Cara mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Cara menghitung minimum atau maksimum menggunakan operasi matematika. Kondisi cukup untuk ekstrem suatu fungsi satu variabel

77419.Cari titik maksimum dari fungsi y=x 3 –48x+17

Mari kita cari angka nol dari turunannya:

Mari kita lihat akarnya:

Mari kita tentukan tanda-tanda turunan suatu fungsi dengan mensubstitusi nilai dari interval ke dalam turunan yang dihasilkan, dan gambarkan perilaku fungsi tersebut pada gambar:

Kami menemukan bahwa pada titik –4 turunannya berubah tanda dari positif menjadi negatif. Jadi, titik x=–4 adalah titik maksimum yang diinginkan.

Jawaban: –4

77423. Tentukan titik maksimum dari fungsi y=x 3 –3x 2 +2

Mari kita cari turunan dari fungsi yang diberikan:

Mari kita samakan turunannya dengan nol dan selesaikan persamaannya:

Pada titik x=0, turunannya berubah tanda dari positif menjadi negatif yang berarti merupakan titik maksimum.

77427. Tentukan titik maksimum dari fungsi y=x 3 +2x 2 +x+3

Mari kita cari turunan dari fungsi yang diberikan:

Saat kita menyamakan turunannya dengan nol dan menyelesaikan persamaan:

Mari kita tentukan tanda-tanda turunan suatu fungsi dan gambarkan pada gambar interval kenaikan dan penurunan fungsi dengan mensubstitusikan nilai-nilai dari setiap interval ke dalam ekspresi turunannya:


Pada titik x=–1, turunannya berubah tanda dari positif menjadi negatif, artinya ini adalah titik maksimum yang diinginkan.

Jawaban 1

77431. Tentukan titik maksimum dari fungsi y=x 3 –5x 2 +7x–5

Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:

Mari kita cari angka nol dari turunannya:

3x 2 – 10x + 7 = 0

3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

Pada titik x = 1, turunannya berubah tanda dari positif menjadi negatif, artinya ini adalah titik maksimum yang diinginkan.

77435. Tentukan titik maksimum dari fungsi y=7+12x–x 3

Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:

Mari kita cari angka nol dari turunannya:

12 – 3x 2 = 0

Memutuskan persamaan kuadrat kita mendapatkan:

*Ini adalah titik maksimum (minimum) yang mungkin dari fungsi tersebut.

Mari kita buat garis bilangan dan tandai angka nol dari turunannya. Mari kita tentukan tanda turunannya dengan mensubstitusikannya nilai sewenang-wenang dari setiap interval ke dalam ekspresi turunan fungsi dan secara skematis menggambarkan kenaikan dan penurunan interval:

12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

12 – 3∙0 2 = 12 > 0

12 – 3∙3 2 = –15 < 0

Pada titik x = 2, turunannya berubah tanda dari positif menjadi negatif, artinya ini adalah titik maksimum yang diinginkan.

*Untuk fungsi yang sama, titik minimumnya adalah titik x = – 2.

77439. Tentukan titik maksimum dari fungsi y=9x 2 – x 3

Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:

Mari kita cari angka nol dari turunannya:

18x –3x 2 = 0

3x(6 – x) = 0

Memecahkan persamaan yang kita peroleh:

*Ini adalah titik maksimum (minimum) yang mungkin dari fungsi tersebut.

Mari kita buat garis bilangan dan tandai angka nol dari turunannya. Mari kita tentukan tanda-tanda turunannya dengan mensubstitusi nilai sembarang dari setiap interval ke dalam ekspresi turunan fungsi dan secara skematis menggambarkan kenaikan dan penurunan interval:

18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

18∙7 –3∙7 2 = –1 < 0

Pada titik x=6, turunannya berubah tanda dari positif menjadi negatif, artinya ini adalah titik maksimum yang diinginkan.

*Untuk fungsi yang sama, titik minimumnya adalah titik x = 0.

Banyak soal yang memerlukan penghitungan nilai maksimum atau minimum fungsi kuadrat. Maksimum atau minimum dapat ditemukan jika fungsi aslinya ditulis bentuk standar: atau melalui koordinat titik puncak parabola: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Selain itu, maksimum atau minimum dari setiap fungsi kuadrat dapat dihitung menggunakan operasi matematika.

Langkah

Fungsi kuadrat ditulis dalam bentuk standar

    Tuliskan fungsinya dalam bentuk standar. Fungsi kuadrat adalah fungsi yang persamaannya melibatkan variabel x 2 (\gaya tampilan x^(2)). Persamaannya mungkin menyertakan variabel atau tidak x (\gaya tampilan x). Jika suatu persamaan memuat variabel dengan eksponen lebih besar dari 2, maka persamaan tersebut tidak menggambarkan fungsi kuadrat. Jika perlu, berikan suku-suku serupa dan susun ulang suku-suku tersebut untuk menuliskan fungsinya dalam bentuk standar.

    • Misalnya saja mengingat fungsinya f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Tambahkan istilah dengan variabel x 2 (\gaya tampilan x^(2)) dan anggota dengan variabel x (\gaya tampilan x) untuk menulis persamaan dalam bentuk standar:
      • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

  1. Grafik fungsi kuadrat adalah parabola. Cabang-cabang parabola diarahkan ke atas atau ke bawah. Jika koefisien a (\gaya tampilan a) dengan variabel x 2 (\gaya tampilan x^(2)) a (\gaya tampilan a)

    • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Di Sini a = 2 (\gaya tampilan a=2)
    • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Oleh karena itu, di sini parabola diarahkan ke bawah.
    • f (x) = x 2 + 6 (\gaya tampilan f(x)=x^(2)+6). Di Sini a = 1 (\gaya tampilan a=1), jadi parabolanya mengarah ke atas.
    • Jika parabola mengarah ke atas, Anda perlu mencari nilai minimumnya. Jika parabola mengarah ke bawah, carilah nilai maksimumnya.

  2. Hitung -b/2a. Arti − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) adalah koordinatnya x (\gaya tampilan x) simpul parabola. Jika suatu fungsi kuadrat ditulis dalam bentuk baku ax 2 + bx + c (\displaystyle kapak^(2)+bx+c), gunakan koefisien untuk x (\gaya tampilan x) Dan x 2 (\gaya tampilan x^(2)) dengan cara berikut:

    • Dalam koefisien fungsi a = 1 (\gaya tampilan a=1) Dan b = 10 (\gaya tampilan b=10)
      • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
      • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
    • Sebagai contoh kedua, perhatikan fungsinya. Di Sini a = − 3 (\displaystyle a=-3) Dan b = 6 (\gaya tampilan b=6). Oleh karena itu, hitung koordinat “x” titik puncak parabola sebagai berikut:
      • x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
      • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
      • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
      • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
      • x = 1 (\gaya tampilan x=1)

  3. Menemukan nilai yang sesuai f(x). Masukkan nilai “x” yang ditemukan ke dalam fungsi asli untuk mencari nilai f(x) yang sesuai. Dengan cara ini Anda akan menemukan fungsi minimum atau maksimum.

    • Pada contoh pertama f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) Anda telah menghitung bahwa koordinat x titik puncak parabola adalah x = − 5 (\displaystyle x=-5). Dalam fungsi aslinya, sebagai gantinya x (\gaya tampilan x) pengganti − 5 (\gaya tampilan -5)
      • f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
      • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
      • f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
      • f (x) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
    • Pada contoh kedua f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) Anda menemukan bahwa koordinat x titik puncak parabola adalah x = 1 (\gaya tampilan x=1). Dalam fungsi aslinya, sebagai gantinya x (\gaya tampilan x) pengganti 1 (\gaya tampilan 1) untuk menemukannya nilai maksimum:
      • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
      • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
      • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
      • f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

  4. Tuliskan jawaban Anda. Baca kembali pernyataan masalah. Jika Anda perlu mencari koordinat titik sudut parabola, tuliskan kedua nilai tersebut dalam jawaban Anda x (\gaya tampilan x) Dan y (\gaya tampilan y)(atau f (x) (\gaya tampilan f(x))). Jika Anda perlu menghitung maksimum atau minimum suatu fungsi, tuliskan nilainya saja dalam jawaban Anda y (\gaya tampilan y)(atau f (x) (\gaya tampilan f(x))). Perhatikan kembali tanda koefisiennya a (\gaya tampilan a) untuk memeriksa apakah Anda menghitung maksimum atau minimum.

    • Pada contoh pertama f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) arti a (\gaya tampilan a) positif, jadi Anda telah menghitung minimumnya. Titik puncak parabola terletak pada titik dengan koordinat (− 5 , − 26) (\displaystyle (-5,-26)), dan nilai minimum dari fungsi tersebut adalah − 26 (\gaya tampilan -26).
    • Pada contoh kedua f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) arti a (\gaya tampilan a) negatif, jadi Anda sudah menemukan yang maksimal. Titik puncak parabola terletak pada titik dengan koordinat (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1)), dan nilai maksimum dari fungsi tersebut adalah − 1 (\gaya tampilan -1).

  5. Tentukan arah parabola tersebut. Untuk melakukan ini, lihat tanda koefisiennya a (\gaya tampilan a). Jika koefisien a (\gaya tampilan a) positif, parabola mengarah ke atas. Jika koefisien a (\gaya tampilan a) negatif, parabola mengarah ke bawah. Misalnya:

    • . Di Sini a = 2 (\gaya tampilan a=2), artinya koefisiennya positif, sehingga parabolanya mengarah ke atas.
    • . Di Sini a = − 3 (\displaystyle a=-3), artinya koefisiennya negatif, sehingga parabolanya mengarah ke bawah.
    • Jika parabola mengarah ke atas, Anda perlu menghitung nilai minimum fungsinya. Jika parabola mengarah ke bawah, Anda perlu mencari nilai maksimum fungsinya.

  6. Temukan nilai minimum atau maksimum dari fungsi tersebut. Jika fungsi tersebut ditulis melalui koordinat titik sudut parabola, minimum atau maksimum sama dengan nilainya koefisien k (\gaya tampilan k). Dalam contoh di atas:

    • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Di Sini k = − 4 (\displaystyle k=-4). Ini adalah nilai minimum fungsi karena parabola mengarah ke atas.
    • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Di Sini k = 2 (\gaya tampilan k=2). Ini adalah nilai maksimum fungsi karena parabola mengarah ke bawah.

  7. Temukan koordinat titik puncak parabola. Jika soal mengharuskan mencari titik puncak parabola, koordinatnya adalah (h , k) (\displaystyle (h,k)). Perlu diketahui bahwa jika suatu fungsi kuadrat ditulis melalui koordinat titik sudut parabola, maka operasi pengurangannya harus diapit tanda kurung. (x − h) (\displaystyle (xh)), jadi nilainya h (\gaya tampilan h) diambil dengan tanda sebaliknya.

    • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Di sini operasi penjumlahan (x+1) diapit tanda kurung, yang dapat ditulis ulang sebagai berikut: (x-(-1)). Dengan demikian, h = − 1 (\displaystyle h=-1). Oleh karena itu, koordinat titik puncak parabola fungsi ini adalah sama (− 1 , − 4) (\displaystyle (-1,-4)).
    • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Di sini, di dalam tanda kurung adalah ekspresi (x-2). Karena itu, h = 2 (\gaya tampilan h=2). Koordinat titik puncaknya adalah (2,2).

Cara Menghitung Minimum atau Maksimum Menggunakan Operasi Matematika

  1. Pertama, mari kita lihat bentuk standar persamaannya. Tuliskan fungsi kuadrat dalam bentuk standar: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Jika perlu, tambahkan suku-suku serupa dan atur ulang untuk mendapatkan persamaan standar.

    • Misalnya: .

  2. Temukan turunan pertama. Turunan pertama fungsi kuadrat yang ditulis dalam bentuk standar adalah sama dengan f ′ (x) = 2 ax + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

    • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). Turunan pertama dari fungsi ini dihitung sebagai berikut:
      • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

  3. Samakan turunannya dengan nol. Ingatlah bahwa turunan suatu fungsi sama dengan kemiringan fungsi tersebut titik tertentu. Minimal atau maksimal lereng sama dengan nol. Oleh karena itu, untuk mencari nilai minimum atau maksimum suatu fungsi, turunannya harus ditetapkan ke nol. Dalam contoh kita.