Istilah (modul) di terjemahan literal dari bahasa latin berarti “mengukur”. Konsep ini diperkenalkan ke dalam matematika oleh ilmuwan Inggris R. Cotes. Dan ahli matematika Jerman K. Weierstrass memperkenalkan tanda modulus - simbol yang menunjukkan konsep ini saat menulis.
Pertama konsep ini belajar matematika sesuai program kelas 6 SD sekolah menengah atas. Menurut satu definisi, modul adalah nilai mutlak bilangan real. Dengan kata lain, untuk mengetahui modulus suatu bilangan real, Anda harus membuang tandanya.
Nilai absolut secara grafis A dilambangkan sebagai |sebuah|.
Utama fitur pembeda Konsepnya adalah bahwa besaran selalu merupakan besaran non-negatif.
Bilangan-bilangan yang satu sama lain hanya berbeda tandanya disebut bilangan berlawanan. Jika suatu nilai positif, maka kebalikannya adalah negatif, dan nol adalah kebalikannya.
Arti geometris
Jika kita mempertimbangkan konsep modul dari sudut pandang geometri, maka itu akan menunjukkan jarak yang diukur dalam satuan segmen dari titik asal ke titik tertentu. Definisi ini mengungkapkan sepenuhnya makna geometris istilah yang sedang dipelajari.
Secara grafis hal ini dapat dinyatakan sebagai berikut: |a| = OA.
Sifat-sifat nilai absolut
Di bawah ini kita akan mempertimbangkan semua sifat matematika dari konsep ini dan cara menuliskannya dalam bentuk ekspresi literal:
Fitur penyelesaian persamaan dengan modulus
Jika kita berbicara tentang keputusannya persamaan matematika dan pertidaksamaan yang mengandung modul, maka Anda harus ingat bahwa untuk menyelesaikannya Anda perlu membuka tanda ini.
Misalnya jika tanda nilai mutlak mengandung beberapa ekspresi matematika, maka sebelum membuka modul, arus harus diperhitungkan definisi matematika.
|A+5| = SEBUAH + 5, jika, A lebih besar dari atau sama dengan nol.
5-A, jika, Nilai A kurang dari nol.
Dalam beberapa kasus, tanda dapat ditampilkan secara jelas untuk nilai variabel apa pun.
Mari kita lihat contoh lainnya. Mari kita buat garis koordinat tempat kita menandai semuanya nilai numerik nilai absolutnya adalah 5.
Pertama, Anda perlu menggambar garis koordinat, menandai titik asal koordinat di atasnya dan mengatur ukuran segmen satuan. Selain itu, garis lurus juga harus mempunyai arah. Sekarang pada baris ini perlu untuk menerapkan tanda yang sama dengan ukuran satuan segmen.
Dengan demikian terlihat bahwa pada garis koordinat ini akan terdapat dua titik yang kita minati dengan nilai 5 dan -5.
Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan permintaan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk tujuan keamanan, penegakan hukum, atau kesehatan masyarakat lainnya. kasus-kasus penting.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.
Angka yang berlawanan– ini adalah angka-angka yang berbeda satu sama lain hanya dalam tanda. Ekspresi -A menunjukkan bahwa nomor ini di depan nomor A.
Misalnya, 7 dan – 7;
41 dan – 41, dst.
Angka 0 adalah kebalikan dari dirinya sendiri!
Artinya, untuk menunjukkan angka yang berlawanan dalam matematika mereka menggunakan tanda « – ».
Dengan menambahkan tanda “–” sebelum bilangan positif 5 , kita mendapatkan angka negatif – 5 .
Dengan menambahkan tanda “–” di depan bilangan negatif – 5 , kita mendapatkan kebalikannya nomor positif 5 , yaitu – (–5) = 5.
– (–Sebuah) = sebuah
Pada suatu garis koordinat, titik-titik yang koordinatnya berlawanan terletak pada jarak yang sama dari titik asal.
AO = OC
BO = OD
Nilai absolut suatu bilangan
Nilai absolut suatu bilangan– ini adalah jarak (dalam satuan segmen) dari titik asal ke titik yang mewakili bilangan ini pada garis koordinat.
Titik A (– 4) dan B (4) berjarak 4 dari titik asal segmen tunggal, dan angka – 4 dan 4 memiliki modul yang sama, sama dengan 4.
Modulus bilangan a dilambangkan dengan | sebuah |
Karena modulusnya adalah jarak, dan jarak tidak boleh negatif, maka Modulus suatu bilangan tidak boleh berupa bilangan negatif!!!
Modulus bilangan positif dan nol adalah bilangan yang sama, dan modulus bilangan negatif adalah kebalikannya:
| sebuah | = a, jika a ≥ 0 (jika a adalah bilangan non-negatif)
| sebuah | = – sebuah, jika sebuah< 0 (если а – отрицательное число)
kesimpulan
Properti modul bilangan:
- Modulus suatu bilangan tidak boleh negatif. Modulus suatu bilangan selalu berupa bilangan positif atau sama dengan 0.
- Bilangan yang berlawanan mempunyai modul yang sama.
| – sebuah | = | sebuah | = sebuah
Contoh, | – 12 | = | 12 | = 12
Memecahkan persamaan (contoh)
1. – x = 7
alih-alih -X
dan 7 kita tulis bilangan kebalikannya dengan menggunakan tanda “–”.
–(– x) = – 7
Mari kita gunakan aturan – (–a) = a yang kita dapatkan
x = – 7
2. – x = – 10
–(– x) = –(– 10)
x = 10
3.x = –(– 32)
x = 32
4.| x | = 4
x = 4 atau x = – 4
Jawaban: 4; - 4
5.| x | = 0
x = 0
Jawaban: 0
6.| kamu | = – 8
modulusnya tidak boleh berupa bilangan negatif, artinya persamaan yang diberikan tidak memiliki solusi
Jawaban: tidak ada akar
7.| – x | = 12
Mari kita ingat properti kedua dari modul, yaitu| - A| =
|A|
= a, maka
| x | = 12
x = 12 atau x = – 12
Jawaban: 12; - 12
8. | kamu | – 2 = 12
persamaan serupa diselesaikan sebagai persamaan sederhana, hanya memperhitungkan modul
| kamu | = 12 + 2
| kamu | = 14
kamu = 14 atau kamu = – 14
Jawaban: 14; - 14
9.10 – 2| x | = 4
2| x | = 10 – 4
2| x | = 6
| x | = 6:2
| x | = 3
x = 3 atau x = – 3
Jawaban: 3; – 3
Artinya, ketika menyelesaikan persamaan yang mengandung modulus, kita akan mendapatkan tiga jenis jawaban:
dua akar (jika tanda modulusnya bilangan positif), satu root (jika di bawah tanda modulus 0)
tidak ada akar (jika tanda modulusnya bilangan negatif).
Memecahkan pertidaksamaan paling sederhana yang mengandung modulus
Di kelas 5 kami memecahkan contoh dengan pertidaksamaan sederhana. Ketimpangan linier Ada yang ketat dan tidak ketat.
Ketimpangan yang ketat– ini adalah pertidaksamaan yang tandanya lebih besar dari (>) atau kurang dari (<).
x > sebuah; X< a;
Ketimpangan yang tidak ketat– ini adalah pertidaksamaan yang tandanya lebih besar atau sama dengan (≥) atau kurang dari atau sama dengan (≤).
x ≥ a; x ≤ a.
Contoh
1. Temukan segalanya nilai-nilai alam x yang pertidaksamaannya x benar< 9
Larutan.
Pertidaksamaan ini berlaku untuk nilai x berikut: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8.
Menjawab: x = (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) – solusi alami dari ketimpangan ini.
Catatan:
Angka 0 bukanlah solusi dari pertidaksamaan ini, karena 0 bukanlah bilangan asli;
Angka 9 bukanlah penyelesaian pertidaksamaan ini, karena pertidaksamaan ini ketat, yaitu x lebih kecil dari 9 dan tidak boleh sama dengan 9.
2. A memenuhi ketimpangan A> 12?
Larutan.
Karena pertidaksamaannya sangat ketat, maka angka 13 adalah nilai natural terkecil dari a yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Menjawab: 13
3. Berapa nilai alami terkecil A memenuhi ketimpangan A ≥ 12?
Larutan.
Karena pertidaksamaannya tidak ketat, maka angka 12 adalah nilai natural terkecil dari a yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Menjawab: 12.
4. < x < 9
Larutan.
Pertidaksamaannya ganda (dibaca “x lebih besar dari 2, tetapi kurang dari 9”), ketat, jadi 3; 4; 5; 6; 7; 8 – solusi alami terhadap ketimpangan ganda ini.
Menjawab: x = (3; 4; 5; 6; 7; 8)
5. Temukan semua nilai alami x yang pertidaksamaannya 2 benar< x ≤ 9.
Larutan.
3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 – solusi alami terhadap ketimpangan ganda ini.
Menjawab: x = (3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)
6. Temukan semua bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan| x |< 5.
Larutan.
| x |< 5 (читаем как «расстояние от начала отсчёта до точки изображающей х меньше 5»).
Ketimpangan | x |< 5 эквивалентно (juga bisa ditulis) –5 < x < 5. Неравенство двойное, строгое, поэтому данное неравенство будет правильным при таких значениях x: –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4.
Menjawab: x = (–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4)
7. Temukan semua bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan| x | ≤ 5.
Larutan.
Ketimpangan | x | ≤ 5 sama dengan –5 ≤ x ≤ 5. Pertidaksamaan tersebut bersifat ganda dan tidak tegas, sehingga bilangan –5 dan 5 akan dimasukkan ke dalam himpunan bilangan yang pertidaksamaannya benar. Jadi, pertidaksamaan ini berlaku untuk nilai x berikut: –5; -4; –3; –2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.
Menjawab: x = (–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5)
8. Temukan semua bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan | x | > 2 dan tandai pada garis koordinat.
Larutan.
Ketimpangan | x | > 2 setara dengan x< – 2 или x >2. Mari kita nyatakan pada garis koordinat titik-titik yang koordinatnya memenuhi pertidaksamaan ini
Karena pertidaksamaannya tegas, maka bilangan 2 dan 2 tidak termasuk dalam himpunan bilangan bulat yang pertidaksamaannya benar. Dan pada garis koordinat kita menyatakan titik-titik tersebut sebagai titik yang tidak diarsir.
Menjawab: x = (…–5; –4; –3; 3; 4; 5…)
9. Temukan semua bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan | x | ≥ 2 dan tandai pada garis koordinat.
Larutan.
Ketimpangan | x | ≥ 2 setara dengan x ≤ – 2 atau x ≥ 2. Mari kita nyatakan pada garis koordinat titik-titik yang koordinatnya memenuhi pertidaksamaan ini
Karena pertidaksamaan tersebut tidak tegas, maka bilangan – 2 dan 2 termasuk dalam himpunan bilangan bulat yang pertidaksamaannya benar. Dan pada garis koordinat kita menyatakan titik-titik ini sebagai titik yang diarsir.
Menjawab: x = (…–5; –4; –3; –2; 2; 3; 4; 5…)
10. Temukan semua bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan 1< | x | ≤ 3 и обозначте их на координатной прямой.
Larutan.
Mari kita perhatikan sisi kiri pertidaksamaan tersebut terlebih dahulu. Artinya jarak titik asal ke titik kurang dari 1. Pertimbangkan sisi kanan pertidaksamaan: jarak dari titik asal ke titik yang sama kurang dari atau sama dengan 3.
Mari kita gambarkan titik-titik ini pada garis koordinat:
1 dan – 1 tidak termasuk dalam himpunan bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan karena pertidaksamaannya tegas.
3 dan – 3 termasuk dalam himpunan bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan, karena pertidaksamaan tersebut tidak tegas.
Menjawab: x = (–3; –2; 2; 3)
a adalah nomor itu sendiri. Nomor dalam modul:
|sebuah| = sebuah
Modulus bilangan kompleks.
Misalkan ada bilangan kompleks, yang tertulis di bentuk aljabar z=x+i·y, Di mana X Dan kamu- bilangan real, yang mewakili bagian nyata dan imajiner bilangan kompleks z, a adalah satuan imajiner.
Modulus bilangan kompleks z=x+i·y adalah akar kuadrat aritmatika dari jumlah kuadrat bagian real dan imajiner suatu bilangan kompleks.
Modulus bilangan kompleks z dilambangkan sebagai berikut, artinya definisi modulus bilangan kompleks dapat ditulis sebagai berikut: 
.
Sifat-sifat modul bilangan kompleks.
- Domain definisi: seluruh bidang kompleks.
- Jarak nilai: }
