Dalam pelajaran ini kita akan mengingat kembali sifat-sifat dasar operasi bilangan. Kita tidak hanya akan meninjau sifat-sifat dasar, tetapi juga mempelajari cara menerapkannya pada bilangan rasional. Kami akan mengkonsolidasikan semua pengetahuan yang diperoleh dengan memecahkan contoh.
Properti dasar tindakan dengan angka:
Dua sifat pertama adalah sifat penjumlahan, dua sifat berikutnya adalah sifat perkalian. Properti kelima berlaku untuk kedua operasi.
Tidak ada hal baru dalam properti ini. Mereka valid untuk bilangan asli dan bilangan bulat. Pernyataan tersebut juga berlaku untuk bilangan rasional dan juga berlaku untuk bilangan yang akan kita pelajari selanjutnya (misalnya bilangan irasional).
Properti permutasi:
Menata ulang syarat atau faktor tidak mengubah hasilnya.
Properti kombinasi:, .
Penjumlahan atau perkalian beberapa bilangan dapat dilakukan dengan urutan apapun.
Properti distribusi:.
Properti ini menghubungkan kedua operasi - penjumlahan dan perkalian. Begitu pula jika dibaca dari kiri ke kanan, maka disebut aturan tanda kurung buka, dan jika dalam sisi sebaliknya- aturan penilaian pengganda umum di luar tanda kurung.
Dua properti berikut menjelaskan elemen netral untuk penjumlahan dan perkalian: menjumlahkan nol dan mengalikannya dengan satu tidak mengubah bilangan aslinya.
Dua properti lagi yang menggambarkan elemen simetris untuk penjumlahan dan perkalian, jumlah angka yang berlawanan sama dengan nol; hasil kali bilangan timbal balik sama dengan satu.
Properti berikutnya: . Jika suatu bilangan dikalikan dengan nol maka hasilnya selalu nol.
Properti terakhir yang akan kita lihat adalah: .
Mengalikan suatu bilangan dengan , kita memperoleh bilangan kebalikannya. Properti ini memiliki keistimewaan. Semua sifat lain yang dipertimbangkan tidak dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat lain. Sifat yang sama dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat-sifat sebelumnya.
Mengalikan dengan
Mari kita buktikan bahwa jika kita mengalikan suatu bilangan dengan , kita mendapatkan bilangan kebalikannya. Untuk ini kami menggunakan properti distribusi: .
Hal ini berlaku untuk semua nomor. Mari kita gantikan dan sebagai ganti nomornya:
Di sebelah kiri dalam tanda kurung adalah jumlah bilangan yang saling berlawanan. Jumlahnya nol (kami memiliki properti seperti itu). Di sebelah kiri sekarang. Di sebelah kanan, kita mendapatkan: 
.
Sekarang kita punya nol di sebelah kiri, dan jumlah dua angka di sebelah kanan. Tetapi jika jumlah dua bilangan sama dengan nol, maka bilangan-bilangan tersebut saling bertolak belakang. Namun bilangan tersebut hanya mempunyai satu bilangan yang berlawanan: . Jadi, ini dia: .
Properti telah terbukti.
Sifat yang dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat-sifat sebelumnya disebut dalil
Mengapa tidak ada sifat pengurangan dan pembagian di sini? Misalnya, sifat distributif untuk pengurangan dapat dituliskan: .
Tapi sejak:
- Pengurangan suatu bilangan dapat dituliskan secara ekuivalen sebagai penjumlahan dengan mengganti bilangan tersebut dengan kebalikannya:
- Pembagian dapat ditulis sebagai perkalian dengan kebalikannya:
Artinya sifat penjumlahan dan perkalian dapat diterapkan pada pengurangan dan pembagian. Akibatnya, daftar properti yang perlu diingat menjadi lebih pendek.
Semua sifat yang telah kita bahas bukan hanya sifat bilangan rasional. Bilangan lain, misalnya bilangan irasional, juga mematuhi semua aturan ini. Misalnya, jumlah bilangan lawannya adalah nol: .
Sekarang kita akan beralih ke bagian praktis, memecahkan beberapa contoh.
Angka rasional dalam hidup
Sifat-sifat benda yang dapat kita uraikan secara kuantitatif, dilambangkan dengan suatu bilangan, disebut nilai-nilai: panjang, berat, suhu, kuantitas.
Besaran yang sama dapat dinyatakan dengan bilangan bulat dan bilangan pecahan, positif atau negatif.
Misalnya, tinggi badan Anda m - bilangan pecahan. Tetapi kita dapat mengatakan bahwa itu sama dengan cm - ini sudah merupakan bilangan bulat (Gbr. 1).
Beras. 1. Ilustrasi misalnya
Contoh lain. Suhu negatif pada skala Celcius akan menjadi positif pada skala Kelvin (Gbr. 2).
Beras. 2. Ilustrasi misalnya
Saat membangun dinding rumah, satu orang dapat mengukur lebar dan tinggi dalam meter. Dia menghasilkan jumlah pecahan. Dia akan melakukan semua perhitungan selanjutnya dengan bilangan pecahan (rasional). Orang lain dapat mengukur segala sesuatu dalam jumlah lebar dan tinggi batu bata. Karena hanya menerima nilai bilangan bulat, dia akan melakukan perhitungan dengan bilangan bulat.
Besaran-besaran itu sendiri bukanlah bilangan bulat atau pecahan, tidak pula negatif atau positif. Namun bilangan yang kita gunakan untuk menggambarkan nilai suatu besaran sudah cukup spesifik (misalnya negatif dan pecahan). Itu tergantung pada skala pengukuran. Dan ketika kita berpindah dari nilai nyata ke model matematika, lalu kita bekerja dengan jenis angka tertentu
Mari kita mulai dengan penambahan. Persyaratan dapat diatur ulang dengan cara apa pun yang nyaman bagi kami, dan tindakan dapat dilakukan dalam urutan apa pun. Jika suku-suku dari tanda yang berbeda diakhiri dengan angka yang sama, maka akan lebih mudah untuk melakukan operasi dengannya terlebih dahulu. Untuk melakukan ini, mari kita tukar persyaratannya. Misalnya:
Pecahan biasa dengan penyebut yang sama mudah dilipat.
Angka yang berlawanan berjumlah nol. Angka-angka dengan ekor desimal yang sama mudah untuk dikurangkan. Dengan menggunakan properti ini, serta hukum komutatif penjumlahan, Anda dapat mempermudah penghitungan nilai, misalnya, ekspresi berikut:
Angka-angka dengan ekor desimal komplementer mudah untuk dijumlahkan. Lebih mudah untuk bekerja dengan bagian bilangan bulat dan pecahan dari bilangan campuran secara terpisah. Kami menggunakan properti ini saat menghitung nilai ekspresi berikut:
Mari beralih ke perkalian. Ada pasangan bilangan yang mudah dikalikan. Dengan menggunakan sifat komutatif, Anda dapat mengatur ulang faktor-faktor tersebut sehingga faktor-faktor tersebut bertetangga. Banyaknya minus pada suatu produk dapat langsung dihitung dan dapat diambil kesimpulan tentang tanda hasilnya.
Perhatikan contoh ini:
Jika dari faktornya sama dengan nol, maka hasil kali sama dengan nol, contoh: .
Hasil kali bilangan timbal balik sama dengan satu, dan perkalian dengan satu tidak mengubah nilai hasil kali. Perhatikan contoh ini:
Mari kita lihat contoh penggunaan sifat distributif. Jika Anda membuka tanda kurung, maka setiap perkaliannya mudah.
Mundur ke Depan
Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili semua fitur presentasi. Jika Anda tertarik pekerjaan ini, silakan unduh versi lengkapnya.
Jenis pelajaran: pelajaran menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan dengan menggunakan teknologi komputer.
Tujuan pelajaran:
- Pendidikan:
- meningkatkan keterampilan dalam menyelesaikan contoh dan persamaan pada topik “Sifat-sifat tindakan dengan bilangan rasional»;
- mengkonsolidasikan kemampuan untuk melakukan operasi aritmatika pada bilangan rasional;
- menguji kemampuan menggunakan sifat-sifat operasi aritmatika untuk menyederhanakan ekspresi dengan bilangan rasional;
- menggeneralisasi dan mensistematisasikan materi teoritis.
- Pembangunan:
- mengembangkan keterampilan penghitungan mental;
- mengembangkan berpikir logis;
- kembangkan kemampuan untuk mengekspresikan pikiran Anda dengan jelas dan jelas;
- mengembangkan pidato matematika siswa sedang berlangsung pekerjaan lisan dengan reproduksi materi teori;
- memperluas wawasan siswa.
- Pendidikan:
- mengembangkan kemampuan untuk bekerja dengan informasi yang tersedia;
- mengembangkan rasa hormat terhadap subjek;
- menumbuhkan kemampuan mendengarkan teman, rasa gotong royong dan saling mendukung;
- berkontribusi pada pengembangan pengendalian diri dan pengendalian timbal balik di kalangan siswa.
Peralatan dan visibilitas: komputer, proyektor multimedia, layar, presentasi interaktif, kartu flash untuk penghitungan mental, krayon .
Struktur pelajaran:
KEMAJUAN PELAJARAN
I. Momen organisasi
II. Komunikasi topik dan tujuan pelajaran
Memeriksa kesiapan siswa untuk pelajaran. Mengkomunikasikan tujuan dan rencana pelajaran kepada siswa.
– Topik pelajaran kita: “Sifat-sifat tindakan dengan bilangan rasional”, dan saya meminta Anda untuk membaca semboyan pelajaran secara serempak:
Ya, jalan ilmunya tidak mulus.
Tapi kami tahu tahun sekolah,
Ada lebih banyak misteri daripada jawaban,
Dan tidak ada batasan untuk pencarian!
Dan hari ini di kelas kita akan secara damai dan aktif membuat koran matematika. Saya akan menjadi pemimpin redaksi, dan Anda akan menjadi korektor. Bagaimana Anda memahami arti kata ini?
Untuk menguji orang lain, kita perlu mensistematisasikan pengetahuan kita pada topik “Sifat-sifat operasi bilangan rasional”.
Dan surat kabar kami disebut “Bilangan Rasional”. Dan diterjemahkan ke dalam bahasa Tatar?
Saya dengar Anda menguasai bahasa Inggris dengan baik, tetapi orang Inggris menyebut surat kabar ini dengan sebutan apa?
Saya persembahkan untuk Anda tata letak surat kabar, yang terdiri dari bagian-bagian berikut: membaca dalam paduan suara: “ Mereka bertanya - kami menjawab», « Berita hari ini», « Lelang proyek», « Laporan terkini»,
« Tahukah kamu…?”.
AKU AKU AKU. Memperbarui pengetahuan referensi
Pekerjaan lisan:
Di bagian pertama “Mereka bertanya - kami menjawab” kami perlu memeriksa keakuratan informasi yang dikirimkan koresponden kami melalui surat. Perhatikan baik-baik dan beri tahu kami aturan apa yang perlu kami ingat untuk memeriksa informasi ini.
1. Aturan penjumlahan bilangan negatif:
“Untuk menjumlahkan dua bilangan negatif, Anda perlu: 1) menjumlahkan modulnya, 2) memberi tanda minus di depan bilangan yang dihasilkan.”
2. Aturan pembagian bilangan dengan tanda-tanda yang berbeda:
“Saat membagi bilangan yang berbeda tandanya, harus: 1) membagi modulus pembagi dengan modulus pembagi, 2) memberi tanda minus di depan bilangan yang dihasilkan.”
3. Aturan mengalikan dua bilangan negatif:
“Untuk mengalikan dua bilangan negatif, Anda perlu mengalikan nilai absolutnya.”
4. Aturan mengalikan bilangan yang berbeda tandanya:
“Untuk mengalikan dua bilangan yang berbeda tandanya, Anda perlu mengalikan nilai mutlak bilangan-bilangan tersebut dan memberi tanda minus di depan bilangan yang dihasilkan.”
5. Aturan membagi bilangan negatif dengan bilangan negatif:
“Untuk membagi bilangan negatif dengan bilangan negatif, modulus pembagi harus dibagi dengan modulus pembagi.”
6. Aturan penjumlahan bilangan yang tandanya berbeda:
“Untuk menjumlahkan dua bilangan yang tandanya berbeda, Anda perlu 1) mengurangkan bilangan yang lebih kecil dari modul suku yang lebih besar, 2) meletakkan di depan bilangan yang dihasilkan tanda suku yang modulusnya lebih besar.
1) – 8,4 + (– 8,4) = 0; (– 16,8)
2) (– 6,7) . (– 10) = – 67; (67)
3) (– 2,2) + 3,5 = 1,3;
4) – 13 – 8 = – 5; (– 21)
5) 15 – 18 = – 13; (– 3)
6) 7,4 – (– 3,2) = – 10,6; (10,6)
7) – 9 . 6 = – 54;
8) – 3,6 . 1 = –1; (– 3,6)
9) – 18: (– 0,3) = 60;
10) – 3,7 . 0 = – 3,7. (0)
- Bagus sekali, kamu melakukan pekerjaan dengan baik.
IV. Memperkuat materi yang dicakup
– Dan sekarang kita beralih ke bagian "Berita hari ini" Untuk menyelesaikan bagian ini, kita perlu mensistematisasikan pengetahuan kita tentang bilangan.
– Nomor apa yang kamu tahu? (Alami, pecahan, rasional)
– Angka apa yang dianggap rasional? (Positif, negatif dan 0)
– Sifat-sifat bilangan rasional apa yang kamu ketahui? (Komutatif, asosiatif dan distributif, perkalian 1, perkalian 0)
- Sekarang mari kita lanjutkan ke pekerjaan tertulis. Kami membuka buku catatan kami, menuliskan nomornya, pekerjaan bagus, topik “Sifat-sifat operasi dengan bilangan rasional.”
Dengan menggunakan properti ini, kami menyederhanakan ekspresi:
SEBUAH) x + 32 – 16 = x + 16
B) – x – 18 – 23 = – x – 41
B) – 1,5 + x – 20 = – 21,5 + x
D) 12 – 26 + x = x – 14
D) 1,7 + 3,6 – x = 5,3 – x
E) – x + a + 6,1 – a + 2,8 – 8,8 = – x + 0,1
- A contoh berikut menuntut lebih banyak lagi dari kami keputusan rasional dengan penjelasan.
– 98 + 85 + 45 – 55 – 28 + 63 = 12
– 6,56 + 2,4 – 3,2 + 6,56 + 4 + 3,2 – 2,4 = 4
– 19,61 * 20 + 19,61 * 120 = 1961
04/12/1961 – Apakah jawaban yang Anda terima memberi tahu Anda sesuatu?
50 tahun lalu, pada 12 April 1961, Yuri Gagarin terbang ke luar angkasa. Kota Zainsk juga memiliki sejarah luar angkasanya sendiri: 9 Maret 1961, modul keturunan No.1 pesawat ruang angkasa VOSTOK-4 melakukan pendaratan lunak di dekat desa Stary Tokmak, distrik Zainsky, dengan boneka manusia, seekor anjing, dan hewan kecil lainnya di dalamnya. Dan untuk menghormati acara ini, sebuah monumen akan didirikan di daerah kami. Sekarang kota ini memiliki komisi kompetisi. Ada 3 proyek yang berpartisipasi dalam kompetisi, semuanya ada di depan Anda di layar. Dan sekarang kami akan mengadakan lelang proyek.
Saya meminta Anda untuk memilih proyek favorit Anda. Suara Anda mungkin menentukan.
V.Menit pendidikan jasmani
– Anda mengungkapkan pendapat Anda dengan tepuk tangan dan hentakan. Ayo berlatih! Tiga tepukan dan tiga stempel.
- Ayo coba lagi. Jadi pemungutan suara dimulai:
– Kami memberikan suara kami untuk Tata Letak No.1
– Kami memberikan suara kami untuk Tata Letak No.2
– Kami memberikan suara kami untuk Tata Letak No.3
- Dan sekarang untuk semua tata letaknya bersama-sama.
– Tata Letak No. menang... Terima kasih, saya mencatat suara Anda (mengangkat ponsel dan menunjukkannya kepada anak-anak) dan akan meneruskannya ke komisi penghitungan.
- Bagus sekali, terima kasih. Dan ke depan tidak kalah pentingnya - Laporan terkini.
VI. Persiapan Ujian Negara
Dalam kategori "Laporan terkini" Saya menerima surat dimana seorang siswa meminta bantuan dalam menyelesaikan tugas ujian akhir di kelas 9. Kami membutuhkan semua orang untuk menyelesaikan tugas dan ujian secara mandiri.<Lampiran 1 > di meja Anda:
1. Selesaikan persamaan:
a) (x + 3)(x – 6) = 0
1) x = 3, x = – 6
2) x = – 3, x = – 6
3) x = – 3, x = 6
Konsep bilangan mengacu pada abstraksi yang mencirikan suatu objek dari sudut pandang kuantitatif. Kembali masuk masyarakat primitif Orang-orang memiliki kebutuhan untuk menghitung benda, sehingga muncullah sebutan numerik. Kemudian mereka menjadi dasar matematika sebagai ilmu.
Untuk beroperasi konsep matematika, pertama-tama perlu dibayangkan angka-angka apa saja yang ada. Ada beberapa jenis angka utama. Ini:
1. Alami - yang kita peroleh saat memberi nomor pada suatu benda (penghitungan alaminya). Himpunannya dilambangkan dengan N.
2. Bilangan bulat (himpunannya dilambangkan dengan huruf Z). Ini termasuk bilangan asli, kebalikannya, bilangan bulat negatif, dan nol.
3. Bilangan rasional (huruf Q). Ini adalah pecahan yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, yang pembilangnya sama dengan bilangan bulat, dan penyebutnya sama dengan bilangan asli. Semua utuh dan tergolong rasional.
4. Nyata (ditandai dengan huruf R). Ini termasuk rasional dan bilangan irasional. Bilangan irasional adalah bilangan yang diperoleh dari bilangan rasional melalui berbagai operasi (menghitung logaritma, mengekstraksi akar), tetapi bilangan itu sendiri tidak rasional.
Jadi, salah satu himpunan yang terdaftar adalah himpunan bagian dari himpunan berikut. Tesis ini diilustrasikan dengan diagram berbentuk apa yang disebut. lingkaran Euler. Desainnya terdiri dari beberapa oval konsentris, yang masing-masing terletak di dalam yang lain. Oval (luas) bagian dalam dan terkecil menunjukkan himpunan bilangan asli. Ini sepenuhnya mencakup dan mencakup wilayah yang melambangkan himpunan bilangan bulat, yang, pada gilirannya, terkandung dalam wilayah bilangan rasional. Oval terluar dan terbesar, yang mencakup semua oval lainnya, menunjukkan sebuah array
Pada artikel ini kita akan melihat himpunan bilangan rasional, sifat dan fiturnya. Seperti yang telah disebutkan, setiap orang adalah miliknya angka-angka yang ada(positif serta negatif dan nol). Bilangan rasional membentuk deret tak hingga dengan sifat-sifat sebagai berikut:
Himpunan ini diurutkan, yaitu dengan mengambil pasangan bilangan apa pun dari deret ini, kita selalu dapat mengetahui mana yang lebih besar;
Dengan mengambil pasangan bilangan apa pun, kita selalu dapat menempatkan setidaknya satu bilangan lagi di antara bilangan tersebut, dan, akibatnya, seluruh rangkaian bilangan tersebut - dengan demikian, bilangan rasional mewakili rangkaian tak hingga;
Keempat operasi aritmatika pada bilangan tersebut selalu mungkin; nomor tertentu(juga rasional); pengecualiannya adalah pembagian dengan 0 (nol) - tidak mungkin;
Bilangan rasional apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal. Pecahan-pecahan ini dapat bersifat periodik berhingga atau tak terhingga.
Untuk membandingkan dua bilangan yang termasuk dalam himpunan rasional, Anda perlu mengingat:
Setiap angka positif lebih besar dari nol;
Setiap bilangan negatif selalu kurang dari nol;
Saat membandingkan dua bilangan rasional negatif, bilangan yang nilai absolutnya (modulusnya) lebih kecil akan lebih besar.
Bagaimana operasi dilakukan dengan bilangan rasional?
Untuk menjumlahkan dua bilangan yang memiliki tanda yang sama, Anda perlu menjumlahkan nilai absolutnya dan memberi tanda persekutuan di depan jumlahnya. Untuk menjumlahkan angka dengan tanda berbeda, berikut ini nilai yang lebih besar kurangi yang lebih kecil dan beri tanda yang punya nilai mutlak lagi.
Untuk mengurangkan suatu bilangan rasional dari bilangan rasional lainnya, cukup dengan menjumlahkan kebalikan bilangan kedua ke bilangan pertama. Untuk mengalikan dua angka, Anda perlu mengalikan nilainya nilai absolut. Hasil yang diperoleh akan positif jika faktor-faktornya bertanda sama, dan negatif jika faktor-faktornya berbeda.
Pembagian dilakukan dengan cara yang sama, yaitu dicari hasil bagi dari nilai mutlak, dan hasilnya didahului dengan tanda “+” jika tanda pembagi dan pembaginya berhimpitan, dan tanda “-” jika mereka tidak bertepatan.
Pangkat bilangan rasional terlihat seperti hasil kali beberapa faktor yang setara satu sama lain.
Maka a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.
Penjumlahan nol tidak mengubah bilangan, tetapi jumlah bilangan yang berlawanan adalah nol.
Artinya untuk sembarang bilangan rasional kita mempunyai: a + 0 = a, a + (- a) = 0.
Perkalian bilangan rasional juga mempunyai sifat komutatif dan asosiatif. Dengan kata lain, jika a, b, dan c adalah sembarang bilangan rasional, maka ab - ba, a(bc) - (ab)c.
Perkalian dengan 1 tidak mengubah suatu bilangan rasional, tetapi hasil kali suatu bilangan dengan inversnya sama dengan 1.
Artinya untuk sembarang bilangan rasional a kita mempunyai:
a) x + 8 - x - 22; c) pagi + 7-8+m;
b) -x-a + 12+a -12; d) 6,1 -k + 2,8 + hal - 8,8 + k - hal.
1190. Setelah memilih urutan perhitungan yang sesuai, temukan nilai ekspresi:
1191. Rumuskan dengan kata sifat komutatif perkalian ab = ba dan periksa bila:
1192. Rumuskan dengan kata-kata sifat asosiatif perkalian a(bc)=(ab)c dan periksa bila:
1193. Memilih urutan perhitungan yang nyaman, temukan nilai ekspresi:
1194. Berapakah bilangan yang didapat (positif atau negatif) jika dikalikan:
a) satu bilangan negatif dan dua bilangan positif;
b) dua bilangan negatif dan satu bilangan positif;
c) 7 bilangan negatif dan beberapa bilangan positif;
d) 20 negatif dan beberapa positif? Menarik kesimpulan.
1195. Tentukan tanda hasil kali:
a) - 2 (- 3) (- 9) (-1.3) 14 (- 2.7) (- 2.9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
a) Vitya, Kolya, Petya, Seryozha dan Maxim berkumpul di gym (Gbr. 91, a). Ternyata masing-masing anak laki-laki itu hanya mengenal dua orang lainnya. Siapa yang tahu siapa? (Tepi grafik berarti “kita saling mengenal.”)
b) Saudara laki-laki dan perempuan dari satu keluarga sedang berjalan di halaman. Manakah dari anak-anak berikut yang laki-laki dan mana yang perempuan (Gbr. 91, b)? (Tepi grafik yang bertitik berarti “Saya seorang saudara perempuan”, dan garis padat berarti “Saya seorang saudara laki-laki.”)
1205. Hitung:
1206. Bandingkan:
a) 2 3 dan 3 2; b) (-2) 3 dan (-3) 2; c) 1 3 dan 1 2; d) (-1) 3 dan (-1) 2.
1207. Pembulatan 5,2853 sampai seperseribu; ke seperseratus; hingga sepersepuluh; hingga satuan.
1208. Memecahkan masalah:
1) Seorang pengendara sepeda motor mengejar seorang pengendara sepeda. Sekarang jarak antara keduanya adalah 23,4 km. Kecepatan pengendara sepeda motor 3,6 kali kecepatan lebih pengendara sepeda Hitunglah kecepatan pengendara sepeda dan pengendara sepeda motor jika diketahui pengendara sepeda motor akan menyusul pengendara sepeda tersebut dalam waktu satu jam.
2) Sebuah mobil mengejar bus. Sekarang jarak antara keduanya adalah 18 km. Kecepatan bus sama dengan kecepatan mobil penumpang. Hitunglah kecepatan bus dan mobil tersebut jika diketahui mobil tersebut akan menyusul bus dalam waktu satu jam.
1209. Temukan arti ungkapan:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
Periksa perhitungan Anda dengan kalkulator mikro.
1210. Setelah memilih urutan perhitungan yang sesuai, temukan nilai ekspresi: 
1211. Sederhanakan ungkapan:
1212. Temukan arti ungkapan:
1213. Ikuti langkah-langkah berikut:
1214. Siswa diberi tugas mengumpulkan 2,5 ton besi tua. Mereka mengumpulkan 3,2 ton besi tua. Berapa persentase siswa menyelesaikan tugas tersebut dan berapa persentase mereka melampaui tugas tersebut?
1215. Mobil menempuh jarak 240 km. Dari jumlah tersebut, 180 km dia berjalan di sepanjang jalan pedesaan, dan sisanya di sepanjang jalan raya. Konsumsi bensin untuk setiap 10 km jalan pedesaan adalah 1,6 liter, dan di jalan raya - 25% lebih sedikit. Berapa liter rata-rata bensin yang dikonsumsi untuk setiap 10 km perjalanan?
1216. Meninggalkan desa, pengendara sepeda melihat seorang pejalan kaki di jembatan berjalan ke arah yang sama dan menyusulnya 12 menit kemudian. Hitunglah kecepatan pejalan kaki jika kecepatan pengendara sepeda 15 km/jam dan jarak desa ke jembatan 1 km 800 m?
1217. Ikuti langkah-langkah berikut:
a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14.31:5.3 - 27.81:2.7 + 2.565:3.42+4.1 0.8;
c) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).
Orang-orang, seperti yang Anda tahu, mengenal bilangan rasional secara bertahap. Pada awalnya, ketika menghitung benda, muncul masalah bilangan asli. Awalnya jumlah mereka sedikit. Dengan demikian, hingga saat ini, di antara penduduk asli pulau-pulau di Selat Torres (terpisah Papua Nugini dari Australia) hanya ada dua angka dalam bahasa tersebut: “urapun” (satu) dan “okaz” (dua). Penduduk pulau menghitung sebagai berikut: “Okaza-urapun” (tiga), “Okaza-Okaza” (empat), dan seterusnya. Penduduk asli menyebut semua angka, mulai dari tujuh, dengan kata yang berarti “banyak”.
Para ilmuwan percaya bahwa kata untuk ratusan muncul lebih dari 7.000 tahun yang lalu, untuk ribuan - 6.000 tahun yang lalu, dan 5.000 tahun yang lalu di Mesir Kuno dan masuk Babel Kuno nama-nama muncul dalam jumlah besar - hingga satu juta. Namun untuk waktu yang lama, rangkaian angka alami dianggap terbatas: orang mengira bahwa angka tersebut adalah yang terbanyak jumlah besar.
Terhebat matematikawan Yunani kuno dan fisikawan Archimedes (287-212 SM) menemukan cara untuk menggambarkan bilangan yang sangat besar. Angka terbesar yang dapat disebutkan oleh Archimedes sangatlah besar sehingga untuk mencatatnya secara digital diperlukan pita perekat yang dua ribu kali lebih panjang dari jarak Bumi ke Matahari.
Namun mereka belum mampu mencatat angka sebesar itu. Hal ini menjadi mungkin hanya setelah ahli matematika India pada abad ke-6. angka nol ditemukan dan mulai menunjukkan tidak adanya satuan dalam angka notasi desimal angka.
Saat membagi hasil rampasan dan kemudian saat mengukur nilai, dan dalam kasus serupa lainnya, orang menghadapi kebutuhan untuk memperkenalkan “angka rusak” - pecahan biasa. Operasi pecahan dianggap sebagai bidang matematika yang paling sulit pada Abad Pertengahan. Sampai hari ini, orang Jerman mengatakan tentang seseorang yang berada dalam situasi sulit bahwa dia “terpecah belah”.
Untuk mempermudah bekerja dengan pecahan, desimal diciptakan pecahan. Di Eropa mereka diperkenalkan pada X585 oleh ahli matematika dan insinyur Belanda Simon Stevin.
Angka negatif muncul lebih lambat dari pecahan. Untuk waktu yang lama angka-angka tersebut dianggap "tidak ada", "salah" terutama karena fakta bahwa interpretasi yang diterima untuk angka positif dan negatif "properti - utang" menyebabkan kebingungan: Anda dapat menambah atau mengurangi "properti" atau "hutang", tetapi bagaimana memahami produk atau “properti” dan “hutang” pribadi?
Namun, terlepas dari keraguan dan kebingungan tersebut, aturan untuk mengalikan dan membagi bilangan positif dan negatif telah diusulkan pada abad ke-3. matematikawan Yunani Diophantus (dalam bentuk: “Apa yang dikurangi, dikalikan dengan apa yang ditambahkan, menghasilkan pengurang; apa yang dikurangi dengan pengurang menghasilkan apa yang ditambahkan,” dll.), dan kemudian ahli matematika India Bhaskar (abad XII) aturan yang sama diungkapkan dalam konsep “properti”, “hutang” (“Properti dari dua properti atau dua utang adalah properti; produk dari properti dan utang adalah utang.” Aturan yang sama berlaku untuk pembagian).
Ditemukan bahwa sifat-sifat operasi bilangan negatif sama dengan sifat-sifat operasi bilangan positif (misalnya penjumlahan dan perkalian mempunyai sifat komutatif). Dan terakhir, sejak awal abad yang lalu, bilangan negatif menjadi sama dengan bilangan positif.
Belakangan, bilangan baru muncul dalam matematika - irasional, kompleks, dan lain-lain. Anda mempelajarinya di sekolah menengah.
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matematika untuk kelas 6, Buku teks untuk sekolah menengah atas
Buku dan buku pelajaran sesuai rencana kalender download matematika kelas 6, bantuan untuk anak sekolah online
Operasi dengan pecahan desimal.
Penjumlahan dan pengurangan desimal.
1. Samakan jumlah digit setelah koma.
2. Menambah atau mengurangi desimal koma di bawah koma dengan angka.
Mengalikan desimal.
1. Kalikan tanpa memperhatikan koma.
2. Pada hasil kali koma, pisahkan digit dari kanan sebanyak jumlah semua faktor
bersama-sama setelah koma.
Membagi desimal.
1. Pada pembagian dan pembagi, pindahkan koma ke kanan sebanyak digit setelah koma
di pembatas.
2. Bagilah seluruh bagian dan beri tanda koma pada hasil bagi. (Jika seluruh bagian kurang dari pembagi, Itu
hasil bagi dimulai dari nol bilangan bulat)
3. Lanjutkan membagi.
Tindakan dengan angka positif dan negatif.
Penjumlahan dan pengurangan bilangan positif dan negatif.
a – (– c) = a + c
Semua kasus lainnya dianggap sebagai penjumlahan angka.
Penjumlahan dua bilangan negatif:
1. tulis hasilnya dengan tanda “–”;
2. Kami menambahkan modul.
Penjumlahan bilangan dengan tanda berbeda:
1. memberi tanda modul yang lebih besar;
2. kurangi modul yang lebih kecil dari modul yang lebih besar.
Mengalikan dan membagi bilangan positif dan negatif.
1. Apabila mengalikan dan membagi bilangan yang berbeda tanda, hasilnya ditulis dengan tanda
dikurangi.
2. Saat mengalikan dan membagi bilangan dengan tanda-tanda yang identik hasilnya ditulis dengan tanda
plus.
Operasi dengan pecahan biasa.
Penjumlahan dan pengurangan.
1. Ubah pecahan menjadi penyebut yang sama.
2. Tambahkan atau kurangi pembilangnya, tetapi biarkan penyebutnya tidak berubah.
Kalikan pembilangnya dengan pembilangnya, dan penyebutnya dengan penyebutnya (kurangi jika memungkinkan).
“Balik” pembagi (pecahan kedua) dan lakukan perkalian.
Divisi.
Perkalian.
Mengisolasi seluruh bagian dari pecahan biasa.
38
5 = 38: 5 = 7(sisa 3) = 7
3
5
Mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa.
2
7 + =
4
4·7+2
7
30
7
=
1
.
+
Mengurangi sebagian kecil.
Kurangi pecahan - bagi pembilang dan penyebutnya dengan angka yang sama.
6
7
6
7. Pendeknya:
30:5
35:5 =
30
35 =
Misalnya:
30
35 =
.
1.
Pecahkan penyebut pecahan menjadi bilangan prima
pengganda.
Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama.
5 4
7
16 +
36
80 =
71
80
2. Coret faktor-faktor yang identik.
3. Faktor sisa dari penyebut pertama
kalikan pecahan dan tulis sebagai
faktor tambahan untuk pecahan kedua, dan
dari pecahan kedua ke pecahan pertama.
2∙2∙2∙2 2∙2∙5
4. Kalikan pembilang dan penyebut masing-masing pecahan
dengan pengganda tambahannya.
9
20 =
35
80 +
Penjumlahan dan pengurangan bilangan campuran.
Tambahkan atau kurangi secara terpisah bagian bilangan bulat dan bagian pecahan secara terpisah.
Kasus "Khusus":
"Ubah" 1 menjadi pecahan yang pembilangnya dan
2
2
5
6
3
5 =
3
5 = 2
1
1
Ambil 1 dan “ubah” menjadi pecahan yang pembilangnya dan
penyebutnya sama dengan penyebut pecahan yang diberikan.
Ambil 1 dan tambahkan penyebutnya ke pembilangnya.
3
5 =
3
5 = 2
5
5 ‒
5
5 ‒
‒
1
‒
3
2
5
1 ‒
3
3
5 = 2
5
5 1 ‒
3
5 = 1
2
5
1
5
1 ‒
3
5 = 2
6
5 1‒
3
3
5 = 1
3
5
Menerjemahkan nomor campuran V pecahan biasa dan melakukan perkalian atau pembagian.
Perkalian dan pembagian bilangan campuran.
2
7 + ∙ 2
4
4
5 + =
30
7 ∙
14
5 =
30·14
7·5
6·2
1 1 =
12
1 = 12
=
∙ ∙
6
7
