Sampai saat ini, kita telah membicarakan tentang integral tak wajar dengan satu ciri yang terkait dengan ketidakterbatasan fungsi pada salah satu batas integrasi atau dengan ketidakterbatasan batas itu sendiri. Di sini kami akan menunjukkan dalam arti apa kemungkinan versi lain dari integral tak wajar dipahami.
Jika kedua limit integrasi merupakan singularitas dari salah satu tipe di atas, maka kita asumsikan menurut definisi
di mana c adalah titik sembarang dalam interval
Diasumsikan bahwa setiap integral tak wajar pada ruas kanan relasi (12) konvergen. Jika tidak, dikatakan bahwa integral pada ruas kiri (12) divergen.
Karena Keterangan 2 dan sifat aditif dari integral tak wajar, definisi (12) benar dalam arti sebenarnya tidak bergantung pada pilihan titik dengan
Contoh 13.
Contoh 14. Integral
disebut integral Euler-Poisson, dan terkadang juga integral Gawes. Ini jelas menyatu dengan pengertian yang disebutkan di atas. Nanti akan ditunjukkan bahwa itu sama dengan
Contoh 15. Integral
divergen, karena untuk setiap a setidaknya satu dari dua integralnya divergen
Contoh 16. Integral
konvergen jika setiap integralnya konvergen
Integral pertama konvergen jika untuk
di Integral kedua konvergen yang dapat dibuktikan secara langsung dengan integrasi bagian-bagian, serupa dengan yang dilakukan pada Contoh 12, atau dengan mengacu pada uji Abel-Dirichlet. Jadi, integral asal masuk akal ketika
Dalam kasus ketika integrand tidak dibatasi di sekitar salah satu titik internal dan segmen integrasi, kita asumsikan
mengharuskan kedua integral di sebelah kanan ada.
Contoh 17. Dalam arti setuju (13)
Contoh 18. Integral - tidak terdefinisi.
Ada juga kesepakatan yang berbeda dari (13) untuk menghitung integral suatu fungsi tak terbatas di lingkungan titik internal dan segmen integrasi. Yakni, mereka beriman
jika batas di sebelah kanan ada. Batasan ini, mengikuti Cauchy, disebut integral dalam arti nilai pokok, dan untuk membedakan definisi (13) dan (14), dalam kasus kedua huruf awal VP dari kata Perancis valeur pokok (nilai pokok) ditempatkan di depan tanda integral. Dalam versi bahasa Inggris, sebutan tersebut digunakan. (dari nilai pokok).
Sesuai dengan perjanjian yang kami miliki
Contoh 19.
Definisi berikut juga diterima:
Contoh 20.
Terakhir, jika pada interval integrasi terdapat beberapa (bilangan berhingga) singularitas tertentu yang terletak di dalam interval tersebut atau berimpit dengan ujung-ujungnya, maka interval tersebut dibagi dengan titik-titik non-tunggal menjadi sejumlah interval tersebut yang berhingga, yang masing-masing memiliki hanya satu singularitas, dan integral dihitung sebagai jumlah integral pada segmen partisi.
Dapat dipastikan bahwa hasil perhitungan tersebut tidak bergantung pada kesewenang-wenangan dalam pemilihan partisi.
Contoh 21. Definisi pasti dari logaritma integral sekarang dapat ditulis sebagai
Dalam kasus terakhir, simbol V.P. mengacu pada satu-satunya singularitas di dalam interval, yang terletak di titik 1. Perhatikan bahwa dalam pengertian definisi (13) integral ini tidak konvergen.
Perjanjian tentang penggunaan materi situs
Kami meminta Anda untuk menggunakan karya yang dipublikasikan di situs ini secara eksklusif untuk tujuan pribadi. Dilarang mempublikasikan materi di situs lain.
Karya ini (dan karya lainnya) tersedia untuk diunduh secara gratis. Anda dapat berterima kasih secara mental kepada penulisnya dan tim situsnya.
Mengirimkan karya bagus Anda ke basis pengetahuan itu sederhana. Gunakan formulir di bawah ini
Pelajar, mahasiswa pascasarjana, ilmuwan muda yang menggunakan basis pengetahuan dalam studi dan pekerjaan mereka akan sangat berterima kasih kepada Anda.
Dokumen serupa
Perhitungan besarnya biaya untuk rencana produksi. Koefisien persamaan linier regresi berpasangan. Karakteristik interpretasi grafis dari hasil. Perkembangan proses ekonomi. Fitur pemodelan ekonometrik deret waktu.
tes, ditambahkan 22/02/2011
Metode pemodelan simulasi, jenisnya, tahapan utama dan fiturnya: representasi statis dan dinamis dari sistem yang disimulasikan. Studi tentang praktik penggunaan metode pemodelan simulasi dalam analisis proses dan tugas ekonomi.
tugas kursus, ditambahkan 26/10/2014
Karakteristik dan deskripsi metode pemrograman linier, bidang utama penerapannya dan batasan penggunaannya. Pemecahan masalah ekonomi, ciri-ciri pembentukan model optimasi, perhitungan dan analisis hasil optimasi keuntungan.
tugas kursus, ditambahkan 23/03/2010
Hitung interval kepercayaan perkiraan untuk tren linier menggunakan persamaan eksponensial. Menilai kecukupan dan keakuratan model. Penggunaan metode adaptif dalam peramalan ekonomi. Rata-rata eksponensial untuk deret waktu.
tes, ditambahkan 13/08/2010
Pemodelan matematika. Inti dari analisis ekonomi. Metode matematika dalam analisis ekonomi. Teori antrian. Masalah perencanaan operasi suatu perusahaan, keandalan produk, alokasi sumber daya, dan harga.
tes, ditambahkan 20/12/2002
Melakukan analisis klaster perusahaan menggunakan program Statgraphics Plus. Konstruksi persamaan regresi linier. Perhitungan koefisien elastisitas menggunakan model regresi. Menilai signifikansi statistik persamaan dan koefisien determinasi.
tugas, ditambahkan 16/03/2014
Informasi tentang metode rata-rata bergerak, koefisien korelasi pasangan linier, analisis regresi. Merencanakan grafik perubahan nilai indikator berdasarkan data varian. Pengolahan deret waktu menggunakan metode rata-rata bergerak dan pembuatan grafik.
tugas kursus, ditambahkan 06/08/2012
Metode solusi yang efektif
integral tertentu dan integral tak wajar
Artikel ini berisi materi tambahan tentang metode penyelesaian integral tentu dan integral tak wajar. Pembaca diasumsikan memiliki keterampilan integrasi menengah hingga lanjutan. Jika tidak demikian, silakan mulai dengan dasar-dasarnya, yang ditujukan untuk orang bodoh: Integral tak tentu, contoh penyelesaian.
Jika ada integral tak tentu, ada terdekat dan Integral pasti, Anda juga harus mengenal rumus Newton-Leibniz secara langsung. Selain itu, mampu menyelesaikan yang paling sederhana soal menghitung luas bangun datar.
Pelajaran ini ditujukan bagi mereka yang ingin mempelajari cara menyelesaikan integral tertentu dan integral tak wajar dengan lebih cepat dan efisien. Pertama, saya akan mempertimbangkan fitur pengintegrasian fungsi genap dan ganjil pada interval yang simetris terhadap nol. Lalu kita akan mencari tahu soal mencari luas lingkaran menggunakan integral tertentu. Soal ini juga penting karena memperkenalkan Anda pada teknik umum untuk mengintegrasikan integral tertentu - substitusi trigonometri. Itu belum ditinjau di mana pun - materi baru!
Bagian kedua ditujukan agar pembaca mengetahuinya integral tak wajar. Demikian pula, mari kita pertimbangkan integral tak wajar dari fungsi genap dan ganjil pada interval simetris. Termasuk jenis integral tak wajar yang lebih jarang yang tidak disertakan dalam artikel utama: ketika batas bawah cenderung “minus tak terhingga”, ketika kedua batas cenderung tak terhingga, ketika pada kedua ujung segmen integrasi fungsi mengalami diskontinuitas tak terhingga (ini adalah sudah merupakan integral jenis kedua) . Dan integral tak wajar yang sangat langka - dengan titik diskontinuitas pada segmen integrasi.
Jika Anda tertarik pada sesuatu yang spesifik, berikut tautannya:
- Integral pasti dari fungsi genap pada segmen simetris
- Perhitungan luas lingkaran, substitusi trigonometri
- Integral tak wajar dengan batas integrasi tak terhingga
- Integral tak wajar jenis ke-2 dengan diskontinuitas pada kedua ujung ruasnya
- Integral tak wajar dengan diskontinuitas pada interval integrasi
Metode penyelesaian integral tentu suatu fungsi genap
Mari kita pertimbangkan integral tertentu dari bentuk . Sangat mudah untuk melihat bahwa segmen integrasi simetris terhadap nol.
Jika fungsi integralnya adalah bahkan, maka integralnya adalah hitung menggunakan setengah segmen, dan gandakan hasilnya: 
.
Banyak yang sudah menebak mengapa demikian, namun mari kita lihat contoh spesifik dengan gambar:
Contoh 1
Kesetaraan fungsi banyak dibahas dalam bahan ajar Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Mari kita ulangi sekali: suatu fungsi genap jika persamaannya berlaku. Bagaimana cara memeriksa paritas suatu fungsi? Perlu alih-alih gantikan "x".
Pada kasus ini:
, yang berarti fungsi ini genap.
Menurut aturan, pada segmen yang simetris terhadap nol, integral fungsi genap kita dapat dihitung sebagai berikut:
Dan sekarang interpretasi geometris. Ya, kami terus menyiksa parabola malang itu...
Setiap fungsi genap, khususnya, simetris terhadap sumbu: 
Integral tertentu secara numerik sama dengan luas bangun datar yang diberi warna hijau. Namun, karena paritas integran, dan oleh karena itu simetri grafiknya relatif terhadap sumbu, cukup menghitung luas bangun yang diarsir dengan warna biru, dan menggandakan hasilnya. Bagian yang identik!
Itu sebabnya tindakannya tepat 
Kisah serupa terjadi dengan fungsi genap apa pun di sepanjang segmen yang simetris terhadap nol: 
Beberapa orang akan berkata: “Mengapa semua ini perlu, Anda tetap dapat menghitung integral tertentu.” Bisa. Mari kita hitung:
Namun apakah nyaman untuk mengganti batas bawah negatif? Tidak terlalu. Omong-omong, persentase siswa yang bukan nol akan membuat kesalahan dalam tanda. Jauh lebih mudah dan menyenangkan untuk mengganti angka nol. Saya perhatikan bahwa ini hanyalah contoh demonstrasi sederhana; dalam praktiknya, segalanya bisa menjadi lebih buruk.
Selain itu, teknik yang dimaksud sering digunakan dalam perhitungan integral ganda, integral rangkap tiga, dimana perhitungannya sudah cukup.
Contoh pemanasan singkat untuk menyelesaikannya sendiri:
Contoh 2
Hitung integral tertentu 
Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.
Harap dicatat bahwa ketika Anda diminta untuk mengevaluasi integral tertentu, Anda tidak perlu menyelesaikan gambarnya! Ilustrasi pada Contoh 1 diberikan hanya untuk memperjelas aturan. Masalah sederhana berikut ini didedikasikan untuk saat ini:
Contoh 3
1) Hitung integral tertentu.
2) Hitung luas bangun datar yang dibatasi oleh garis dan sumbu pada intervalnya.
Ini adalah dua tugas yang berbeda! Ini sudah dibahas di artikel Bagaimana cara menghitung luas bangun datar? Mari kita bahas poin pertama dulu:
1) Integrannya genap, segmen integrasinya simetris terhadap nol, oleh karena itu: 
Integral tertentu ternyata negatif dan ini terjadi!
2) Sekarang mari kita cari luas bangun datar. Di sini sulit dilakukan tanpa gambar: 
Jika Anda kesulitan dengan kosinus naif, silakan merujuk ke artikel Transformasi geometri grafik.
Pada segmen tersebut grafik fungsinya terletak di bawah sumbu, oleh karena itu: 
Perhatikan bahwa tidak ada yang membatalkan paritas kosinus, jadi kami membagi dua segmen lagi dan menggandakan integralnya.
Menghitung luas lingkaran menggunakan integral tertentu
Substitusi trigonometri
Ini adalah tugas yang sangat penting, karena integral standar dan solusinya akan dipertimbangkan, yang akan sering ditemui di masa depan.
Tapi pertama-tama, pengingat singkat tentang persamaan lingkaran. Persamaan bentuk menentukan lingkaran dengan pusat di titik jari-jari. Secara khusus, persamaan tersebut mendefinisikan lingkaran dengan jari-jari yang berpusat di titik asal.
Contoh 4
Hitung luas lingkaran yang dibatasi oleh lingkaran yang diberikan oleh persamaan
adalah lingkaran yang berpusat di titik asal jari-jari.
Mari kita membuat gambarnya: 
Pertama, mari kita hitung luas lingkaran menggunakan rumus sekolah yang terkenal. Jika jari-jari sebuah lingkaran adalah , maka luasnya adalah:
Untuk menghitung luas lingkaran menggunakan integral tertentu, fungsi “Y” perlu dinyatakan dalam bentuk eksplisit dari persamaan lingkaran:
Setengah lingkaran atas diberikan oleh persamaan
Setengah lingkaran bawah diberikan oleh persamaan
Khususnya orang yang paranoid, seperti saya, dapat mengganti beberapa titik lingkaran ke dalam persamaan ini dan memverifikasi validitas pernyataan di atas.
Bagaimana cara menghitung luas lingkaran? Pada contoh ini lingkarannya simetris terhadap titik asal, jadi cukup menghitung luas bidang pada triwulan pertama (diarsir dengan warna biru), lalu kalikan hasilnya dengan 4.
Dengan demikian: 
Integral tak tentu yang sama tetapi dibahas dalam contoh 6 pelajaran Integral kompleks, hal ini diselesaikan dengan metode reduksi integral ke dirinya sendiri yang memakan waktu dan memakan waktu. Anda dapat melakukan hal yang sama, tetapi untuk integral tertentu ada metode yang mudah dan efektif substitusi trigonometri:
Mari kita buat penggantinya:
Mengapa sebenarnya penggantian ini akan segera menjadi jelas, tetapi untuk saat ini mari kita cari perbedaannya:
Mari kita cari tahu akan menjadi apa root itu, saya akan menjelaskannya dengan sangat detail:
Jika selama penyelesaian Anda tidak dapat menebaknya, terapkan rumus seperti 
, lalu, sayang sekali, Anda akan mendengar dari guru “kembali lagi lain kali”.
Setelah mentransformasikan akar, terlihat jelas mengapa penggantian dilakukan, saya memberikan perhatian khusus pada koefisien sinus - "dua", koefisien ini harus dipilih sedemikian rupa sehingga ketika mengkuadratkan semuanya dikeluarkan dari tanda kurung dan dari bawah akar.
Masih menghitung batas integrasi baru:
Jika kemudian 
Batas integrasi bawah yang baru: 
Batas atas integrasi baru: 
Dengan demikian: 
Luas bidang harus dikalikan 4, jadi luas seluruh lingkaran adalah:
Mungkin ada yang bertanya-tanya: buat apa repot-repot menggunakan integral kalau ada rumus sekolah singkatnya? Namun triknya adalah kemampuan menghitung luas lingkaran dengan sangat akurat hanya muncul dengan berkembangnya analisis matematis (walaupun pada zaman dahulu luas lingkaran dihitung dengan akurasi yang lumayan).
Contoh yang dianalisis dapat diselesaikan dalam bentuk umum, yaitu mencari luas lingkaran yang dibatasi oleh lingkaran dengan jari-jari sembarang: . Hasilnya persis seperti rumusnya!
Perlu dicatat bahwa pendekatan lain dapat diterapkan untuk menyelesaikan masalah ini - menghitung luas setengah lingkaran atas menggunakan integral 
, lalu gandakan hasilnya. Namun karena paritas integran, solusinya direduksi menjadi versi optimal: 
Sekali lagi saya tekankan pentingnya substitusi trigonometri, hal ini dalam praktiknya akan terjadi lebih dari satu atau dua kali. Oleh karena itu, untuk mengkonsolidasikan materi, tugas yang sedikit lebih rumit harus diselesaikan secara mandiri:
Contoh 5
Hitung integral tertentu 
Kondisi tersebut memerlukan penghitungan integral tertentu, sehingga tidak perlu menyelesaikan gambar. Pikirkan baik-baik tentang koefisien penggantian. Jika Anda mengalami kesulitan dengan integral setelah penggantian, kembalilah ke pelajaran Integral fungsi trigonometri. Hati-hati! Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.
Metode penyelesaian integral tentu suatu fungsi ganjil
sepanjang segmen yang simetris terhadap nol
Kamu akan menyukainya.
Mari kita perhatikan integral tertentu yang sama dengan segmen integrasi yang simetris terhadap nol: .
Jika integrannya adalah aneh, Itu .
Mengapa integral tersebut sama dengan nol?
Contoh 6
Hitung integral tertentu
Mari kita membuat gambarnya: 
Di sini, pada saat yang sama, adalah grafik fungsi, yang belum pernah saya lihat sebelumnya; grafiknya adalah parabola kubik terbalik.
Mari kita periksa fungsi kita untuk genap/ganjil:
, artinya fungsi ini ganjil, dan grafiknya simetris terhadap titik asal. Dari simetri grafik tersebut diketahui bahwa luas daerah yang diarsir merah dan biru adalah sama besar..
Saat menghitung integral tentu, luas yang diberi warna biru secara formal adalah negatif. Dan daerah yang diberi warna merah adalah daerah positif. Karena luas-luas tersebut sama besar dan secara formal bertanda berlawanan, maka keduanya saling meniadakan.
Dan sekali lagi saya tekankan perbedaan tugas-tugas tersebut:
1) Setiap integral tertentu (tentu saja harus ada) – secara formal masih merupakan sebuah kawasan(walaupun negatif). Oleh karena itu, khususnya, karena keanehan fungsi area, keduanya saling meniadakan. Hal ini diilustrasikan dengan contoh spesifik.
2) Masalah mencari luasnya adalah tugas yang sama sekali berbeda. Jadi, jika kita diminta mencari luas bangun pada contoh ini, maka harus dihitung sebagai berikut: 
Beberapa contoh singkat lagi tentang topik aturan ini: 
Demikian pula untuk fungsi ganjil dan segmen yang simetris terhadap nol.
Haruskah metode ini digunakan dalam praktik? Sebenarnya pertanyaannya tidak sesederhana itu. Ketika Anda diberikan contoh kompleks dengan jumlah perhitungan yang banyak, adalah mungkin, dan bahkan tepat, untuk menunjukkan bahwa integral tersebut sama dengan nol, mengacu pada keanehan fungsi dan simetri segmen integrasi terhadap nol. . Seperti yang mereka katakan, pengetahuan adalah kekuatan, dan ketidaktahuan adalah tenaga kerja.
Namun ketika Anda diberikan contoh singkat, guru dapat memaksa Anda untuk menyelesaikannya secara mendetail: ambil integralnya dan substitusikan limit integrasinya menggunakan rumus Newton-Leibniz. Misalnya, Anda diminta menghitung integral tentu yang sama. Jika Anda langsung menuliskan maksud Anda dan menjelaskan dengan kata-kata mengapa ternyata nol, itu tidak akan terlalu baik. Jauh lebih baik untuk “berpura-pura bodoh” dan melakukan solusi lengkap:
Dan Anda akan mengetahui sebelumnya bahwa integralnya sama dengan nol ;-) Dan pengetahuan ini akan 100% memungkinkan Anda menghindari kesalahan.
Metode penyelesaian integral tak wajar dengan batas bawah tak terhingga
Artikel bagian kedua ditujukan bagi mereka yang telah memahami pelajaran dengan baik Integral tak wajar. Contoh solusi, atau setidaknya memahami sebagian besarnya. Kita akan membahas tentang integral tak wajar jenis pertama dengan batas bawah tak terhingga: .
Contoh 7
Apa perbedaan integral ini dengan integral tak wajar “biasa” yang batas atasnya tak terhingga? Praktis tidak ada apa pun dalam hal teknologi solusi. Anda juga perlu mencari antiturunan (integral tak tentu), dan Anda juga perlu menggunakan limit saat menghitung integral. Bedanya, batas bawah integrasi harus diarahkan ke “minus tak terhingga”: .
Dari penjelasan di atas, rumus yang jelas untuk menghitung integral tak wajar adalah sebagai berikut: 
Dalam contoh ini, integran kontinu pada dan:
, yaitu integral tak wajar divergen.
Di sini, yang utama adalah hati-hati dengan tanda-tanda, dan jangan lupa itu. Anda perlu memahami dengan cermat apa yang sedang terjadi.
Contoh 8
Hitung integral tak wajar atau tentukan divergensinya.
Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.
Metode penyelesaian integral tak wajar
dengan batas integrasi yang tak terbatas
Sebuah kasus yang sangat menarik. Integral tak wajar jenis pertama dengan batas integrasi tak terhingga mempunyai bentuk sebagai berikut:
Bagaimana cara mengatasinya? Integral ini harus direpresentasikan sebagai jumlah dari dua integral tak wajar: 
(semua yang cerdik itu sederhana) dan lihat situasinya:
Catatan: Angka apa pun dapat digunakan sebagai pengganti nol, tetapi nol biasanya yang paling sesuai.
Contoh 9
Hitung integral tak wajar atau tentukan divergensinya.
Integran tersebut kontinu pada seluruh garis bilangan. Kami menyatakan integral sebagai jumlah dari dua integral: 
dan menanganinya secara terpisah:
Dengan demikian: 
, yaitu integral tak wajar ada dan konvergen.
Sekarang mari kita perhatikan fungsi integran. Dia kebetulan bahkan.
Dalam integral tak wajar dengan limit tak terhingga (dan oleh karena itu interval integrasi simetris), paritas DAPAT digunakan. Mirip dengan integral tentu, akan bermanfaat jika intervalnya dibelah dua dan hasilnya digandakan:
Mengapa hal ini mungkin terjadi? Grafik integral fungsi genap simetris terhadap sumbunya. Akibatnya, jika separuh luasnya berhingga (integralnya konvergen), maka separuh luas yang simetris juga berhingga. Jika separuh luasnya tak terhingga (integralnya divergen), maka separuh simetrisnya juga akan divergen. Dan jangan lupakan kasus ketiga: jika setengahnya tidak ada, maka yang kedua, dan seluruh integralnya juga. Misalnya:
– limit ini tidak ada, yang berarti integral tak wajar tidak ada.
Mari beralih ke kasus yang lebih menarik:
Contoh 10
Selidiki integral tak wajar untuk konvergensi.
Perhatikan tugasnya - di sini kondisinya tidak lagi menyatakan fakta keberadaan integral.
Integran ini kontinu di sepanjang garis bilangan, dan dalam gaya akademis kami membagi pasien menjadi dua bagian: 
Mari kita selesaikan yang pertama:
dan yang kedua:
Dan, terlepas dari kenyataan bahwa keduanya merupakan bagian integral terpisah divergen – integral terakhir dalam kasus umum tidak ada, karena jumlahnya 
tidak ditentukan. Mengapa? Karena variabel “a” bisa cenderung ke “minus infinity”, misalnya LEBIH CEPAT dibandingkan variabel “be” ke “plus infinity” (atau sebaliknya).
Tapi ada kasus khusus - ketika kedua variabel cenderung tak terhingga dengan cara yang sama. Hal ini dinyatakan dengan limit: 
dan dipanggil konvergensi integral Cauchy
. Nilai limit itu sendiri disebut nilai utama integral tak wajar
.
Dan karena kondisi mengharuskan kita riset, maka berikut ini akan melek huruf menjawab: dalam kasus umum, integral tak wajar tidak ada, tetapi terjadi konvergensi Cauchy dan nilai pokok integral sama dengan nol. Arti utamanya biasanya dilambangkan sebagai berikut: 
Dan sekarang poin yang sangat penting: integrannya adalah aneh, dan seperti yang Anda tebak dengan benar, dalam integral tak wajar dengan batas tak terhingga, keanehan TIDAK BOLEH digunakan!!!
Inilah perbedaan dari integral tertentu. Di sana Anda dapat menuliskannya dengan aman, tetapi di sini Anda dapat melakukan hal yang sama jangan lakukan itu. Mengapa? Karena dalam beberapa kasus, seperti pada contoh yang dipertimbangkan, akan terjadi kesalahan otomatis, yang tidak benar.
Kehalusannya adalah bahwa integral dari beberapa fungsi ganjil sebenarnya sama dengan nol! Dan justru kehalusan inilah yang dikhususkan untuk contoh solusi independen berikut.
Integral tak wajar
dengan beberapa fitur.
Jika suatu fungsi terdefinisi pada interval (a,b) dan tidak terbatas pada titik a dan b dan untuk beberapa pilihan titik c (a,b) terdapat integral tak wajar pada setengah interval (a,c] dan integralnya adalah didefinisikan. Tetapi x=1 adalah titik tunggal.
Agar integral dapat konvergen, maka integral-integral tersebut harus konvergen
Mari kita pertimbangkan dulu
P 
ketika b1 F(b)=ln[(1-x)/(1+x)] tidak mempunyai limit ini dan, sebagai konsekuensinya, integral aslinya divergen.
Catatan.
Jika Anda tidak memperhatikan titik tunggal dan menerapkan rumus Newton-Leibniz, Anda bisa mendapatkan jawaban yang salah ln1/3. Oleh karena itu, sebelum memeriksa integral tak wajar untuk konvergensi, ada baiknya mempelajari integran dengan cermat, mencari bentuk tunggalnya poin dan membuat sketsa. Dalam contoh kita, fungsi pada segmen terlihat seperti ini:
Akibatnya, seluruh integral divergen; kita hanya mencatatnya pada interval .(8)
0 abx 0 abx
Gambar menjelaskan integral (7) Gambar menjelaskan integral (8)
Jika fungsi terdefinisi pada interval (a,b) dan tidak terbatas pada titik a dan b, dan untuk beberapa pilihan titik c (a,b), terdapat integral tak wajar pada setengah interval (a,c] dan Integran didefinisikan. Tetapi x=1 adalah titik khusus.
Agar integral dapat konvergen, maka integral-integral tersebut harus konvergen
Mari kita pertimbangkan dulu
P
ketika b1 F(b)=ln[(1-x)/(1+x)] tidak mempunyai limit ini dan, sebagai konsekuensinya, integral aslinya divergen.
Catatan. Jika Anda tidak memperhatikan titik tunggal dan menerapkan rumus Newton-Leibniz, Anda bisa mendapatkan jawaban yang salah ln1/3. Oleh karena itu, sebelum memeriksa integral tak wajar untuk konvergensi, ada baiknya mempelajari integran dengan cermat, mencari bentuk tunggalnya poin dan membuat sketsa. Dalam contoh kita, fungsi pada segmen terlihat seperti ini (Gambar 5)
FORMULA KALKULUS INTEGRAL UNTUK YANG TIDAK BENAR
INTEGRAL.
1) Rumus Newton-Leibniz.
Biarkan fungsi f kontinu
T 
.e. konvergen, dan untuk fg=1/x
DAN
integralnya divergen, fungsi fg=1/x tidak dapat diintegrasikan dalam arti yang tidak tepat pada (0,1]
INTEGRAL YANG TIDAK BENAR DARI FUNGSI KONSTAN.
Dalam suatu mata kuliah analisis matematis terdapat integral tak wajar yang nilainya sulit dihitung secara akurat, misalnya (8.1)
Dan 
kemudian siswa diberi tugas: mempelajari integral tak wajar untuk konvergensi tanpa menghitung nilainya.
TANDA PERBANDINGAN.
Fitur utama untuk mempelajari konvergensi integral tak wajar dari fungsi bertanda konstan. Esensinya bermuara pada pemilihan apa yang disebut fungsi perbandingan, yang integral tak wajarnya pada interval tertentu dapat dengan mudah dihitung dan ditarik kesimpulan. tentang konvergensi integral asal menggunakan pernyataan berikut:
P 
Biarkan fungsi f(x) dan g(x) menjadi non-negatif pada setengah interval:
DI DALAM 
kasusnya, jika integran mempunyai titik tunggal x=b, maka perlu dicari fungsi perbandingannya dalam bentuk
DAN 
penyelidikan yang mana, ketika mengganti variabel y=x-b, akan membawa kita ke kasus yang baru saja dipertimbangkan pada interval (0;a]
Contoh 10:
DENGAN
Oleh karena itu, seluruh integral divergen; kita hanya mencatatnya pada interval )
