Cara menurunkan bilangan dari akarnya. Akar kuadrat. Panduan Komprehensif (2019). Faktorisasi prima

Siswa selalu bertanya: “Mengapa saya tidak bisa menggunakan kalkulator dalam ujian matematika? Bagaimana cara mengekstrak akar kuadrat suatu bilangan tanpa kalkulator? Mari kita coba menjawab pertanyaan ini.

Bagaimana cara mengekstrak akar kuadrat suatu bilangan tanpa bantuan kalkulator?

Tindakan akar kuadrat kebalikan dari aksi mengkuadratkan.

√81= 9 9 2 =81

Jika Anda mengambil akar kuadrat dari suatu bilangan positif dan mengkuadratkan hasilnya, Anda akan mendapatkan bilangan yang sama.

Dari bilangan-bilangan kecil yang merupakan kuadrat eksak dari bilangan asli, misalnya 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, akar kuadrat dapat diekstraksi secara lisan. Biasanya di sekolah mereka mengajarkan tabel kuadrat bilangan asli sampai dua puluh. Dengan mengetahui tabel ini, mudah untuk mengekstrak akar kuadrat dari angka 121.144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Dari angka yang lebih besar dari 400 Anda dapat mengekstraknya menggunakan metode seleksi dengan menggunakan beberapa tips. Mari kita coba melihat metode ini dengan sebuah contoh.

Contoh: Ekstrak akar angka 676.

Kita perhatikan bahwa 20 2 = 400, dan 30 2 = 900, yang berarti 20< √676 < 900.

Kuadrat eksak bilangan asli diakhiri dengan 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Angka 6 diberikan oleh 4 2 dan 6 2.
Artinya jika akarnya diambil dari 676, maka akarnya adalah 24 atau 26.

Masih harus diperiksa: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Menjawab: √676 = 26 .

Lagi contoh: √6889 .

Karena 80 2 = 6400, dan 90 2 = 8100, maka 80< √6889 < 90.
Angka 9 diberikan oleh 3 2 dan 7 2, maka √6889 sama dengan 83 atau 87.

Mari kita periksa: 83 2 = 6889.

Menjawab: √6889 = 83 .

Jika Anda kesulitan menyelesaikannya dengan metode seleksi, Anda dapat memfaktorkan ekspresi radikalnya.

Misalnya, temukan √893025.

Mari kita faktorkan angka 893025, ingat, Anda melakukannya di kelas enam.

Kita peroleh: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Lagi contoh: √20736. Mari kita faktorkan angka 20736:

Kita peroleh √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Tentu saja, faktorisasi memerlukan pengetahuan tentang tanda-tanda habis dibagi dan keterampilan faktorisasi.

Dan akhirnya, ada aturan untuk mengekstraksi akar kuadrat. Mari berkenalan dengan aturan ini dengan contoh.

Hitung √279841.

Untuk mengekstrak akar bilangan bulat multi-digit, kita membaginya dari kanan ke kiri menjadi sisi-sisi yang berisi 2 digit (tepi paling kiri mungkin berisi satu digit). Kami menulisnya seperti ini: 27'98'41

Untuk mendapatkan digit pertama dari akar (5), kita ambil akar kuadrat dari kuadrat sempurna terbesar yang terdapat pada sisi pertama di sebelah kiri (27).
Kemudian kuadrat angka pertama akar (25) dikurangkan dari muka pertama dan muka berikutnya (98) dijumlahkan (dikurangi).
Di sebelah kiri bilangan yang dihasilkan 298, tuliskan dua digit akar (10), bagi dengan bilangan puluhan bilangan yang diperoleh sebelumnya (29/2 ≈ 2), uji hasil bagi (102 ∙ 2 = 204 tidak boleh lebih dari 298) dan tulis (2) setelah digit pertama akar.
Kemudian hasil bagi 204 dikurangi dari 298 dan sisi berikutnya (41) ditambahkan ke selisihnya (94).
Di sebelah kiri bilangan yang dihasilkan 9441, tulis hasil kali ganda dari angka-angka akar (52 ∙2 = 104), bagi bilangan puluhan bilangan 9441 (944/104 ≈ 9) dengan hasil kali ini, ujilah hasil bagi (1049 ∙9 = 9441) haruslah 9441 dan tuliskan (9) setelah angka kedua akarnya.

Kami menerima jawaban √279841 = 529.

Ekstrak dengan cara yang sama akar pecahan desimal. Hanya bilangan radikal yang harus dibagi menjadi wajah-wajah sehingga koma berada di antara wajah-wajah tersebut.

Contoh. Carilah nilai √0.00956484.

Ingatlah bahwa jika pecahan desimal memiliki jumlah desimal ganjil, akar kuadrat tidak dapat diambil darinya.

Jadi sekarang Anda telah melihat tiga cara untuk mengekstrak root. Pilih salah satu yang paling cocok untuk Anda dan praktikkan. Untuk belajar memecahkan masalah, Anda perlu menyelesaikannya. Dan jika Anda memiliki pertanyaan, daftarlah untuk mengikuti pelajaran saya.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Sebelum adanya kalkulator, siswa dan guru menghitung akar kuadrat dengan tangan. Ada beberapa cara untuk menghitung akar kuadrat suatu bilangan secara manual. Beberapa dari mereka hanya menawarkan solusi perkiraan, yang lain memberikan jawaban yang tepat.

Tangga

Faktorisasi prima

Faktorkan bilangan radikal menjadi faktor-faktor yang merupakan bilangan kuadrat. Bergantung pada bilangan radikalnya, Anda akan mendapatkan jawaban perkiraan atau eksak. Bilangan kuadrat adalah bilangan yang dapat diambil seluruh akar kuadratnya. Faktor adalah bilangan yang bila dikalikan akan menghasilkan bilangan aslinya. Misalnya faktor bilangan 8 adalah 2 dan 4, karena 2 x 4 = 8, maka bilangan 25, 36, 49 adalah bilangan kuadrat, karena √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Faktor kuadrat adalah faktor yang merupakan bilangan kuadrat. Pertama, cobalah memfaktorkan bilangan radikal menjadi faktor kuadrat.

Misalnya, hitung akar kuadrat dari 400 (dengan tangan). Pertama-tama cobalah memfaktorkan 400 menjadi faktor kuadrat. 400 adalah kelipatan 100, yaitu habis dibagi 25 - ini adalah bilangan kuadrat. Membagi 400 dengan 25 menghasilkan 16. Angka 16 juga merupakan bilangan kuadrat. Jadi, 400 dapat difaktorkan menjadi faktor kuadrat dari 25 dan 16, yaitu 25 x 16 = 400.
Dapat ditulis sebagai berikut: √400 = √(25 x 16).

Akar kuadrat hasil kali beberapa suku sama dengan hasil kali akar kuadrat masing-masing suku, yaitu √(a x b) = √a x √b.
- Gunakan aturan ini untuk mengambil akar kuadrat dari setiap faktor kuadrat dan mengalikan hasilnya untuk menemukan jawabannya.
  - Dalam contoh kita, ambil akar dari 25 dan 16.
  - √(25x16)
  - √25x √16
5 x 4 = 20
- Jika bilangan radikal tidak difaktorkan menjadi dua faktor kuadrat (dan hal ini sering terjadi), Anda tidak akan dapat menemukan jawaban pastinya dalam bentuk bilangan bulat.
  - Namun Anda dapat menyederhanakan soal dengan menguraikan bilangan radikal menjadi faktor kuadrat dan faktor biasa (bilangan yang tidak dapat diambil seluruh akar kuadratnya). Kemudian Anda akan mengambil akar kuadrat dari faktor kuadrat dan mengambil akar dari faktor persekutuannya.
  - Misalnya, hitung akar kuadrat dari angka 147. Angka 147 tidak dapat difaktorkan menjadi dua faktor kuadrat, tetapi dapat difaktorkan menjadi faktor berikut: 49 dan 3. Selesaikan soal sebagai berikut:
  - = 7√3
= √(49 x 3)= √49x √3
- Jika perlu, perkirakan nilai akarnya.
  - Cara ini juga bisa digunakan pada jumlah yang besar. Misalnya, pertimbangkan √35. Bilangan radikalnya adalah 35. Bilangan kuadrat terdekatnya adalah bilangan 25 (√25 = 5) dan 36 (√36 = 6). Jadi, nilai √35 terletak di antara 5 dan 6. Karena nilai √35 jauh lebih dekat ke 6 dibandingkan ke 5 (karena 35 hanya 1 kurang dari 36), kita dapat mengatakan bahwa √35 sedikit lebih kecil dari 6 . Periksa kalkulator memberi kita jawaban 5,92 - kami benar.
Cara lainnya adalah dengan memfaktorkan bilangan radikal menjadi faktor prima. Faktor prima adalah bilangan yang hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Tuliskan faktor prima dalam suatu deret dan temukan pasangan faktor yang identik. Faktor-faktor tersebut dapat dikeluarkan dari tanda akarnya.
- Misalnya, hitung akar kuadrat dari 45. Kita faktorkan bilangan radikal tersebut menjadi faktor prima: 45 = 9 x 5, dan 9 = 3 x 3. Jadi, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 dapat diambil sebagai tanda akar: √45 = 3√5. Sekarang kita dapat memperkirakan √5.
- Mari kita lihat contoh lainnya: √88.
  - = √(2 x 44)
  - = √ (2 x 4 x 11)
  - = √ (2 x 2 x 2 x 11). Anda menerima tiga pengganda 2; ambil beberapa di antaranya dan pindahkan melampaui tanda akar.
  - = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Sekarang Anda dapat mengevaluasi √2 dan √11 dan menemukan perkiraan jawabannya.
Menghitung akar kuadrat secara manual

Menggunakan pembagian panjang
1. Metode ini melibatkan proses yang mirip dengan pembagian panjang dan memberikan jawaban yang akurat. Pertama, gambarlah garis vertikal yang membagi lembaran menjadi dua bagian, lalu ke kanan dan sedikit di bawah tepi atas lembaran, gambarlah garis horizontal ke garis vertikal. Sekarang bagilah bilangan radikal menjadi pasangan-pasangan bilangan, dimulai dengan bagian pecahan setelah koma. Jadi angka 79520789182.47897 ditulis "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".
  - Misalnya, mari kita hitung akar kuadrat dari angka 780,14. Gambarlah dua garis (seperti yang ditunjukkan pada gambar) dan tuliskan angka yang diberikan dalam bentuk “7 80, 14” di kiri atas. Wajar jika digit pertama dari kiri merupakan digit tidak berpasangan. Anda akan menulis jawabannya (akar dari angka ini) di kanan atas.
2. Untuk pasangan bilangan (atau bilangan tunggal) pertama dari kiri, carilah n bilangan bulat terbesar yang kuadratnya lebih kecil atau sama dengan pasangan bilangan (atau bilangan tunggal) yang dimaksud.
  - Dengan kata lain, carilah bilangan kuadrat yang terdekat, namun lebih kecil dari, pasangan bilangan pertama (atau bilangan tunggal) dari kiri, dan ambil akar kuadrat dari bilangan kuadrat tersebut; Anda akan mendapatkan nomor n. Tulis n yang Anda temukan di kanan atas, dan tuliskan kuadrat n di kanan bawah.< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. Kurangi kuadrat bilangan n yang baru saja Anda temukan dari pasangan bilangan pertama (atau bilangan tunggal) di sebelah kiri. Tuliskan hasil perhitungannya di bawah tanda pengurang (kuadrat dari bilangan n).
  - Dalam contoh kita, kurangi 4 dari 7 dan dapatkan 3.
4. Catat pasangan angka kedua dan tuliskan di sebelah nilai yang diperoleh pada langkah sebelumnya. Kemudian gandakan angka di kanan atas dan tuliskan hasilnya di kanan bawah dengan tambahan "_×_=".
  - Dalam contoh kita, pasangan angka kedua adalah "80". Tulis "80" setelah 3. Kemudian, gandakan angka di kanan atas menjadi 4. Tulis "4_×_=" di kanan bawah.
5. Isilah bagian yang kosong di sebelah kanan.
  - Dalam kasus kita, jika kita menggunakan angka 8 sebagai pengganti tanda hubung, maka 48 x 8 = 384, yang berarti lebih dari 380. Oleh karena itu, 8 adalah angka yang terlalu besar, tetapi 7 sudah cukup. Tulis 7 sebagai pengganti tanda hubung dan dapatkan: 47 x 7 = 329. Tulis 7 di kanan atas - ini adalah digit kedua dari akar kuadrat yang diinginkan dari angka 780,14.
6. Kurangi angka yang dihasilkan dari angka saat ini di sebelah kiri. Tuliskan hasil langkah sebelumnya di bawah angka saat ini di sebelah kiri, cari selisihnya dan tuliskan di bawah tanda pengurang.
  - Dalam contoh kita, kurangi 329 dari 380, sehingga hasilnya adalah 51.
7. Ulangi langkah 4. Jika pasangan bilangan yang dipindahkan merupakan bagian pecahan dari bilangan aslinya, maka berilah tanda pemisah (koma) antara bagian bilangan bulat dan pecahan pada akar kuadrat yang diperlukan di kanan atas. Di sebelah kiri, turunkan pasangan angka berikutnya. Gandakan angka di kanan atas dan tulis hasilnya di kanan bawah dengan tambahan "_×_=".
  - Dalam contoh kita, pasangan angka berikutnya yang akan dihilangkan adalah bagian pecahan dari angka 780.14, jadi tempatkan pemisah bagian bilangan bulat dan pecahan pada akar kuadrat yang diinginkan di kanan atas. Catat 14 dan tuliskan di kiri bawah. Gandakan angka di kanan atas (27) adalah 54, jadi tulislah "54_×_=" di kanan bawah.
8. Ulangi langkah 5 dan 6. Temukan angka terbesar di tempat tanda hubung di sebelah kanan (sebagai pengganti tanda hubung, Anda harus mengganti angka yang sama) sehingga hasil perkaliannya kurang dari atau sama dengan angka di sebelah kiri saat ini.
  - Dalam contoh kita, 549 x 9 = 4941, yang lebih kecil dari angka di sebelah kiri saat ini (5114). Tuliskan 9 di kanan atas dan kurangi hasil perkaliannya dengan angka di sebelah kiri saat ini: 5114 - 4941 = 173.
9. Jika Anda perlu mencari lebih banyak tempat desimal untuk akar kuadrat, tulis beberapa angka nol di sebelah kiri angka saat ini dan ulangi langkah 4, 5, dan 6. Ulangi langkah tersebut hingga Anda mendapatkan jawaban yang presisi (jumlah tempat desimal) Anda membutuhkan.
Memahami Prosesnya
1. Perhatikan pasangan digit pertama Sa dari bilangan S (Sa = 7 dalam contoh kita) dan temukan akar kuadratnya. Dalam hal ini, digit pertama A dari nilai akar kuadrat yang diinginkan adalah digit yang kuadratnya kurang dari atau sama dengan S a (yaitu, kita mencari A sedemikian sehingga pertidaksamaan A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
  - Katakanlah kita perlu membagi 88962 dengan 7; di sini langkah pertamanya akan serupa: kita perhatikan angka pertama dari bilangan habis dibagi 88962 (8) dan pilih bilangan terbesar yang jika dikalikan 7 akan menghasilkan nilai kurang dari atau sama dengan 8. Artinya, kita mencari bilangan d yang pertidaksamaannya benar: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
2. Bayangkan secara mental sebuah persegi yang luasnya perlu Anda hitung. Carilah L yaitu panjang sisi persegi yang luasnya sama dengan S. A, B, C adalah bilangan-bilangan pada bilangan L. Anda dapat menuliskannya secara berbeda: 10A + B = L (untuk bilangan dua angka) atau 100A + 10B + C = L (untuk bilangan tiga angka) dan seterusnya.
  - Membiarkan (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Ingatlah bahwa 10A+B adalah bilangan yang angka B melambangkan satuan dan angka A melambangkan puluhan. Misal A=1 dan B=2, maka 10A+B sama dengan angka 12. (10A+B)² adalah luas seluruh persegi, 100A²- luas alun-alun dalam yang besar, B²- luas persegi kecil bagian dalam, 10A×B- luas masing-masing dua persegi panjang. Dengan menjumlahkan luas bangun-bangun yang dijelaskan, Anda akan menemukan luas persegi aslinya.

Mengekstraksi akarnya adalah operasi kebalikan dari meningkatkan kekuatan. Artinya, dengan mengambil akar dari bilangan X, kita memperoleh suatu bilangan yang dikuadratkan akan menghasilkan bilangan yang sama dengan X.

Mengekstrak root adalah operasi yang cukup sederhana. Tabel persegi dapat mempermudah pekerjaan ekstraksi. Karena tidak mungkin mengingat semua kuadrat dan akar, tetapi jumlahnya mungkin banyak.

Mengekstraksi akar suatu bilangan

Menghitung akar kuadrat suatu bilangan itu mudah. Apalagi hal ini tidak bisa dilakukan segera, melainkan bertahap. Misalnya, ambil ekspresi √256. Awalnya, sulit bagi orang bodoh untuk langsung memberikan jawaban. Kemudian kita akan melakukannya selangkah demi selangkah. Pertama, kita bagi dengan angka 4 saja, lalu kita ambil kuadrat yang dipilih sebagai akarnya.

Mari kita nyatakan: √(64 4), maka setara dengan 2√64. Dan seperti yang anda ketahui, menurut tabel perkalian 64 = 8 8. Jawabannya adalah 2*8=16.

Daftar ke kursus "Mempercepat aritmatika mental, BUKAN aritmatika mental" untuk mempelajari cara menjumlahkan, mengurangi, mengalikan, membagi, mengkuadratkan bilangan, dan bahkan mengekstrak akar dengan cepat dan benar. Dalam 30 hari, Anda akan belajar cara menggunakan trik mudah untuk menyederhanakan operasi aritmatika. Setiap pelajaran berisi teknik-teknik baru, contoh-contoh yang jelas dan tugas-tugas yang berguna.

Mengekstraksi akar yang kompleks

Akar kuadrat tidak dapat dihitung dari bilangan negatif, karena bilangan kuadrat apa pun adalah bilangan positif!

Bilangan kompleks adalah bilangan i yang kuadratnya sama dengan -1. Artinya, i2=-1.

Dalam matematika, ada bilangan yang diperoleh dengan mengakarkan bilangan -1.

Artinya, akar bilangan negatif dapat dihitung, tetapi ini sudah berlaku untuk matematika tingkat tinggi, bukan matematika sekolah.

Mari kita perhatikan contoh ekstraksi akar seperti ini: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Kalkulator root online

Dengan menggunakan kalkulator kami, Anda dapat menghitung ekstraksi suatu bilangan dari akar kuadrat:

Mengonversi Ekspresi yang Mengandung Operasi Root

Inti dari transformasi ekspresi radikal adalah menguraikan bilangan radikal menjadi bilangan yang lebih sederhana, yang darinya dapat diekstraksi akarnya. Seperti 4, 9, 25 dan seterusnya.

Mari kita beri contoh, √625. Mari kita bagi ekspresi radikal dengan angka 5. Kita mendapatkan √(125 5), ulangi operasi √(25 25), tetapi kita tahu bahwa 25 adalah 52. Artinya jawabannya adalah 5*5=25.

Namun ada bilangan yang akarnya tidak dapat dihitung menggunakan metode ini dan Anda hanya perlu mengetahui jawabannya atau memiliki tabel kuadrat.

√289=√(17*17)=17

Intinya

Kami hanya melihat puncak gunung es, untuk memahami matematika dengan lebih baik - daftarlah pada kursus kami: Mempercepat aritmatika mental - BUKAN aritmatika mental.

Dari kursus ini Anda tidak hanya akan mempelajari lusinan teknik perkalian, penjumlahan, perkalian, pembagian, dan penghitungan persentase yang disederhanakan dan cepat, tetapi Anda juga akan mempraktikkannya dalam tugas-tugas khusus dan permainan edukatif! Aritmatika mental juga memerlukan banyak perhatian dan konsentrasi, yang dilatih secara aktif ketika memecahkan masalah yang menarik.

Rumus akar. Sifat-sifat akar kuadrat.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Pada pelajaran sebelumnya kita telah mengetahui apa itu akar kuadrat. Saatnya mencari tahu mana yang ada rumus untuk akar apa yang sifat-sifat akar, dan apa yang bisa dilakukan dengan semua ini.

Rumus akar, sifat-sifat akar, dan aturan bekerja dengan akar- ini pada dasarnya adalah hal yang sama. Ternyata hanya ada sedikit rumus untuk akar kuadrat. Yang tentu saja membuatku bahagia! Atau lebih tepatnya, Anda dapat menulis banyak rumus berbeda, tetapi untuk pekerjaan yang praktis dan percaya diri dengan akar, hanya tiga rumus yang cukup. Segala sesuatu yang lain mengalir dari ketiganya. Meski banyak orang yang bingung dengan ketiga rumus akar tersebut, ya...

Mari kita mulai dengan yang paling sederhana. Ini dia:

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Mari kita lihat algoritma ini menggunakan sebuah contoh. Kami akan menemukannya

langkah pertama. Kami membagi angka di bawah akar menjadi dua digit (dari kanan ke kiri):

langkah ke-2. Kita ambil akar kuadrat dari muka pertama, yaitu dari angka 65 kita mendapat angka 8. Di bawah muka pertama kita tulis kuadrat dari angka 8 dan kurangi. Kami menugaskan wajah kedua (59) ke sisanya:

(angka 159 adalah sisa pertama).

langkah ke-3. Kami menggandakan root yang ditemukan dan menulis hasilnya di sebelah kiri:

langkah ke-4. Kita pisahkan satu digit di sebelah kanan menjadi sisanya (159), dan di sebelah kiri kita mendapatkan bilangan puluhan (sama dengan 15). Kemudian kita membagi 15 dengan dua kali angka pertama akar, yaitu dengan 16, karena 15 tidak habis dibagi 16, maka hasil bagi menghasilkan nol, yang kita tulis sebagai angka kedua dari akar. Jadi, dalam hasil bagi kita mendapatkan angka 80, yang kita gandakan lagi, dan hilangkan sisi berikutnya

(angka 15.901 adalah sisa kedua).

langkah ke-5. Pada sisa kedua kita pisahkan satu angka dari kanan dan membagi angka hasil 1590 dengan 160. Kita tuliskan hasilnya (angka 9) sebagai angka ketiga dari akar dan tambahkan ke angka 160. Kita kalikan angka yang dihasilkan 1609 dengan 9 dan carilah sisa berikutnya (1420):

Selanjutnya, tindakan dilakukan dalam urutan yang ditentukan dalam algoritma (root dapat diekstraksi dengan tingkat akurasi yang diperlukan).

Komentar. Jika ekspresi radikal adalah pecahan desimal, maka bagian bilangan bulatnya dibagi menjadi tepi dua digit dari kanan ke kiri, bagian pecahan - dua digit dari kiri ke kanan, dan akarnya diekstraksi sesuai dengan algoritma yang ditentukan.