Saat mempelajari aljabar, anak sekolah dihadapkan pada berbagai jenis persamaan. Di antara yang paling sederhana adalah yang linier, berisi satu hal yang tidak diketahui. Jika suatu variabel dalam suatu ekspresi matematika dipangkatkan tertentu, maka persamaan tersebut disebut persamaan kuadrat, kubik, bikuadrat, dan seterusnya. Ekspresi ini mungkin berisi bilangan rasional. Namun ada juga persamaan yang tidak rasional. Mereka berbeda dari yang lain dengan adanya fungsi di mana yang tidak diketahui berada di bawah tanda radikal (yaitu, secara eksternal, variabel di sini dapat dilihat ditulis di bawah akar kuadrat). Memecahkan persamaan irasional punya caranya sendiri karakteristik. Saat menghitung nilai suatu variabel untuk mendapatkan jawaban yang benar, mereka harus diperhitungkan.
"Tak terkatakan dengan kata-kata"
Bukan rahasia lagi bahwa sebagian besar ahli matematika kuno beroperasi angka rasional. Ini termasuk, seperti diketahui, bilangan bulat yang dinyatakan dalam bilangan biasa dan desimal pecahan periodik perwakilan komunitas ini. Namun, para ilmuwan di Timur Tengah dan Dekat, serta India, yang mengembangkan trigonometri, astronomi, dan aljabar, juga belajar memecahkan persamaan irasional. Misalnya, orang Yunani mengetahui besaran yang serupa, tetapi ketika memasukkannya ke dalam bentuk verbal, mereka menggunakan konsep “alogos”, yang berarti “tidak dapat diungkapkan”. Belakangan, orang-orang Eropa, yang menirunya, menyebut angka-angka tersebut “tuli”. Mereka berbeda dari yang lain karena mereka hanya dapat direpresentasikan dalam bentuk yang tak terbatas pecahan non-periodik, ekspresi numerik akhir yang tidak mungkin diperoleh. Oleh karena itu, lebih sering perwakilan kerajaan bilangan tersebut ditulis dalam bentuk angka dan tanda sebagai semacam ekspresi yang terletak di bawah akar derajat kedua atau lebih tinggi.
Berdasarkan penjelasan di atas, mari kita coba mendefinisikan persamaan irasional. Ekspresi seperti itu mengandung apa yang disebut “bilangan tak terlukiskan”, yang ditulis dengan menggunakan tanda akar pangkat dua. Mereka bisa cantik-cantik pilihan yang rumit, tapi dengan sendirinya dalam bentuknya yang paling sederhana Mereka terlihat seperti pada foto di bawah ini.
Saat mulai menyelesaikan persamaan irasional, pertama-tama Anda perlu menghitung luasnya nilai-nilai yang dapat diterima variabel.
Apakah ungkapan tersebut masuk akal?
Kebutuhan untuk memeriksa nilai yang diperoleh mengikuti dari properti. ekspresi serupa dapat diterima dan masuk akal hanya jika kondisi tertentu. Dalam kasus akar-akar yang derajatnya genap, semua ekspresi radikal harus positif atau sama dengan nol. Jika keadaan ini tidak terpenuhi, maka notasi matematika yang disajikan tidak dapat dianggap bermakna.
Mari kita berikan contoh spesifik tentang cara menyelesaikan persamaan irasional (gambar di bawah).
DI DALAM pada kasus ini sudah jelas itu kondisi yang ditentukan tidak dapat dipenuhi untuk sembarang nilai yang diterima oleh nilai yang diinginkan, karena ternyata 11 ≤ x ≤ 4. Artinya hanya Ø yang dapat menjadi penyelesaian.
Metode analisis
Dari penjelasan di atas, menjadi jelas bagaimana menyelesaikan beberapa jenis persamaan irasional. Di Sini dengan cara yang efektif mungkin analisis sederhana.
Mari kita berikan sejumlah contoh yang sekali lagi akan menunjukkan hal ini dengan jelas (gambar di bawah).
Dalam kasus pertama, setelah memeriksa ungkapan tersebut dengan cermat, menjadi sangat jelas bahwa ungkapan itu tidak mungkin benar. Memang, kita harus mendapatkan kesetaraan di sisi kiri nomor positif, yang tidak mungkin sama dengan -1.
Dalam kasus kedua, jumlah dua ekspresi positif dapat dipertimbangkan sama dengan nol, hanya jika x - 3 = 0 dan x + 3 = 0 secara bersamaan. Dan ini lagi-lagi mustahil. Artinya jawabannya harus ditulis lagi Ø.
Contoh ketiga sangat mirip dengan contoh yang telah dibahas sebelumnya. Memang, di sini kondisi ODZ mengharuskan terpenuhinya pertidaksamaan absurd berikut: 5 ≤ x ≤ 2. Dan persamaan seperti itu tidak dapat memiliki solusi yang masuk akal.
Zoomnya tidak terbatas
Sifat irasional paling jelas dan lengkap dapat dijelaskan dan diketahui hanya melalui serangkaian angka yang tak ada habisnya desimal. Dan spesifik, contoh cemerlang salah satu anggota keluarga ini adalah πi. Bukan tanpa alasan konstanta matematika ini telah dikenal sejak zaman dahulu kala digunakan dalam menghitung keliling dan luas lingkaran. Namun di kalangan orang Eropa, hal ini pertama kali dipraktikkan oleh orang Inggris William Jones dan orang Swiss Leonard Euler.
Konstanta ini muncul sebagai berikut. Jika kita membandingkan lingkaran dengan keliling yang berbeda, maka perbandingan panjang dan diameternya harus sama dengan angka yang sama. Ini pi. Jika kita mengungkapkannya melalui pecahan biasa, maka kita mendapatkan kira-kira 22/7. Ini pertama kali dilakukan oleh Archimedes yang agung, yang potretnya ditunjukkan pada gambar di atas. Itulah sebabnya nomor tersebut mendapatkan namanya. Tapi ini bukan nilai eksplisit, tapi nilai perkiraan dari angka yang mungkin paling menakjubkan. Seorang ilmuwan brilian menemukan nilai yang diinginkan dengan akurasi 0,02, tetapi, pada kenyataannya, konstanta ini tidak memiliki arti sebenarnya, tetapi dinyatakan sebagai 3.1415926535... Ini adalah rangkaian angka yang tak ada habisnya, mendekati nilai mitos tanpa batas.
mengkuadratkan
Tapi mari kita kembali ke persamaan irasional. Untuk menemukan hal yang tidak diketahui, dalam hal ini mereka sangat sering menggunakan cara tersebut metode sederhana: mengkuadratkan kedua ruas persamaan yang ada. Metode serupa biasanya memberi hasil yang baik. Tetapi kita harus memperhitungkan bahaya dari jumlah yang tidak rasional. Semua akar yang diperoleh dari hasil ini harus diperiksa, karena mungkin tidak cocok.
Namun mari kita lanjutkan melihat contoh dan mencoba mencari variabel menggunakan metode yang baru diusulkan.
Sama sekali tidak sulit, dengan menggunakan teorema Vieta, untuk menemukan nilai besaran yang diinginkan setelah, sebagai hasil operasi tertentu, kita membentuk persamaan kuadrat. Di sini ternyata di antara akar-akarnya akan ada 2 dan -19. Namun, saat memeriksa, dengan mensubstitusi nilai yang dihasilkan ke dalam ekspresi asli, Anda dapat memastikan bahwa tidak ada akar yang cocok. Ini adalah kejadian umum dalam persamaan irasional. Artinya dilema kita lagi-lagi tidak mempunyai solusi, dan jawabannya harus menunjukkan himpunan kosong.
Contoh yang lebih kompleks
Dalam beberapa kasus, kedua sisi ekspresi perlu dikuadratkan tidak hanya sekali, tetapi beberapa kali. Mari kita lihat contoh di mana hal ini diperlukan. Mereka dapat dilihat di bawah.
Setelah menerima akarnya, jangan lupa untuk memeriksanya, karena mungkin akan muncul akar tambahan. Harus dijelaskan mengapa hal ini mungkin terjadi. Saat menerapkan metode ini, persamaannya agak dirasionalisasi. Namun membuang akar yang tidak kita sukai, yang menghalangi kita untuk berproduksi operasi aritmatika, kita tampaknya memperluas jangkauan nilai yang ada, yang (seperti dapat dipahami) penuh dengan konsekuensi. Mengantisipasi hal tersebut, kami melakukan pengecekan. Dalam hal ini, ada kemungkinan untuk memastikan bahwa hanya satu akar yang cocok: x = 0.
Sistem
Apa yang harus kita lakukan jika kita perlu menyelesaikan sistem persamaan irasional, dan kita tidak memiliki satu, tapi dua hal yang tidak diketahui? Di sini kami melanjutkan dengan cara yang sama seperti dalam kasus biasa, tetapi dengan mempertimbangkan properti data di atas ekspresi matematika. Dan di setiap tugas baru Tentu saja Anda harus kreatif. Tapi, sekali lagi, lebih baik mempertimbangkan semuanya contoh spesifik disajikan di bawah ini. Di sini Anda tidak hanya perlu mencari variabel x dan y, tetapi juga menunjukkan jumlahnya dalam jawabannya. Jadi, ada sistem yang mengandung besaran irasional (lihat foto di bawah).
Bagaimana Anda bisa yakin tugas serupa tidak mewakili sesuatu yang rumit secara supranatural. Anda hanya perlu pintar dan menebak bahwa ruas kiri persamaan pertama adalah kuadrat dari jumlah tersebut. Tugas serupa ditemukan di Unified State Examination.
Irasional dalam matematika
Setiap saat, kebutuhan untuk menciptakan jenis bilangan baru muncul di kalangan umat manusia ketika umat manusia tidak memiliki cukup “ruang” untuk menyelesaikan beberapa persamaan. Bilangan irasional tidak terkecuali. Sebagaimana dibuktikan oleh fakta-fakta dari sejarah, orang bijak pertama kali memperhatikan hal ini bahkan sebelum zaman kita, pada abad ke-7. Hal ini dilakukan oleh seorang matematikawan asal India yang dikenal dengan nama Manava. Dia dengan jelas memahami hal itu dari beberapa orang bilangan asli tidak mungkin untuk mengekstrak root. Misalnya, ini termasuk 2; 17 atau 61, serta banyak lainnya.
Salah satu orang Pythagoras, seorang pemikir bernama Hippasus, sampai pada kesimpulan yang sama dengan mencoba menghitung dengan ekspresi numerik sisi pentagram. Menemukan unsur matematika yang tidak dapat diungkapkan nilai-nilai digital dan tidak memiliki properti angka biasa, dia membuat marah rekan-rekannya sehingga dia terlempar ke laut dari kapal. Faktanya adalah orang Pythagoras lainnya menganggap alasannya sebagai pemberontakan melawan hukum alam semesta.
Tanda Radikal: Evolusi
Tanda akar untuk ekspresi nilai numerik angka "tuli" mulai digunakan dalam penyelesaian kesenjangan yang tidak rasional dan persamaan tidak segera tersedia. Ahli matematika Eropa, khususnya Italia, pertama kali mulai berpikir tentang radikal sekitar abad ke-13. Pada saat yang sama, mereka mendapat ide untuk menggunakan huruf R Latin untuk penunjukan. Namun matematikawan Jerman bertindak berbeda dalam karya mereka. Mereka lebih menyukai huruf V. Di Jerman, sebutan V(2), V(3) segera menyebar, yang dimaksudkan untuk menyatakan akar kuadrat dari 2, 3, dan seterusnya. Belakangan, Belanda turun tangan dan memodifikasi tanda radikal tersebut. Dan Rene Descartes menyelesaikan evolusinya, membawa tanda akar kuadrat ke kesempurnaan modern.
Menyingkirkan hal-hal yang tidak rasional
Persamaan irasional dan pertidaksamaan dapat melibatkan variabel selain tanda akar kuadrat. Itu bisa dalam tingkat apa pun. Cara paling umum untuk menghilangkannya adalah dengan menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat yang sesuai. Ini adalah tindakan utama yang membantu dalam operasi yang tidak rasional. Tindakan dalam kasus genap tidak jauh berbeda dengan tindakan yang telah kita bahas sebelumnya. Di sini kondisi non-negatif dari ekspresi radikal harus diperhitungkan, dan pada akhir penyelesaian perlu untuk menyaring nilai-nilai asing dari variabel dengan cara yang sama seperti yang ditunjukkan dalam contoh yang telah dipertimbangkan. .
Di antara transformasi tambahan yang membantu menemukan jawaban yang benar, perkalian ekspresi dengan konjugasinya sering digunakan, dan sering kali juga perlu memasukkan variabel baru, yang membuat penyelesaiannya lebih mudah. Dalam beberapa kasus, disarankan untuk menggunakan grafik untuk mencari nilai yang tidak diketahui.
Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan permintaan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk tujuan keamanan, penegakan hukum, atau kesehatan masyarakat lainnya. kasus-kasus penting.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.
Persamaan yang suatu variabel berada di bawah tanda akar disebut irasional.
Metode penyelesaian persamaan irasional biasanya didasarkan pada kemungkinan mengganti (dengan bantuan beberapa transformasi) persamaan irasional dengan persamaan rasional yang setara dengan persamaan irasional asli atau merupakan konsekuensinya. Seringkali, kedua ruas persamaan dipangkatkan sama. Ini menghasilkan persamaan yang merupakan konsekuensi dari persamaan aslinya.
Saat menyelesaikan persamaan irasional, hal-hal berikut harus diperhatikan:
1) jika indikator akarnya adalah bilangan genap, maka ekspresi radikalnya harus non-negatif; dalam hal ini, nilai akar juga non-negatif (definisi akar dengan eksponen genap);
2) jika indikator akarnya adalah angka ganjil, maka ekspresi radikalnya bisa apa saja bilangan real; dalam hal ini, tanda akar bertepatan dengan tanda ekspresi radikal.
Contoh 1. Selesaikan persamaannya
Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan.
x 2 - 3 = 1;
Mari kita pindahkan -3 dari ruas kiri persamaan ke kanan dan lakukan pengurangan suku-suku serupa.
x 2 = 4;
Persamaan kuadrat tidak lengkap yang dihasilkan memiliki dua akar -2 dan 2.
Mari kita periksa akar-akar yang diperoleh dengan mensubstitusikan nilai-nilai variabel x ke dalam persamaan aslinya.
Penyelidikan.
Ketika x 1 = -2 - benar:
Ketika x 2 = -2- benar.
Oleh karena itu, ir persamaan rasional memiliki dua akar -2 dan 2.
Contoh 2. Selesaikan persamaannya 
.
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode yang sama seperti pada contoh pertama, namun kita akan melakukannya secara berbeda.
Mari kita cari ODZ dari persamaan ini. Dari definisi akar kuadrat dapat disimpulkan bahwa dalam persamaan ini dua kondisi harus dipenuhi secara bersamaan:
ODZ level ini: x.
Jawaban: tidak ada akar.
Contoh 3. Selesaikan persamaannya 
=+ 2.
Menemukan ODZ dalam persamaan ini adalah tugas yang agak sulit. Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 =1; x 2 =0.
Setelah memeriksa, kami menetapkan bahwa x 2 =0 adalah akar tambahan.
Jawaban: x 1 =1.
Contoh 4. Selesaikan persamaan x =.
Karena contoh ODZ mudah ditemukan. ODZ persamaan ini: x[-1;).
Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan ini, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan persamaan x 2 = x + 1. Akar persamaan ini adalah:
Sulit untuk memverifikasi akar yang ditemukan. Namun, meskipun kedua akar tersebut termasuk dalam ODZ, tidak mungkin untuk menyatakan bahwa kedua akar tersebut adalah akar dari persamaan aslinya. Hal ini akan mengakibatkan kesalahan. Dalam hal ini, persamaan irasional setara dengan kombinasi dua pertidaksamaan dan satu persamaan:
x+10 Dan x0 Dan x 2 = x + 1, maka berikut ini akar negatif karena persamaan irasional tidak relevan dan harus dibuang.
Contoh 5. Selesaikan persamaan += 7.
Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan dan melakukan pengurangan suku-suku yang sejenis, pindahkan suku-suku tersebut dari satu ruas persamaan ke ruas lainnya dan kalikan kedua ruas tersebut dengan 0,5. Hasilnya, kita mendapatkan persamaannya
= 12, (*) yang merupakan konsekuensi dari asal. Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan lagi. Kita memperoleh persamaan (x + 5)(20 - x) = 144, yang merupakan konsekuensi dari persamaan awal. Persamaan yang dihasilkan direduksi menjadi bentuk x 2 - 15x + 44 =0.
Persamaan ini (juga merupakan konsekuensi dari persamaan awal) memiliki akar-akar x 1 = 4, x 2 = 11. Kedua akar tersebut, seperti yang ditunjukkan oleh verifikasi, memenuhi persamaan aslinya.
Reputasi. x 1 = 4, x 2 = 11.
Komentar. Saat mengkuadratkan persamaan, siswa sering kali mengalikan persamaan seperti (*) ekspresi radikal, yaitu, alih-alih persamaan = 12, tulis persamaannya 
= 12. Hal ini tidak menimbulkan kesalahan, karena persamaan merupakan konsekuensi dari persamaan. Namun perlu diingat bahwa dalam kasus umum, perkalian ekspresi radikal menghasilkan persamaan yang tidak setara.
Dalam contoh yang dibahas di atas, pertama-tama kita dapat mentransfer salah satu radikal ke sisi kanan persamaan Maka akan ada satu radikal tersisa di ruas kiri persamaan, dan setelah mengkuadratkan kedua ruas persamaan, di ruas kiri persamaan kita peroleh Fungsi rasional. Teknik ini (isolasi radikal) cukup sering digunakan ketika menyelesaikan persamaan irasional.
Contoh 6. Selesaikan persamaan-= 3.
Mengisolasi radikal pertama, kita memperoleh persamaan
=+ 3, setara dengan aslinya.
Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan ini, kita memperoleh persamaannya
x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, setara dengan persamaan
4x - 5 = 3(*). Persamaan ini merupakan konsekuensi dari persamaan aslinya. Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan, kita sampai pada persamaan tersebut
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - 3x + 3), atau
7x 2 - 13x - 2 = 0.
Persamaan ini merupakan konsekuensi dari persamaan (*) (dan karenanya merupakan persamaan awal) dan mempunyai akar-akar. Akar pertama x 1 = 2 memenuhi persamaan awal, tetapi akar kedua x 2 = tidak.
Jawaban: x = 2.
Perhatikan bahwa jika kita segera, tanpa mengisolasi salah satu radikal, mengkuadratkan kedua ruas persamaan awal, kita harus melakukan transformasi yang agak rumit.
Saat menyelesaikan persamaan irasional, selain isolasi radikal, metode lain digunakan. Mari kita perhatikan contoh penggunaan metode penggantian yang tidak diketahui (metode memasukkan variabel bantu).
Metode penyelesaian persamaan irasional.
Persiapan awal pelajaran: Siswa harus mampu menyelesaikan persamaan irasional dengan berbagai cara.
Tiga minggu sebelum pelajaran ini, siswa menerima pekerjaan rumah nomor 1: menyelesaikan berbagai persamaan irasional. (Siswa secara mandiri menemukan 6 persamaan irasional yang berbeda dan menyelesaikannya secara berpasangan.)
Satu minggu sebelum pembelajaran ini, siswa menerima pekerjaan rumah No. 2 yang diselesaikan secara individu.
1. Selesaikan persamaannyacara yang berbeda.
2. Evaluasi kelebihan dan kekurangan masing-masing metode.
3. Catat temuannya dalam bentuk tabel.
| № hal/hal | Jalan | Keuntungan | Kekurangan |
Tujuan pelajaran:
Pendidikan:generalisasi pengetahuan siswa tentang topik ini, demonstrasi berbagai metode untuk menyelesaikan persamaan irasional, kemampuan siswa dalam mendekati penyelesaian persamaan dari perspektif penelitian.
Pendidikan:menumbuhkan kemandirian, kemampuan mendengarkan orang lain dan berkomunikasi dalam kelompok, meningkatkan minat terhadap mata pelajaran.
Pembangunan:perkembangan berpikir logis, budaya algoritmik, keterampilan pendidikan mandiri, pengorganisasian diri, bekerja berpasangan saat mengerjakan pekerjaan rumah, keterampilan menganalisis, membandingkan, menggeneralisasi, dan menarik kesimpulan.
Peralatan: komputer, proyektor, layar, tabel “Aturan untuk menyelesaikan persamaan irasional”, poster dengan kutipan dari M.V. Lomonosov “Matematika harus diajarkan hanya karena matematika menertibkan pikiran,” kartu-kartu.
Aturan untuk menyelesaikan persamaan irasional.
Jenis pelajaran: seminar-pelajaran (bekerja dalam kelompok yang terdiri dari 5-6 orang, setiap kelompok harus memiliki siswa yang kuat).
Selama kelas
SAYA . Pengorganisasian waktu
(Komunikasi topik dan tujuan pelajaran)
II . Presentasi pekerjaan penelitian"Metode untuk menyelesaikan persamaan irasional"
(Pekerjaan tersebut dipresentasikan oleh siswa yang melakukannya.)
AKU AKU AKU . Analisis metode penyelesaian pekerjaan rumah
(Satu siswa dari setiap kelompok menuliskan metode penyelesaian yang diusulkannya di papan tulis. Setiap kelompok menganalisis salah satu metode penyelesaian, mengevaluasi kelebihan dan kekurangannya, dan menarik kesimpulan. Siswa dalam kelompok menambahkan jika perlu. Analisis dan kesimpulan kelompok dievaluasi. Jawaban harus jelas dan lengkap.)
Cara pertama: menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat yang sama lalu memeriksanya.
Larutan.
Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan lagi:
Dari sini
Penyelidikan:
1. Jikax=42 lalu, yang artinya nomor42 bukanlah akar persamaan.
2. Jikax=2, lalu, yang artinya nomor2 adalah akar persamaan.
Menjawab:2.
| № hal/hal | Jalan | Keuntungan | Kekurangan |
| Menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat yang sama | 1. Saya mengerti. 2 Tersedia. | 1. Rekaman lisan. 2. Verifikasi yang sulit. |
Kesimpulan. Saat menyelesaikan persamaan irasional dengan menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat yang sama, catatan verbal harus disimpan agar penyelesaiannya dapat dipahami dan diakses. Namun, verifikasi wajib terkadang rumit dan memakan waktu. Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan irasional sederhana yang mengandung 1-2 radikal.
Metode kedua: transformasi ekuivalen.
Larutan:Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan:
Menjawab:2.
| № hal/hal | Jalan | Keuntungan | Kekurangan |
| Transformasi yang setara | 1. Ketidakhadiran deskripsi lisan. 2. Tidak ada verifikasi. 3. Notasi logis yang jelas. 4. Urutan transisi yang setara. | 1. Rekaman yang rumit. 2. Anda dapat membuat kesalahan saat menggabungkan tanda-tanda suatu sistem dan himpunan. |
Kesimpulan. Saat menyelesaikan persamaan irasional menggunakan metode transisi ekuivalen, Anda perlu mengetahui dengan jelas kapan harus memberi tanda sistem dan kapan harus memberi tanda agregat. Rumitnya pencatatan dan berbagai kombinasi sistem dan simbol kombinasi seringkali menimbulkan kesalahan. Namun, rangkaian transisi yang setara, notasi logis yang jelas tanpa deskripsi verbal, yang tidak memerlukan verifikasi, merupakan keunggulan yang tidak dapat disangkal dari metode ini.
Metode ketiga: fungsional-grafis.
Larutan.
Mari kita lihat fungsinyaDan.
1. Fungsitenang; meningkat, karena eksponen adalah bilangan positif (bukan bilangan bulat).
D(F).
Mari buat tabel nilaiXDanF( X).
| 1,5 | 3,5 | |||
| f(x) |
2. Fungsitenang; sedang menurun.
Mari kita cari domain definisi fungsinyaD( G).
Mari buat tabel nilaiXDanG( X).
| g(x) |
Mari kita buat grafik fungsi ini dalam satu sistem koordinat.
Grafik fungsi berpotongan di titik absisKarena fungsiF( X) meningkat, dan fungsinyaG( X) berkurang, maka persamaan tersebut hanya mempunyai satu solusi.
Menjawab: 2.
| №hal/hal | Jalan | Keuntungan | Kekurangan |
| Grafis fungsional | 1. Visibilitas. 2. Tidak perlu ribet transformasi aljabar dan memantau ODS. 3. Memungkinkan Anda menemukan jumlah solusi. | 1. rekaman lisan. 2. Tidak selalu mungkin menemukan jawaban yang pasti, dan jika jawabannya akurat maka diperlukan verifikasi. |
Kesimpulan. Metode grafis fungsional bersifat visual dan memungkinkan Anda menemukan jumlah solusi, tetapi lebih baik menggunakannya ketika Anda dapat dengan mudah membuat grafik dari fungsi yang sedang dipertimbangkan dan mendapatkan jawaban yang akurat. Jika jawabannya perkiraan, lebih baik menggunakan cara lain.
Metode keempat: memperkenalkan variabel baru.
Larutan.Mari kita perkenalkan variabel baru, yang menunjukkanKami memperoleh persamaan pertama dari sistem
Mari kita buat persamaan kedua dari sistem tersebut.
Untuk sebuah variabel:
Untuk sebuah variabel
Itu sebabnya
Kami memperoleh sistem dua persamaan rasional, sehubungan denganDan
Kembali ke variabel, kita mendapatkan
Memperkenalkan variabel baruPenyederhanaan - memperoleh sistem persamaan yang tidak mengandung radikal
1. Kebutuhan untuk melacak DID variabel baru
2. Kebutuhan untuk kembali ke variabel asal
Kesimpulan. Metode ini paling baik digunakan untuk persamaan irasional yang mengandung radikal berbagai derajat, atau polinomial identik di bawah tanda akar dan di belakang tanda akar, atau ekspresi timbal balik di bawah tanda akar.
- Jadi teman-teman, untuk setiap persamaan irasional kamu harus memilih cara yang paling mudah untuk menyelesaikannya: dapat dimengerti. Dapat diakses, dirancang secara logis dan kompeten. Angkat tangan, siapa di antara Anda yang lebih suka:
1) metode menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat yang sama dengan verifikasi;
2) metode transformasi ekuivalen;
3) metode grafis fungsional;
4) metode memasukkan variabel baru.
IV . Bagian praktis
(Bekerja dalam kelompok. Setiap kelompok siswa menerima kartu yang berisi persamaan dan menyelesaikannya di buku catatannya. Pada saat ini, salah satu perwakilan kelompok memecahkan sebuah contoh di papan tulis. Siswa dari setiap kelompok memecahkan contoh yang sama sebagai anggota dari kelompoknya dan pantau pelaksanaan tugas yang benar di papan tulis. Jika orang yang menjawab di papan tulis melakukan kesalahan, maka orang yang memperhatikannya mengangkat tangannya dan membantu memperbaikinya. Selama pelajaran, setiap siswa, selain contoh yang diselesaikan oleh kelompoknya, harus menuliskan usulan lain kepada kelompoknya di buku catatan dan menyelesaikannya di rumah.
Grup 1.
Grup 2.
Kelompok 3.
V . Pekerjaan mandiri
(Dalam kelompok terlebih dahulu dilakukan diskusi, kemudian siswa mulai menyelesaikan tugas. Solusi yang benar disiapkan oleh guru ditampilkan di layar.)
VI . Menyimpulkan pelajaran
Sekarang Anda tahu bahwa menyelesaikan persamaan irasional mengharuskan Anda memiliki pengetahuan teoritis yang baik, kemampuan menerapkannya dalam praktik, perhatian, kerja keras, dan kecerdasan.
Selesaikan persamaan yang diberikan kepada kelompok selama pelajaran.
Jika suatu persamaan memuat variabel yang berada di bawah tanda akar kuadrat, maka persamaan tersebut disebut irasional.
Kadang-kadang model matematika situasi nyata adalah persamaan irasional. Oleh karena itu, kita harus belajar menyelesaikan setidaknya persamaan irasional yang paling sederhana.
Perhatikan persamaan irasional 2 x + 1 = 3.
Perhatian!
Metode mengkuadratkan kedua ruas persamaan merupakan metode utama dalam menyelesaikan persamaan irasional.
Namun, ini bisa dimengerti: bagaimana lagi kita bisa menghilangkan tanda akar kuadrat?
Dari persamaan \(2x + 1 = 9\) kita menemukan \(x = 4\). Ini adalah akar persamaan \(2x + 1 = 9\) dan persamaan irasional yang diberikan.
Metode pengkuadratan secara teknis sederhana, namun terkadang menimbulkan masalah.
Misalnya, persamaan irasional 2 x − 5 = 4 x − 7 .
Mengkuadratkan kedua sisi, kita dapatkan
2 x − 5 2 = 4x − 7 2 2 x − 5 = 4 x − 7
Namun nilai \(x = 1\), meskipun merupakan akar persamaan rasional \(2x - 5 = 4x - 7\), bukanlah akar persamaan irasional yang diberikan. Mengapa? Mengganti \(1\) dan bukan \(x\) ke dalam persamaan irasional yang diberikan, kita memperoleh − 3 = − 3 .
Bagaimana kita dapat berbicara tentang pemenuhan persamaan numerik jika ruas kiri dan kanannya mengandung ekspresi yang tidak masuk akal?
DI DALAM kasus serupa katakan: \(x = 1\) - akar asing untuk persamaan irasional tertentu. Ternyata persamaan irasional yang diberikan tidak mempunyai akar.
Akar asing bukanlah konsep baru bagi Anda; akar asing telah ditemukan saat menyelesaikan persamaan rasional untuk membantu mendeteksinya.
Untuk persamaan irasional, verifikasi adalah langkah wajib dalam menyelesaikan persamaan, yang akan membantu mendeteksi akar-akar asing, jika ada, dan membuangnya (biasanya dikatakan “disingkirkan”).
Perhatian!
Jadi, persamaan irasional diselesaikan dengan mengkuadratkan kedua ruas; Setelah menyelesaikan persamaan rasional yang dihasilkan, perlu untuk memeriksa dan menyingkirkan kemungkinan akar-akar asing.
Dengan menggunakan kesimpulan ini, mari kita lihat sebuah contoh.
Contoh:
selesaikan persamaan 5 x − 16 = x − 2 .
Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan 5 x − 16 = x − 2: 5 x − 16 2 = x − 2 2 .
Kami mengubah dan mendapatkan:
5 x − 16 = x 2 − 4 x 4 ; − x 2 9 x − 20 = 0 ; x 2 − 9 x 20 = 0 ; x 1 = 5 ; x 2 = 4.
Penyelidikan. Substitusikan \(x = 5\) ke persamaan 5 x − 16 = x − 2, kita peroleh 9 = 3 - persamaan yang benar. Substitusikan \(x = 4\) ke persamaan 5 x − 16 = x − 2, kita peroleh 4 = 2 - persamaan yang benar. Artinya kedua nilai yang ditemukan merupakan akar persamaan 5 x − 16 = x − 2.
Anda telah memperoleh beberapa pengalaman dalam menyelesaikannya persamaan yang berbeda: linier, persegi, rasional, irasional. Anda tahu bahwa ketika menyelesaikan persamaan, berbagai transformasi dilakukan, misalnya: anggota persamaan dipindahkan dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya dengan tanda yang berlawanan; kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama; dibebaskan dari penyebutnya, yaitu mengganti persamaan p x q x = 0 dengan persamaan \(p(x)=0\); kedua ruas persamaan dikuadratkan.
Tentu saja, Anda memperhatikan bahwa akibat beberapa transformasi, akar asing dapat muncul, oleh karena itu Anda harus waspada: periksa semua akar yang ditemukan. Jadi sekarang kita akan mencoba memahami semua ini dari sudut pandang teoritis.
Dua persamaan \(f (x) = g(x)\) dan \(r(x) = s(x)\) disebut ekuivalen jika memiliki akar yang identik(atau, khususnya, jika kedua persamaan tidak mempunyai akar).
Biasanya, ketika menyelesaikan suatu persamaan, mereka mencoba menggantinya persamaan yang diberikan lebih sederhana, tetapi setara dengan itu. Penggantian seperti ini disebut transformasi persamaan yang ekuivalen.
Transformasi persamaan yang setara adalah transformasi berikut:
1. memindahkan suku-suku suatu persamaan dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya yang tandanya berlawanan.Misalnya, mengganti persamaan \(2x + 5 = 7x - 8\) dengan persamaan \(2x - 7x = - 8 - 5\) adalah transformasi setara persamaan Artinya persamaan \(2x + 5 = 7x -8\) dan \(2x - 7x = -8 - 5\) adalah ekuivalen.
