Fungsi genap.
Bahkan adalah fungsi yang tandanya tidak berubah bila tandanya diubah X.
X kesetaraan berlaku F(–X) = F(X). Tanda X tidak mempengaruhi tandanya kamu.
Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu koordinat (Gbr. 1).
Contoh fungsi genap:
kamu= karena X
kamu = X 2
kamu = –X 2
kamu = X 4
kamu = X 6
kamu = X 2 + X
Penjelasan:
Mari kita ambil fungsinya kamu = X 2 atau kamu = –X 2 .
Untuk nilai berapa pun X fungsinya positif. Tanda X tidak mempengaruhi tandanya kamu. Grafiknya simetris terhadap sumbu koordinat. Ini adalah fungsi genap.
Fungsi aneh.
Aneh adalah fungsi yang tandanya berubah ketika tandanya berubah X.
Dengan kata lain, untuk nilai berapa pun X kesetaraan berlaku F(–X) = –F(X).
Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal (Gbr. 2).
Contoh fungsi ganjil:
kamu= dosa X
kamu = X 3
kamu = –X 3
Penjelasan:
Mari kita ambil fungsi y = – X 3 .
Semua arti pada itu akan memiliki tanda minus. Itu adalah sebuah tanda X mempengaruhi tanda tersebut kamu. Jika variabel bebasnya berupa bilangan positif maka fungsinya positif, jika variabel bebasnya berupa bilangan negatif maka fungsinya negatif: F(–X) = –F(X).
Grafik fungsinya simetris terhadap titik asal. Ini adalah fungsi yang aneh.
Sifat-sifat fungsi genap dan ganjil:
CATATAN:
Tidak semua fungsi genap atau ganjil. Ada fungsi yang tidak mengikuti gradasi tersebut. Misalnya fungsi root pada = √X tidak berlaku untuk fungsi genap atau ganjil (Gbr. 3). Saat membuat daftar properti dari fungsi tersebut, deskripsi yang sesuai harus diberikan: tidak genap atau ganjil.
Fungsi periodik.
Seperti diketahui, periodisitas adalah pengulangan proses tertentu dalam interval tertentu. Fungsi yang menjelaskan proses ini disebut fungsi periodik. Artinya, ini adalah fungsi yang grafiknya terdapat elemen yang berulang pada interval numerik tertentu.
Yang sampai tingkat tertentu sudah tidak asing lagi bagi Anda. Dicatat juga di sana bahwa stok properti fungsi akan diisi ulang secara bertahap. Dua properti baru akan dibahas di bagian ini.
Definisi 1.
Fungsi y = f(x), x є X, dipanggil meskipun untuk sembarang nilai x dari himpunan X persamaan f (-x) = f (x) berlaku.
Definisi 2.
Fungsi y = f(x), x є X, disebut ganjil jika untuk sembarang nilai x dari himpunan X persamaan f (-x) = -f (x) berlaku.
Buktikan bahwa y = x 4 merupakan fungsi genap.
Larutan. Kita mempunyai: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Tapi(-x) 4 = x 4. Ini berarti bahwa untuk setiap x persamaan f(-x) = f(x) berlaku, yaitu. fungsinya genap.
Demikian pula dapat dibuktikan bahwa fungsi y - x 2, y = x 6, y - x 8 adalah fungsi genap.
Buktikan bahwa y = x 3 ~ merupakan fungsi ganjil.
Larutan. Kita mempunyai: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Tapi (-x) 3 = -x 3. Artinya untuk sembarang x persamaan f (-x) = -f (x) berlaku, yaitu. fungsinya ganjil.
Demikian pula dapat dibuktikan bahwa fungsi y = x, y = x 5, y = x 7 ganjil.
Kita telah melihat lebih dari sekali bahwa istilah-istilah baru dalam matematika paling sering berasal dari “duniawi”, yaitu. mereka bisa dijelaskan entah bagaimana. Hal ini berlaku pada fungsi genap dan ganjil. Perhatikan: y - x 3, y = x 5, y = x 7 merupakan fungsi ganjil, sedangkan y = x 2, y = x 4, y = x 6 merupakan fungsi genap. Dan secara umum, untuk setiap fungsi yang berbentuk y = x" (di bawah ini kita akan mempelajari secara khusus fungsi-fungsi tersebut), dimana n adalah bilangan asli, kita dapat menyimpulkan: jika n adalah bilangan ganjil, maka fungsi y = x" adalah aneh; jika n bilangan genap, maka fungsi y = xn genap.
Ada juga fungsi yang tidak genap maupun ganjil. Misalnya, fungsi y = 2x + 3. Memang, f(1) = 5, dan f (-1) = 1. Seperti yang Anda lihat, oleh karena itu, tidak ada identitas f(-x) = f ( x), maupun identitas f(-x) = -f(x).
Jadi, suatu fungsi bisa genap, ganjil, atau tidak keduanya.
Ilmu yang mempelajari apakah suatu fungsi genap atau ganjil biasa disebut studi paritas.
Definisi 1 dan 2 mengacu pada nilai fungsi di titik x dan -x. Ini mengasumsikan bahwa fungsi tersebut terdefinisi di titik x dan titik -x. Artinya titik -x termasuk dalam daerah definisi fungsi secara bersamaan dengan titik x. Jika suatu himpunan bilangan X, bersama dengan setiap elemennya x, juga mengandung elemen lawannya -x, maka X disebut himpunan simetris. Katakanlah (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) adalah himpunan simetris, sedangkan ; (∞;∞) merupakan himpunan simetris, dan , [–5;4] merupakan himpunan asimetris.
– Apakah fungsi genap mempunyai domain definisi yang merupakan himpunan simetris? Yang aneh?
– Jika D( F) merupakan himpunan asimetris, lalu apa fungsinya?
– Jadi, jika fungsinya pada = F(X) – genap atau ganjil, maka domain definisinya adalah D( F) adalah himpunan simetris. Apakah pernyataan kebalikannya benar: jika domain definisi suatu fungsi adalah himpunan simetris, maka genap atau ganjil?
– Ini berarti bahwa keberadaan himpunan domain definisi yang simetris merupakan kondisi yang diperlukan, tetapi tidak cukup.
– Jadi bagaimana cara mempelajari fungsi paritas? Mari kita coba membuat algoritma.
Menggeser
Algoritma untuk mempelajari fungsi paritas
1. Tentukan apakah domain definisi fungsi tersebut simetris. Jika tidak, maka fungsinya bukan genap atau ganjil. Jika ya, lanjutkan ke langkah 2 algoritma.
2. Tuliskan ekspresi untuk F(–X).
3. Bandingkan F(–X).Dan F(X):
- Jika F(–X).= F(X), maka fungsinya genap;
- Jika F(–X).= – F(X), maka fungsinya ganjil;
- Jika F(–X) ≠ F(X) Dan F(–X) ≠ –F(X), maka fungsinya bukan genap atau ganjil.
Contoh:
Periksa fungsi a) untuk paritas pada= x 5 +; B) pada= ; V) pada= .
Larutan.
a) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), himpunan simetris.
2) jam (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h(x) => fungsi h(x)= x 5 + ganjil.
b) kamu =,
pada = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), himpunan asimetris, artinya fungsinya bukan genap dan ganjil.
V) F(X) = , kamu = f (x),
1)D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
pilihan 2
1. Apakah himpunan tersebut simetris: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
A); b) kamu = x (5 – x 2).
a) kamu = x 2 (2x – x 3), b) kamu =
Grafik Fungsinya pada = F(X), Jika pada = F(X) adalah fungsi genap.
Grafik Fungsinya pada = F(X), Jika pada = F(X) adalah fungsi ganjil.
Saling memeriksa menggeser.
6. Pekerjaan rumah: №11.11, 11.21,11.22;
Bukti makna geometris dari sifat paritas.
***(Penugasan opsi USE).
1. Fungsi ganjil y = f(x) terdefinisi pada seluruh garis bilangan. Untuk setiap nilai non-negatif dari variabel x, nilai fungsi ini sama dengan nilai fungsi g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Temukan nilai fungsi h( X) = pada X = 3.
7. Kesimpulannya
Fungsi adalah salah satu konsep matematika yang paling penting. Fungsi - ketergantungan variabel pada dari variabel X, jika setiap nilai X cocok dengan satu nilai pada. Variabel X disebut variabel atau argumen bebas. Variabel pada disebut variabel terikat. Semua nilai variabel bebas (variabel X) membentuk domain definisi fungsi. Semua nilai yang diambil oleh variabel terikat (variabel kamu), membentuk rentang nilai fungsi.
Grafik fungsi sebut himpunan semua titik pada bidang koordinat, yang absisnya sama dengan nilai argumen, dan ordinatnya sama dengan nilai fungsi yang bersesuaian, yaitu nilai dari variabel diplot sepanjang sumbu absis X, dan nilai variabel diplot sepanjang sumbu ordinat kamu. Untuk membuat grafik suatu fungsi, Anda perlu mengetahui sifat-sifat fungsi tersebut. Properti utama dari fungsi tersebut akan dibahas di bawah!
Untuk membuat grafik suatu fungsi, kami sarankan menggunakan program kami - Fungsi grafik online. Jika Anda memiliki pertanyaan saat mempelajari materi di halaman ini, Anda selalu dapat menanyakannya di forum kami. Juga di forum ini mereka akan membantu Anda memecahkan masalah matematika, kimia, geometri, teori probabilitas, dan banyak mata pelajaran lainnya!
Sifat dasar fungsi.
1) Domain fungsi dan rentang fungsi.
Domain suatu fungsi adalah himpunan semua nilai argumen valid yang valid X(variabel X), yang fungsinya kamu = f(x) bertekad.
Kisaran suatu fungsi adalah himpunan semua nilai riil kamu, yang diterima fungsi tersebut.
Dalam matematika dasar, fungsi hanya dipelajari pada himpunan bilangan real.
2) Fungsi nol.
Nilai-nilai X, di mana kamu=0, ditelepon fungsi nol. Ini adalah absis titik potong grafik fungsi dengan sumbu Ox.
3) Interval tanda konstan suatu fungsi.
Interval tanda konstan suatu fungsi adalah interval nilai tersebut X, di mana nilai fungsinya kamu hanya positif atau negatif saja yang disebut interval tanda konstan fungsi.
4) Monotonisitas fungsi.
Fungsi meningkat (dalam interval tertentu) adalah fungsi di mana nilai argumen yang lebih besar dari interval ini sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar.
Fungsi menurun (dalam interval tertentu) adalah fungsi di mana nilai argumen yang lebih besar dari interval ini sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil.
5) Fungsi genap (ganjil)..
Fungsi genap adalah fungsi yang domain definisinya simetris terhadap titik asal dan untuk sembarang X f(-x) = f(x). Grafik fungsi genap simetris terhadap ordinat.
Fungsi ganjil adalah fungsi yang domain definisinya simetris terhadap titik asal dan untuk sembarang X dari domain definisi persamaan itu benar f(-x) = - f(x). Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal.
Fungsi genap
1) Daerah definisinya simetris terhadap titik (0; 0), yaitu jika titik tersebut A termasuk dalam domain definisi, maka intinya -A juga termasuk dalam domain definisi.
2) Untuk nilai berapa pun X f(-x)=f(x)
3) Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu Oy.
Fungsi aneh memiliki sifat-sifat berikut:
1) Daerah definisinya simetris terhadap titik (0; 0).
2) untuk nilai apa pun X, milik domain definisi, kesetaraan f(-x)=-f(x)
3) Grafik fungsi ganjil adalah simetris terhadap titik asal (0; 0).
Tidak semua fungsi genap atau ganjil. Fungsi pandangan umum tidak genap maupun ganjil.
6) Fungsi terbatas dan tidak terbatas.
Suatu fungsi disebut terbatas jika terdapat bilangan positif M sehingga |f(x)| ≤ M untuk semua nilai x. Jika bilangan tersebut tidak ada, maka fungsinya tidak terbatas.
7) Periodisitas fungsi.
Suatu fungsi f(x) bersifat periodik jika terdapat bilangan T yang bukan nol sehingga untuk sembarang x dari domain definisi fungsi tersebut berlaku: f(x+T) = f(x). Bilangan terkecil ini disebut periode fungsi tersebut. Semua fungsi trigonometri bersifat periodik. (Rumus trigonometri).
Fungsi F Disebut periodik jika ada bilangan sedemikian sehingga untuk sembarang X dari domain definisi kesetaraan f(x)=f(x-T)=f(x+T). T adalah periode fungsi tersebut.
Setiap fungsi periodik mempunyai jumlah periode yang tak terhingga. Dalam praktiknya, periode positif terkecil biasanya dipertimbangkan.
Nilai fungsi periodik diulang setelah selang waktu yang sama dengan periode. Ini digunakan saat membuat grafik.
