Kali ini kami akan memberi tahu Anda di mana di Moskow Anda bisa belajar bahasa Jerman dan mengasah keterampilan Anda pidato lisan, berkomunikasi dengan orang-orang yang berpikiran sama dan penutur asli, bermain game, menonton film, dan berdiskusi topik yang berbeda Jerman. Dan yang paling penting - semua ini gratis atau sangat murah!
Lingkaran Perancis-Jerman di Ruang Baca Perpustakaan dinamai I. S. Turgenev telah menyelenggarakan kelas bahasa Jerman selama bertahun-tahun, yang bertujuan untuk memelihara dan meningkatkan tingkat kemahiran berbahasa, keterampilan berbicara dan membaca. Ada juga sesi membaca sastra klasik dalam bahasa aslinya.
Kapan: Silakan periksa jadwal kelas melalui telepon.
Di mana: Ruang baca perpustakaan dinamai I. S. Turgenev (metro Chistye Prudy/Turgenevskaya, jalur Bobrov, 6, gedung 1, 2).
Harga: gratis. Ada biaya keanggotaan tahunan sebesar 500 rubel.
Catatan: perekrutan siswa dilakukan sebelum dimulainya yang baru tahun ajaran berdasarkan pengujian.
Rumah Rusia-Jerman di Moskow. Itu bahasa Jerman Pusat Kebudayaan, antara lain menawarkan kursus bahasa Jerman gratis. Pertama-tama, orang diundang untuk menghadiri kelas. etnis Jerman yang tinggal di Rusia dan ingin belajar bahasa Jerman. Untuk yang lainnya ada kuota 10%. Untuk menjadi seorang pelajar kursus bahasa, Anda harus mengisi formulir di website RND.
Kapan: dua kali seminggu (jadwal akan dikonfirmasi).
Di mana: st. Malaya Pirogovskaya, 5 (stasiun metro Frunzenskaya).
Harga: gratis.
Pada topik ini:
Ruang Kuliah Linguistik Libertat . Kelas bahasa Jerman dirancang untuk siswa dengan tingkat yang berbeda kemahiran bahasa. Anda dapat bergabung dengan grup kapan saja. Untuk mendapatkan pelajaran, Anda perlu mendaftar di halaman Kuliah di di jejaring sosial. Di sana Anda juga dapat menemukan jadwal interaktif dan materi pendidikan di mana pelajaran diajarkan.
Kapan: untuk pemula - Rabu dari 18 hingga 20 jam, untuk perantara - Senin, Rabu dari 19 hingga 21 jam, Sabtu - dari 11 hingga 14 jam
Di mana: untuk pemula – Hostel “Privet” (metro Kurskaya, jalur Podsosensky, 3, gedung 2), toko buku majalah “Moskow”; bagi yang melanjutkan - Knizhny (Arbat St., 20), pada hari Sabtu - Perpustakaan No. 187 dinamai. Pablo Neruda (stasiun metro VDNKh, Mira Avenue, 180).
Harga: untuk pemula – gratis, untuk menengah – 200 rubel.
Catatan: Anda dapat memperoleh informasi tentang grup dan level, mendaftar ke grup, dan mengetahui jadwal terkini serta lokasi kelas di Halaman resmi Kuliah di jejaring sosial.
Klub percakapanMENGGABUNGKAN . Setiap minggu, anggota klub berkumpul di kedai kopi untuk berbicara, berdiskusi terkini dan topik yang menarik, mengenal satu sama lain dan bermain Permainan papan pada Jerman. Waktu komunikasi tidak dibatasi.
Kapan: Sabtu mulai pukul 19:00.
Di mana: Kedai kopi Starbucks di Paveletskaya (metro Paveletskaya, jalan Kozhevnicheskaya, 1).
Harga: 200 gosok.
Klub percakapan ESPlaneta Setiap minggunya ia mengadakan pertemuan bahasa dengan penutur asli untuk pelajar bahasa Jerman. Program ini mencakup permainan untuk latihan percakapan, diskusi, dan perkenalan.
Kapan: pada hari Minggu.
Di mana: Kedai kopi Starbucks di Serpukhovskaya (stasiun metro Serpukhovskaya, jalur Stremyanny, 38/3)
Harga: 200 gosok.
Sebelumnya kita menganggap integral tertentu sebagai selisih nilai antiturunan dari integral tersebut. Diasumsikan bahwa integran memiliki antiturunan pada interval integrasi.
Dalam hal antiturunan dinyatakan melalui fungsi dasar, kita bisa yakin akan keberadaannya. Tetapi jika tidak ada ungkapan seperti itu, maka pertanyaan tentang keberadaan antiturunan tetap terbuka, dan kita tidak mengetahui apakah integral tertentu yang bersesuaian itu ada.
Pertimbangan geometris menunjukkan bahwa meskipun, misalnya, untuk fungsi y=e^(-x^2) tidak mungkin menyatakan antiturunan melalui fungsi dasar, integralnya \textstyle(\int\limits_(a)^(b)e^(-x^2)\,dx) ada dan sama dengan luas bangun datar yang dibatasi oleh sumbu x, grafik fungsi y=e^(-x^2) dan garis lurus x=a,~ x=b (Gbr. 6). Namun dengan lebih banyak lagi analisis yang ketat ternyata konsep luas itu sendiri memerlukan pembenaran, oleh karena itu tidak dapat diandalkan ketika menjawab pertanyaan tentang keberadaan antiturunan dan integral tertentu.
Mari kita buktikan itu fungsi apa pun yang kontinu pada suatu interval mempunyai antiturunan pada interval tersebut, dan, oleh karena itu, terdapat integral pasti untuk segmen ini. Untuk melakukan hal ini, kita memerlukan pendekatan berbeda terhadap konsep integral tertentu, yaitu pendekatan yang tidak bergantung pada asumsi keberadaan antiturunan.
Mari kita buat beberapa dulu sifat-sifat integral tertentu, dipahami sebagai perbedaan nilai antiturunan.
Perkiraan integral tertentu
Teorema 1. Biarkan fungsi y=f(x) dibatasi pada interval, dan m=\min_(x\dalam)f(x) Dan M=\maks_(x\dalam)f(x), masing-masing, yang terkecil dan nilai tertinggi fungsi y=f(x) pada , dan pada segmen ini fungsi y=f(x) mempunyai antiturunan. Kemudian
m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a).
Bukti. Misalkan F(x) adalah salah satu antiturunan dari fungsi y=f(x) pada ruas tersebut. Kemudian
\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=\Besar.(F(x))\Lebih Besar|_(a)^(b)=F(b)-F(a).
Menurut teorema Lagrange F(b)-F(a)=F"(c)(b-a), dimana
Dengan syarat, untuk semua nilai x dari segmen tersebut berlaku pertidaksamaan berikut: m\leqslant f(x)\leqslant M, Itu sebabnya m\leqslant f(c)\leqslant M dan maka dari itu
m(b-a)\leqslant f(c)(b-a)\leqslant M(b-a), itu adalah m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a),
Q.E.D.
Pertidaksamaan ganda (1) hanya memberikan perkiraan kasar terhadap nilai integral tertentu. Misalnya, pada suatu segmen nilai fungsi y=x^2 berada antara 1 dan 25, sehingga terjadi pertidaksamaan.
4=1\cdot(5-1)\leqslant \int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 25\cdot(5-1)=100.
Untuk mendapatkan perkiraan yang lebih akurat, bagilah segmen tersebut menjadi beberapa bagian dengan titik a=x_0
m_k\cdot\Delta x_k\leqslant \int\limits_(x_k)^(x_(k+1)) f(x)\,dx\leqslant M_k\cdot \Delta x_k\,
dimana \Delta x_k menunjukkan perbedaan (x_(k+1)-x_k), yaitu panjang segmen. Menuliskan pertidaksamaan ini untuk semua nilai k dari 0 sampai n-1 dan menjumlahkannya, kita memperoleh:
\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1) ))f(x)\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k),
Tetapi menurut sifat penjumlahan suatu integral tertentu, jumlah integral pada seluruh bagian suatu segmen sama dengan integral pada segmen tersebut, yaitu.
\jumlah_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1))f(x)\,dx= \int\limits_a)^(b)f(x) \,dx\,.
Cara,
\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(a)^(b)f(x )\,dx\leqslant \jumlah_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k)
Misalnya, jika Anda membagi suatu segmen menjadi 10 bagian yang sama, yang masing-masing memiliki panjang 0,4, maka pada segmen parsial ketimpangan tetap terjadi
(1+0,\!4k)^2\leqslant x^2\leqslant \bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2
Oleh karena itu kami memiliki:
0,\!4\sum_(k=0)^(9)(1+0,\!4k)^2\leqslant \int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 0, \!4\jumlah_(k=0)^(9)\bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2.
Menghitung, kita mendapatkan: 36,\!64\leqslant \int\limits_(1)^(5) x^2\,dx\leqslant 46,\!24. Perkiraan ini jauh lebih akurat dibandingkan yang diperoleh sebelumnya 4\leqslant\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant100.
Untuk mendapatkan perkiraan integral yang lebih akurat, Anda perlu membagi segmen tersebut bukan menjadi 10, tetapi, katakanlah, menjadi 100 atau 1000 bagian dan menghitung jumlah yang sesuai. Tentu saja integral ini lebih mudah dihitung dengan menggunakan antiturunan:
\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx= \kiri.(\frac(x^3)(3))\kanan|_(1)^(5)= \frac(1) (3)(125-1)= \frac(124)(3)\,.
Tetapi jika ekspresi antiturunan tidak kita ketahui, maka pertidaksamaan (2) memungkinkan untuk memperkirakan nilai integral dari bawah dan dari atas.
Integral pasti sebagai suatu bilangan pembagi
Bilangan m_k dan M_k yang termasuk dalam pertidaksamaan (2) dapat dipilih secara sembarang, selama pertidaksamaan tersebut terdapat pada masing-masing ruas. m_k\leqslant f(x)\leqslant M_k. Estimasi integral yang paling akurat untuk partisi segmen tertentu diperoleh jika kita menganggap M_k sebagai nilai terkecil dan m_k sebagai nilai terbesar dari semua nilai yang mungkin. Artinya sebagai m_k kita harus mengambil batas bawah tepat dari nilai fungsi y=f(x) pada segmen tersebut, dan sebagai M_k batas atas tepat dari nilai-nilai ini pada segmen yang sama:
m_k=\inf_(x\in)f(x),\qquad M_k=\sup_(x\in)f(x).
Jika y=f(x) adalah fungsi yang dibatasi pada segmen tersebut, maka fungsi tersebut juga dibatasi pada setiap segmen, dan oleh karena itu untuknya bilangan m_k dan M_k,~ 0\leqslant k\leqslant n-1. Dengan pilihan angka m_k dan M_k ini, jumlahnya \textstyle(\jumlah\batas_(k=0)^(n-1)m_k\Delta x_k) Dan \textstyle(\jumlah\batas_(k=0)^(n-1)M_k\Delta x_k) masing-masing disebut jumlah integral Darboux bawah dan atas untuk fungsi y=-f(x) untuk partisi tertentu P:
a=x_0 segmen Kita akan menyatakan jumlah ini masing-masing sebagai s_(fP) dan S_(fP), dan jika fungsinya y=f(x) tetap, maka cukup s_P dan S_P. Ketimpangan (2) artinya jika suatu fungsi y=f(x) dibatasi pada suatu interval mempunyai antiturunan pada interval tersebut, maka integral tertentu memisahkan himpunan numerik \(s_p\) dan \(S_P\) , yang masing-masing terdiri dari semua jumlah Darboux bawah dan atas untuk semua kemungkinan partisi P dari interval. Secara umum, mungkin saja bilangan yang memisahkan kedua himpunan ini tidak unik. Namun kita akan melihat di bawah bahwa untuk kelas fungsi yang paling penting (khususnya, untuk fungsi kontinu), fungsi ini unik. Hal ini memungkinkan kami memperkenalkan definisi baru untuk \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx), yang tidak didasarkan pada konsep antiturunan, tetapi hanya menggunakan jumlah Darboux. Definisi. Suatu fungsi y=f(x) yang dibatasi pada suatu interval disebut dapat diintegralkan pada interval ini jika terdapat satu bilangan \ell yang memisahkan himpunan jumlah Darboux bawah dan atas yang terbentuk untuk semua kemungkinan partisi interval. Jika fungsi y=f(x) dapat diintegralkan pada interval, maka satu-satunya bilangan yang memisahkan himpunan-himpunan ini disebut integral tentu dari fungsi tersebut pada interval dan berarti . Kami telah mendefinisikan integral \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx) untuk kasus ketika a b , lalu kita masukkan \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx= -\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx\,. Definisi ini wajar, karena ketika arah interval integrasi berubah, semua perbedaannya \Delta x_k=x_(k+1)-x_k ubah tandanya, lalu ubah tanda dan jumlah Darboux dan, dengan demikian, bilangan yang memisahkannya, yaitu. integral. Sejak a=b semua \Delta x_k hilang, kita atur \int\batas_(b)^(a)f(x)\,dx=0. Kami menerima dua definisi konsep integral tertentu: sebagai selisih antara nilai antiturunan dan sebagai bilangan pembagi jumlah Darboux. Definisi-definisi ini dalam kasus-kasus yang paling penting menghasilkan hasil yang sama: Teorema 2. Jika suatu fungsi y=f(x) dibatasi pada suatu interval dan mempunyai antiturunan y=F(x) di atasnya, dan terdapat satu bilangan yang memisahkan jumlah Darboux bawah dan atas, maka bilangan tersebut sama dengan F(b )-F(a). Bukti. Kita buktikan di atas bahwa bilangan F(a)-F(b) memisahkan himpunan \(s_P\) dan \(S_P\) . Karena dengan syarat bilangan pemisah didefinisikan secara unik, maka bilangan tersebut bertepatan dengan F(b)-F(a) . Mulai sekarang kita akan menggunakan notasi \textstyle(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx) hanya untuk satu nomor yang memisahkan himpunan \(s_P\) dan \(S_P\) . Dari teorema yang terbukti tidak ada kontradiksi dengan pengertian notasi yang kami gunakan di atas. Agar definisi integral yang diberikan sebelumnya masuk akal, perlu dibuktikan bahwa himpunan jumlah Darboux atas memang terletak di sebelah kanan himpunan jumlah Darboux bawah. Lemma 1. Untuk setiap partisi P, jumlah Darboux bawah yang sesuai tidak melebihi jumlah Darboux atas, s_P\leqslant S_P . Bukti. Mari kita pertimbangkan beberapa partisi P dari segmen tersebut: a=x_0 Jelasnya, untuk setiap k dan untuk setiap partisi yang dipilih P, ketidaksetaraan s_P\leqslant S_P berlaku. Karena itu, m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k, dan itulah kenapa s_P= \jumlah_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P. Pertidaksamaan (4) hanya berlaku untuk partisi tetap P. Oleh karena itu, belum dapat dikatakan bahwa jumlah Darboux yang lebih rendah dari satu partisi tidak dapat melebihi jumlah Darboux atas dari partisi lain. Untuk membuktikan pernyataan ini kita memerlukan lemma berikut: Lemma 2. Dengan menambahkan titik pembagian baru, jumlah Darboux yang lebih rendah tidak dapat dikurangi, dan jumlah yang lebih tinggi tidak dapat bertambah. Bukti. Mari kita pilih beberapa partisi P dari segmen tersebut dan tambahkan titik pembagian baru (x^(\ast)) ke dalamnya. Mari kita nyatakan partisi baru dengan P^(\ast) . Partisi P^(\ast) adalah penyempurnaan dari partisi P, yaitu. setiap titik partisi P juga merupakan titik partisi P^(\ast) . Biarkan titik (x^(\ast)) jatuh pada ruas tersebut \titik dua\, x_k Tambahan m_k(x_(k+1)-m_(k)) Jumlah Darboux awal yang lebih rendah dalam jumlah Darboux bawah yang baru berhubungan dengan dua suku: m_(k)^(\ast)(x^(\ast)-x_k)+ m_(k)^(\ast\ast)(x_(k+1)-x^(\ast)). Di mana m_k\leqslant m_(k)^(\ast) Dan m_k\leqslant m_(k)^(\ast\ast), karena m_k adalah batas bawah tepat untuk nilai fungsi f(x) pada seluruh segmen, dan m_(k)^(\ast) dan m_(k)^(\ast\ast) hanya pada segmen tersebut bagian dan
masing-masing. Mari kita perkirakan dari bawah jumlah suku-suku yang dihasilkan: \begin(sejajar) m_(k)^(\ast)\bigl(x^(\ast)-x_(k)\bigr)+ m_(k)^(\ast\ast)\bigl(x_(k+ 1 )-x^(\ast)\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^(\ast)-x_k)+m_k(x_(k+1)-x^(\ast)\bigr ) =\\ &=m_k\bigl(x^(\ast)-x_k+x_(k+1)-x^(\ast)\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_(k+1) - x_k\bigr).\end(sejajar) Karena sisa suku dalam jumlah Darboux bawah lama dan baru tetap tidak berubah, jumlah Darboux bawah tidak berkurang dengan penambahan titik pembagian baru, s_P\leqslant S_P . Pernyataan yang terbukti tetap valid bahkan ketika menambahkan sejumlah titik berhingga ke partisi P. Pernyataan tentang jumlah Darboux atas dibuktikan dengan cara yang sama: S_(P^(\ast))\leqslant S_(P). Mari kita lanjutkan dengan membandingkan jumlah Darboux untuk dua partisi mana pun. Lemma 3. Tidak ada jumlah Darboux yang lebih rendah yang melebihi jumlah Darboux atas (walaupun jumlah tersebut sesuai dengan partisi segmen yang berbeda). Bukti. Pertimbangkan dua partisi sembarang P_1 dan P_2 dari segmen tersebut dan bentuk partisi ketiga P_3, yang terdiri dari semua titik partisi P_1 dan P_2. Jadi, partisi P_3 merupakan penyempurnaan dari partisi P_1 dan partisi P_2 (Gbr. 7). Mari kita tunjukkan jumlah Darboux bawah dan atas untuk partisi ini s_1,~S_1.~s_2,~S_2 dan buktikan bahwa s_1\leqslant S_2 . Karena P_3 merupakan penyempurnaan dari partisi P_1, maka s_1\leqslant s_3. Selanjutnya, s_3\leqslant S_3 , karena jumlah s_3 dan S_3 berhubungan dengan partisi yang sama. Terakhir, S_3\leqslant S_2 , karena P_3 merupakan penyempurnaan dari partisi P_2 . Dengan demikian, s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2, yaitu s_1\leqslant S_2 , itulah yang perlu dibuktikan. Dari Lemma 3 berikut ini himpunan numerik X=\(s_P\) dari jumlah Darboux bawah terletak di sebelah kiri himpunan numerik Y=\(S_P\) dari jumlah Darboux atas. Berdasarkan teorema adanya bilangan pemisah untuk dua himpunan bilangan1, paling sedikit terdapat satu bilangan / yang memisahkan himpunan X dan Y, yaitu. sedemikian rupa sehingga untuk setiap partisi segmen, pertidaksamaan ganda berlaku: s_P= \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\ cdot\Delta x_k\bigr)=S_P. Jika nomor ini unik, maka \textstyle(I= \int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx). Mari kita berikan contoh yang menunjukkan bahwa bilangan I, secara umum, tidak terdefinisi secara unik. Ingatlah bahwa fungsi Dirichlet adalah fungsi y=D(x) pada interval yang ditentukan oleh persamaan: D(x)= \begin(case)0,& \text(if)~~ x~~\text(adalah bilangan irasional);\\1,& \text(if)~~ x~~ \text(is bilangan rasional).\end(kasus) Apapun segmen yang kita ambil, akan ada poin rasional dan irasional di dalamnya, yaitu. dan titik di mana D(x)=0, dan titik di mana D(x)=1. Oleh karena itu, untuk setiap partisi segmen, semua nilai m_k sama dengan nol, dan semua nilai M_k sama dengan satu. Tapi kemudian semua jumlah Darboux yang lebih rendah \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr)) sama dengan nol, dan semua jumlah Darboux atas \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)) sama dengan satu,Properti jumlah Darboux bawah dan atas
Q.E.D.
