DI DALAM toples terbuka Tugas Ujian Negara Bersatu matematika memiliki dua jenis latihan dengan topik “Konferensi”.
Tugas 1. Konferensi Ilmiah dilaksanakan dalam 5 hari. Sebanyak 75 laporan direncanakan - tiga hari pertama berisi 17 laporan, sisanya didistribusikan secara merata antara hari keempat dan kelima. Urutan laporan ditentukan dengan undian. Berapa probabilitas laporan Profesor M. akan dijadwalkan pada hari terakhir konferensi?
Larutan.
Ternyata dalam tiga hari pertama akan dibaca 17 ⋅ 3 = 51 laporan. Kemudian dua hari terakhir akan ada 75 - 51 = 24 laporan, 24:2 = 12 laporan per hari.
Profesor M. bisa saja dimasukkan dalam salah satu dari 75 laporan dengan probabilitas yang sama. Pada hari terakhir, 12 laporan direncanakan, yaitu. peluang Profesor M. berbicara pada hari terakhir adalah 12/75 = 0,16.
Penyelidikan:
Peluang Profesor M. akan berbicara pada hari pertama adalah 17/75;
pada hari kedua - 17/75;
pada hari ketiga - 17/75;
pada hari keempat - 0,16;
pada hari kelima - 0,16.
Mari kita cari jumlah 17/75 + 17/75 + 17/75 + 0,16 + 0,16 = 17/25 + 0,32 = 0,68 + 0,32 = 1. Masalahnya diselesaikan dengan benar, karena probabilitas totalnya harus sama dengan satu.
Jawaban: 0,16.
Tugas 2. 3 ilmuwan dari Norwegia, 3 dari Rusia dan 4 dari Spanyol datang ke seminar tersebut. Urutan laporan ditentukan dengan undian. Tentukan peluang bahwa laporan kedelapan adalah laporan ilmuwan dari Rusia.
Solusi 1.
Setiap pembicara dapat menjadi pembicara pertama, kedua, ketiga, keempat, kelima, keenam, ketujuh, kedelapan, kesembilan atau kesepuluh. Total ada sepuluh pilihan (sesuai dengan jumlah pembicara). Peristiwa “Laporan ilmuwan dari Rusia yang kedelapan” terjadi pada tiga kasus (jumlah ilmuwan dari Rusia).
Jadi, peluang terambilnya laporan ilmuwan dari Rusia di urutan kedelapan adalah 3/10 = 0,3.
Jawaban: 0,3.
Tugas untuk keputusan independen
1. Konferensi ilmiah dilaksanakan selama 3 hari. Sebanyak 80 laporan direncanakan - dua hari pertama masing-masing 25 laporan, sisanya pada hari terakhir konferensi. Urutan laporan ditentukan dengan undian. Berapa peluang laporan Profesor M. dijadwalkan pada hari terakhir?
2. Konferensi ilmiah dilaksanakan selama 4 hari. Sebanyak 50 laporan direncanakan - tiga hari pertama akan berisi 15 laporan, sisanya pada hari terakhir konferensi. Urutan laporan ditentukan dengan undian. Berapa peluang laporan Profesor M. dijadwalkan pada hari terakhir?
3. Konferensi ilmiah dilaksanakan selama 3 hari. Sebanyak 80 laporan direncanakan - dua hari pertama akan berisi 35 laporan, sisanya pada hari terakhir konferensi. Urutan laporan ditentukan dengan undian. Berapa peluang laporan Profesor M. dijadwalkan pada hari terakhir?
4. 4 ilmuwan dari Hungaria, 5 dari Italia dan 11 dari Jerman datang ke seminar tersebut. Urutan laporan ditentukan dengan undian. Temukan probabilitas bahwa laporan terakhir berasal dari seorang ilmuwan dari Jerman.
5. 5 ilmuwan dari Kanada, 7 dari Inggris dan 8 dari Amerika datang ke seminar tersebut. Urutan laporan ditentukan dengan undian. Temukan probabilitas bahwa laporan terakhir berasal dari seorang ilmuwan dari Inggris.
6. 13 ilmuwan dari Singapura, 8 dari Thailand dan 9 dari Malaysia datang ke seminar tersebut. Urutan laporan ditentukan dengan undian. Tentukan probabilitas bahwa laporan terakhir berasal dari seorang ilmuwan dari Malaysia.
Catatan Saat memecahkan masalah memilih item yang cacat, saya berbicara tentang bagaimana di Internet Anda dapat menemukan tugas serupa (mungkin dengan solusi) yang telah dibahas sebelumnya. Saya akan menunjukkan cara lain untuk menerapkan penelusuran ini:
Langkah 1. Kunjungi situsnya
instruksi
Tuliskan ekspresi logaritma yang diberikan. Jika ekspresi menggunakan logaritma 10, maka notasinya dipersingkat dan terlihat seperti ini: lg b adalah logaritma desimal. Jika logaritma mempunyai bilangan dasar e, maka tuliskan persamaannya: ln b – logaritma natural. Dapat dipahami bahwa hasil sembarang adalah pangkat yang harus dipangkatkan bilangan pokoknya untuk memperoleh bilangan b.
Saat mencari jumlah dua fungsi, Anda hanya perlu membedakannya satu per satu dan menjumlahkan hasilnya: (u+v)" = u"+v";
Untuk mencari turunan hasil kali dua fungsi, turunan fungsi pertama harus dikalikan dengan fungsi kedua dan dikalikan turunan fungsi kedua dengan fungsi pertama dijumlahkan: (u*v)" = u"*v +v"*kamu;
Untuk mencari turunan hasil bagi dua fungsi, perlu mengurangkan hasil kali turunan pembagi dikalikan fungsi pembagi dengan hasil kali turunan pembagi dikalikan fungsi pembagi, dan membaginya semua ini dengan fungsi pembagi kuadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Jika diberikan fungsi yang kompleks, maka turunan dari perlu dikalikan fungsi dalaman dan turunan dari yang eksternal. Misalkan y=u(v(x)), maka y"(x)=y"(u)*v"(x).
Dengan menggunakan hasil yang diperoleh di atas, Anda dapat membedakan hampir semua fungsi. Jadi mari kita lihat beberapa contoh:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Ada juga masalah yang melibatkan penghitungan turunan pada suatu titik. Misalkan fungsi y=e^(x^2+6x+5) diberikan, Anda perlu mencari nilai fungsi di titik x=1.
1) Temukan turunan dari fungsi tersebut: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Hitung nilai fungsi di titik tertentu kamu"(1)=8*e^0=8
Video tentang topik tersebut
Pelajari tabel turunan dasar. Ini akan menghemat waktu secara signifikan.
Sumber:
- turunan dari suatu konstanta
Jadi, apa perbedaannya persamaan rasional dari rasional? Jika variabel yang tidak diketahui berada di bawah tanda akar pangkat dua, maka persamaan tersebut dianggap irasional.
instruksi
Metode utama untuk menyelesaikan persamaan tersebut adalah metode membangun kedua ruas persamaan menjadi persegi. Namun. hal ini wajar, hal pertama yang perlu Anda lakukan adalah menghilangkan tanda tersebut. Cara ini secara teknis tidak sulit, namun terkadang dapat menimbulkan masalah. Misalnya persamaannya adalah v(2x-5)=v(4x-7). Dengan mengkuadratkan kedua sisi diperoleh 2x-5=4x-7. Memecahkan persamaan seperti itu tidaklah sulit; x=1. Namun nomor 1 tidak akan diberikan persamaan. Mengapa? Gantikan satu ke dalam persamaan dan bukan nilai x. Dan ruas kanan dan kiri akan berisi ekspresi yang tidak masuk akal. Nilai ini tidak berlaku untuk akar kuadrat. Oleh karena itu 1 adalah akar asing, dan karenanya persamaan yang diberikan tidak memiliki akar.
Jadi, persamaan irasional diselesaikan dengan menggunakan metode mengkuadratkan kedua bagiannya. Dan setelah menyelesaikan persamaan tersebut, perlu untuk memotong akar-akar asing. Untuk melakukan ini, gantikan akar yang ditemukan ke dalam persamaan asli.
Pertimbangkan yang lain.
2х+vх-3=0
Tentu saja persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan yang sama seperti persamaan sebelumnya. Pindahkan Senyawa persamaan, yang tidak memiliki akar kuadrat, di sisi kanan lalu gunakan metode kuadrat. selesaikan persamaan rasional dan akar yang dihasilkan. Tapi juga satu lagi yang lebih elegan. Masukkan variabel baru; vх=y. Oleh karena itu, Anda akan menerima persamaan dalam bentuk 2y2+y-3=0. Artinya, hal yang biasa persamaan kuadrat. Temukan akarnya; y1=1 dan y2=-3/2. Selanjutnya, selesaikan dua persamaan vх=1; vх=-3/2. Persamaan kedua tidak mempunyai akar; dari persamaan pertama kita mengetahui bahwa x=1. Jangan lupa periksa akarnya.
Memecahkan identitas cukup sederhana. Untuk melakukan ini, Anda perlu melakukan transformasi identitas sampai tujuan tercapai. Jadi, dengan bantuan yang paling sederhana operasi aritmatika tugas yang ada akan terpecahkan.
Anda akan perlu
- - kertas;
- - pena.
instruksi
Transformasi yang paling sederhana adalah perkalian singkat aljabar (seperti kuadrat jumlah (selisih), selisih kuadrat, jumlah (selisih), pangkat tiga jumlah (selisih)). Selain itu, ada banyak dan rumus trigonometri, yang pada dasarnya merupakan identitas yang sama.
Memang, kuadrat dari jumlah dua suku sama dengan persegi bilangan pertama ditambah dua kali hasil kali bilangan pertama dengan bilangan kedua dan ditambah kuadrat bilangan kedua, yaitu (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
Sederhanakan keduanya
Prinsip umum solusinya
Ulangi sesuai dengan buku teks analisis matematis atau matematika yang lebih tinggi, yang merupakan integral tertentu. Seperti diketahui, solusinya integral tertentu ada fungsi yang turunannya menghasilkan integral. Fungsi ini disebut antiturunan. Berdasarkan prinsip ini, integral utama dibangun.Tentukan berdasarkan bentuk integral integral tabel mana yang cocok pada kasus ini. Tidak selalu mungkin untuk menentukan hal ini dengan segera. Seringkali, bentuk tabel menjadi terlihat hanya setelah beberapa kali transformasi untuk menyederhanakan integran.
Metode Penggantian Variabel
Jika fungsi integralnya adalah fungsi trigonometri, yang argumennya mengandung beberapa polinomial, lalu coba gunakan metode penggantian variabel. Untuk melakukan ini, ganti polinomial dalam argumen integran dengan beberapa variabel baru. Berdasarkan hubungan antara variabel baru dan lama, tentukan batas integrasi baru. Dengan mendiferensiasikan persamaan ini, carilah diferensial baru dalam . Jadi, Anda akan mendapatkan jenis baru integral sebelumnya, dekat atau bahkan sesuai dengan tabel mana pun.Menyelesaikan integral jenis kedua
Jika integral tersebut merupakan integral jenis kedua, bentuk vektor dari integran, maka Anda perlu menggunakan aturan transisi dari integral tersebut ke integral skalar. Salah satu aturan tersebut adalah hubungan Ostrogradsky-Gauss. hukum ini memungkinkan Anda untuk berpindah dari aliran rotor ke beberapa fungsi vektor ke integral rangkap tiga atas divergensi bidang vektor tertentu.Pergantian batas integrasi
Setelah menemukan antiturunannya, perlu dilakukan substitusi terhadap limit integrasinya. Substitusikan dulu nilainya batas atas menjadi ekspresi untuk antiturunan. Anda akan mendapatkan beberapa nomor. Selanjutnya, kurangi dari angka yang dihasilkan angka lain yang diperoleh batasan yang lebih rendah menjadi antiturunan. Jika salah satu limit integrasi adalah tak terhingga, maka ketika disubstitusikan ke dalam fungsi antiturunan kita perlu mencapai batasnya dan menemukan apa yang diperjuangkan oleh ekspresi tersebut.Jika integralnya dua dimensi atau tiga dimensi, Anda harus merepresentasikan limit integrasi secara geometris untuk memahami cara mengevaluasi integral. Memang benar, dalam kasus, katakanlah, integral tiga dimensi, batas integrasi dapat berupa seluruh bidang yang membatasi volume yang diintegrasikan.
Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan pangkat, eksponennya selalu dijumlahkan (a b *a c = a b+c). Ini hukum matematika diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematika Virasen membuat tabel eksponen bilangan bulat. Merekalah yang mengabdi pembukaan lebih lanjut logaritma. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di semua tempat yang memerlukan penyederhanaan perkalian rumit dengan penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana cara menggunakannya. Dalam bahasa yang sederhana dan mudah diakses.
Definisi dalam matematika
Logaritma adalah ekspresi dalam bentuk berikut: log a b=c, yaitu, logaritma bilangan non-negatif (yaitu, bilangan positif apa pun) “b” dengan basis “a” dianggap sebagai pangkat “c ” dimana basis “a” harus dipangkatkan untuk mendapatkan nilai “b”. Mari kita lihat logaritmanya dengan contoh, misalkan ada ekspresi log 2 8. Bagaimana cara menemukan jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu mencari pangkat sedemikian rupa sehingga dari 2 hingga pangkat yang dibutuhkan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan di kepala Anda, kita mendapatkan angka 3! Dan itu benar, karena 2 pangkat 3 memberikan jawaban 8.
Jenis logaritma
Bagi banyak siswa dan pelajar, topik ini tampaknya rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi sebenarnya logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami arti umum dan mengingat sifat-sifatnya serta beberapa aturannya. Ada tiga spesies individu ekspresi logaritma:
- Logaritma natural ln a, dengan basis bilangan Euler (e = 2,7).
- Desimal a yang basisnya 10.
- Logaritma bilangan b apa pun dengan basis a>1.
Masing-masing diselesaikan dengan cara standar, termasuk penyederhanaan, reduksi, dan selanjutnya reduksi menjadi logaritma tunggal menggunakan teorema logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang benar, Anda harus mengingat propertinya dan urutan tindakan saat menyelesaikannya.
Aturan dan beberapa batasan
Dalam matematika, ada beberapa aturan-batasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu tidak perlu dibicarakan dan merupakan kebenaran. Misalnya, tidak mungkin membagi bilangan dengan nol, dan juga tidak mungkin mengekstrak akar genap angka negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, berikut ini Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:
- Basis “a” harus selalu lebih besar dari nol, dan tidak sama dengan 1, jika tidak, ungkapan tersebut akan kehilangan maknanya, karena “1” dan “0” pada derajat apa pun selalu sama dengan nilainya;
- jika a > 0, maka a b >0, ternyata “c” juga harus lebih besar dari nol.
Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?
Misalnya diberikan tugas untuk mencari jawaban persamaan 10 x = 100. Caranya sangat mudah, Anda perlu memilih suatu pangkat dengan menaikkan angka sepuluh sehingga kita mendapatkan 100. Tentu saja, ini adalah 10 2 = 100.
Sekarang mari kita bayangkan ekspresi ini dalam bentuk logaritma. Kita mendapatkan log 10 100 = 2. Saat menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktis menyatu untuk mencari pangkat yang diperlukan untuk memasukkan basis logaritma untuk mendapatkan bilangan tertentu.
Untuk menentukan nilainya secara akurat derajat yang tidak diketahui Anda perlu mempelajari cara bekerja dengan tabel derajat. Ini terlihat seperti ini:
Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pemikiran teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun untuk nilai-nilai besar Anda memerlukan tabel derajat. Ini dapat digunakan bahkan oleh mereka yang tidak tahu apa pun tentang kompleks topik matematika. Kolom kiri berisi bilangan (basis a), baris bilangan paling atas adalah nilai pangkat c yang dipangkatkan bilangan a. Pada titik potongnya, sel-sel tersebut berisi nilai bilangan yang menjadi jawabannya (ac =b). Mari kita ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan mengkuadratkannya, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan pada perpotongan kedua sel kita. Semuanya begitu sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis paling sejati sekalipun akan memahaminya!
Persamaan dan pertidaksamaan
Ternyata kapan kondisi tertentu eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, ekspresi numerik matematika apa pun dapat ditulis sebagai persamaan logaritma. Misalnya, 3 4 =81 dapat ditulis sebagai logaritma basis 3 dari 81 sama dengan empat (log 3 81 = 4). Untuk kekuatan negatif aturannya sama: 2 -5 = 1/32 kita tulis sebagai logaritma, kita dapatkan log 2 (1/32) = -5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik “logaritma”. Kita akan melihat contoh dan solusi persamaan di bawah ini, segera setelah mempelajari sifat-sifatnya. Sekarang mari kita lihat seperti apa pertidaksamaan dan bagaimana membedakannya dari persamaan.
Diberikan ekspresi dalam bentuk berikut: log 2 (x-1) > 3 - ya pertidaksamaan logaritmik, karena nilai "x" yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ekspresi dua besaran dibandingkan: logaritma bilangan yang diinginkan ke basis dua lebih besar dari bilangan tiga.
Perbedaan terpenting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah persamaan dengan logaritma (contoh - logaritma 2 x = √9) menyiratkan satu atau lebih jawaban spesifik nilai numerik, sedangkan ketika menyelesaikan kesenjangan didefinisikan sebagai wilayah nilai-nilai yang dapat diterima, dan breakpoint dari fungsi ini. Konsekuensinya, jawabannya bukanlah himpunan bilangan tunggal yang sederhana, seperti pada jawaban suatu persamaan, melainkan rangkaian atau himpunan bilangan yang berkesinambungan.
Teorema dasar tentang logaritma
Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, propertinya mungkin tidak diketahui. Namun, jika menyangkut persamaan atau pertidaksamaan logaritma, pertama-tama, kita perlu memahami dengan jelas dan menerapkan semuanya dalam praktik. sifat dasar logaritma. Kita akan melihat contoh persamaannya nanti; pertama-tama mari kita lihat masing-masing properti secara lebih rinci.
- Identitas utama terlihat seperti ini: a logaB =B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
- Logaritma produk dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam hal ini prasyarat adalah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti rumus logaritma ini, beserta contoh dan solusinya. Misalkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2, maka a f1 = s 1, a f2 = s 2. Kita peroleh bahwa s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat-sifat dari derajat ), dan kemudian menurut definisi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang perlu dibuktikan.
- Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorema dalam bentuk rumus mengambil alih tampilan selanjutnya: log a q b n = n/q log a b.
Rumus ini disebut “properti derajat logaritma”. Ini menyerupai sifat-sifat derajat biasa, dan ini tidak mengherankan, karena semua matematika didasarkan pada postulat alam. Mari kita lihat buktinya.
Misalkan log a b = t, ternyata at =b. Jika kita menaikkan kedua bagian ke pangkat m: a tn = b n ;
tetapi karena a tn = (a q) nt/q = b n, maka log a q b n = (n*t)/t, maka log a q b n = n/q log a b. Teorema tersebut telah terbukti.
Contoh masalah dan kesenjangan
Jenis soal logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku soal, dan juga merupakan bagian wajib dalam ujian matematika. Untuk masuk ke universitas atau lulus ujian masuk dalam matematika Anda perlu mengetahui cara menyelesaikan masalah seperti itu dengan benar.
Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, namun hal ini dapat diterapkan pada setiap pertidaksamaan matematika atau persamaan logaritma. aturan tertentu. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi tersebut dapat disederhanakan atau digiring penampilan umum. Sederhanakan yang panjang ekspresi logaritmik mungkin jika Anda menggunakan propertinya dengan benar. Mari kita mengenal mereka dengan cepat.
Saat menyelesaikan persamaan logaritma, kita harus menentukan jenis logaritma yang kita miliki: contoh ekspresi mungkin berisi logaritma natural atau desimal.
Berikut contoh ln100, ln1026. Solusi mereka bermuara pada fakta bahwa mereka perlu menentukan pangkat yang mana basis 10 masing-masing akan sama dengan 100 dan 1026. Untuk solusi logaritma natural, Anda perlu menerapkannya identitas logaritma atau propertinya. Mari kita lihat contoh penyelesaian berbagai jenis masalah logaritma.
Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Beserta Contoh dan Solusinya
Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema dasar tentang logaritma.
- Properti logaritma suatu produk dapat digunakan dalam tugas-tugas yang perlu diperluas sangat penting bilangan b menjadi faktor yang lebih sederhana. Misalnya log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawabannya adalah 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - seperti yang Anda lihat, dengan menggunakan properti keempat dari pangkat logaritma, kami berhasil menyelesaikan ekspresi yang tampaknya rumit dan tidak dapat dipecahkan. Anda hanya perlu memfaktorkan basisnya lalu mengeluarkan nilai eksponennya dari tanda logaritma.
Tugas dari Ujian Negara Bersatu
Logaritma sering ditemukan di tes masuk, terutama banyak sekali soal logaritma pada UN Unified State ( Ujian negara untuk semua lulusan sekolah). Biasanya tugas-tugas ini hadir tidak hanya di bagian A (yang paling mudah bagian tes ujian), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling rumit dan banyak). Ujian ini membutuhkan pengetahuan yang akurat dan sempurna tentang topik “Logaritma natural”.
Contoh dan solusi masalah diambil dari pejabat Opsi Ujian Negara Bersatu. Mari kita lihat bagaimana tugas-tugas tersebut diselesaikan.
Diketahui log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
mari kita tulis ulang ekspresinya, sederhanakan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, berdasarkan definisi logaritma kita mendapatkan bahwa 2x-1 = 2 4, oleh karena itu 2x = 17; x = 8,5.
- Yang terbaik adalah mereduksi semua logaritma ke basis yang sama agar penyelesaiannya tidak rumit dan membingungkan.
- Semua ekspresi di bawah tanda logaritma dinyatakan positif, oleh karena itu, jika eksponen dari ekspresi di bawah tanda logaritma dan basisnya diambil sebagai pengali, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.
Memecahkan persamaan logaritma. Bagian 1.
Persamaan logaritma adalah persamaan yang tidak diketahuinya terdapat di bawah tanda logaritma (khususnya, di basis logaritma).
Yang paling sederhana persamaan logaritmik memiliki bentuk:
Memecahkan persamaan logaritma apa pun melibatkan transisi dari logaritma ke ekspresi di bawah tanda logaritma. Namun, tindakan ini memperluas rentang nilai persamaan yang diizinkan dan dapat menyebabkan munculnya akar asing. Untuk menghindari munculnya akar asing, Anda dapat melakukan salah satu dari tiga cara berikut:
1. Lakukan transisi yang setara dari persamaan awal ke sistem termasuk
tergantung pada ketidaksetaraan mana atau lebih sederhana.
Jika persamaan mengandung sesuatu yang tidak diketahui pada basis logaritmanya:
lalu kita masuk ke sistem:
2. Temukan secara terpisah kisaran nilai persamaan yang dapat diterima, lalu selesaikan persamaan tersebut dan periksa apakah solusi yang ditemukan memenuhi persamaan tersebut.
3. Selesaikan persamaannya, lalu memeriksa: substitusikan solusi yang ditemukan ke dalam persamaan asli dan periksa apakah kita mendapatkan persamaan yang benar.
Persamaan logaritma dengan tingkat kerumitan apa pun pada akhirnya selalu direduksi menjadi persamaan logaritma yang paling sederhana.
Semua persamaan logaritma dapat dibagi menjadi empat jenis:
1 . Persamaan yang hanya memuat logaritma pangkat satu saja. Dengan bantuan transformasi dan penggunaan, mereka dibawa ke bentuk
Contoh. Mari selesaikan persamaannya:
Mari kita samakan ekspresi di bawah tanda logaritma:
Mari kita periksa apakah akar persamaan kita memenuhi:
Ya, itu memuaskan.
Jawaban: x=5
2 . Persamaan yang mengandung logaritma pangkat selain 1 (khususnya pada penyebut pecahan). Persamaan seperti itu dapat diselesaikan dengan menggunakan memperkenalkan perubahan variabel.
Contoh. Mari selesaikan persamaannya:
Mari kita cari persamaan ODZ:
Persamaan tersebut memuat logaritma kuadrat, sehingga dapat diselesaikan dengan menggunakan perubahan variabel.
Penting! Sebelum memperkenalkan penggantinya, Anda perlu “memisahkan” logaritma yang merupakan bagian dari persamaan menjadi “batu bata” menggunakan sifat-sifat logaritma.
Saat “memisahkan” logaritma, penting untuk menggunakan properti logaritma dengan sangat hati-hati:
Selain itu, ada poin halus lainnya di sini, dan untuk menghindari kesalahan umum, kita akan menggunakan persamaan perantara: kita akan menulis derajat logaritma dalam bentuk ini:
Juga,
Mari kita substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan aslinya. Kita mendapatkan:
Sekarang kita melihat bahwa hal yang tidak diketahui terkandung dalam persamaan sebagai bagian dari . Mari kita perkenalkan penggantinya: . Karena bisa menerima siapa saja nilai sesungguhnya, kami tidak menerapkan batasan apa pun pada variabel tersebut.
Kita semua akrab dengan persamaan kelas dasar. Di sana kami juga belajar memecahkan contoh-contoh paling sederhana, dan kami harus mengakui bahwa contoh-contoh tersebut dapat diterapkan bahkan dalam matematika tingkat tinggi. Semuanya sederhana dengan persamaan, termasuk persamaan kuadrat. Jika Anda mengalami masalah dengan topik ini, kami sangat menyarankan Anda meninjaunya.
Anda mungkin sudah mempelajari logaritma juga. Namun, kami menganggap penting untuk memberi tahu apa itu bagi mereka yang belum mengetahuinya. Logaritma disamakan dengan pangkat yang harus dipangkatkan basisnya untuk mendapatkan bilangan di sebelah kanan tanda logaritma. Mari kita beri contoh yang berdasarkan itu semuanya akan menjadi jelas bagi Anda.
Jika Anda menaikkan 3 ke pangkat empat, Anda mendapatkan 81. Sekarang substitusikan angka-angka tersebut dengan analogi, dan Anda akhirnya akan memahami bagaimana logaritma diselesaikan. Sekarang tinggal menggabungkan dua konsep yang dibahas. Pada awalnya, situasinya tampak sangat rumit, tetapi setelah diperiksa lebih dekat, bebannya akan terasa berat. Kami yakin setelah ini artikel pendek Anda tidak akan mendapat masalah pada bagian ujian ini.
Saat ini ada banyak cara untuk menyelesaikan struktur seperti itu. Kami akan memberi tahu Anda tentang tugas yang paling sederhana, paling efektif, dan paling dapat diterapkan dalam kasus Unified State Examination. Penyelesaian persamaan logaritma harus dimulai dari awal. contoh sederhana. Persamaan logaritma paling sederhana terdiri dari sebuah fungsi dan satu variabel di dalamnya.
Penting untuk dicatat bahwa x ada di dalam argumen. A dan b harus berupa angka. Dalam hal ini, Anda cukup menyatakan fungsi dalam bentuk bilangan pangkat. Ini terlihat seperti ini.
Tentu saja menyelesaikan persamaan logaritma menggunakan metode ini akan membawa Anda pada jawaban yang benar. Masalah yang dihadapi sebagian besar siswa dalam hal ini adalah mereka tidak memahami apa yang berasal dari mana. Akibatnya, Anda harus menerima kesalahan dan tidak mendapatkan poin yang diinginkan. Kesalahan yang paling menyinggung adalah jika Anda mencampurkan huruf-hurufnya. Untuk menyelesaikan persamaan dengan cara ini, Anda perlu menghafal rumus standar sekolah ini karena sulit untuk dipahami.
Untuk mempermudah, Anda dapat menggunakan metode lain - bentuk kanonik. Idenya sangat sederhana. Alihkan perhatian Anda kembali ke masalahnya. Ingatlah bahwa huruf a adalah angka, bukan fungsi atau variabel. A tidak sama dengan satu dan lebih besar dari nol. Tidak ada batasan pada b. Sekarang, dari semua rumus, mari kita ingat satu rumus. B dapat diungkapkan sebagai berikut.
Oleh karena itu, semua persamaan asli dengan logaritma dapat direpresentasikan sebagai:
Sekarang kita bisa menghilangkan logaritmanya. Hasilnya adalah desain sederhana yang telah kita lihat sebelumnya.
Kenyamanan rumus ini terletak pada kenyataan bahwa rumus ini dapat digunakan dalam berbagai kasus, dan tidak hanya untuk desain yang paling sederhana.
Jangan khawatir tentang OOF!
Banyak ahli matematika berpengalaman akan menyadari bahwa kita belum memperhatikan domain definisi. Aturannya bermuara pada fakta bahwa F(x) tentu lebih besar dari 0. Tidak, kami tidak melewatkan poin ini. Sekarang kita berbicara tentang keuntungan serius lainnya dari bentuk kanonik.
Tidak akan ada akar tambahan di sini. Jika suatu variabel hanya akan muncul di satu tempat, maka cakupan tidak diperlukan. Hal ini dilakukan secara otomatis. Untuk memverifikasi penilaian ini, cobalah memecahkan beberapa contoh sederhana.
Cara menyelesaikan persamaan logaritma dengan basis berbeda
Ini sudah merupakan persamaan logaritma yang kompleks, dan pendekatan untuk menyelesaikannya harus khusus. Di sini jarang sekali kita bisa membatasi diri pada bentuk kanonik yang terkenal buruk itu. Mari kita mulai cerita rinci. Kami memiliki konstruksi berikut.
Perhatikan pecahannya. Ini berisi logaritma. Jika Anda melihat ini dalam sebuah tugas, ada baiknya mengingat satu trik menarik.
Apa artinya? Setiap logaritma dapat direpresentasikan sebagai hasil bagi dua logaritma dengan basis yang sesuai. Dan formula ini punya kasus spesial, yang dapat diterapkan dengan contoh ini (artinya jika c=b).
Ini adalah pecahan yang kita lihat dalam contoh kita. Dengan demikian.
Intinya, kami membalikkan pecahan dan mendapatkan ekspresi yang lebih sesuai. Ingat algoritma ini!
Sekarang kita membutuhkan persamaan logaritma yang tidak mengandung alasan-alasan berbeda. Mari kita nyatakan basis sebagai pecahan.
Dalam matematika, ada aturan yang dengannya Anda dapat memperoleh gelar dari suatu basis. Berikut hasil konstruksinya.
Tampaknya apa yang menghentikan kita untuk mengubah ekspresi kita ke dalam bentuk kanonik dan menyelesaikannya secara mendasar? Tidak sesederhana itu. Tidak boleh ada pecahan sebelum logaritma. Mari kita perbaiki situasi ini! Pecahan diperbolehkan untuk digunakan sebagai derajat.
Masing-masing.
Jika basisnya sama, kita dapat menghilangkan logaritmanya dan menyamakan ekspresi itu sendiri. Dengan cara ini situasinya akan menjadi lebih sederhana dari sebelumnya. Yang tersisa adalah persamaan dasar yang masing-masing dari kita tahu cara menyelesaikannya di kelas 8 atau bahkan 7. Anda bisa melakukan perhitungan sendiri.
Kami telah memperoleh satu-satunya akar sejati dari persamaan logaritma ini. Contoh penyelesaian persamaan logaritma cukup sederhana bukan? Sekarang Anda akan mampu mengatasi sendiri masalah yang paling sulit sekalipun. tugas yang kompleks untuk mempersiapkan dan lulus Ujian Negara Bersatu.
Apa hasilnya?
Dalam kasus persamaan logaritma apa pun, kita mulai dari satu persamaan aturan penting. Penting untuk bertindak sedemikian rupa untuk memaksimalkan ekspresi tampilan sederhana. Dalam hal ini, Anda akan memiliki peluang lebih besar untuk tidak hanya menyelesaikan tugas dengan benar, tetapi juga melakukannya dengan cara yang paling sederhana dan paling logis. Ini adalah cara kerja matematikawan.
Kami sangat tidak menyarankan Anda mencari jalan yang sulit, terutama dalam hal ini. Ingat beberapa aturan sederhana, yang memungkinkan Anda mengubah ekspresi apa pun. Misalnya, kurangi dua atau tiga logaritma ke basis yang sama atau turunkan pangkat dari basis tersebut dan menangkan hal ini.
Perlu juga diingat bahwa menyelesaikan persamaan logaritma memerlukan latihan terus-menerus. Lambat laun Anda akan berpindah ke lebih banyak lagi struktur yang kompleks, dan ini akan mengarahkan Anda untuk dengan percaya diri menyelesaikan semua varian soal pada Ujian Negara Terpadu. Persiapkan jauh-jauh hari untuk ujian Anda dan semoga berhasil!
