1.1 Persamaan irasional
Persamaan irasional sering ditemukan di tes masuk dalam matematika, karena dengan bantuan mereka mudah untuk mendiagnosis pengetahuan tentang konsep-konsep seperti transformasi yang setara, domain definisi dan lain-lain. Metode solusi persamaan irasional, sebagai suatu peraturan, didasarkan pada kemungkinan penggantian (menggunakan beberapa transformasi) ir persamaan rasional rasional, yang setara dengan persamaan irasional asli atau merupakan konsekuensinya. Seringkali, kedua ruas persamaan dipangkatkan sama. Kesetaraan tidak dilanggar jika kedua belah pihak dipangkatkan ganjil. Jika tidak, solusi yang ditemukan perlu diperiksa atau tanda kedua ruas persamaan harus dievaluasi. Namun ada teknik lain yang mungkin lebih efektif dalam menyelesaikan persamaan irasional. Misalnya saja metode substitusi trigonometri.
Contoh 1: Selesaikan persamaannya
Dari dulu. Oleh karena itu kita dapat menempatkan 
. Persamaannya akan berbentuk
Kalau begitu, mari kita letakkan di mana
.
.
Menjawab: 
.
Dari dulu 
. Cara, 
, sehingga Anda dapat memperluas modul
.
Menjawab: .
Memecahkan persamaan secara aljabar membutuhkan keterampilan yang baik dalam melakukan transformasi yang identik dan penanganan transisi yang setara secara kompeten. Namun secara umum, kedua metode pengambilan keputusan tersebut setara.
Contoh 2: Selesaikan persamaannya
.
Penyelesaiannya menggunakan substitusi trigonometri
Domain definisi persamaan diberikan oleh pertidaksamaan, yang ekuivalen dengan kondisinya. Oleh karena itu, Anda dapat meletakkan . Persamaannya akan berbentuk
Dari dulu. Mari kita buka modul internal
Ayo taruh 
, Kemudian
.
Kondisi tersebut dipenuhi oleh dua nilai dan .
.
.
Menjawab: 
.
Solusi aljabar
.
Mari kita kuadratkan persamaan sistem populasi pertama dan dapatkan
Biarkan saja. Persamaannya akan ditulis ulang sebagai
Dengan memeriksa kita menetapkan bahwa itu adalah akar, kemudian dengan membagi polinomial dengan binomial kita memperoleh penguraian ruas kanan persamaan menjadi faktor-faktor
Mari kita berpindah dari variabel ke variabel, kita dapatkan
.
Kondisi 
memenuhi dua nilai
.
Mengganti nilai-nilai ini ke dalam persamaan asli, kita menemukan bahwa itu adalah akarnya.
Memecahkan persamaan sistem kedua dari himpunan asli dengan cara yang sama, kita menemukan bahwa itu juga merupakan akar.
Menjawab: .
Jika pada contoh sebelumnya penyelesaian aljabar dan penyelesaian menggunakan substitusi trigonometri adalah ekuivalen, maka masuk pada kasus ini solusi dengan substitusi lebih menguntungkan. Saat menyelesaikan persamaan menggunakan aljabar, Anda harus menyelesaikan sekumpulan dua persamaan, yaitu mengkuadratkannya dua kali. Setelah transformasi tidak setara ini, kita memperoleh dua persamaan derajat keempat dengan koefisien irasional, yang dapat dihilangkan dengan substitusi. Kesulitan lainnya adalah memeriksa solusi yang ditemukan dengan mensubstitusikannya ke persamaan aslinya.
Contoh 3: Selesaikan persamaannya
.
Penyelesaiannya menggunakan substitusi trigonometri
Dari dulu. Perhatikan bahwa nilai negatif dari hal yang tidak diketahui tidak dapat menjadi solusi masalah. Memang benar, mari kita ubah persamaan aslinya ke dalam bentuk
.
Faktor dalam tanda kurung di ruas kiri persamaan adalah positif, ruas kanan persamaan juga positif, sehingga faktor di ruas kiri persamaan tidak boleh negatif. Itu sebabnya, itulah mengapa Anda bisa memasukkannya 
Persamaan aslinya akan ditulis ulang sebagai
Sejak itu, lalu dan. Persamaannya akan berbentuk
Membiarkan . Mari beralih dari persamaan ke sistem ekuivalen
.
Angka adalah akar persamaan kuadrat
.
Solusi aljabar Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan
Mari kita perkenalkan penggantinya 
, maka persamaannya akan ditulis dalam bentuk
Akar kedua tidak berguna, jadi pertimbangkan persamaannya
.
Dari dulu.
Dalam hal ini, solusi aljabar secara teknis lebih sederhana, tetapi solusi yang diberikan harus dipertimbangkan menggunakan substitusi trigonometri. Hal ini pertama-tama disebabkan oleh sifat substitusi itu sendiri yang tidak standar, yang menghilangkan stereotip bahwa penggunaan substitusi trigonometri hanya mungkin dilakukan jika. Ternyata substitusi trigonometri juga dapat diterapkan. Kedua, sulitnya menyelesaikan persamaan trigonometri 
, yang direduksi dengan memasukkan substitusi ke sistem persamaan. Dalam arti tertentu, penggantian ini juga dapat dianggap non-standar, dan keakraban dengannya memungkinkan Anda memperkaya gudang teknik dan metode untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
Contoh 4: Selesaikan persamaannya
.
Penyelesaiannya menggunakan substitusi trigonometri
Karena variabel dapat mengambil nilai riil apa pun, kami masukkan 
. Kemudian
,
Karena .
Persamaan awal, dengan mempertimbangkan transformasi yang dilakukan, akan berbentuk
Karena kita membagi kedua ruas persamaan dengan , kita peroleh
Membiarkan 
, Kemudian 
. Persamaannya akan berbentuk
.
Mengingat pergantian pemain , kita memperoleh satu set dua persamaan
.
Mari kita selesaikan setiap persamaan himpunan secara terpisah.
.
Tidak boleh berupa nilai sinus, karena untuk nilai argumen apa pun.
.
Karena 
dan ruas kanan persamaan awal adalah positif, maka . Dari situlah berikut ini 
.
Persamaan ini tidak mempunyai akar, karena .
Jadi, persamaan aslinya mempunyai akar tunggal
.
Solusi aljabar
Persamaan ini dapat dengan mudah “diubah” menjadi persamaan rasional derajat kedelapan dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan aslinya. Menemukan akar-akar persamaan rasional yang dihasilkan itu sulit, dan itu perlu dilakukan tingkat tinggi kecerdikan untuk mengatasi tugas tersebut. Oleh karena itu, disarankan untuk mengetahui cara penyelesaian lain yang tidak terlalu tradisional. Misalnya substitusi yang dikemukakan oleh I.F. Sharygin.
Ayo taruh 
, Kemudian
Mari kita ubah ruas kanan persamaannya :
Dengan mempertimbangkan transformasi, persamaan akan mengambil formulir tersebut
.
Mari kita perkenalkan penggantinya
.
Oleh karena itu, akar kedua tidak berguna dan 
.
Jika ide penyelesaian persamaan tersebut tidak diketahui sebelumnya , maka menyelesaikan solusi standar dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan adalah masalah, karena hasilnya adalah persamaan derajat kedelapan, yang akar-akarnya sangat sulit ditemukan. Penyelesaian menggunakan substitusi trigonometri terlihat rumit. Mungkin sulit menemukan akar-akar persamaan jika Anda tidak menyadari bahwa persamaan tersebut bersifat timbal balik. Larutan persamaan di atas terjadi dengan menggunakan peralatan aljabar, sehingga kita dapat mengatakan bahwa solusi yang diusulkan digabungkan. Di dalamnya, informasi dari aljabar dan trigonometri bekerja sama untuk satu tujuan - untuk mendapatkan solusi. Selain itu, menyelesaikan persamaan ini memerlukan pertimbangan cermat terhadap dua kasus. Penyelesaian dengan substitusi secara teknis lebih sederhana dan indah dibandingkan dengan menggunakan substitusi trigonometri. Disarankan agar siswa mengetahui metode substitusi ini dan menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.
Kami menekankan bahwa penggunaan substitusi trigonometri untuk menyelesaikan masalah harus dilakukan secara sadar dan dapat dibenarkan. Disarankan untuk menggunakan substitusi jika penyelesaian dengan cara lain lebih sulit atau sama sekali tidak mungkin. Mari kita beri contoh lain, yang, tidak seperti contoh sebelumnya, dapat diselesaikan dengan lebih mudah dan cepat menggunakan metode standar.
Bilangan nyata. Perkiraan bilangan real mengakhiri pecahan desimal.
Bilangan nyata, atau bilangan real, adalah abstraksi matematika yang muncul dari kebutuhan untuk mengukur geometri dan besaran fisis dunia sekitar, serta melakukan operasi seperti mengekstraksi akar, menghitung logaritma, menyelesaikan persamaan aljabar. Jika bilangan bulat muncul dalam proses penghitungan, yang rasional - dari kebutuhan untuk beroperasi dengan bagian-bagian dari keseluruhan, maka bilangan real dimaksudkan untuk mengukur jumlah yang kontinyu. Dengan demikian, perluasan stok bilangan yang dipertimbangkan menyebabkan munculnya himpunan bilangan real, yang selain bilangan rasional, juga mencakup unsur-unsur lain yang disebut bilangan irasional .
Kesalahan mutlak dan batasnya.
Biarkan ada beberapa nilai numerik, dan nilai angka, yang ditugaskan padanya, dianggap akurat, lalu di bawah kesalahan nilai perkiraan nilai numerik (kesalahan) memahami perbedaan antara nilai eksak dan perkiraan suatu nilai numerik: . Kesalahannya bisa bernilai positif dan negatif. Besarannya disebut perkiraan yang diketahui dengan nilai pasti suatu kuantitas numerik - angka apa pun yang digunakan sebagai gantinya nilai yang tepat. Ukuran kesalahan kuantitatif yang paling sederhana adalah kesalahan absolut. Kesalahan mutlak nilai perkiraan adalah besaran yang diketahui: Kesalahan relatif dan batasnya.
Kualitas perkiraan sangat bergantung pada satuan pengukuran dan skala besaran yang diterima, oleh karena itu disarankan untuk mengkorelasikan kesalahan suatu besaran dan nilainya, yang untuk itu konsep kesalahan relatif diperkenalkan. Kesalahan relatif nilai perkiraan adalah besaran yang diketahui: 
. Kesalahan relatif sering kali dinyatakan dalam persentase. Penggunaan kesalahan relatif nyaman, khususnya, karena tidak bergantung pada skala besaran dan satuan pengukuran.
Persamaan irasional
Persamaan yang memuat variabel di bawah tanda akar disebut irasional. Saat menyelesaikan persamaan irasional, penyelesaian yang dihasilkan memerlukan verifikasi, karena, misalnya, persamaan yang salah saat mengkuadratkan dapat menghasilkan persamaan yang benar. Faktanya, persamaan yang salah jika dikuadratkan menghasilkan persamaan yang benar 1 2 = (-1) 2, 1=1. Terkadang lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan irasional menggunakan transisi yang setara.
Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan ini; Setelah transformasi kita sampai pada persamaan kuadrat; dan mari kita gantikan.
Bilangan kompleks. Operasi pada bilangan kompleks.
Bilangan kompleks merupakan perpanjangan dari himpunan bilangan real yang biasanya dilambangkan dengan . Bilangan kompleks apa pun dapat direpresentasikan sebagai jumlah formal X + iy, Di mana X Dan kamu- bilangan real, Saya- satuan imajiner Bilangan kompleks membentuk bidang tertutup secara aljabar - ini berarti polinomial derajat N Dengan koefisien kompleks memiliki persisnya N akar yang kompleks, artinya teorema dasar aljabar benar. Inilah salah satu alasan utama penggunaannya secara luas bilangan kompleks V penelitian matematika. Selain itu, penggunaan bilangan kompleks memungkinkan kita merumuskan banyak bilangan dengan mudah dan kompak model matematika, Digunakan dalam fisika matematika dan masuk ilmu pengetahuan Alam- teknik elektro, hidrodinamika, kartografi, mekanika kuantum, teori osilasi dan banyak lainnya.
Perbandingan A + dua = C + di maksudnya A = C Dan B = D(dua bilangan kompleks adalah sama jika dan hanya jika bagian riil dan bagian imajinernya sama).
Tambahan ( A + dua) + (C + di) = (A + C) + (B + D) Saya .
Pengurangan ( A + dua) − (C + di) = (A − C) + (B − D) Saya .
Perkalian
Fungsi numerik. Metode untuk menentukan suatu fungsi
Dalam matematika fungsi numerik adalah fungsi yang domain definisi dan nilainya merupakan himpunan bagian kumpulan angka- biasanya himpunan bilangan real atau himpunan bilangan kompleks.
Lisan: Dengan bahasa alami Igrek setara seluruh bagian dari x. Analitis: Menggunakan rumus analitis F (X) = X !
Grafik Menggunakan Fragmen grafik dari grafik suatu fungsi.
Tabular: Menggunakan tabel nilai
Sifat dasar suatu fungsi
1) Domain fungsi dan rentang fungsi . Domain Fungsi X(variabel X), yang fungsinya kamu = f(x) bertekad.
Rentang Fungsi kamu, yang diterima fungsi tersebut. DI DALAM matematika dasar fungsi dipelajari hanya pada himpunan bilangan real.2 ) Fungsi nol) Monotonisitas fungsi . Meningkatkan fungsi Menurunnya fungsi . Fungsi genap X f(-x) = f(x). Fungsi aneh- fungsi yang domain definisinya simetris terhadap titik asal dan untuk sembarang X f (-x) = - f (x. Fungsinya disebut terbatas tak terbatas .7) Periodisitas fungsi. Fungsi f(x) - berkala periode fungsinya
Grafik fungsi. Transformasi grafik paling sederhana menggunakan fungsi
Grafik suatu fungsi- sekumpulan titik yang absisnya merupakan nilai argumen yang valid X, dan ordinatnya adalah nilai yang sesuai fungsi kamu .
Garis lurus- jadwal fungsi linear y = kapak + b. Fungsi y meningkat secara monoton untuk a > 0 dan menurun untuk a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)
Parabola- grafik fungsi trinomial kuadrat y = kapak 2 + bx + c. Memiliki sumbu vertikal simetri. Jika a > 0, memiliki minimum jika a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения kapak 2 + bx +c =0
Hiperbola- grafik fungsi. Bila a > O terletak pada kuarter I dan III, bila a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) atau y - x (a< 0).
Fungsi logaritma y = log a x(sebuah > 0)
Fungsi trigonometri. Saat membangun fungsi trigonometri yang kami gunakan radian ukuran sudut. Lalu fungsinya kamu= dosa X diwakili oleh grafik (Gbr. 19). Kurva ini disebut sinusoidal .
Grafik suatu fungsi kamu= karena X ditunjukkan pada Gambar. 20; ini juga merupakan gelombang sinus yang dihasilkan dari pergerakan grafik kamu= dosa X sepanjang sumbu X kiri ke /2.
Properti dasar fungsi. Monotonisitas, kemerataan, keanehan, periodisitas fungsi.
Domain Fungsi dan Domain Fungsi . Domain Fungsi adalah himpunan semua valid nilai-nilai nyata argumen X(variabel X), yang fungsinya kamu = f(x) bertekad.
Rentang Fungsi adalah himpunan semua nilai riil kamu, yang diterima fungsi tersebut.
Dalam matematika dasar, fungsi hanya dipelajari pada himpunan bilangan real.2 ) Fungsi nol- nilai argumen yang nilai fungsinya nol.3 ) Interval tanda konstan suatu fungsi- kumpulan nilai argumen yang nilai fungsinya hanya positif atau negatif saja.4 ) Monotonisitas fungsi .
Meningkatkan fungsi(dalam interval tertentu) - fungsi yang nilai yang lebih tinggi argumen dari interval ini sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar.
Menurunnya fungsi(dalam interval tertentu) - fungsi yang sesuai dengan nilai argumen yang lebih besar dari interval ini nilai yang lebih rendah fungsi.5 ) Fungsi genap (ganjil). . Fungsi genap- fungsi yang domain definisinya simetris terhadap titik asal dan untuk sembarang X dari domain definisi kesetaraan f(-x) = f(x). Jadwal bahkan berfungsi simetris terhadap sumbu ordinat. Fungsi aneh- fungsi yang domain definisinya simetris terhadap titik asal dan untuk sembarang X dari domain definisi persamaan itu benar f (-x) = - f (x). Jadwal fungsi ganjil simetris terhadap titik asal.6 ) Fungsi terbatas dan tidak terbatas. Fungsinya disebut terbatas, jika ada bilangan positif M sehingga |f (x) | ≤ M untuk semua nilai x. Jika bilangan tersebut tidak ada, maka fungsinya ada tak terbatas .7) Periodisitas fungsi. Fungsi f(x) - berkala, jika ada bilangan bukan nol T sehingga untuk sembarang x dari domain definisi fungsi berikut ini berlaku: f (x+T) = f (x). Ini angka terkecil ditelepon periode fungsinya. Semua fungsi trigonometri bersifat periodik. (Rumus trigonometri).
Fungsi periodik. Aturan mencari periode utama suatu fungsi.
Fungsi periodik- fungsi yang mengulangi nilainya setelah beberapa periode bukan nol, yaitu, ia tidak mengubah nilainya ketika angka (periode) tetap yang bukan nol ditambahkan ke argumen. Semua fungsi trigonometri bersifat periodik. Tidak setia pernyataan mengenai jumlah tersebut fungsi periodik: Jumlah dari 2 fungsi dengan periode yang sebanding (bahkan dasar). T 1 dan T 2 adalah fungsi dengan periode KPK ( T 1 ,T 2). Jumlah 2 fungsi berkelanjutan dengan periode yang tidak dapat dibandingkan (bahkan dasar) merupakan fungsi non-periodik. Tidak ada fungsi periodik sama dengan konstanta, yang periodenya merupakan bilangan yang tidak dapat dibandingkan.
Merencanakan grafik fungsi pangkat.
Fungsi daya. Inilah fungsinya: y = axn, Di mana sebuah- permanen. Pada N= 1 kita dapatkan proporsionalitas langsung : kamu =kapak; pada N = 2 - parabola persegi; pada N = 1 - proporsionalitas terbalik atau hiperbola. Jadi, fungsi-fungsi ini merupakan kasus khusus dari fungsi pangkat. Kita tahu bahwa pangkat nol suatu bilangan selain nol adalah 1, oleh karena itu, kapan N = 0 fungsi daya berubah menjadi nilai konstan: kamu =A, yaitu grafiknya adalah garis lurus, sejajar dengan sumbu X, tidak termasuk asal (tolong jelaskan alasannya?). Semua kasus ini (dengan A= 1) ditunjukkan pada Gambar 13 ( N 0) dan Gambar 14 ( N < 0). Nilai-nilai negatif X tidak tercakup di sini, sejak itu beberapa fungsi:
Fungsi terbalik
Fungsi terbalik- fungsi yang membalikkan ketergantungan yang dinyatakan oleh fungsi ini. Suatu fungsi merupakan invers terhadap suatu fungsi jika identitas berikut terpenuhi: untuk semua 
untuk semua
Batas suatu fungsi pada suatu titik. Sifat dasar limit.
Akar ke-n dan sifat-sifatnya.
Akar ke-n suatu bilangan adalah bilangan yang pangkat ke-nnya sama dengan a.
Definisi: Akar aritmatika Pangkat ke-n dari a adalah bilangan non-negatif yang pangkat ke-nnya sama dengan a.
Sifat dasar akar:
Suatu pangkat dengan eksponen real sembarang dan sifat-sifatnya.
Misalkan diberikan bilangan positif dan bilangan real sembarang. Bilangan itu disebut pangkat, bilangan itu pangkatnya, dan bilangan itu pangkatnya.
Menurut definisinya, mereka percaya:
Jika - angka positif, dan merupakan sembarang bilangan real, maka sifat-sifat berikut ini berlaku:
.
.
Fungsi pangkat, sifat dan grafiknya
Fungsi daya variabel kompleks F (z) = z n dengan eksponen bilangan bulat ditentukan menggunakan kelanjutan analitis dari fungsi serupa dari argumen nyata. Untuk tujuan ini digunakan bentuk penulisan bilangan kompleks yang eksponensial. fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat bersifat analitik di seluruh bidang kompleks, seperti produknya nomor terbatas contoh pemetaan identitas F (z) = z. Menurut teorema keunikan, kedua kriteria ini cukup untuk keunikan kelanjutan analitik yang dihasilkan. Dengan menggunakan definisi ini, kita dapat langsung menyimpulkan bahwa fungsi pangkat suatu variabel kompleks memiliki perbedaan yang signifikan dengan fungsi pangkat sebenarnya.
Ini adalah fungsi dari formulir , . Kasus-kasus berikut dipertimbangkan:
A). Jika kemudian. Kemudian , ; jika bilangannya genap, maka fungsinya genap (yaitu 
di depan semua orang); jika bilangan ganjil maka fungsinya ganjil (yaitu 
di depan semua orang).
Fungsi eksponensial, sifat-sifatnya dan grafiknya
Fungsi eksponensial - fungsi matematika.
Dalam kasus nyata, basis derajatnya adalah bilangan real non-negatif, dan argumen fungsinya adalah eksponen realnya.
Secara teori fungsi yang kompleks kasus yang lebih umum dipertimbangkan ketika argumen dan eksponen dapat berupa bilangan kompleks sembarang.
Di bagian paling atas pandangan umum - kamu v, diperkenalkan oleh Leibniz pada tahun 1695
Yang paling penting adalah kasus ketika angka e bertindak sebagai dasar derajat. Fungsi seperti ini disebut eksponensial (nyata atau kompleks).
Properti; 
; .
Persamaan eksponensial.
Mari kita langsung ke persamaan eksponensial. Untuk memutuskan persamaan eksponensial perlu menggunakan teorema berikut: Jika pangkat-pangkatnya sama dan basis-basisnya sama, positif dan berbeda satu, maka eksponennya sama. Mari kita buktikan teorema ini: Misal a>1 dan a x =a y.
Mari kita buktikan bahwa dalam kasus ini x=y. Mari kita asumsikan kebalikan dari apa yang perlu dibuktikan, yaitu. mari kita asumsikan bahwa x>y atau x itu<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х ay. Kedua hasil ini bertentangan dengan ketentuan teorema. Jadi x = y yang perlu dibuktikan.
Teorema ini juga terbukti untuk kasus ketika 0
Ketimpangan eksponensial
Pertidaksamaan bentuk (atau kurang) di a(x) >0 dan diselesaikan berdasarkan sifat-sifat fungsi eksponensial: untuk 0 < а (х) < 1 ketika membandingkan f(x) Dan g(x) tanda pertidaksamaan berubah, dan kapan Sebuah(x) > 1- disimpan. Kasus yang paling sulit kapak)< 0 . Di sini kami hanya dapat memberikan indikasi umum: menentukan nilai apa X indikator f(x) Dan g(x) akan menjadi bilangan bulat, dan pilihlah yang memenuhi kondisi tersebut. Terakhir, jika ketimpangan awal masih berlaku Sebuah(x) = 0 atau Sebuah(x) = 1(misalnya, jika kesenjangannya tidak terlalu besar), maka kasus-kasus ini juga perlu dipertimbangkan.
Logaritma dan sifat-sifatnya
Logaritma suatu bilangan B berdasarkan A (dari bahasa Yunani λόγος - "kata", "hubungan" dan ἀριθμός - "angka") didefinisikan sebagai indikator kekuatan yang harus dinaikkan basisnya A untuk mendapatkan nomornya B. Penamaan: . Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa catatan dan adalah setara. Contoh : , karena . Properti
Identitas logaritma dasar:
Fungsi logaritma, sifat-sifatnya dan grafiknya.
Fungsi logaritma adalah fungsi bentuk F (X) = catatan sebuah x, didefinisikan pada
Domain:
Cakupan:
Grafik suatu fungsi logaritma melalui titik (1; 0)
Turunan fungsi logaritma sama dengan:
Persamaan logaritma
Persamaan yang mengandung variabel di bawah tanda logaritma disebut logaritma. Contoh paling sederhana dari persamaan logaritma adalah persamaan log a x = b (di mana a > 0, a 1). keputusannya x = ab .
Menyelesaikan persamaan berdasarkan definisi logaritma, seperti Persamaan. catatan ax = b (a > 0, a 1) punya solusi x = ab .
Metode potensiasi. Yang kami maksud dengan potensiasi adalah transisi dari persamaan yang mengandung logaritma ke persamaan yang tidak mengandung logaritma:
Jika log a f (x) = log a g (x), Itu f(x) = g(x), f(x)>0 ,g(x)>0 ,sebuah > 0 , sebuah 1 .
Sebuah metode untuk mereduksi persamaan logaritma menjadi persamaan kuadrat.
Metode pengambilan logaritma kedua ruas persamaan.
Sebuah metode untuk mengurangi logaritma ke basis yang sama.
Pertidaksamaan logaritmik.
Pertidaksamaan yang memuat variabel yang hanya berada di bawah tanda logaritma disebut logaritma: log a f (x) > log a g (x).
Saat menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, sifat umum pertidaksamaan, sifat monotonisitas fungsi logaritma, dan domain definisinya harus diperhitungkan. Ketidaksamaan log a f (x) > log a g (x) setara dengan sistem f (x) > g (x) > 0 untuk a > 1 dan sistem 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .
Pengukuran radian sudut dan busur. Sinus, cosinus, tangen, kotangen.
Ukuran derajat. Di sini satuan pengukurannya adalah derajat ( sebutan ) - Ini adalah rotasi balok sebesar 1/360 satu putaran penuh. Jadi, putaran penuh balok tersebut adalah 360. Satu derajat terdiri dari 60 menit ( sebutan mereka '); satu menit - masing-masing dari 60 detik ( ditandai dengan “).
ukuran radian. Seperti yang kita ketahui dari planimetri (lihat paragraf “Panjang busur” di bagian “Lokasi titik-titik geometris. Lingkaran dan lingkaran”), panjang busur aku, radius R dan sudut pusat yang bersesuaian dihubungkan oleh: =l/r.
Rumus ini mendasari pengertian besaran sudut dalam radian. Jadi jika aku = R, maka = 1, dan kita katakan bahwa sudut sama dengan 1 radian, yang dilambangkan dengan: = 1 senang. Jadi, kita memiliki definisi satuan pengukuran radian berikut:
Radian adalah sudut pusat yang panjang busur dan jari-jarinya sama(A M B = AO, Gambar 1). Jadi, Besaran radian suatu sudut adalah perbandingan panjang busur yang ditarik dengan jari-jari sembarang dan diapit di antara sisi-sisi sudut tersebut dengan jari-jari busur.
Fungsi trigonometri sudut lancip dapat didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku.
Sinus:
Kosinus:
Garis singgung:
Kotangens:
Fungsi trigonometri argumen numerik
Definisi .
Sinus x adalah bilangan yang sama dengan sinus sudut dalam x radian. Kosinus suatu bilangan x adalah bilangan yang sama dengan kosinus sudut dalam x radian .
Fungsi trigonometri lain dari argumen numerik didefinisikan dengan cara yang sama X .
Rumus hantu.
Rumus penjumlahan. Rumus argumen ganda dan setengah.
Dobel.
(
; 
.
Fungsi trigonometri dan grafiknya. Sifat dasar fungsi trigonometri.
Fungsi trigonometri- jenis fungsi dasar. Biasanya mereka termasuk sinus (dosa x), kosinus (karena x), garis singgung (terima kasih), kotangens (ctg x), Biasanya fungsi trigonometri didefinisikan secara geometris, tetapi fungsi tersebut dapat didefinisikan secara analitis melalui jumlah deret atau sebagai solusi persamaan diferensial tertentu, yang memungkinkan kita memperluas cakupan definisi fungsi-fungsi ini ke bilangan kompleks.
Fungsi y sinx sifat dan grafiknya
Properti:
2. E (y) = [-1; 1].
3. Fungsi y = sinx ganjil, karena menurut definisi sinus sudut trigonometri dosa(- X)= - kamu/R = - dosa, di mana R adalah jari-jari lingkaran, y adalah ordinat titik (Gbr).
4. T = 2l - periode positif terkecil. Benar-benar,
sin(x+p) = sinx.
dengan sumbu Sapi: dosa= 0; x = pn, nОZ;
dengan sumbu Oy: jika x = 0, maka y = 0,6. Interval keteguhan tanda tangan:
sinx > 0, jika xО (2pn; p + 2pn), nОZ;
dosa< 0 , jika xО (p + 2pn; 2p+pn), nОZ.
Tanda sinus dalam seperempat
y > 0 untuk sudut a pada kuarter pertama dan kedua.
pada< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.
7. Interval monoton:
kamu = dosa meningkat pada setiap interval [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],
nÎz dan menurun pada setiap interval , nÎz.
8. Titik ekstrem dan ekstrem fungsi:
xmax= p/2 + 2pn, tidak; kamu maks = 1;
ymax= - p/2 + 2pn, tidak; kamu menit = - 1.
Properti fungsi kamu = karena dan jadwalnya:
Properti:
2. E (y) = [-1; 1].
3. Fungsi kamu = karena- genap, karena menurut definisi kosinus sudut trigonometri cos (-a) = x/R = cosa pada lingkaran trigonometri (Gbr)
4. T = 2p - periode positif terkecil. Benar-benar,
cos(x+2pn) = cosx.
5. Titik potong dengan sumbu koordinat:
dengan sumbu Sapi: cosx = 0;
x = p/2 + pn, nÎZ;
dengan sumbu Oy: jika x = 0, maka y = 1.
6. Interval keteguhan tanda:
karenax > 0, jika xО (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nОZ;
karena< 0 , jika xО (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nОZ.
Hal ini dibuktikan pada lingkaran trigonometri (Gbr.). Tanda cosinus per empat:
x > 0 untuk sudut a pada kuarter pertama dan keempat.
X< 0 для углов a второй и третей четвертей.
7. Interval monoton:
kamu = karena meningkat pada setiap interval [-p + 2pn; 2pn],
nÎz dan menurun pada setiap interval , nÎz.
Properti fungsi kamu = tgx dan grafiknya: properti -
1. D (y) = (xÎR, x ¹ p/2 + pn, nÎZ).
3. Fungsi y = tgx - ganjil
tgx > 0
tgx< 0 untuk xО (-p/2 + pn; pn), nОZ.
Lihat gambar untuk tanda singgung suku empat.
6. Interval monoton:
kamu = tgx meningkat pada setiap interval
(-p/2 + pn; p/2 + pn),
7. Titik ekstrem dan ekstrem fungsi:
8. x = p/2 + pn, nÎz - asimtot vertikal
Properti fungsi kamu = ctgx dan jadwalnya:
Properti:
1. D (y) = (xÎR, x ¹ pn, nÎZ). 2. E (y) = R.
3. Fungsi kamu = ctgx- aneh.
4. T = p - periode positif terkecil.
5. Interval keteguhan tanda:
ctgx > 0 untuk xО (pn; p/2 + pn;), nОZ;
ctgx< 0 untuk xО (-p/2 + pn; pn), nОZ.
Lihat gambar tanda kotangen per empat bagian.
6. Fungsi pada= ctgx meningkat pada setiap interval (pn; p + pn), nÎZ.
7. Titik ekstrem dan ekstrem suatu fungsi kamu = ctgx TIDAK.
8. Grafik fungsi kamu = ctgx adalah garis singgung, diperoleh dengan menggeser grafik kamu = tgx sepanjang sumbu Ox ke kiri dengan p/2 dan dikalikan dengan (-1) (gbr)
Fungsi trigonometri terbalik, sifat dan grafiknya
Fungsi trigonometri terbalik (fungsi melingkar , fungsi busur) - fungsi matematika yang merupakan kebalikan dari fungsi trigonometri. Enam fungsi biasanya diklasifikasikan sebagai fungsi trigonometri terbalik: arcsinus , busur kosinus , tangen busur ,arckotange. Nama fungsi trigonometri invers dibentuk dari nama fungsi trigonometri yang bersesuaian dengan menambahkan awalan "arc-" (dari lat. busur- busur). Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa secara geometris, nilai fungsi trigonometri terbalik dapat dikaitkan dengan panjang busur lingkaran satuan (atau sudut di bawah busur ini) yang bersesuaian dengan segmen tertentu. Kadang-kadang dalam literatur asing, notasi seperti sin −1 digunakan untuk arcsinus, dll.; ini dianggap tidak sepenuhnya benar, karena mungkin ada kebingungan dalam menaikkan suatu fungsi ke pangkat −1. Rasio dasar
Fungsi y=arcsinX, properti dan grafiknya.
arcsinus angka M sudut ini disebut X, untuk Fungsi yang mana kamu= dosa X kamu= arcsin X meningkat secara ketat. (fungsinya ganjil).
Fungsi y=arccosX, properti dan grafiknya.
busur kosinus angka M sudut ini disebut X, untuk itu
Fungsi kamu= karena X kontinu dan dibatasi sepanjang garis bilangannya. Fungsi kamu= arccos X sangat menurun. karena(arccos X) = X pada 
arccos (kos kamu) = kamu pada D(arccos X) = [− 1; 1], (domain), E(arccos X) = . (jarak nilai). Sifat-sifat fungsi arccos (fungsinya simetris terpusat terhadap suatu titik
Fungsi y=arctgX, properti dan grafiknya.
Garis singgung busur angka M adalah sudut α yang Fungsinya kontinu dan dibatasi sepanjang garis realnya. Fungsinya semakin meningkat.
pada 
Properti fungsi arctg
,
.
Fungsi y=arcctg, properti dan grafiknya.
Kotangen busur angka M sudut ini disebut X, untuk itu
Fungsi tersebut kontinu dan dibatasi sepanjang garis bilangannya.
Fungsinya sangat menurun. pada pukul 0< kamu
< π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки 
untuk apa pun X
.
.
Persamaan trigonometri paling sederhana.
Definisi. Persamaan Wada dosa x = a ; karena x = a ; tan x = a ; ctg x = a, Di mana X
Kasus khusus persamaan trigonometri
Definisi. Persamaan Wada dosa x = a ; karena x = a ; tan x = a ; ctg x = a, Di mana X- variabel, aR, dipanggil persamaan trigonometri paling sederhana.
Persamaan trigonometri
Aksioma stereometri dan konsekuensinya
Bentuk dasar dalam ruang: titik, garis, dan bidang. Sifat-sifat dasar titik, garis, dan bidang mengenai kedudukan relatifnya dinyatakan dalam aksioma.
A1. Melalui tiga titik mana pun yang tidak terletak pada garis yang sama, sebuah bidang dilewatkan, dan hanya satu. A2. Jika dua titik suatu garis terletak pada suatu bidang, maka semua titik pada garis tersebut terletak pada bidang tersebut
Komentar. Jika suatu garis dan bidang hanya mempunyai satu titik persekutuan, maka keduanya dikatakan berpotongan.
A3. Jika dua bidang mempunyai suatu titik yang sama, maka kedua bidang tersebut mempunyai garis lurus yang sama dimana semua titik persekutuan dari bidang-bidang tersebut terletak.
|
|
A dan berpotongan sepanjang garis lurus a. |
Akibat wajar 1. Sebuah bidang melewati suatu garis lurus dan suatu titik tidak terletak padanya, dan hanya satu bidang pada titik tersebut. Akibat wajar 2. Sebuah pesawat melewati dua garis berpotongan, dan hanya satu.
Posisi relatif dua garis dalam ruang
Dua garis diberikan oleh persamaan
berpotongan di suatu titik.
Paralelisme garis dan bidang.
Definisi 2.3 Suatu garis dan bidang disebut sejajar jika tidak mempunyai titik-titik yang sama. Jika garis lurus a sejajar bidang α, tuliskan a || α. Teorema 2.4 Uji paralelisme garis dan bidang. Jika suatu garis di luar bidang sejajar dengan suatu garis pada bidang tersebut, maka garis tersebut sejajar dengan bidang itu sendiri. Bukti Misalkan b α, a || b dan a (gambar 2.2.1). Kami akan melakukan pembuktian dengan kontradiksi. Misalkan a tidak sejajar dengan α, maka garis lurus a memotong bidang α di suatu titik A. Apalagi A b, karena a || B. Menurut kriteria garis miring, garis a dan b adalah garis miring. Kita telah sampai pada sebuah kontradiksi. Teorema 2.5 Jika bidang β melalui garis a yang sejajar dengan bidang α dan memotong bidang tersebut sepanjang garis b, maka b || A. Buktinya, garis a dan b tidak miring karena terletak pada bidang β. Selain itu, garis-garis ini tidak mempunyai titik persekutuan, karena || α. Definisi 2.4 Garis lurus b kadang-kadang disebut jejak bidang β pada bidang α.
Melintasi garis lurus. Tanda persilangan garis
Garis disebut berpotongan jika memenuhi syarat berikut: Jika kita bayangkan salah satu garis termasuk dalam suatu bidang sembarang, maka garis lainnya akan memotong bidang tersebut di suatu titik yang bukan termasuk dalam garis pertama. Dengan kata lain, dua garis dalam ruang Euclidean tiga dimensi berpotongan jika tidak ada bidang yang memuatnya. Sederhananya, dua garis dalam ruang yang tidak memiliki titik persekutuan, namun tidak sejajar.
Teorema (1): Jika salah satu dari dua garis terletak pada suatu bidang tertentu, dan garis lainnya memotong bidang tersebut di suatu titik yang tidak terletak pada garis pertama, maka garis-garis tersebut berpotongan.
Teorema (2): Melalui masing-masing dua garis miring terdapat sebuah bidang yang sejajar dengan garis lainnya, dan terlebih lagi hanya satu bidang.
Teorema (3): Jika sisi-sisi dua sudut sejajar, maka sudut-sudut tersebut sama besar.
Paralelisme garis. Sifat-sifat bidang sejajar.
Garis sejajar (terkadang sama sisi). disebut garis lurus yang terletak pada bidang yang sama dan berimpit atau tidak berpotongan. Dalam beberapa definisi sekolah, garis-garis yang berhimpitan tidak dianggap sejajar; definisi seperti itu tidak dianggap di sini. Sifat-sifat Paralelisme merupakan relasi kesetaraan biner, oleh karena itu ia membagi seluruh himpunan garis ke dalam kelas-kelas garis yang sejajar satu sama lain. Melalui titik mana pun Anda dapat menggambar tepat satu garis lurus yang sejajar dengan garis tersebut. Ini adalah ciri khas geometri Euclidean; dalam geometri lain, angka 1 digantikan oleh yang lain (dalam geometri Lobachevsky setidaknya ada dua garis seperti itu) 2 garis sejajar dalam ruang terletak pada bidang yang sama. b Bila 2 garis sejajar berpotongan dengan garis ketiga disebut garis potong: Garis potong harus memotong kedua garis. Ketika berpotongan, terbentuk 8 sudut, beberapa pasangan karakteristiknya memiliki nama dan sifat khusus: Berbaring melintang sudut-sudutnya sama besar. Relevan sudut-sudutnya sama besar. Sepihak sudut-sudutnya berjumlah 180°.
Garis tegak lurus dan bidang.
Garis lurus yang memotong suatu bidang disebut tegak lurus bidang ini jika tegak lurus terhadap setiap garis lurus yang terletak pada bidang tersebut dan melalui titik potongnya.
TANDA TEGAK TEGAL LURUS DAN BIDANG.
Jika suatu garis yang memotong suatu bidang tegak lurus terhadap dua garis pada bidang tersebut yang melalui titik potong garis tersebut dan bidang tersebut, maka garis tersebut tegak lurus terhadap bidang tersebut.
SIFAT 1 LURUS DAN BIDANG TEGAL .
Jika sebuah bidang tegak lurus terhadap salah satu dari dua garis sejajar, maka bidang tersebut juga tegak lurus terhadap garis lainnya.
SIFAT 2 LURUS DAN BIDANG TEGAL .
Dua garis yang tegak lurus pada bidang yang sama adalah sejajar.
Teorema Tiga Tegak Lurus
Membiarkan AB- tegak lurus terhadap bidang α, AC- cenderung dan C- garis lurus pada bidang yang melalui suatu titik C dan tegak lurus terhadap proyeksi SM. Ayo buat langsung CK sejajar dengan garis AB. Lurus CK tegak lurus terhadap bidang α (karena sejajar AB), dan oleh karena itu setiap garis lurus pada bidang ini, oleh karena itu, CK tegak lurus terhadap garis lurus C AB Dan CK bidang β (garis sejajar mendefinisikan bidang, dan hanya satu). Lurus C tegak lurus terhadap dua garis berpotongan yang terletak pada bidang , adalah SM sesuai dengan kondisi dan CK menurut konstruksinya berarti tegak lurus terhadap garis mana pun yang termasuk dalam bidang tersebut, artinya tegak lurus terhadap garis tersebut AC .
Kebalikan dari teorema tiga tegak lurus
Jika suatu garis lurus yang ditarik pada suatu bidang yang melalui alas suatu garis miring tegak lurus terhadap garis miring tersebut, maka garis tersebut juga tegak lurus terhadap proyeksinya.
Membiarkan AB- tegak lurus terhadap bidang A , AC- cenderung dan Dengan- garis lurus pada bidang A, melewati dasar bidang miring DENGAN. Ayo buat langsung SK, sejajar dengan garis AB. Lurus SK tegak lurus terhadap bidang A(menurut teorema ini, karena sejajar AB), dan oleh karena itu setiap garis lurus pada bidang ini, oleh karena itu, SK tegak lurus terhadap garis lurus Dengan. Mari kita menggambar melalui garis sejajar AB Dan SK pesawat B(garis sejajar mendefinisikan sebuah bidang, dan hanya satu). Lurus Dengan tegak lurus terhadap dua garis lurus yang terletak pada bidang B, Ini AC sesuai dengan kondisi dan SK secara konstruksi berarti tegak lurus terhadap garis mana pun yang termasuk dalam bidang tersebut, artinya tegak lurus terhadap garis tersebut Matahari. Dengan kata lain, proyeksi Matahari tegak lurus terhadap garis lurus Dengan, terbaring di pesawat A .
Tegak lurus dan miring.
Tegak lurus, diturunkan dari suatu titik tertentu pada suatu bidang tertentu, adalah ruas yang menghubungkan suatu titik tertentu dengan suatu titik pada bidang dan terletak pada garis lurus yang tegak lurus bidang tersebut. Ujung ruas yang terletak pada bidang datar disebut dasar tegak lurus .
Cenderung yang ditarik dari suatu titik tertentu ke suatu bidang tertentu adalah setiap ruas yang menghubungkan suatu titik tertentu dengan suatu titik pada bidang yang tidak tegak lurus terhadap bidang tersebut. Ujung suatu ruas yang terletak pada suatu bidang disebut dasar miring. Ruas garis yang menghubungkan alas-alas suatu bidang tegak lurus dengan bidang miring yang ditarik dari suatu titik yang sama disebut proyeksi miring .
Definisi 1. Garis tegak lurus suatu garis adalah ruas garis yang tegak lurus terhadap suatu garis tertentu, yang salah satu ujungnya berada pada titik potongnya. Ujung suatu ruas garis yang terletak pada suatu garis tertentu disebut alas tegak lurus.
Definisi 2. Kemiringan yang ditarik dari suatu titik tertentu ke suatu garis tertentu disebut garis penghubung titik ini dengan titik mana pun pada suatu garis yang bukan alas suatu garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik yang sama ke suatu garis tertentu. 
AB tegak lurus terhadap bidang α.
AC - miring, CB - proyeksi.
C adalah alas bidang miring, B adalah alas bidang tegak lurus.
Sudut antara garis lurus dan bidang.
Sudut antara garis lurus dan bidang Setiap sudut antara garis lurus dan proyeksinya pada bidang tersebut disebut.
Sudut dihedral.
Sudut dihedral- spasial sosok geometris, dibentuk oleh dua setengah bidang yang berasal dari satu garis lurus, serta bagian ruang yang dibatasi oleh setengah bidang tersebut. Setengah bidang disebut tepian sudut dihedral, dan garis lurus persekutuannya adalah tepian. Sudut dihedral diukur sudut linier, yaitu sudut yang dibentuk oleh perpotongan sudut dihedral dengan bidang yang tegak lurus tepinya. Setiap polihedron, beraturan atau tidak beraturan, cembung atau cekung, memiliki sudut dihedral di setiap tepinya.
Tegak lurus dua bidang.
TANDA KETEPATAN BIDANG.
Jika suatu bidang melewati suatu garis yang tegak lurus terhadap bidang lain, maka bidang-bidang tersebut tegak lurus.
Institusi pendidikan kota
"Sekolah Menengah Kuedino No. 2"
Metode penyelesaian persamaan irasional
Diselesaikan oleh: Olga Egorova,
Pengawas:
Guru
matematika,
kualifikasi tertinggi
Perkenalan....……………………………………………………………………………………… 3
Bagian 1. Metode penyelesaian persamaan irasional…………………………………6
1.1 Menyelesaikan persamaan irasional bagian C……….….….………………………21
Bagian 2. Tugas individu…………………………………………….....………...24
Jawaban………………………………………………………………………………………….25
Bibliografi…….…………………………………………………………………….26
Perkenalan
Pendidikan matematika diterima di sekolah Menengah, adalah komponen penting pendidikan umum Dan budaya umum manusia modern. Hampir segala sesuatu yang ada di sekitar manusia modern semuanya berhubungan dengan matematika. Dan kemajuan terkini di bidang fisika, teknik, dan teknologi informasi tidak diragukan lagi bahwa di masa depan keadaan akan tetap sama. Oleh karena itu, keputusan banyak orang masalah praktis sampai pada sebuah keputusan berbagai jenis persamaan yang perlu Anda pelajari untuk dipecahkan. Salah satu jenisnya adalah persamaan irasional.
Persamaan irasional
Persamaan yang mengandung sesuatu yang tidak diketahui (atau rasional ekspresi aljabar dari tidak diketahui) di bawah tanda radikal, disebut persamaan irasional. Dalam matematika dasar, solusi persamaan irasional ditemukan dalam himpunan bilangan real.
Persamaan irasional apa pun dapat direduksi menjadi persamaan aljabar rasional menggunakan operasi aljabar dasar (perkalian, pembagian, menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat bilangan bulat). Perlu diingat bahwa persamaan aljabar rasional yang dihasilkan mungkin tidak setara dengan persamaan irasional awal, yaitu mungkin mengandung akar-akar “ekstra” yang bukan merupakan akar-akar persamaan irasional awal. Oleh karena itu, setelah ditemukan akar-akar rasional yang dihasilkan persamaan aljabar, perlu diperiksa apakah semua akar persamaan rasional merupakan akar persamaan irasional.
Secara umum, sulit untuk menunjukkannya metode universal solusi untuk setiap persamaan irasional, karena diinginkan bahwa sebagai hasil transformasi persamaan irasional asli, hasilnya bukan hanya persamaan aljabar rasional, di antara akar-akarnya akan ada akar-akar persamaan irasional yang diberikan, tetapi a persamaan aljabar rasional yang dibentuk dari polinomial sebanyak-banyaknya pada tingkat lebih rendah. Keinginan untuk memperoleh persamaan aljabar rasional yang dibentuk dari polinomial dengan derajat sekecil mungkin adalah hal yang wajar, karena menemukan semua akar persamaan aljabar rasional itu sendiri dapat menjadi tugas yang agak sulit, yang hanya dapat kita selesaikan sepenuhnya. dalam jumlah kasus yang sangat terbatas.
Jenis persamaan irasional
Menyelesaikan persamaan irasional dengan derajat genap selalu menimbulkan masalah lebih banyak masalah daripada menyelesaikan persamaan irasional berderajat ganjil. Saat menyelesaikan persamaan irasional berderajat ganjil, OD tidak berubah. Oleh karena itu, di bawah ini kita akan membahas persamaan irasional yang derajatnya genap. Ada dua jenis persamaan irasional:
2.
.
Mari kita pertimbangkan yang pertama.
persamaan ODZ: f(x)≥ 0. Dalam ODZ, ruas kiri persamaan selalu non-negatif - oleh karena itu, solusi hanya bisa ada jika G(X)≥ 0. Dalam hal ini, kedua ruas persamaan adalah non-negatif, dan eksponensial 2 N memberikan persamaan yang setara. Kami mengerti
Mari kita perhatikan faktanya dalam kasus ini ODZ dijalankan secara otomatis, dan tidak perlu menuliskannya, melainkan syaratnyaG(x) ≥ 0 harus dicentang.
Catatan:
Ini adalah syarat kesetaraan yang sangat penting. Pertama, membebaskan siswa dari kebutuhan untuk bereksplorasi, dan setelah menemukan solusi, periksa kondisi f(x) ≥ 0 – non-negatif ekspresi radikal. Kedua, fokus pada pengecekan kondisiG(x) ≥ 0 – sisi kanan yang tidak negatif. Lagi pula, setelah mengkuadratkan, persamaannya terpecahkan 
yaitu, dua persamaan diselesaikan sekaligus (tetapi pada interval sumbu numerik yang berbeda!):
1. - dimana G(X)≥ 0 dan
2. 
- dimana g(x) ≤ 0.
Sementara itu, banyak orang, karena kebiasaan mencari ODZ, bertindak sebaliknya ketika menyelesaikan persamaan berikut:
a) setelah menemukan solusi, mereka memeriksa kondisi f(x) ≥ 0 (yang secara otomatis terpenuhi), sambil membuat kesalahan aritmatika dan memperoleh hasil yang salah;
b) mengabaikan kondisi tersebutG(x) ≥ 0 - dan sekali lagi jawabannya mungkin salah.
Catatan: Kondisi kesetaraan sangat berguna ketika menyelesaikan persamaan trigonometri yang mana menemukan ODZ terkait dengan keputusan tersebut pertidaksamaan trigonometri, yang jauh lebih sulit daripada menyelesaikan persamaan trigonometri. Memeriksa kondisi genap dalam persamaan trigonometri G(X)≥ 0 tidak selalu mudah dilakukan.
Mari kita perhatikan persamaan irasional jenis kedua.
.
Biarkan persamaannya diberikan . ODZ-nya:
Dalam ODZ kedua ruasnya non-negatif, dan pengkuadratannya menghasilkan persamaan yang ekuivalen F(x) =G(X). Oleh karena itu, di ODZ atau
Dengan metode solusi ini, cukup dengan memeriksa non-negatif dari salah satu fungsi - Anda dapat memilih fungsi yang lebih sederhana.
Bagian 1. Metode penyelesaian persamaan irasional
1 metode. Menyingkirkan radikal dengan menaikkan kedua ruas persamaan secara berurutan ke ruas yang bersesuaian gelar alami
Metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan irasional adalah metode menghilangkan radikal dengan menaikkan kedua ruas persamaan secara berturut-turut ke pangkat alami yang sesuai. Perlu diingat bahwa ketika kedua ruas persamaan dipangkatkan ganjil, persamaan yang dihasilkan setara dengan persamaan awal, dan jika kedua ruas persamaan dipangkatkan genap, persamaan yang dihasilkan umumnya akan berbicara, tidak setara dengan persamaan aslinya. Hal ini dapat dengan mudah diverifikasi dengan menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat genap. Hasil dari operasi ini adalah persamaan 
, himpunan solusinya merupakan gabungan dari himpunan solusi: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Namun , terlepas dari kelemahan ini, prosedur menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat tertentu (sering kali genap) merupakan prosedur paling umum untuk mereduksi persamaan irasional menjadi persamaan rasional.
Selesaikan persamaan:
Di mana 
- beberapa polinomial. Karena definisi operasi ekstraksi akar dalam himpunan bilangan real, nilai yang tidak diketahui yang diizinkan adalah https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 height =21" tinggi="21">..gif " lebar="243" tinggi="28 src=">.
Karena kedua ruas persamaan 1 dikuadratkan, mungkin tidak semua akar persamaan 2 merupakan solusi persamaan awal;
Selesaikan persamaan:
https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">
Kubus kedua sisi persamaan, kita dapatkan
Mengingat https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Persamaan terakhir mungkin memiliki akar yang, secara umum, bukan akar dari persamaannya 
).
Kita pangkatkan kedua ruas persamaan ini: . Kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk x3 – x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Dengan memeriksa kita menetapkan bahwa x1 = 0 adalah akar asing dari persamaan (-2 ≠ 1), dan x2 = 1 memenuhi persamaan awal persamaan.
Menjawab: x = 1.
Metode 2. Mengganti sistem kondisi yang berdekatan
Saat menyelesaikan persamaan irasional yang mengandung radikal berorde genap, akar asing mungkin muncul dalam jawaban, yang tidak selalu mudah diidentifikasi. Untuk memudahkan dalam mengidentifikasi dan membuang akar-akar asing, ketika menyelesaikan persamaan irasional, akar tersebut segera diganti dengan sistem kondisi yang berdekatan. Pertidaksamaan tambahan dalam sistem sebenarnya memperhitungkan ODZ persamaan yang diselesaikan. Anda dapat menemukan DL secara terpisah dan memperhitungkannya nanti, tetapi lebih baik menggunakannya sistem campuran kondisi: bahaya melupakan sesuatu atau tidak memperhitungkannya dalam proses penyelesaian persamaan lebih kecil. Oleh karena itu, dalam beberapa kasus lebih rasional menggunakan metode transisi ke sistem campuran.
Selesaikan persamaan: 
Menjawab: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">
Persamaan ini setara dengan sistem
Menjawab: persamaan tersebut tidak memiliki solusi.
Metode 3. Menggunakan properti root ke-n
Saat menyelesaikan persamaan irasional, sifat-sifat akar ke-n digunakan. Akar aritmatika N- th derajat dari kalangan A hubungi nomor non-negatif N- saya yang kekuatannya sama dengan A. Jika N - bahkan( 2n), maka a ≥ 0, jika tidak, akarnya tidak ada. Jika N - aneh( 2 n+1), maka a adalah sembarang dan = - ..gif" width="45" height="19"> Lalu:
2. 
3. 
4. 
5. 
Saat menerapkan salah satu rumus ini, secara formal (tanpa memperhitungkan batasan yang ditentukan), harus diingat bahwa VA bagian kiri dan kanan masing-masing rumus dapat berbeda. Misalnya, ekspresi didefinisikan dengan f ≥ 0 Dan g ≥ 0, dan ekspresinya seolah-olah f ≥ 0 Dan g ≥ 0, dan dengan f ≤ 0 Dan g ≤ 0.
Untuk setiap rumus 1-5 (tanpa memperhatikan batasan yang ditentukan), ODZ sebelah kanannya bisa lebih lebar dari ODZ sebelah kiri. Oleh karena itu, transformasi persamaan dengan penggunaan formal rumus 1-5 “dari kiri ke kanan” (seperti yang tertulis) menghasilkan persamaan yang merupakan konsekuensi dari persamaan aslinya. Dalam hal ini, akar-akar asing dari persamaan asli mungkin muncul, jadi verifikasi merupakan langkah wajib dalam menyelesaikan persamaan asli.
Transformasi persamaan dengan penggunaan formal rumus 1-5 “dari kanan ke kiri” tidak dapat diterima, karena OD persamaan asli dapat dinilai, dan akibatnya, hilangnya akar.
https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,
yang merupakan konsekuensi dari yang asli. Menyelesaikan persamaan ini berarti menyelesaikan sekumpulan persamaan 
.
Dari persamaan pertama himpunan ini kita menemukan https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> dari tempat kita menemukannya. Jadi, akar dari persamaan ini hanya dapat berupa bilangan ( -1) dan (-2). Pemeriksaan menunjukkan bahwa kedua akar yang ditemukan memenuhi persamaan ini.
Menjawab: -1,-2.
Selesaikan persamaan: .
Penyelesaian: berdasarkan identitasnya, ganti suku pertama dengan . Perhatikan bahwa sebagai jumlah dari dua bilangan non-negatif di ruas kiri. “Hapus” modulnya dan, setelah membawa suku-suku serupa, selesaikan persamaannya. Karena , kita mendapatkan persamaannya . Sejak 
, lalu https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" lebar="145" tinggi="21 src=">
Menjawab: x = 4,25.
Metode 4 Pengenalan variabel baru
Contoh lain penyelesaian persamaan irasional adalah metode memasukkan variabel baru, sehingga diperoleh persamaan irasional yang lebih sederhana atau persamaan rasional.
Penyelesaian persamaan irasional dengan mengganti persamaan tersebut dengan konsekuensinya (diikuti dengan memeriksa akar-akarnya) dapat dilakukan sebagai berikut:
1. Temukan ODZ dari persamaan aslinya.
2. Beralih dari persamaan ke konsekuensinya.
3. Temukan akar-akar persamaan yang dihasilkan.
4. Periksa apakah akar-akar yang ditemukan merupakan akar-akar persamaan awal.
Pengecekannya adalah sebagai berikut:
A) kepemilikan setiap akar yang ditemukan pada persamaan asli diperiksa. Akar-akar yang bukan milik ODZ tidak ada hubungannya dengan persamaan aslinya.
B) untuk setiap akar yang termasuk dalam ODZ persamaan asli, diperiksa apakah ada tanda-tanda yang identik ruas kiri dan kanan masing-masing persamaan yang muncul dalam proses penyelesaian persamaan awal dan dipangkatkan. Akar-akar yang dimiliki oleh bagian-bagian persamaan apa pun yang dipangkatkan tanda-tanda yang berbeda, tidak sesuai dengan persamaan aslinya.
C) hanya akar-akar yang termasuk dalam ODZ persamaan asli dan yang kedua ruas dari setiap persamaan yang timbul dalam proses penyelesaian persamaan asli dan dipangkatkan genap mempunyai tanda yang sama yang diperiksa dengan substitusi langsung ke dalam persamaan asli.
Metode penyelesaian dengan metode verifikasi yang ditentukan ini memungkinkan seseorang untuk menghindari perhitungan yang rumit jika setiap akar yang ditemukan dari persamaan terakhir disubstitusikan secara langsung ke dalam persamaan aslinya.
Selesaikan persamaan irasional:
.
Sekelompok nilai-nilai yang dapat diterima persamaan ini:
Dengan kata lain, setelah substitusi kita memperoleh persamaannya
atau persamaan setara
yang dapat dianggap sebagai persamaan kuadrat terhadap. Memecahkan persamaan ini, kita mendapatkan
.
Oleh karena itu, himpunan penyelesaian persamaan irasional awal adalah gabungan himpunan penyelesaian dua persamaan berikut:
, .
Menaikkan kedua ruas masing-masing persamaan ini menjadi kubus, kita memperoleh dua persamaan aljabar rasional:
, .
Menyelesaikan persamaan ini, kita menemukan bahwa persamaan irasional ini memiliki akar tunggal x = 2 (tidak diperlukan verifikasi, karena semua transformasi ekuivalen).
Menjawab: x = 2.
Selesaikan persamaan irasional:
Mari kita nyatakan 2x2 + 5x – 2 = t. Maka persamaan aslinya akan berbentuk 
. Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan yang dihasilkan dan menjumlahkan suku-suku yang serupa, kita memperoleh persamaan yang merupakan konsekuensi dari persamaan sebelumnya. Dari situ kita temukan t=16.
Kembali ke x yang tidak diketahui, kita memperoleh persamaan 2x2 + 5x – 2 = 16, yang merupakan konsekuensi dari persamaan awal. Dengan memeriksa kita yakin bahwa akar-akarnya x1 = 2 dan x2 = - 9/2 adalah akar-akar persamaan awal.
Menjawab: x1 = 2, x2 = -9/2.
5 metode. Transformasi persamaan yang identik
Saat menyelesaikan persamaan irasional, Anda tidak boleh memulai penyelesaian persamaan dengan menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat alami, mencoba mereduksi penyelesaian persamaan irasional menjadi penyelesaian persamaan aljabar rasional. Pertama kita perlu melihat apakah mungkin untuk membuat transformasi persamaan yang identik yang dapat menyederhanakan penyelesaiannya secara signifikan.
Selesaikan persamaan:
Kumpulan nilai yang dapat diterima untuk persamaan ini: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Mari kita bagi persamaan ini dengan .
.
Kita mendapatkan:
Ketika a = 0 persamaan tersebut tidak mempunyai solusi; kapan persamaannya dapat dituliskan sebagai
karena persamaan ini tidak memiliki solusi, karena untuk persamaan apa pun X, termasuk dalam himpunan nilai persamaan yang dapat diterima, ekspresi di ruas kiri persamaan adalah positif;
ketika persamaan mempunyai solusi
Mengingat banyak sekali solusi yang dapat diterima persamaan ditentukan oleh kondisi, akhirnya kita peroleh:
Saat menyelesaikan persamaan irasional ini, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> solusi persamaannya adalah. Untuk semua nilai lainnya X persamaan tersebut tidak memiliki solusi.
CONTOH 10:
Selesaikan persamaan irasional: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">
Menyelesaikan persamaan kuadrat sistem menghasilkan dua akar: x1 = 1 dan x2 = 4. Akar pertama yang dihasilkan tidak memenuhi pertidaksamaan sistem, oleh karena itu x = 4.
Catatan
1) Melakukan transformasi yang identik memungkinkan Anda melakukannya tanpa memeriksa.
2) Pertidaksamaan x – 3 ≥0 mengacu pada transformasi yang identik, dan bukan ke domain definisi persamaan.
3) Di ruas kiri persamaan terdapat fungsi menurun, dan di ruas kanan persamaan terdapat fungsi meningkat. Grafik fungsi menurun dan naik pada perpotongan domain definisinya tidak boleh lebih dari satu poin umum. Jelasnya, dalam kasus kita x = 4 adalah absis titik potong grafik.
Menjawab: x = 4.
6 metode. Menggunakan Domain Fungsi untuk Menyelesaikan Persamaan
Metode ini paling efektif ketika menyelesaikan persamaan yang menyertakan fungsi https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> dan menemukan definisi luasnya (F)..gif" lebar = "53" tinggi = "21"> 
.gif" width="88" height="21 src=">, maka Anda perlu memeriksa apakah persamaan di ujung interval sudah benar, dan apakah< 0, а b >0, maka perlu dilakukan pengecekan secara berkala (sebuah;0) Dan . Bilangan bulat terkecil di E(y) adalah 3.
Menjawab: x = 3.
8 metode. Penerapan turunan dalam menyelesaikan persamaan irasional
Metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan dengan menggunakan metode turunan adalah metode estimasi.
CONTOH 15:
Selesaikan persamaan: (1)
Solusi: Karena https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, atau (2). Pertimbangkan fungsinya 
..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> sama sekali dan, oleh karena itu, meningkat. Oleh karena itu persamaannya 
setara dengan persamaan yang memiliki akar yang merupakan akar persamaan aslinya.
Menjawab:
CONTOH 16:
Selesaikan persamaan irasional:
Domain suatu fungsi adalah segmen. Mari temukan yang terhebat dan nilai terkecil nilai fungsi ini pada interval. Untuk melakukan ini, kita mencari turunan dari fungsi tersebut F(X): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Mari kita cari nilai fungsinya F(X) di ujung segmen dan pada titik: Jadi, Tapi dan, oleh karena itu, persamaan hanya mungkin jika https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height= "19 src=" >. Pengecekan menunjukkan bahwa bilangan 3 adalah akar persamaan ini.
Menjawab: x = 3.
9 metode. Fungsional
Dalam ujian, terkadang mereka meminta Anda menyelesaikan persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk dimana suatu fungsi.
Misalnya, beberapa persamaan: 1) 
2) 
. Memang benar, dalam kasus pertama 
, dalam kasus kedua 
. Oleh karena itu, selesaikan persamaan irasional menggunakan pernyataan berikut: jika suatu fungsi meningkat tajam pada himpunan X dan untuk sembarang , maka persamaan, dsb. ekuivalen di himpunan X .
Selesaikan persamaan irasional: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> meningkat secara ketat di lokasi syuting R, dan https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > yang mempunyai akar tunggal. Oleh karena itu, persamaan (1) yang ekuivalen dengannya juga mempunyai akar tunggal
Menjawab: x = 3.
CONTOH 18:
Selesaikan persamaan irasional: 
(1)
Menurut definisi akar pangkat dua kita menemukan bahwa jika persamaan (1) mempunyai akar-akar, maka persamaan tersebut termasuk dalam himpunan https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. ( 2)
Pertimbangkan fungsinya https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> meningkat secara ketat pada set ini untuk ..gif" width="100" apa pun height ="41"> yang memiliki akar tunggal Oleh karena itu, dan ekuivalennya di himpunan X persamaan (1) mempunyai akar tunggal
Menjawab: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">
Penyelesaian: Persamaan ini ekuivalen dengan sistem campuran
