitiga Pascal dengan angka 0 dan 1, perhatikan garis dengan angka 2 dan selanjutnya.

Properti utama segitiga Pascal, memungkinkan Anda mengisi barisnya secara berurutan, dimulai dengan baris nomor 2, adalah properti berikutnya :

Masing-masing baris , dimulai dari baris nomor 2, pertama, dimulai dan diakhiri dengan angka 1, dan kedua, di antara angka 1 ada angka, setiap di antaranya sama dengan jumlah dua bilangan diatasnya di baris sebelumnya.

Memang benar, angka 2 pada baris nomor dua sama dengan jumlah angka 1 ditambah 1 pada baris pertama. Demikian pula, angka 3 dan 3 pada baris nomor tiga masing-masing sama dengan jumlah angka 1 ditambah 2 dan jumlah angka 2 ditambah 1 pada baris kedua.

Sama untuk jalur lainnya.

Jadi, sifat segitiga Pascal memungkinkan, setelah mengisi salah satu garis, dengan mudah mengisi garis berikutnya, yaitu. dapatkan koefisien muai yang diperlukan ke dalam jumlah monomial derajat berikutnya dari binomial x + y.

Contoh. Tulislah dekomposisi dari bentuk:

(X + kamu) 7 .

Solusi. Dengan menggunakan garis segitiga Pascal dengan angka 6 dan menerapkan sifat utama segitiga Pascal, kita mendapatkan garis dengan angka 7:

Di situs web kami, Anda juga dapat membiasakan diri dengan materi pendidikan yang dikembangkan oleh para guru dari pusat pelatihan Resolventa untuk persiapan Ujian Negara Bersatu dan Ujian Negara Bersatu dalam matematika.

Bagi anak sekolah yang ingin mempersiapkan diri dengan baik dan lulus Ujian Negara Bersatu